Укажите решение системы неравенств: Страница не найдена

Подготовка к ОГЭ. Самостоятельная работа. Неравенства. Системы неравенств.

Задание №15. Неравенства. Системы неравенств.

Вариант 1.

1. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство решений си­сте­мы не­ра­венств

В ответе укажите номер правильного варианта.

 

2. На каком рисунке изображено множество решений неравенства ?

3. Ре­ши­те не­ра­вен­ство и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его решений.

В ответе укажите номер правильного варианта.

 

4. На каком рисунке изображено множество решений неравенства ?

5. Решите неравенство:

 

На каком из ри­сун­ков изоб­ра­же­но мно­же­ство его решений?

В ответе укажите номер правильного варианта.

 

6. При каких зна­че­ни­ях x зна­че­ние вы­ра­же­ния 6x − 2 боль­ше зна­че­ния вы­ра­же­ния 7x + 8?

В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) x − 10 2) x x − 6 4) x

7. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние , удо­вле­тво­ря­ю­щее си­сте­ме не­ра­венств

 

 

Задание №15. Неравенства. Системы неравенств.

Вариант 2.

1. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства

В ответе укажите номер правильного варианта.

 

 

2. Ре­ше­ние ка­ко­го из дан­ных не­ра­венств изоб­ра­же­но на ри­сун­ке?

В ответе укажите номер правильного варианта.

 1) 2)

3) 4)

3. Укажите решение системы неравенств:

 

 

4. Решите неравенство:

 

На каком из ри­сун­ков изоб­ра­же­но мно­же­ство его решений?

В ответе укажите номер правильного варианта.

 

5. Ре­ши­те не­ра­вен­ство и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний.

В ответе укажите номер правильного варианта.

6. На каком рисунке изображено множество решений неравенства ?

7. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние , удовлетворяющее си­сте­ме не­ра­венств

 

Задание №15. Неравенства. Системы неравенств.

Вариант 3.

1. Укажите решение неравенства

2. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства  

В от­ве­те укажите номер пра­виль­но­го варианта.

 

3. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний си­сте­мы неравенств

 

 

4. Ре­ше­ние ка­ко­го из дан­ных не­ра­венств изоб­ра­же­но на ри­сун­ке?

В ответе укажите номер правильного варианта.

 

1) 2)

3) 4)

5.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний.

В ответе укажите номер правильного варианта.

 

6. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний си­сте­мы не­ра­венств

 

7. На каком рисунке изображено множество решений неравенства ?

Задание №15. Неравенства. Системы неравенств.

Вариант 4.

1. Укажите решение неравенства

1) 2)

3) 4)

2. Решите неравенство

1) 2)

3) 4) нет решений

3. Укажите решение системы неравенств

4. Ре­ши­те не­ра­вен­ство и опре­де­ли­те, на каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство его ре­ше­ний.

В ответе укажите номер правильного варианта.

 

5. Укажите неравенство, ре­ше­ни­ем ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся любое число.

 

1) x² + 70 0 2)

x² − 70 0

3) x² + 70 x² − 70

6. На каком ри­сун­ке изоб­ра­же­но мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства  

В от­ве­те укажите номер пра­виль­но­го варианта.

 

7. Укажите решение системы неравенств:

 

 

 

Укажите решение системы неравенств ответ – 4apple – взгляд на Apple глазами Гика

Решите си­сте­му неравенств

На каком ри­сун­ке изображено мно­же­ство её решений?

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решением системы является отрезок, изображённый под номером 2. 2)

Перед нами обычное линейное неравенство – выразим (x). Для этого перенесем (10) в правую часть.

Поделим неравенство на (-2). Так как число отрицательное меняем знак неравенства.

Отметим решение на числовой прямой.

Запишем ответ к первому неравенству.

На данном этапе главное не забыть, что есть второе неравенство.

Опять линейное неравенство – опять выражаем (x).

Приводим подобные слагаемые.

Делим все неравенство на (-4), перевернув при этом знак.

Изобразим решение на числовой оси и выпишем ответ для этого неравенства.

А теперь объединим решения.

Решение:

В первом неравенстве раскроем скобку, во втором – разложим квадратный трехчлен на множители , а в третьем – перенесем 14 в правую

В первом перенесем все слагаемые в левую часть. И приведем подобные слагаемые .

Теперь в нем же перенесем (54) в левую сторону и поделим обе части на ((-27)), не забыв при этом перевернуть знак сравнения .

Отметим решения неравенств на числовых прямых.

Оцените статью: Поделитесь с друзьями!

(x∈[-3;∞))

Решения подходящие всем неравенствам системы находятся от (50) и дальше. Запишем ответ.

Наибольшее целое решение системы неравенств

Задание, которое часто встречается в алгебре,- найти наибольшее целое решение системы неравенств.

Чтобы найти наибольшее целое решение системы неравенств, надо решить её и выбрать из полученного множества решений наибольшее целое число (если такое есть).

Рассмотрим примеры.

Найти наибольшее целое решение системы неравенств:

   

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

   

Упрощаем и делим каждое неравенство на число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не меняется:

   

   

Отмечаем решение каждого из неравенств на числовой прямой. Решением системы является пересечение решений неравенств (то есть общая часть, где штриховка есть на каждой числовой прямой). Поскольку неравенства строгие, концы промежутков не включаем в решение.

Из целых решений системы выбираем наибольшее и записываем ответ.

Ответ: 3.

   

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

   

Делим обе части неравенства на число, стоящее перед иксом. При делении при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный, при делении на положительное число — не изменяется:

   

   

Решения неравенств отмечаем на числовых прямых и из полученного множества решений выбираем наибольшее.

Поскольку неравенства нестрогие, концы промежутка входят в решение. Значит, наибольшее целое решение системы равно 2.

Ответ: 2.

   

Обе части каждого из неравенств умножаем на наименьший общий знаменатель. В первом неравенстве он равен 12, во втором — 2. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

   

   

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

   

Обе части первого неравенства делим на положительное число, знак неравенства при этом не изменяется. При делении обеих частей на отрицательное число знак второго неравенства изменяется на противоположный:

   

   

Оба неравенства с одинаковым знаком. Применяя правило «меньше меньшего», приходим к неравенству x<4,8.

Наибольшее целое число, меньшее 4,8, равно 4.

Ответ:4.

Системы неравенств. Как решить систему неравенств?

Системой неравенств называют несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно.

Например:

\(\begin{cases}5x+2≥0\\x<2x+1\\x-4>2\end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x^2+1)(x^2+3)(x^2-1)≥0\\x<3\end{cases}\)

Решение системы неравенств

Чтобы

решить систему неравенств нужно найти значения иксов, которые подойдут всем неравенствам в системе – это и значит, что они выполняются одновременно.

Пример. Решим систему \(\begin{cases}x>4\\x\leq7\end{cases}\)
Решение: Первое неравенство становится верным, если икс больше \(4\). То есть, решения первого неравенства – все значения иксов из интервала \((4;\infty)\), или на числовой оси:

Второму неравенству подойдут значения иксов меньшие чем 7, включая саму семерку, то есть любой икс  из интервала \((-\infty;7]\) или на числовой оси:

А какие значения подойдут обоим неравенствам? Те, которые принадлежат обоим промежуткам, то есть где промежутки пересекаются.

Ответ: \((4;7]\)

Как вы могли заметить для пересечения решений неравенств в системе удобно использовать числовые оси.

Общий принцип решения систем неравенств: нужно найти решение каждого неравенства, а потом пересечь эти решения с помощью числовой прямой.

Пример: (Задание из ОГЭ)  Решить систему \(\begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)

Решение:

\(\begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)	Давайте каждое неравенство решим отдельно от другого.
1) \(7(3x+2)-3(7x+2)>2x\)	Раскроем скобки.
\(21x+14-21x-6>2x\)	Приведем подобные слагаемые.
\(8>2x\)	Перевернем получившееся неравенство.
\(2x<8\)	Поделим все неравенство на \(2\). 2\)
\(10-2x≥0\)	Перед нами обычное линейное неравенство – выразим \(x\). Для этого перенесем \(10\) в правую часть.
\(-2x≥-10\)	Поделим неравенство на \(-2\). Так как число отрицательное меняем знак неравенства.
\(x≤5\)	Отметим решение на числовой прямой.
	Запишем ответ к первому неравенству.
\(x∈(-∞;5]\)	На данном этапе главное не забыть, что есть второе неравенство.
2) \(2-7x≤14-3x\)	Опять линейное неравенство – опять выражаем \(x\).
\(-7x+3x≤14-2\)	Приводим подобные слагаемые.
\(-4x≤12\)	Делим все неравенство на \(-4\), перевернув при этом знак.
\(x≥-3\)	Изобразим решение на числовой оси и выпишем ответ для этого неравенства.
\(x∈[-3;∞)\)	А теперь объединим решения.
	Запишем ответ.

Ответ: \([-3;5]\)

Пример:  Решить систему \(\begin{cases}x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end{cases}\)

Решение:

\(\begin{cases}x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end{cases}\)	В первом неравенстве раскроем скобку,  во втором — разложим квадратный трехчлен на множители, а в третьем — перенесем 14 в правую
\(\begin{cases}x^2-55x+250<x^2-28x+196\\(x-5)(x-50)≥0\\x>14\end{cases}\)	В первом перенесем все слагаемые в левую часть. И приведем подобные слагаемые.
\(\begin{cases}-27x+54<0\\(x-5)(x-50)≥0\\x>14\end{cases}\)	Теперь в нем же перенесем \(54\) в левую сторону и поделим обе части на \((-27)\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения.
\(\begin{cases}x>2\\(x-5)(x-50)≥0\\x>14\end{cases}\)	Отметим решения неравенств на числовых прямых.
	Решения подходящие всем неравенствам системы находятся от \(50\) и дальше. Запишем ответ.

Ответ: \([50;+∞)\)

Смотрите также:

Системы линейных неравенств
Совокупности неравенств

Скачать статью

Неравенства с одной переменной и их системы [wiki.eduVdom.com]

subjects:mathematics:неравенства_с_одной_переменной_и_их_системы

Общий способ сравнения чисел

Число а больше числа b (а>b), если их разность (а — b) — положительное число; число а меньше числа b, если их разность (а — b) — отрицательное число.

Свойства числовых неравенств:

1. Если a>b, то b<а; если a<b, то b>a;

2. Если a<b и b<c, то a<b<c;

3. Если a<b и $c\in\mathbb{R}$, то a+c<b+c;

4. Если а<b и с>0, то ас<bс; если а<b и с<0, то ac>bc;

5. Если a<b и c<d, то a+c<b+d;

6. Если a<b и c<d и а, b, с, d — положительные числа, то ac<bd.

Решение неравенства с одной переменной — это значение переменной, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство с одной переменной означает найти все его решения или доказать, что решений нет.

Решение системы неравенств с одной переменной — это значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Решить систему означает найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Решения неравенств с одной переменной метод интервалов

Если неравенство имеет вид $f(x) = (x — x_1)(x — x_2) \cdot \dots \cdot (x — x_n)>0 (<0)$ , то в каждом из промежутков, на которые область определения разбивается точками $x_1 x_2, \ldots, x_n$, знак функции сохраняется, а при переходе через каждую из точек $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ее знак меняется.

---

Пример 1. Решите неравенства:
1.a) $\frac{4x-1}{2} — x > 3х + 2$
1.b) $\frac{4x-1}{2} — x \geq 3х + 2$..

Решение:

1.a	1.b
$\frac{4x-1}{2} — x > 3х + 2$.	$\frac{4x-1}{2} — x \geq 3х + 2$.
$$ \frac{4x-1}{2} — x > 3х + 2 \\ \frac{4x-1-2x}{2} > 3х + 2 \,\,\,\,|\cdot 2 \\ 2x-1 > 6x+4 \\ 2x-6x > 4+1 \\ -4x > 5 \,\,\,\,|:(-4) \\ -4 < 0 \\ 4x < -5 \,\,\,\,|:4 \\ x < -\frac{5}{4} \\ \text{или} \\ (-\infty;\;-\frac{5}{4}) $$	$$ \frac{4x-1}{2} — x \geq 3х + 2 \\ \frac{4x-1-2x}{2} \geq 3х + 2 \,\,\,\,|\cdot 2 \\ 2x-1 \geq 6x+4 \\ 2x-6x \geq 4+1 \\ -4x \geq 5 \,\,\,\,|:(-4) \\ -4 < 0 \\ 4x \leq -5 \,\,\,\,|:4 \\ x \leq- \frac{5}{4} \\ \text{или} \\ (-\infty;\;-\frac{5}{4}] $$

Ответы:
1.a) Ответ: $(-\infty;\;-\frac{5}{4})$
1.b) Ответ: $(-\infty;\;-\frac{5}{4}]$

---

Пример 2. Решите систему неравенств $$ \left\{\begin{matrix} (2x-3)-3(x-1)\geq 1 \\ 2(x+5)-x\leq 3 \end{matrix}\right. 2-4}\geq 0 \\ \\ \frac{x(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}\geq 0 $$ Находим, что смена знака происходит, при $x = 0, \pm 1, \pm 2$. При этом помним, что $x \neq \pm 2$, поскольку тогда знаменатель обратиться в ноль, а делить на ноль нельзя.

Ответ: $x\in(-2;\;-1]\cup [0;\;1]\cup (2;\;+\infty)$.

---

Пример 5. Под каким номером на каком рисунке верно указано решение системы неравенств? $$ \left\{\begin{matrix} 5x+13 \leq 0 \\ x+5 \geq 1 \end{matrix}\right. $$

Видео-решение:

subjects/mathematics/неравенства_с_одной_переменной_и_их_системы.txt · Последние изменения: 2013/09/14 19:46 — ¶

Определите решения для систем линейных неравенств

Результаты обучения

• Определить решения систем линейных неравенств

Изобразите систему двух неравенств

Помните из модуля построения графиков, что график одного линейного неравенства разбивает координатную плоскость на две области. По одну сторону лежат все решения неравенства. С другой стороны, решений нет. Рассмотрим график неравенства [латекс] y <2x + 5 [/ latex].

Пунктирная линия [латекс] y = 2x + 5 [/ латекс]. Каждая упорядоченная пара в заштрихованной области под линией является решением [latex] y <2x + 5 [/ latex], поскольку все точки под линией делают неравенство истинным. Если вы сомневаетесь в этом, попробуйте подставить координаты x и y точек A и B в неравенство; вы увидите, что они работают. Итак, заштрихованной областью показаны все решения этого неравенства.

Граничная линия делит координатную плоскость пополам.В этом случае он показан пунктирной линией, поскольку точки на линии не удовлетворяют неравенству. Если бы неравенство было [латекс] y \ leq2x + 5 [/ латекс], то граница была бы сплошной.

Теперь изобразите другое неравенство: [latex] y> −x [/ latex]. Вы можете проверить пару точек, чтобы определить, какую сторону границы нужно заштриховать. Контрольные точки M и N дают верные утверждения. Итак, заштриховываем область над линией. Линия пунктирна, поскольку точки на линии не соответствуют действительности.

Чтобы создать систему неравенств, вам нужно построить график двух или более неравенств вместе.Давайте использовать [latex] y <2x + 5 [/ latex] и [latex] y> −x [/ latex], поскольку мы уже изобразили каждый из них.

Фиолетовая область показывает, где перекрываются решения двух неравенств. Эта область — решение системы неравенств. Любая точка в этой фиолетовой области будет верна как для [latex] y> −x [/ latex], так и для [latex] y <2x + 5 [/ latex].

В следующих видео-примерах мы покажем, как построить график системы линейных неравенств и определить область решения.

В следующем разделе мы увидим, что точки могут быть решениями систем уравнений и неравенств.Проверим алгебраически, является ли точка решением линейного уравнения или неравенства.

