Элективный курс «Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов»

О.П. Иванченко

ГЕОМЕТРИЯ

Вписанная и описанная окружность в трапецию»

в рамках курса по выбору

по геометрии для обучающихся 9 классов

Управление образования администрации

Ангарского городского округа

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №15»

О.П. Иванченко

Вписанная и описанная окружность в трапецию»

в рамках курса по выбору

по геометрии для обучающихся 9 классов

Элективный курс

Ангарск

2017

Автор-составитель Иванченко Ольга Петровна, учитель математики МБОУ «СОШ №15» г. Ангарск

Иванченко О.П.

Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору

по геометрии для обучающихся 9 классов: Элективный курс / О.П. Иванченко. – Ангарск: МБОУ «СОШ №15», 2017. – 50с.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ……………………………………………………………………….…… 5

Глава 1. Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности …………………………………..…………………………….………. 8

1.1. Вписанные и описанные четырехугольники ………….……………… 8

1.2. Трапеция …………………………………………..………………….. 9

1.3. Анализ учебной литературы ……………..………..………………..10

1.4. Трапеция, вписанная в окружность …………………………………12

1.5. Трапеция, описанная около окружности …..……………………… 13

Глава 2. Содержание занятий по теме «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов ……………………………. ………….….20

2.1. Пояснительная записка ………………………………………………20

2.2. Содержание занятий по теме: «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» ………………………………………22

Заключение ……………………………………………………………….44

Литература ………………………………………………………………..45

Приложение 1 (Входная самостоятельная работа) …………………….47

Приложение 2 (Итоговая самостоятельная работа) ……………………49

ВВЕДЕНИЕ

Геоме́трия (от γη — Земля и μετρεω — мера, измерение) — наука о пространстве, точнее — наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела; раздел математики, изучающий пространственные отношения и их обобщения.[1]

В общеобразовательной школе предмет «Геометрия» изучается с 7 класса и, по мнению многих обучающихся, является одним из сложнейших школьных предметов.  Многие обучающиеся не понимают назначения геометрии в жизни, так как не собираются связывать свою будущую профессию с математикой вообще.

Основой курса геометрии является принцип доказательности всех утверждений. И это единственный школьный предмет, включая даже предметы математического цикла, полностью основанный на последовательном выводе всех утверждений. Людьми, понимающими, что такое доказательство, трудно и даже невозможно манипулировать.[1]

Итак, Геометрия — один из важнейших предметов, причем не только среди предметов математического цикла, но и вообще среди всех школьных предметов. Ее целевой потенциал охватывает необычайно широкий арсенал, включает в себя чуть ли не все мыслимые цели образования.

Куда бы мы ни повернулись в нашей жизни, повсюду мы видим применение принципов геометрии. Она может быть в строительстве соо­ружений и оформлении их, в архитектуре, уст­ройстве интерьеров, даже в создании ландшафта.[2]

Каждый день, идя по улице, мы начинаем замечать, что мир состоит из разных геометрических фигур. Окна домов – квадраты или прямоугольники, дорожные знаки – круги, треугольники или прямоугольники.

Но иногда встречаются такие фигуры, и даже очень часто, у которых две противоположные стороны параллельны, а две нет – предметы обихода, лобовые и боковые стекла у машин, крыши домов, тротуарная плитка, религиозные знаки и, даже, силуэты одежды.

Эти фигуры похожи на треугольник, у которого срезали вершину. Иногда они правильной формы, иногда – нет. Это трапеции.

В принципе, это давно известная фигура, свойства которой исследовали еще и Евклид, и Архимед.

«Трапецией» называются не только геометрические фигуры, но и спортивный снаряд, и мышцы атлета, и система тросов на яхтах, и женские юбки.

В настоящей работе рассмотрим трапецию, вписанную в окружность и трапецию, описанную около окружности.

Объект исследования: трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около нее.

Предмет исследования: содержание занятий по теме «Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов.

Цель работы: разработка занятий по теме «Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов.

Задачи:

1. анализ учебной и методической литературы по теме исследования;

2. подбор теоретического и практического материала;

3. разработка практического и контрольно-измерительного материала.

Структура работы:

Работа состоит из введения, 2-х глав, заключения, списка литературы и 2 приложений, в которых представлено решение входной и итоговой самостоятельных работ. Общий объем работы 48 страниц.

Глава 1. Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности

1.1. Вписанные и описанные четырехугольники

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), которая состоит из четырёх точек (вершин), три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. [3]

Виды четырехугольников:

— параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно равны и параллельны;

— прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;

— ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;

— квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;

— трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. [4]

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности, которая будет называться описанной вокруг четырехугольника. [5]

Теорема 1. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180.

Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию. [6]

Площадь

где (полупериметр)

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник. [5]

Теорема 2. Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его длин противоположных сторон равны. [6]

Площадь

,

где (полупериметр)

r – радиус вписанной окружности

1. 2. Трапеция

Понятие трапеции формировалось в течение длительного периода времени. Сначала трапецией называли любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом. [7]

Именно в таком смысле термин «трапеция» использовал Евклид в своих «Началах».

В XVIII веке понятие трапеции приобрело современные определения:

— «Трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие нет»;

— «Трапеция в геометрии – четырехугольник, с парой параллельных сторон, и с другой парой непараллельных»;

— «Трапеция – четырехугольник, в котором две противоположные стороны параллельны, называемые основаниями трапеции, а другие две – непараллельные»;

— «Трапеция – четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна».

Таким образом, трапеция — это геометрическая фигура, образованная четырьмя пересекающимися отрезками, два противоположных из которых параллельны между собой и называются основаниями трапеции.

Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна). Две параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — это боковые стороны. Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна, в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. [8]

1.3. Анализ учебной литературы

Приведем анализ школьных учебников по геометрии на выявление особенностей темы: «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности».

Особенности изложения темы в учебнике Л.С. Атанасян и др.

Тема: «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» не достаточно рассматриваются данными авторами. Авторы в учебнике за 8 класс в параграфе «Вписанная и описанная окружность» дают определение окружности вписанной в многоугольник, и многоугольника описанного около окружности.

Доказывается теорема: Около любого треугольника можно описать окружность. На основании, которой авторы приводят замечания, одно из которых:

— не во всякий четырехугольник можно вписать окружность, доказательство которого учащимся предлагается привести самостоятельно.

Авторы предлагают обучающимся в задаче 710 (стр. 187) выполнить доказательство свойства трапеции вписанной в окружность. Так токовые свойства трапеции вписанной в окружность, и трапеции описанной около окружность авторами не рассматриваются и в 9 классе. [10]

Особенности изложения темы в учебнике А.В. Погорелова

Темы: «Трапеция, вписанная в окружность» и «Трапеция, описанная около окружности» не рассматриваются данным автором. Автор дает определение трапеции в разделе за 8 класс и рассматривает ее свойства с доказательством. Но о вписанной трапеции в окружность, и трапеции описанной около окружности он не упоминает и в представленных задачах за 8 класс, а так, же и в разделе за 9 класс. [9]

Особенности изложения тем в учебнике Г.П. Бевз и др.

Темы: «Трапеция, вписанная в окружность» и «Трапеция, описанная около окружности» не достаточно рассматриваются данными авторами. Авторы в разделе за 8 класс в параграфе «Вписанные и описанные многоугольники» дают определение окружности вписанной в многоугольник, и многоугольника описанного около окружности. Доказывают теоремы:

— Около любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

— Во всякий треугольник можно вписать окружность, и только одну.

На основании, которых авторы приводят следствия, одно из которых:

— если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 1800. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы длин его противолежащих сторон равны.

Авторы предлагают обучающимся в задаче 803 (стр. 146) выполнить доказательство свойства трапеции вписанной в окружность. Так токовые свойства трапеции вписанной в окружность, и трапеции описанной около окружность авторами не рассматриваются в достаточном объеме. [11]

Особенности изложения тем в учебнике А.Л. Вернер и др.

Темы: «Трапеция, вписанная в окружность» и «Трапеция, описанная около окружности» не достаточно рассматриваются данными авторами. Автор в учебнике за 8 класс дает определение трапеции в 8 классе и рассматривает ее свойства с доказательством в параграфе «Четырехугольники с параллельными сторонами». Но о вписанной трапеции в окружность, и трапеции описанной около окружности он не упоминает и в представленных задачах за 8 класс, а так, же и в разделе за 9 класс. [12, 13, 14]

Вывод: В учебниках школьного курса геометрии тема «Трапеция» изучается в 8 классе. Вводятся понятия «трапеция», «равнобокая трапеция», «прямоугольная трапеция», «средняя линия трапеции». Так же в учебниках предлагается серия задач по данной теме.

Тема «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» входит в тему «Вписанные и описанные многоугольники» и рассматривается в учебниках Г.П. Бевз и др., Л.С. Атанасян и др. в 8 классе при решении небольшого количества задач на доказательство.

1.4. Трапеция, вписанная в окружность

На основании определения четырехугольника вписанного в окружность можно сформулировать определение трапеции вписанной в окружность.

Трапеция называется вписанной в окружность, если все вершины ее лежат на одной окружности, которая будет называться описанной около трапеции.

Трапецию можно вписать в окружность, если она равнобокая.

Теорема 3. Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания: [15]

Доказательство

Так как ΔАСD – прямоугольный, вписанный в окружность,

то AD – диагональ =>

Теорема 4. Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции, лежит внутри трапеции. [15]

Теорема 5. Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием. [15]

При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. [15]

Использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали

В равнобедренном треугольнике AMD углы при основании равны. Внешний угол CMD равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

Отсюда: [15]

1.5. Трапеция, описанная около окружности

На основании определения четырехугольника описанного около окружности можно сформулировать определение трапеции описанной около окружности.

Трапеция называется описанной около окружности, если все ее стороны касаются одной окружности.

Теорема 6. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Отсюда следует, что [15]

AL = AK, BL = BM, CM = CF, DF = DK

Доказательство

Обозначим точки касания буквами L, M, F, K. На основании свойства касательных (Если из какой-нибудь точки провести две касательные к окружности, то их отрезки от данной точки до точек касания равны между собой и центр окружности находится на биссектрисе угла, образованного этими касательными), проведенных к окружности из одной точки, имеем:

AL = AK, BL = BM, CM = CF, DF = DK

Ч.Т.Д.

Теорема 7. Высота трапеции равна длине диаметра вписанной окружности или двум ее радиусам.

MK — высота трапеции, MK=2r, где r — радиус вписанной в трапецию окружности. [15]

Доказательство

1) Пусть отрезок КМ – диаметр вписанной окружности в трапецию.

d = 2r = KM

2) Проведем высоту трапеции так, чтобы она проходила через центр окружности, тогда высота КМ = МО + ОК.

Следовательно, KM = 2r

Ч.Т.Д.

Теорема 8. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. [15]

Теорема 9. Боковая сторона описанной трапеции видна из центра описанной окружности под прямым углом. [15]

Доказательство

1) ADC + BCD = 180º (так как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD и ВС и секущей CD)

2) так как точка O — точка пересечения биссектрис углов трапеции, то

ODF + OCF = (ADC + BCD) = 90º

3) так как сумма углов треугольника равна 180º, то в ΔCOD

COD = 90º

Ч. Т.Д.

Теорема 10. Если точка касания трапеции описанной около окружности делит боковую сторону на отрезки длиной m и n (CF=m, FD=n), высота трапеции равна ее диаметру, то высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков. [15]

Доказательство

Точка касания делит боковую сторону на отрезки длиной m и n (CF=m, FD=n).

