Угол между касательной и хордой – УчМет

Урок геометрии в 10 классе УМК Л.С.Атанасян

МБОУ Верхличская СОШ Красногорского района Брянскойобласти

Учитель: Струговец Елена Васильевна

Тема урока: Угол между касательной и хордой.

Цель урока: Доказать теорему об угле между касательной и хордой.Способствовать выработке у учащихся умения применять изученную теорему при решении задач.

Задачи:

  • Систематизировать знания учащихся по разделу планиметрии «Углы, связанные с окружностьюСоздать содержательные и организационные условия для применения школьниками комплекса знаний для решения задач.

  • Развивать личностно-смысловые отношения учащихся к изучаемому предмету. Способствовать формированию коллективной и самостоятельной работы, формировать умение четко и ясно излагать свои мысли.

  • Прививать учащимся интерес к предмету через совместную творческую работу; формировать умение аккуратно и грамотно выполнять геометрические построения и математические записи.

Оборудование:

  1. Тематические таблицы, презентация.

  2. Тесты и карточки для ответов.

Ход урока.

  1. Организационный момент. (1 мин)

Проверить готовность учащихся к уроку, отметить отсутствующих.

  1. Постановка цели. (2мин)

В тетради запишите дату, тему урока. На уроке мы повторим теоретические знания по теме «Углы, связанные с окружностью». Докажем теорему об угле между касательной и хордой, научимся применять её к решению задач различных типов.

  1. Актуализация знаний. (7 мин)

  1. Диктант (с последующей проверкой). Закончить прочитанное предложение.

  1. Угол, вершина которой лежит на окружности называется … (вписанным).

  2. Угол с вершиной в центре окружности — … (центральный).

  3. Отрезок, соединяющий две точки окружности называется … (хордой).

  4. Наибольшея из хорд окружностей — … (диаметр).

  5. Мера дуги равна мере … (центрального угла).

  6. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется…(касательной)

  7. Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания взаимно…(перпендикулярны)

  8. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется… (секущей).

  9. Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр …(прямые)

  10. Угол, образованный двумя касательными, проведенными из одной общей точки называется …(описанным).

2) Решение задач по чертежу.

3) Решение задач

  1. Центральный угол АОВ на 300 больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.

Ответ.300; 600.

  1. Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 1400. Большая дуга точкой М делится в отношении 6 : 5, считая от точки А. Найдите ВАМ.

Ответ.500.

IV.Доказательство теоремы.(5мин)

Мы знаем, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Докажем теорему об угле между касательной и хордой.

Теорема.
Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, измеряется половиной заключенной в нем дуги.
Доказательство.

Рис.1

Пусть АВ- данная хорда, СС1— касательная, проходящая через точку А. Если АВ- диаметр (рис.1), то заключенная внутри угла ВАС (и также
угла ВАС1) дуга является полуокружностью. С другой стороны, углы ВАС и ВАС1 в этом случае прямые, поэтому утверждение теоремы верно.

Рис.2
Пусть теперь хорда АВ не является диаметром. Для определенности будем считать, что точки С и С1 на касательной выбраны так, что угол САВ-
острый, и обозначим буквой а величину заключенной в нем дуги (рис.2). Проведем диаметр АD и заметим, что треугольник АВD прямоугольный, поэтому АDВ = 90° — DАВ = ВАС, Поскольку угол АВВ вписанный, то АDВ = , а значит, и ВАС = . Итак, угол ВАС между касательной АС и хордой АВ измеряется половиной заключенной в нем дуги.
Аналогичное утверждение верно в отношении угла

ВАС1. действительно, углы ВАС и ВАС1 —смежные, поэтому ВАС1 = 180-=. С другой стороны, (360° — ) это величина дуги АDВ, заключенной внутри угла ВАС1. Теорема доказана.

  1. Решение задач по чертежу. (5мин)

1. Если

2. Если

VI. Решение задач с оформлением. (7мин)

1. Через точку D, лежащую на радиусе

ОА окружности с центром О, проведена хорда ВС, перпендикулярная к ОА, а через точку В проведена касательная к окружности, пересекающая прямую ОА в точке Е. Докажите, что луч ВА— биссектриса .

Доказательство.

АВЕ=АВ – по теореме об угле между касательной и хордой.

АВС=АС – вписанный угол.

АВ=АС – равные хорды стягивают равные дуги, а хорды АВ и АС равны, так как АВС – равнобедренный. Следовательно, АВЕ=АВС, луч ВА— биссектриса .