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств

На приведенном выше графике вы можете видеть, что точки B и N являются решениями для системы, потому что их координаты делают оба неравенства истинными.

Напротив, точки M и A лежат за пределами области решения (фиолетовый). Хотя точка M является решением неравенства [latex] y> −x [/ latex], а точка A является решением неравенства [latex] y <2x + 5 [/ latex], ни одна из точек не является решением для система . В следующем примере показано, как проверить точку, чтобы увидеть, является ли она решением системы неравенств.

Пример

Является ли точка [латекс] (2, 1) [/ латекс] решением системы [латекс] x + y> 1 [/ латекс] и [латекс] 2x + y <8 [/ latex]?

Показать решение

Отметьте точку с каждым неравенством. Замените [латекс] 2 [/ латекс] на x и [латекс] 1 [/ латекс] вместо и . Является ли дело решением обоих неравенств?

[латекс] \ begin {массив} {r} x + y> 1 \\ 2 + 1> 1 \\ 3> 1 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

[latex] (2, 1) [/ latex] — решение для [latex] x + y> 1 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {r} 2x + y <8 \\ 2 \ left (2 \ right) +1 <8 \\ 4 + 1 <8 \\ 5 <8 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

[latex] (2, 1) [/ latex] — решение для [латекса] 2x + y <8. [/ Latex]

Поскольку [latex] (2, 1) [/ latex] является решением каждого неравенства, он также является решением системы.

Вот график системы в приведенном выше примере. Обратите внимание, что [latex] (2, 1) [/ latex] находится в фиолетовой области, которая является областью перекрытия для двух неравенств.

Пример

Является ли точка [латекс] (2, 1) [/ латекс] решением системы [латекс] x + y> 1 [/ латекс] и [латекс] 3x + y <4 [/ латекс]?

Показать решение

Отметьте точку с каждым неравенством.Замените [латекс] 2 [/ латекс] на x и [латекс] 1 [/ латекс] вместо и . Является ли дело решением обоих неравенств?

[латекс] \ begin {массив} {r} x + y> 1 \\ 2 + 1> 1 \\ 3> 1 \\\ text {TRUE} \ end {array} [/ latex]

[latex] (2, 1) [/ latex] — решение для [latex] x + y> 1 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {r} 3x + y <4 \\ 3 \ left (2 \ right) +1 <4 \\ 6 + 1 <4 \\ 7 <4 \\\ text {FALSE} \ end {array} [/ latex]

[латекс] (2, 1) [/ латекс] — это , а не решение для [латекса] 3x + y <4 [/ latex].

Поскольку [latex] (2, 1) [/ latex] — это , а не как решение одного из неравенств, это не решение системы.

Вот график системы выше. Обратите внимание, что [latex] (2, 1) [/ latex] не находится в фиолетовой области, которая является областью перекрытия; это решение одного неравенства (красная область), но не решение второго неравенства (синяя область).

В следующем видео мы показываем еще один пример определения, находится ли точка в решении системы линейных неравенств.

Как показано выше, нахождение решений системы неравенств может быть выполнено путем графического отображения каждого неравенства и определения области, в которой они находятся. Ниже приведены дополнительные примеры, показывающие весь процесс определения области решений на графике для системы двух линейных неравенств. Общие шаги описаны ниже:

• Изобразите каждое неравенство в виде линии и определите, будет ли оно сплошным или пунктирным.
• Определите, на какой стороне каждой граничной линии представлены решения неравенства, проверив точку с каждой стороны.
• Закрасьте область, которая представляет решения для обоих неравенств.

Системы без решений

В следующем примере мы покажем решение системы двух неравенств, граничные линии которых параллельны друг другу. Когда графики системы двух линейных уравнений параллельны друг другу, мы обнаружили, что у системы нет решения. Мы получим аналогичный результат для следующей системы линейных неравенств.

Примеры

Постройте график системы [latex] \ begin {array} {c} y \ ge2x + 1 \\ y \ lt2x-3 \ end {array} [/ latex]

Показать решение

Границы этой системы параллельны друг другу.Обратите внимание, как у них одинаковые уклоны.

[латекс] \ begin {array} {c} y = 2x + 1 \\ y = 2x-3 \ end {array} [/ latex]

Построение граничных линий даст график ниже. Обратите внимание, что неравенство [latex] y \ lt2x-3 [/ latex] требует рисования пунктирной линии, а неравенство [latex] y \ ge2x + 1 [/ latex] требует сплошной линии.

Теперь нам нужно заштриховать области, представляющие неравенства. Для неравенства [латекс] y \ ge2x + 1 [/ latex] мы можем проверить точку по обе стороны от линии, чтобы увидеть, какую область закрасить.Протестируйте [латекс] \ left (0,0 \ right) [/ latex], чтобы облегчить задачу.

Заменить [латекс] \ left (0,0 \ right) [/ latex] на [latex] y \ ge2x + 1 [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {c} y \ ge2x + 1 \\ 0 \ ge2 \ left (0 \ right) +1 \\ 0 \ ge {1} \ end {array} [/ latex]

Это неправда, поэтому мы знаем, что нам нужно заштриховать другую сторону граничной линии для неравенства [latex] y \ ge2x + 1 [/ latex]. График теперь будет выглядеть так:

Теперь закрасьте область, которая показывает решения неравенства [latex] y \ lt2x-3 [/ latex].Опять же, мы можем выбрать [latex] \ left (0,0 \ right) [/ latex] для тестирования, потому что это упрощает алгебру.

Заменить [латекс] \ left (0,0 \ right) [/ latex] на [latex] y \ lt2x-3 [/ latex]

[латекс] \ begin {array} {c} y \ lt2x-3 \\ 0 \ lt2 \ left (0, \ right) x-3 \\ 0 \ lt {-3} \ end {array} [/ latex ]

Это неправда, поэтому мы знаем, что нам нужно заштриховать другую сторону граничной линии для неравенства [латекс] y \ lt2x-3 [/ latex]. График теперь будет выглядеть так:

Эта система неравенств не имеет общих точек, поэтому не имеет решения.

Сводка

• Решениями систем линейных неравенств являются целые области точек.
• Вы можете проверить, является ли точка решением системы линейных неравенств, точно так же, как вы проверяете, является ли точка решением системы уравнений.
• Системы неравенств не могут иметь решений, если граничные линии параллельны.

Графики неравенств с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

В предыдущих главах мы решали уравнения с одной неизвестной или переменной. Теперь мы изучим методы решения систем уравнений, состоящих из двух уравнений и двух переменных.

ОЧКОВ НА САМОЛЕТЕ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Представьте декартову систему координат и укажите начало координат и оси.
2. Для упорядоченной пары найдите эту точку в декартовой системе координат.
3. Для данной точки в декартовой системе координат укажите связанную с ней упорядоченную пару.

Мы уже использовали числовую прямую, на которой мы представили числа в виде точек на прямой.

Обратите внимание, что это понятие содержит элементы из двух областей математики, строки из геометрии и чисел из алгебры. Рене Декарт (1596-1650) разработал метод соотношения точек на плоскости с алгебраическими числами. Эта схема называется декартовой системой координат (от Декарта) и иногда упоминается как прямоугольная система координат.

Эта система состоит из двух числовых линий, перпендикулярных в своих нулевых точках.

Перпендикуляр означает, что две прямые расположены под прямым углом друг к другу.

Внимательно изучите диаграмму, отмечая каждый из следующих фактов.

Числовые линии называются осями . Горизонтальная линия — это ось x , а вертикальная — ось y . Нулевая точка, в которой они перпендикулярны, называется исходной точкой .

Оси множественного числа. Ось особенная.

Положительный — к справа и вверх ; отрицательный — к слева и вниз .

Стрелки указывают, что числовые линии продолжаются бесконечно. Таким образом, плоскость бесконечно простирается во всех направлениях.

Плоскость разделена на четыре части, называемые квадрантами . Они пронумерованы в направлении против часовой стрелки, начиная с верхнего правого угла.

Точки на плоскости обозначаются упорядоченными парами чисел, записанными в скобках с запятой между ними, например (5,7). Это называется упорядоченной парой, потому что важен порядок, в котором написаны числа. Заказанная пара (5,7) — это , а не , как заказанная пара (7,5). Точки расположены на плоскости следующим образом.

Сначала начните с начала координат и посчитайте слева или справа количество пробелов, обозначенных первым числом в упорядоченной паре.Во-вторых, от точки на оси x, заданной первым числом, отсчитайте вверх или вниз количество пробелов, обозначенных вторым числом упорядоченной пары. Упорядоченные пары всегда сначала пишутся с x, а затем y, (x, y). Числа, представленные x и y, называются координатами и точки (x, y).

Это важно. Первое число упорядоченной пары всегда относится к горизонтальному направлению, а второе число всегда относится к вертикальному направлению.

Пример 1 В следующей декартовой системе координат точки A (3,4), B (0,5), C (-2,7), D (-4,1), E (-3 , -4), F (4, -2), G (0, -5) и H (-6,0) обозначены. Проверьте каждый, чтобы определить, как они расположены.

Каковы координаты начала координат?

ГРАФИЧЕСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Найдите несколько упорядоченных пар, которые делают данное линейное уравнение истинным.
2. Найдите эти точки в декартовой системе координат.
3. Проведите прямую линию через те точки, которые представляют график этого уравнения.

График — это графическое изображение пронумерованных фактов. Есть много типов графиков, таких как гистограммы, круговые графики, линейные графики и так далее. Примеры таких графиков обычно можно найти в финансовом разделе газеты. Графики используются, потому что изображение обычно упрощает понимание числовых фактов.

В этом разделе мы обсудим метод построения графика уравнения с двумя переменными. Другими словами, мы нарисуем картину уравнения с двумя переменными.
Рассмотрим уравнение x + y — 7 и заметим, что мы легко можем найти множество решений. Например, если x = 5, то y — 2, поскольку 5 + 2 = 7. Кроме того, если x = 3, то y = 4, поскольку 3 + 4 = 7. Если мы представим эти ответы в виде упорядоченных пар (x, y) , то у нас есть (5,2) и (3,4) как две точки на плоскости, которые представляют ответы на уравнение x + y = 7.

Все возможные ответы на это уравнение, расположенные в виде точек на плоскости, дадут нам график (или картинку) уравнения.

Конечно, мы никогда не смогли бы найти все числа x и y, такие, что x + y = 7, поэтому мы должны довольствоваться наброском графика. Эскиз можно охарактеризовать как «кривую наилучшего соответствия». Другими словами, необходимо найти достаточно точек, чтобы получить достаточно точную картину уравнения.

Помните, существует бесконечно много упорядоченных пар, которые удовлетворяли бы уравнению.

Пример 1 Нарисуйте график 2x + y = 3.

Решение Мы хотим найти несколько пар чисел, которые сделают это уравнение истинным. Мы добьемся этого, выбрав число для x, а затем найдя соответствующее значение для y. Таблица значений используется для записи данных.

В верхней строке (x) мы разместим числа, которые мы выбрали для x. Затем в нижней строке (y) мы поместим соответствующее значение y, полученное из уравнения.

Конечно, мы могли бы начать с выбора значений для y, а затем найти соответствующие значения для x.

В этом примере мы позволим x принимать значения -3, -2, -1,0, 1,2,3.

Эти значения произвольны. Мы могли выбирать любые ценности.

Обратите внимание, что после того, как мы выбрали значение для x, значение для y определяется с помощью уравнения.

Эти значения x дают целые числа для значений y.Таким образом, это хороший выбор. Предположим, мы выбрали

Эти факты дают нам следующую таблицу значений:

Теперь мы находим упорядоченные пары (-3,9), (-2,7), (-1,5), (0,3), (1,1), (2, -1), (3, -3) на координатной плоскости и соедините их линией.

Теперь у нас есть график 2x + y = 3.

Линия показывает, что все точки на линии удовлетворяют уравнению, а также точки из таблицы.Стрелки указывают, что линия продолжается бесконечно.

Графики всех уравнений первой степени с двумя переменными будут прямыми линиями. Этот факт будет использован здесь, хотя в математике будет намного позже, прежде чем вы сможете доказать это утверждение. Такие уравнения первой степени называются линейными уравнениями .

Таким образом, любое уравнение вида ax + by — c, где a, b и c — действительные числа, является линейным уравнением.

Уравнения с двумя неизвестными более высокой степени дают графики, которые представляют собой кривые разных типов.Вы изучите их на будущих курсах алгебры.

Поскольку график уравнения первой степени с двумя переменными представляет собой прямую линию, необходимо иметь только две точки. Однако ваша работа будет более точной, если вы найдете хотя бы три точки. Ошибки можно найти и исправить, если найденные точки не лежат на одной линии. Таким образом, мы называем третью точку «контрольной точкой».

Это важно. Не пытайтесь сократить свою работу, найдя только два момента.Вы будете удивлены, как часто вы обнаружите ошибку, обнаружив все три точки.

Пример 2 Нарисуйте график 3x — 2y — 7.

Решение Сначала составьте таблицу значений и выберите три числа, которые будут заменять x. Попробуем 0, 1,2.

Опять же, вы также могли начать с произвольными значениями y.

Ответ не так легко найти на графике, как целое число.Похоже, что x = 0 был не очень удачным выбором. Иногда можно заглянуть вперед и сделать лучший выбор для x.

Поскольку и x, и y являются целыми числами, x = 1 было хорошим выбором.

Точку (1, -2) будет легче найти. Если x = 2, у нас будет другая дробь.

Точку (3,1) будет легко найти.

x = 3 был еще одним хорошим выбором.

Мы скорректируем таблицу значений и будем использовать точки, дававшие целые числа.Это не всегда возможно, но попытка получить целые значения даст более точный набросок. Теперь у нас есть таблица для 3x — 2y = 7.

Мы можем это сделать, поскольку выбор x был произвольным.

Расположение точек (1, -2), (3,1), (- 1, -5) дает график 3x — 2y = 7.

Сколько упорядоченных пар удовлетворяют этому уравнению?

НАКЛОН ЛИНИИ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Свяжите наклон линии с ее крутизной.
2. Запишите уравнение прямой в форме пересечения наклона.
3. Постройте прямую линию, используя ее наклон и точку пересечения по оси Y.

Теперь мы хотим обсудить важную концепцию, называемую наклоном линии. Интуитивно мы можем думать об уклоне как о крутизне линии по отношению к горизонтали.

Ниже приведены графики из нескольких линий. Внимательно изучите их и мысленно ответьте на следующие вопросы.

Какая линия круче?

Как выглядит связь между коэффициентом при x и крутизной Какой график будет круче: линии, когда уравнение имеет вид y = mx?

Какой график будет круче: y = 3x или y = 7x?

Теперь изучите следующие графики.

Какая линия круче?

Как отрицательное значение m влияет на график?

Какой график будет круче: y = 3x или y = 7x?

Для графика y = mx следовало сделать следующие наблюдения.

1. Если m> 0, то
   • по мере увеличения значения m крутизна линии увеличивается и
   • линия поднимается вправо и опускается влево.
2. Если м
3. по мере увеличения значения m крутизна линии уменьшается и
4. линия поднимается влево и опускается вправо

Помните, m> 0 означает, что «m больше нуля.«

Другими словами, в уравнении вида y — mx, m управляет крутизной линии. В математике мы используем слово« наклон »для обозначения крутизны и формируем следующее определение:

В уравнении вида y = mx, m — это наклон графика уравнения.

Пример 1 Нарисуйте график y = 6x и укажите наклон линии.

Решение Сначала мы составим таблицу, показывающую три набора упорядоченных пар, которые удовлетворяют уравнению.

Помните, нам нужны только две точки для определения линии, но мы используем третью точку в качестве проверки.

Затем мы рисуем график.

Значение m равно 6, следовательно, наклон равен 6. Мы можем просто написать m — 6.

Пример 2 Нарисуйте график и укажите наклон

Решение Выбирая значения x, которые делятся на 3, получаем таблицу

Зачем использовать значения, которые делятся на 3?

