Центр описанной окружности около треугольника лежит: центр описанной окружности лежит

Окружность, описанная около треугольника — интернет энциклопедия для студентов

Определение и формулы круга, описываемого вокруг треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Круг, проходящий через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью.

Центр описанной окружности лежит на пересечении средних перпендикуляров к сторонам треугольника.

Круг может быть описан вокруг любого треугольника и только одного.

Радиус $\ \mathrm{R} $ окружности, описываемой вокруг треугольника, равен отношению произведения сторон a, b, c треугольника к его четверной области:

$\ R=\frac{a b c}{4 S} $

Радиус круга, описанного вокруг треугольника, равен отношению стороны треугольника к двойному синусу противоположного угла (следствие теоремы синуса):

$\ R=\frac{A B}{2 \sin \angle C}=\frac{A C}{2 \sin \angle B}=\frac{B C}{2 \sin \angle A} $

В правом треугольнике центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы.

Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

Задача

Найти радиус окружности, описанной около треугольника $\ \mathrm{ABC} $ со стороной $\ \mathrm{AB = 3 см} $ и углами $\ \angle A=60 $ и $\ \angle B=75^{\circ} $

Решение

Радиус $\ R $ окружности, описываемой вокруг треугольника, найден из уравнения

$\ R=\frac{A B}{2 \sin \angle C} $

Сумма углов произвольного треугольника равна $\ 180^{\circ} $ , поэтому

$\ \angle C=180^{\circ}-60^{\circ}-75^{\circ}=45^{\circ} $

Теперь вы можете найти радиус окружности:

$\ R=\frac{3}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2} \mathrm{см} $

Ответ

$\ R=\frac{3 \sqrt{2}}{2} $ см. {\circ} \)

Физика

166

Реклама и PR

Педагогика

Психология

Социология

Астрономия

Биология

Культурология

Экология

Право и юриспруденция

Политология

Экономика

Финансы

История

Философия

Информатика

Право

Информационные технологии

Экономическая теория

Менеджент

719

Математика

338

Химия

Микро- и макроэкономика

Медицина

Государственное и муниципальное управление

География

542

Информационная безопасность

Аудит

Безопасность жизнедеятельности

Архитектура и строительство

Банковское дело

Рынок ценных бумаг

Менеджмент организации

Маркетинг

238

Кредит

Инвестиции

Журналистика

Конфликтология

Этика

Формулы дифференцирования Окружность, вписанная в треугольник Равнобедренный треугольник Равносторонний (правильный) треугольник Прямоугольный треугольник

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю Политику конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Треугольник описанный около окружности

Содержание

Определение
Формулы
Радиус вписанной окружности в треугольник
Радиус описанной окружности около треугольника
Площадь треугольника
Периметр треугольника
Сторона треугольника
Средняя линия треугольника
Высота треугольника
Свойства
Признаки существования
Признаки равенства
Виды
Термины

Определение

Треугольник, описанный около окружности — это треугольник,
который находится около окружности и соприкасается
с ней всеми тремя сторонами.

На рисунке ниже изображена окружность, вписанная в треугольник;
и треугольник, описанный около окружности.

△ABC — треугольник, описанный около окружности;
A, B, C — вершины треугольника, описанного около окружности;
F, D, E — точки касания треугольника, описанного около окружности;
O — центр окружности, вписанной в треугольник;
OD = OF = OE — радиусы треугольника, описанного около окружности;
AB, BC, CA — касательные;
FA = AE, EC = CD, FB = BD — отрезки касательных;
OF ⟂ AB, OD ⟂ BC, OE ⟂ AC;

Треугольник ABC имеет три точки, где соприкасаются
стороны и сама окружность, эти точки называют точками
касания. У данного треугольника их всего три.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем
только одну. Треугольник, в который вписана окружность
называется треугольником описанным около окружности.

Треугольники, описанные около окружности, обладают рядом
рядом отличительных свойств, характерных признаков, уникальными
терминами, а также формулам, по которым можно найти разные величины.

Формулы радиуса вписанной окружности, радиуса описанной окружности,
диаметра, средней линии, периметра, площади стороны позволяют выразить
одни величины через другие, рассчитать длину величины, узнать во сколько
раз одна величина отличается от другой, какая прослеживается взаимосвязь.

Длина любой величины произвольного
треугольника может измеряется в мм, см, м, км.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности треугольника, описанного около окружности.

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:
\[ r = \frac{S}{(a+b+c)/2} \]
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:
\[ r = \frac{S}{\frac{1}{2}P} \]
Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:
\[ r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} \]

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности треугольника, описанного около окружности.

