Школьник коля налил в тарелку холодную окрошку – Московская олимпиада школьников по физике 2011 г. 10 класс, 1-й тур.

Московская олимпиада школьников по физике 2011 г. 10 класс, 1-й тур.

Задача 1
В далёком космосе оказался школьный динамометр, корпус которого имеет массу M = 20 г, а пружина имеет массу m = 10 г. За крючок, укрепленный на корпусе, тянут с силой F₁ = 5 Н, направленной вдоль оси пружины, а за крючок, находящийся на свободном конце пружины, тянут с силой F₂ = 2 Н, направленной в сторону, противоположную силе F₁. Что будет «показывать» динамометр, то есть напротив какого деления на шкале остановится индикаторная стрелка?

Подсказка

Ответ

Задача 2
На гладкой горизонтальной поверхности находится жесткий клин массой M, причем его гладкая наклонная поверхность составляет угол α с горизонтом. На этот клин налетает жесткий шарик массой m, у которого за мгновение до столкновения с наклонной поверхностью клина скорость была горизонтальной. Происходит абсолютно упругий удар. При каком отношении m/M шарик после удара будет двигаться в вертикальном направлении?

Подсказка

Ответ

m/M = 1 − ctg²α.

Задача 3
Школьник Коля налил в тарелку холодную окрошку, имеющую температуру t_окр = 10 °С. Масса окрошки в тарелке равна m = 300 г, а её удельная теплоёмкость равна удельной теплоёмкости воды c_в = 4200 Дж/(кг•°C). Коля добавил в окрошку горячую картошку, которая имела температуру t_карт = 80 °С. Полная теплоёмкость добавленной картошки равна C = 450 Дж/°C. После установления теплового равновесия температура картошки и окрошки оказалась равной t = 22 °С. В какую сторону было передано больше теплоты при теплообмене с окружающей средой: от содержимого тарелки в среду или наоборот, и на сколько больше?

Подсказка

Ответ

Больше теплоты было передано от содержимого тарелки в окружающую среду на величину карт в окр Q = C(t_карт − t) − mc_в(t − t_окр) = 10980 Дж.

Задача 4
В интернете сейчас можно легко найти видеозаписи различных физических опытов, в частности, такого:
Группа студентов напускает в большое корыто до краев какой-то тяжелый газ из баллона, а потом кладет на поверхность этого газа в корыте модель корабля, согнутую из алюминиевой фольги, и этот «корабль» плавает, как настоящий «летучий голландец»! Потом студенты зачерпывают ковшиком газ из корыта, переливают его внутрь «корабля», и он тонет.

Найдите, какой минимальной молярной массой M должен обладать этот тяжелый газ, чтобы в нем мог плавать «корабль» в форме прямоугольного параллелепипеда (с открытым верхом), согнутый из бытовой алюминиевой фольги толщиной h = 25 мкм. Размеры «корабля»: длина a = 50 см, ширина b = 20 см, высота бортов c = 10 см. Считать, что лишние куски, образовавшиеся при сгибании параллелепипеда из листа фольги, удалены. Плотность алюминия ρ_Al = 2,7 г/см³, плотность воздуха при данных условиях равна ρ_в = 1,3 кг/м³, средняя молярная масса воздуха в M_в = 29 г/моль .

Подсказка

Ответ Молярная масса тяжелого газа
Задача 5
Из трех одинаковых батареек собрали цепь, схема которой изображена на рисунке. Что покажет вольтметр, подключенный к выводам 1 и 2? ЭДС каждой из батареек равна E.
Подсказка

Ответ

Показание вольтметра U = 2E/3.

fizportal.ru

Сайт учителя физики — ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО ФИЗИКЕ

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО ФИЗИКЕ

Приложение 3.

Внимание!!! Недопустимо использовать приведённые ниже примеры задач в качестве

задания школьного этапа в 2014-2015 учебном году.

