Сила действующая на проводник с током в магнитном поле – Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле (сила Ампера)

. (5)

В соответствии с полученным выражением (5), величина силы парного взаимодействия на единицу длины одинакова для каждого проводника.

Результирующую силу, действующую на каждый проводник, находим с помощью принципа суперпозиции сил:

(6)

Покажем эти силы магнитного взаимодействия токов на рис. 63 в, учитывая, во-первых, взаимное направление токов, и во-вторых, равенство модулей всех сил парного взаимодействия . На рисунке заменим элементарную силу силой, действующей на весь i-тый провод со стороны -того тока, так как эти силы сонаправлены: .

Согласно формулам (6), сложим по два вектора сил, действующих на каждый проводник, геометрически: по правилу параллелограмма (треугольника) (см. рис. 63 в). Так как треугольники, имеющие сторонами векторы сил , равносторонние, то модули этих сил

(7)

Модуль силы найдем по теореме косинусов:

(8)

Силы, действующие на единицу длины провода, с учетом формулы (5), представятся выражениями, соответствующими формулам (7) и (8):

; (9)

(10)

Вычисляем силы: а) на единицу длины первого и второго провода:

.

б) на единицу длины третьего провода:

.

Задача 33. Квадратная проволочная рамка со стороной расположена в одной плоскости с длинным прямым поводом (рис. 64 а). Расстояние от провода до ближайшей стороны рамки . Ток в проводе , в рамке . Определите силы , действующие на каждую сторону рамки, и силу, действующую на всю рамку.

Дано Решение

Индукция магнитного поля, создаваемого длинным прямым проводом с током в точке, находящейся на расстоянии от провода, определяется следующей формулой:

. (1)

Величина уменьшается по мере увеличения расстояния , следовательно, это магнитное поле неоднородное. Направление вектора определяем по такому вращению буравчика, чтобы винт перемещался бы вдоль тока . В области, где находится рамка, вектор направлен перпендикулярно плоскости рамки «от нас» (рис. 64 б).

Найдем силу , действующую на сторону , суммируя бесконечно малые силы , действующие на элементы тока :

; (2)

(3)

По правилу левой руки определяем, что все векторы , перпендикулярные вектору магнитной индукции , лежат в плоскости рамки, а в этой плоскости они перпендикулярны стороне . Силы являются сонаправленными, причем, сторона притягивается к проводу, так как ток в ней одинакового направления с током в проводе (см. рис. 64 б). Модуль силы :

(4)

Здесь величина (в соответствии с формулой (1), в которой для стороны ) одинакова во всех точках МП, где находится сторона рамки . Тогда действующая на нее сила

(5)

Аналогичный расчет будет и для силы , действующей на сторону рамки , так как вдоль этой стороны величина также одинакова, но меньше, чем для стороны , так как расстояние от провода больше: . Соответственно и модуль силы :

(6)

Вектор также перпендикулярен стороне рамки ( ), но он направлен от провода с током : токи в проводе и в стороне противоположных направлений, поэтому они отталкиваются (см. рис. 64 б).

Силы , действующие на стороны и рамки с током, также перпендикулярны элементам тока и вектору магнитной индукции , в соответствии с векторным произведением в формуле (2), и направления их определяем также по правилу левой руки (см. рис. 64 б). Стороны рамки и расположены одинаково по отношению к проводу с током , магнитное поле которого действует на ток в рамке. Следовательно, модули этих сил одинаковы: .

Рассчитаем, например, силу , суммируя элементарные силы по длине стороны :

. (7)

Здесь величина не одинакова вдоль стороны , но уменьшается по мере удаления элемента тока от провода, согласно формуле (1). В подинтегральном выражении (7) заменим (см. рис. 64 б), чтобы перейти к одной переменной – расстоянию элемента тока от провода; пределы по этой переменной: , – соответствуют начальному и конечному элементам тока на стороне . Продолжим расчет силы

(8)

Вычислим модули сил, действующих на стороны рамки, по формулам (5), (6) и (8):

.

.

.

Найдем результирующую силу, действующую на рамку в целом, складывая векторы сил, действующих на стороны рамки:

(9)

Здесь , так как и вектор (см. рис. 64 б). Так как сила , то модуль результирующей силы

Направление вектора результирующей силы совпадает с направлением большего из векторов сил – с вектором .

Таким образом, в неоднородном магнитном поле на данную рамку с током действует сила в направлении градиента индукции МП: , который направлен в область более сильного МП. Силы растягивают рамку с током, что соответствует данному случаю , где – магнитный момент рамки с током.

Задача 34.На оси контура с током, магнитный момент которого , находится другой такой же контур. Магнитный момент второго контура перпендикулярен оси первого контура. Расстояние межу контурами , причем, размеры контуров малы по сравнению с расстоянием Определите механический момент , действующий на второй контур.

Магнитный момент контура с током – это вектор , направленный по нормали к плоскости контура так, что направление вектора связано с направлением тока в контуре правилом буравчика (правого винта). Первый контур с током создает магнитное поле с индукцией . Величина в точках на оси кругового контура рассчитана в решении задачи 27:

, (1)

где – расстояние от точек контура до точки в МП, в которой определяется величина . Так как по условию задачи расстояние велико по сравнению с радиусом контура, то величина .

