Математика – ЕГЭ 2018. Базовый уровень. Решение задания 20

1. Математика – ЕГЭ 2018. Базовый уровень. Решение задания 20.

Составила: Зорихина Н.Ю.
Учитель математики I категории

2. Типы задач

Обмен фишек
Оценка за четверть
Среднее арифметическое
Партия в теннис
Чёрно-белое поле
Договор о дружбе
Плоскость
Задача о столбах
Вазы с розами
Маша и медведь
Таблица чисел
Порванная книга
Цветные линии
ЕГЭ – 2017
Деление амёб
Манекенщицы
Кубики
Горный перевал
Произведение чисел
Продажа холодильников
Места в кинозале
Закон Мура

3. Обмен фишек

Петя меняет маленькие фишки на большие зайди
на обмен он получает 6 больших фишек отдав 9
маленьких. Сначала у Пети было 100 фишек
(больших и маленьких), Осталось 79 сколько
обменов он совершил?
Решение:
1) 9-6=3. этим действием мы узнаем сколько Петя теряет
(назовём это так) фишек за 1 обмен.
2) 100-79=21 фишку он потерял
3) 21:3 и получаем 7
Ответ: 7

4.

Обмен наклеекПетя обменивался наклейками. Одну наклейку он
меняет на 5 других Вначале у него была 1 наклейка.
Сколько наклеек у него будет после 50 обменов?
Решение:
1)50*5=250 – всего получит наклеек
2)но при обмене он отдавал по 1 наклейке
получается 250-49=201.
Ответ. 201

5. Оценка за четверть

В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из
предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки
умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным
3530. Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если
учитель ставит только отметки «2″, «3″, «4″ или «5″ и итоговая отметка
в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок,
округленным по правилам округления?
Решение:
Число 3530 разложим на множители таким образом, чтобы остаток от
разложения состоял из чисел 2, 3, 4 и 5 (т.к. только такие оценки ставит
учитель). 3530=2⋅5⋅353, при этом оценки 353 не бывает, но оно записано
в виде ряда оценок 3, 5 и 3.
Таким образом, получается ряд оценок 2, 5, 353 (как и по условию у нас
оценок получилось 5 штук). Найдем среднее арифметическое данных
оценок 2+5+3+5+3=3,6, округлив до целого получим оценку 4.
Ответ: 4.
В конце четверти Петя выписал подряд все свои
отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и
поставил между некоторыми из них знаки умножения.
Произведение получившихся чисел оказалось равным
3495. Какая отметка выходит у Пети в четверти по
этому предмету, если учитель ставит только отметки
«2″, «3″, «4″ или «5″ и итоговая отметка в четверти
является средним арифметическим всех текущих
отметок, округленным по правилам округления?
(Например, 3,23,2 округляется до 33; 4,54,5 — до 55; а
2,82,8 — до 33.)
Ответ: 3

7. Среднее арифметическое

Среднее арифметическое 6 различных
натуральных чисел равно 8. На сколько нужно
увеличить наибольшее из этих чисел, чтобы их
среднее арифметическое стало на 1 больше?
Решение:
Ответ: 6

8.

Партия в теннисМиша, Коля и Леша играют в настольный теннис:
игрок, проигравший партию, уступает место
игроку, не участвовавшему в ней. В итоге
оказалось, что Миша сыграл 12 партий, а Коля — 25.
Сколько партий сыграл Леша?
Решение:
Ответ: 13

9. Чёрно-белое поле

Клетки таблицы 6 х 5 раскрашены в черный и
белый цвета. Пар соседних клеток разного цвета
26, пар соседних клеток черного цвета всего 6.
Сколько пар соседних клеток белого цвета?
Решение:
Ответ: 17

10. Договор о дружбе

Из десяти стран семь подписали договор о дружбе
ровно с тремя другими странами, а каждая из
оставшихся трех — ровно с семью. Сколько всего
было подписано договоров?
Решение:
Ответ: 21

11. Плоскость

Три луча, выходящие из точки, разбивают
плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым
числом градусов. Наибольший угол в 3 раза больше
наименьшего. Сколько значений может принимать
величина среднего угла?
Решение:
Ответ: 20

12.