Образец задания.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП

7 класс

Задача 1. Неутомимый турист.

Турист пошел в поход и преодолел некоторое расстояние. При этом первую половину

пути он шел со скоростью 6 км/ч, половину оставшегося времени ехал на велосипеде со ско-

ростью 16 км/ч, а оставшийся путь поднимался в гору со скоростью 2 км/ч. Определите

среднюю скорость туриста за время его движения.

Решение

Пусть общая длина пути туриста равна L км, а общее время его движения – T часов.

Тогда первую половину пути турист преодолел за время 2 6 12 1

L L

часов. Половина ос-

тавшегося времени, которую он проехал на велосипеде, равна 2 12

T t

часов.

Оставшийся путь, который турист поднимался в гору, занял у него время

2 4

2 2

часов. Следовательно, полное время движения туриста

12 2 24 4 1 2 3

L L T

L T L L

T t t t

Отсюда 12

и средняя скорость туриста за все время его движения

км/ч 7, 2 км/ч

Ответ:

7, 2 км/ч.

Критерии оценки:

Найдено (т.е. выражено через L) время преодоления первой половины пути – 2 балла.

Найдено (т.е. выражено через L и T) время езды на велосипеде – 2 балла.

Найдено (т.е. выражено через L и T) время подъема в гору – 2 балла.

Составлено уравнение для отыскания средней скорости за всё время движения – 2

балла.

Получена средняя скорость за всё время движения – 2 балла.

Задача 2. «Хитрый» сплав.

Сплав состоит из 100 г золота и 100 см3 меди. Определите плотность этого сплава.

Плотность золота равна 19,3 г/см3 , плотность меди – 8,9 г/см3.

Решение

Масса сплава равна m = 100 + 100 8,9 = 990 г. Объем сплава равен

100 105,2

19,3

100

V см3. Поэтому плотность сплава получается равной 9,4

105,2

990

г/см3.

Ответ: плотность сплава примерно равна 9,4 г/см3.

Критерии оценки:

Правильно найдена масса сплава – 4 балла.

Правильно найден объем сплава – 4 балла.

Правильно вычислена плотность сплава – 2 балла.

Задача 3. Морская миля

Сколько километров содержится в одной морской миле?

Примечание.

1. Морская миля определяется как длина части экватора на поверхности земного шара

при смещении на одну угловую минуту. Таким образом, перемещение на одну морскую ми-

лю вдоль экватора соответствует изменению географических координат на одну минуту дол-

готы.

2. Экватор — воображаемая линия пересечения с поверхностью Земли плоскости, перпен-

дикулярной оси вращения планеты и проходящей через её центр. Длина экватора приблизи-

тельно равна 40000 км .

3. Вавилоняне придумали деление окружности на 360 (соответственно делению года

в вавилонском календаре на 360 дней).

4. Один градус делится на 60 угловых минут.

Решение

Из условия находим, что 360 360 60 21600[ угловых минут] . Так как путь вдоль эква-

тора при однократном обороте вокруг Земли равен 40000 км , то в одной морской миле со-

держится l 40000 21600 км 1852 м .

Критерии оценки:

……………………………………………………………………………………………………………………….. Н

айдено, сколько угловых минут в 360 — 5 баллов

……………………………………………………………………………………………………………………….. О

пределено, сколько метров в 1 морской миле – 5 баллов

8 класс

Задача 1. Деревянный брусок.

Ученик измерил плотность деревянного бруска, покрытого краской, и она оказалась

равной 600 кг/м3. Но на самом деле брусок состоит из двух частей, равных по массе,

плотность одной из которых в два раза больше плотности другой. Найдите плотности обеих

частей бруска. Массой краски можно пренебречь.

Решение

Пусть m — масса каждой из частей бруска, 1 и 2 1/ 2 — их плотности. Тогда

части бруска имеют объемы 1 m / и 1 m / 2 , а весь брусок массу 2m и объем 1 3m / .

