Решение задач по системе счисления. Часть 2

Решение задач по системе счисления.
Часть 2.

Учитель информатики Батракова Л.В.

11.
Решите уравнение
.
Ответ
запишите в четверичной системе счисления.
Основание системы счисления указывать
не нужно.

Решение: Надо перевести все числа
в десятичную систему, решить уравнение
и результат перевести в четверичную
систему:

1)

  1. из
    уравнения

    получаем

  2. переводим
    22 в четверичную систему счисления:

Ответ:
112

12. Запись
натурального числа в системах счисления
с основанием 4 и 6 заканчивается на 0.
Найдите минимальное натуральное число,
удовлетворяющее этим условиям.

Решение: если запись числа в системе
счисления с основанием N заканчивается
на 0, то это число делится на N нацело,
поэтому в данной задаче требуется найти
наименьшее натуральное число, которое
делится одновременно на 4 и на 6, то есть
это число12.

Ответ: 12

13. Укажите,
сколько всего раз встречается цифра 3
в записи чисел 13, 14, 15, …, 23 в системе
счисления с основанием 4.

Решение (вариант 1):

При решении задачи надо помнить, что
в 4-ой системе счисления самая старшая
цифра – 3.

Запишем
первое и последнее число в заданном
диапазоне в системе счисления с
основанием 4:

13
= 314,
23 = 1134
.

Оба
они содержат цифру 3, так что, 2 цифры мы
уже нашли.

Между
314
и 1134
есть еще числа:

324,
334,
1004,
1014,
1024,
1034,
1104,
1114,
1124.

В
них 4 цифры 3, поэтому всего цифра 3
встречается 6 раз.

Ответ:
6

Решение (вариант 2):

Можно
перевести все указанные числа в систему
счисления с основанием 4 и подсчитать
количество 3:

13
=314
, 14 =324
, 15 =334
, 16 =1004
, 17 =1014
, 18 =1024,
19 =1034
, 20 =1104,
21 = 1114,
22=1124,
23 = 1134
.

Получается
6 штук.

Ответ:

6

14. Укажите
наименьшее основание системы счисления,
в которой запись числа 50 двузначна.

Решение: Так как число по условию
двухзначное, то достаточно найти первое
целое число, квадрат которого больше
50; это — 8, так как:

Так
как
,
следовательно, в системе счисления с
основанием 7 запись числа 50 будет
трехзначна, а в 8-ой системе счисления
– двузначной.

Ответ:
8

15. Укажите
через запятую в порядке возрастания
все десятичные числа, не превосходящие
25, запись которых в системе счисления
с основанием 6 начинается на 4?

Решение: Поскольку
,
в интересующих нас числах может быть
не более 2 цифр. Есть всего одно однозначное
число, начинающееся на 4, это 4. Выпишем
все числа в шестеричной системе счисления,
которые являются двузначными, начинаются
с 4 и не превосходят 25 в десятичной
системе. Это числа: 406 = 24, 416
= 25. Ответ: 4, 24, 25

16.
Запись числа 658
в некоторой системе счисления выглядит
так: 311N.
Найдите
основание системы счисления N.

Решение:
Из условия задачи следует, что 658
= 311N.
Переведем 658
в
десятичную систему счисления:

,

Второе
число разложим по основанию счисления
N:

Так
как что 658
= 311N
, то можно записать:
.

Решаем
это уравнение и получаем, что N
= 4.

Ответ:
4

17. Даны 4
числа, они записаны с использованием
различных систем счисления. Укажите
среди этих чисел то, в двоичной записи
которого содержится ровно 5 единиц. Если
таких чисел несколько, укажите наибольшее
из них.

1) 3110 * 810 + 110 2) F016
+ 110 3) 3518 4) 111000112

Решение: Нужно перевести все заданные
числа в двоичную систему, подсчитать
число единиц и выбрать наибольшее из
чисел, в которых ровно 5 единиц.