Задача о столбахСемь столбов соединены между собой проводами так,
что от каждого столба отходит ровно 4 провода. Сколько
всего проводов протянуто между этими семью
столбами?
Решение:
Ответ: 14
Десять столбов соединены между собой проводами
так, что от каждого столба отходит ровно 8
проводов. Сколько всего проводов протянуто
между этими десятью столбами?
Ответ: 40

13. Вазы с розами

На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с
розами: черная, зеленая и оранжевая. Слева от
черной вазы 32 розы, справа от оранжевой вазы 9
роз. Всего в вазах 37 роз. Сколько роз в зеленой
вазе?
Решение:
На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с
розами: белая, синяя и красная. Слева от красной
вазы 15 роз, справа от синей вазы 12 роз. Всего в
вазах 22 розы. Сколько роз в белой вазе?
Ответ: 5

15. Маша и медведь

Маша и Медведь съели 160 печений и банку варенья,
начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела
варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они
поменялись. Медведь и то, и другое ест в три раза
быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если
варенье они съели поровну?
Решение:
Ответ: 144
Маша и Медведь съели 51 печенье и банку
варенья, начав и закончив одновременно.
Сначала Маша ела варенье, а Медведьпеченье, но в какой-то момент они
поменялись. Медведь и то, и другое ест в
четыре раза быстрее. Сколько печений съел
Медведь, если варенья они съели поровну?
Ответ : 48
Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, н
ачав и закончив одновременно. Сначала Маша ела вар
енье, а Медведь – печенья, но в какойто момент они поменялись. Медведь и то, и другое ест
в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медв
едь, если варенья они съели поровну?
Ответ: 90

18. Порванная книга

Из книги выпало несколько идущих подряд
листков. Номер последней страницы перед
выпавшими листами — 352, номер первой страницы
после выпавших листов записывается теми же
цифрами, но в другом порядке. Сколько листов
выпало?
Решение:
Ответ: 85
Про натуральные числа A, B и C известно, что
каждое из них больше 4, но меньше 8. Загадали
натуральное число, затем его умножили на А,
потом прибавили к полученному произведению B
и вычли C. Получилось 165. Какое число было
загадано?
Решение:

20. Цветные линии

На палке отмечены поперечные линии красного,
желтого и зеленого цвета. Если распилить палку по
красным линиям, получится 8 кусков, если по
желтым – 12 кусков, а если по зеленым — 6 кусков.
Сколько кусков получится, если распилить палку
по линиям всех трех цветов?
Решение:
Ответ: 24

21. ЕГЭ — 2017

На ленте с разных сторон от середины отмечены
две поперечные полоски: синяя и красная. Если
разрезать ленту по синей полоске, то одна часть
будет длиннее другой на A см. Если разрезать по
красной, то одна часть будет длиннее другой на B
см. Найдите расстояние от красной до синей
полоски.
Решение:
Ответ: 30

22. Деление амёб. Способ 1

Биологи открыли разновидность амёб, каждая из
которых ровно через минуту делится на две. Биолог
кладёт амёбу в пробирку, и ровно через час пробирка
оказывается полностью заполненной амёбами. Сколько
минут потребуется, чтобы вся пробирка заполнилась
амёбами, если в неё положить не одну, а четыре амёбы?
Решение:
Переведем часы в минуты, так как ответ должен быть в минутах:
1 час = 60 минут
Через 60 минут одна амеба произведет полную пробирку амеб. Если амеб
будет 4, то за тот же час будет заполнено 4 пробирки. Однако пробирка лишь
одна, поэтому каждой амебе нужно заполнить лишь 1/4 от пробирки.
Если 1 амеба заполняет всю пробирку за 60 минут, то 1/2 пробирки (половина)
будет заполнена 1 амебой за 59 минут, а 1/4 пробирки (половина от половины)
будет заполнена ею за 58 минут. Поскольку все 4 амебы будут делиться
одновременно, за 58 минут они полностью заполнят пробирку.

23. Способ 2

Переведем часы в минуты, так как ответ должен быть в минутах:
1 час = 60 минут
Пусть количество минут, которое будет происходить деление, равно x. Тогда за это
время 1 амеба поделится на 2x амеб, а 4 амебы – на 4 ⋅ 2x. При этом они полностью
заполнят пробирку. Кроме этого известно, что 1 амеба за 60 минут полностью
заполнит пробирку, то есть при этом получится 260 амеб. Составляем уравнение и
решаем его:
260 = 4 ⋅ 2x
260 = 2log24 ⋅ 2x
260 = 2x + log24
60 = x + log24
x = 60 – log24 = 60 – 2 = 58 минут
Заметим, что при вычислениях нам понадобилось привести число 4 к степени с
основанием 2. Для этого было использовано основное логарифмическое тождество:
4 = 2log24
Ответ: 58

24. Манекенщицы

При демонстрации летней одежды наряды каждой
манекенщицы отличаются хотя бы одним из трёх
элементов: блузкой, юбкой и туфлями. Всего
модельер приготовил для демонстрации 5 видов
блузок, 3 вида юбок и 4 вида туфель. Сколько
различных нарядов будет показано на этой
демонстрации?
Решение:
Поскольку существует 5 видов блузок, 3 вида юбок и 4 вида туфель, число
различных нарядов равно произведению этих чисел:
5 ⋅ 3 ⋅ 4 = 60
Ответ: 60