1) ADC + BCD = 180º (так как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD и ВС и секущей CD)

2) так как точка O — точка пересечения биссектрис углов трапеции, то

ODF + OCF = (ADC + BCD) = 90º

3) так как сумма углов треугольника равна 180º, то в ΔCOD

COD = 90º

4) таким образом, COD прямоугольный, а OF — высота, проведенная к гипотенузе, CF и FD — проекции катета OC и OD на гипотенузу. Поскольку высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу,

Отсюда радиус вписанной в трапецию окружности выражается через длины отрезков, как которые боковая сторона делится точкой касания, как

А так как высота трапеции равна ее диаметру, то и высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков:

   Ч.Т.Д.

Теорема 11. Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, площадь трапеции равна произведению ее оснований. [15]

Доказательство

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

Обозначим CF = m, FD = n. Поскольку расстояния от вершин до точек касания равны, высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а

    

Ч. Т.Д.

Таким образом, в первой главе рассмотрели теоретические сведения о трапеции, вписанной в окружность и трапеции, описанной около окружности.

Сведем все основные свойства трапеции (рассмотренные в школьном курсе геометрии и нет) в таблицу.

Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около нее

Трапеция, вписанная в окружность

Теорема 3. Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания: [15]

Теорема 4. Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции, лежит внутри трапеции. [15]

Теорема 5. Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием. [15]

При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. [15]

Использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали

В равнобедренном треугольнике AMD углы при основании равны. Внешний угол CMD равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

Отсюда: [15]

Трапеция, описанная около окружности

Теорема 6. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Отсюда следует, что [15]

AL = AK, BL = BM, CM = CF, DF = DK

Теорема 7. Высота трапеции равна длине диаметра вписанной окружности или двум ее радиусам.

MK — высота трапеции, MK=2r, где r — радиус вписанной в трапецию окружности. [15]

Теорема 8. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. [15]

Теорема 9. Боковая сторона описанной трапеции видна из центра описанной окружности под прямым углом. [15]

Теорема 10. Если точка касания трапеции описанной около окружности делит боковую сторону на отрезки длиной m и n (CF=m, FD=n), высота трапеции равна ее диаметру, то высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков. [15]

Теорема 11. Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, площадь трапеции равна произведению ее оснований. [15]

Глава 2.

Содержание занятий по теме «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов

В данной главе разработаны содержания занятия по теме: «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов.

2.1. Пояснительная записка

Организационно-методический раздел

Цель занятий: расширить геометрическое представление обучающихся о вписанной и описанной окружности в трапецию.

Задачи занятий:

1. Расширить знания учащихся связанные со свойствами вписанной трапеции;

2. Расширить знания обучающихся связанные со свойствами описанной трапеции;

3. Овладение дополнительными знаниями при решении заданий уровня повышенной сложности итоговой государственной аттестации;

4. Предоставить обучающимся возможность проанализировать свои способности к математической деятельности.

Требования к подготовке учащихся

В результате проведенных дополнительных занятий по теме: «Вписанная и описанная окружность в трапецию» ученик должен:

Знать/понимать

— понятие математического доказательства, примеры доказательств;

— как используются теоремы и свойства при решении заданий повышенной сложности;

— свойства трапеции вписанной в окружность;

— свойства трапеции описанной около окружности.

Уметь

— проводить сложные доказательства, получать следствия, оценивать логическую правильность рассуждений;

— распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;

— изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач;

— решать геометрические задачи, опираясь на изученные дополнительные свойства вписанной и описанной трапеции;

— проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя теоремы, обнаруживая возможности для их использования.

Количество часов всего – 6 часов (2 часа в неделю, 3 недели).

Самостоятельных работ – 1 час (входная – 0,5 часа, итоговая – 0,5 часа).

Календарно-тематическое планирование

№ п/п

Содержание урока

Количество часов

1

Вписанная и описанная окружность в трапецию

0,5

Входная самостоятельная работа

0,5

2

Трапеция, вписанная в окружность. Решение задач.

1

3

Трапеция, описанная около окружности. Решение задач.

1

4

Трапеция, вписанная и описанная около окружности. Решение задач

1

5

Трапеция, вписанная и описанная около окружности. Решение задач

1

6

Трапеция, вписанная и описанная около окружности.

0,5

Итоговая самостоятельная работа

0,5

2.2. Содержание занятий по теме: «Трапеция, вписанная в окружность и трапеция, описанная около окружности»

Занятие 1

Тема: Вписанная и описанная окружность в трапецию

Цель: расширение знаний обучающихся о вписанной и описанной трапеции в окружность, ее свойства.

Тип урока: урок закрепления знаний

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

2. Актуализация знаний

Повторение видов четырехугольников, какой четырехугольник можно вписать и описать около окружности, основные свойства вписанной и описанной окружности в трапецию.

Рассмотрение свойств с доказательством.

Теорема (о вписанной трапеции). Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

В

С

Дано:

– трапеция

W – описанная окружность

Доказать: — равнобедренная

 

 

А

D

 

 

Доказательство.

1) – вписанная трапеция, следовательно

(1)

Так же: (2)

(по свойству углов при параллельных сторонах).

2) Сравниваем (1) и (2) выражения, получаем:

т.е.

, т.е.

Углы при верхнем и нижнем основаниях попарно равны => АВСD – равнобедренная трапеция.

Ч.Т.Д.

Т

Дано:

– трапеция, описанная около окружности

Доказать:

еорема (об описанной трапеции). Около окружности можно описать трапецию тогда и только тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

 

Доказательство.

Пусть трапеция описана около окружности.

Точки E, F, G, H – точки касания.

Тогда

Если сложить попарно получим равенство

Ч.Т.Д.

3. Закрепление

Выполнение входной контрольной работы рассчитанной на 15-20 мин.

Входная самостоятельная работа

Задача 1. В равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота — 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.

Задача 2. Прямоугольная трапеция описана около окружности. Найти радиус этой окружности, если длины оснований трапеции равны a и b.

4. Итог урока

Занятие 2

Тема: Трапеция, вписанная в окружность. Решение задач

Цель: расширение знаний обучающихся о вписанной трапеции в окружность, ее свойств и теорем.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

Знакомство с содержанием занятий по теме: «Вписанная и описанная окружность в трапецию»

2. Актуализация знаний

Повторение основных свойств трапеции вписанной в окружность школьного курса геометрии, а так же рассмотрение дополнительных теорем. (Глава 1, п.1.4)

3. Закрепление

Решение задач.

Задача 1. Трапеция с основаниями см и см и диагональю см вписана в окружность. На окружности взята точка K, отличная от точки D, так что см. Найдите длину отрезка AK.

На основании свойства вписанной трапеции .

Из

Из

Если то => равны углы и , что невозможно, так как первый угол меньше второго. Значит, значение 6 не подходит. Остается только 4.

Ответ: 4

Задача 2. В окружности радиуса вписана трапеция с основаниями 2 и 4. Найдите расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции.

В данной задаче возможны только 2 случая решения. Первый, когда нижнее основание ниже центра окружности, второй случай, когда нижнее основание выше центра окружности. Третий невозможен, так как большее основание .

1 случай

Дано:

– вписанная трапеция

Найти: OG

 

Решение.

Рассмотрим по теореме Пифагора

Рассмотрим по теореме Пифагора

Рассмотрим и

~

2 случай

Дано:

– вписанная трапеция

Найти: OG

 

Решение.

Рассмотрим по теореме Пифагора

Рассмотрим ΔAFO по теореме Пифагора

Рассмотрим и

~

Ответ:

4. Итог урока

Анализ: В данном занятии применяются Теорема 1, Теорема 3, Теорема 4, Теорема 5.

Занятие 3

Тема: Трапеция, описанная около окружности. Решение задач

Цель: расширение знаний обучающихся об описанной трапеции около окружности, ее свойств.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

2. Актуализация знаний

Повторение основных свойств и теорем о трапеции, описанной около окружности школьного курса геометрии, а так же рассмотрение дополнительных и теорем. (Глава 1, п.1.5)

3. Закрепление

Решение задач

Задача 1. В описанной около окружности равнобокой трапеции основания относятся как 3:5. Из вершины меньшего основания опущена высота на большее основание; точка H — основание высоты. Из точки H опущен перпендикуляр HE на боковую сторону трапеции. В каком отношении точка E делит боковую сторону?

1 случай

2 случай

 

Дано:

– равнобокая описанная трапеция около окружности

ВС : AD = 3 : 5

BH – высота

EH ⊥AB

Найти: АЕ : ЕВ = ?

Дано:

– равнобокая описанная трапеция около окружности

ВС : AD = 3 : 5

BH – высота

EH ⊥CD

Найти: DE : ЕC = ?

 

 

Решение.

Пусть из вершины В трапеции ABCD опущена высота ВН на основание AD.

Пусть основания равны AD = 5x и ВС = 3х

Суммы противоположных сторон трапеции равны, поэтому

Рассмотри 1 случай.

Точка Е лежит на стороне АВ.

Катет прямоугольного треугольника равен среднему геометрическому между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу:

АН2 = АЕ · АВ, откуда

АЕ : ВЕ = 1: 15

Рассмотрим 2 случай.

Точка Е лежит на стороне CD.

ΔDEH = ΔAHB (по гипотенузе и острому углу)

Поэтому DE = AH = x

CE = CD – DE = 3x

Откуда DE : CE = 1 : 3

Ответ: 1 : 15 и 1 : 3

Задача 2. Периметр трапеции равен 112. Точка касания вписанной в трапецию окружности делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 8 и 18 см. Найдите основания этой трапеции.

Дано:

ABCD – трапеция описная около окружности

РABCD = 112

a = 8

b = 18

Найти: ВС и ВD

 

Решение.

Так как в трапецию вписана окружность, то АВ + СD = BC + AD = 112 : 2 = 56

АВ = а + b = 18 + 8 = 26 =>

CD = 30

Если в трапецию вписана окружность с радиусом r и она делит боковую сторону на отрезки а и b, то

Высота трапеции 2r = 24, тогда ВН = СН = 24

Из ΔАВН по теореме Пифагора

Из ΔНСD по теореме Пифагора

ВС = НН = 56 – ( АН + НD) : 2 = (56 – 28) : 2 = 14

Тогда AD = АН + НН + НD = 10 + 14 + 18 = 42

Ответ: 14 и 42

4. Итог урока

Анализ: В данном занятии применяются Теорема 2, Теорема 7.

Занятие 4

Тема: Трапеция, вписанная и описанная около окружности. Решение задач

Цель: расширение знаний обучающихся о вписанной и описанной трапеции около окружности, ее свойств и теорем.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

2. Актуализация знаний

Повторение основных свойств трапеции вписанной и описанной около окружности школьного курса геометрии, а так же применение рассмотренных дополнительных теорем. (Глава 1, п.1.4, п.1.5)

3. Закрепление

Решение задач

Задача 1. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найдите высоту трапеции.

Дано:

ABCD – трапеция

BC = 14

AD = 40

R = 25

Найти: h

 

Решение.

Трапеция вписана в окружность, поэтому она равнобедренная.

Пусть ВС = 14 – хорда окружности радиуса 25. Существует две хорды, параллельные BC и равные 40. Соответственно, в окружность можно вписать две трапеции с основаниями 14 и 40.

Центр O на серединном перпендикуляре к BC.