Средняя плотность бруска

2 2

3 / 3

Отсюда находим плотности частей бруска:

900

кг/м3, 2

450

кг/м3.

Критерии оценки:

Определено, что средняя плотность бруска есть

– по 1 балл.

Определены объемы каждой части бруска m / 1 и 1 m / 2 – 2 балла.

Определен весь объем бруска 1 3m / – 2 балла.

Выражена средняя плотность бруска через 1 – 1 балла.

Найдена плотность каждого бруска – по 2 балла.

Задача 2. Ртуть и вода.

В тонкой U-образной трубке имеется перемычка между ко-

ленами, находящаяся на расстоянии 6a от нижней части трубки,

причем а = 5 см. В правое колено трубки налита ртуть, в левое –

вода, которая может затекать в левую половину перемычки. Посе-

редине перемычки находится закрытый кран. В состоянии равно-

весия граница ртуть-вода проходит посередине нижней части

трубки. Высота ртути над нижней частью трубки равна а, длина нижней части трубки и пе-

ремычки 2а. Площади сечения всех частей трубки и перемычки одинаковые. Плотность рту-

ти 13,6 г/см3, воды – 1 г/см3.

Кран в перемычке открывают.

1) Как после этого расположится ртуть в трубке?

2) Какова будет после этого высота уровня воды над нижней частью трубки?

Решение

До открытия крана ртуть и вода находились в гидростатическом равновесии. Таким

образом, высота водяного столба в левом колене была равна 13,6а. Так как вода заполняла

половину перемычки и половину нижней части трубки, то суммарный объем воды пропор-

ционален 15,6а. После открывания крана вода начнет переливаться в другое колено и зали-

вать ртуть сверху. Поскольку плотность ртути больше плотности воды, ртуть опустится вниз

и займет всю нижнюю часть трубки. Вода же займет оба колена и всю перемычку, и высота

уровня воды над нижней частью трубки в обоих коленах будет равна (15,6 2)a/2 = 6,8а, то

есть 34 см.

Критерии оценки:

Найдена (выражена через a) высота водяного столба в левом колене трубки до откры-

тия крана – 2 балла.

Найден (выражен через a) суммарный объем воды в трубке – 2 балла.

Описано (или сказано), как будут вести себя вода и ртуть после открывания крана – 1

балл.

Указано, что ртуть в итоге займет всю нижнюю часть трубки, и объяснено, почему это

произойдет – 1 балл.

Описано, как после открывания крана будет размещаться в трубке вода – 1 балл.

Найдена конечная высота уровня воды над нижней частью трубки – 3 балла.

Задача 3. Супермарафон

Три спортсмена-супермарафонца одновременно стартуют с одного и того же места

кольцевой беговой дорожки и 10 часов бегут в одну сторону с постоянной скоростью: пер-

вый 9 км/ч, второй 10 км/ч, третий 12 км/ч. Длина дорожки 400 м. Мы говорим, что про-

изошла встреча, если либо два, либо сразу все три бегуна поравнялись друг с другом. Мо-

мент старта встречей не считается. Сколько всего «двойных» и «тройных» встреч произошло

во время забега? Кто из спортсменов чаще всех участвовал во встречах и сколько раз?

Решение

Второй спортсмен бежит быстрее первого на 1 км/ч. Значит, за 10 часов первый бегун

обгонит второго на 10 км, то есть произойдет N12 = (10 км)/(400 м) = 25 встреч. Аналогично,

число встреч первого спортсмена с третьим N13 = (30 км)/(400 м) = 75 встреч, второго спорт-

смена с третьим N23 = (20 км)/(400 м) = 50 встреч.

Каждый раз, когда встречаются первый и второй бегун, третий оказывается там же,

значит, число «тройных» встреч N3 = 25. Суммарное число «двойных» встреч

N2 = N12 + N13 + N23 – 2N3 = 100.