Для
первого варианта переведем оба сомножителя
в двоичную систему:

31­10
=
11111­2
810
=
1000­2

В
первом числе ровно 5 единиц, умножение
на второе добавляет в конец три нуля:

31­10
*
810
=
11111­2
*
1000­2
=
111110­002

то
есть в этом числе 5 единиц, но надо
добавить еще одну единицу в конец,
получим число 11111001, в котором 6 единиц.
Так как нам нужны числа с 5-ю единицами,
то это число не рассматриваем.

Для
второго варианта воспользуемся двоичным
представлением 16-ричных чисел: каждую
цифру шестнадцатеричного числа можно
переводить отдельно в тетраду (4 двоичных
цифры):

F­016
=
1111­00002

после
добавления единицы F016
+ 1 = 1111 00012
получаем число, содержащее ровно 5
единиц.

Для
третьего варианта используем связь
между восьмеричной и двоичной системами:
каждую цифру восьмеричного числа
переводим отдельно в триаду (группу из
трёх) двоичных цифр:

3518
= 11101001­2

это
число тоже содержит 5 единиц, но меньше,
чем число во втором варианте ответа.

Последнее
число 111000112
уже
записано в двоичной системе, оно тоже
содержит ровно 5 единиц, но меньше второго
и третьего числа.

Таким
образом, только 3 числа, указанные в
вариантах ответов, содержат ровно 5
единиц, но наибольшее из них – второе.

Ответ:
2

18.
Даны 4 целых числа, записанные в двоичной
системе:
10001011, 10111000, 10011011, 10110100.
Сколько
среди них чисел, больших, чем А416
+208?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Решение: Надо перевести А416
+208 в двоичную систему счисления,
разложив их по тетрадам для 16-х чисел и
по триадам для 8-х чисел: А416
101001002 и 208 — 100002 и
поразрядно сложить: 101001002 + 100002
= 101101002.

Сравнив с заданными числами, видим,
что только одно число больше полученного,
это: 10111000.

Ответ:
1

19.
К записи натурального числа в восьмеричной
системе счисления справа приписали два
нуля. Во сколько раз увеличилось число?
Ответ запишите в десятичной системе
счисления.

Решение:

Так как приписали 2 нуля, то для решения
задачи достаточно вычислить 82
=64.

Ответ:
64

20. Десятичное
число 109 в некоторой системе счисления
записывается как «214». Определите
основание системы счисления.

Решение:
Обозначим искомое основание системы
счисления через x,
тогда можно записать выражение:

109
= 2x2+x+4
или 2x2+x-105
= 0. Решив это уравнение, получим x=7.

Ответ:
7

Дополнительно
(для самых умных):

  1. Запись числа N в системе счисления c
    основанием 6 содержит две цифры, запись
    этого числа в системе счисления c
    основанием 5 содержит три цифры, а запись
    в системе счисления c основанием 11
    заканчивается на 1. Чему равно
    N? Запишите ответ в
    десятичной системе счисления.

Решение:
Из первых двух условий задачи следует,
что 52
= 25 ≤ N 2
=
36, следовательно, значение N надо искать
из следующего набора чисел: 25, 26, 27, 28,
29, 30, 31, 32, 33, 34, 35.

Из третьего
условия находим число, которое при
делении на 11 дает остаток 1, это число
34.

Проверка:
34 = 546=5·
61
+
4 · 60
,
34 = 1145
= 1· 52
+
1 · 51
+ 4 · 50
,
34 = 3111
=
3 · 111
+
1 · 110
.

Ответ:
34

  1. Найдите
    основание системы счисления, в которой
    выполнено сложение: 144 + 24 = 201.

Решение: Так как старшая цифра в
выражении 4, то надо рассматривать
системы счисления, начиная с 5-ной.

Пятеричная система не подходит, т.к. 4 +
4 в пятеричной системе даст нам последнюю
цифру в ответе 3. Шестеричная система
так же не подходит – последняя цифра в
ответе будет 2. А вот семеричная система
подойдет для всех цифр ответа.