VII. Домашнее задание. (3мин)

1. В треугольнике АВС А=320, а С=240. Окружность с центром в точке В проходит через точку А, пересекает АС в точке М, ВС – в точке N.

Чему равен АNМ?

2. Уметь доказывать теорему.

VIII. Подведение итогов. Самоанализ урока. (3мин)

Анализ работы учащихся на уроке. Выставление отметок.

Самоанализ по полученным знаниям

Имя ученика: _______________________________________

 

Какие умения сформированы на уроке

“5”

“4”

“3”

“2”

1

Знаю определения видов углов

 

 

 

 

2

Могу находить величины углов при решении задач

 

 

 

 

3

Теорема об угле между касательной и хордой.

 

 

 

 

4

Понятно доказательство теоремы

 

 

 

 

5

Применяю теорему при решении задач

 

 

 

 

Окружность. Касательная, секущая и хорда.

Геометрия‎ > ‎8 класс‎ > ‎

Окружность. Касательная, секущая и хорда.

Теорема 1

Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами.

Доказательство

Рассмотрим угол NАВ, образованный касательной NA и хордой AB.
 
Проведем диаметр АС. Касательная перпендикулярна диаметру, проведенному в точке касания, следовательно, угол(CAN)=90°
Известно, что вписанный угол равен половине центрального угла дуги, на которую он опирается. Отсюда имеем, что угол(BAC) равен половине угловой величины дуги ВС или половине угла(ВОС). угол(BAC)=угол(BOC)/2.
угол(NAB)=90°-угол(BAC), отсюда получаем
угол(NAB)=90°-угол(BOC)/2=(180°-угол(BOC))/2=угол(АОВ)/2
то есть равен половине угловой величины дуги ВА.

Фактически, это вырожденный случай теоремы о величине вписанного угла, когда вершина угла достигает конца дуги (хорды). Одна из сторон угла при этом становится касательной.

Теорема 2 (о касательной и секущей)

Если из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.

Доказательство

На рисунке, где MA — касательная, а MCB — секущая,

эта теорема выглядит так: МА2=МВ*МС. Докажем это.

По предыдущей теореме угол МАС равен половине угловой величины дуги АС. Но вписанный угол ABC тоже опирается на дугу AC, и по теореме о величине вписанного угла равен половине угловой величины дуги АС. Оба угла равны половине угловой величины дуги AC, следовательно, эти углы равны между собой. угол(MAC)=угол(ABC).
Принимая во внимание то, что у треугольников АМС и ВМА угол при вершине М общий, констатируем подобие этих треугольников по двум углам.
Из подобия имеем: MC/MA=МА/MB, откуда получаем МА2=МВ*МС

Задача

Пусть Е и F — общие точки двух неравных пересекающихся окружностей, АD и BC — общие внешние касательные этих окружностей (А, В, С и D — точки касания, первые две — на одной окружности, остальные — на второй).

Пусть T — пересечение прямых AD и EF, а S — пересечение BC и EF. Доказать, что TS — средняя линия трапеции ABCD.

Доказательство

Для точки S: SB — касательная, а SFE — секущая. По теореме о касательной и секущей имеем SB2=SE*SF.
Опять же для точки S, но другой окружности: SC — касательная, а SFE — секущая. По теореме о касательной и секущей имеем SC2=SE*SF.

Тогда SB2=SC2, откуда SB=SC.
По тем же причинам TA=TD.

Тогда T — средняя точка отрезка AD, а S — средняя точка отрезка BC. По определению, TS — медиана (средняя линия) трапеции ABCD. Средняя линия трапеции имеет следущие свойства: она делит высоту трапеции пополам, она параллельна двум основаниям (AB и CD), и её длина — половина суммы длин оснований: TS=(AB+CD)/2

Хорды окружности

задача №671

 

задача №666

Теорема об альтернативном сегменте | Brilliant Math & Science Wiki

В этом разделе мы докажем теорему об альтернативных отрезках двумя разными методами.

Рассмотрим приведенный выше рисунок. Мы взяли \(X\) диаметрально противоположно \(T\), так что \(XT\) проходит через \(O\), центр \(\Gamma\). Пусть \(\angle PXT=\alpha\) и \(\angle PTT_1=\beta\). Мы хотим доказать, что \(\alpha=\beta\). Обратите внимание, что поскольку угол, образуемый диаметром, является прямым углом, мы имеем \(\angle XPT=9\circ — \угол PTX\). Отсюда \(\альфа=\бета\). \(_\квадрат\)

Примечание: Существует другая конфигурация, когда угол при \(X\) опирается на большую дугу \(PT\) (когда \(\угол PXT\) тупой). Это предоставляется читателю в качестве упражнения.

