Формулы сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения.
Цели:
— Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.
— Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.
Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть.
Пусть а, b R. Тогда:
1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
(a — b)
a2 — b2 = (a -b) (a+b)
4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab
6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.
a3 + b3 = (a + b) (a2 — ab + b2)
7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.
a3 — b3 = (a — b) (a2 + ab + b2)
Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.
Пример 1.
Вычислить
а) (40+1)2
б) 982
Решение:
а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем
(40+1)2 = 402 + 2 · 40 · 1 + 1
б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим
982 = (100 – 2)2 = 1002 — 2 · 100 · 2 + 22 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Пример 2.
Вычислить
Решение
Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим
Пример 3.
Упростить выражение
(х — у)2 + (х + у)2
Решение
Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений
(х — у)2 + (х + у)2 = х2 — 2ху + у2 + х2 + 2ху + у2 = 2х2 + 2у2
Формулы сокращенного умножения в одной таблице:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a — b)2 = a2 — 2ab + b2
a2 — b2 = (a — b) (a+b)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3
a3 + b3 = (a + b) (a2 — ab + b2)
a3 — b3 = (a — b) (a2 + ab + b2)
Уравнения с параметром
Разделы: Математика
Справочный материал
Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.
Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.
Пример 1. ах = 0
- Если а = 0, то 0х = 0
х – любое действительное число - Если а 0, то х =
Пример 2. ах = а
- Если а = 0, то 0х = 0
х – любое действительное число - Если а 0, то х =
х = 1
Пример 3.
х + 2 = ах
х – ах = -2
х(1 – а) = -2
Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет
Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =
Пример 4.
(а2 – 1) х = 2а2 + а – 3
(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)
(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)
Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число
Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет
Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).
Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.
Например:
если а = 5, то х = = ;
если а = 0, то х = 3 и т. д.
Дидактический материал
1. ах = х
+ 3 2. 4 + ах = 3х – 1
3. а = +
4. + 3(х+1)
5. = –
6. =
Ответы:
- При а 1 х =;
при а = 1 корней нет.
- При а 3 х = ;
при а = 3 корней нет.
- При а 1, а -1, а 0 х = ;
при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1
при а = -1, а = 0 решений нет.
- При а 2, а 0 х = ;
при а = 0, а = 2 решений нет.
- При а -3, а -2, а 0, 5 х =
при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет
- При а + с 0, с 0 х = ;
при а = —с, с = 0 решений нет.
Квадратные уравнения с параметром
Пример 1. Решить уравнение
(а – 1)х2 = 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0
При а = 1 6х + 7 = 0
х = –
В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.
Д = (2(2а + 1))2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а2 + 16а + 4 – 4(4а2 + 3а – 4а – 3) = 16а2 + 16а + 4 – 16а2 + 4а + 12 = 20а + 16
20а + 16 = 0
20а = -16
a =
a =
Если а < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет действительный корень.
Если а > -4/5 и а 1, то Д > 0,
х =
Если а = 4/5, то Д = 0,
х = – = –
Пример 2.
х2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?
Д = 4(а + 1)2 – 4(9а – 5) = 4а2 – 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6)
4(а – 1)(а – 6) > 0
по т. Виета: х1 + х2 = -2(а + 1)
х1х2 = 9а – 5
По условию х1 < 0, х2 < 0 то –2(а + 1) < 0 и 9а – 5 > 0
В итоге | 4(а – 1)(а – 6) > 0 — 2(а + 1) < 0 9 |
а < 1: а > 6 а > — 1 а > 5/9 |
(Рис. 1) < a < 1, либо a > 6 |
Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.
х2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0
Д = 4(а – 1)2 – 4(2а + 10 = 4а2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а2 – 16а
4а2 – 16 0
4а(а – 4) 0
а(а – 4)) 0
а(а – 4) = 0
а = 0 или а – 4 = 0
а= 4
(Рис. 2)
Ответ: а 0 и а 4
Дидактический материал
1. При каком значении а уравнение ах2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?
2. При каком значении а уравнение (а + 2) х2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?
3. При каких значениях а уравнение (а2 – 6а + 8) х2 + (а2 – 4) х + (10 – 3а – а2) = 0 имеет более двух корней?
4. При каких значениях а уравнение 2х2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х2 – 7х + 6 = 0?
5. При каких значениях а уравнения х2 +ах + 1 = 0 и х2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?
Ответы:
1. При а = — 1/7, а = 0, а = 1
2. При а = 0
3. При а = 2
4. При а = 10
5. При а = — 2
Показательные уравнения с параметром
Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение
9х – (а + 2)*3х-1/х +2а*3-2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.
Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 32/х, получим равносильное уравнение
32(х+1/х) – (а + 2)*3х+1/х + 2а = 0 (2)
Пусть 3х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у2 – (а + 2)у + 2а = 0, или
(у – 2)(у – а) = 0, откуда у1 =2, у2 = а.
Если у = 2, т.е. 3х+1/х = 2 то х + 1/х = log32 , или х2 – хlog32 + 1 = 0.
Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log232 – 4 < 0.
Если у = а, т.е. 3х+1/х = а то х + 1/х = log3а, или х2 – хlog3а + 1 = 0. (3)
Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда
Д = log232 – 4 > 0, или |log3а| > 2.
Если log3а > 2, то а > 9, а если log3а < -2, то 0 < а < 1/9.
Ответ: 0 < а < 1/9, а > 9.
Пример 2. При каких значениях а уравнение 22х – (а – 3) 2х – 3а = 0 имеет решения?
Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х1 = -3, х2 = а = >
а – положительное число.
Ответ: при а > 0
Дидактический материал
1. Найти все значения а, при которых уравнение
25х – (2а + 5)*5х-1/х + 10а * 5-2/х = 0 имеет ровно 2 решения.
2. При каких значениях а уравнение
2(а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?
3. При каких значениях параметра а уравнение
4х — (5а-3)2х +4а2 – 3а = 0 имеет единственное решение?
Ответ:
- 0 < а < 1/50, а > 25/2
- при а = 1, а = -2,2
- 0 < а 3/4 и а = 1
Логарифмические уравнения с параметром
Пример 1. Найти все значения а, при которых уравнение
log4x(1 + ах) = 1/2 (1)
имеет единственное решение.
Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению
1 + ах = 2х при х > 0, х 1/4 (3)
х = у
ау2 –у + 1 = 0 (4)
Если а = 0, то – | 2у + 1 = 0 2у = 1 у = 1/2 х = 1/2 х = 1/4 |
Не выполняется (2) условие из (3).
Пусть а 0, то ау2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.
Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).
Пусть Д > 0 (а < 1), тогда уравнение (4) имеет два различных корня. Так как у = х 0, то в случае Д > 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а < 0, т.е. при а < 0.
Пример 2. Найти все значения а, при которых уравнение
log5(x = 2-a ) – log1/5(a-1-x) = log259 имеет решение.
Решение. log5(x + 2-a) –log5(f – 1 – x) = log53
(1) х + 2 – а = 3(а – 1 – х), если
(2) а – 1 > х
Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство
2 – а > 1 – а (3)
Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.
Рис. 3
Решения неравенства (3) образуют промежуток (а0; 2), где а0 < 0 и а0 – корень уравнения 2 – а = 1 – а.
Тогда 2 – а = (1– а)2
а2 – а – 1 = 0
а0 =
Ответ: < a 2
Дидактический материал
- Найдите, при каких значениях а уравнение log 3 (9x + 9a3)= x имеет ровно два корня.
- Найдите, при каких значениях а уравнение log 2 (4x – a) = x имеет единственный корень.
- При каких значениях а уравнение х – log 3 (2а – 9х) = 0 не имеет корней.
Ответы:
- при а < 1/3 36
- при а = -1/4
- при а < -1/8
Литература
16.06.2009
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
1) уравнение плоскости А1А2А3; 2) уравнение прямой, проходящей через точку А4, перпендикулярно плоскости А1А2А3; 3) расстояние от точки А4 до плоскости А1А2А3
А1(2;3;5), А2(5;3;-7), А3(1;2;7), А4(4;2;0)
Решение
1) Уравнение плоскости А1А2А3
-12(x-2)+6(y-3)-3(z-5)=0
-12х+6y-3z+21=0
4х-2y+z-7=0 – общее уравнение плоскости А1А2А3
2) Уравнение прямой, проходящей через точку А4 перпендикулярно к плоскости А1А2А3 :
, где =(A;B;C)– нормальный вектор к плоскости А1А2А3.
=(4;-2;1)
– канонические уравнения прямой.
3) Расстояние от точки А4до плоскости А1А2А3:
, где Ax+By+Cz+D=0 – общее уравнение плоскости А1А2А3
A=4 B=-2 C=1 D=-7
4) Синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3:
, где – направляющий вектор прямой, – нормальный вектор к плоскости.
(4-2;2-3;0-5)=(2;-1;-5)
=(4;-2;1)
5) Косинус угла между координатной плоскостью Oxy и плоскостью А1А2А3:
, где и – нормальные векторы плоскостей
=(0;0;1), =(4;-2;1)
primer.by
Leave A Comment