Тогда график

Склон

Теперь мы хотим сравнить графики двух уравнений, чтобы установить другую концепцию.

Пример 3 Нарисуйте графики y 3x и y — 3x + 2 на одном и том же наборе осей координат.

Сравните коэффициенты при x в этих двух уравнениях.

Раствор

В примере 3 посмотрите на таблицы значений и обратите внимание, что для данного значения x, значение y в уравнении y = 3x + 2 на два больше, чем соответствующее значение y в уравнении y = 3x.

Теперь посмотрите на графики двух уравнений и обратите внимание, что график y = 3x + 2, кажется, имеет тот же наклон, что и y = 3x.Также обратите внимание, что если весь график y = 3x перемещается вверх на две единицы, он будет идентичен графику y = 3x + 2. График y = 3x пересекает ось y в точке (0,0) , а график y = 3x + 2 пересекает ось y в точке (0,2).

Снова сравните коэффициенты при x в двух уравнениях.

Сравните эти таблицы и графики, как в примере 3.

Обратите внимание: когда две линии имеют одинаковый наклон, они параллельны.

Наклон от одной точки на линии к другой определяется отношением изменения y к изменению x. То есть

Если вы хотите произвести впечатление на своих друзей, вы можете написать , где греческая буква (дельта) означает «изменение».

Обратите внимание, что изменение x равно 3, а изменение y равно 2.

Изменение x равно -4, изменение y равно 1.

Можно также сказать, что изменение x равно 4, а изменение y равно -1.Это приведет к той же строке.

Пример 7 На графике y = 3x — 2 наклон равен 3.

Изменение x равно 1, а изменение y равно 3.

y = mx + b называется формой с пересечением наклона уравнения прямой линии. Если уравнение имеет такую ​​форму, m — это наклон линии, а (0, b) — точка, в которой график пересекает (пересекает) ось y.

Точка (0, b) называется точкой пересечения по оси y.

Если уравнение прямой имеет форму пересечения наклона, можно нарисовать его график, не составляя таблицу значений. Используйте точку пересечения оси Y и наклон, чтобы нарисовать график, как показано в примере 8.

Обратите внимание, что это уравнение имеет вид y = mx + b.

Сначала найдите точку (0, -2). Это одна из точек на линии. Наклон показывает, что изменение x равно 4, поэтому из точки (0, -2) мы перемещаем четыре единицы в положительном направлении параллельно оси x.Поскольку изменение y равно 3, мы перемещаем три единицы в положительном направлении параллельно оси y. Получившаяся точка тоже находится на линии. Поскольку две точки определяют прямую линию, мы рисуем график.

Всегда начинайте с точки пересечения оси Y. Распространенная ошибка, которую допускают многие студенты, — это путать точку пересечения оси y с точкой пересечения оси x (точка, в которой линия пересекает ось x).

Пример 9 Задайте наклон и точку пересечения по оси Y и нарисуйте график y = 3x + 4.

Решение m = -3, пересечение оси y = (0,4).

Чтобы выразить наклон в виде отношения, мы можем написать -3 как или. Если мы запишем наклон как, то из точки (0,4) мы перемещаем одну единицу в положительном направлении параллельно оси x, а затем перемещаем три единицы в отрицательном направлении параллельно оси y. Затем мы проводим линию через эту точку и (0,4).

Предположим, уравнение не имеет формы y = mx + b. Сможем ли мы найти наклон и точку пересечения по оси Y? Ответ на этот вопрос — да.Однако для этого мы должны изменить форму данного уравнения, применив методы, использованные в разделе 4-2.

Раздел 4-2 посвящен решению буквальных уравнений. Вы можете просмотреть этот раздел.

Пример 10 Найдите наклон и точку пересечения оси Y для 3x + 4y = 12.

Решение Во-первых, мы понимаем, что уравнение не находится в форме пересечения наклона, необходимой для ответа на заданные вопросы. Чтобы получить эту форму, решите данное уравнение относительно y.

Нарисуйте здесь диаграмму.

Пример 11 Найдите наклон и точку пересечения по оси Y для 2x — y = 7.

Решение Помещая уравнение в форму пересечения наклона, получаем

Нарисуйте график линии на сетке ниже.

ГРАФИК ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете построить график линейных неравенств.

В главе 4 мы построили линейные графики неравенств, например

Это были неравенства с участием только одной переменной. Мы обнаружили, что во всех таких случаях график представлял собой часть числовой прямой. Поскольку уравнение с двумя переменными дает график на плоскости, кажется разумным предположить, что неравенство с двумя переменными будет отображаться как некоторая часть или область плоскости. На самом деле это так. Решение неравенства x + y

Пример 1 Каждая из следующих пар чисел в наборе решений x + y

Решение

Набор решений состоит из всех упорядоченных пар, которые делают утверждение истинным.

Подводя итог, следующие упорядоченные пары дают верное утверждение. (2,1), (3, -4), (0,0), (- 1,4)

Следующие упорядоченные пары дают ложное утверждение. (5,6), (3,2), (- 2,8)

Ниже приведен график прямой x + y = 5. Точки из примера 1 указаны на графике с ответами на вопрос «Является ли x + y

Обратите внимание, что все точки, удовлетворяющие уравнению, находятся слева и ниже линии, а все точки, которые не соответствуют, находятся сверху и справа.

Обратите внимание, что все ответы «да» лежат на одной стороне линии x + y = 5, а все ответы «нет» лежат на другой стороне линии или на самой строке.

График прямой x + y = 5 делит плоскость на три части: саму линию и две стороны линий (называемые полуплоскостями).

х + у х + у

Если одна точка полуплоскости находится в наборе решений линейного неравенства, то все точки в этой полуплоскости входят в набор решений.Это дает нам удобный метод построения графиков линейных неравенств.

Построение графика линейного неравенства
1. Замените символ неравенства знаком равенства и нанесите на график полученную линию.
2. Отметьте одну точку, которая, очевидно, находится в определенной полуплоскости этой прямой, чтобы увидеть, входит ли она в набор решений неравенства.
3. Если выбранная точка находится в наборе решений, то вся эта полуплоскость является набором решений. Если выбранная точка не входит в набор решений, тогда другая полуплоскость является набором решений.

Почему нужно проверять только одну точку?

Пример 2 Нарисуйте график 2x 4- 3y> 7.

Решение Шаг 1. Сначала нарисуйте график линии 2x + 3y = 7, используя таблицу значений или форму пересечения наклона.

Шаг 2: Затем выберите точку, которая не находится на прямой 2x + 3y = 7. [Если линия не проходит через начало координат, то точка (0,0) всегда является хорошим выбором.] Теперь обратимся к неравенство 2x + 3y>> 7, чтобы увидеть, находится ли выбранная точка в наборе решений.

Шаг 3: Точка (0,0) не входит в набор решений, поэтому полуплоскость, содержащая (0,0), не является набором решений. Следовательно, другая полуплоскость, определяемая линией 2x + 3y = 7, является множеством решений.
Поскольку сама линия не является частью решения, она показана пунктирной линией, а полуплоскость заштрихована, чтобы показать набор решений.

Набор решений — это полуплоскость сверху и справа от прямой.

Пример 3 Изобразите график решения линейного неравенства 2x — y ≥ 4.

Решение Шаг 1. Первый график 2x — y = 4. Поскольку линейный график для 2x — y = 4 не проходит через начало координат (0,0), проверьте эту точку в линейном неравенстве.

Шаг 2:

Шаг 3: Поскольку точка (0,0) не входит в набор решений, полуплоскость, содержащая (0,0), отсутствует в наборе. Следовательно, решение — другая полуплоскость. Обратите внимание, однако, что строка 2x — y = 4 включена в набор решений. Поэтому нарисуйте сплошную линию, чтобы показать, что это часть графика.

Набор решений — это прямая и полуплоскость ниже и правее линии.

Пример 4 График x

Решение Первый график x = y. Затем проверьте точку не на линии. Обратите внимание, что график линии содержит точку (0,0), поэтому мы не можем использовать ее в качестве контрольной точки. Чтобы определить, какая полуплоскость является набором решений, используйте любую точку, которая явно не находится на прямой x = y. Точка (- 2,3) является такой точкой.

Используя эту информацию, график x

Когда график линии проходит через начало координат, любая другая точка на оси x или y также будет хорошим выбором.

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Нарисуйте графики двух линейных уравнений в одной и той же системе координат.
2. Найдите общее решение двух графиков.

Пример 1 Пара уравнений называется системой линейных уравнений.

Мы заметили, что каждое из этих уравнений имеет бесконечно много решений, и каждое из них будет образовывать прямую линию, когда мы построим его в декартовой системе координат.

Теперь мы хотим найти решения для системы. Другими словами, нам нужны все точки (x, y), которые будут на графике обоих уравнений.

Решение Мы рассуждаем следующим образом: если все решения 2x — y = 2 лежат на одной прямой, а все решения x + 2y = 11 лежат на другой прямой, то решение обоих уравнений будет их точками пересечение (если две прямые пересекаются).

В этой таблице мы позволяем x принимать значения 0, 1 и 2. Затем мы находим значения для y, используя уравнение. Сделайте это перед тем, как продолжить. В этой таблице мы позволяем y принимать значения 2, 3 и 6. Затем мы находим x, используя уравнение. Также проверьте эти значения.

Две прямые пересекаются в точке (3,4).

Обратите внимание, что точка пересечения выглядит как (3,4). Теперь мы должны проверить точку (3,4) в обоих уравнениях, чтобы убедиться, что это решение системы.

В качестве проверки мы подставляем упорядоченную пару (3,4) в каждое уравнение, чтобы увидеть, получим ли мы истинное утверждение. Существуют ли другие точки, которые удовлетворяли бы обоим уравнениям? Почему?

Следовательно, (3,4) является решением системы.

Не все пары уравнений дадут однозначное решение, как в этом примере. На самом деле существует три возможности, и вы должны знать о них.

Поскольку мы имеем дело с уравнениями, которые представляют собой прямые линии, мы можем исследовать эти возможности, наблюдая за графиками.

1. Независимые уравнения Две прямые пересекаются в одной точке. В этом случае есть единственное решение.

Приведенный выше пример представляет собой систему независимых уравнений.

2. Несогласованные уравнения Две линии параллельны. В этом случае решения нет.

Как бы далеко ни были протянуты эти линии, они никогда не пересекутся.

3. Зависимые уравнения Два уравнения дают одну и ту же линию. В этом случае любое решение одного уравнения является решением другого.

В этом случае общих решений будет бесконечно много.

На более поздних курсах алгебры будут изучены методы распознавания несовместных и зависимых уравнений. Однако на этом уровне мы будем иметь дело только с независимыми уравнениями. Тогда вы можете ожидать, что для всех проблем, приведенных в этой главе, будут найдены уникальные решения.

Это означает, что графики всех систем в этой главе будут пересекаться в одной точке.

Чтобы решить систему двух линейных уравнений с помощью построения графиков
1. Составьте таблицу значений и нарисуйте график каждого уравнения в той же системе координат.
2. Найдите значения (x, y), которые называют точку пересечения линий.
3. Отметьте эту точку (x, y) в обоих уравнениях.

Опять же, в этой таблице мы произвольно выбрали значения x равными — 2, 0 и 5. Здесь мы выбрали для x значения 2, 4 и 6. Вы можете выбрать любые значения, которые хотите. Мы говорим «кажущийся», потому что мы еще не проверили упорядоченную пару в обоих уравнениях. Как только он проверит, это определенно решение.

Поскольку (3,2) проверяет оба уравнения, это решение системы.

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Постройте два или более линейных неравенства на одном и том же наборе осей координат.
2. Определите область плоскости, которая является решением системы.

Более поздние занятия по математике будут включать тему линейного программирования. Несмотря на то, что сама тема выходит за рамки этого текста, одна техника, используемая в линейном программировании, вполне доступна вам — построение графиков систем линейных неравенств — и мы обсудим это здесь.

В предыдущем разделе вы обнаружили, что решение системы линейных уравнений — это пересечение решений каждого из уравнений.Таким же образом решение системы линейных неравенств представляет собой пересечение полуплоскостей (и, возможно, прямых), которые являются решениями каждого отдельного линейного неравенства.

Другими словами, x + y> 5 имеет набор решений и 2x — y

В качестве решения

задана область плоскости, которая входит в набор решений обоих неравенств.

Для построения графика решения этой системы мы наносим на график каждое линейное неравенство на одном и том же наборе координатных осей и указываем пересечение двух наборов решений.

Обратите внимание, что решением системы линейных неравенств будет набор точек.

Опять же, используйте либо таблицу значений, либо форму уравнения с пересечением наклона для построения графика линий.

Проверка точки (0,0) в неравенстве x + y> 5 показывает, что точка (0,0) не входит в набор ее решений. Мы указываем набор решений x + y> 5 экраном справа от пунктирной линии.

Эта область находится справа и выше линии x + y = 5.

Проверка точки (0,0) в неравенстве 2x — y

Эта область находится слева и выше линии 2x — y = 4.

Пересечение двух наборов решений — это та область плоскости, в которой пересекаются два экрана. Этот регион показан на графике.

Заметим еще раз, что решение не включает строки.Если, например, нас попросили изобразить решение системы , что указывает на то, что решение включает точки на линии x + y = 5.

Результаты показывают, что все точки в заштрихованной части графика будут в наборах решений x + y> 5 и 2x — y.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЗАМЕНА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы должны уметь решать систему двух линейных уравнений методом подстановки.

В разделе 6-5 мы решили систему двух уравнений с двумя неизвестными с помощью построения графиков. Графический метод очень полезен, но он был бы непрактичным, если бы решения были дробными. Фактическую точку пересечения может быть очень сложно определить.
Существуют алгебраические методы решения систем. В этом разделе мы обсудим метод подстановки.

Пример 1 Решить методом подстановки:

Решение
Шаг 1 Мы должны решить одну неизвестную в одном уравнении.Мы можем выбрать x или y либо в первом, либо во втором уравнении. Наш выбор может быть основан на получении простейшего выражения. В этом случае мы решим относительно x во втором уравнении, получив x = 4 + 2y, потому что любой другой выбор привел бы к дроби.

Посмотрите на оба уравнения и посмотрите, есть ли в одном из них переменная с коэффициентом, равным единице.

Шаг 2 Подставьте значение x в другое уравнение.В этом случае уравнение
2x + 3y = 1.
Подставляя (4 + 2y) вместо x, мы получаем 2 (4 + 2y) + 3y = 1, уравнение только с одной неизвестной.

Причина в том, что если x = 4 + 2y в одном из уравнений, то x должен быть равен 4 + 2y в другом уравнении.

Шаг 3 Решите неизвестное.

Помните, сначала удалите скобки.

Шаг 4 Подставьте y = — 1 в любое уравнение, чтобы найти соответствующее значение для x.Поскольку мы уже решили второе уравнение относительно x через y, мы можем его использовать.

Мы можем подставить y = — 1 в любое уравнение, поскольку y имеет одинаковое значение в обоих.

Таким образом, у нас есть решение (2, -1).

Помните, что x записывается первым в упорядоченной паре.

Шаг 5 Проверьте решение в обоих уравнениях. Помните, что решение системы должно быть верным для каждого уравнения в системе.С

решение (2, -1) действительно проверяет.

Это проверяет: 2x + 3y = 1 и x — 2y = 4.

Отметьте эту упорядоченную пару в обоих уравнениях. Ни в одном из этих уравнений не было переменной с коэффициентом, равным единице. В этом случае решение заменой — не лучший метод, но мы сделаем это так, просто чтобы показать, что это возможно. В следующем разделе будет предложен более простой метод.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ДОПОЛНЕНИЕМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы должны уметь решать систему двух линейных уравнений методом сложения.

Метод сложения для решения системы линейных уравнений основан на двух фактах, которые мы использовали ранее.