Ответ: 7

Дополнительно
(для самых-самых умных):

1. Укажите через запятую в порядке
возрастания все основания систем
счисления, в которых запись числа 31
оканчивается на 11.

Общий подход:

  • неизвестно
    основание системы счисления, мы обозначим
    его через

  • пока
    будем считать, что запись числа 31 в
    системе с основанием

    состоит из трех цифр, причем две младшие
    (11) нам даны, а одну (обозначим ее через
    )
    нужно найти:

2 1
0 ← разряды

31
=
k
1 1
N
=
k·N2
+
N1
+
N0
= k·
N2
+
N
+ 1

  • можно
    показать, что при большем количестве
    разрядов эта формула также верна, то
    есть, число 31 можно представить как

    при некотором целом
    ;
    например, для числа с пятью разрядами
    получаем:

4 3
2 1 0 ← разряды

31
= k
4
k3
k2
1 1
N
=
k
4·N4
+ k
3·N3
+
k
2·N2
+
N1
+
N0

=
k·N
2
+
N
+ 1

для

(из первых трех слагаемых вынесли общий
множитель
)

Решение: Нужно найти все целые числа
,
такие что

(**)

где

– целое неотрицательное число (0, 1, 2,
…).

Сложность
в том, что и
,
и

неизвестны, однако здесь нужно «играть»
на том, что это натуральные числа.

Из
формулы (**) получаем
,
так что задача сводится к тому, чтобы
найти все делители

числа 30 и отобрать только те из них, для
которых уравнение (**) разрешимо при
целом
,
то есть,

– целое число.

Выпишем
все делители числа 30, большие или равные
2: 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Из
всех этих делителей только для 2, 3, 5 и
30 значение

– целое число (оно равно соответственно
7, 3, 1 и 0)

Ответ:
2, 3, 5, 30.

Замечание: Можно, конечно, решить
задачу и методом подбора.

31 = 25 – 1 = 111112

31 = 10113

31 = 1115

31 = 1130

2. Укажите через запятую в порядке
возрастания все основания систем
счисления, в которых запись числа 94
начинается на 23.

Решение: Из условия задачи видно,
что искомое основание не меньше 4 (в
записи есть цифра 3).

Если запись числа 94 в некоторой системе
счисления с основанием

двузначна (94 = 23x), то справедливо
равенство
.

Нас интересуют натуральные решения
этого уравнения, такие что
,
но таких решений нет.

Предположим, что число четырехзначное.
Минимальное допустимое четырехзначное
число – 2300x, где
.
При минимальном основании ()
оно равно.

Следовательно, запись нужного нам числа
имеет три знака.

Можно записать:
,
где

целое неотрицательное число, такое что
.

Максимальное

можно определить как решение уравнения

(при
).

Получаем одно из решений – 6,15. Отсюда:
4≤.

определится
как:
.

Подставим поочередно в эту формулу
,
пытаясь получить
.

Минимальное
=
4 будет при
,
т.е условиевыполняется,
а при

получается
.

Ответ:
6

gigabaza.ru

Задачи для тренировки1:

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все основания систем счисления, в
    которых запись числа 22 оканчивается
    на 4.

  • В
    системе счисления с некоторым основанием
    число 12 записывается в виде 110. Укажите
    это основание.

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все основания систем счисления, в
    которых запись числа 39 оканчивается
    на 3.

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все основания систем счисления, в
    которых запись числа 29 оканчивается
    на 5.

  • В
    системе счисления с некоторым основанием
    десятичное число 129 записывается как
    1004. Укажите это основание.

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все основания систем счисления, в
    которых запись числа 40 оканчивается
    на 4.

  • В
    системе счисления с некоторым основанием
    число десятичное 25 записывается как
    100. Найдите это основание.