Вот еще одно доказательство:

Поскольку \( \overline{OA}\) и \( \overline{OB}\) являются радиусами окружности, \(\lvert \overline{OA}\rvert=\lvert \overline{OB} \rvert . \) 9\круг} \\ &= \frac{50}{9}\pi. \ _\квадрат \конец{выравнивание} \]

Касательные в точках \(A\), \(B\) к описанной окружности \(\треугольника ABC\) пересекаются в точке \(T\). Прямая через \(T\), параллельная \(AC\), пересекает \(BC\) в точке \(D\). Докажите, что \(AD=CD\).

См. рисунок выше. Давайте разберемся, что мы знаем из условия задачи. Поскольку \(AC\параллелен TD\) с секущими \(AD\) и \(BC\), имеем \(\угол ADT=\угол CAD\) и \(\угол BDT=\угол ACD\). Кроме того, \(TA\) и \(TB\) являются касательными из одной и той же точки \(T\), поэтому \(TA=TB\) и, следовательно, \(\угол TAB=\угол TBA\). Поскольку касательные есть, мы должны рассмотреть теорему об альтернативных отрезках, согласно которой мы имеем \(\угол TAB=\угол ACB\). Объединяя все эти результаты, мы находим

\[\угол BDT=\угол ACD=\угол ACB=\угол TAB=\угол TBA, ~~~~~\угол ADT=\угол CAD.\]

В частности, \(\angle TAB=\angle TDB\), поэтому \(ATBD\) является циклическим. Отсюда \(\угол TBA=\угол ADT\). Итак, у нас наконец-то есть эта длинная цепочка

.

\[\угол BDT=\угол ACD=\угол ACB=\угол TAB=\угол TBA=\угол ADT=\угол CAD.\]

В частности, \(\угол ACD=\угол CAD\) в \(\треугольник ACD\), поэтому \(AD=CD\). \(_\квадрат\)

9\circ\)(зеленый), какова мера \(\угол BCA\) (синий) в градусах?

Примечание: Рисунок выполнен не в масштабе.

Окружности \(\Gamma_1\) и \(\Gamma_2\) пересекаются в 2 различных точках \(A\) и \(B\). Прямая \(l\) через \(A\) пересекает \(\Gamma_1\) и \(\Gamma_2\) в точках \(C\) и \(D,\) соответственно, так что \(C\) не находится в \(\Gamma_2\) и \(D\) не находится в \(\Gamma_1\). Точка \(E\) является пересечением касательной к \(\Gamma_1\) в точке \(C\) и касательной к \(\Gamma_2\) в точке \(D\). 9\circ,\) какова мера (в градусах) \( \угла CED?\)

Теорема об альтернативном отрезке | Круги | Доказательство | Решения

Сегмент окружности — это область между хордой и соответствующей дугой окружности. Когда аккорд рисуется, он создает большой сегмент и второстепенный сегмент в круге.

Рассмотрим приведенный ниже рисунок, на котором DE — касательная, а BC — хорда. \(\угол\) BCE образован касательной и хордой BC. Это равно \(\угол \)BAC в альтернативном сегменте.

\(\угол\) ACD образован касательной DE и хордой AC. Это равно \(\угол \) ABC в альтернативном сегменте.

Это то, что утверждает теорема об альтернативных сегментах. Согласно этой теореме угол, образованный между касательной и хордой, проходящей через одну из концов, равен мере угла, противоположного противоположному отрезку.

План урока

1. Что вы подразумеваете под теоремой об альтернативных сегментах?
2. Советы и рекомендации
3. Важные примечания
4. Решенные примеры
5. Интерактивные вопросы

Что вы подразумеваете под теоремой об альтернативных сегментах?

Теорема об альтернативном сегменте

Для любой окружности угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен углу, образуемому хордой в альтернативном сегменте.

Предположим, что к окружности проведена касательная так, что точка ее касания есть P, и через P проведена хорда PQ, которая наклонена к касательной под углом \(\alpha\).

Предположим, что PQ образует угол \(\beta\) в точке R в любой точке окружности, как показано:

Пусть \(\угол PRQ = \угол \beta \) , альтернативные углы в альтернативном сегменте для угла между касательной в точке P и хордой PQ.

Этот угол будет одинаковым независимо от положения R (пока R остается в сегменте напротив касательной ).