Во-первых, мы знаем, что решения уравнения не меняются, если каждый член этого уравнения умножается на ненулевое число. Во-вторых, мы знаем, что если мы добавим одинаковые или равные количества к обеим сторонам уравнения, результаты все равно будут одинаковыми.

Пример 1 Решить сложением:

Обратите внимание, что мы можем решить эту систему методом подстановки, решив первое уравнение относительно y.Решите эту систему методом подстановки и сравните свое решение с решением, полученным в этом разделе.

Решение
Шаг 1 Наша цель — сложить два уравнения и исключить одно из неизвестных, чтобы мы могли решить полученное уравнение с одним неизвестным. Если мы сложим уравнения как есть, мы не удалим неизвестное. Это означает, что мы должны сначала умножить каждую сторону одного или обоих уравнений на число или числа, что приведет к исключению одного из неизвестных при сложении уравнений.
Внимательно изучив проблему, мы замечаем, что проще всего устранить неизвестное y. Это делается путем умножения каждой стороны первого уравнения на -2.

Обратите внимание, что каждый член необходимо умножить на (- 2).

Шаг 2 Добавьте уравнения.

Шаг 3 Решите полученное уравнение.

В этом случае мы просто умножаем каждую сторону на (-1).

Шаг 4 Найдите значение другого неизвестного, подставив это значение в одно из исходных уравнений.Используя первое уравнение,

Подставьте x = 4 во второе уравнение и посмотрите, получите ли вы такое же значение для y.

Шаг 5 Если мы проверим упорядоченную пару (4, -3) в обоих уравнениях, мы увидим, что это решение системы.

Пример 2 Решить сложением:

Обратите внимание, что в этой системе ни одна переменная не имеет коэффициента, равного единице. Поэтому лучший метод решения — метод сложения.

Решение
Шаг 1 Необходимо изменить оба уравнения, чтобы исключить одно из неизвестных. Ни одно из неизвестных не будет проще другого, поэтому удалите либо x, либо y.
Чтобы исключить x, умножьте каждую сторону первого уравнения на 3 и каждую сторону второго уравнения на -2.

Если вы решили исключить y, умножьте первое уравнение на — 2, а второе уравнение на 3. Сделайте это и решите систему.Сравните ваше решение с полученным в примере.

Шаг 2 Сложив уравнения, мы получаем

Шаг 3 Решение для урожайности

Шаг 4 Использование первого уравнения в исходной системе для нахождения значения другой неизвестной дает

Шаг 5 Убедитесь, что упорядоченная пара (- 1,3) является решением системы.

Чек остается на ваше усмотрение.

СТАНДАРТНАЯ ФОРМА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Напишите линейное уравнение в стандартной форме.
2. Решите систему двух линейных уравнений, если они заданы в нестандартной форме.

Уравнения в предыдущих разделах не содержали дробей, как неизвестные слева от уравнения, так и неизвестные в том же порядке.
Такие уравнения имеют стандартную форму. То есть они имеют вид ax + by = c, где a, b и c — целые числа. Перед решением методом сложения уравнения необходимо привести к стандартному виду.

Пример 1 Изменить 3x = 5 + 4y на стандартную форму.

Решение 3x = 5 + 4y не в стандартной форме, потому что одно неизвестное находится справа. Если мы добавим -4y к обеим сторонам, мы получим 3x — 4y = 5, что в стандартной форме.

Будьте осторожны. Многие студенты забывают умножить правую часть уравнения на 24.

Снова убедитесь, что каждый член умножен на 12.

Теперь прибавьте — 24x к обеим сторонам, получив — 24x + 9y = -10, что в стандартной форме.Обычно уравнения пишутся так, что первый член положительный. Таким образом, мы умножаем каждый член этого уравнения на (- 1).

Вместо того, чтобы говорить «первый член положительный», мы иногда говорим «ведущий коэффициент положительный».

ПРОБЛЕМЫ СО СЛОВОМ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите, когда проблема со словом может быть решена с использованием двух неизвестных.
2. Составьте уравнения и решите словесную задачу.

Многие проблемы со словами можно обрисовать в общих чертах, и с ними будет проще работать, используя два неизвестных.

Пример 1 Сумма двух чисел равна 5. Трижды первое число, умноженное на пять, второе число равно 9. Найдите числа.

Решение Пусть x = первое число
y = второе число
Первое утверждение дает нам уравнение
x + y = 5.
Второе утверждение дает нам уравнение
3x + 5 y = 9.
Теперь у нас есть система

, которую мы можем решить любым из известных нам методов, давая
x = 8 и y = — 3.

Решите систему с помощью подстановки.

Пример 2 Два работника получают в общей сложности 136 долларов за 8-часовую работу. Если одному работнику платят на 1 доллар в час больше, чем другому, найдите почасовую ставку для каждого.

Решение Пусть x = почасовая ставка одного работника
y = почасовая ставка другого работника.

Обратите внимание, что очень важно сказать, что представляют x и y.

Первое утверждение дает нам уравнение
8x + 8y = 136.
Второе утверждение дает уравнение
х = у + 1.
Теперь у нас есть система (в стандартном виде)

Решение дает x = 9 и y = 8. Ставка одного рабочего составляет 9 долларов в час, а другого — 8 долларов в час.

Решите эту систему методом сложения.

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

• Декартова система координат — это метод наименования точек на плоскости.
• Упорядоченные пары чисел используются для обозначения точек на плоскости.
• Линейное уравнение представляет собой прямую линию.
• Угол наклона от одной точки на линии к другой является отношением.
• Угол наклона-пересечения уравнения прямой имеет вид y = mx + b.
• A линейное неравенство графики как часть плоскости.
• Система двух линейных уравнений состоит из линейных уравнений, для которых мы хотим найти совместное решение.
• Независимые уравнения имеют уникальные решения.
• Несогласованные уравнения не имеют решения.
• Зависимые уравнения имеют бесконечно много решений.
• Система двух линейных неравенств состоит из линейных неравенств, для которых мы хотим найти одновременное решение.
• Стандартная форма линейного уравнения — это ax + by = c, где a, b и c — действительные числа.

Процедуры

• Чтобы нарисовать график линейного уравнения, найдите упорядоченные пары чисел, которые являются решениями этого уравнения.Найдите эти точки в декартовой системе координат и соедините их линией.
• Чтобы нарисовать график линии, используя ее наклон:
  Шаг 1 Запишите уравнение прямой в форме y — mx + b.
  Шаг 2 Найдите точку пересечения j (0, b).
  Шаг 3 Начиная с (0, b), используйте наклон m, чтобы найти вторую точку.
  Шаг 4 Соедините две точки прямой линией.
• Чтобы построить график линейного неравенства:
  Шаг 1 Замените символ неравенства знаком равенства и нанесите на график полученную линию.
  Шаг 2 Проверьте одну точку, которая явно находится в определенной полуплоскости этой прямой, чтобы увидеть, входит ли она в набор решений неравенства.
  Шаг 3 Если выбранная точка находится в наборе решений, то вся эта полуплоскость является набором решений. Если выбранная точка не входит в набор решений, тогда другая полуплоскость является набором решений.
• Чтобы решить систему двух линейных уравнений с помощью построения графиков, тщательно изобразите уравнения в одной и той же системе координат.Их точка пересечения и будет решением системы.
• Чтобы решить систему двух линейных неравенств с помощью построения графиков, определите область плоскости, которая удовлетворяет обоим утверждениям неравенства.
• Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными путем подстановки, решите одну неизвестную одного уравнения через другое неизвестное и подставьте эту величину в другое уравнение. Затем подставьте полученное таким образом числовое значение в любое уравнение, чтобы найти значение другого неизвестного.Наконец, проверьте решение в обоих уравнениях.
• Чтобы решить систему двух уравнений с двумя неизвестными путем сложения, умножьте одно или оба уравнения на необходимые числа так, чтобы при сложении уравнений одно из неизвестных было удалено. Решите оставшиеся неизвестные и подставьте это значение в одно из уравнений, чтобы найти другое неизвестное. Проверьте оба уравнения.
• Чтобы решить словесную задачу с двумя неизвестными, найдите два уравнения, которые показывают взаимосвязь между неизвестными.Затем решите систему. Всегда проверяйте решение указанной проблемы.

Системы линейных неравенств

Пожалуйста, включите скрипты (или JavaScript) в вашем веб-браузере, и затем перезагрузите эту страницу.

Система неравенства — это список из двух или более неравенств, которые должны выполняться. Для Например, пара неравенств, показанная справа, представляет собой систему линейных неравенств. В этом урок вы узнаете о решениях систем линейных неравенства и как их найти с помощью графиков.

$$ \ {\, \ cl «плотно» {\ table x, +, 2y, <, -7; 2x, -, 3y,>, 0} $$

---

Мы хотим решить эту систему линейных неравенств:

$$ \ {\, \ cl «плотно» {\ table y≥-2x-2; y≥-2} $$

То есть мы хотим найти пары $ (x, y) $, которые являются решениями для и неравенства. Во-первых, нам нужно построить график линий $ y = -2x-2 $ и $ y = -2 $. Посмотрите на сетки слева. В левой сетке вы смотрите на график $ y = -2x-2 $.На справа вы смотрите на график $ y = -2 $.

Вот способ узнать, является ли точка $ (1,2) $ решением первое неравенство:

$ y≥-2x-2 $ для $ (1,2) $?
$ 2≥-2 (1) -2 $?
$ 2≥-2-2 $?
$ 2≥-4 $?
ДА

Проверьте каждую точку в таблице ниже в обоих неравенствах. Также укажите, какие точки решения системы двух неравенств (то есть, какие точки являются решением обеих первое неравенство и второе неравенство ).

Точка	Решение для $ y≥-2x-2 $?	Решение для $ y≥-2 $?	Решение для обоих?

Нажмите посмотреть графики неравенств. Являются ли синие точки, которые являются решениями $ y≥-2x-2 $ в заштрихованной области на левой сетке?

Синие точки — это решения $ y≥-2 $ в заштрихованной области справа?

Назовите синие точки на сетке, которые являются решениями для всего система (оба неравенства).

Нажмите, чтобы увидеть $ y≥-2x-2 $ и $ y≥-2 $ построены вместе. В темно-синий участок — это область, где решение устанавливает перекрытие. Светло-синий участок — это остальная часть набора решений. $ y≥-2 $, а розовое сечение — это остальная часть набора решений $ y≥-2x-2 $.

Найдите на графике только что перечисленные точки. Они в темноте синий, голубой или розовый раздел?

Какой цветной участок графика представляет множество решений всей системы неравенство?

Теперь решим систему линейных неравенств:

$$ \ {\, \ cl «плотно» {\ table y≥-4x-2; 3x + 4y≤18} $$

Красная линия — это график $ y = -4x-2 $ и синяя линия — график $ 3x + 4y = 18 $.

Для каждой точки в таблице ниже найдите точку на сетке и определить, является ли это решением каждого неравенства.

Точка	Решение для $ y≥-4x-2 $?	Решение для $ 3x + 4y≤18 $?	Решение для обоих?

Нажмите посмотреть график неравенств. Помните, что темно-синий область — график множества решений системы линейных неравенств.Назовите точка на сетке, лежащая в наборе решений.

Ваш ответ совпадает с ответом из таблицы?

Теперь ваша очередь решать систему линейных неравенств, показанную здесь:

$$ \ {\, \ cl «плотно» {\ table x, +, y, ≥, -2; 2x, -, 3y, ≤, 6} $$

Графики линий $ x + y = -2 $ и $ 2x-3y = 6 $ указаны на сетка ниже. Как видите, графики этих двух линий делят сетку на четыре секции, которые были обозначены A, B, C и D.

Выберите точку в каждом разделе сетки выше (A, B, C и D) и заполните таблицу ниже.

Раздел	Пункт	Решение для $ x + y≥-2 $?	Решение для $ 2x-3y≤6 $?	Решение для обоих?

Какие разделы (A, B, C или D) являются решениями для $ x + y≥-2 $?

Какие разделы являются решениями для $ 2x-3y≤6 $?

В каком разделе задано решение системы линейных неравенств?

Щелкните, чтобы построить график двух неравенств.Есть ли темно-синий участок сетки слева соответствует к только что найденному набору решений?

В верхней сетке слева показана система двух неравенств. Нижняя сетка показывает другой система, включающая неравенство $ y

3.2: Графики и решения систем линейных уравнений

Цели обучения

• Графики систем уравнений
  • Графики системы двух линейных уравнений
  • Графики системы двух линейных неравенств
• Оценить упорядоченные пары как решения систем
  • Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных уравнений
  • Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств
• Классифицируйте решения по системам
  • Определите, какой тип решения будет иметь система, на основе ее графика

То, как течет река, зависит от многих переменных, включая размер реки, количество воды в ней, какие предметы плавают в реке, идет ли дождь или нет, и так далее.Если вы хотите лучше всего описать его поток, вы должны принять во внимание эти другие переменные. В этом может помочь система линейных уравнений.

Система линейных уравнений состоит из двух или более линейных уравнений, состоящих из двух или более переменных, так что все уравнения в системе рассматриваются одновременно. Вы найдете системы уравнений во всех приложениях математики. Они являются полезным инструментом для обнаружения и описания взаимосвязи поведения или процессов.Например, редко можно найти схему транспортного потока, на которую влияет только погода. Несчастные случаи, время суток и крупные спортивные события — это лишь некоторые из других переменных, которые могут повлиять на движение транспорта в городе. В этом разделе мы исследуем некоторые основные принципы построения графиков и описания пересечения двух линий, составляющих систему уравнений.

Построить систему линейных уравнений

В этом разделе мы рассмотрим системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными.Сначала мы попрактикуемся в построении графиков двух уравнений на одном и том же наборе осей, а затем изучим различные соображения, которые необходимо учитывать при построении графиков двух линейных неравенств на одном и том же наборе осей. Для построения графиков системы линейных уравнений используются те же методы, что и для построения графиков отдельных линейных уравнений. Мы можем использовать таблицы значений, уклона и пересечения y или x и y -перехвата, чтобы построить обе линии на одном и том же наборе осей.

Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений с двумя переменными.

\ (\ begin {array} {r} 2x + y = -8 \\ x-y = -1 \ end {array} \)

Давайте изобразим их, используя форму пересечения наклона на одном и том же наборе осей. Помните, что форма пересечения наклона выглядит как \ (y \).

Сначала решите относительно y в \ (2x + y = -8 \)

\ (\ begin {array} {c} 2x + y = -8 \\ y = -2x — 8 \ end {array} \)

Во-вторых, решите относительно y в \ (x-y = -1 \)

\ (\ begin {array} {r} x-y = -1 \, \, \, \, \, \\ y = x + 1 \ end {array} \)

Теперь система записывается как

\ (\ begin {array} {c} y = -2x — 8 \\ y = x + 1 \ end {array} \)

Теперь вы можете построить оба уравнения, используя их наклоны и точки пересечения на одном и том же наборе осей, как показано на рисунке ниже.Обратите внимание на то, что графики имеют одну общую точку. Это их точка пересечения, точка, которая лежит на обеих линиях. В следующем разделе мы убедимся, что эта точка является решением системы.

В следующем примере вам будет предоставлена ​​система построения графика, состоящая из двух параллельных линий.

Пример

Постройте график системы \ (\ begin {array} {c} y = 2x + 1 \\ y = 2x-3 \ end {array} \), используя наклоны и точки пересечения линий по оси y.
[show-answer q = ”478796 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 478796 ″]

Во-первых, график \ (y = 2x + 1 \) с наклоном m = 2 и точкой пересечения по оси y (0,1)

Затем добавьте \ (y = 2x-3 \), используя наклон m = 2 и точку пересечения оси y (0, -3).

Обратите внимание на то, что это параллельные линии, и они не пересекаются.В следующем разделе мы обсудим, как не существует решений системы уравнений, представляющих собой параллельные прямые.