1 случай.

В трапеции ABCD центр О окружности лежит внутри трапеции.

В этом случае высота EF = EO + OF

Из прямоугольного ΔАОЕ, в котором АО = 25

по теореме Пифагора, получаем

Из прямоугольного ΔВFO, в котором BО = 25

по теореме Пифагора, получаем

Тогда EF = EO + OF = 39

2 случай.

В трапеции A1BCD1 центр О окружности лежит вне трапеции.

Аналогично, находим

Ответ: 39 и 9

Задача 2. На основании ВС трапеции АВСD взята точка Е, лежащая на одной окружности с точками А, С и D. Другая окружность проходящая через точки А, В, и С, касается прямой CD. АВ=12, ВЕ : ЕС = 4 : 5.

а) Докажите, что треугольник АСD подобен треугольнику АВЕ.

б) Найдите ВС.

Дано:

АВСD – трапеция

Е ϵ ВС

АВ = 12

ВЕ : ЕС = 4 : 5

а) Доказать: ΔACD ~ ΔABE

б) Найти: ВС

 

Решение.

Рассмотрим АЕСD – равнобедренную трапецию вписанную в окружность =>

АЕС + ADC = 1800

Значит, угол ВЕА, смежный с углом АЕС, равен углу АDС

 

Опишем окружность около ΔАВС.

По условию CD касается окружности, а значит СD ⊥ OC, где О – центр окружности.

Угол между хордой АС и касательной CD равен половине дуги АС второй окружности.

 

Половине этой же дуги равен вписанный АВС. Найдена вторая пара равных углов. Найдя две пары равных углов, мы доказали подобие треугольников АСD и АВЕ.

Из подобия следует равенство третьей пары углов, ВАЕ = САD

Кроме того равны дуги АЕ и СD, заключенные между параллельными прямыми ЕС и АD

 

Вписанный CAD равен половине дуги CD, а значит, ВАЕ равен половине дуги АЕ.

ВАЕ – это угол между хордой АЕ и прямой АВ, проходящей через конец хорды А. Значит прямая АВ – касательная ко второй окружности.

Воспользуется свойством секущей и касательной, проведенных к окружности из точки В.

ВА2 = ВЕ · ВС

122 = (4х) · (9х)

36х2 = 144

х2 = 4

х = 2

ВС = 9х = 9 · 2 = 18

Ответ: 18

4. Итог урока

Анализ: В данном занятии применяются Теорема 1, Теорема 4, Теорема 5.

Занятие 5.

Тема: Трапеция, вписанная и описанная около окружности. Решение задач

Цель: расширение знаний обучающихся о вписанной и описанной трапеции около окружности, ее свойств.

Тип урока: обобщение и систематизация знаний

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

2. Актуализация знаний

Повторение основных свойств трапеции вписанной и описанной около окружности школьного курса геометрии, а так же применение рассмотренных дополнительных свойств. (Глава 1, п.2.1, п.2.2)

3. Закрепление

Решение задач

Задача 1. Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию с основаниями а и b. Найдите диагональ трапеции.

Дано:

АВСD – равнобедренная трапеция

AD = b

BC = a

Найти: BD

 

Решение.

Пусть окружность с центром О, вписанная в равнобедренную трапецию АВСD, касается боковой стороны АВ в точке М, а оснований ВС и АD – в точке N и L соответственно.

Поскольку ОМ – высота прямоугольного ΔАОВ, опущенная из вершины прямого угла, то

Опустим перпендикуляр ВН на AD. Тогда

Из прямоугольного ΔBHD находим, что

Ответ:

Задача 2. Трапеция с высотой h вписана в окружность. Боковая сторона трапеции видна из центра окружности под углом 1200. Найдите среднюю линию трапеции.

Дано:

АВСD – трапеция

АОВ = 1200

Найти: среднюю линию трапеции

 

Решение.

Пусть О – центр окружности, описанной около трапеции АВСD с основаниями AD > BC. Трапеция АВСD – равнобедренная, поэтому

Пусть СК – высота трапеции, тогда АК = h·ctg600 = ,

а так как трапеция равнобедренная, то отрезок АК равен ее средней линии.

Ответ:

Задача 3. Около окружности описана равнобедренная трапеция АВСD. Боковые стороны АВ и СD касаются окружности в точках М и N, К – середина АD. В каком отношении прямая ВК делит отрезок МN?

Дано:

АВСD – равнобедренная трапеция

М ϵ АВ

N ϵ СD

AK = KD

Найти: МР : РN = ?

 

Решение.

Обозначим х = АК, у = ВF, где F – середина ВС. Пусть Q – точка пересечения KF и MN, а Р – точка пересечения MN и ВК. Тогда

АМ = АК = х, ВМ = ВF = у

и Q – середина MN.

Поскольку MN параллельно основаниям трапеции, треугольник ВМР подобен треугольнику ВАК, а треугольник КРQ подобен треугольнику КВF. Поэтому

, значит, РМ = PQ и PM = MN =>

Ответ: 1 : 3

Задача 4. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно высоте, а большее основание равно а. Найдите боковые стороны трапеции, если известно, что одна из них касается окружности, проходящей через концы меньшего основания и касающееся большего основания.

Дано: АВСD – прямоугольная трапеция

АВ = ВС

AD = a

Найти: AB, CD

 

Решение.

Обозначим меньшее основание ВС и меньшую боковую сторону трапеции АВСD через х. Пусть М – точка касания окружности с большим основанием AD. Тогда точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ВС, поэтому

Пусть К – проекция вершины С на AD. Тогда KD = a – x, CK = x

По теореме Пифагора

Отсюда находим, что

Тогда

Ответ:

Задача 5. В равнобедренной трапеции с острым угломпри основании окружность, построенная на боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны. В каком отношении она делит большее основание трапеции?

Дано:

АВСD — равнобедренная трапеция

BAD = ADC =

Найти: АК : КD

 

Решение.

Пусть О – центр окружности (середина боковой стороны АВ трапеции АВСD), ОР – средняя линия трапеции, К – точка пересечения указанной окружности с большим основанием AD. Тогда ВК – перпендикуляр к AD и . Если М – точка касания окружности с боковой стороной CD, то

Следовательно,

Ответ: sin2

4. Итог урока

Анализ: В данном занятии применяются Теорема 1, Теорема 3, Теорема 4, Теорема 6, Теорема 7, Теорема 8, Теорема 9, Теорема 10, Теорема 11

Занятие 6.

Тема: Итоговое занятие.

Цель: проверка усвоения знаний обучающихся по теме курса «Вписанная и описанная окружность в трапецию»

Тип урока: закрепление

Оборудование: циркуль, линейка

Ход урока

1. Организационный момент

Обучающиеся и учитель приветствуют друг друга стоя.

Сообщение темы и цели урока

2. Закрепление

Обучающимся предлагается, ответит на вопросы (устно):

1. Вопрос: Определение четырехугольника?

Ответ: Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), которая состоит из четырёх точек (вершин), три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

2. Вопрос: Виды четырехугольников?

Ответ: Виды четырехугольников:

— параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно равны и параллельны;

— прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;

— ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;

— квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;

— трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны.

3. Вопрос: Какая окружность называется вписанной в четырехугольник? Какой четырехугольник называется описанным около окружности?

Ответ: Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности, которая будет называться описанной вокруг четырехугольника. Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

4. Вопрос: В какой четырехугольник можно вписать окружность?

Ответ: Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его длин противоположных сторон равны. а + с = b+ d

5. Вопрос: Около какого четырехугольника можно описать окружность?

Ответ: Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180.

6. Вопрос: Можно ли описать окружность около трапеции?

Ответ: Вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.

7. Вопрос: Можно ли вписать окружность в трапецию?

Ответ: Если в трапецию вписана окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. АВ + CD = AD + BC

8. Вопрос: Какими свойствами обладает трапеция, вписанная в окружность?

Ответ: 1) Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:

2) Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции, лежит внутри трапеции.

3) Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

9. Вопрос: Какими свойствами обладает трапеция, описанная около окружности?

Ответ: 1) Высота трапеции равна длине диаметра вписанной окружности или двум ее радиусам.

MK — высота трапеции, MK=2r, где r — радиус вписанной в трапецию

окружности.

2) Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.

3) Боковая сторона описанной трапеции видна из центра описанной окружности под прямым углом.

4) Высота трапеции равна ее диаметру, то высоту трапеции можно выразить через длины этих отрезков.

Самостоятельная работа

Выполнение итоговой самостоятельной работы для обучающихся предлагается в виде выполнения теста.

1. Вокруг четырехугольника можно описать окружность, если __________________________________________________________.

2. В четырехугольник можно вписать окружность, если __________________________________________________________.

3. Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, должно выполняться следующее равенство:

а) AB + BC = AD + CD

б) AB + CD = BC + AD

в) AB + AD = BC + CD

г) AD·BC = AB·CD

4. Вписанная в четырехугольник окружность изображена на рисунке:

5. Для того, чтобы вокруг выпуклого четырехугольника можно было описать окружность, должно выполняться следующее равенство:

а)

б) AB+CD=BC+AD

в)

г) AD·BC=AB·CD

6. Описанная около четырехугольника окружность изображена на рисунке:

7. В любом описанном четырехугольнике суммы длин противолежащих сторон:

а) равны между собой
б) равны радиусу окружности
в) равны диаметру окружности
г) равны периметру

8. Углы А, В и С четырехугольника ABCD относятся как 1 : 2 : 3. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

а) 1350 б) 1200 в) 900 г) 600

9. Трапеция описана около окружности. Чему равен ее периметр, если средняя линия равна 7 см?

а) 25 см б) 28 см в) 30 см г) 32 см

10. Чему равна площадь прямоугольной трапеции с тупым углом, равным 1500, если радиус вписанной в него окружности равен 2?

а) 18 б) 20 в) 22 г) 24

11. Выпуклый четырехугольник АВСD вписан в окружность. При этом величины углов АВС и ВСD соответственно равны 700 и 600. Тогда величина угла ВАD равна:

а) 1200 б) 1100 в) 650 г) 500

Заключение

В настоящей работе по теме: «Содержание занятий по теме: «Вписанная и описанная окружность в трапецию» в рамках курса по выбору по геометрии для обучающихся 9 классов» в первой главе приведены основные теоретические сведения темы исследования, основные свойства и теоремы сведены в таблицу. Проанализированы учебники школьного курса геометрии для обучающихся в 7, 8, 9-х классах, на основании, которых сделан вывод, что темы: «Трапеция, вписанная в окружность» и «Трапеция, описанная около окружности» не достаточно рассматриваются в школьном курсе геометрии в 7, 8, 9-х классах для решения задач повышенной сложности.

Во второй главе работы приведены разработки содержания 6 занятий по теме исследования; разработаны входящая и итоговая самостоятельные работы. В приложениях приведены решения данных работ.

Результаты работы могут быть использованы в рамках курса по выбору на дополнительных занятиях по геометрии или для подготовки к итоговой государственной аттестации, так как при проведении государственной итоговой аттестации среди 9-х классов общеобразовательных школ в части С геометрии часто встречается задание по теме «Трапеция вписанная в окружность или трапеция описанная около окружности».

Таким образом, поставленные задачи выполнены, цель достигнута.