25. Кубики

Сколькими способами можно поставить в ряд два
одинаковых красных кубика, три одинаковых
зелёных кубика и один синий кубик?
Решение:
Нам важен порядок кубиков, поэтому нам нужно посчитать количество
перестановок всех кубиков: Р = (2 + 3 + 1)! = 6! Однако у нас есть одинаковые
кубики, от перемены мест которых результат не изменится: 3 зеленых (это 3!
перестановок) и 2 красных (это 2! перестановок). Нужно разделить
получившееся число перестановок при всех разных кубиках на число
перестановок зеленых и красных кубиков, чтобы исключить повторы:
6! / (2! ⋅ 3!) = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 / (1 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3) = 2 ⋅ 5 ⋅ 6 = 60
ОТВЕТ: 60

26. Горный перевал

Группа туристов преодолела горный перевал. Первый
километр подъёма они преодолели за 50 минут, а
каждый следующий километр проходили на 15 минут
дольше предыдущего. Последний километр перед
вершиной был пройден за 95 минут. После
десятиминутного отдыха на вершине туристы начали
спуск, который был более пологим. Первый километр
после вершины был пройден за час, а каждый
следующий на 10 минут быстрее предыдущего. Сколько
часов группа затратила на весь маршрут, если
последний километр спуска был пройден за 10 минут.
Решение:
Ответ: 8,5

27. Произведение чисел

Произведение десяти идущих подряд чисел
разделили на 7. Чему может быть равен остаток?
Решение:
Так как количество чисел, произведение которых берется, больше
заданного делителя, остаток от деления будет равен 0. Поскольку среди
чисел из произведения обязательно найдется число, которое делится
нацело на заданный делитель.
Приведем несколько примеров:
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10 / 7 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10
16 ⋅ 17 ⋅ 18 ⋅ 19 ⋅ 20 ⋅ 21 ⋅ 22 ⋅ 23 ⋅ 24 ⋅ 25 / 7 = 3 ⋅ 16 ⋅ 17 ⋅ 18 ⋅ 19 ⋅ 20 ⋅ 22 ⋅ 23 ⋅ 24 ⋅
25
Ответ: 0

28.

Места в кинозалеВ первом ряду кинозала 24 места, а в каждом
следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько
мест в восьмом ряду?
Решение:
Вычислим количество мест в каждом ряду кинозала последовательно:
Ряд 1: 24
Ряд 2: 24 + 2 = 26
Ряд 3: 26 + 2 = 28
Ряд 4: 28 + 2 = 30
Ряд 5: 30 + 2 = 32
Ряд 6: 32 + 2 = 34
Ряд 7: 34 + 2 = 36
Ряд 8: 36 + 2 = 38
Ответ: 38

29. Закон Мура

По эмпирическому закону Мура среднее число
транзисторов на микросхемах каждый год
удваивается. Известно, что в 2005 году среднее
число транзисторов на микросхеме равнялось 520
млн. Определите, сколько в среднем миллионов
транзисторов было на микросхеме в 2003 году.
Решение:
Пусть в 2003 году было x миллионов транзисторов, тогда в 2005 году их
стало:
x ⋅ 2 ⋅ 2 = 4x = 520
Осталось найти значение x:
x = 520 / 4 = 130
Ответ: 130

30. Продажа холодильников

По условию задачи в апреле было продано 10 холодильников. С мая по август (4
месяца) продажи увеличивались на 15 холодильников каждый месяц. Получили
арифметическую
прогрессию
a1 = 10
d = 15 n = 5 объём
Число n равно
5, так как в расчеты
В магазине
бытовой
техники
продаж
мы включили месяц апрель. Необходимо найти сумму 5 членов арифметической
холодильников носит сезонный характер. В январе
прогрессии. Воспользуемся формулами: Sn = (a1 + an) ⋅ n / 2 an = a1 + d(n — 1)
былоn-ый
продано
10 холодильников,
в три
Вычислим
член арифметической
прогрессии и и
сумму
n членов: a5 = a1 + d(n
— 1) = последующих
10 + 15 ⋅ (5 – 1) = 10 + 60
= 70 S5 = продавали
(10 + 70) ⋅ 5 / 2 =по
80 ⋅ 10
5 / 2 = 400 / 2 = 200 С
месяца
сентября объем продаж начал уменьшаться на 15 холодильников каждый месяц (4
холодильников. С мая продажи увеличивались на
месяца). Значит в сентябре было продано: 70 – 15 = 55 холодильников Получили
15 единиц
по сравнению
с предыдущим
месяцем.
С
убывающую
арифметическую
прогрессию:
a1 = 55 d = –15 n = 4 Вычислим
n-ый
членсентября
арифметической
прогрессии
и сумму
n членов:
a4 = a1 + d(n — 1)на
= 5515
– 15 ⋅ (4 –
объём
продаж
начал
уменьшаться
1) = 55
– 45 = 10 S4 = (55 + 10) каждый
⋅ 4 / 2 = 65 ⋅ 4месяц
/ 2 = 260относительно
/ 2 = 130 холодильников Таким
холодильников
образом, в январе, феврале и марте было продано по 10 холодильников, с апреля
предыдущего
месяца.
Сколько
холодильников
по август
включительно было
продано
200 холодильников,
а с сентября по
продал
магазин
год?130 холодильников. Общее количество
декабрь
включительно
былоза
продано
проданных за год холодильников равно: 10 + 10 + 10 + 200 + 130 = 360
Решение:
холодильников
Ответ: 360