На второй контур с током в магнитном поле с индукцией действует механический (вращающий) момент , величина которого определяется следующей формулой:

. (2)

Так как размеры второго контура тоже малы, то величина несущественно изменяется вдоль плоскости второго контура. Поэтому примем ее равной , определяемой формулой (1), в которой . Согласно векторному произведению в формуле (2), вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , т. е. он перпендикулярен плоскости рисунка (см. рис. 65). Этот механический момент будет стремиться повернуть второй контур до положения, в котором вектор (при этом величина обратится в нуль).

Модуль вращающего момента, согласно формуле (2),

, (3)

где – угол между векторами магнитного момента контура и индукцией магнитного поля . По условию задачи вектор , а последний создает магнитное поле , следовательно, вектор (см. рис. 65) и .

Подставляя величину магнитной индукции по формуле (1) в выражение (3), получаем следующую расчетную формулу:

. (4)

Вычисляем по формуле (4) механический момент, действующий на второй контур с током в магнитном поле, созданном первым контуром с током:

.

Задача 35.Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии друг от друга. По проводникам в одном направлении текут токи и . Какую работу (на единицу длины проводника) нужно совершить, чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния ?

Дано Решение

Параллельные токи одинакового направления притягиваются друг к другу, т. е. второй проводник с током притягивается к первому силой Ампера . Чтобы его отодвинуть от первого проводника, нужно приложить внешнюю силу , незначительно превышающую силу притяжения проводников: . Работа этой внешней силы

(1)

Найдем силу Ампера – силу магнитного взаимодействия проводников с током, как силу, с которой магнитное поле первого проводника действует на ток во втором проводнике:

(2)

В уравнении (2) суммируются элементарные силы , действующие на элементы тока , расположенные по всей длине второго проводника с током. Направление сил определяем по правилу левой руки, размещая ладонь в плоскости рисунка (рис. 66), так как вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости рисунка (он направлен «к нам»). Силы , действующие на элементы тока , сонаправлены, поэтому можем складывать их модули:

(3)

Здесь , так как вектор ; – магнитная индукция поля, созданного прямым током , она определяется формулой

, (4)

где – расстояние от проводника с током до точки, в которой определяется индукция магнитного поля.

Подставим величину в подинтегральное выражение (3) и выполним интегрирование, отметив, что расстояние всех элементов тока второго проводника от первого одинаково, так как проводники параллельные:

(5)

Сила Ампера, действующая на единицу длины проводника, в соответствии с формулой (5), представится следующим выражением:

(6)

Согласно полученной формуле, эта сила уменьшается с увеличением расстояния между проводниками, т. е. имеем дело с работой переменной силы, которая определяется, как сумма элементарных работ, интегралом (1). Работу на единицу длины проводника найдем, подставляя силу по формуле (6) в подинтегральное выражение (1):

(7)

Вычислим работу, которую совершает внешняя сила при удалении от первого проводника с током второго проводника с током на единицу его длины, принимая, что магнитная проницаемость воздуха :

.

Задача 36.Тонкий проводник в виде полукольца радиусом находится в однородном магнитном поле с индукцией . Плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода расположены вдоль линий . По проводнику протекает ток . Определите силу , действующую на проводник.

Выделим на полукольце элемент тока и определим направление действующей на него силы Ампера

(1)

Для этого используем правило левой руки, располагая ладонь в плоскости рисунка (рис. 67). Так как элементы тока кольцевого проводника имеют различную ориентацию, то векторы , перпендикулярные элементам тока , образуют «веер векторов» в плоскости полукольца. Для сложения таких векторов каждый элементарный вектор силы разложим на составляющие по осям :

(2)

Силу, действующую на весь проводник длины , находим, суммируя по всей длине полукольца векторы сил, действующих на элементы тока:

(3)

Покажем на рисунке вектор , действующий на элемент тока , расположенный симметрично элементу тока . По рисунку видно, что вектор , следовательно, они попарно компенсируются при суммировании и в результате этого Составляющие силы Ампера , действующие на все элементы тока, сонаправлены, поэтому векторное равенство (3) заменяем скалярным:

(4)

Здесь проекция силы (см. треугольник на рис. 67). Элементарная сила Ампера

, (5)

где – угол между векторами элемента тока и магнитной индукции ; по условию задачи , поэтому

Подставляя величину проекции силы в уравнение (4), перепишем его в следующем виде:

(6)

В подинтегральном выражении содержатся две переменные – элемент длины проводника и угол . Связь этих переменных находим из малого треугольника с гипотенузой (см. рис. 67): . Перейдем к переменной и запишем для нее пределы интегрирования. При сложении сил от всех элементов тока полукольца переменная изменяется от нуля (т. на рис. 67) до (т. на рис. 67), где – радиус полукольца. Тогда интеграл (6) принимает следующий вид:

(7)

Вычислим модуль силы Ампера, действующей в магнитном поле на полукольцо с током:

Вектор , а величина , следовательно, сила Ампера направлена вдоль оси (см. рис. 67).