Примеры теоремы об альтернативном сегменте

Рассмотрим рисунки, приведенные ниже. Слева у нас есть три допустимых альтернативных угла в альтернативном сегменте (и все они будут равны) для касательной в точке P и хорды PQ, тогда как справа угол, отмеченный \(\gamma\), равен , а не альтернативный угол для касательной в точке P, поскольку он равен на той же стороне хорды PQ (тот же сегмент), что и касательная в точке P.

Альтернативный сегмент 002 Угол между хордой и касательной равен углу, образуемому хордой на альтернативном отрезке.

Докажем это.

Пусть P будет точкой на окружности. О быть центром круга.

\(\overline{AB}\) является касательной, проходящей через точку P.

Касательная образует \(\угол \alpha\) с хордой PQ.

Рассмотрим \(\угол PRQ =\beta\) в альтернативном сегменте.

Теперь докажем \(\угол \альфа = \угол \бета\).

\(\overline{OP} = \overline{OQ} (\потому что\) оба являются радиусами окружности.)

\(\angle OPQ = \angle OQP\) \((\because\) углы, противоположные равным сторонам, равны. )

\(\потому что \треугольник OPQ\) равнобедренный,  9{\circ} — \angle OPQ —- (2) \end{align}\]
Из (1) и (2) находим, что \[\угол POQ = 2\альфа\]

Мы знаем, что угол в центре вдвое больше угла на окружности.

\[\begin{align}\angle POQ &= 2\angle PRQ\\\\\angle PRQ &= \dfrac{1}{2}\angle POQ\\\\\angle \beta &=\dfrac {1}{2}(2 \alpha)\\\\ &= \angle \alpha \end{align}\]

Таким образом, теорема об альтернативных сегментах доказана.

 

Советы и рекомендации

  1. Определите хорду, которая образует угол с касательной, и найдите угол в альтернативном сегменте хорды.
  2. Чтобы найти недостающие углы внутри многоугольника, вписанного в окружность, используйте прием поиска углов в чередующемся сегменте.

Использование теоремы об альтернативных отрезках для нахождения углов

Теорема об альтернативном сегменте Четырехугольник

Эта теорема используется, чтобы показать, что она распространяется и на четырехугольник теоремы об альтернативном сегменте.

Здесь мы знаем, что по теореме об альтернативных сегментах \[\угол p = \угол r\]
Нам нужно показать, что \(\angle s = \angle q\)

Поскольку касательная LM прямая, мы имеем

\[\angle p + \angle s = 180—-(1)\]
Поскольку углы \(\угол r\) и  \(\угол q\) являются противоположными углами вписанного четырехугольника, мы знаем, что

\[\угол q + \угол r = 180—-(2)\]

\[\угол p + \угол s = \угол q + \угол r\]
\(\так как \угол p = \угол r\), мы имеем \(\угол s = \угол q\)

Значит доказано.

Важные примечания

  • Теорема о чередующихся сегментах утверждает, что угол между хордой и касательной равен углу между хордой в альтернативном сегменте.
  • Эта теорема помогает нам найти неизвестные углы любого многоугольника, вписанного в окружность.

Решенные примеры

9{\circ}\)
Пример 1

Интерактивные вопросы

Вот несколько упражнений для практики. Выберите/введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

 

 

 

 

Подведем итоги

интерактивные вопросы. Теперь вы сможете легко решать задачи на теорему о чередующихся отрезках или теорему о касательных хордах четырехугольника и находить углы в чередующихся отрезках.

О Cuemath

Наша команда экспертов по математике в Cuemath стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-преподавание-обучение» учителя изучают тему со всех сторон.

Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любая другая форма отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и разумный подход к обучению.0011

1. Что называется альтернативным углом?

Когда секущая пересекает две или более параллельных прямых, мы получаем чередующиеся углы, которые находятся в противоположных положениях относительно секущей, пересекающей прямые.

2. Что такое теорема круга?

Теорема о окружности утверждает, что перпендикуляр из центра окружности к хорде всегда делит хорду пополам.

3. Что является примером отрезка в реальной жизни?

Ребра книги образуют четырехугольник, состоящий из четырех отрезков.

4. Каково уравнение для альтернативных внутренних углов?

Если два угла A и B являются альтернативными внутренними углами, они представлены как \(\угол A \cong \угол B\).

5. Что такое угол в теореме об альтернативном отрезке?

Теорема о чередующихся отрезках утверждает, что в окружности угол между хордой и касательной, проходящей через любой из концов хорды, равен углу в альтернативном отрезке.

6. Как еще называется теорема об отрезке угла?

 Другое название теоремы об отрезке угла — теорема о касательной хорде.

7. Есть ли только один способ решить теорему об альтернативных отрезках?

Есть 2 способа решить теорему об альтернативных сегментах.