31. Таблица чисел

В таблице три столбца и несколько строк. В каждую
клетку таблицы вписали по натуральному числу так,
что сумма всех чисел в первом столбце равна 103, во
втором — 97, в третьем — 93, а сумма чисел в каждой
строке больше 21, но меньше 24. Сколько всего строк в
таблице?
Вычислим
Решение:
сумму натуральных чисел во всей таблице, для этого нужно
сложить суммы чисел во всех столбцах:
103 + 97 + 93 = 293
Теперь найдем диапазон, в котором лежит число строк таблицы. Для этого
разделим сумму чисел в таблице на сумму чисел в строке.
Поскольку сумма чисел в строке больше 21, но меньше 24, она может быть
равна 22 или 23. Если сумма в строке равна 22, то:
293 / 22 ≈ 13,3
Если сумма чисел в строке равна 23, то:
293 / 23 ≈ 12,7
Получается, что число строк в таблице лежит в диапазоне от 12,7 и 13,3.
Единственное целое число, лежащее в данном диапазоне, равно 13.

32. Использованные источники:

http://www.ege-math.ru
http://worksbase.ru/matematika/kak-reshat/egeb-20

Линейное программирование — тест с ответами

Математика дается не всем. Но сдавать её нужно чтобы получить за нее зачет или какую либо оценку. Сейчас чаще всего проводится проверка знаний в виде тестирования. Мы собрали частые вопросы встречающиеся в тестах на этой странице. Обратите внимание что правильные варианты ответов выделены символом [+].

Каждую секунду бактерия делится на две новые бактерии. Известно, что весь объём одного стакана бактерии заполняют за 1 час. За сколько секунд бактерии заполняют половину стакана?

[+] Ответ: 3599

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по жёлтым — 5 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?

[+] Ответ: 25

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за один прыжок. Кузнечик начинает прыгать из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 11 прыжков?

[+] Ответ: 12

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

[+] Ответ: 5

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в восьмом подъезде в квартире № 468, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом двенадцатиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

[+] Ответ: 10

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в двенадцатом подъезде в квартире № 465, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом пятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

[+] Ответ: 4

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в десятом подъезде в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)

[+] Ответ: 3

Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке 15 минут, а на каждом следующем занятии увеличивать время, проведённое на беговой дорожке, на 7 минут. За сколько занятий Андрей проведёт на беговой дорожке в общей сложности 2 часа 25 минут, если будет следовать советам тренера?

[+] Ответ: 5

Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять 3 капли, а в каждый следующий день — на 3 капли больше, чем в предыдущий. Приняв 30 капель, он ещё 3 дня пьёт по 30 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает приём на 3 капли. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

[+] Ответ: 2

Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять 20 капель, а в каждый следующий день — на 3 капли больше, чем в предыдущий. После 15 дней приёма пациент делает перерыв в 3 дня и продолжает принимать лекарство по обратной схеме: в 19-й день он принимает столько же капель, сколько и в 15-й день, а затем ежедневно уменьшает дозу на 3 капли, пока дозировка не станет меньше 3 капель в день. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится 200 капель?

[+] Ответ: 7

Произведение десяти идущих подряд чисел разделили на 7. Чему может быть равен остаток?

[+] Ответ: 0

Сколькими способами можно поставить в ряд два одинаковых красных кубика, три одинаковых зелёных кубика и один синий кубик?

[+] Ответ: 60

В бак объёмом 38 литров каждый час, начиная с 12 часов, наливают полное ведро воды объёмом 8 литров. Но в днище бака есть небольшая щель, и из неё за час вытекает 3 литра. В какой момент времени (в часах) бак будет заполнен полностью.

[+] Ответ: 18

Какое наименьшее число идущих подряд чисел нужно взять, чтобы их произведение делилось на 7?

[+] Ответ: 2

В результате паводка котлован заполнился водой до уровня 2 метра. Строительная помпа непрерывно откачивает воду, понижая её уровень на 20 см в час. Подпочвенные воды, наоборот, повышают уровень воды в котловане на 5 см в час. За сколько часов работы помпы уровень воды в котловане опустится до 80 см?

[+] Ответ: 8

В меню ресторана имеется 6 видов салатов, 3 вида первых блюд, 5 видов вторых блюд и 4 вида десерта. Сколько вариантов обеда из салата, первого, второго и десерта могут выбрать посетители этого ресторана?