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все основания систем счисления, в
    которых запись числа 27 оканчивается
    на 3.

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все десятичные числа, не превосходящие
    26, запись которых в троичной системе
    счисления оканчивается на 22?

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все десятичные числа, не превосходящие
    30, запись которых в четверичной системе
    счисления оканчивается на 31?

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все десятичные натуральные числа, не
    превосходящие 17, запись которых в
    троичной системе счисления оканчивается
    на две одинаковые цифры?

  • Укажите,
    сколько всего раз встречается цифра
    3 в записи чисел 19, 20, 21, …, 33 в системе
    счисления с основанием 6.

  • Укажите,
    сколько всего раз встречается цифра
    1 в записи чисел 12, 13, 14, …, 31 в системе
    счисления с основанием 5.

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все основания систем счисления, в
    которых запись числа 23 оканчивается
    на 1.

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все основания систем счисления, в
    которых запись числа 63 оканчивается
    на 23.

  • Десятичное
    число, переведенное в восьмеричную и
    в девятеричную систему, в обоих случаях
    заканчивается на цифру 0. Какое минимальное
    натуральное число удовлетворяет этому
    условию?

  • В
    системе счисления с некоторым основанием
    десятичное число 49 записывается в виде
    100. Укажите это основание.

  • Укажите
    наименьшее основание системы счисления,
    в которой запись числа 70 трехзначна.

  • Укажите
    наименьшее основание системы счисления,
    в которой запись числа 50 двузначна.

  • Сколько
    значащих цифр в записи десятичного
    числа 357 в системе счисления с основанием
    7?

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все десятичные числа, не превосходящие
    25, запись которых в системе счисления
    с основанием 6 начинается на 4?

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все десятичные числа, не превосходящие
    20, запись которых в системе счисления
    с основанием 3 начинается на 2?

  • Какое
    десятичное число при записи в системе
    счисления с основанием 5 представляется
    как 12345?

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все десятичные числа, не превосходящие
    25, запись которых в двоичной системе
    счисления оканчивается на 101?

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все основания систем счисления, в
    которых запись числа 30 оканчивается
    на 8.

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все основания систем счисления, в
    которых запись числа 31 оканчивается
    на 4.

  • В
    системе счисления с некоторым основанием
    десятичное число 83 записывается в виде
    123. Укажите это основание.

  • В
    системе счисления с некоторым основанием
    десятичное число 144 записывается в виде
    264. Укажите это основание.

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все основания систем счисления, в
    которых запись числа 32 оканчивается
    на 4.

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все десятичные числа, не превосходящие
    27, запись которых в двоичной системе
    счисления оканчивается на 110?

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все десятичные числа, не превосходящие
    25, запись которых в троичной системе
    счисления оканчивается на 21?

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все десятичные числа, не превосходящие
    45, запись которых в двоичной системе
    счисления оканчивается на 1010?

  • Десятичное
    число кратно 16. Какое минимальное
    количество нулей будет в конце этого
    числа после перевода его в двоичную
    систему счисления?

  • В
    системе счисления с некоторым основанием
    десятичное число 18 записывается в виде
    30. Укажите это основание.

  • Укажите,
    сколько всего раз встречается цифра
    3 в записи чисел 13, 14, 15, …, 23 в системе
    счисления с основанием 4.

  • Укажите,
    сколько всего раз встречается цифра
    2 в записи чисел 13, 14, 15, …, 23 в системе
    счисления с основанием 3.

  • В
    саду 100 фруктовых деревьев – 14 яблонь
    и 42 груши. Найдите основание системы
    счисления, в которой указаны эти числа.

  • Найдите
    основание системы счисления, в которой
    выполнено сложение: 144 + 24 = 201.

  • Найдите
    основание системы счисления, в которой
    выполнено умножение: 3·213
    = 1043.

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все десятичные числа, не превосходящие
    20, запись которых в системе счисления
    с основанием 5 оканчивается на 3?

