Угол между ребром и плоскостью: Угол между прямой и плоскостью — что это такое? Как найти?

Угол между прямой и плоскостью — что это такое? Как найти?

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Представьте: на уроке физкультуры вам нужно кинуть мяч точно в нарисованную на стене мишень. «Целься под углом 45°», — советует физрук. Или вы читаете задачу по физике, где солнечные лучи падают на поверхность под углом α. А может быть, вам надо помочь маме в саду и подпереть дверь старой лопатой. Что общего у этих ситуаций?

Правильный ответ такой: все эти случаи можно озаглавить геометрическим понятием «пересечение плоскости прямой под некоторым углом». Об этом мы сегодня и поговорим, а именно:

рассмотрим главные определения и примеры;
изучим свойства и теоремы по теме;
научимся находить угол между прямой и плоскостью.

Определение угла между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Мы уже знакомы с понятиями «угол», «прямая» и «плоскость» (если подзабыли, то можете повторить по нашим материалам). А сейчас давайте вспомним, что такое проекция.

Проекция — это геометрическое изображение на плоскости, полученное проведением перпендикуляров из всех точек данного тела на плоскость.

То есть под углом между прямой и плоскостью в пространстве мы подразумеваем угол между прямой и её отображением на плоскость.

Важное уточнение

Если прямая перпендикулярна плоскости, то можно считать, что угол между ними равен 90°, что следует из определения перпендикулярности прямой и плоскости. Этот случай — самый простой, его мы рассматривать не будем.

Также стоит заметить, что если прямая параллельна плоскости, то у них нет ни одной общей прямой, а значит, угол между ними не определяется.

Как вы думаете, какой тип имеет угол между прямой и плоскостью? Верно, он может быть только острым. Попробуйте доказать это самостоятельно 😊

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Свойства и теоремы

Свойство угла между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью называется наименьший из углов между прямой и произвольной прямой в плоскости.

Попробуем привести доказательство. Для этого нарисуем плоскость и проведём к ней прямую АВ, являющуюся наклонной. Тогда АВ₁ — проекция прямой на плоскость, АН — произвольная прямая, принадлежащая плоскости, а

ВН и ВВ₁ — перпендикуляры к плоскости (ВН ⟂ АН, ВВ₁ ⟂ АВ).

Чтобы лучше представить себе этот объёмный чертеж, можно сделать небольшой макет из сложенного листа бумаги, прислонив его к поверхности стола или тетради.

Чтобы проверить истинность свойства, нам необходимо доказать, что угол ∠ВАВ₁ намного меньше, чем угол ∠ВАН

Обозначим проблему: значения этих углов, как и других исходных, нам неизвестны. А значит, на помощь может прийти тригонометрия, ведь сравнить углы можно и через их синусы.

Синус — это отношение противолежащего угла к гипотенузе. В таком случае, .

Оба перпендикуляра ВВ₁ и ВН проведены из точки В, но только один из них является кратчайшим расстоянием от точки по плоскости, и это перпендикуляр ВВ1. Так как значения синусов представляют собой дроби с одинаковыми знаменателями, большей будет та, у которой больше знаменатель.

Следовательно, sin ∠BAB1 < sin ∠BAH, ∠BAB1 < ∠BAH.

Теорема

Из двух наклонных, проведённых из одной точки к плоскости, меньшая образует с плоскостью больший угол, и наоборот: угол, образованный большей наклонной, будет меньшим из двух.

Существует множество разных доказательств этой теоремы, но мы сосредоточимся на одном из них.

Для этого изобразим плоскость и точку . Из точки А проведём две наклонные прямые, причем АВ < АС, а также перпендикуляр к плоскости АО. Докажем, что

∠АВО > ∠АСО.

Стороны ОВ и ОС являются проекциями АВ и АС соответственно. Меньшая прямая имеет меньшую проекцию, а значит, ОВ < ОС.

Отложим на стороне ОС отрезок ОЕ, равный ОВ. Можно ли доказать равенство треугольников АОВ и АОЕ?

В данных треугольниках:

ОВ = ОЕ (по построению),
АО — общий катет.

Следовательно, треугольники АОВ и АОЕ равны по двум катетам (или по первому признаку: две стороны и угол между ними). В таком случае равны и соответственные углы: ∠АВО = ∠АЕО.

Угол АЕО является внешним для треугольника АЕС, и по свойству внешнего угла

∠АЕО = ∠АСЕ + ∠САЕ.

Не трудно догадаться: раз угол АЕО равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним, то он больше любого из этих двух углов.