[+] Ответ: 360

Нефтяная компания бурит скважину для добычи нефти, которая залегает, по данным геологоразведки, на глубине 3 км. В течение рабочего дня бурильщики проходят 300 метров в глубину, но за ночь скважина вновь «заиливается», то есть заполняется грунтом на 30 метров. За сколько рабочих дней нефтяники пробурят скважину до глубины залегания нефти?

[+] Ответ: 11

Какое наименьшее число идущих подряд чисел нужно взять, чтобы их произведение делилось на 9?

[+] Ответ: 2

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: • за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную; • за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную. У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

[+] Ответ: 10

На поверхности глобуса фломастером проведены 12 параллелей и 22 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан — это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель — это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.

[+] Ответ: 286

В корзине лежит 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 28 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?

[+] Ответ: 27

Группа туристов преодолела горный перевал. Первый километр подъёма они преодолели за 50 минут, а каждый следующий километр проходили на 15 минут дольше предыдущего. Последний километр перед вершиной был пройден за 95 минут. После десятиминутного отдыха на вершине туристы начали спуск, который был более пологим. Первый километр после вершины был пройден за час, а каждый следующий на 10 минут быстрее предыдущего. Сколько часов группа затратила на весь маршрут, если последний километр спуска был пройден за 10 минут.

[+] Ответ: 8,5

На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: A, B, C и D. Расстояние между A и B — 35 км, между A и C — 20 км, между C и D — 20 км, между D и A — 30 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). Найдите расстояние между B и C. Ответ дайте в километрах.

[+] Ответ: 15

На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: A, B, C и D. Расстояние между A и B — 50 км, между A и C — 40 км, между C и D — 25 км, между D и A — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). Найдите расстояние между B и C.

[+] Ответ: 10

В классе учится 25 учащихся. Несколько из них ходили в кино, 18 человек ходили в театр, причём и в кино, и в театр ходили 12 человек. Известно, что трое не ходили ни в кино, ни в театр. Сколько человек из класса ходили в кино?

[+] Ответ: 16

По эмпирическому закону Мура среднее число транзисторов на микросхемах каждый год удваивается. Известно, что в 2005 году среднее число транзисторов на микросхеме равнялось 520 млн. Определите, сколько в среднем миллионов транзисторов было на микросхеме в 2003 году.

[+] Ответ: 130

В первом ряду кинозала 24 места, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду?

[+] Ответ: 38

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, если по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 11 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?

[+] Ответ: 21

В магазине бытовой техники объём продаж холодильников носит сезонный характер. В январе было продано 10 холодильников, и в три последующих месяца продавали по 10 холодильников. С мая продажи увеличивались на 15 единиц по сравнению с предыдущим месяцем. С сентября объём продаж начал уменьшаться на 15 холодильников каждый месяц относительно предыдущего месяца. Сколько холодильников продал магазин за год?

[+] Ответ: 360

В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: 1) за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную; 2) за 6 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную. У Николы были только серебряные монеты. После посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 35 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николы?

[+] Ответ: 10

Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы. )

[+] Ответ: 5

Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, а на каждом этаже одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 110 квартир?

[+] Ответ: 11

Калькулятор комбинаций (nCr, nPr)

Количество элементов (n)

Элементы для выбора (r)

Порядок важен:
Порядок не имеет значения
Комбинации

С повторами:
Без повторов Идент.
Все предметы уникальны

n C r = n!
(н-р)! р!

Комбинации Формулы

nCr formula
Number of combinations
without repetitions		 = n C r
= n!
(н-р)! р!
Комбинации с формулой

повторений
Количество комбинаций
с повторениями
= 900r+
(н-1)! р!

Permutations Formulas

nPr formula
Number of permutations
without repetitions		 = n P r
= n!
(н-р)!
Перестановки с формулой

повторений
Количество перестановок
с повторениями		 = n r

Калькулятор комбинаций

Что такое комбинация?

Комбинация — это выбор r элементов из набора из n элементов, порядок выбора которых не важен.

Примеры комбинаций

Комбинации без повторений

Допустим, мы хотим выбрать 2 шара из мешка с 3 шарами красного (R), зеленого (G) и фиолетового (P) цветов. 123
Сколько у нас будет уникальных комбинаций, если мы не сможем повторять шары?

3 разных способа. Наши варианты: RG, RP и GP.
121323

Мы можем подсчитать количество комбинаций без повторений, используя формулу nCr, где n равно 3, а r равно 2.

# комбинаций = n! = 3! = 6 = 3
(n-r)!r! 2!*1! 2

Примеры такого типа комбинаций мы можем увидеть при подборе команд на спортивную игру или на задание. Мы не можем выбрать члена команды более одного раза (поэтому у нас не может быть команды с Дэнни, Дэнни и мной), и нам все равно, кто будет выбран первым в команду (поэтому, если я в команде с Бобом и Томом для меня это то же самое, что быть в команде с Томом и Бобом).