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все десятичные числа, не превосходящие
    100, запись которых в системе счисления
    с основанием 5 оканчивается на 11?

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все основания систем счисления, в
    которых запись числа 75 оканчивается
    на 13.

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все основания систем счисления, в
    которых запись числа 84 оканчивается
    на 14.

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все основания систем счисления, в
    которых запись числа 61 оканчивается
    на 15.

  • Найдите
    десятичное число x, такое что 20 < x <
    30, запись которого в системе счисления
    с основанием 3 заканчивается на 11.

  • Запись
    числа 658в некоторой системе
    счисления выглядит так: 311q.
    Найдите основание системы счисления
    q.

  • Запись
    числа 30 в некоторой системе счисления
    выглядит так: 110q.
    Найдите основание системы счисления
    q.

  • Запись
    числа 2B16в некоторой
    системе счисления выглядит так: 111q.
    Найдите основание системы счисления
    q.

  • Запись
    числа 23 в некоторой системе счисления
    выглядит так: 212q.
    Найдите основание системы счисления
    q.

  • Запись
    числа 210­5в некоторой системе
    счисления выглядит так: 313q.
    Найдите основание системы счисления
    q.

  • Укажите
    наименьшее основание системы счисления,
    в которой запись числа 50 трехзначна.

  • Укажите
    через запятую в порядке возрастания
    все основания систем счисления, в
    которых запись числа 348оканчивается
    на 20.

  • Запись
    числа 344 в некоторой системе счисления
    выглядит так: 1A8q.
    Найдите основание системы счисления
    q.

  • К
    записи натурального числа в восьмеричной
    системе счисления справа приписали
    два нуля. Во сколько раз увеличилось
    число? Ответ запишите в десятичной
    системе счисления.

  • Запись
    числа 281 в системе счисления с основанием
    N содержит 3 цифры и оканчивается на 1.
    Чему равно максимально возможное
    основание системы счисления?

  • Запись
    числа 381 в системе счисления с основанием
    N содержит 3 цифры и оканчивается на 3.
    Чему равно максимально возможное
    основание системы счисления?

  • Запись
    числа 338 в системе счисления с основанием
    N содержит 3 цифры и оканчивается на 2.
    Чему равно максимально возможное
    основание системы счисления?

  • Запись
    числа 256 в системе счисления с основанием
    N содержит 3 цифры и оканчивается на 4.
    Чему равно минимально возможное
    основание системы счисления?

  • Запись
    числа 325 в системе счисления с основанием
    N содержит 3 цифры и оканчивается на 1.
    Чему равно минимально возможное
    основание системы счисления?

  • Запись
    числа 180 в системе счисления с основанием
    N содержит 3 цифры и оканчивается на 0.
    Перечислите в порядке возрастания все
    возможные основания системы счисления.

  • Запись
    числа 280 в системе счисления с основанием
    N содержит 3 цифры и оканчивается на 0.
    Перечислите в порядке возрастания все
    возможные основания системы счисления.

  • studfiles.net

    Сколько цифр «2» содержится в этой записи

    Значение арифметического выражения: 918 + 354 – 9 – записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

    Демонстрационный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 2017 г. – задание №16

    Решение:

    918 + 354 – 9 = 32×18 + 354 – 32 = 354 + 336 – 32

    Число 3n записывается в троичной системе, как единица и n нулей.

    Ответ: 34


    Зна­че­ние ариф­ме­ти­че­ско­го вы­ра­же­ния: 98 + 35 – 9 – за­пи­са­ли в си­стем счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 3. Сколь­ко цифр «2» со­дер­жит­ся в этой за­пи­си?

    Демонстрационный вариант Единый государственный экзамен ЕГЭ 2016 г. – задание №16

    Решение:

    98 + 35 – 9 = 32×8 + 35 – 32 = 316 + 35 – 32

    Число 3n записывается в троичной системе, как единица и n нулей.