Ответ: всего произошло 100 «двойных встречи» и 25 тройных встреч; чаще всего встре-

чались первый и третий спортсмены, это случилось 75 раз.

Критерии оценки:

Найдено число встреч первого и второго бегунов – 2 балла

Найдено число встреч первого и третьего бегунов – 2 балла

Найдено число встреч второго и третьего бегунов – 2 балла

Найдено число «тройных» встреч – 2 балла

Найдено суммарное число «двойных» встреч – 1 балл

Правильно указано, кто из спортсменов чаще всех участвовал во встречах и сколько

раз – 1 балл

Задача 4. Энергия бутылки.

На какую высоту можно было бы поднять груз массой m 1000 кг, если бы удалось

полностью использовать энергию, освобождающуюся при остывании 1 литра воды от

1 t 100оС до 1 t 20 оС? Удельная теплоемкость воды c 4200 Дж/(кг оС), плотность во-

ды 1000 кг/м3.

Решение

При остывании воды освобождается энергия

1 1 2 Q cm t t ,

где 1 m V — масса воды, — ее плотность.

Для того, чтобы поднять груз массой m на высоту h , должна быть выполнена работа

A mgh ,

следовательно,

1 2 c V t t mgh ,

откуда

1 2 34

c V t t

м.

Критерии оценки:

Найдено количество теплоты, выделяющееся при остывании воды с учетом плотности

воды – 3 балла.

Определена работа, необходимая для поднятия груза – 2 балла.

Записан закон сохранения энергии – 2 балла.

Получено выражение и значение искомой высоты – 3 балла.

9 класс

Задача 1. Автомобильные гонки.

По круглой гоночной трассе из точки О в разные стороны стартуют Петров и Алонсо.

Скорость 1 V Алонсо в два раза больше, чем скорость 2 V Петрова. Гонка закончилась, когда

спортсмены одновременно вернулись в точку О. Сколько у гонщиков было мест встреч, от-

личных от точки О?

Решение

Машины едут по трассе навстречу друг другу. Если длина трассы S , то встреча про-

изойдет тогда, когда

1 2 Vt V t S , (1)

или в соответствии с условием задачи

2 3V t S . (2)

Отсюда следует, что до первой встречи Петров проедет 2 3

V t , а Алонсо

1 2

Vt V t . К моменту второй встречи Петров проедет еще

, а к третьей встрече

проедет круг и вернется в точку О. Алонсо за это время проедет два круга, и гонка завершит-

ся. Таким образом, у гонщиков было два места встречи, отличных от точки О.

1. Введена длина трассы – 1 балл.

2. Записано условие встречи автомобилей (1) – 1 балла.

3. Записано условие встречи автомобилей (2) с учетом данных задачи – 2 балла.

4. Найдено место первой встречи – 2 балла.

5. Найдено место второй встречи – 1 балл.

6. Отмечено, что Петров проедет 1 круг, а Алонсо 2 круга – 1 балл.

7. Получен ответ – 2 балла.

Задача 2. Энергия бутылки.

На какую высоту можно было бы поднять груз массой m 1000 кг, если бы удалось

полностью использовать энергию, освобождающуюся при остывании 1 литра воды от

1 t 100оС до 1 t 20 оС? Удельная теплоемкость воды c 4200 Дж/кг оС, плотность воды

1000 кг/м3.

Решение

При остывании воды освобождается энергия

1 1 2 Q cm t t ,

где 1 m V — масса воды, — ее плотность.

Для того, чтобы поднять груз массой m на высоту h , должна быть выполнена работа

A mgh ,

следовательно,

1 2 c V t t mgh ,

откуда

1 2 34

c V t t

м.

Критерии оценки:

Найдено количество теплоты, выделяющееся при остывании воды с учетом плотности

воды – 3 балла.

Определена работа, необходимая для поднятия груза – 2 балла.

Записан закон сохранения энергии – 2 балла.

Получено выражение и значение искомой высоты – 3 балла.