Задача 37.Тонкий проводник в виде полукольца радиусом находится в однородном магнитном поле с индукцией . Вектор лежит в плоскости полукольца и перпендикулярен его диаметру (рис. 68). По проводнику течет ток . Определите силу , действующую на полукольцо.

Сделаем чертеж (см. рис. 68), на котором покажем элемент тока , лежащий в плоскости рисунка. Сила Ампера, действующая на данный элемент тока, определяется по закону Ампера:

(1)

Силу, действующую на все элементы тока полукольца, найдем, суммируя элементарные силы:

. (2)

Согласно векторному произведению (1), сила перпендикулярна элементу тока и магнитной индукции . Так как оба вектора лежат в плоскости рисунка, то вектор силы перпендикулярен плоскости рисунка и направлен «к нам». Для всех элементов тока векторы сонаправлены, следовательно, и вектор силы , действующей на полукольцо, также направлен перпендикулярно плоскости рисунка.

Модуль этого вектора находим, используя формулы (1) и (2):

poznayka.org

Задачи на тему Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле

Нашли ошибку? Сообщите в комментариях (внизу страницы)

Электромагнетизм
§ 22. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле

2 Провод в виде тонкого полукольца радиусом R=10 см находится в однородном магнитном поле (B=50 мТл). По проводу течет ток I=10 A. Найти силу F, действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода находятся вне поля.
РЕШЕНИЕ

3 На проволочный виток радиусом 10 см, помещенный между полюсами магнита, действует максимальный механический момент Mmax=6,5 мкН. Сила тока I в витке равна 2 A. Определить магнитную индукцию B поля между полюсами магнита. Действием магнитного поля Земли пренебречь
РЕШЕНИЕ

4 Квадратная рамка со стороной длиной a=2 см, содержащая N=100 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити, постоянная кручения C которой равна 10 мкН*м/град. Плоскость рамки совпадает с направлением линии индукции внешнего магнитного поля. Определить индукцию внешнего магнитного поля, если при пропускании по рамке тока I=1 А она повернулась на угол α=60°.
РЕШЕНИЕ

5 Плоский квадратный контур со стороной длиной a=10 см, по которому течет ток I=100 A, свободно установился в однородном магнитном поле индукцией B=1 Тл. Определить работу A, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол: 1) φ1=90°; 2) φ2=3°. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.
РЕШЕНИЕ

22.1 Прямой провод, по которому течет ток I=1 кА, расположен в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции. С какой силой F действует поле на отрезок провода длиной ℓ=1 м, если магнитная индукция В равна 1 Тл?
РЕШЕНИЕ

22.2 Прямой провод длиной 10 см, по которому течет ток I=20 A, находится в однородном магнитном поле с индукцией В=0,01 Тл. Найти угол α между направлениями вектора В и тока, если на провод действует сила F=10 мН.
РЕШЕНИЕ

22.3 Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи I=1 кА. Определить силу F, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится на расстоянии, равном ее длине.
РЕШЕНИЕ

22.4 Тонкий провод в виде дуги, составляющей треть кольца радиусом 15 см, находится в однородном магнитном поле (B =20 мТл). По проводу течет ток I=30 A. Плоскость, в которой лежит дуга, перпендикулярна линиям магнитной индукции, и подводящие провода находятся вне поля. Определить силу F, действующую на провод.
РЕШЕНИЕ

22.5 По тонкому проводу в виде кольца радиусом R=20 см течет ток I=100 A. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено однородное магнитное поле с индукцией В=20 мТл. Найти силу F, растягивающую кольцо.
РЕШЕНИЕ

22.6 Двухпроводная линия состоит из длинных параллельных прямых проводов, находящихся на расстоянии d=4мм друг от друга. По проводам текут одинаковые токи I=50 A. Определить силу взаимодействия токов, приходящуюся на единицу длины провода.
РЕШЕНИЕ

22.7 Шины генератора представляют собой две параллельные медные полосы длиной ℓ=2 м каждая, отстоящие друг от друга на расстоянии d=20 см. Определить силу F взаимного отталкивания шин в случае короткого замыкания, когда по ним течет ток I=10 кА.
РЕШЕНИЕ

22.8 По двум параллельным проводам длиной ℓ= 1 м каждый текут одинаковые токи. Расстояние d между проводами равно 1 см. Токи взаимодействуют с силой F=1 мН. Найти силу тока I в проводах.
РЕШЕНИЕ

22.9 По трем параллельным прямым проводам, находящимся на одинаковом расстоянии a=10 см друг от друга, текут одинаковые токи I=100 A. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить силу F, действующую на отрезок длиной ℓ=1 м каждого провода.
РЕШЕНИЕ

22.10 По двум тонким проводам, изогнутым в виде кольца радиусом 10 см, текут одинаковые токи I = 10 А в каждом. Найти силу F взаимодействия этих колец, если плоскости, в которых лежат кольца, параллельны, а расстояние d между центрами колец равно 1 мм.
РЕШЕНИЕ

22.11 По двум одинаковым квадратным плоским контурам со стороной a=20 см текут токи I=10 А в каждом. Определить силу F взаимодействия контуров, если расстояние d между соответственными сторонами контуров равно 2 мм.
РЕШЕНИЕ

22.12 По витку радиусом r=5 см течет ток I = 10 A. Определить магнитный момент pm кругового тока.
РЕШЕНИЕ