[/ hidden-answer]

В следующем примере вам будет предоставлена ​​система, уравнения которой выглядят по-разному, но после построения графика оказываются той же линией.

Пример

Изобразите систему \ (\ begin {array} {c} y = \ frac {1} {2} x + 2 \\ 2y-x = 4 \ end {array} \), используя точки пересечения по осям x и y.
[show-answer q = ”342515 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 342515 ″]

Сначала найдите точки пересечения по осям x и y \ (y = \ frac {1} {2} x + 2 \)

Пересечение x будет иметь значение 0 для y, поэтому подставьте y = 0 в уравнение и выделите переменную x.

\ (\ begin {array} {c} 0 = \ frac {1} {2} x + 2 \\\ подчеркивание {\, \, \, \, \, \, \, \, — 2 \, \ , \, \, \, \, — 2} \\ — 2 = \ frac {1} {2} x \\\ left (2 \ right) \ left (-2 \ right) = \ left (2 \ right ) \ frac {1} {2} x \\ — 4 = x \ end {array} \)

Х-точка пересечения \ (\ left (-4,0 \ right) \).

Пересечение оси Y легче найти, так как это уравнение имеет форму пересечения угла наклона. Y-точка пересечения равна (2,0).

Теперь мы можем построить \ (y = \ frac {1} {2} x + 2 \), используя точки пересечения

Теперь найдите точки пересечения \ (2y-x = 4 \)

Подставьте y = 0 в уравнение, чтобы найти точку пересечения с x.

\ (\ begin {array} {c} 2y-x = 4 \\ 2 \ left (0 \ right) -x = 4 \\ x = -4 \ end {array} \)

Х-точка пересечения \ (\ left (-4,0 \ right) \).

Теперь подставьте x = 0 в уравнение, чтобы найти точку пересечения оси y.

\ (\ begin {array} {c} 2y-x = 4 \\ 2y-0 = 4 \\ 2y = 4 \\ y = 2 \ end {array} \)

Y-точка пересечения \ (\ left (0,2 \ right) \).

ПОДОЖДИТЕ, это те же пересечения, что и \ (y = \ frac {1} {2} x + 2 \) и \ (2y-x = 4 \) на самом деле одно и то же уравнение, выраженное по-разному.Если бы вы записали их оба в форме пересечения наклона, вы бы увидели, что это одно и то же уравнение.

Если вы построите график, это одна и та же линия. В следующем разделе мы увидим, что системы с двумя одинаковыми уравнениями в них имеют бесконечное число решений.

[/ hidden-answer]

Элемент YouTube был исключен из этой версии текста. Вы можете просмотреть его онлайн здесь: pb.libretexts.org/ba/?p=78

Построение графика системы линейных уравнений состоит из выбора метода построения графиков, который вы хотите использовать, и построения графиков обоих уравнений на одном и том же наборе осей.Когда вы строите график системы линейных неравенств на одном и том же наборе осей, вам необходимо учесть еще несколько вещей.

Изобразите систему двух неравенств

Помните из модуля построения графиков, что график одного линейного неравенства разбивает координатную плоскость на две области. По одну сторону лежат все решения неравенства. С другой стороны, решений нет. Рассмотрим график неравенства \ (y <2x + 5 \).

Пунктирная линия — \ (y <2x + 5 \), так как все точки под линией делают неравенство истинным.Если вы сомневаетесь в этом, попробуйте подставить координаты x и y точек A и B в неравенство — вы увидите, что они работают. Итак, заштрихованной областью показаны все решения этого неравенства.

Граничная линия делит координатную плоскость пополам. В этом случае он показан пунктирной линией, поскольку точки на линии не удовлетворяют неравенству. Если бы неравенство было \ (y \ leq2x + 5 \), то граница была бы сплошной.

Изобразим график другого неравенства: \ (y> −x \).Вы можете проверить пару точек, чтобы определить, какую сторону границы нужно заштриховать. Контрольные точки M и N дают верные утверждения. Итак, заштриховываем область над линией. Линия пунктирна, поскольку точки на линии не соответствуют действительности.

Чтобы создать систему неравенств, вам нужно построить график двух или более неравенств вместе. Давайте использовать \ (y> −x \), поскольку мы уже нарисовали каждый из них.

Фиолетовая область показывает, где перекрываются решения двух неравенств.Эта область является решением системы неравенств . Любая точка в этой фиолетовой области будет верна как для \ (y <2x + 5 \).

В следующем примере вам дана система двух неравенств, граничные линии которых параллельны друг другу.

Примеры

Постройте график системы \ (\ begin {array} {c} y \ ge2x + 1 \\ y \ lt2x-3 \ end {array} \)
[Show-answer q = ”780322 ″] Показать решение [/ detect- ответ]
[скрытый-ответ a = ”780322 ″]

Границы для этой системы такие же, как и для системы уравнений из предыдущего примера:

\ (\ begin {array} {c} y = 2x + 1 \\ y = 2x-3 \ end {array} \)

Построение граничных линий будет аналогичным, за исключением того, что для выполнения неравенства \ (y \ ge2x + 1 \) потребуется сплошная линия.Графики будут выглядеть так:

Теперь нам нужно добавить регионы, представляющие неравенство. Для неравенства \ (\ left (0,0 \ right) \) упростить.

Заменить \ (y \ ge2x + 1 \)

\ (\ begin {array} {c} y \ ge2x + 1 \\ 0 \ ge2 \ left (0 \ right) +1 \\ 0 \ ge {1} \ end {array} \)

Это неправда, поэтому мы знаем, что нам нужно заштриховать другую сторону граничной линии для неравенства \ (y \ ge2x + 1 \). График теперь будет выглядеть так:

Теперь давайте закрасим область, которая показывает решения неравенства \ (\ left (0,0 \ right) \) для проверки, потому что это упрощает алгебру.

Заменитель \ (y \ lt2x-3 \)

\ (\ begin {array} {c} y \ lt2x-3 \\ 0 \ lt2 \ left (0, \ right) x-3 \\ 0 \ lt {-3} \ end {array} \)

Это неправда, поэтому мы знаем, что нам нужно заштриховать другую сторону граничной линии для неравенства \ (y \ lt2x-3 \). График теперь будет выглядеть так:

Эта система неравенства не имеет общих черт.

Как бы выглядел график, если бы система выглядела так?

\ (\ begin {array} {c} y \ ge2x + 1 \\ y \ gt2x-3 \ end {array} \).

Проверяем точку \ (y \ gt2x-3 \), и график будет выглядеть так:

2x-3 и y> = 2x + 1 ″ ширина = ”388 ″ высота =” 392 ″>

Пурпурная область — это область перекрытия обоих неравенств.

[/ hidden-answer]

Элемент YouTube был исключен из этой версии текста. Вы можете просмотреть его онлайн здесь: pb.libretexts.org/ba/?p=78

В следующем разделе мы увидим, что точки могут быть решениями систем уравнений и неравенств.Проверим алгебраически, является ли точка решением линейного уравнения или неравенства.

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных уравнений

Линии на графике выше определены как

\ (\ begin {array} {r} 2x + y = -8 \\ x-y = -1 \ end {array} \).

Они пересекаются в месте, которое выглядит как \ (\ left (-3, -2 \ right) \).

Используя алгебру, мы можем проверить, что эта общая точка на самом деле \ (\ left (-2.999, -1.999 \ right) \).Подставляя значения x и y упорядоченной пары в уравнение каждой линии, вы можете проверить, находится ли точка на обеих линиях. Если подстановка приводит к истинному утверждению, значит, вы нашли решение системы уравнений!

Поскольку решение системы должно быть решением всех уравнений в системе, вам нужно будет проверить точку в каждом уравнении. В следующем примере мы заменим -3 на x и -2 на y в каждом уравнении, чтобы проверить, действительно ли это решение.

Пример

Это \ (\ left (-3, -2 \ right) \) решение системы

\ (\ begin {array} {r} 2x + y = -8 \\ x-y = -1 \ end {array} \)

[show-answer q = ”7 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a =”7 ″] Сначала тест \ (2x + y = -8 \):

\ (\ begin {array} {r} 2 (-3) + (- 2) = -8 \\ — 8 = -8 \\\ text {TRUE} \ end {array} \)

Теперь проверьте \ (x-y = -1 \).

\ (\ begin {array} {r} (- 3) — (- 2) = -1 \\ — 1 = -1 \\\ text {TRUE} \ end {array} \)

\ (х-у = -1 \)

Так как \ (\ left (-3, -2 \ right) \) является решением системы.

Ответ

\ (\ left (-3, -2 \ right) \) — решение системы.

[/ hidden-answer]

Пример

— это (3, 9) решение системы

\ (\ begin {array} {r} y = 3x \\ 2x – y = 6 \ end {array} \)

[раскрыть-ответ q = ”1 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 1 ″] Поскольку решение системы должно быть решением всех уравнений в системе, проверьте точку в каждом уравнении.

Замените 3 на x и 9 на y в каждом уравнении.

\ (\ begin {array} {l} y = 3x \\ 9 = 3 \ left (3 \ right) \\\ text {TRUE} \ end {array} \)

(3, 9) является решением \ (y = 3x \).

\ (\ begin {array} {r} 2x – y = 6 \\ 2 \ left (3 \ right) –9 = 6 \\ 6–9 = 6 \\ — 3 = 6 \\\ text {FALSE} \ конец {массив} \)

(3, 9) — это , а не как решение \ (2x – y = 6 \).

Поскольку (3, 9) не является решением одного из уравнений системы, оно не может быть решением системы.

Ответ

(3, 9) не является решением системы.

[/ hidden-answer]

Подумай об этом

Является \ ((- 2,4) \) решением для системы

\ (\ begin {array} {r} y = 2x \\ 3x + 2y = 1 \ end {array} \)

Прежде чем производить какие-либо вычисления, посмотрите на заданную точку и первое уравнение в системе. Можете ли вы предсказать ответ на вопрос, не занимаясь алгеброй?
[show-answer q = ”598405 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 598405 ″]

Подставьте -2 вместо x и 4 вместо y в первое уравнение:

\ (\ begin {array} {l} y = 2x \\ 4 = 2 \ left (-2 \ right) \\ 4 = -4 \\\ text {FALSE} \ end {array} \)

Вы можете остановить тестирование, потому что точка, которая является решением системы, будет решением обоих уравнений в системе.

\ ((- 2,4) \) НЕ является решением для системы

\ (\ begin {array} {r} y = 2x \\ 3x + 2y = 1 \ end {array} \)

[/ hidden-answer]

Элемент YouTube был исключен из этой версии текста. Вы можете просмотреть его онлайн здесь: pb.libretexts.org/ba/?p=78

Помните, что для решения системы уравнений значения точки должны быть решением обоих уравнений. Как только вы найдете одно уравнение, для которого точка неверна, вы определили, что оно не является решением системы.

Мы можем использовать тот же метод, чтобы определить, является ли точка решением системы линейных неравенств.

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств

На приведенном выше графике вы можете видеть, что точки B и N являются решениями для системы, потому что их координаты делают оба неравенства истинными.

Напротив, точки M и A лежат за пределами области решения (фиолетовый). Хотя точка M является решением неравенства \ (y <2x + 5 \), ни одна из точек не является решением для системы .В следующем примере показано, как проверить точку, чтобы увидеть, является ли она решением системы неравенств.

Пример

Является ли точка (2, 1) решением системы \ (2x + y <8 \)?

[раскрыть-ответ q = ”84880 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 84880 ″] Отметить точку с каждым из неравенств. Замените 2 на x и 1 на y . Является ли дело решением обоих неравенств?

\ (\ begin {array} {r} x + y> 1 \\ 2 + 1> 1 \\ 3> 1 \\\ text {TRUE} \ end {array} \)

(2, 1) является решением для \ (x + y> 1 \).

\ (\ begin {array} {r} 2x + y <8 \\ 2 \ left (2 \ right) +1 <8 \\ 4 + 1 <8 \\ 5 <8 \\\ text {TRUE} \ конец {массив} \)

(2, 1) является решением для \ (2x + y <8. \)

Поскольку (2, 1) является решением каждого неравенства, оно также является решением системы.

Ответ

Точка (2, 1) является решением системы \ (2x + y <8 \).

[/ hidden-answer]

Вот график системы в приведенном выше примере. Обратите внимание, что (2, 1) находится в фиолетовой области, которая является областью перекрытия для двух неравенств.

Пример

Является ли точка (2, 1) решением системы \ (3x + y <4 \)?

[show-answer q = ”833522 ″] Показать решение [/ show-answer]
[hidden-answer a =” 833522 ″]

Отметьте точку с каждым неравенством. Замените 2 на x и 1 на y . Является ли дело решением обоих неравенств?

\ (\ begin {array} {r} x + y> 1 \\ 2 + 1> 1 \\ 3> 1 \\\ text {TRUE} \ end {array} \)

(2, 1) является решением для \ (x + y> 1 \).

\ (\ begin {array} {r} 3x + y <4 \\ 3 \ left (2 \ right) +1 <4 \\ 6 + 1 <4 \\ 7 <4 \\\ text {FALSE} \ конец {массив} \)

(2, 1) — это , а не как решение для \ (3x + y <4 \).

Поскольку (2, 1) — это , а не как решение одного из неравенств, это не решение системы.

Ответ

Точка (2, 1) не является решением системы \ (3x + y <4 \).

[/ hidden-answer]

Вот график этой системы.Обратите внимание, что (2, 1) не находится в фиолетовой области, которая является перекрывающейся областью; это решение одного неравенства (красная область), но не решение второго неравенства (синяя область).

Как показано выше, нахождение решений системы неравенств может быть выполнено путем графического отображения каждого неравенства и определения области, в которой они находятся. Ниже приведены дополнительные примеры, показывающие весь процесс определения области решений на графике для системы двух линейных неравенств.Общие шаги описаны ниже:

• Изобразите каждое неравенство в виде линии и определите, будет ли оно сплошным или пунктирным.
• Определите, с какой стороны каждой граничной линии представлены решения неравенства, проверив точку на каждой стороне
• Закрасьте область, которая представляет решения для обоих неравенств

Пример

Закрасьте область графика, которая представляет решения для обоих неравенств. \ (у – х \ geq5 \).

[показать-ответ q = ”873537 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 873537 ″] Изобразите одно неравенство. Сначала нарисуйте граничную линию, используя таблицу значений, пересечений или любой другой метод, который вы предпочитаете. Граничная линия для \ (x + y = 1 \) или \ (y = −x + 1 \). Поскольку знак равенства стоит вместе со знаком «больше», граница будет сплошной.

Найдите упорядоченную пару по обе стороны от ограничивающей линии. Вставьте значения x и y в неравенство \ (x + y \ geq1 \) и посмотрите, какая упорядоченная пара приводит к истинному утверждению.

\ (\ begin {array} {r} \ text {Test} 1: \ left (−3,0 \ right) \\ x + y \ geq1 \\ — 3 + 0 \ geq1 \\ — 3 \ geq1 \ \\ text {FALSE} \\\\\ text {Test} 2: \ left (4,1 \ right) \\ x + y \ geq1 \\ 4 + 1 \ geq1 \\ 5 \ geq1 \\\ text { ИСТИНА} \ end {array} \)

Поскольку (4, 1) приводит к истинному утверждению, область, которая включает (4, 1), должна быть заштрихована.

Проделайте то же самое со вторым неравенством. Постройте граничную линию, затем проверьте точки, чтобы определить, какая область является решением неравенства. В этом случае граничная линия равна \ (y – x \ geq5 \), а контрольная точка (0, 6) является решением.

Ответ

Фиолетовая область на этом графике показывает набор всех решений системы.

[/ hidden-answer]

Элемент YouTube был исключен из этой версии текста. Вы можете просмотреть его онлайн здесь: pb.libretexts.org/ba/?p=78

В этом разделе мы увидели, что решения систем линейных уравнений и неравенств могут быть упорядоченными парами. В следующем разделе мы будем работать с системами, у которых нет решений или есть бесконечно много решений.