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
\[ R = \frac{AC}{2 \sin \angle B} \]
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:
\[ R = \frac{abc}{4S} \]
Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:
\[ R = \frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} \]

Площадь треугольника

S — площадь треугольника, описанного около окружности. 2}{2\cdot (sin(α)⋅sin(β)) : sin(180 — (α + β))} \]

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:
\[ S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin \angle C \]
Периметр треугольника
P — периметр треугольника, описанного около окружности.
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:
\[ P = a + b + c \]
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:
\[ P = \frac{2S}{r} \]
Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:
\[ P = \sqrt{ b2 + с2 — 2 * b * с * cosα} + (b + с) \]
Сторона треугольника
a — сторона треугольника, описанного около окружности. 2-2bc \cdot \cos \alpha}}{2} \]
Высота треугольника
h — высота треугольника, описанного около окружности.
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:
\[ h = \frac{2S}{a} \]
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:
\[ h = b \cdot \sin \alpha \]
Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:
\[ h = \frac{bc}{2R} \]
Свойства
Свойства треугольника, описанного около окружности,
а также окружности, вписанной в треугольник, медиан,
высот, биссектрис, радиусов-перпендикуляров.
Свойство 1. Окружность, можно вписать
в любой треугольник, только один раз.
Свойство 2. Центр окружности, вписанной в треугольник —
точка пересечения биссектрис, центр окружности.
Свойство 3. Центр окружности, описанной около треугольника —
точка пересечения серединных перпендикуляров.
Свойство 4. Центры вписанной и описанной окружностей
равностороннего треугольника, описанного около
окружности совпадают, имеют одну общую точку.
Свойство 5. Отрезок, проведенный из центра треугольника,
описанного около окружности, к любой из сторон,
является радиусом.
Свойство 6. У любого треугольника центр
вписанной окружности находится только внутри.
Свойство 7. Окружность находящаяся внутри
треугольника, описанного около окружности,
касается всех его сторон.
Свойство 8. Вписанная окружность и треугольник,
описанный около окружности, имеют три общие точки,
которые лежат на трех сторонах треугольника.
Свойство 9. Формула радиуса вписанной окружности
у треугольника, описанного около окружности, и четырехугольника,
у которого суммы противоположных равны, совпадает.
Свойство 10. Радиус описанной около треугольника окружности,
можно выразить и рассчитать через Теорему Синусов.
Свойство 11. У треугольника, описанного около
окружности, радиус вписанной окружности, можно
рассчитать через площадь и полупериметр.
Свойство 12. Радиус в точку касания есть перпендикуляр.
Свойство 13. Окружность, вписанная в треугольник, разделяет
стороны треугольника на 3 пары равных отрезков.
Свойство 14. Стороны треугольника, описанного около
окружности, можно также называть касательными.
Свойство 15. Отрезки, которые проведены из центра вписанной
окружности, к точкам касания, перпендикулярны сторонам.
Свойство 16. Сумма углов треугольника, описанного
около окружности, равна 180 градусам.
Свойство 17. Центр вписанной окружности
равноудален от всех сторон треугольника.
Свойство 18. Центр вписанной в треугольник окружности в научных
кругах называется замечательной точкой треугольника, либо инцентром.
Свойство 19. Правильный треугольник, описанный около
окружности, имеет точки касания с окружность, в серединах сторон.
Свойство 20. Равнобедренный, прямоугольный, равносторонний
треугольники, описанные около окружности, в точке пересечения
биссектрис и центре окружности, имеют одну общую точку.
Признаки существования
Признак 1. Центр вписанной окружности —
это точка пересечения биссектрис.
Признак 2. На сторонах треугольника лежат
три точки касания вписанной окружности.
Признак 3. Вписанная окружность делит смежные
стороны треугольника на равные отрезки касательных.
Признак 4. У вписанной окружности три радиуса в точку касания быть перпендикулярами.
Исходя из вышеперечисленных признаков, исходных
данных, внешнего вида, можно определить является ли
треугольник описанным около окружности или же нет.
Признаки равенства
Признак 1. По двум сторонам и углу между ними.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника, описанного
около окружности, равны двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, описанного около окружности, то такие треугольники равны.
Признак 2. По стороне и двум прилежащим к ней углам.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника, описанного
около окружности, равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, описанного около окружности, то такие треугольники равны.
Признак 3. По трем сторонам.
Если три стороны одного треугольника, описанного
около окружности, равны трем сторонам другого
треугольника, описанного около окружности.
Виды
Как мы знаем, любой треугольник может быть описан около