∠АЕО > ∠АСЕ, и так как ∠АЕО = ∠АВО, то ∠АВО > ∠АСЕ.

Что и требовалось доказать. 😎

Как найти угол между прямой и плоскостью

От теории переходим к практике: а как же можно вычислить угол между прямой и плоскостью? Вопрос лёгкий и сложный одновременно. Дело в том, что задач на нахождение угла очень много, и в каждой из них применяется свой алгоритм решения. Большую роль играет предмет и раздел, в котором эта задача приведена: это может быть стереометрия, векторная алгебра и даже физика. Но все эти алгоритмы сводятся к двум методам: геометрическому и алгебраическому или координатному методу. Давайте подробно рассмотрим каждый из них.

Геометрический метод

Чтобы применить геометрический метод, необходимо опустить перпендикуляр на плоскость из точки, принадлежащей исходной прямой. Выясним, чем в этом задании является перпендикуляр, наклонная и проекция, и решим планиметрическую задачку (чаще всего в таких задачах нам будет необходимо найти один из углов прямоугольного треугольника).

Задача 1

Из точки А на плоскость проведены две наклонные АВ и АС и перпендикуляр АО, причём О, В и С — точки пересечения с плоскостью .

Определите, чему равен АО, если СО = 10, ВО = 26, а угол АСО в два раза больше угла АВО.

Решение:

Отметим на стороне ОВ отрезок, равный ОС. Тогда ОС = ОЕ = 10, а ЕВ = 26 – 10 = 16.

Рассмотрим треугольники АСО и АЕО:

СО = ОЕ (по построению),
АО — общий катет.

Следовательно, треугольники равны по двум катетам. А значит, угол

АСО равен углу АЕО.

Угол АЕО является внешним для треугольника АЕВ, а значит, ∠АЕО = ∠АВЕ + ∠ВАЕ. Так как ∠ АВЕ = , значит, ∠ ВАЕ = 2-=, и треугольник АЕВ — равнобедренный.

Тогда найдём АО через прямоугольный треугольник АОЕ по теореме Пифагора:

Ответ: .

Алгебраический метод

Алгебраический метод или метод координат для нахождения угла между прямой и плоскостью основывается на особой формуле. Чтобы использовать его, необходимо определить координаты двух точек, принадлежащих прямой, описать уравнение плоскости и применить формулу. По сути в этом методе мы находим угол между вектором и плоскостью.

где (x₁, y₁, z₁) — это координаты первой точки,

(x₂, y₂, z₂) — координаты второй точки,

А, В и С — это координаты в уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

Иначе эти числа называют координатами вектора нормали плоскости.

Тут может возникнуть вопрос: а что, если в задаче даны не координаты точек, а координаты вектора?

В этом случае вспомним, что координаты вектора находятся через разность координат начала и конца. А значит, мы со спокойно душой подставляем эти координаты в формулу вместо (х₂ – х₁), (y₂ – y₁) и (z₂ – z₁).

В некоторых задачах для нахождения угла между прямой и плоскостью вводят понятие направляющего вектора прямой. Направляющий вектор прямой — это любой вектор, не равный нулю, который размещается на данной прямой или же на прямой, параллельной ей.

Координаты этого вектора можно получить из канонического уравнения прямой:

, где направляющий вектор а имеет координаты (a_x, a_y).

Тогда угол между прямой и плоскостью можно вычислить по формуле:

Задача 2

Найдите угол между прямой и плоскостью 3x – y – z + 1 = 0.

Решение:

Определим координаты направляющего вектора для прямой: (2; –1; 3).
Определим координаты вектора нормали плоскости: (3; –1; –1).
Подставим координаты в формулу для расчёта синуса угла между плоскостью и прямой:
.

Задача 3

Найдите угол между плоскостью, заданной уравнением x + 2y + 2z – 4 = 0, и прямой, которой принадлежат точки А (0, 2, –1) и В (–2, 4, –1).

Решение:

Определим координаты вектора нормали плоскости: (1; 2; 2).
Подставим координаты вектора нормали и координаты точек прямой в формулу:
.

За короткий промежуток времени мы изучили понятие угла между прямой и плоскостью, доказали теоремы, разобрали способы нахождения угла и решили практические задания. Мы — молодцы! 💪

Думаем, вы понимаете, что эта тема очень важна — с её помощью решаются сложные стереометрические задачи, которые встречаются на ОГЭ и ЕГЭ. Подготовиться к таким серьёзным заданиям помогут курсы профильной математики в онлайн-школе Skysmart. На уроках мы сможем более подробно разобрать задачи с пирамидами и параллелепипедами, а ещё научимся составлять уравнения для любой плоскости. Узнать свои сильные и слабые стороны, составить план обучения и познакомиться с онлайн-платформой можно на вводном уроке — это бесплатно.