Используйте график для классификации решений для систем

Напомним, что линейное уравнение отображается в виде линии, что означает, что все точки на линии являются решениями этого линейного уравнения. Есть бесконечное количество решений. Как мы видели в предыдущем разделе, если у вас есть система линейных уравнений, пересекающихся в одной точке, эта точка является решением системы. Что произойдет, если линии никогда не пересекаются, как в случае с параллельными линиями? Как бы вы описали решения для такой системы? В этом разделе мы исследуем три возможных результата решения системы линейных уравнений.

Три возможных исхода решений систем уравнений

Напомним, что решение системы уравнений — это значение или значения, которые являются истинными для всех уравнений в системе. Есть три возможных исхода решений систем линейных уравнений. Графики уравнений внутри системы могут сказать вам, сколько решений существует для этой системы. Посмотрите на изображения ниже. На каждой показаны две линии, составляющие систему уравнений.

Одно решение	Нет решений	Бесконечные решения
Если графики уравнений пересекаются, то для обоих уравнений существует одно решение.	Если графики уравнений не пересекаются (например, если они параллельны), то для обоих уравнений нет истинных решений.	Если графики уравнений совпадают, то существует бесконечное количество решений, которые верны для обоих уравнений.

• Одно решение: Когда система уравнений пересекается в упорядоченной паре, система имеет одно решение.
• Бесконечные решения: Иногда два уравнения отображаются в виде одной линии, и в этом случае у нас есть бесконечное количество решений.
• Нет Решение: Когда линии, составляющие систему, параллельны, решений нет, потому что эти две линии не имеют общих точек.

Пример

Используя график \ (\ begin {array} {r} y = x \\ x + 2y = 6 \ end {array} \), показанный ниже, определите, сколько решений имеет система.

[показать-ответ q = ”896900 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 896900 ″] Линии пересекаются в одной точке. Таким образом, у этих двух линий есть только одна общая точка, есть только одно решение системы.

Ответ

Есть одно решение этой системы.

[/ hidden-answer]

Пример (расширенный)

Используя график \ (\ begin {array} {r} y = 3.5x + 0.25 \\ 14x – 4y = -4.5 \ end {array} \), показанный ниже, определите, сколько решений есть в системе.

[показать-ответ q = ”337033 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 337033 ″] Линии параллельны, то есть они не пересекаются. Решения по системе нет.

Ответ

Решения по системе нет.

[/ скрытый-ответ]

Пример

Сколько решений имеет система \ (\ begin {array} {r} y = 2x + 1 \\ — 4x + 2y = 2 \ end {array} \)?
[Показать-ответ q = ”94971 ″] Показать решение [/ Показать-ответ]
[Скрытый-ответ a =” 94971 ″]
Сначала изобразите оба уравнения на одних и тех же осях.

Два уравнения изображены на одной линии. Таким образом, каждая точка на этой линии является решением системы уравнений.

Ответ

Система \ (\ begin {array} {r} y = 2x + 1 \\ — 4x + 2y = 2 \ end {array} \) имеет бесконечное количество решений.

[/ hidden-answer]

Элемент YouTube был исключен из этой версии текста. Вы можете просмотреть его онлайн здесь: pb.libretexts.org/ba/?p=78

В следующем разделе мы изучим некоторые алгебраические методы нахождения решений систем уравнений. Напомним, что линейные уравнения с одной переменной могут иметь одно решение, без решения или много решений, и мы можем проверить это алгебраически.Мы будем использовать те же идеи для алгебраической классификации решений систем с двумя переменными.

CC лицензионный контент, оригинал

Лицензионный контент

CC, ранее использованный

• Раздел 14: Системы уравнений и неравенств, из развивающей математики: открытая программа. Предоставлено : Монтерейский технологический и образовательный институт. Расположен по адресу : nrocnetwork.org/resources/downloads/nroc-math-open-textbook-units-1-12-pdf-and-word-formats/. Лицензия : CC BY: Attribution

Графические системы линейных неравенств — Элементарная алгебра

Системы линейных уравнений

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств
• Решите систему линейных неравенств, построив график
• Решите приложения систем неравенств

Прежде чем вы начнете, пройдите тест на готовность.

1. График на числовой прямой.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
2. Решите неравенство.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
3. Определите, является ли заказанная пара решением для системы.
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок)

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств

Определение системы линейных неравенств очень похоже на определение системы линейных уравнений.

Система линейных неравенств

Два или более линейных неравенства, сгруппированных вместе, образуют систему линейных неравенств.

Система линейных неравенств выглядит как система линейных уравнений, но вместо уравнений в ней есть неравенства. Ниже представлена ​​система двух линейных неравенств.

Чтобы решить систему линейных неравенств, мы найдем значения переменных, которые являются решениями обоих неравенств. Мы решаем систему, используя графики каждого неравенства, и показываем решение в виде графика.Мы найдем на плоскости область, содержащую все упорядоченные пары, удовлетворяющие обоим неравенствам.

Решения системы линейных неравенств

Решениями системы линейных неравенств являются значения переменных, которые делают все неравенства истинными.

Решение системы линейных неравенств показано заштрихованной областью в системе координат x-y , которая включает все точки, чьи упорядоченные пары делают неравенства истинными.

Чтобы определить, является ли упорядоченная пара решением системы двух неравенств, мы подставляем значения переменных в каждое неравенство. Если упорядоченная пара выполняет оба неравенства, это решение системы.

Определите, является ли заказанная пара решением для системы.

ⓐ (-2, 4) ⓑ (3,1)

Решение

1. ⓐ Является ли упорядоченная пара (−2, 4) решением?
   

Упорядоченная пара (−2, 4) выполнила оба неравенства.Следовательно, (−2, 4) — решение этой системы.

1. ⓑ Является ли упорядоченная пара (3,1) решением?
   

Упорядоченная пара (3,1) сделала одно неравенство истинным, а другое — ложным. Следовательно, (3,1) не является решением этой системы.

Определите, является ли заказанная пара решением для системы.

ⓐⓑ

Определите, является ли заказанная пара решением для системы.

ⓐⓑ

Решите систему линейных неравенств с помощью построения графиков

Решением единственного линейного неравенства является область на одной стороне граничной линии, которая содержит все точки, которые делают неравенство истинным.Решением системы двух линейных неравенств является область, содержащая решения обоих неравенств. Чтобы найти эту область, мы построим график каждого неравенства отдельно, а затем определим область, в которой оба неравенства верны. Решение всегда отображается в виде графика.

Как решить систему линейных неравенств

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Решите систему линейных неравенств с помощью построения графиков.

1. Изобразите первое неравенство.
   • Постройте граничную линию.
   • Затенение сбоку от ограничивающей линии, где выполняется неравенство.
2. На той же сетке нанесите график второго неравенства.
   • Постройте граничную линию.
   • Заштрихуйте сторону той границы, где выполнено неравенство.
3. Решением является область перекрытия штриховки.
4. Проверьте, выбрав контрольную точку.

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Системы линейных неравенств с параллельными линиями границ могут не иметь решения. Мы увидим это на (Рисунок).

Решите систему, построив график.

Решение

Нет смысла в обеих заштрихованных областях, значит, у системы нет решения.У этой системы нет решения.

Решите систему, построив график.

нет решения

Решите систему, построив график.

нет решения

Решите систему, построив график.

Решение

Ни одна точка на граничных линиях не включена в решение, так как обе линии пунктирны.

Решение — это дважды заштрихованная область, которая также является решением.

Решите систему, построив график.

Решите систему, построив график.

Решение приложений систем неравенств

Первое, что нам нужно сделать для решения приложений систем неравенств, — это преобразовать каждое условие в неравенство. Затем мы строим график системы, как мы делали выше, чтобы увидеть область, содержащую решения. Многие ситуации будут реалистичными только в том случае, если обе переменные положительны, поэтому на их графиках будет отображаться только Квадрант I.

Кристи продает свои фотографии в киоске на уличной ярмарке. В начале дня она хочет, чтобы на ее стенде было не менее 25 фотографий. Каждая маленькая фотография, которую она показывает, стоит ей 4 фунта стерлингов, а каждая большая фотография — 10 фунтов стерлингов. Она не хочет тратить больше 200 фунтов на фотографии для показа.

ⓐ Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.

ⓑ Изобразите систему.

ⓒ Могла ли она показать 15 маленьких и 5 больших фотографий?

ⓓ Могла ли она показать 3 больших и 22 маленьких фотографии?

Решение

1. ⓐ Пусть количество маленьких фото.
   количество больших фото
   Чтобы найти систему неравенств, переведите информацию.
   
   У нас есть система неравенства.
2. ⓑ
   
   

   Для графика, график x + y = 25 в виде сплошной линии. Выберите (0, 0) в качестве тестовой точки. Поскольку это не делает неравенство истинным, закрасьте сторону, на которой нет точки (0, 0), красным цветом. Для построения графика, график 4 x + 10 y = 200 в виде сплошной линии. Выберите (0, 0) в качестве тестовой точки. Поскольку это не делает неравенство истинным, заштрихуйте сторону, которая включает точку (0, 0), синим.

   
   Решение системы — это область графика, которая заштрихована дважды и поэтому заштрихована более темной.

3. ⓒ Чтобы определить, будут ли работать 10 маленьких и 20 больших фотографий, мы смотрим, находится ли точка (10, 20) в области решения. Это не. Кристи не показывала 10 маленьких и 20 больших фотографий.
4. ⓓ Чтобы определить, будут ли работать 20 маленьких и 10 больших фотографий, мы смотрим, находится ли точка (20, 10) в области решения. Это. Кристи могла выбрать отображение 20 маленьких и 10 больших фотографий.

Обратите внимание, что мы также можем проверить возможные решения, подставляя значения в каждое неравенство.

Прицеп может нести максимальный вес 160 фунтов и максимальный объем 15 кубических футов. Микроволновая печь весит 30 фунтов и имеет объем 2 кубических фута, в то время как принтер весит 20 фунтов и имеет 3 кубических фута пространства.

ⓐ Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Можно ли перевозить на этом прицепе 4 микроволновые печи и 2 принтера?
ⓓ Можно ли в этом прицепе перевезти 7 микроволновых печей и 3 принтера?

1. ⓐ
2. ⓑ
   
3. ⓒ да
4. ⓓ нет

Мэри необходимо приобрести запасы листов для ответов и карандашей для стандартного теста, который будет проводиться среди младших классов в ее средней школе. Количество необходимых листов для ответов как минимум на 5 больше, чем количество карандашей.Карандаши стоят 2 фунта, а листы для ответов — 1 фунт. Бюджет Мэри на эти принадлежности предусматривает максимальную стоимость в 400 фунтов стерлингов.

ⓐ Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли Мэри купить 100 карандашей и 100 листов для ответов?
ⓓ Может ли Мэри купить 150 карандашей и 150 листов для ответов?

1. ⓐ
2. ⓑ
   
3. ⓒ нет
4. ⓓ нет

Омару нужно съесть не менее 800 калорий перед тем, как отправиться на командную тренировку.Все, что ему нужно, — это гамбургеры и печенье, и он не хочет тратить больше пяти фунтов стерлингов. В гамбургер-ресторане рядом с его колледжем каждый гамбургер содержит 240 калорий и стоит 1,40 фунта стерлингов. Каждое печенье содержит 160 калорий и стоит 0,50 фунтов стерлингов.

ⓐ Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Мог ли он съесть 3 гамбургера и 1 печенье?
ⓓ Мог ли он съесть 2 гамбургера и 4 печенья?

Решение

ⓐ Давай количество гамбургеров.
количество файлов cookie
Чтобы найти систему неравенств, переведите информацию.
Калории из гамбургеров по 240 калорий каждый плюс калорий из печенья по 160 калорий в каждом должны быть больше 800.

Сумма, потраченная на гамбургеры по 1,40 фунтов стерлингов за каждый, плюс сумма, потраченная на печенье по цене 0,50 фунтов стерлингов, должна быть не более 5,00 фунтов стерлингов.

У нас есть система неравенства.

ⓑ

Решение системы — это область графика, которая закрашена дважды и поэтому закрашена темнее.

ⓒ Чтобы определить, соответствуют ли 3 гамбургера и 2 печенья критериям Омара, мы смотрим, находится ли точка (3, 1) в области решения.Это. Он может съесть 3 гамбургера и 2 печенья.
ⓓ Чтобы определить, соответствуют ли 2 гамбургера и 4 печенья критериям Омара, мы смотрим, находится ли точка (2, 4) в области решения. Это. Он может съесть 2 гамбургера и 4 печенья.

Мы также можем проверить возможные решения, подставляя значения в каждое неравенство.

Tension необходимо съедать не менее 1000 дополнительных калорий в день, чтобы подготовиться к марафону. У него есть только 25 фунтов стерлингов, чтобы потратить на необходимое дополнительное питание, и он потратит их на 0 фунтов стерлингов.75 пончиков по 360 калорий в каждом и 2 энергетических напитка по 110 калорий.

ⓐ Напишите систему неравенств, моделирующую эту ситуацию.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли он купить 8 пончиков и 4 энергетических напитка?
ⓓ Может ли он купить 1 пончик и 3 энергетических напитка?

1. ⓐ
2. ⓑ
   
3. ⓒ да
4. ⓓ нет

Врач Филиппа говорит ему, что он должен добавлять как минимум 1000 калорий в день к своему обычному рациону. Филип хочет купить протеиновые батончики по цене 1 фунт стерлингов.80 каждый и содержат 140 калорий и сок по цене 1,25 фунтов стерлингов за бутылку и содержат 125 калорий. Он не хочет тратить больше? 12.

ⓐ Напишите систему неравенств, моделирующую эту ситуацию.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли он купить 3 протеиновых батончика и 5 бутылок сока?
ⓓ Может ли он купить 5 протеиновых батончиков и 3 бутылки сока?

1. ⓐ
2. ⓑ
   
3. ⓒ да
4. ⓓ нет

Ключевые понятия

• Для решения системы линейных неравенств с помощью построения графиков
  1. Изобразите первое неравенство.
     • Постройте граничную линию.
     • Затенение сбоку от ограничивающей линии, где выполняется неравенство.
  2. На той же сетке нанесите график второго неравенства.
     • Постройте граничную линию.
     • Заштрихуйте сторону той границы, где выполнено неравенство.
  3. Решением является область перекрытия штриховки.
  4. Проверьте, выбрав контрольную точку.

Упражнения по разделам

Практика ведет к совершенству

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств

В следующих упражнениях определите, является ли каждая заказанная пара решением для системы.

Решите систему линейных неравенств с помощью построения графиков

В следующих упражнениях решите каждую систему с помощью построения графиков.

Нет решения

Нет решения

Решение приложений систем неравенств

В следующих упражнениях переведите на систему неравенств и решите.

Кейтлин продает свои рисунки на окружной ярмарке. Она хочет продать не менее 60 рисунков, у нее есть портреты и пейзажи. Она продает портреты за 15 евро и пейзажи за 10 евро. Ей нужно продать рисунков на сумму не менее 800 фунтов стерлингов, чтобы получить прибыль.

ⓐ Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Получит ли она прибыль, если продаст 20 портретов и 35 пейзажей?
ⓓ Получит ли она прибыль, если продаст 50 портретов и 20 пейзажей?

1. ⓐ
2. ⓑ
   
3. ⓒ №
4. ⓓ Есть

Джейк не хочет тратить больше 50 фунтов на мешки с удобрениями и торфяной мох для своего сада.Удобрение стоит 2 евро за мешок, а торфяной мох — 5 евро за мешок. Фургон Джейка вмещает не более 20 сумок.

ⓐ Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли он купить 15 мешков удобрений и 4 мешка торфяного мха?
ⓓ Может ли он купить 10 мешков удобрений и 10 мешков торфяного мха?