Литература

1. http://nsportal.ru/ap/drugoe/library/referat-znachenie-geometrii-v-zhizni-lyudei

2. http://www.kniga.es/articles/article637.shtml

3. http://ru.wikipedia.org/wiki /%D7%E5%F2%FB%F0%B8%F5%F3%E3%EE%EB

4. http://free.megacampus.ru/xbookM0005/index.html ?go=part-021*page.htm

5. http://ege- study.ru/materialy-ege/vpisannyj-i-opisannyj-chetyrexugolniki-i-ix-svojstva /

6. http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html ?go=part-034*page.htm

7. http://otvet.mail.ru/question/47745330

8. http://www.smekalka.pp.ru/node/1586

9. Погорелов А.В., Геометрия: Учебник для 7-11 классов средних школ – 2-е издание – М.: Просвещение, 1991 – 384 с.

10 Атанасян Л.С. и др., Геометрия 7-9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутусов, С.Б. Кадомцев и др.] – 21-е издание – М.: Просвещение, 2011 – 384 с.

11. Бевз Г.П., Геометрия: Учебник для 7-11 классов средних школ / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владимирова. – М.: Просвещение, 1992 – 352 с.

12. Вернер А.Л. и др., Геометрия: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений / А.Л. Вернер, В.И. Рыжик, Т.Г. Ходот. – М.: Просвещение, 1999 – 192 с.

13. Вернер А.Л. и др., Геометрия: Учебное пособие для 8 класса общеобразовательных учреждений / А.Л. Вернер, В.И. Рыжик, Т.Г. Ходот. – М.: Просвещение, 2001 – 192 с.

14. Вернер А.Л. и др., Геометрия: Учебное пособие для 9 класса общеобразовательных учреждений / А.Л. Вернер, В.И. Рыжик, Т.Г. Ходот. – М.: Просвещение, 2001 – 207 с.

15. http://www.uznateshe.ru/trapetsiya-vpisana-v-okruzhnost/

16. http:// www.alexlarin.narod.ru

17. Корянов А.Г. Математика. ЕГЭ 2010. Задания типа С4. Многовариантные задачи по планиметрии http://www.alexlarin.narod.ru/ege/2010/C4a

gk.pdf

18. Созоненко Р.С., Теоремы и задачи по планиметрии с перекрестными ссылками. – 2-е издание, исправлено и дополнено – Новосибирск: Издательство ИМ СО РАН, 1998 – 209 с.

19. Гордин Р.К., ЕГЭ 2012 Математика. Решение задач С4. – М.: МЦНМО, 2012 – 328 с.

20. Никитин Н.Н., Геометрия: Учебник для 6-8 классов / Н.Н. Никитин. – М.: Просвещение, 1971 – 209 с.

Приложение 1

Входная самостоятельная работа

Задача 1. В равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота — 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.

Дано:

ABCD – равнобедренная трапеция

ВС = 9 см

AD = 21 см

h = 8 см

Найти: R

 

Решение.

Пусть EF – серединный перпендикуляр c основаниями EF , тогда О – центр окружности лежит на прямой EF.

ОА = ОВ = R.

О делит EF на две части: пусть OF = х, тогда OE = 8-х.

По теореме Пифагора получаем,

АО2 = АF2 + FО2

ОВ2 = ВE2 + EО2.

Так как ОА2 = ОВ2, получим:

АF2 + FО2 = ВE2 + EО2

Ответ: 10,625 см

Задача 2. Прямоугольная трапеция описана около окружности. Найти радиус этой окружности, если длины оснований трапеции равны a и b.

Дано:

АВСD – прямоугольная трапеция

АВ = а

АD = b

Найти: r

 

Решение.

Пусть r – радиус окружности вписанной в трапецию ABCD.

Так как трапеция прямоугольная, то АВ = 2r.

Так как трапеция описана около окружности, то AD + BC = AB + CD.

Тогда а + b = 2r + CD.

CD = a + b – 2r

Пусть СЕ – высота, тогда СЕ ⊥ АD и СЕ = АВ = 2r.

ED = b – a.

По теореме Пифагора для треугольника ЕСD имеем

СD2 = CE2 + ED2

или

(а + b – 2r)2 = 4r2 + (b – a)2

Ответ:

Приложение 2

Итоговая самостоятельная работа

1. Вокруг четырехугольника можно описать окружность, если (суммы его противоположных углов равны 180, )

2. В четырехугольник можно вписать окружность, если (суммы его длин противоположных сторон равны, а + с = b+ d)

3. Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, должно выполняться следующее равенство:

а) AB + BC = AD + CD

б) AB + CD = BC + AD

в) AB + AD = BC + CD

г) AD·BC = AB·CD

Ответ: б)

4. Вписанная в четырехугольник окружность изображена на рисунке:

Ответ: б)

5. Для того, чтобы вокруг выпуклого четырехугольника можно было описать окружность, должно выполняться следующее равенство:

а)

б) AB+CD=BC+AD

в)

г) AD·BC=AB·CD

Ответ: в)

6. Описанная около четырехугольника окружность изображена на рисунке:

Ответ: в)

7. В любом описанном четырехугольнике суммы длин противолежащих сторон:

а) равны между собой
б) равны радиусу окружности
в) равны диаметру окружности
г) равны периметру

Ответ: а)

8. Углы А, В и С четырехугольника ABCD относятся как 1 : 2 : 3. Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

а) 1350 б) 1200 в) 900 г) 600

Ответ: в)

9. Трапеция описана около окружности. Чему равен ее периметр, если средняя линия равна 7 см?

а) 25 см б) 28 см в) 30 см г) 32 см

Ответ: б)

10. Чему равна площадь прямоугольной трапеции с тупым углом, равным 1500, если радиус вписанной в него окружности равен 2?

а) 18 б) 20 в) 22 г) 24

Ответ: г)

11. Выпуклый четырехугольник АВСД вписан в окружность. При этом величины углов АВС и ВСД соответственно равны 700 и 600. Тогда величина угла ВАД равна:

а) 1200 б) 1100 в) 650 г) 500

Ответ: а)

ЕГЭ по математике (2019 год). Задания №1 с ответами, профильные

 

 

 

 

 

 



 

содержание   ..  46  47  48  49   ..

 

 

 

 

Задание №1504

 

 

Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 22° и 146°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

 

Решение

 

Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 22 градусов равен 180-22=158 градусов угол противоположный углу 146 градусов равен 180-146=34 градусов Больший из неизвестных углов 158 градусов Ответ: 158

 

 

Задание №5874

 

 

Дан треугольник ABC. Стороны AC=12, BC=35, угол C равен 90° . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

 

Решение

 

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

 

Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=5 Ответ: 5

 

 

 

Задание №3507

 

 

Основания равнобедренной трапеции равны 48 и 40. Радиус описанной окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции

 

Решение

 

Проведем высоту KH через центр окружности O

 

Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:

 

Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=15 HO=7 Следовательно, высота трапеции равна KH=KO+HO=15+7=22 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 22

 

 

Задание №2095

 

 

Дана окружность, вписанная в треугольник ABC, к которой проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 22, 59, 75. Найдите периметр данного треугольника

 

Решение

 

 

EF и ED — отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как

 

=22+59+75=156 Ответ: 156

 

 

 

Задание №4354

 

 

Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 100, основание равно 120 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник

 

Решение

 

Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:

 

 

Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=4800 Подствавим значения и найдём полупериметр P=160 Тогда: Подствавим значения и найдём радиус r=4800/160=30 Ответ: 30

 

 

 

Задание №3968

 

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 160. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′

 

Решение

 

 

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) — всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=80 Ответ: 80

 

 

 

Задание №4133

 

 

У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 30+15√2 . Рассчитайте радиус окружности, вписанной в этот треугольник

 

Решение

 

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:

 

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

 

Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=15 Ответ: 15

 

 

 

Задание №1848

 

 

Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 17 и 23 . Вычислите среднюю линию трапеции

 

Решение

 

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

 

Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 40 / 2 = 20 Ответ: 20

 

 

Задание №1879

 

Площадь параллелограмма ABCD равна 130. Середина стороны BC — точка E. Рассчитайте площадь трапеции ADEB

 

Решение

 

 

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) — всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=97,5 Ответ: 97,5

 

 

 

Задание №5432

 

 

Периметр правильного шестиугольника равен 324. Вычислите диаметр описанной окружности

 

Решение

 

 

Периметр (P) — сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =324 / 6 = 54 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*54=108 Ответ: 108

 

 

Задание №5282

 

Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 240 и 48. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону

 

 

Решение

 

Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)

 

По найденной формуле вычисляем, что AD=160 Ответ: 160

 

 

 

Задание №3281

 

Дан треугольник АВС. Его площадь равна 130. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED

 

Решение

 

 

Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:

 

Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC

 

По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=97,5 Ответ: 97,5

 

 

 

Задание №1057

 

Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 139. Точка E – середина стороны CD. Рассчитайте площадь треугольника ADE

 

Решение

 

 

Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) — всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=34,75 Ответ: 34,75

 

 

 

Задание №5632

 

 

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, сторона AB= 92, периметр P= 383 . Вычислите длину стороны CD

 

Решение

 

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=99,5 Ответ: 99,5

 

 

Задание №3289

 

 

Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 70. Вычислите длину средней линии трапеции

 

Решение

 

Периметр — сумма сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

 

 

Средняя линия MK = 70 / 4 = 17,5 Ответ: 17,5

 

 

Задание №2851

 

 

Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 37, BC=11, CD=85. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника

 

Решение

 

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=37+85-11=111 Ответ: 111

 

 

 

Задание №5721

 

 

В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 29 и 5, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника

 

Решение

 

 

Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=5 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=68+10=78 Ответ: 78

 

 

 

Задание №5513

 

 

У прямоугольной трапеции, описанной около окружности, периметр равен 118, большая боковая сторона трапеции равна 55 . Найдите радиус окружности

 

Решение

 

Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD

 

R = 2 Ответ: 2

 

 

Задание №3837

 

 

Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона CD= 90, AB= 110 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD

 

Решение

 

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 400 Ответ: 400

 

 

Задание №3211

 

Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 140°. Вычислите число вершин многоугольника

 

Решение

 

Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=140 180*n – 360 = 140 * n n=9 Ответ: 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

содержание   ..  46  47  48  49   ..

 

 

 

 

Тест по геометрии «Трапеция и её свойства. Площадь трапеции» » 4ЕГЭ

Задания рассматривают весь базовый материал темы.

Всего 14 заданий. Ответы прилагаются.

trapeciya-t.pdf

Вопрос №1

В равнобедренной трапеции синус острого угла при основании равен 0,6. Найдите периметр трапеции, если длины оснований соответственно равны 14 см и 30 см.

Вопрос №2

Основания равнобедренной трапеции равны 3 м и 8 м, угол при основании 60°. Найдите диагональ.

Вопрос №3

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 6 м, а большее 12 м, угол при основании 60°. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Вопрос №4

Основания трапеции равны 10 м и 31 м, а боковые стороны 20 м и 13 м. Найдите высоту трапеции.

Вопрос №5

Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, у которой сумма оснований равна 20, а разность оснований равна 12.

Вопрос №6

Диагонали трапеции АВКН пересекаются в точке О, основания ВК и АН равны соответственно 5 и 15. Площадь треугольника КОВ равна 4. Найдите площадь трапеции.

Вопрос №7

В трапеции АВМТ с основаниями АВ и МТ диагонали пересекаются в точке С, причем СМ = 2∙ АС. Площадь треугольника СМТ равна 24. Найдите площадь трапеции.


Вопрос №8

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее основания равны 7 и 25, а диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Вопрос №9

Прямоугольная трапеция с острым углом 30° описана около окружности. Площадь трапеции равна 96. Найдите большую боковую сторону трапеции.