окружности, исходя из этого можно сказать, что около
окружности, могут быть описаны следующие виды треугольников:
Разносторонний треугольник
Равносторонний / правильный треугольник
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равнобедренный прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник, описанный около окружности
Характерные признаки: один из углов прямой,
длину сторон можно найти через Теорему
Пифагора, сумма острых углов 90 градусов. 2\sqrt{3}}{4} \]
\[ r = \frac{a}{2 \sqrt 3} \]
\[ R = 2r \]
Термины
Точка касания — это точка, где соприкасается вписанная
окружность с треугольником; это общая точка, для окружности
и треугольника, которая лежит на любой из сторон треугольника.
Инцентр — это точка, где пересекаются три биссектрисы
треугольника; это центр вписанной окружности в треугольник;
это одна из замечательных точек в геометрии.
Касательная — это сторона треугольника, которая имеет с
вписанной окружностью одну общую точку — точку касания.
Ортоцентр — точка, где пересекаются высоты треугольника.
Ось симметрии — это прямая, которая делит
треугольник на равные половины.
Замечательная точка — это точка пересечения медиан,
высот, биссектрис, серединных перпендикуляров.
Отрезок касательной — это отрезок, который берет начало
у одной из вершин треугольника, и имеет конец в точке касания.
Примечания о свойствах описанной окружности
Описанная окружность или описанная окружность относится к той окружности многоугольника, которая проходит через все вершины многоугольника. Середина круга известна как центр описанной окружности, ее радиус известен как радиус описанной окружности. Многоугольник, который имеет описанных окружностей , известен как циклический многоугольник и конциклический многоугольник, поскольку все вершины многоугольника являются конциклическими. Например, трапеции, простые многоугольники являются вписанными многоугольниками. Родственное понятие — это наименьший ограничивающий круг, который содержит многоугольник внутри себя, поскольку это самый маленький круг.
Хотя многоугольник имеет описанную окружность, он не может соответствовать наименьшей окружности с наименьшим ограничивающим кругом. Например. для тупоугольного треугольника наименьшая ограничивающая окружность имеет большой диаметр и не проходит через противоположную вершину. Окружность не только находится под окружностью, но также встречается в треугольниках, четырехугольниках и т. д. во всех циклических многоугольниках.
ОКРУЖНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКА:
Поскольку мы знаем, что каждый треугольник является вписанным, поэтому каждый треугольник имеет описанную окружность. Когда есть встреча 3 линий, что составляет 9угол 0 градусов с одной стороны треугольника, и он пересекает эту сторону из середины.
Положение описанной окружности лежит на множестве треугольников:
Если это остроугольный треугольник, то центр описанной окружности этого треугольника будет лежать только внутри него.
Если это тупоугольный треугольник, центр описанной окружности этого треугольника будет лежать вне треугольника.
Если это прямоугольный треугольник, то центр описанной окружности будет виден на одной из сторон треугольника
ДИАМЕТР ТРЕУГОЛЬНИКА:
Диаметр треугольника можно рассчитать по высоте одной из сторон треугольника. Таким образом, диаметр круга давайте возьмем ΔABC:
D = A B C/2 Площадь (Поскольку площадь = ABC/(4R))
= A B C/2 (√S (S-A) (S-B) (S-C))
= 2a b c/ √(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
= 2a b c /√ (a²+b²+c²)² -2( a4+b4+c4)
Здесь s относится к сторонам треугольника, поэтому стороны = (a +b +c)/2, что является полупериметром.
РАДИУС:
Точка, в которой остаются 3 линии, является описанной окружностью этих 3 точек и часто называется окружностью бесконечного радиуса. Радиус можно рассчитать по формуле:
R = a bc/ 4 A = a bc /√ (a²+b²+c²)² -2(a4+b4+c4 )
Радиус прямоугольного треугольника можно рассчитать по формуле:
R = a²+b² / 2 = c/2
ОБЛАСТЬ:
Площадь можно рассчитать по формуле:
A=π /16(a b c/ A)2 = (abc)²/(a² + b²+ c²)2-2(a4 + b4 + c4).
Периметр:
Периметр треугольника может быть оценен по формуле:
P = π /2 (ABC /A)
Circircles of Quadilaterals:
Radius:
R = r =
. √abcd(a²+b²+c²+d²)+ (ab) ² (c²+d²)+(cd)² (a²+b²)/ 4A.
R = √l²+w² / 2 .
Для четырехугольников формула:
R = abcd(a²+b²+c²+d²)+ (ab )² (c²+d²)+(cd)² (a²+b²) ⁄ (a² + b²+ c²+ d²)²+8 a b c d -2 (a4 + b4 + c4 +d4)
ОКРУЖНОСТИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ:
РАДИУС:
Радиус многоугольника нормальной формы можно рассчитать по формуле:
R = s / 2 sin (180/n).
ДИАМЕТР :
Диаметр можно рассчитать по формуле:
D = 1/sin (180/n) с.
ПЛОЩАДЬ И ПЕРИМЕТР:
Площадь можно рассчитать по формуле:
A= / 4 sin²(180/n)s²
Периметр можно рассчитать по формуле :
P = / sin (180/n ) с.
ЗАЯВИТЕЛЬНЫЙ ВОПРОС:
Вопрос.
Правильный пятиугольник внутри круга радиусом 6 см. предположим, что пятиугольник назван ABCDE. Тогда 1(АС) = ?.
Решение:
Круг радиусом = 6 см.
Длина многоугольника = 2 * r * sin(180°/n)
Здесь n = 5, r = 6
поэтому l = 2 * 6 * sin(36°)
l = 7,05 см.
нарисуйте многоугольник, а затем
In ∆ AOC,