Рэйко нужно отправить рождественские открытки и посылки по почте, и она хочет, чтобы ее почтовые расходы не превышали 500 фунтов стерлингов. Количество карточек минимум на 4 больше, чем в два раза больше пакетов.Стоимость пересылки открытки (с картинками) — 3 евро, посылки — 7 евро.

ⓐ Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли она отправить 60 открыток и 26 пакетов?
ⓓ Может ли она отправить по почте 90 открыток и 40 пакетов?

1. ⓐ
2. ⓑ
   
3. ⓒ Есть
4. ⓓ №

Хуан готовится к выпускным экзаменам по химии и алгебре. Он знает, что у него есть всего 24 часа на обучение, и ему потребуется как минимум в три раза больше времени, чтобы изучать алгебру, чем химию.

ⓐ Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли он потратить 4 часа на химию и 20 часов на алгебру?
ⓓ Может ли он потратить 6 часов на химию и 18 часов на алгебру?

Джоселин беременна и ей необходимо съедать как минимум на 500 калорий в день больше, чем обычно. При покупке продуктов в один день с бюджетом в 15 фунтов стерлингов на дополнительную еду она покупает бананы, каждый из которых содержит 90 калорий, и шоколадные батончики мюсли, каждый из которых содержит 150 калорий.Бананы стоят 0,35 фунта стерлингов каждый, а батончики мюсли — 2,50 фунта стерлингов каждый.

ⓐ Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли она купить 5 бананов и 6 батончиков мюсли?
ⓓ Может ли она купить 3 банана и 4 батончика мюсли?

1. ⓐ
2. ⓑ
   
3. ⓒ №
4. ⓓ Есть

Марк пытается нарастить мышечную массу, поэтому ему необходимо дополнительно съедать не менее 80 граммов белка в день. Бутылка протеиновой воды стоит 3 фунта стерлингов.20, а протеиновый батончик стоит 1,75 фунтов стерлингов. Белковая вода содержит 27 граммов белка, а батончик — 16 граммов. Если он есть? 10 долларов на расходы

ⓐ Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Мог ли он купить 3 бутылки протеиновой воды и 1 протеиновый батончик?
ⓓ Мог ли он покупать не бутылки с протеиновой водой и 5 протеиновых батончиков?

Джоселин хочет увеличить потребление белка и калорий. Она хочет есть как минимум на 35 граммов больше белка каждый день и не более чем на 200 дополнительных калорий в день.Унция сыра чеддер содержит 7 граммов белка и 110 калорий. Унция сыра пармезан содержит 11 граммов белка и 22 калории.

ⓐ Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Может ли она съесть 30 грамм сыра чеддер и 100 грамм сыра пармезан?
ⓓ Может ли она съесть 2 унции сыра чеддер и 30 грамм сыра пармезан?

1. ⓐ
2. ⓑ
   
3. ⓒ Есть
4. ⓓ №

Марк увеличивает свои физические нагрузки, бегая и ходя не менее 4 миль каждый день.Его цель — сжечь как минимум 1500 калорий с помощью этого упражнения. Ходьба сжигает 270 калорий на милю, а бег — 650 калорий.

ⓐ Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Сможет ли он достичь своей цели, пройдя 3 мили и пробежав 1 милю?
ⓓ Сможет ли он достичь своей цели, пройдя 2 мили и пробежав 2 мили?

Повседневная математика

Билеты на игру Американской бейсбольной лиги для 3 взрослых и 3 детей стоят менее 75 фунтов стерлингов, а билеты для 2 взрослых и 4 детей — менее 62 фунтов стерлингов.

ⓐ Напишите систему неравенств для моделирования этой проблемы.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Могли ли билеты стоить 20 евро для взрослых и 8 евро для детей?
ⓓ Могли ли билеты стоить? 15 для взрослых и 5? Для детей?

1. ⓐ
2. ⓑ
   
3. ⓒ №
4. ⓓ Есть

Дедушка и бабушка угощают семью в кино. Билет на утренник стоит 4 евро для ребенка и 4 евро для взрослого. Вечерние билеты стоят 6 евро для ребенка и 8 евро для взрослого.Они планируют потратить не больше 80 фунтов на билеты на утренник и не более 100 на вечерние билеты.

ⓐ Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
ⓑ Изобразите систему.
ⓒ Могут ли они взять на оба спектакля 9 детей и 4 взрослых?
ⓓ Могут ли они взять с собой 8 детей и 5 взрослых на оба спектакля?

Письменные упражнения

Изобразите неравенство. Как узнать, какую сторону линии нужно растушевать?

Изобразите систему в виде графика.Что означает решение?

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

Глава 5 Упражнения на повторение

Решение систем уравнений с помощью построения графиков

Определите, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений .

В следующих упражнениях определите, являются ли следующие точки решениями данной системы уравнений.

Решение системы линейных уравнений с помощью построения графиков

В следующих упражнениях решите следующие системы уравнений с помощью построения графиков.

совпадающих линий

Определите количество решений линейной системы

В следующих упражнениях без построения графиков определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.

бесконечно много решений, непротиворечивая система, зависимые уравнения

нет решений, несовместная система, независимые уравнения

Решение приложений систем уравнений с помощью построения графиков

LaVelle делает кувшин кофе мокко. На каждую унцию шоколадного сиропа она использует пять унций кофе. Сколько унций шоколадного сиропа и сколько унций кофе нужно ей, чтобы приготовить 48 унций кофе мокко?

LaVelle требуется 8 унций шоколадного сиропа и 40 унций кофе.

Eli готовит коктейль для вечеринок, в который входят крендели и сыр. На каждую чашку крендельков он использует три чашки чекса. Сколько чашек кренделей и сколько чашек чекса ему нужно, чтобы приготовить 12 чашек коктейля для вечеринок?

Решите системы уравнений заменой

Решите систему уравнений подстановкой

В следующих упражнениях решите системы уравнений путем подстановки.

Решите приложения систем уравнений подстановкой

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Сумма двух чисел равна 55. Одно число на 11 меньше другого. Найдите числа.

Цифры 22 и 33.

Периметр прямоугольника 128. Длина на 16 больше ширины. Найдите длину и ширину.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника в 2 раза меньше, чем в 3 раза больше другого малого угла. Найдите размер обоих углов.

Размеры: 23 градуса и 67 градусов.

Габриэла работает в страховой компании, которая платит ей зарплату в размере 32 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 100 фунтов стерлингов за каждый проданный полис.Она рассматривает возможность перехода на другую работу в компанию, которая будет платить зарплату в размере 40 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 80 фунтов стерлингов за каждый проданный полис. Сколько полисов нужно продать Габриэле, чтобы общая сумма была такой же?

Решите системы уравнений методом исключения

Решите систему уравнений методом исключения В следующих упражнениях решите системы уравнений методом исключения.

Решение приложений систем уравнений методом исключения

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Сумма двух чисел равна. Их разница есть. Найдите числа.

Цифры и.

Омар каждый день останавливается в магазине пончиков по дороге на работу. На прошлой неделе он съел 8 пончиков и 5 капучино, что дало ему в общей сложности 3000 калорий. На этой неделе он съел 6 пончиков и 3 капучино, что в общей сложности составило 2160 калорий. Сколько калорий в одном пончике? Сколько калорий в одном капучино?

Выберите наиболее удобный метод решения системы линейных уравнений

В следующих упражнениях решите, что было бы удобнее решить систему уравнений путем замены или исключения.

Решение приложений с помощью систем уравнений

Перевести в систему уравнений

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений. Не решайте систему.

Сумма двух чисел равна. Одно число на два меньше, чем в два раза больше другого. Найдите числа.

Четыре раза число плюс три раза второе число. Дважды первое число плюс второе число — три.Найдите числа.

В прошлом месяце Джим и Дебби заработали 7200 фунтов стерлингов. Дебби заработала на 1600 фунтов больше, чем заработал Джим. Сколько они заработали?

Анри вложил 24 000 евро в акции и облигации. Сумма в акциях на 6 000 евро больше, чем в три раза больше, чем в облигациях. Сколько стоит каждое вложение?

Решение для приложений прямого перевода

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Пэм на 3 года старше своей сестры Ян.Сумма их возрастов — 99. Найдите их возраст.

Молли хочет посадить 200 луковиц в своем саду. Она хочет все ирисы и тюльпаны. Она хочет посадить в три раза больше тюльпанов, чем ирисов. Сколько ирисов и сколько тюльпанов ей следует посадить?

Приложения Solve Geometry

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Разница двух дополнительных углов составляет 58 градусов. Найдите размеры углов.

Размеры: 119 градусов и 61 градус.

Два угла дополняют друг друга. Мера большего угла в пять раз больше, чем в четыре раза меньшего угла. Найдите размеры обоих углов.

Бекка вешает 28-футовую цветочную гирлянду с двух сторон и сверху беседки, чтобы подготовиться к свадьбе. Высота на четыре фута меньше ширины. Найдите высоту и ширину беседки.

Пергола 8 футов в высоту и 12 футов в ширину.

Периметр городского прямоугольного парка составляет 1428 футов. Длина на 78 футов более чем в два раза больше ширины. Найдите длину и ширину парка.

Решение приложений с равномерным движением

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Шейла и Ленора ехали в дом своей бабушки. Ленора ушла через час после Шейлы. Шейла ехала со скоростью 45 миль в час, а Ленора ехала со скоростью 60 миль в час. Сколько времени потребуется Леноре, чтобы догнать Шейлу?

Это займет у Леноры 3 часа.

Боб ушел из дома на своем велосипеде со скоростью 10 миль в час, чтобы поехать к озеру. Черил, его жена, уехала через 45 минут (час) спустя, двигаясь на своей машине со скоростью 25 миль в час. Сколько времени потребуется Шерил, чтобы догнать Боба?

Маркус может проехать на своей лодке 36 миль по реке за три часа, но вернуться вверх по течению займет четыре часа. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения.

Скорость лодки 10,5 миль / ч. Скорость тока — 1.5 миль / ч.

Пассажирский реактивный самолет может пролететь 804 мили за 2 часа с попутным ветром, но только 776 миль за 2 часа при встречном ветре. Найдите скорость струи в неподвижном воздухе и скорость ветра.

Решение смесей приложений с помощью системы уравнений

Приложения для растворения смеси

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Линн заплатила в общей сложности 2780 фунтов стерлингов за 261 билет в театр. Студенческие билеты стоят 10 евро, взрослые — 15 евро.Сколько студенческих билетов и сколько взрослых билетов купила Линн?

Линн купила 227 студенческих билетов и 34 взрослых билета.

У Приама в машине есть десять центов и центов в подстаканнике. Общая стоимость монет — 4,21 фунта стерлингов. Количество десятицентовиков на три меньше, чем четырехкратное количество пенсов. Сколько центов и сколько центов в чашке?

Юми хочет приготовить 12 чашек коктейля из конфет и орехов. Ее бюджет требует, чтобы вечеринка обошлась ей в 1 фунт.29 на чашку. Конфеты стоят 2,49 фунтов за чашку, а орехи — 0,69 фунтов за чашку. Сколько чашек конфет и сколько чашек орехов ей следует съесть?

Юми следует использовать 4 чашки конфет и 8 чашек орехов.

Ученому нужно 70 литров 40% раствора спирта. У него есть 30% и 60% раствор. Сколько литров 30% и сколько литров 60% растворов он должен смешать, чтобы получить 40% раствор?

Приложения для выплаты процентов

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

У Джека есть 12 000 евро для инвестирования, и он хочет получать 7,5% годовых. Он поместит часть денег на сберегательный счет, который приносит 4% в год, а остальную часть — на счет CD, который приносит 9% в год. Сколько денег он должен положить на каждый счет?

Джек должен положить 3600 фунтов стерлингов в сбережения и 8400 фунтов стерлингов на компакт-диск.

По окончании колледжа Линда будет должна 43 000 фунтов стерлингов в виде студенческих ссуд. Процентная ставка по федеральным займам составляет 4,5%, а ставка по ссудам частных банков — 2%.Общая сумма процентов, которые она задолжала за один год, составила 1585 фунтов стерлингов. Какая сумма каждого кредита?

Графические системы линейных неравенств

Определить, является ли упорядоченная пара решением системы линейных неравенств

В следующих упражнениях определите, является ли каждая заказанная пара решением для системы.

Решите систему линейных неравенств с помощью построения графиков

В следующих упражнениях решите каждую систему с помощью построения графиков.

Нет решения

Решение приложений систем неравенств

В следующих упражнениях переведите на систему неравенств и решите.

Roxana производит браслеты и ожерелья и продает их на фермерском рынке. Браслеты она продает по 12 фунтов за штуку, а ожерелья — по 18 фунтов. На рынке в следующие выходные у нее будет место для демонстрации не более 40 штук, и ей нужно продать не менее 500 фунтов стерлингов, чтобы получить прибыль.

1. ⓐ Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
2. ⓑ Изобразите систему.
3. ⓒ Следует ли ей показать 26 браслетов и 14 ожерелий?
4. ⓓ Следует ли ей показать 39 браслетов и 1 ожерелье?

ⓐ
ⓑ

ⓒ да
ⓓ нет

У Энни есть бюджет в 600 фунтов стерлингов на покупку книг в мягкой обложке и книг в твердом переплете для своего класса. Она хочет, чтобы количество книг в твердой обложке было как минимум в 5 раз больше, чем в три раза больше книг в мягкой обложке.Книги в мягкой обложке стоят 4 фунта каждая, а книги в твердой обложке — 15 евро.

1. ⓐ Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
2. ⓑ Изобразите систему.
3. ⓒ Может ли она купить 8 книг в мягкой обложке и 40 книг в твердой обложке?
4. ⓓ Может ли она купить 10 книг в мягкой обложке и 37 книг в твердой обложке?

Практический тест

В следующих упражнениях решите следующие системы с помощью построения графиков.

В следующих упражнениях решите каждую систему уравнений.Используйте либо замену, либо исключение.

бесконечно много решений

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Сумма двух чисел равна −24. Одно число на 104 меньше другого. Найдите числа.

Цифры 40 и 64

Рамон хочет посадить в своем саду огурцы и помидоры.У него есть место для 16 растений, и он хочет посадить в три раза больше огурцов, чем помидоров. Сколько огурцов и сколько помидоров нужно посадить?

Два угла дополняют друг друга. Мера большего угла в шесть раз больше, чем мера меньшего угла, более чем в два раза. Найдите размеры обоих углов.

Размеры углов: 28 градусов и 62 градуса.

В понедельник Лэнс бегал 30 минут и плавал 20 минут. Его фитнес-приложение сообщило ему, что он сжег 610 калорий.В среду фитнес-приложение сообщило ему, что он сжег 695 калорий, когда бегал 25 минут и плавал 40 минут. Сколько калорий он сжег за минуту бега? Сколько калорий он сжег за минуту плавания?

Кэти вышла из дома, чтобы дойти до торгового центра, быстро со скоростью 4 мили в час. Ее сестра Эбби вышла из дома через 15 минут и ехала на велосипеде до торгового центра со скоростью 10 миль в час. Сколько времени понадобится Эбби, чтобы догнать Кэти?

Кэти на это уйдет час (или 10 минут).

Самолету требуется несколько часов, чтобы преодолеть 2475 миль при встречном ветре из Сан-Хосе, Калифорния, в Лихуэ, Гавайи. Обратный рейс из Лихуэ в Сан-Хосе с попутным ветром занимает 5 часов. Найдите скорость струи в неподвижном воздухе и скорость ветра.

Лиз заплатила 160 фунтов за 28 билетов, чтобы отвести отряд Брауни в музей науки. Детские билеты стоят 5 евро, взрослые — 9 евро. Сколько билетов для детей и сколько билетов для взрослых купила Лиз?

Лиз купила 23 детских и 5 взрослых билетов.