Вопрос №10

В трапеции разность параллельных сторон равна 12, а высота равна 6. Найдите длину большего основания, если площадь трапеции равна 132.

Вопрос №11

В трапеции АВСD с основаниями АD = 2 см и ВС = 1 см, боковые стороны АВ и СD равны 1 см. Найдите квадрат диагонали трапеции.

Вопрос №12

Основания равнобокой трапеции равны 3 и 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагонали взаимно перпендикулярны.

Вопрос №13

В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 3. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание равно 4.

Вопрос №14

Боковые стороны трапеции равны 9 и 12, а основания трапеции равны 30 и 15. Найдите угол, образованный продолжением боковых сторон трапеции.

Ответы

Вопрос №1 — 64 см
Вопрос №2 — 7 м
Вопрос №3 — 6 м
Вопрос №4 — 12 м
Вопрос №5 — 4
Вопрос №6 — 64
Вопрос №7 — 54
Вопрос №8 — 192
Вопрос №9 — 16
Вопрос №10 — 28
Вопрос №11 — 3
Вопрос №12 — 16
Вопрос №13 — 24
Вопрос №14 — 90

Автор: Воробьева Елена Александровна.

Задачник по геометрии «Вписанные и описанные окружности» | Методическая разработка по математике (8 класс) по теме:

 ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ

Треугольник

  1. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 8, 23, 78. Найдите периметр данного треугольника.

  1. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 10, 32, 24. Найдите периметр данного треугольника.
  2. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 8. Найдите периметр данного треугольника.
  3. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен . Найдите сторону AB этого треугольника.

  1. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 15, равен . Найдите сторону AB этого треугольника.
  2. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 19, равен . Найдите сторону AB этого треугольника.
  3. Сторона AB треугольника ABC равна 7. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

  1. Сторона AB треугольника ABC равна 5. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
  2. Сторона AB треугольника ABC равна 44. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
  1. В треугольнике ABC , , угол C равен . Найдите радиус вписанной окружности.

  1. В треугольнике ABC , , угол C равен . Найдите радиус вписанной окружности
  2. В треугольнике ABC , , угол C равен . Найдите радиус вписанной окружности.
  3. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 761, основание равно 78. Найдите радиус вписанной окружности.
  4. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 409, основание равно 782. Найдите радиус вписанной окружности.

  1. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 404, основание равно 792. Найдите радиус вписанной окружности.
  2. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 9 и 4, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

  1. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 15 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
  2. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 27 и 5, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
  3. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 104, основание равно 192. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
  4. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 50, основание равно 60. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
  5. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 52, основание равно 96. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
  1. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 129.
  2. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 45.
  3. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 48.
  4. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 17. Найдите высоту этого треугольника.
  5. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 27. Найдите высоту этого треугольника.
  6. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 47. Найдите высоту этого треугольника.
  7. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
  8. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
  9. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
  10. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен . Найдите сторону этого треугольника.
  11. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен . Найдите сторону этого треугольника.
  12. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен . Найдите сторону этого треугольника.

Четырёхугольники

  1. В четырехугольник ABCD вписана окружность, ,  и . Найдите четвертую сторону четырехугольника.
  2. В четырехугольник ABCD вписана окружность, ,  и . Найдите четвертую сторону четырехугольника.
  3. В четырехугольник ABCD вписана окружность, ,  и . Найдите четвертую сторону четырехугольника.
  4. В четырехугольник ABCD вписана окружность, , . Найдите периметр четырехугольника.   

  1. В четырехугольник ABCD вписана окружность, , . Найдите периметр четырехугольника.   
  2. В четырехугольник ABCD вписана окружность, , . Найдите периметр четырехугольника.   
  3. В четырехугольник ABCD вписана окружность, , . Найдите периметр четырехугольника.   
  4. Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 48, две его стороны равны 19 и 25. Найдите большую из оставшихся сторон.
  5. Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 48, две его стороны равны 16 и 22. Найдите большую из оставшихся сторон.
  6. Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 56, две его стороны равны 2 и 10. Найдите большую из оставшихся сторон.

  1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны  и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
  2. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны  и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
  3. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны  и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
  4. Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как . Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
  5. Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как . Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
  6. Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как . Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
  1. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 20.
  2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 48.
  3. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 48.

  1. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 24.

  1. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 48.
  2. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 96.
  3. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 17.
  4. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 44.
  5. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 25
  6. Около окружности, радиус которой равен , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
  7. Около окружности, радиус которой равен , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

  1. Около окружности, радиус которой равен , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
  1. Сторона ромба равна 48, острый угол равен . Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

  1. Острый угол ромба равен . Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 24,5.
  2. Найдите сторону ромба.
  3. Острый угол ромба равен . Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 7.
  4. Найдите сторону ромба.
  5. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 52, средняя линия равна 21. Найдите боковую сторону трапеции.
  6. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 88, средняя линия равна 12. Найдите боковую сторону трапеции.

  1. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 76, средняя линия равна 6. Найдите боковую сторону трапеции.
  1. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 14 и 3. Найдите среднюю линию трапеции.

  1. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 15 и 4. Найдите среднюю линию трапеции.
  2. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 21 и 3. Найдите среднюю линию трапеции.
  3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 68. Найдите ее среднюю линию.

  1. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 4. Найдите ее среднюю линию.
  2. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 172. Найдите ее среднюю линию.
  3. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 42. Найдите радиус окружности.

  1. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 80, ее большая боковая сторона равна 30. Найдите радиус окружности.
  2. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 28. Найдите радиус окружности.
  3. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 32.

  1. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 1.
  2. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 15.
  3. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен , большее основание равно 60. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

  1. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен , большее основание равно 38. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
  2. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен , большее основание равно 74. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
  3. Основания равнобедренной трапеции равны 32 и 24. Радиус описанной окружности равен 20. Найдите высоту трапеции.

  1. Основания равнобедренной трапеции равны 240 и 70. Радиус описанной окружности равен 125. Найдите высоту трапеции.
  2. Основания равнобедренной трапеции равны 72 и 30. Радиус описанной окружности равен 39. Найдите высоту трапеции.
  3. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен .
  4. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен .
  5. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен .
  6. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .
  7. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .
  8. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

МНОГОУГОЛЬНИКИ ПРАВИЛЬНЫЕ

  1. Около окружности, радиус которой равен , описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.

  1. Около окружности, радиус которой равен , описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.
  2. Около окружности, радиус которой равен , описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.
  3. Периметр правильного шестиугольника равен 264. Найдите диаметр описанной окружности.

  1. Периметр правильного шестиугольника равен 18. Найдите диаметр описанной окружности.
  2. Периметр правильного шестиугольника равен 276. Найдите диаметр описанной окружности.
  3. Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен . Найдите n.
  4. Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен . Найдите n.
  5. Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен . Найдите n.

Правильные многоугольники

Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 39? Найдите радиус описанной окружности этого треугольника. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 52, средняя линия равна 21.


Прототипы В6 часть 2

Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 30. Найдите высоту этого треугольника.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 86. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
В треугольнике ABC , , угол C равен . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 7, угол при вершине, противолежащей основанию, равен . Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.
Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 12 и .
Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 39?
Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 138.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 31. Найдите высоту этого треугольника.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен . Найдите сторону этого треугольника.
Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 56.
Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 47.
Сторона ромба равна 20, острый угол равен . Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.
Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 47.
Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен .
Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .
Сторона AB треугольника ABC равна 40. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 37, равен . Найдите сторону AB этого треугольника.
Сторона AB треугольника ABC равна 7. Противолежащий ей угол C равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 104, основание равно 192. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 52, средняя линия равна 21. Найдите боковую сторону трапеции.
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен , большее основание равно 38. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.
Основания равнобедренной трапеции равны 32 и 24. Радиус описанной окружности равен 20.
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны  и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Углы A, B и C четырехугольника ABCD относятся как . Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.
Периметр правильного шестиугольника равен 108. Найдите диаметр описанной окружности.
Угол между стороной правильного n-угольника, вписанного в окружность, и радиусом этой окружности, проведенным в одну из вершин стороны, равен . Найдите n.
Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен 43. Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите 

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
В треугольнике ABC , , угол C равен . Найдите радиус вписанной окружности.
В треугольнике ABC , , угол C равен . Найдите радиус вписанной окружности.
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 136, основание равно 128. Найдите радиус вписанной окружности.
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 10 и 1, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 11 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 84. Найдите ее среднюю линию.
Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 80, ее большая боковая сторона равна 30. Найдите радиус окружности.
В четырехугольник ABCD вписана окружность, , . Найдите периметр четырехугольника. 
В четырехугольник ABCD вписана окружность, ,  и . Найдите четвертую сторону четырехугольника
Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 48.
К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 8, 23, 78. Найдите периметр данного треугольника.
Около окружности, радиус которой равен , описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.
Около окружности, радиус которой равен , описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.
1.Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
2.Найдите градусную величину дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Найдите градусную величину дуги BC окружности, на которую опирается угол BAC. Ответ дайте в градусах.
4. Найдите угол ACB, если вписанные углы ADB и DAE опираются на дуги окружности, градусные величины которых равны соответственно  и . Ответ дайте в градусах.
Угол ACB равен . Градусная величина дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна . Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
6. Угол ACO равен . Его сторона CA касается окружности. Найдите градусную величину большей дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, а большая дуга AD окружности, заключенная внутри этого угла, равна . Ответ дайте в градусах.
Угол ACO равен , где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Найдите величину меньшей дуги AB окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах
Через концы A, B дуги окружности в  проведены касательные AC и BC. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Приложенные файлы

  • 83584511
    Размер файла: 294 kB Загрузок: 0

2. Свойства равнобедренной трапации


ФГКОУ «МКК «Пансион воспитанниц МО РФ»

«УТВЕРЖДАЮ»

Руководитель отдельной дисциплины

(математика, информатика и ИКТ)

Ю. В. Крылова _____________

«___» _____________ 2015 г.

«Трапеция и ее свойства»

Методическая разработка

преподавателя математики

Шаталиной Елены Дмитриевны


Рассмотрено и

рекомендовано к использованию

на заседании ПМО от _______________

Протокол №______


Москва

2015 год


Оглавление

Введение 2



  1. Определения 3

  2. Свойства равнобедренной трапеции 4

  3. Вписанные и описанные окружности 7

  4. Свойства вписанных и описанных трапеций 8

  5. Средние величины в трапеции 12

  6. Свойства произвольной трапеции 15

  7. Признаки трапеции 18

  8. Дополнительные построения в трапеции 20

  9. Площадь трапеции 25

. 10. Заключение

. Список используемой литературы


Приложение

  1. Доказательства некоторых свойств трапеции 27

  2. Задачи для самостоятельных работ

  3. Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности

  4. Проверочный тест по теме «Трапеция»

Введение

Данная работа посвящена геометрической фигуре, которая называется трапеция. «Обычная фигура»,- скажете вы, но это не так. Она таит в себе много тайн и загадок, если приглядеться и углубиться в ее изучение, то вы откроете для себя много нового в мире геометрии, задачи, которые раньше не решались, покажутся вам легкими.

Трапеция — греч.слово trapezion – «столик». Заимств. в 18 в. из лат. яз., где trapezion – греч. Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Трапеция встречается впервые у древнегреческого ученого Посидония (2 век до н.э.). В нашей жизни много разных фигур. В 7 классе мы близко познакомились с треугольником, в 8 классе по школьной программе мы начали изучать трапецию. Эта фигура заинтересовала нас, а в учебнике непозволимо мало про нее написано. Поэтому мы решили взять это дело в руки и найти информацию про трапецию. ее свойства.