22.13 Очень короткая катушка содержит N=1000 витков тонкого провода. Катушка имеет квадратное сечение со стороной длиной a=10 см. Найти магнитный момент рт катушки при силе тока I = 1 A.
РЕШЕНИЕ

22.14 Магнитный момент рт витка равен 0,2 Дж/Тл. Определить силу тока I в витке, если его диаметр d= 10 см.
РЕШЕНИЕ

22.15 Напряженность H магнитного поля в центре кругового витка равна 200 А/м. Магнитный момент pm витка равен 1 А*м2. Вычислить силу тока I в витке и радиус R витка.
РЕШЕНИЕ

22.16 По кольцу радиусом R течет ток. На оси кольца на расстоянии d=1 м от его плоскости магнитная индукция B=10 нТл. Определить магнитный момент pm кольца с током. Считать R много меньшим d.
РЕШЕНИЕ

22.17 Электрон в невозбужденном атоме водорода движется вокруг ядра по окружности радиусом r=53 пм. Вычислить магнитный момент рт эквивалентного кругового тока и механический момент М, действующий на круговой ток, если атом помещен в магнитное поле, линии индукции которого параллельны плоскости орбиты электрона. Магнитная индукция В поля равна 0,1 Тл.
РЕШЕНИЕ

22.18 Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по круговой орбите некоторого радиуса. Найти отношение магнитного момента pm эквивалентного кругового тока к моменту импульса L орбитального движения электрона. Заряд электрона и его массу считать известными. Указать направления векторов рm и L.
РЕШЕНИЕ

22.19 По тонкому стержню длиной 20 см равномерно распределен заряд Q=240 нКл. Стержень приведен во вращение с постоянной угловой скоростью ω = 10 рад/с относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Определить: 1) магнитный момент рm, обусловленный вращением заряженного стержня; 2) отношение магнитного момента к моменту импульса (pm/L), если стержень имеет массу m= 12 г.
РЕШЕНИЕ

22.20 Тонкое кольцо радиусом 10 см несет заряд 10 нКл. Кольцо равномерно вращается с частотой n=10 с-1 относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через ее центр. Найти: 1) магнитный момент рт кругового тока, создаваемого кольцом; 2) отношение магнитного момента к моменту импульса (pm/L), если масса m кольца равна 10 г.
РЕШЕНИЕ

22.21 То же, что и в предыдущей задаче, но относительно оси, совпадающей с одним из диаметров кольца.
РЕШЕНИЕ

22.22 Диск радиусом R=10 см несет равномерно распределенный по поверхности заряд Q=0,2 мкКл. Диск равномерно вращается с частотой n=20 с-1 относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. Определить: 1) магнитный момент рт кругового тока, создаваемого диском; 2) отношение магнитного момента к моменту импульса (pm/L), если масса т диска равна 100 г.
РЕШЕНИЕ

22.23 Тонкостенная металлическая сфера радиусом R=10 см несет равномерно распределенный по ее поверхности заряд Q=3 мКл. Сфера равномерно вращается с угловой скоростью ω= 10 рад/с относительно оси, проходящей через центр сферы. Найти: 1) магнитный момент рт кругового тока, создаваемый вращением сферы; 2) отношение магнитного момента к моменту импульса (pm/L), если масса m сферы равна 100 г.
РЕШЕНИЕ

22.24 Сплошной шар радиусом R = 10см несет заряд Q=200 нКл, равномерно распределенный по объему. Шар вращается относительно оси, проходящей через центр шара, с угловой скоростью ω = 10 рад/с. Определить: 1) магнитный момент рт кругового тока, обусловленного вращением шара; 2) отношение магнитного момента к моменту импульса (pm/L), если масса т шара равна 10 кг.
РЕШЕНИЕ

22.25 Проволочный виток радиусом R=5 см находится в однородном магнитном иоле напряженностью H=2 кА/м. Плоскость витка образует угол a=60° с направлением ноля. По витку течет ток I=4 A. Найти механический момент M, действующий на виток.
РЕШЕНИЕ

22.26 Виток диаметром d=20 см может вращаться около вертикальной оси, совпадающей с одним из диаметров витка. Виток установили в плоскости магнитного меридиана и пустили по нему ток I=10 A. Найти механический момент М, который нужно приложить к витку, чтобы удержать его в начальном положении.
РЕШЕНИЕ

22.27 Рамка гальванометра длиной a=4 см и шириной b=1,5 см, содержащая N=200 витков тонкой проволоки, находится в магнитном поле с индукцией В=0,1 Тл. Плоскость рамки параллельна линиям индукции. Найти: 1) механический момент M, действующий на рамку, когда по витку течет ток I=1 мА; 2) магнитный момент pm рамки при этом токе.
РЕШЕНИЕ

22.28 Короткая катушка площадью S поперечного сечения, равной 150 см2, содержит N=200 витков провода, по которому течет ток I=4 A. Катушка помещена в однородное магнитное поле напряженностью Н=8 кА/м. Определить магнитный момент рm катушки, а также вращающий момент М, действующий на нее со стороны поля, если ось катушки составляет угол α=60с с линиями индукции.
РЕШЕНИЕ