Задача 3. Лёд и спирт.

В сосуде в тепловом равновесии находятся вода объёма V 0 5 л и кусочек льда. В сосуд

начинают вливать спирт, температура которого 0 С , перемешивая содержимое. Сколько

спирта нужно влить, чтобы лёд утонул? Плотность спирта 3 800 с кг м . Считайте плотно-

сти воды и льда равными 3 3 1000 кг м и 900 кг м соответственно. Теплотой, выделяющейся

при смешивании воды и спирта, пренебречь. Считайте, что объём смеси воды и спирта равен

сумме объёмов исходных компонентов.

Решение

В сосуде находится вода со льдом, что может быть только при температуре 0 С . Поэтому

можно предположить, что теплообмена спирта с водой и со льдом происходить не будет.

Также можно пренебречь теплообменом с окружающей средой. Учитывая это, получаем, что

масса льда останется неизменной. Чтобы лёд тонул в смеси «вода–спирт», нужно, чтобы её

плотность x равнялась плотности льда л . Пусть объём влитого спирта с V , тогда:

x в с с

x л

x с

m V V

V V V

Решая это уравнение, окончательно получаем:

1000 900

0 5 0 5

900 800

в л

л с

V V л

Критерии оценки:

……………………………………………………………………………………………………………………….. П

рисутствует утверждение о том, что температура воды и льда 0 С — 2 балла

……………………………………………………………………………………………………………………….. Н

аписано утверждение о равенстве x и л — 2 балла

……………………………………………………………………………………………………………………….. Н

аписано выражение для x — 3 балла

……………………………………………………………………………………………………………………….. Н

айден объём с V — 3 балла

Задача 4. Правильное подключение.

В перерыве между лабораторными работами расшалившиеся дети собрали цепочку из

нескольких одинаковых амперметров и вольтметра. Из объяснений учителя дети твердо

помнили, что амперметры надо включать последовательно, а вольтметры – параллельно. По-

этому собранная схема выглядела так:

После включения источника тока, на удивление, амперметры не сгорели и даже стали

что-то показывать. Некоторые показывали силу тока 2 А, а некоторые 2,2 А. Вольтметр по-

казывал напряжение 10 В. Определите по этим данным напряжение источника тока, внут-

реннее сопротивление амперметра и внутреннее сопротивление вольтметра.

Решение

Сила тока больше в неразветвленном участке цепи, содержащем источник тока и

шесть амперметров, следовательно, именно в ней амперметры показывают 2,2 А. Пять ам-

перметров, параллельных вольтметру, показывают меньшую силу тока – 2 А. Сила тока в це-

пи вольтметра равна разности первых двух токов, то есть IV = 0,2 А. Отсюда легко найти со-

противление вольтметра:

V I

R 50 Ом.

Из соотношения сил тока в параллельных ветвях цепи следует, что сопротивление пя-

ти амперметров в 10 раз меньше, чем сопротивление одного вольтметра, то есть RА = 1 Ом.

Напряжение на источнике тока можно найти, сложив напряжения на всех амперметрах. Обо-

значив I1 = 2,2 А и I2 = 2 А, получаем: U = 6I1RA + 5I2RA = 23,2 В.

Критерии оценки:

Правильно указаны участки цепи, в которых амперметры показывают значение 2 А и

в которых амперметры показывают значение 2,2 А – 2 балла.

Найдена сила тока в цепи вольтметра – 2 балла.

Найдено сопротивление вольтметра – 2 балла.

Из соотношения сил тока в параллельных ветвях цепи найдено сопротивление

амперметра – 2 балла.

Найдено напряжение на источнике – 2 балла.

10 класс

Задача 1. Рыбка в опасности.

Проплывая со скоростью V мимо большого коралла, маленькая рыбка почувствовала

опасность и начала движение с постоянным (по модулю и направлению) ускорением

a = 2 м/с2. Через время t = 5 с после начала ускоренного движения её скорость оказалась на-

правленной под углом 90 к начальному направлению движения и была в два раза больше

начальной. Определите модуль начальной скорости V, с которой рыбка плыла мимо коралла.