В работе рассматриваются свойства знакомые воспитанницам по пройденному материалу в учебнике, но в большей степени неизвестные свойства, которые необходимы для решения сложных задач. Чем больше количество решаемых задач, тем больше вопросов возникает при решении их. Ответом на эти вопросы иногда кажется тайной, узнавая, новые свойства трапеции, необычные приемы решения задач, а также технику дополнительных построений, мы постепенно открываем тайны трапеции. В интернете, если забить в поисковике, о методах решения задач по теме «трапеция» очень мало литературы. В процессе работы над проектом найден большой объем информации, которая поможет воспитанницам в глубоком изучении геометрии.

Трапеция.


  1. Определения

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.


Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

2. Свойства равнобедренной трапеции


  1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

  1. Сумма углов трапеции, прилежащих к ее боковой стороне, а также противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°.

3. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

4. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.



  1. Отрезки, последовательно соединяющие середины смежных сторон равнобедренной трапеции, образуют ромб.

  2. В равнобедренной трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна им и является осью симметрии трапеции.
  3. Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то высота трапеции равна средней линии.



  1. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

  2. С
    В равнобедренной трапеции квадрат диагонали равен квадрату его боковой стороны плюс произведение оснований: d2 = c2 + a• b


10. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали равна помусумме оснований.


3. Вписанная и описанная окружность

Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.

Е
сли трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.

4. Свойства вписанных и описанных трапеций

  1. Если в равнобокую трапецию можно вписать окружность, то средняя линия трапеции равна боковой стороне.


2.Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то

сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Следовательно, длина боковой стороны равна длине средней линии трапеции.

4. Если в трапецию вписана окружность, то боковые стороны из ее центра видны под углом 90°.



  1. Если в трапецию вписана окружность, которая касается одной из боковых сторон, разбивает ее на отрезки m и n, тогда радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому этих отрезков.



  1. Е
    сли в равнобокую трапецию вписана окружность, то высота трапеции есть среднее геометрическое ее оснований.


  1. Если в трапецию можно вписать окружность и около трапеции можно описать окружность, то проекция диагонали на большее основание, равна боковой стороне и равна средней линии трапеции.
  2. Если в трапецию вписана окружность, то вершина трапеции, центр вписанной в нее окружности и основание перпендикуляра, опущенного из другой вершины на основание, лежат на одной прямой.

  3. Если диагонали вписанной в окружность трапеции (четырехугольника) взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов его противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности или удвоенному квадрату боковой стороны: a2 + b2 = 4R2 = 2c2


1
0. Если окружность построена на меньшем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей и касается нижнего основания, то углы трапеции 30°, 30°, 150°, 150°.


5. Средние величины в трапеции

Среднее геометрическое


  1. Р
    адиус окружности, вписанной в трапецию, есть среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны трапеции, на которые она разбивается точкой касания.


  2. Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то высота трапеции есть среднее геометрическое произведения оснований трапеции


  1. В
    любой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен
    среднему арифметическому оснований, если он соединяет середины боковых сторон (т.е. является средней линией трапеции). MN=(a+b)/2.

  2. В
    любой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен
    среднему гармоническому оснований, если он проходит через точку пересечения диагоналей KL =2 ab/(a+b)

  1. В любой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен среднему геометрическому оснований, если он делит трапецию на две трапеции, подобные между собой.

  2. В
    любой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен
    среднему квадратичному оснований, если он делит трапецию на две трапеции равной площади (равновеликие).


  1. В любой трапеции с основаниями a и b для a > b справедливо неравенство:


b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a
6.Свойства произвольной трапеции

1. Середины диагоналей трапеции и середины боковых сторон лежат на одной прямой.


2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.


3. Отрезки прямой, параллельной основаниям трапеции, пересекающей боковые стороны и диагонали трапеции, заключенные между боковой стороной диагональю, равны.


  1. Точка пересечения продолжения боковых сторон произвольной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середин оснований лежат на одной прямой.

5. При пересечении диагоналей произвольной трапеции образуются четыре треугольника с общей вершиной, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики(т.е. имеют равные площади).

6.Сумма квадратов диагоналей произвольной трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.


d12 + d22 = c2 + d2 + 2ab

7
. В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований d12 d22 = a2 b2

8. Прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

9. Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам.

7. Признаки трапеции


  1. Ч
    етырехугольник является трапецией тогда и только тогда, когда при его диагональном разбиении ровно два противолежащих треугольника равновелики. При этом квадрат площади каждого из них равен произведению площадей смежных с ним треугольников



  1. Если средняя линия четырехугольника равна полусумме противолежащих ей сторон, то четырехугольник является трапецией (или параллелограммом). Если m= (a+b)/2, то ABCD – трапеция (или параллелограмм)

  2. Т
    рапеция является равнобедренной, если углы при одном из оснований равны.


  3. Если около трапеции можно описать окружность, то трапеция является равнобедренной

8. Дополнительные построения в трапеции

1. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия трапеции.
2. Отрезок, параллельный одной из боковых сторон трапеции, один конец которого совпадает с серединой другой боковой стороны, другой принадлежит прямой, содержащей основание.

3. Если даны все стороны трапеции, через вершину меньшего основания проводится прямая, параллельная боковой стороне. Получается треугольник со сторонами, равными боковым сторонам трапеции и разности оснований. По формуле Герона находят площадь треугольника, потом высоту треугольника, которая равна высоте трапеции.
4
. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.

5. Высоты трапеции, опущенные из вершин одного основания, высекают на прямой, содержащей другое основание, отрезок, равный первому основанию.

6
. Отрезок, параллельный одной из диагоналей трапеции проводится через вершину – точку, являющуюся концом другой диагонали. В результате получается треугольник с двумя сторонами, равными диагоналям трапеции, и третьей – равной сумме оснований

7.Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований трапеции.


8. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, они перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.

9. Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник.


1
0. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

11. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

12. Продолжение боковых сторон трапеции до пересечения дает возможность рассматривать подобные треугольники.
13. Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то проводят высоту трапеции — среднее геометрическое произведения оснований трапеции или удвоенное среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны, на которые она делится точкой касания.

9. Площадь трапеции

1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту S = ½(a + b)•h или

П
лощадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту S = mh.

2. Площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, проведенного из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.


  1. П
    лощадь равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярны.
    Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату средней линии трапеции или квадрату высоты трапеции. S =h2

  2. Площадь произвольной трапеции со сторонами a, b, c, d:

  1. Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности равным r и углом при основании α:

10. Заключение

ГДЕ, КАК И ДЛЯ ЧЕГО ИСПОЛЬЗЕУТСЯ ТРАПЕЦИЯ?

Трапеция в спорте: Трапеция — безусловно прогрессивное изобретение человечества. Она предназначена для того, чтобы разгрузить наши руки, сделать хождение на виндсерфере комфортным и легким отдыхом. Хождение на короткой доске вообще не имеет смысла без трапеции, так как без нее невозможно правильно распределить тягу между степсом и ногами и эффективно разогнаться.

Трапеция в моде: Трапеция в одежде была популярна ещё в средние века, в романскую эпоху IX-XI вв. В тот период основу женской одежды составляли туники в пол, к низу туника сильно расширялась, что и создавало эффект трапеции. Возрождение силуэта произошло в 1961-ом году и стало гимном молодости, независимости и утонченности. Огромную роль в популяризации трапеции сыграла хрупкая модель Лесли Хорнби, известная, как Твигги. Невысокая девочка с анорексичным телосложением и огромными глазами стала символом эпохи, а её излюбленными нарядами были короткие платья трапеции.

Трапеция в природе: трапеция встречается и в природе. У человека есть трапециевидная мышца, у некоторых людей лицо имеет форму трапеции. Лепестки цветов, созвездия, и конечно же вулкан Килиманджаро тоже имеют форму трапеции.

Трапеция в быту: Трапеция используется и в быту, т.к ее форма практична. Она встречается в таких предметах как: ковш экскаватора, стол, винт, машина.

Трапеция — символ архитектуры инков. Доминирующая стилистическая форма в архитектуре инков проста, но изящна — это трапеция. Она имеет не только функциональное значение, но и строго ограниченное художественное оформление. Трапециевидные дверные проемы, окна, и стенные ниши найдены в постройках всех типов, и в храмах и в менее значительных зданиях более грубых, если можно так выразиться, постройках. Трапеция встречается и в современной архитектуре. Эта форма зданий является необычной, поэтому такие постройки всегда притягивают взгляды прохожих.
Трапеция в технике: Трапеция используется при конструировании деталей в космических технологиях и в авиации. Например, некоторые солнечные батареи космических станций имеют форму трапеции так как имеют большую площадь, значит накапливают больше солнечной эн

В 21 первом веке люди уже практически не задумываются о значении геометрических фигур в их жизни. Их совершенно не волнует какой формы у них стол, очки или телефон. Они просто выбирают ту форму, которая практична. Но именно от формы той или иной вещи может зависеть использование предмета, его предназначение, результат работы. Сегодня мы познакомили вас с одной из величайших достижений человечества- с трапецией. Мы приоткрыли вам дверь в удивительный мир фигур, поведали вам тайны трапеции и показали, что геометрия вокруг нас.

Список используемой литературы


  1. Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф., Математика Теория и Задачи. Книга 1 Учебное пособие для абитуриентов М.1998 Издательство МЭИ.

  2. Быков А.А, Малышев Г.Ю., ГУВШ факультет довузовской подготовки. Математика. Учебно-методическое пособие 4 часть М2004

  3. Гордин Р.К. Планиметрия. Задачник.

  4. Иванов А.А.,. Иванов А.П, Математика: Пособие для подготовки к ЕГЕ и поступлению в вузы-М : Издательство МФТИ,2003-288с. ISBN5-89155-188-3

  5. Пиголкина Т.С, Министерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «ЗФТШ Московского физико-технического института (государственного университета)». Математика. Планиметрия. Задания №2 для 10-ых классов (2012-2013 учебный год).

  6. Пиголкина Т.С., Планиметрия (часть1).Матиматическая Энциклопедия Абитуриента. М., издательство российского открытого университета 1992.

  7. Шарыгин И.Ф.Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов в ВУЗЫ (1987-1990) Львов Журнал «Квантор» 1991.

  8. Энциклопедия «Аванта плюс», Математика М., Мир энциклопедий Аванта 2009.

Приложение

1.Доказательство некоторых свойств трапеции.

1. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках K и L. Доказать, что если основания трапеции равны а и b, то длина отрезка KL равна среднему геометрическому оснований трапеции. Доказательство

Пусть О — точка пересечения диагоналей, AD = а, ВС = b. Пря­мая KL параллельна основанию AD, следовательно, KОAD, треугольники ВKО и BAD подобны, поэтому


( 1 )


  1. AD BC, ∆AOD ~ ∆COB по двум углам. тогда: т.е.

  2. BD = DO + OD, следовательно

( 2 )

Подставим ( 2 ) в ( 1 ), получим KO =

Аналогично LO = Тогда K L= KO + LO =


  1. Во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сторон ле­жат на одной прямой.

  • Доказательство: Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке К. Через точку К и точку О пересечения диагоналей проведём прямую КО.

Д
K
окажем, что эта прямая делит основания пополам.