22.29 Рамка гальванометра, содержащая 200 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити. Площадь S рамки равна 1 см2. Нормаль к плоскости рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции (В=5 мТл). Когда через гальванометр был пропущен ток I=2 мкА, то рамка повернулась на угол α=30°. Найти постоянную кручения С нити.
РЕШЕНИЕ

22.30 По квадратной рамке из тонкой проволоки массой 2 г пропущен ток 6 A. Рамка свободно подвешена за середину одной из сторон на неупругой нити. Определить период малых колебаний такой рамки в однородном магнитном поле с индукцией В=2 мТл. Затуханием колебаний пренебречь.
РЕШЕНИЕ

22.31 Тонкий провод в виде кольца массой m=3 г свободно подвешен на неупругой нити в однородном магнитном поле. По кольцу течет ток I=2 A. Период Т малых крутильных колебаний относительно вертикальной оси равен 1,2 c. Найти магнитную индукцию В поля.
РЕШЕНИЕ

22.32 На оси контура с током, магнитный момент которого рm равен 10 мА*м2, находится другой такой же контур. Вектор магнитного момента второго контура перпендикулярен оси. Вычислить механический момент М, действующий на второй контур. Расстояние d между контурами равно 50 см. Размеры контуров малы по сравнению с расстоянием между ними.
РЕШЕНИЕ

22.33 Магнитное поле создано кольцевым проводником радиусом R=20 см, по которому течет ток I=100 A. На оси кольца расположено другое кольцо малых размеров с магнитным моментом рm= = 10 мА*м2. Плоскости колец параллельны, а расстояние d между центрами равно 1 см. Найти силу, действующую на малое кольцо.
РЕШЕНИЕ

22.34 Магнитное поле создано бесконечно длинным проводником с током I = 100 A. На расстоянии a=10 см от проводника находится точечный диполь, вектор магнитного момента (pm=1 мА*м2) которого лежит в одной плоскости с проводником и перпендикулярен ему. Определить силу F, действующую на магнитный диполь.
РЕШЕНИЕ

22.35 Определить степень неоднородности магнитного поля (dB/dx), если максимальная сила Fmax, действующая на точечный магнитный диполь, равна 1 мН. Магнитный момент pm точечного диполя равен 2 мА*м2.
РЕШЕНИЕ

22.36 Проволочный виток радиусом R=20 см расположен в плоскости магнитного меридиана. В центре витка установлен компас. Какой ток I течет по витку, если магнитная стрелка компаса отклонена на угол α=9° от плоскости магнитного меридиана
РЕШЕНИЕ

22.37 Определить число N витков катушки тангенс-гальванометра, при котором сила тока, текущего по обмотке, численно равна тангенсу угла отклонения магнитной стрелки, помещенной в центре обмотки? Радиус r катушки равен 25 см. Ось катушки перпендикулярна плоскости магнитного меридиана
РЕШЕНИЕ

22.38 Длинный прямой соленоид, содержащий 5 витков на каждый сантиметр длины, расположен перпендикулярно плоскости магнитного меридиана. Внутри соленоида, в его средней части, находится магнитная стрелка, установившаяся в магнитном поле Земли. Когда но соленоиду пустили ток, стрелка отклонилась на угол α=60°. Найти силу тока I
РЕШЕНИЕ

22.39 Короткий прямой магнит расположен перпендикулярно плоскости магнитного меридиана. На оси магнита на расстоянии r=50 см от его середины (которое много больше длины магнита) находится магнитная стрелка. Вычислить магнитный момент рт магнита, если стрелка отклонена на угол α=6° от плоскости магнитного меридиана
РЕШЕНИЕ

22.40 Конденсатор электроемкостью 50 мкФ заряжается от источника тока, ЭДС которой равна 80 B, и с помощью особого переключателя полностью разряжается 100 раз в секунду через обмотку тангенс-гальванометра, расположенного в плоскости магнитного меридиана. На какой угол α отклонится магнитная стрелка, находящаяся в центре тангенс-гальванометра, если его обмотка имеет N=10 витков радиусом r=25 см?
РЕШЕНИЕ

22.41 Магнитная стрелка, помещенная в центре кругового провода радиусом 10 см, образует угол 20 с вертикальной плоскостью, в которой находится провод. Когда по проводу пустили ток I=ЗА, то стрелка повернулась в таком направлении, что угол α увеличился. Определить угол поворота стрелки.
РЕШЕНИЕ

bambookes.ru

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле.

Количество просмотров публикации Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле. — 962

Французский физик Доминик Франсуа Араго (1786-1853) на заседании Парижской академии наук рассказал об опытах Эрстеда и повторил их. Араго предложил естественное, как всœем казалось, объяснение магнитного действия электрического тока: проводник в результате протекания по нему электрического тока превращается в магнит. На демонстрации присутствовал другой академик, математик Андре Мари Ампер.
Размещено на реф.рф
Он предположил, что суть вновь открытого явления –в движении заряда, и решил сам провести необходимые измерения. Ампер был уверен, что замкнутые токи эквивалентны магнитам. 24 сентября 1820 ᴦ. он подключил к вольтову столбу две проволочные спирали, которые превратились в магниты. Т.о. катушка с током создает такое же поле, что и полосовой магнит. Ампер создал прообраз электромагнита͵ обнаружив, что стальной брусок, помещенный внутрь спирали с током, намагничивается, многократно усиливая магнитное поле. Ампер предположил, что магнит представляет собой некоторую систему внутренних замкнутых токов и показал (и на базе опытов, и помощью расчетов), что малый круговой ток (виток) эквивалентен маленькому магнитику, расположенному в центре витка перпендикулярно его плоскости, т.о. всякий контур с током можно заменить магнитом бесконечно малой толщины.