Фармацевту необходимо 20 литров 2% физиологического раствора. У него есть 1% и 5% раствор. Сколько литров 1% и сколько литров 5% растворов она должна смешать, чтобы получить 2% раствор?

Переведите на систему неравенств и решите.

Энди хочет потратить не более 50 фунтов стерлингов на Хэллоуинские угощения. Она хочет купить шоколадные батончики стоимостью 1 фунт каждый и леденцы стоимостью 0,50 фунтов стерлингов каждый, и она хочет, чтобы количество леденцов было как минимум в три раза больше, чем количество шоколадных батончиков.

1. ⓐ Напишите систему неравенств, чтобы смоделировать эту ситуацию.
2. ⓑ Изобразите систему.
3. ⓒ Может ли она купить 20 шоколадных батончиков и 70 леденцов на палочке?
4. ⓓ Может ли она купить 15 шоколадных батончиков и 65 леденцов на палочке?

ⓐ
ⓑ

ⓒ Нет
ⓓ Да

Глоссарий

система линейных неравенств

Два или более линейных неравенства, сгруппированных вместе, образуют систему линейных неравенств.

Система неравенств | Блестящая вики по математике и науке

Решение системы неравенств по двум переменным часто отображается в виде заштрихованного графика на координатной плоскости. Заштрихованные области показывают области, содержащие точки в решении. Если линия сплошная, то точки на ней содержатся в растворе. Если линия пунктирна, то точки на этой линии не содержатся в решении, но любая смежная заштрихованная область действительно содержит точки в решении.

{y≤2x + 3y> −13x − 1 \ begin {cases} у \ ле 2х + 3 \\ у> — \ frac {1} {3} х-1 \ end {case} {y≤2x + 3y> −31 x − 1

Заштрихованная область — пересечение неравенств. Каждая точка в заштрихованной области и на сплошном луче является частью решения. Пунктирные линии и лучи не являются частью решения.

Следующий процесс работает путем выделения переменной yyy в каждом неравенстве.Поскольку большие значения yyy находятся выше в координатной плоскости, символ >>> или ≥ \ ge≥ означает, что решение существует над линией неравенства. Точно так же символ <<< или ≤ \ le≤ означает, что решение существует ниже строки неравенства.

Построение графиков линейных систем неравенств: метод затенения с пересечением наклона

• Представьте каждое неравенство в форме пересечения наклона.

• Постройте линию, ограничивающую каждое неравенство.Если символ ≤ \ le≤ или ≥, \ ge, ≥, тогда линия должна быть сплошной, чтобы показать, что точки на прямой включены в решение. Если символ <, <, <,>,>,> или ≠, \ ne,  =, то линия должна быть пунктирной, чтобы показать, что точки на линии не включены в решение.

• Для каждого неравенства, если символ ≥ \ ge≥ или>,>,>, затем закройте линию над линией. Если символ ≤ \ le≤ или <, <, <, затем закройте линию под линией. Если символ ≠, \ ne,  =, заштрихуйте обе стороны линии.

• Если система представляет собой объединение , то ваш график завершен. Если система представляет собой пересечение , то в решении будут только те области, которые входят в состав всех неравенств. Вы должны стереть все тени, линии и лучи, которых нет в растворе.

Постройте график объединения неравенств

г> 3x∪y <2x. \ Begin {array} {ccc} y> 3x & \ чашка & y <2x. \ end {array} y> 3x ∪ y <2x.

---

Начните с построения графика линии каждого неравенства.Это символы >>> и <, <, <, поэтому линии должны быть пунктирными.

В первом неравенстве y> 3x, y> 3x, y> 3x, поэтому штриховка должна быть выше линии.

Во втором неравенстве y <2x, y <2x, y <2x, поэтому штриховка должна быть ниже линии.

Поскольку эта система является объединением, все заштрихованные части являются частью неравенства.Для наглядности каждая заштрихованная область должна быть одного цвета, а пунктирные линии в заштрихованной области должны быть сплошными, чтобы указать, что они являются частью раствора.

Каждая точка в заштрихованной области имеет либо y> 3xy> 3xy> 3x, либо y <2x.y <2x.y <2x. □ _ \ квадрат □

Латоя управляет фабрикой по производству мебели, готовой к сборке. Она планирует, как выделить ресурсы на оборудование для производства столов.Машина A \ text {A} A может производить 6 рабочих столов в час и стоит 100 долларов за каждый час работы. Машина B \ text {B} B может производить 10 рабочих столов в час и стоит 200 долларов за каждый час работы. У Латойи есть рабочие, которые могут работать на машинах до 50 часов на этой неделе, и она выделила 8000 долларов из своего бюджета на работу этих машин. Составьте график, показывающий, как она может распределять ресурсы для производства столов.

---

Пусть aaa будет количеством часов, которое работает машина A \ text {A} A, и пусть B \ text {B} B будет количеством часов, которые работает машина B \ text {B} B.Можно написать систему неравенств, описывающую ограничения на использование этих машин.

Сначала опишите, как машины ограничены временем:

a + b≤50.a + b \ le 50.a + b≤50.

Затем опишите, как машины ограничены стоимостью:

100a + 200b≤8000a + 2b≤80. \ Begin {align} 100а + 200б \ ле 8000 \ а + 2b & \ le 80. \ end {align} 100a + 200ba + 2b ≤8000≤80.

Кроме того, машины не могут работать менее 0 часов:

a≥0b≥0.\ begin {align} a & \ ge 0 \\ b & \ ge 0. \ end {выравнивается} ab ≥0≥0.

Пусть aaa изображено на оси xxx, а bbb — на оси yyy. Решение относительно bbb в каждом неравенстве, кроме a≥0a \ ge 0a≥0, дает систему

{b≤ − a + 50b≤ − 12a + 40a≥0b≥0. \ Begin {cases} б \ ле -а + 50 \\ б \ le — \ frac {1} {2} а + 40 \\ а \ ge 0 \\ б \ гэ 0. \ end {cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ b≤ − a + 50b≤ − 21 a + 40a≥0b≥0.

Изобразите каждую из линий.

Поскольку в первом неравенстве есть символ <<<, заштрихуйте под линией.

Примените тот же принцип, чтобы затенить все остальные неравенства. Неравенство a≥0a \ ge 0a≥0 заштриховано справа, потому что более высокие значения aaa существуют дальше прямо на графике.

Это оставляет заштрихованным весь график. Однако эта система представляет собой перекресток , поскольку все неравенства должны быть выполнены. Следовательно, все штриховки, которых нет в , все неравенства должны быть удалены.

Оставшаяся заштрихованная область — это решение системы неравенств. Любая заказанная пара в этом решении дала бы Латое реальный способ спланировать использование своего оборудования. Вы могли заметить, что количество изготовленных столов не было включено в этот анализ. Если цель состоит в том, чтобы разработать оптимальный способ производства столов , то необходимо использовать линейное программирование. □ _ \ квадрат □

Следующий процесс работает, потому что линии каждого неравенства разделяют координатную плоскость на области.Если точка в координатной плоскости удовлетворяет системе, то все точки в той же области, что и эта точка, также будут удовлетворять системе.

Решение линейных систем неравенств: метод контрольных точек

• Постройте линию для каждого неравенства. Следуйте тому же условию для пунктирных и сплошных линий, что и раньше.

• Для каждой области, разделяемой линиями, выберите точку в этой области. Проверьте точку, подставляя значения xxx и yyy в каждое неравенство.

• Если система представляет собой соединение , то контрольная точка должна удовлетворять только одному из неравенств. Если система перекресток , то она должна удовлетворять всем неравенствам. Если контрольная точка соответствует системе, закрасьте область, в которой находится контрольная точка.

• Сотрите все линии и лучи, которых нет в растворе.

Постройте график решения следующей системы неравенств

{2x + 3y≤4x − 4y> 2.\ begin {case} \ begin {align} 2х + 3у & \ ле 4 \\ х-4у &> 2. \ end {align} \ end {case} {2x + 3yx − 4y ≤4> 2.

Обратите внимание, что эта система представляет собой перекресток . Сначала нарисуйте линию для каждого неравенства. Первое неравенство должно быть сплошной линией, а второе неравенство — пунктирной линией. Эти линии делят график на 4 области.

Выберите точку в каждом регионе и проверьте ее на неравенства:

1: (0,0) {2 (0) +3 (0) ≤4 ✓0−4 (0)> 2×2: (2,1) {2 (2) +3 (1) ≤4×2−4 ( 1)> 2×3: (3,0) {2 (3) +3 (0) ≤4×3−4 (0)> 2 ✓4: (2, −1) {2 (2) +3 (−1) ≤ 4 ✓ 2−4 (−1)> 2 ✓ \ begin {array} {ccl} \ boxed {1}: & (0,0) & \ begin {cases} \ begin {array} {rlc} 2 (0) +3 (0) & \ le 4 & \ checkmark \\ 0-4 (0) &> 2 & \ text {x} \ end {array} \ end {case} \\ \ boxed {2}: & (2,1) & \ begin {cases} \ begin {array} {rlc} 2 (2) +3 (1) & \ le 4 & \ text {x} \\ 2-4 (1) &> 2 & \ text {x} \ end {array} \ end {case} \\ \ boxed {3}: & (3,0) & \ begin {cases} \ begin {array} {rlc} 2 (3) +3 (0) & \ le 4 & \ text {x} \\ 3-4 (0) &> 2 & \ checkmark \ end {array} \ end {case} \\ \ boxed {4}: & (2, -1) & \ begin {cases} \ begin {array} {rlc} 2 (2) +3 (-1) & \ le 4 & \ checkmark \\ 2-4 ( -1) &> 2 & \ checkmark \ end {array} \ end {case} \ end {array} 1: 2: 3: 4: (0,0) (2,1) (3,0) (2, −1) {2 (0) +3 (0) 0−4 (0) ≤4> 2 ✓x {2 (2) +3 (1) 2−4 (1) ≤4> 2 xx {2 (3) +3 (0 ) 3−4 (0) ≤4> 2 x ✓ {2 (2) +3 (−1) 2−4 (−1) ≤4> 2 ✓ ✓

Единственная точка, удовлетворяющая обоим неравенствам, — это точка в области 4.Заштрихуйте эту область и удалите все сплошные лучи, которых нет в этой области.

□ _ \ квадрат □

Круг> Прямоугольник> Треугольник Прямоугольник> Треугольник> Круг Треугольник> Прямоугольник> Круг Прямоугольник> Круг> Треугольник Круг> Треугольник> Прямоугольник Треугольник> Круг> Прямоугольник

Выше показано, как мобильный телефон будет сбалансирован, если его оставить висеть.Предположим, что точка опоры находится в центре каждого стержня.

Каков относительный вес этих фигур?

Определение системы неравенств в алгебре.

Примеры системы неравенств по следующим тематикам:

• Решение систем линейных неравенств

  • Система из неравенств представляет собой набор из неравенств с несколькими переменными, часто решаемых с определенной спецификацией неравенство .
  • Система из Неравенства могут быть решены графически и неграфически.
  • Часто самый простой способ решить систему из линейных неравенств — это построить график.
  • Если все из , неравенства из система не могут перекрываться в одной и той же области, тогда нет решения для этой системы .
  • Нет области, которая закрашена всеми тремя неравенствами , поэтому система из неравенств не имеет решения.

• Нелинейные системы неравенств

  • Системы из нелинейных неравенств можно решить, построив граничные линии.
  • Система из неравенств состоит из из двух или более неравенств , которые являются утверждениями о том, что одна величина больше или меньше другой.
  • Эта область является решением для системы .
  • Пределы из каждое из неравенств пересекаются в точках $ (- 1, 1) $ и $ (2, 4) $.
  • Принимая во внимание, что решение для линейной системы из уравнений будет содержать бесконечную неограниченную область (линии могут проходить только один раз максимум из ), во многих случаях решение для нелинейной системы из уравнений будут состоять из из конечной ограниченной области.

• Графики линейных неравенств

  • Простейшее неравенство для графического отображения представляет собой одно неравенство с двумя переменными, обычно из в форме: $ y \ leq mx + b $, где неравенство может быть из любого типа, меньше чем , меньше или равно, больше, больше или равно или не равно.
  • Чтобы найти решения для группы из и неравенств , обратите внимание, где перекрываются области из , все из и неравенств .
  • Эти перекрытия из заштрихованные области указывают все решения (упорядоченные пары) для системы .
  • Это также означает, что если есть неравенств , которые не перекрываются, то для системы нет решения.
  • Коричневая заштрихованная область с перекрытием является окончательным решением системы из линейных неравенств , потому что она включает из всех возможных решений для $ y

• Уравнения и неравенства

  • В наборе из одновременных уравнений или в системе из уравнений даны несколько уравнений с несколькими неизвестными.
  • Решением для системы является присвоение значений всем неизвестным таким образом, чтобы все из уравнений были истинными.
  • Неравенство — это отношение, которое выполняется между двумя значениями, когда они различны.
  • Эти отношения известны как строгие неравенства .
  • В отличие от строгого неравенства , существует два типа неравенства , которые не являются строгими:

• Линейные неравенства

  • Это просто означает, что вам нужно найти значения переменной , которые делают неравенство истинным.
  • Есть только одно правило, которое отличается: когда вы умножаете или делите каждую сторону из неравенства на отрицательное число, вы должны перевернуть символ неравенства , чтобы сохранить истинное утверждение.
  • Шаг 1, объедините одинаковые термины на каждой стороне из неравенство символ:
  • Шаг 2, поскольку есть переменная с обеих сторон из неравенства , выберите переместить $ -4x $, чтобы объединить переменные в левой части из и неравенства .
  • Обратите внимание, что белый кружок означает, что значение из $ 4 $ не является решением неравенства , поскольку $ 4> 4 $ является ложным утверждением.

• Сложные неравенства

  • Другой тип неравенства — это составное неравенство , которое также можно решить, чтобы найти возможные значения переменной.
  • Одним из видов неравенства является составное неравенство .
  • Составное неравенство равно из формы:
  • Вычтем 6 из всех трех частей из неравенства :
  • Решите составное неравенство , уравновешивая все три компонента из неравенства

• Правила разрешения неравенств

  • Операции могут выполняться с неравенствами и использоваться для решения неравенств для всех возможных значений из переменной.
  • Любое значение $ c $ может быть добавлено или вычтено с обеих сторон из , неравенство :
  • Обратите внимание, что умножение или деление неравенства на отрицательное число изменяет направление неравенства на неравенство .
  • Решение неравенства дает всем из возможных значений, которые может принимать переменная, чтобы неравенство стало истинным.
  • Узнайте, как операции с неравенством влияют на смысл неравенства неравенства

• Решение проблем с неравенствами

  • Эти типы отношений из не являются отношениями из равенства, а скорее отношениями из неравенства .
  • Поразмышляйте над числом из решений из линейным неравенством .
  • Если какое-либо действительное число прибавить или вычесть из обеих частей из и неравенства , смысл из неравенства останется неизменным.
  • Если обе стороны неравенства , неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, смысл неравенства , неравенства останется неизменным.
  • Миа попросили найти значения из x, которые делают это неравенство истинным: 2x + 1 ≤ 7.

• Графики неравенств

  • Решения неравенств можно изобразить, нарисовав граничную линию и заштриховав половину из плоскости.
  • Теперь мы хотим определить Расположение из решений линейного неравенства с двумя переменными.
  • Линейные неравенства в двух переменных равны неравенства из форм:
  • Метод из построения графика линейного неравенства с двумя переменными выглядит следующим образом:
  • Постройте график неравенства , закрасив правильный участок из плоскости

• Введение в неравенство

  • В математике неравенств используются для сравнения относительного размера значений.
  • Описание из различных типов из неравенств ниже.
  • В двух типах из строгого неравенства , $ a $ не равно $ b $.
  • В отличие от строгого неравенства , существует два типа неравенства , которые не являются строгими:
  • Чтобы понять, почему, рассмотрим левую часть от на неравенство .

.