    Ответ: 3


    В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 129 записывается как 1004. Укажите это основание.

    Решение:

    N3 + 4 = 129

    N3 = 125

    N = 5

    Ответ: 5


    Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 27 оканчивается на 3.

    Решение:

    27 = …3N

    27-3 = 24

    24 делится на N и N больше чем 3.

    4,6,8,12,24

    Ответ: 4,6,8,12,24


    Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные натуральные числа, не превосходящие 17, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на две одинаковые цифры?

    Решение:

     

     

     

     

    Ответ: 4,8,9,13,17


    Укажите, сколько всего раз встречается  цифра 1 в записи чисел 12, 13, 14, …, 31 в системе счисления с основанием 5.

    Решение:

    12 = 225

    12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
    22 23 24 30 31 32 33 34 40 41

     

    22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
    42 43 44 100 101 102 103 104 110 111


    Ответ: 13


    Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 63 оканчивается на 23.

    Решение:

    2 разряда

    63 = 23N

    2N+3 = 63

    N=30

    3 разряда

    63=X23N

    XN2+2N+3 = 63

    N(XN+2) = 60

    5(2.5+2) = 60

    N=5

    Ответ: 5,30


    Десятичное число, переведенное в восьмеричную и в девятеричную систему, в обоих случаях заканчивается на цифру 0. Какое минимальное натуральное число удовлетворяет этому условию?

    Решение:

    Число делится на 8 и 9/

    8.9 = 72

    Ответ: 72


    Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 70 трехзначна.

    Решение:

    XN2+YN+Z = 70

    Если N=4, X,Y,Z<4;

    3.42+3.4+3 = 53 < 70

    4 недостаточно, что это следующее число = 5

    Ответ: 5


    Сколько значащих цифр в записи десятичного числа 357 в системе счисления с основанием 7?

    Решение:

    357 / 7 = 51, остаток 0

    51 / 7 = 7, остаток 2

    7 / 7 = 1, остаток 0

    357 = 10207

    Ответ: 4


    Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием 6 начинается на 4?

    Решение:

    25 > 46 = 4

    25 > 406 = 24

    25 > 416 25

    Ответ: 2,24,25


    Какое десятичное число при записи в системе счисления с основанием 5 представляется как 12345?

    Решение:

    12345 = 1.53 + 2.52 + 3.5 + 4 = 125 + 50 + 15 + 4 = 194

    Ответ: 194


    Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 101?

    Решение:

    25 > 101= 5

    25 > 1101= 13

    25 > 1010121

    Ответ: 5,13,21


    Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 4.

    Решение:

    31 = …4N

    31-4 = 27

    27 делится на N и N больше чем 4.

    9, 27

    Ответ: 9, 27


    Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 21?

    Решение:

    25 > 217

    25 > 12116

    25 > 22125

    Ответ: 7,16,25


    Укажите, сколько всего раз встречается  цифра 2 в записи чисел 13, 14, 15, …, 23 в системе счисления с основанием 3.

    Решение:

    13=1113

    13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
    111 112 120 121 122 200 201 202 210 211 212

    Ответ: 13


    Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение: 144 + 24 = 201.

    Решение:

    4 + 4 = 1

    8 – 7 = 1

    Ответ: 7


    Найдите десятичное число x, такое что 20 < x < 30, запись которого в системе счисления с основанием 3  заканчивается на 11.

    Решение:

    a113 = 4+a.32

    20 < 4+9.a < 30

    Если a=1, 4+9=13; 13 < 20

    Если a=2, 4+9.2=22;

    20 < 22 < 30

    Ответ: 22


    Запись числа 2B16 в некоторой системе счисления выглядит так: 111N. Найдите основание системы счисления N

    Решение:

    2B16 = 111N

    2B16 = 2.16 + B = 32 + 11 = 43

    43 = 111N

    N2 + N + 1 = 43

    N2 + N – 42 = 0

    N=6, N=-7

     

    Ответ: 6


    Запись числа 210­5 в некоторой системе счисления выглядит так: 313N. Найдите основание системы счисления N.