Гипотеза Ампера, что внутри любого магнита существуют замкнутые токи, наз. гипотезой о молекулярных токах и легла в основу теории взаимодействия токов – электродинамики.

На проводник с током, находящийся в магнитном поле, действует сила, которая определяется только свойствами поля в том месте, где расположен проводник, и не зависит от того, какая система токов или постоянных магнитов создала поле. Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие. Следовательно, вращающий момент, испытываемый рамкой, есть результат действия сил на отдельные ее элементы.

Закон Ампера: сила, действующая на элемент длины проводника с током I, помещенного в магнитное поле ,

где сила, — вектор элемента длины проводника, проведенный в направлении тока.

Модуль магнитной силы: , где угол между и .

Следовательно, когда проводник расположен вдоль линий поля , магнитная сила отсутствует.

Направление вектора должна быть найдено по общим правилам векторного произведения. В простейшем случае, когда проводник с током и поле взаимно перпендикулярны , для определœения направления магнитной силы можно воспользоваться правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор , а четыре вытянутых пальцев расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток.

, где число свободных электронов в единице объёма проводника (концентрация частиц), — заряд электрона, — скорость упорядоченного движения электронов, — площадь поперечного сечения проводника.

В отличие от кулоновских сил, которые являются центростремительными, сила Ампера не является центральной. Она направлена перпендикулярно к линиям магнитной индукции.

Закон Ампера должна быть использован для определœения модуля вектора магнитной индукции. Модуль вектора индукции в данной точке однородного магнитного поля равен наибольшей силе, которая действует на помещенный в окрестности данной точки проводник единичной длины, по которому протекает ток в единицу силы тока: . Значение достигается при условии, что проводник расположен перпендикулярно к линиям индукции.

Закон Ампера применяется для определœения силы взаимодействия двух токов.

Между двумя параллельно расположенными бесконечно длинными проводниками, по которым протекают постоянные токи, возникает сила взаимодействия. Проводники с одинаково направленными токами притягиваются, с противоположно направленными токами – отталкиваются.

Сила взаимодействия, приходящаяся на единицу длины каждого из параллельных проводников, пропорциональна величинам токов и и обратно пропорциональна расстоянию между R между ними. Такое взаимодействие проводников с параллельными токами объясняется правилом левой руки. Модуль силы, действующий на два бесконечных прямолинœейных тока и , расстояние между которыми равно R:

, ᴛ.ᴇ. .

В неоднородном магнитном поле на контур с током действует сила , где изменение , рассчитанное на единицу длины вдоль направления, совпадающего с направлением .

Сила втягивает магнитный диполь в область больших значений магнитной индукции.

Задача 3. Определить степень неоднородности магнитного поля , в случае если максимальная сила, действующая на точечный магнитный диполь . Магнитный момент точечного диполя =2 мА·м².

Дано: Решение:

,

referatwork.ru

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле

План решения задач

1. При расчете силы Ампера, действующей на проводник с током в магнитном поле, решение следует начать с рисунка, на котором нужно отразить форму проводника и направление вектора магнитной индукции поля, в котором находится проводник.

2. Необходимо иметь в виду, что формула силы Ампера справедлива только для прямого проводника с током длиной , который находится в однородном магнитном поле с индукцией . В случае неоднородного МП, а также для проводника криволинейной формы, проводник следует разделить на элементы тока и показать на рисунке векторы сил , действующих на элементы тока. Для этого необходимо выбрать два элемента тока, расположенных симметрично. Направление векторов определяем по правилу векторного произведения или по правилу левой руки: располагаем руку так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, четыре пальца направляем вдоль тока , тогда отогнутый большой палец покажет направление силы Сила, действующая на весь проводник, определяется как сумма векторов элементарных сил по всей длине проводника :

.

3. Свободный замкнутый контур с током (рамка или виток) устанавливается в магнитном поле так, чтобы его магнитный момент был сонаправлен с вектором магнитной индукции . При этом механический (вращающий) момент , а силы Ампера , действующие на элементы тока контура, растягивают его. Такое положение ( контура с током в однородном магнитном поле является состоянием устойчивого равновесия контура.

Задача 32. По трем параллельным прямым проводникам, находящимся на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 63 а) текут одинаковые токи В двух проводниках направления токов совпадают. Вычислите для каждого проводника силу, действующую на единицу длины проводника.