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Дарья Вишнякова

К предыдущей статье

Компланарность векторов

К следующей статье

Теоремы, которые точно пригодятся на ЕГЭ

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс

Угол между прямой и плоскостью

Навигация по странице:

Определение угла между прямой и плоскостью
Формула для вычисления угла между прямой и плоскостью
Вывод формулы вычисления угла между прямой и плоскостью
Примеры задач на вычисление угла между прямой и плоскостью

Онлайн калькулятор. Угол между прямой и плоскостью

Определение.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Формула вычисления угла между прямой и плоскостью

Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L

s = {l; m; n}

и уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0,

то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу

sin φ =	\| A · l + B · m + C · n \|
	√A² + B² + C² · √l² + m² + n²

Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью

Из уравнения прямой можно найти направляющий вектор прямой

s = {l; m; n}

Из уравнения плоскости вектор нормали плоскости имеет вид

q = {A; B; C}

Из формул скалярного произведения векторов найдем косинус угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой

cos ψ =	\| q · s \|
	\| s \| · \|q \|

Так как φ = 90° — ψ, то синус угла между прямой и плоскостью sin φ = cos ψ.

Расписав скалярное произведение векторов и модуль векторов через их координаты, получим формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью.

Пример вычисления угла между прямой и плоскостью

Пример 1.

Найти угол между прямой

x — 4	=	y + 2	= —	z — 6
2	=	6	= —	3

и плоскостью x — 2y + 3z + 4 = 0.

Решение.

Из уравнения прямой найдем направляющий вектор прямой

s = {2; 6; -3}

Из уравнения плоскости найдем вектор нормали плоскости

q = {1; -2; 3}

Воспользовавшись формулой, найдем угол между прямой и плоскостью

sin φ =	\| 2 · 1 + 6 · (-2) + (-3) · 3 \|	=
	√2² + 6² + (-3)² · √1² + (-2)² + 3²

| 2 — 12 — 9 |√4 + 36 + 9 · √1 + 4 + 9

|-19|√49 · √14

197√14

Ответ: sin φ = 197√14.

Онлайн калькуляторы. Аналитическая геометрия. Декартовые координаты

Угол между линией и плоскостью

В этой статье мы подробно обсудим понятие угла между линией и плоскостью. Прежде чем приступить к обсуждению этой концепции, сначала давайте посмотрим, что такое прямая и плоскость.

Что такое прямая линия?

Прямая линия, также известная как прямая в геометрии, представляет собой двухмерную фигуру, в которой бесконечное число точек простирается в любом направлении. Прямая линия является частью 2D-геометрии и не имеет ширины или высоты. Длина прямой линии бесконечна.

Лучшие репетиторы по математике

Поехали

Что такое самолет?

Плоскость — это плоская поверхность, образованная бесконечным числом точек, простирающихся без ограничений в любом направлении. Это также фигура 2-D , потому что, как и прямая линия, она не имеет толщины, а имеет только длину и ширину. Например, если вы рисуете что-то на плоской бумаге, то это значит, что вы рисуете что-то на плоскости.

Угол между линией и плоскостью

Угол между линией и плоскостью образуется, когда линия наклонена к плоскости и к плоскости проведена нормаль из точки, где ее касается линия. Этот угол между прямой и плоскостью равен дополнению угла между нормалью и прямой.

Могут быть следующие три сценария, когда прямая и плоскость могут существовать вместе:

Прямая может быть на плоскости
Прямая может быть параллельна плоскости
Линия может быть секущей

Угол, образованный между плоскостью и прямой линией, будет разным в каждом из трех вышеуказанных обстоятельств.

Если прямая присутствует на плоскости или параллельна ей, то угол, образованный между прямой и плоскостью, будет равен 0 градусов.
Если линия является секущей плоскости, то угол, образованный между ними, обозначается . Этот угол, который образуется между линией и плоскостью, на самом деле является углом, образованным прямой линией с ее ортогональная проекция на плоскость.

Другими словами, можно сказать, что угол между прямой и плоскостью — это угол, образованный между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость.

Это явление показано на рисунке ниже, поскольку он показывает угол между линией r и плоскостью.

Угол между линией и плоскостью

Если у нас есть информация о следующих элементах, то мы можем определить угол между линией и плоскостью, используя следующую формулу:

Плоскость
Прямая
Определяющий вектор
Вектор нормали к плоскости

Если линия, r , а плоскость, π , перпендикулярны, вектор направления прямой и вектор нормали к плоскости имеют одинаковое направление и поэтому его компоненты пропорциональны:

Теперь давайте перейдем к следующим примерам, в которых мы будем использовать приведенную выше формулу для определения угла между прямой и плоскостью.