Обозначим ВМ

= х, МС = у, AN = и, ND = v. Имеем:

ВКМ ~ ∆AKN


M

x


B

C

Y
C ~ ∆NKD → →

O

v

u


A

N

D
BMO ∆DNO

CMO ANO поэтому .

Перемножая полученные равенства, получим , откуда следует

x=y, но тогда и u = v.


  1. дачи для самостоятельных работ и их решения

3. Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности.

Садовничий Ю.В. «Математика. Подготовка к ЕГЭ», Москва, ИЛЕКСА, 2011, стр. 252.

1 . В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий сере­дины оснований, равен 2. Найти площадь трапеции.

Ответ: S = 6.

2. Периметр равнобочной трапеции, описанной около круга, равен р. Найти радиус этого круга, если известно, что острый угол при основании трапеции равен ɑ.

psina
3. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в тра­пецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины основа­ний трапеции.

Ответ: 1и 7.


  1. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали АС равна а, а длина боковой стороны ВС равна b. Найти площадь трапеции.

Ответ: S= 3ab

В трапеции PQRS длина основания QR равна 10, длина диагона­ли QS равна 19, а величина угла QSP равна 30°. Выяснить, что больше, длина основания QR или длина стороны RS.

Ответ: RS > QR.



  1. В трапеции ABCD сторона АВ параллельна CD. Диагонали BD и АС трапеции пересекаются в точке О, причем треугольник ВОС явля­ется равносторонним. Найти длину стороны ВС, если АВ = 5 и CD-3.

  2. В трапеции ABCD основание AD равно 16, сумма диагоналей АС и BD равна 36, угол CAD равен 60°. Отношение площадей тре­угольников AOD и ВОС, где О — точка пересечения диагоналей, рав­но 4. Найти площадь трапеции.

Ответ: S=90√3.

Иванов А.А., Иванов А.П., Математика: Пособие для подготовки к ЕГЭ и поступлению в вузы. – М.: Издательство МФТИ, 2003, стр. 238..

12. Площадь прямоугольной трапеции равна S, острый угол равен а. Найти высоту трапеции, если ее меньшая диагональ равна большему оснозанию. [√2Sctg а]


  1. Около круга радиуса R описана равнобедренная трапеция с острым утлом а при основании. Найти периметр этой трапеции. [8.R: sin а]

  2. В равнобедренной трапеции, описанной около круга, отношение боковой стороны к меньшему основанию равно к. Найти углы трапеции и допустимые значения к.

[arccos(l — 1/к), π — arccos(l — 1/к), к > 1]

  1. На меньшем основании равнобедренной трапеции построен правильный треугольник. Его высота равна высоте трапеции, а площадь в 5 раз меньше площади трапеции. Найти угол при большем основании трапе­ции. [30°]

  2. Основания равнобедренной трапеции равны а и 6 (а > 6), угол при боольшем основании равен а. Найти радиус окружности, описанной около грапеции. [(√/а22+2аbcos2а):(2sin2а)].

  3. Площадь равнобедренной трапеции равна S, угол между ее диагонапями, противолежащий боковой стороне, равен ɑ. Найти высоту трапе­ции…

[√Stg(½ ɑ)]

  1. Равнобедренная трапеция описана около окружности. Ее диагональ равна d, а острый угол при основании равен а. Найти радиус окружности.

  2. В равнобедренной трапеции с основаниями 2 и 6 и углом arccos(—⅔)- найти радиус окружности, касающейся боковой стороны, диагонали и боль­шего основания трапеции.

  3. Отношение радиуса круга, описанного около трапеции, к радиусу круга, вписанного в нее, равно к (к > √2). Найти углы трапеции.


4. Проверочный тест по теме «Трапеция»

В трапеции, имеющей прямой угол, основания равны 5 и 11, а большая диагональ √185. Площадь трапеции составляет


В трапеции боковые стороны и меньшее основание равны Ь, а острый угол вдвое меньше тупого. Площадь трапеции равна

151 в равнобедренной трапеции, описанной около окружности ради­уса 5 м и имеющей основание 20 м, другое основание равно

Меньшее основание трапеции, вписанной в окружность, втрое меньше большего, которое является диаметром окружности.25j В трапеции с диагональю 20, высотой 12 и площадью 150 вторая

диагональ равна

29j Равнобедренная трапеция с острым углом а описана около окруж- ности. Отношение ее большего основания к меньшему равно

Зо| В описанной около круга равнобочной трапеции расстояние от центра круга до дальней вершины трапеции втрое больше, чем до ближ­ней. Тангенс острого угла трапецииравен

Достарыңызбен бөлісу:

№29. Медианы BM и CN треугольника ABC пересекаются в точке K. Найдите площадь треугольника BKN, если площадь треугольника ABC равна 24.

I. «Треугольники»

№1. В остроугольном треугольнике АВС угол А равен 60°, ВС = 10 см, отрезки ВМ и СК – высоты. Найдите длину отрезка КМ.

№2. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе прямоугольного треугольника, если известно, что его катеты равны 8 см и 6 см.

№3. Найдите стороны треугольника, периметр которого равен 5,5 см, если известно, что стороны подобного ему треугольника равны 0,4 см, 0,8 см и 1 см.

№4. Какие целые значения может принимать длина стороны АС треугольника АВС, если известно, что АВ = 2,9 см, ВС = 1,7 см? Ответ объясните.

№5. В равностороннем треугольнике проведены две медианы. Найдите величину острого угла, образовавшегося при их пересечении.

№6. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка К. Известно, что сумма углов В и С равна углу АКВ, АК = 5 м, ВК = 16 м и КС = 2 м. Найдите сторону АВ.

№7. В остроугольном треугольнике АВС на стороне АС отмечена точка М, такая, что
·13 EMBED Equation.3 1415С =
·13 EMBED Equation.3 1415АВМ. Найдите сторону АВ, если известно, что сторона АС = 9 м, а отрезок АМ = 4 м.

№8. В равностороннем треугольнике АВС проведена высота BD. Найдите углы треугольника ABD.

№9. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что его гипотенуза равна 6 13 EMBED Equation.3 1415 см, а один из острых углов в два раза больше другого.

№10. В остроугольном равнобедренном треугольнике угол между основанием и высотой, проведенной к боковой стороне, равен 34°. Найдите углы этого треугольника.

№11. В треугольник ABC вписан равнобедренный прямоугольный треугольник DEF так, что его гипотенуза DF параллельна стороне АС, а вершина Е лежит на стороне АС. Найдите высоту треугольника ABC, если AС = 16 см; DF = 8 см.

№12. Стороны треугольника равны 3 см, 2 см и 13 EMBED Equation.3 1415 см. Определите вид этого треугольника.

№13. Через вершину В равнобедренного треугольника АВС параллельно основанию АС проведена прямая ВD. Через точку К – середину высоты ВH проведен луч АК, пересекающий прямую ВD в точке D, а сторону ВС в точке N. Определите, в каком отношении точка N делит сторону ВС.

№14. Из вершины B треугольника ABC проведены высота BH и биссектриса BD. Найдите угол между высотой BH и биссектрисой BD, если углы BAC и BCA равны 20° и 60° соответственно.

№15. Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена точка D, такая, что 13 EMBED Equation.3 1415BAD = 13 EMBED Equation.3 1415BCD = 15°. Найдите угол ADC.

№16. Длины двух сторон равнобедренного треугольника равны соответственно 6 см и 2 см. Определите длину третьей стороны этого треугольника.

№17. Стороны треугольника равны 4 см, 5 см и 8 см. Найдите длину медианы, проведенной из вершины большего угла.

№18. Медиана ВМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе АD. Найдите АВ, если АС = 12 см.

№19. Треугольник АВС – равносторонний со стороной, равной а. На расстоянии а от вершины А взята точка D, отличная от точек В и С. Найдите угол BDC.

№20. Из точки, лежащей на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, на катеты треугольника опущены перпендикуляры. Найдите катет треугольника, если периметр полученного четырехугольника равен 12 см.

II. «Четырехугольники»

№1. Найдите углы параллелограмма, если его неравные углы относятся как 5:7.

№2. В параллелограмме АВСD биссектриса угла А пересекает продолжение ВС в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если ВЕ = 16 см, СЕ = 5 см.

№3. Высоты, проведенные из вершины ромба, образуют угол 30°. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые образуют диагонали с его сторонами.

№4. В равнобедренный прямоугольный треугольник, катет которого равен 4,3 см, вписан квадрат таким образом, что у них один угол общий. Найдите периметр квадрата.

№5. В ромбе высота, проведенная из вершины тупого угла, делит его сторону пополам. Найдите: а) углы ромба; б) его периметр, если меньшая диагональ равна 3,5 см.

№6. В квадрате АВСD точки Е и F – середины соответственно сторон ВС и СD. Точки А и Е, В и F соединены отрезками. Докажите, что АЕ ( ВF.

№7. В параллелограмме АВСD точки Е, F – середины соответственно сторон ВС и АD. Определите вид четырехугольника ВЕDF.

№8. Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника проведены прямые, параллельные катетам. Определите вид получившегося четырехугольника и найдите его диагонали, если гипотенуза равна 9 см.

№9. Стороны прямоугольника равны 72 см и 8 см. Найдите сторону равновеликого ему квадрата.

№10. Средняя линия трапеции равна 8 см и делится диагональю на два отрезка, разность между которыми равна 2 см. Найдите основания трапеции.

№11. Найдите углы ромба, если известно, что его периметр равен 8 см, а высота ромба равна 1 см.

№12. Большее основание равнобедренной трапеции равно 8 м, боковая сторона равна 9 м, а диагональ равна 11 м. Найдите меньшее основание трапеции.

№13. В прямоугольнике точка пересечения диагоналей удалена от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей стороны. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен 56 см.

№14. Найдите периметр ромба, если известно, что один из углов ромба равен 60°, а меньшая диагональ равна 5 см.

№15. Найдите высоту равнобедренной трапеции, если известно, что ее основания равны 10 см и 24 см, а боковая сторона равна 25 см.

№16. Найдите диагонали равнобедренной трапеции, основания которой равны 4 см и 6 см, а боковая сторона равна 5 см.

№17. Найдите сторону ромба, если известно, что его диагонали равны 24 см и 32 см.

№18. Угол между высотами BK и BL параллелограмма АВСD, проведенными из вершины его острого угла B, в четыре раза больше самого угла АВС. Найдите углы параллелограмма.

№19. Определите вид четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон произвольного выпуклого четырехугольника.

№20. В трапеции ABCD диагональ BD является биссектрисой прямого угла ADC. Найдите отношение диагонали BD к стороне AB трапеции, если
·13 EMBED Equation.3 1415BAD = 30°.

№21. Углы при основании AD трапеции ABCD равны 60° и 30°, AD = 17 см, ВС = 7 см. Найдите боковые стороны.

№22. В параллелограмме АВСD диагональ BD перпендикулярна стороне AD. Найдите АС, если AD = 6 см, BD = 5 см.

№23. Найдите меньший угол параллелограмма, если его стороны равны 1 и 13 EMBED Equation.3 1415, а одна из диагоналей равна 13 EMBED Equation.3 1415.

№24. В трапеции АВСD стороны АВ и СD равны, биссектриса тупого угла В перпендикулярна диагонали АС и отсекает от данной трапеции параллелограмм. Найдите величину угла ВСD.

№25. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями 17 см и 25 см диагональ AC является биссектрисой острого угла A. Найдите меньшую боковую сторону трапеции.