Дано Решение

Сначала рассмотрим взаимодействие двух проводников – первого и второго (рис. 63 б). На второй проводник с током действует магнитное поле с индукцией , созданное током в первом проводе (соответственно, и на первый проводник действует магнитное поле , созданное вторым проводом). Выберем на втором проводнике элемент тока , проведем линию магнитной индукции (это окружность радиусом ) и по касательной к ней направим вектор . Сила Ампера, действующая на выбранный элемент тока второго проводника со стороны МП первого тока

(1)

Модуль этой силы

, (2)

где угол между векторами и (линия магнитного поля расположена в плоскости, перпендикулярной проводу). Согласно формуле (2), сила, действующая со стороны первого провода на единицу длины второго провода:

(3)

В формуле (3) индукция МП, созданная прямым длинным проводом с током в точках на расстоянии от провода, определяется следующим выражением:

(4)

Направление силы определяем по правилу левой руки, располагая ладонь в плоскости рисунка: элемент тока притягивается к первому проводнику. По третьему закону Ньютона, на элемент тока первого проводника будет действовать сила , т. е. равная по модулю (см. формулу (3)) и противоположно направленная (см. рис. 63 б). Таким образом, параллельные токи одинакового направления притягиваются друг к другу. Изменим мысленно на рис. 63 б направление второго тока на противоположное (как ток ) и правило левой руки покажет, что сила, действующая на элемент тока , направлена вправо, т. е. параллельные токи противоположных направлений взаимно отталкиваются.

На каждый из проводников действуют магнитные поля двух других токов. Величину каждой силы парного взаимодействия -того и -того проводов запишем, подставляя индукцию магнитного поля, определяемую формулой (4) (в данной задаче ), в формулу (3):

. (5)

В соответствии с полученным выражением (5), величина силы парного взаимодействия на единицу длины одинакова для каждого проводника.

Результирующую силу, действующую на каждый проводник, находим с помощью принципа суперпозиции сил:

(6)

Покажем эти силы магнитного взаимодействия токов на рис. 63 в, учитывая, во-первых, взаимное направление токов, и во-вторых, равенство модулей всех сил парного взаимодействия . На рисунке заменим элементарную силу силой, действующей на весь i-тый провод со стороны -того тока, так как эти силы сонаправлены: .

Согласно формулам (6), сложим по два вектора сил, действующих на каждый проводник, геометрически: по правилу параллелограмма (треугольника) (см. рис. 63 в). Так как треугольники, имеющие сторонами векторы сил , равносторонние, то модули этих сил

(7)

Модуль силы найдем по теореме косинусов:

(8)

Силы, действующие на единицу длины провода, с учетом формулы (5), представятся выражениями, соответствующими формулам (7) и (8):

; (9)

(10)

Вычисляем силы: а) на единицу длины первого и второго провода:

.

б) на единицу длины третьего провода:

.

Задача 33. Квадратная проволочная рамка со стороной расположена в одной плоскости с длинным прямым поводом (рис. 64 а). Расстояние от провода до ближайшей стороны рамки . Ток в проводе , в рамке . Определите силы , действующие на каждую сторону рамки, и силу, действующую на всю рамку.

Дано Решение

Индукция магнитного поля, создаваемого длинным прямым проводом с током в точке, находящейся на расстоянии от провода, определяется следующей формулой:

. (1)

Величина уменьшается по мере увеличения расстояния , следовательно, это магнитное поле неоднородное. Направление вектора определяем по такому вращению буравчика, чтобы винт перемещался бы вдоль тока . В области, где находится рамка, вектор направлен перпендикулярно плоскости рамки «от нас» (рис. 64 б).

Найдем силу , действующую на сторону , суммируя бесконечно малые силы , действующие на элементы тока :

; (2)

(3)

По правилу левой руки определяем, что все векторы , перпендикулярные вектору магнитной индукции , лежат в плоскости рамки, а в этой плоскости они перпендикулярны стороне . Силы являются сонаправленными, причем, сторона притягивается к проводу, так как ток в ней одинакового направления с током в проводе (см. рис. 64 б). Модуль силы :

(4)

Здесь величина (в соответствии с формулой (1), в которой для стороны ) одинакова во всех точках МП, где находится сторона рамки . Тогда действующая на нее сила

(5)

Аналогичный расчет будет и для силы , действующей на сторону рамки , так как вдоль этой стороны величина также одинакова, но меньше, чем для стороны , так как расстояние от провода больше: . Соответственно и модуль силы :

(6)

Вектор также перпендикулярен стороне рамки ( ), но он направлен от провода с током : токи в проводе и в стороне противоположных направлений, поэтому они отталкиваются (см. рис. 64 б).

Силы , действующие на стороны и рамки с током, также перпендикулярны элементам тока и вектору магнитной индукции , в соответствии с векторным произведением в формуле (2), и направления их определяем также по правилу левой руки (см. рис. 64 б). Стороны рамки и расположены одинаково по отношению к проводу с током , магнитное поле которого действует на ток в рамке. Следовательно, модули этих сил одинаковы: .

Рассчитаем, например, силу , суммируя элементарные силы по длине стороны :

. (7)

Здесь величина не одинакова вдоль стороны , но уменьшается по мере удаления элемента тока от провода, согласно формуле (1). В подинтегральном выражении (7) заменим (см. рис. 64 б), чтобы перейти к одной переменной – расстоянию элемента тока от провода; пределы по этой переменной: , – соответствуют начальному и конечному элементам тока на стороне . Продолжим расчет силы

(8)

Вычислим модули сил, действующих на стороны рамки, по формулам (5), (6) и (8):

.