Комбинации с повторениями

Допустим, мы хотим выбрать 2 шара из мешка с 3 шарами красного (R), зеленого (G) и фиолетового (P) цвета 123
Если каждый раз, когда мы выбираем шар, мы кладем это обратно в сумку, сколько уникальных комбинаций у нас будет?

6 разных способов. Наши варианты: RR, RG, RP, GG, GP и PP.
111213222333

Количество комбинаций с повторениями можно подсчитать математически, используя формулу комбинаций с повторениями, где n = 3 и r = 2,

# комбинаций = (n+r-1)! = 4! = 24 = 6
(n-1)!r! (3-1)!2! 4

Примеры такого типа комбинаций можно увидеть при покупке мороженого в магазине мороженого, поскольку мы можем выбирать вкусы более одного раза (я мог бы получить две, три или даже четыре шарика шоколадного мороженого, если бы я хотел), и мне все равно, какая ложка будет сверху (поэтому шоколад сверху и ваниль снизу для меня то же самое, что ваниль сверху с шоколадной основой).

Калькулятор перестановок

Что такое перестановка?

Перестановка — это выбор r элементов из набора из n элементов, где важен порядок, в котором мы выбираем наши элементы.

Примеры перестановок

Перестановки без повторений

Допустим, мы хотим выбрать 2 шара из мешка с 3 шарами красного (R), зеленого (G) и фиолетового (P) цветов 123
Сколько уникальных перестановок получится у нас есть, если мы не можем повторить шары?

6 разных способов. Наши варианты: RG, GR, RP, PR, GP и PG.
122113312332

Мы можем показать это математически, используя формулу перестановок с n = 3 и r = 2

# перестановок = n! = 3! = 3! = 6
(н-р)! (3-2)! 1!

Мы можем видеть примеры этого типа в реальной жизни в результатах беговых забегов (при условии, что два человека не могут занимать одно и то же место), поскольку нам явно небезразлично, придем ли мы первым, а наш конкурент вторым или если это наоборот.

Перестановки с повторениями

Допустим, мы хотим выбрать 2 шара из мешка с 3 шарами красного (R), зеленого (G) и фиолетового (P) цветов. 123
Если каждый раз, когда мы выбираем мяч, мы кладем его обратно в мешок, сколько уникальных перестановок мы получим?

9 разных способов. Наши варианты: RR, RG, GR, RP, PR, GG, GP, PG и PP.
111221133122233233

Мы можем показать это математически, используя формулу перестановок с повторениями с n = 3 и r = 2,
# permutations = n r = 3 2 = 9

Мы можем видеть это в реальной жизни по количеству кодов на сейфе — мы можем повторять числа, если хотим (и иметь пароль, например, 1111) и мы заботимся о порядке чисел (поэтому, если 1234 откроет сейф, 4321 не откроет).

Объяснение формул комбинаций и перестановок

Сколько способов упорядочить n шаров?

Если у нас есть 3 шара красного (R), зеленого (G) и фиолетового (P) цвета, то есть 6 различных способов. У нас есть 3 варианта для первого цвета, затем 2 варианта для второго цвета и один вариант для последнего цвета. Поэтому у нас есть 3*2*1 разных вариантов или 3! На 4 мяча у нас 4! доступны различные перестановки. На 5 мячей у нас 5! разные варианты и т.д. Для n шаров имеем n! параметры.

Объяснение формулы перестановок

Сколько существует перестановок для выбора 3 шаров из 5 без повторений? Мы можем выбрать любой из 5 шаров в первом выборе, любой из 4 оставшихся во втором выборе и любой из 3 оставшихся в третьем выборе. Это 5 * 4 * 3, что можно записать как 5!/2! (что равно n! / (n — r)! с n=5, r=3).
Существует также альтернативный способ выбрать набор из 3 шаров. Допустим, мы хотели выбрать 123 шара. Затем мы могли бы также выбрать оставшиеся 2 шара. Это дало бы нам возможные перестановки 12345 и 12354. Мы видим, что их 2! (то есть 2) различные способы выбора 5 шаров, если мы хотим, чтобы 123 были первыми 3 вариантами выбора. Следовательно, мы можем получить количество выборов 3 шаров из 5 шаров, разделив 5! (общее количество выборов) на 2! (перестановки в списке из 5! вариантов, которые начинаются с 123 или любых других 3 шаров, которые вы можете выбрать). . Сколько 5 перестановок шара он начнет? Ну 2! потому что для этой подборки у вас осталось два шара и их можно разложить по 2! разными способами (как мы видели выше). Следовательно, чтобы получить количество перестановок 3-х шаров, выбранных из 5-ти шаров, нужно разделить 5! на 2!.

Объяснение формулы комбинаций

Каждая комбинация из 3 шаров может представлять 3! разные перестановки. Следовательно, мы можем вывести формулу комбинаций из формулы перестановок, разделив количество перестановок (5!/2!) на 3! чтобы получить 5! / (2! * 3!) = 10 разных способов. Это обобщается и на другие комбинации и дает нам формулу #combinations = n! / ((n — r)! * r!)