AC = 2*r*cos(
AC= 11,4 см.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ:
Центр описанной окружности известен как центр описанной окружности , и все вершины треугольника являются ближайшими к центру описанной окружности. Хотя центр описанной окружности остается внутри треугольника в остроугольном треугольнике. И центр описанной окружности лежит вне треугольника, когда это тупоугольный треугольник. Если сторона прямоугольного треугольника является гипотенузой, то центр описанной окружности лежит внутри его середины. центр описанной окружности любого треугольника можно провести, проведя серединный перпендикуляр к любой из двух сторон треугольника.
геометрия — Доказательство того, что 4 точки лежат на окружности и что центр этой окружности лежит на описанной окружности $\треугольника ABC$
Задавать вопрос

спросил 4 года, 4 месяца назад
Изменено 4 года, 4 месяца назад
Просмотрено 738 раз
$\begingroup$
Дан остроугольный треугольник $ABC$. Пусть $D$ — фут высоты от вершины $A$. Пусть $D_1$ — точка, линия симметрии между $D_1$ и $D$ — это прямая $AB$. Пусть $D_2$ — точка, линия симметрии между $D_2$ и $D$ — это прямая $AC$. Пусть точки $E_1, E_2$ лежат на прямой $BC$ так, что $D_1E_1 \параллельны AB$ и $D_2E_2 \параллельны AC$. Доказательство того, что точки $D_1, E_1, D_2, E_2$ лежат на одной окружности и что центр этой окружности лежит на описанной окружности треугольника $ABC$.

Мой план состоял в том, чтобы сначала доказать, что $D_1E_1E_2D_2$ является вписанным четырехугольником, другими словами, что $\угол E_1E_2D_2 + \угол E_1D_1D_2 = 180°$ или что $\угол E_1D_2D_1 = \угол E_1E_2D_1$. Это будет означать, что точки $D_1, E_1, D_2, E_2$ лежат на одной окружности. Однако безуспешно.
Может ли кто-нибудь помочь мне с этим, пожалуйста?
геометрия
евклидова геометрия
треугольники
круги
четырехугольник
$\endgroup$
1
$\begingroup$
поставить $\угол BAD=\угол EAC, \угол CAD=\угол ECB$.
EB перпендикулярен $D_1E_1$. Так как треугольник $BD_1E_1$ равнобедренный (т. к. эти углы равны), то $ED_1E_1$ равнобедренный. равнобедренный треугольник тоже. E лежит на двух перпендикулярах к $D_1E_1$ и $D_2E_2$. Это показывает, что E является центром описанной окружности этих четырех точек.
$\endgroup$
1 9{\circ} — \angle BCF_2 $, что доказывает утверждение.
(2) $\треугольник D_1A’D_2$ является расширением $\треугольника F_1AF_2$ с масштабным коэффициентом $2$. Итак, $A’D_1$ (соответственно $A’D_2$) параллелен $AB$ (соответственно $AC$) и, следовательно, $E_1$ (соответственно $E_2$) является пересечением $A’D_1$ с $BC $ (соответственно $A’D_2$ с $BC$). Это показывает, что четырехугольник $D_1E_1E_2D_2$ получается из четырехугольника $F_1BCF_2$ разложением по $D$ в $2$.
Поскольку мы показали цикличность $ F_1BCF_2 $ в (1), следует, что $ D_1E_1E_2D_2 $ также является циклическим.