.

.

Найдем результирующую силу, действующую на рамку в целом, складывая векторы сил, действующих на стороны рамки:

(9)

Здесь , так как и вектор (см. рис. 64 б). Так как сила , то модуль результирующей силы

Направление вектора результирующей силы совпадает с направлением большего из векторов сил – с вектором .

Таким образом, в неоднородном магнитном поле на данную рамку с током действует сила в направлении градиента индукции МП: , который направлен в область более сильного МП. Силы растягивают рамку с током, что соответствует данному случаю , где – магнитный момент рамки с током.

Задача 34.На оси контура с током, магнитный момент которого , находится другой такой же контур. Магнитный момент второго контура перпендикулярен оси первого контура. Расстояние межу контурами , причем, размеры контуров малы по сравнению с расстоянием Определите механический момент , действующий на второй контур.

Магнитный момент контура с током – это вектор , направленный по нормали к плоскости контура так, что направление вектора связано с направлением тока в контуре правилом буравчика (правого винта). Первый контур с током создает магнитное поле с индукцией . Величина в точках на оси кругового контура рассчитана в решении задачи 27:

, (1)

где – расстояние от точек контура до точки в МП, в которой определяется величина . Так как по условию задачи расстояние велико по сравнению с радиусом контура, то величина .

На второй контур с током в магнитном поле с индукцией действует механический (вращающий) момент , величина которого определяется следующей формулой:

. (2)

Так как размеры второго контура тоже малы, то величина несущественно изменяется вдоль плоскости второго контура. Поэтому примем ее равной , определяемой формулой (1), в которой . Согласно векторному произведению в формуле (2), вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и , т. е. он перпендикулярен плоскости рисунка (см. рис. 65). Этот механический момент будет стремиться повернуть второй контур до положения, в котором вектор (при этом величина обратится в нуль).

Модуль вращающего момента, согласно формуле (2),

, (3)

где – угол между векторами магнитного момента контура и индукцией магнитного поля . По условию задачи вектор , а последний создает магнитное поле , следовательно, вектор (см. рис. 65) и .

Подставляя величину магнитной индукции по формуле (1) в выражение (3), получаем следующую расчетную формулу:

. (4)

Вычисляем по формуле (4) механический момент, действующий на второй контур с током в магнитном поле, созданном первым контуром с током:

.

Задача 35.Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии друг от друга. По проводникам в одном направлении текут токи и . Какую работу (на единицу длины проводника) нужно совершить, чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния ?

Дано Решение

Параллельные токи одинакового направления притягиваются друг к другу, т. е. второй проводник с током притягивается к первому силой Ампера . Чтобы его отодвинуть от первого проводника, нужно приложить внешнюю силу , незначительно превышающую силу притяжения проводников: . Работа этой внешней силы

(1)

Найдем силу Ампера – силу магнитного взаимодействия проводников с током, как силу, с которой магнитное поле первого проводника действует на ток во втором проводнике:

(2)

В уравнении (2) суммируются элементарные силы , действующие на элементы тока , расположенные по всей длине второго проводника с током. Направление сил определяем по правилу левой руки, размещая ладонь в плоскости рисунка (рис. 66), так как вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости рисунка (он направлен «к нам»). Силы , действующие на элементы тока , сонаправлены, поэтому можем складывать их модули:

(3)

Здесь , так как вектор ; – магнитная индукция поля, созданного прямым током , она определяется формулой

, (4)

где – расстояние от проводника с током до точки, в которой определяется индукция магнитного поля.

Подставим величину в подинтегральное выражение (3) и выполним интегрирование, отметив, что расстояние всех элементов тока второго проводника от первого одинаково, так как проводники параллельные:

(5)

Сила Ампера, действующая на единицу длины проводника, в соответствии с формулой (5), представится следующим выражением:

(6)

Согласно полученной формуле, эта сила уменьшается с увеличением расстояния между проводниками, т. е. имеем дело с работой переменной силы, которая определяется, как сумма элементарных работ, интегралом (1). Работу на единицу длины проводника найдем, подставляя силу по формуле (6) в подинтегральное выражение (1):

(7)

Вычислим работу, которую совершает внешняя сила при удалении от первого проводника с током второго проводника с током на единицу его длины, принимая, что магнитная проницаемость воздуха :

.

Задача 36.Тонкий проводник в виде полукольца радиусом находится в однородном магнитном поле с индукцией . Плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода расположены вдоль линий . По проводнику протекает ток . Определите силу , действующую на проводник.

Выделим на полукольце элемент тока и определим направление действующей на него силы Ампера

(1)

Для этого используем правило левой руки, располагая ладонь в плоскости рисунка (рис. 67). Так как элементы тока кольцевого проводника имеют различную ориентацию, то векторы , перпендикулярные элементам тока , образуют «веер векторов» в плоскости полукольца. Для сложения таких векторов каждый элементарный вектор силы разложим на составляющие по осям :

(2)

Силу, действующую на весь проводник длины , находим, суммируя по всей длине полукольца векторы сил, действующих на элементы тока:

(3)

infopedia.su