Объяснение перестановок с формулой повторений

Если мы снова выбрали 3 из 5 шаров, но с повторениями, то у нас есть 5 вариантов для каждого выбора, что дает нам 5 * 5 * 5 = Всего 125 вариантов. Таким образом, общая формула такова: #permutations = n р .

Объяснение комбинаций с формулой повторений

Посмотрим, сколько существует комбинаций для выбора 3-х шаров из 5 (красный (R), зеленый (G), фиолетовый (P), бирюзовый (T) и желтый (Y)) с повторения. Вы заметите, что наш трюк с формулой обычных комбинаций не работает. Например, если мы посмотрим на комбинацию двух красных шаров и одного зеленого шара, у нас будет только 3 возможных перестановки (RGG, GRG, GGR) вместо 3! = 6, так как зеленый появляется дважды. Поэтому мы не можем просто разделить количество перестановок на 6! и быть сделано. Вместо этого мы будем использовать красивое представление, чтобы упростить нашу задачу. Мы можем представить выбор в виде таблицы, поэтому, если мы хотим выбрать 2 красных и зеленый шар, мы можем отметить это как: R | г | П | Т | Д
ООО | О | | |
Что можно записать более компактно, опустив заголовок и ненужные пробелы, как OO|O|||
и выбор одного зеленого, одного фиолетового и одного желтого шара можно записать как:
R | г | П | Т | Y
| О | О | | O
, что более компактно можно записать как |O|O||O
Наконец, выбор 3 бирюзовых шаров можно записать в виде следующей таблицы:
R | г | П | Т | Y
| | | | ООО
, которое может быть записано как ||||ООО
Каждая строка из 4 | и 3 О соответствует выбору и наоборот. Следовательно, количество способов выбрать 3 шара из 5 с повторением и там, где порядок имеет значение, такое же, как количество способов написать строки из 4 символов «|» и 3 «О». Чтобы выяснить, сколько их, мы можем начать с 7! а потом видим, что надо делить на 4! потому что мы повторяем строки 4! из-за | повторение (поскольку изначально мы рассматриваем 4 | как отдельные символы) и делим на 3! так как мы повторяем строки 3! раз из-за повторения O. Следовательно, существует 7!/(4!3!) различных комбинаций = (n + r — 1)! / ((n — 1)! * r!), что является формулой, которая нам нужна.

Комбинации и перестановки, в чем разница?

Разница в том, заботимся ли мы о заказе. В комбинациях порядок не имеет значения. Если бы нам нужно было выбрать спортивную команду, то порядок, в котором мы выбираем игроков, не имеет значения. Если мы заботимся о порядке, то мы выбираем перестановку. Если вместо спортивной команды посмотреть на результаты бегового забега, то порядок становится важным. Нам не все равно, придем ли мы первыми, а наш главный соперник вторым или наоборот, даже если они будут частью одной и той же комбинации.

Как пользоваться калькулятором комбинаций и перестановок?

Порядок важен : определяет, хотите ли вы использовать калькулятор комбинаций (когда он не активен) или калькулятор перестановок (когда он активен).

С повторениями : позволяет выбирать комбинации и перестановки с повторениями (активно) или без (неактивно).
Это относится как к калькулятору комбинаций , так и к калькулятору перестановок .

Идентичные элементы : позволяет указать, есть ли в вашей задаче повторения элементов, но не бесконечная замена (активно) или нет (неактивно). Когда он активен, вы можете указать количество повторений для каждого элемента. Обратите внимание, что в этом случае текстовое поле количества элементов будет представлять количество уникальных элементов.
Переключатель идентичных элементов актуален как для калькулятора комбинаций , так и для калькулятора комбинаций .

комбинаторика — Сколькими способами можно расставить $3$ красных, $3$ синих и $3$ зеленых шаров так, чтобы никакие два шара одного цвета не шли подряд (с точностью до симметрии)?

У нас есть девять позиций, которые нужно заполнить тремя синими, тремя зелеными и тремя красными шарами. Мы можем заполнить три из девяти позиций синими шарами $\binom{9}{3}$ способами, три из оставшихся позиций зелеными шарами $\binom{6}{3}$ способами, а оставшиеся три позиции с красными шарами $\binom{3}{3}$ способами. Следовательно, количество различимых расположений трех синих, трех зеленых и трех красных шаров равно $$\бином{9}{3}\binom{6}{3}\binom{3}{3} = \frac{9!}{3!3!3!}$$ Множители $3!$ в знаменателе представляют количество способов, которыми шары одного цвета могут быть переставлены между собой в заданном расположении, поскольку перестановка шаров одного цвета между собой не приводит к расположению, отличному от данного расположения.

Из них надо исключить те расстановки, в которых есть хотя бы одна пара соседних шаров одного цвета.