Решение

Воспользуемся векторным уравнением V V at

  

кон . Учи-

тывая, что Vкон = 2V и что V V

 

кон , его можно изобразить в виде

векторного треугольника скоростей. Используя теорему Пифаго-

ра, находим ответ:

V 4,5 м/с.

Критерии оценки:

Построен треугольник скоростей – 5 баллов.

При помощи теоремы Пифагора найден ответ – 5 баллов.

В случае если задача решалась аналитически, первые 5 баллов даются за записанную систе-

му уравнений (зависимости проекций скорости от времени), следующие 5 баллов – за полу-

ченный ответ.

Задача 2. Правильное подключение.

В перерыве между лабораторными работами расшалившиеся дети собрали цепочку из

нескольких одинаковых амперметров и вольтметра. Из объяснений учителя дети твердо

помнили, что амперметры надо включать последовательно, а вольтметры – параллельно. По-

этому собранная схема выглядела так:

После включения источника тока, на удивление, амперметры не сгорели и даже стали

что-то показывать. Некоторые показывали силу тока 2 А, а некоторые 2,2 А. Вольтметр по-

казывал напряжение 10 В. Определите по этим данным напряжение на источнике тока, со-

противление амперметра и сопротивление вольтметра.

Решение

Сила тока больше в неразветвленном участке цепи, содержащем источник тока и

шесть амперметров, следовательно, именно в ней амперметры показывают 2,2 А. Пять ам-

перметров, параллельных вольтметру, показывают меньшую силу тока – 2 А. Сила тока в це-

пи вольтметра равна разности первых двух токов, то есть IV = 0,2 А. Отсюда легко найти со-

противление вольтметра:

V I

R 50 Ом.

Из соотношения сил тока в параллельных ветвях цепи следует, что сопротивление пя-

ти амперметров в 10 раз меньше, чем сопротивление одного вольтметра, то есть RА = 1 Ом.

Напряжение на источнике тока можно найти, сложив напряжения на всех амперметрах. Обо-

значив I1 = 2,2 А и I2 = 2 А, получаем: U = 6I1RA + 5I2RA = 23,2 В.

Критерии оценки:

Правильно указаны участки цепи, в которых амперметры показывают значение 2 А и

в которых амперметры показывают значение 2,2 А – 2 балла.

Найдена сила тока в цепи вольтметра – 2 балла.

Найдено сопротивление вольтметра – 2 балла.

Из соотношения сил тока в параллельных ветвях цепи найдено сопротивление

амперметра – 2 балла.

Найдено напряжение на источнике – 2 балла.

Задача 3. Поплавок.

Поплавок для рыболовной удочки имеет объем V 5 см3 и массу m 2 г. К поплав-

ку на леске прикреплено свинцовое грузило, и при этом поплавок плавает, погрузившись на

половину своего объема. Найдите массу грузила M . Плотность воды 1 1000 кг/м3,

плотность свинца 2 11300 кг/м3.

Решение

На систему, состоящую из поплавка и грузила, действуют направленные вниз силы

тяжести mg (приложена к поплавку) и Mg (приложена к грузилу), а также направленные

вверх силы Архимеда 1 gV / 2 (приложена к поплавку) и 1 2 gM / (приложена к грузи-

лу). В равновесии сумма сил, действующих на систему равна нулю:

1 1

2 2

gV gM

m M g .

Отсюда

2 0,55

M г.

Критерии оценки:

Нарисован рисунок с приложенными к каждому телу силами – 3 балла.

Записана сумма сил, действующих на поплавок (с учетом силы натяжения со стороны

лески) – 1 балл.

Записана сумма сил, действующих на грузило (с учетом силы натяжения со стороны

лески) – 1 балл.