    Решение:

    2105 = 313N

    2105 = 2.52 + 1.5 = 50 + 5 = 55

    55 = 313N

    3N2 + N + 3 = 55

     

    N = 4

    Ответ: 4


    Укажите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 50 трехзначна

    Решение:

    50 = 3024

    Ответ: 4


    К записи натурального числа в восьмеричной системе счисления справа приписали два нуля. Во сколько раз увеличилось число? Ответ запишите в десятичной системе счисления.

    Решение:

    XY8 = X.8 + Y

    XY008 = X.83 + Y.82 = 82.(X.8+Y)

    Ответ: 64


    Запись числа 338 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 2. Чему равно максимально возможное основание системы счисления?

    Решение:

    338 = XY2N

    XN2+YN+2 = 338

    XN2+YN = 336

    N.(XN+Y) = 336

    16.(1.16+5)=16.21 = 336

    Ответ: 16


    Запись числа 256 в системе счисления с основанием N содержит 3 цифры и оканчивается на 4. Чему равно минимально возможное основание системы счисления?

    Решение:

    256 = XY4N

    XN2  + YN + 4 = 256

    N.(XN+Y) = 252

    Если N=6, 6(5.6+5)=210<252

    N=7

    Ответ: 7


    Решите уравнение 425+x=11223.
    Ответ запишите в четверичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

    Решение:

    42+ x = 11223

    (20+2) + x = 27+9+6+2

    x = 22

    22 = ?4

    22 / 4 = 5, остаток 2

    5 / 4 = 1, остаток 1

    Ответ: 112


    В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 68 и 94 заканчиваются на 3. Определите основание системы счисления.

    Решение:

    68 – 3 = 65

    94 – 3 = 91

    91 = 7.13

    65 = 5.13

    Ответ: 13


    Запись числа N в системе счисления c основанием 6 содержит две цифры, запись этого числа в системе счисления c основанием 5 содержит три цифры, а запись в системе счисления c основанием 11 заканчивается на 1. Чему равно N? Запишите ответ в десятичной системе счисления.

    Решение:

    N = XY6 = X.6 + Y = > N ≤ 35

    N = ABC5 = A.25 + B.5 + C = > N ≥ 30

    N = …111 => N-1 делится на 11

    11.3 = 33

    Ответ: 33


    Сколько единиц в двоичной записи числа 42014 + 22015 – 9?

    Решение:

    24028 + 22015 – 9

    Ответ: 2015


    Сколько единиц в двоичной записи числа 8125 – 4156 + 2632 – 7?

    Решение:

    2632 + 2375 – 2312 – 7

    Ответ: 373


    Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4350 + 8340 – 2320 – 12?

    Решение:

    21020 + 2700 – 2320 – 12

    Ответ: 324


    Значение арифметического выражения: 920 + 360 – 15 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?

    Решение:

    920 + 360 – 15

    360 + 340 – 15

    Ответ: 


    Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8, 4, 2. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены знаком *:

    X= E*16 = *5*8 = ***14 = *****1**2

    Определите число X.

    Решение(Э. Аян, Казань):

    X= Ea16 = 14.16+a = 224+a, где 0<a<16

    Исходя из равенства X=***14 можем сделать вывод, что число Х делится на 4 с остатком 1. Следовательно, переменная а принимает одно из следующий значений: 5, 9, 13.

    При а=5, Х=229

    При а=9, Х=233

    При а=13, Х=237

    Х=*****1**2, следовательно число 233 нам не подходит, так как при переведении его в двоичную систему третий справа бит равен 0, в то время как 229 и 237 подходят.

    Х=*5*8, следовательно при переведении Х в восьмеричную систему навторой бит должен принять значение 5.

    Х=22910=3458

    Х=23710=3558

    Ответ: 237


     

    

    vuz-24.ru