Пара соседних шаров одного цвета: Есть три способа выбрать цвет. У нас есть восемь объектов для расстановки: блок из двух соседних шаров, другой шар того же цвета и остальные шесть шаров. Нам нужно заполнить восемь вакансий.

Допустим, блок состоит из синих шаров. Затем мы можем заполнить три из этих восьми позиций зелеными шарами $\binom{8}{3}$ способами, три из оставшихся позиций красными шарами $\binom{5}{3}$ способами, поместить блок в одну из двух оставшихся позиций $2$ способами, а другой синий шар поместите в последнюю открытую позицию одним способом. Следовательно, есть $$\binom{8}{3}\binom{5}{3}2! = \frac{8!}{3!3!}$$ такие договоренности. Поскольку существует три способа выбора цвета, $$\binom{3}{1}\frac{8!}{3!3!}$$ расстановки, в которых пара соседних шаров одного цвета.

Две пары соседних шаров одного цвета: Есть два случая.

Обе пары соседних шаров одного цвета : Это означает, что все три шара этого цвета являются соседними. Таким образом, у нас есть семь объектов для расстановки, блок из трех шаров одного цвета и остальные шесть объектов. Поскольку существует три способа выбора цвета, количество расстановок, в которых есть две пары соседних шаров одного цвета, равно $$\binom{3}{1}\frac{7!}{3!3!}$$

Два цвета, в которых есть пара соседних шаров этого цвета : Есть $\binom{3}{2}$ способы выбора цвета пар. У нас есть семь объектов для расстановки: два блока, два отдельных шара одного цвета и три шара другого цвета. Таким образом, есть $$\binom{3}{2}\frac{7!}{3!}$$ расстановки, в которых есть два цвета, в которых есть пара соседних шаров этого цвета.

Три пары соседних шаров одного цвета: Опять два случая.

Две пары соседних шаров одного цвета и одна пара соседних шаров другого цвета : Есть три способа выбрать цвет, в котором есть две пары соседних шаров, и два способа выбрать другой цвет в в котором есть одна пара соседних шаров этого цвета. У нас есть шесть объектов для расстановки: блок из трех шаров, пара, другой шар этого цвета и три шара оставшегося цвета.

Следовательно, есть $$\binom{3}{1}\binom{2}{1}\frac{6!}{3!}$$ аранжировки такого типа.

Три цвета, в которых есть пара смежных шаров этого цвета : Нам нужно расположить шесть объектов: три блока и три отдельных шара. Поскольку все объекты различны, $$6!$$ аранжировки такого типа.

Четыре пары соседних шаров одного цвета: У нас опять два случая.

Два цвета, в которых есть две пары смежных шаров этого цвета

: Существует $\binom{3}{2}$ способов выбрать два цвета. Нам нужно расположить пять объектов: два блока из трех соседних шаров одного цвета и три шара третьего цвета. Следовательно, есть $$\binom{3}{2}\frac{5!}{3!}$$ аранжировки такого типа.

Один цвет, в котором есть две пары соседних шаров этого цвета, и два других цвета, в которых есть одна пара соседних шаров этого цвета : Есть три способа выбрать цвет с двумя парами соседних шаров этот цвет. Нам нужно расположить пять объектов: блок из трех шаров, два блока из двух шаров и два других шара. Поскольку пять объектов различны, $$\binom{3}{1}5!$$ аранжировки такого типа.

Пять пар соседних шаров одного цвета: Должны быть два цвета, в которых есть две пары соседних шаров этого цвета, а также должна быть пара соседних шаров третьего цвета. Существуют $\binom{3}{2}$ способы выбора двух цветов, в которых есть две пары соседних шаров этого цвета. Нам нужно расположить четыре объекта: два блока из трех шаров, блок из двух шаров и еще один шар того же цвета. Поскольку объекты различны, $$\binom{3}{2}4!$$ аранжировки такого типа.

Шесть пар соседних шаров одного цвета: Должно быть по две пары соседних шаров одного цвета каждого из трех цветов. Следовательно, нам нужно расположить три объекта: блок из трех синих шаров, блок из трех зеленых шаров и блок из трех красных шаров. Поскольку эти объекты различны, $$3!$$ аранжировки такого типа.

По принципу включения-исключения количество различимых расположений трех синих, трех зеленых и трех красных шаров, в которых нет двух смежных шаров одного цвета, равно $$\фракция{9!}{3!3!3!} — \binom{3}{1}\frac{8!}{3!3!} + \binom{3}{1}\frac{7!}{3!3 !} + \binom{3}{2}\frac{7!}{3!} — \binom{3}{1}\binom{2}{1}\frac{6!}{3!} — 6 ! + \binom{3}{2}\frac{5!}{3!} + \binom{3}{1}5! — \бином{3}{2}4! + 3!$$

Это подводит нас к вопросу о симметрии.