Исключена сила натяжения и записано условие равновесия системы – 2 балла.

Получено конечное выражение для массы грузила – 2 балла.

Получено числовое значение – 1 балл.

или

Нарисован рисунок с приложенными к каждому телу силами – 3 балла.

Записано условие равновесия системы – 4 балла.

Получено конечное выражение для массы грузила – 2 балла.

Получено числовое значение – 1 балл

Задача 4. Окрошка с картошкой.

Школьник Коля налил в тарелку холодную окрошку, имеющую температуру

. Масса окрошки в тарелке равна г, а ее удельная теплоемкость равна

удельной теплоемкости воды . Коля добавил в окрошку горячую кар-

тошку, которая имела температуру . Полная теплоемкость добавленной картош-

ки равна . После установления теплового равновесия температура картошки и

окрошки оказалось равной . В какую сторону было передано больше теплоты при

теплообмене с окружающей средой: от содержимого тарелки в среду или наоборот, и на

сколько больше.

Решение

Количество теплоты, полученное окрошкой при нагреве равно:

Количество теплоты, отданное картошкой при охлаждении:

Больше теплоты была передано от содержимого тарелки в окружающую среду на величину:

Критерии оценки:

Найдено количество теплоты, полученное окрошкой при нагревании – 3 балла

Найдено количество теплоты, отданное картошкой при охлаждении – 3 балла

Найдено количество теплоты, ушедшей от содержимого тарелки в окружающую среду

(формула и число) — 2 балл

Правильно определено, в какую сторону было передано больше теплоты при тепло-

обмене с окружающей средой – 2 балл

Задача 5 (сложная). Бег по кругу.

Мастер спорта, второразрядник и новичок бегают на лыжах по кольцевому маршруту

с длиной кольца 1 км. Соревнование заключается в том, кто пробежит большее расстояние за

2 часа. Стартовали они одновременно в одном месте кольца. Каждый спортсмен бежит со

своей постоянной по модулю скоростью. Новичок, бегущий не очень быстро со скоростью 4

км/час, заметил, что каждый раз, когда он проходит место старта, его обязательно обгоняют

оба других спортсмена (они могут обгонять его и в других местах маршрута). Другое его на-

блюдение состоит в том, что когда мастер обгоняет только второразрядника, то они оба на-

ходятся от новичка на максимальном расстоянии. Сколько километров пробежал каждый из

спортсменов за 2 часа? Для справки: наибольшая средняя скорость, достигнутая спортсме-

ном на чемпионате мира по лыжным гонкам, составляет примерно 26 км/час.

Решение

Скорости спортсменов могут относиться друг к другу как целые числа

1 : (n + 1) : (2n + 1), где n – целое положительное число.

То есть условию задачи удовлетворяют следующие наборы скоростей:

4 км/час : 8 км/час : 12 км/час;

4 км/час : 12 км/час : 20 км/час;

4 км/час : 16 км/час : 28 км/час,

и так далее. Разумно рассматривать только второй из этих наборов, так как для масте-

ра спорта скорость 12 км/час маловата, а 28 км/час – великовата (превышает мировой ре-

корд). Но, поскольку про уровень подготовки мастера спорта в условии задачи ничего не

сказано, то первый набор скоростей также годится.

Следовательно, новичок пробежал 8 км, второразрядник – 16 км или 24 км, мастер

спорта – 24 км или 40 км.

Критерии оценки:

Замечено, что скорости спортсменов могут относиться друг к другу как целые числа

1 : (n + 1) : (2n + 1), где n – целое положительное число – 3 балла

Найдены наборы скоростей лыжников, формально удовлетворяющие условию задачи

– 3 балла

Исключены наборы скоростей, в которых скорость хотя бы одного лыжника превы-

шает мировой рекорд – 1 балл

Указана хотя бы одна тройка расстояний, которые пробежали спортсмены – 3 балла

11 класс

Задача 1. Бег по кругу.