Пример 1

Определить угол между прямой и плоскостью.

Решение

Из уравнений плоскости и прямой линии мы можем найти:

Управляющий вектор прямой =

Вектор нормали к плоскости =

Подставьте эти значения в следующую формулу, чтобы получить угол :

Следовательно, угол между прямой и плоскостью примерно равен 45 градусам.

Пример 2

Определить угол между прямой и плоскостью .

Решение

Из уравнений плоскости и прямой можно найти:

Вектор направления прямой =

Вектор нормали к плоскости =

Подставьте эти значения в следующую формулу, чтобы получить угол:

Следовательно, угол между прямой и плоскостью приблизительно равен 67,09 градуса.

Пример 3

Определить угол между прямой и плоскостью:

Решение

Из уравнений прямой и плоскости в этом примере мы можем найти:

Вектор направления линии:

Вектор нормали плоскости:

Подставьте эти значения в приведенную ниже формулу, чтобы получить угол:

Следовательно, угол между прямой и плоскостью примерно равен 30 градусам. \circ$ (угол в пятиугольнике). Угол $\phi$, который вы ищете, является высотой этого треугольника; это длина дуги, соединяющей вершину треугольника (соответствующую ребру додекаэдра) перпендикулярно противоположному ребру треугольника (соответствующему грани додекаэдра). Сферический закон косинусов, примененный к треугольнику, разрезанному пополам, дает 9{-1}}{\sqrt5}\quad=-\sqrt\frac{5-\sqrt5}{10}.$$

$\endgroup$

$\begingroup$

Сначала определите золотое сечение и его обратную пропорцию

$$ a:=(1+\sqrt{5})/2, \quad b:=1/a=a-1. $$

Из статьи в Википедии правильный додекаэдр, определите шесть вершин додекаэдра $$ v_1 = (0,а,б),\; v_2 = (0,а,-б),\; v_3 = (1,1,-1),\\ v_4 = (а,б,0),\; v_5 = (1,1,1),\; v_6 = (a,-b,0)$$ где $\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\}$ являются вершинами пятиугольной грани и $v_6-v_4$ — реберный вектор. Пусть $v_0 := (v_1+v_2)/2 = (0,a,0)$ — середина ребра грани, противоположной $v_4$. Затем 9\circ-\theta.$

Обратите внимание, что преимущество этого метода заключается в том, что ему требуется только координаты нескольких вершин, используя золотое сечение, скалярное произведение векторов и никакой тригонометрии, кроме самый конец, чтобы получить $\theta$ из его косинуса.

$\endgroup$

$\begingroup$

Пользоваться укороченными формулами/построениями из Википедии, может быть, и не очень хорошая привычка, так как настоящий математик должен сам строить свои геометрические или аналитические геометрические фигуры, однако я считаю, что это необходимо, когда у вас мало времени . 92$ с вершинами $(1,1,1),(1,1,-1),(\phi,\frac{1}{\phi},0)$, $(0,\phi,\ frac{1}{\phi}),(0,\phi,-\frac{1}{\phi})$ и с вектором нормали $\vec n=\langle1,\phi,0\rangle$.

Ребро действительно соединяет вершины $P=(1,1,1)$ и $Q=(\frac{1}{\phi},0,\phi)$. {\circ}$$ 9{\circ}$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Этот угол может быть получен из двугранного угла $\delta = \arccos (-1/\sqrt{5})$ додекаэдра векторным методом. (Двугранный угол $\delta$ получается при построении додекаэдра — см., например, этот ответ на вопрос «Как это доказательство существования правильного додекаэдра не удается?»).

Рассмотрим группу из трех смежных граней пятиугольника, как показано на рис. 1, в котором пятиугольник $A$ лежит в плоскости страницы, а $B$ и $C$ наклонены вперед и пересекаются с $A$ под двугранным углом. $\дельта$. Каждый пятиугольник образует двугранный угол $\delta$ с двумя другими. Требуемый угол равен $\alpha$ между ребром $e$ и плоскостью пятиугольника $A$. Если $\beta$ — это угол между единичной нормалью $\underline{\mathbf{u}}_A = \underline{\mathbf{k}}$ к $A$ и единичным вектором $\underline{\mathbf{e }}$ вдоль $e$, тогда $\alpha = \beta + 90$.

Угол между прямой и плоскостью — что это такое? Как найти?