III. «Окружность и круг»

№1. Из точки, принадлежащей окружности, проведены две равные хорды. Докажите, что диаметр, проходящий через эту точку, делит угол между хордами пополам.

№2. В окружности проведены три равные хорды, одна из которых удалена от центра на 3 см. На каком расстоянии находятся от центра две другие хорды?

№3. Хорда окружности пересекает ее диаметр под углом 30° и делится им на части, равные 12 см и 6 см. Найдите расстояние от середины хорды до диаметра.

№4. Найдите диаметры двух концентрических окружностей, если ширина соответствующего кольца равна 12 см, а радиусы окружностей относятся как 5:2.

№5. Окружность разделена тремя точками на части, которые относятся между собой как 2:3:5. Через точки деления проведены хорды. Определите вид получившегося треугольника.

№6. Даны два непересекающихся круга радиуса R. Расстояние между их центрами равно d. Найдите сторону и площадь ромба, образованного касательными, проведенными из центра каждого круга к другому кругу.

№7. Окружности, радиусы которых равны 1 см и 3 см, внешне касаются. Найдите угол между их внешними касательными.

№8. Две окружности с радиусами 10 см и 17 см пересекаются. Их общая хорда равна 16 см. Найдите длину их общей касательной.

№9. Две окружности, радиусы которых равны 2 см и 3 см, внутренне касаются. Из центра меньшей окружности проведен луч, перпендикулярный линии центров и пересекающий большую окружность, а из точки пересечения проведены две касательные к меньшей окружности. Найдите угол между касательными.

№10. В окружности радиуса 6 см проведена хорда АВ. Через середину М этой хорды проходит прямая, пересекающая окружность в точках С и Е. Известно, что СМ = 9 см,
·АСВ = 30°. Найдите длину отрезка СЕ.

№11. Углы АDC и ABC вписаны в окружность. Какой может быть величина угла ADC, если известно, что
·13 EMBED Equation.3 1415ABC = 56°?

№12. Найдите площадь круга, если длина окружности равна 8(
·см.

№14. К окружности проведены касательные МА и МВ (А и В – точки касания). Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 20 см, а расстояние от точки М до хорды АВ равно 9 см.

№15. Найдите длину окружности, если известно, что площадь круга равна 18(
· см2.

№16. Две окружности, радиусы которых равны 9 см и 3 см, касаются внешним образом в точке А. Через точку А проходит их общая секущая ВС, причем точка В принадлежит большей окружности. Найдите длину отрезка AB, если отрезок AC равен 5 см.

№17. Точки A, B и C делят окружность на три части так, что (AB : (BC : (AC = 4 : 7 : 9. Определите наибольший угол треугольника ABC.

№18. Два круга, радиусы которых равны 5 см, имеют общую хорду длины 513 EMBED Equation.3 1415 см. Найдите площадь общей части этих кругов.

№19. Вписанный угол, образованный хордой и диаметром окружности, равен 72°. Определите, что больше: хорда или радиус окружности.

IV. «Многоугольники. Вписанные и описанные многоугольники»

№1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

№2. Острый угол прямоугольного треугольника равен 37°. Найдите углы, под которыми видны катеты из центра описанной около него окружности.

№3. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна 10 см, а один из углов равен 120°.

№4. Можно ли описать окружность около четырехугольника, углы которого, взятые последовательно, относятся как 2:3:4:11?

№5. Найдите углы вписанного в окружность четырехугольника, если
противоположные углы относятся как 2:3 и 4:5.

№6. В прямоугольный треугольник с острым углом 40° вписана окружность. Найдите углы, под которыми видны стороны данного треугольника из центра вписанной в него окружности.

№7. Углы треугольника относятся как 2:3:4. Под какими углами видны стороны треугольника из центра вписанной окружности.

№8. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб, большая диагональ которого равна 18 см, тупой угол равен 120°.

№9. Найдите длину окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетом b и прилежащим к нему острым углом (.

№10. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, стороны
которой равны 2 см, 1 см, 1см, 1 см.

№11. Три последовательные стороны описанной около круга трапеции равны 13 см, 8 см и 13 см. Найдите радиус круга.

№12. В равнобедренную трапецию с основаниями 18 см и 6 см вписан круг. Найдите его радиус и углы трапеции.

№13. Найдите радиус окружности, вписанной в параллелограмм, если его диагонали равны 12 см и 313 EMBED Equation.3 1415см.

№14. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BCD, если она касается стороны ВС в точке Р и известно, что BD = BC = 15 см, СР = 12 см.

№15. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если известно, что средняя линия трапеции равна 14 см, боковая сторона равна 4 13 EMBED Equation.3 1415см, а одно из оснований трапеции является диаметром описанной окружности.

№16. В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60°, а площадь равна 24 13 EMBED Equation.3 1415см2, вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

№17. Основание остроугольного равнобедренного треугольника равно 48 см. Найдите радиус вписанной в него окружности, если радиус описанной около него окружности равен 25 см.

№18. В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 10 м, вписана окружность радиуса 3 м. Найдите площадь трапеции.

№19. Найдите площадь круга, описанного около правильного шестиугольника со стороной 3 см.

№20. В окружность вписан прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 8 см. Найдите длину этой окружности.

№21. Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если средняя линия трапеции равна 12 м, а косинус угла при основании трапеции равен 13 EMBED Equation.3 1415.

№22. Найдите площадь круга, описанного около квадрата со стороной 6 см.

№23. Найдите площадь правильного многоугольника, если его внешний угол равен 30°, а диаметр описанной около него окружности равен 8 см.

№24. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса 4 см. Найдите периметр этого треугольника, если известно, что его гипотенуза равна 26 см.

№25. Найдите число сторон выпуклого многоугольника, сумма внутренних углов которого равна 4320°.

№26. Найдите диагональ А1А3 правильного восьмиугольника А1А2А8, если площадь треугольника А1А2А5 равна 913 EMBED Equation.3 1415 м.

№27. Сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, равна 2 см. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность.

№28.На стороне АВ параллелограмма АВСD как на диаметре построена окружность, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину стороны AD. Найдите углы параллелограмма.

№29. Сторона ромба равна 10, а один из его углов равен 30°. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

№30. Известно, что в равнобокую трапецию с боковой стороной, равной 5, можно вписать окружность. Найдите длину средней линии трапеции.

№31. В треугольник АВС вписана окружность, которая касается сторон АВ и ВС в точках E и F соответственно. Касательная MK к этой окружности пересекает стороны АВ и ВС соответственно в точках M и K. Найдите периметр треугольника ВMK, если BE = 6 см.

№32. Окружность радиуса R касается гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника в вершине его острого угла и проходит через вершину прямого угла. Найдите длину дуги, заключенной внутри треугольника, если R =13 EMBED Equation.3 1415.
№33. Через вершины А, В и С ромба АВСО проведена окружность, центром которой является вершина О. Найдите длину дуги АС, содержащей вершину В, если длина всей окружности равна 30 см.

№34. Большая диагональ ромба равна 12 см, а один из его углов равен 60°. Найдите длину вписанной в него окружности.

№35. К окружности, радиус которой равен 3, из точки, удаленной от центра окружности на расстояние 5, проведены две касательные. Вычислите расстояние между точками касания.

№36. Около правильного шестиугольника со стороной 8,5 описана окружность. Около этой окружности описан правильный четырехугольник. Найдите сторону четырехугольника.

№37. Площадь треугольника, описанного около окружности, равна 84 см2. Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен 7 см.

№38. Найдите больший угол треугольника, если две его стороны видны из центра описанной окружности под углами 100° и 120°.

№39. В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17 : 15, а боковая сторона равна 34 см. Найдите основание треугольника.

V. «Площади плоских фигур»

№1. Площадь прямоугольника равна 520 м2, а отношение его сторон равно 2:5. Найдите периметр данного прямоугольника.

№2. Стороны параллелограмма равны 5 см и 11 см. Найдите его площадь, если один из углов равен 30°.

№3. Найдите площадь ромба со стороной 24 см и углом 120°.

№4. Найдите площадь параллелограмма, периметр которого равен 42 см, а высоты равны 8 см и 6 см.

№5. Найдите периметр ромба, площадь которого равна 48 см2, а острый угол равен 30°.

№6. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой основания равны 8 см и 18 см, а боковая сторона равна средней линии.

№7. В прямоугольной трапеции большая боковая сторона равна сумме оснований, высота равна 12 см. Найдите площадь прямоугольника, стороны которого равны основаниям трапеции.

№8. Стороны треугольника относятся как 3:25:26. Его площадь равна 144 см2. Найдите периметр данного треугольника.

№9. Основание равнобедренного треугольника равно 5 см. Медианы боковых сторон перпендикулярны. Найдите площадь данного треугольника.

№10. В прямоугольном треугольнике сумма катетов равна m, а гипотенуза равна с. Найдите площадь треугольника, не вычисляя его катетов.

№11. В четырехугольнике АВСD диагонали перпендикулярны и равны 4 см и 11 см. Найдите его площадь.

№12. Точка касания круга, вписанного в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на части, равные 4 см и 6 см. Найдите площадь этого круга.

№13. Дана прямоугольная трапеция ABCD (АD – большее основание, АВ (АD). Площадь трапеции равна 150 13 EMBED Equation.3 1415см2,
·13 EMBED Equation.3 1415CDA =
·13 EMBED Equation.3 1415BСA = 60°. Найдите диагональ АС.

№14. Площадь параллелограмма равна 45 13 EMBED Equation.3 1415см2,
·13 EMBED Equation.3 1415А = 60°, АВ : АD = 10 : 3. Биссектриса угла А пересекает сторону параллелограмма в точке М. Найдите длину отрезка АМ.

№15. Диагонали трапеции АВМК пересекаются в точке О. Основания трапеции ВМ и АК относятся соответственно как 2 : 3. Найдите площадь трапеции, если известно, что площадь треугольника АОВ равна 12 см2.

№16. Две стороны параллелограмма равны 13 см и 14 см, а одна из диагоналей равна 15 см. Найдите площадь треугольника, отсекаемого от параллелограмма биссектрисой его угла.

№17. Найдите площадь параллелограмма КМNO, если его большая сторона равна 4 13 EMBED Equation.3 1415см, диагональ МO равна 5 см, а угол МКО равен 45°.

№18. Средняя линия трапеции равна 15 м, сумма углов при одном из оснований равна 90°. Найдите площадь трапеции, если одна боковая сторона равна13 EMBED Equation.3 1415 м, а разность оснований равна 10 м.

№19. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь треугольника АВС, если АС = 3 13 EMBED Equation.3 1415 м, ВС = 10 м, 13 EMBED Equation.3 1415МАС = 45°.

№20. Найдите площадь параллелограмма ОМРК, если его сторона КР равна 10 м, а сторона МР, равная 6 м, составляет с диагональю МК угол, равный 45°.

№21. Площадь равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равна 160 м2, боковая сторона равна 20 м. Высоты ВК и АН пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВО.

№22. В треугольнике СЕН
·13 EMBED Equation.3 1415С = 45°, точка Т делит сторону СЕ на отрезки СТ = 2 м и ЕТ = 14 м,
·13 EMBED Equation.3 1415СНТ =
·13 EMBED Equation.3 1415СЕН. Найдите площадь треугольника СНТ.

№23. Площадь ромба ABCD равна 24213 EMBED Equation.3 1415 . Вычислите сторону ромба, если один из его углов равен 135°.

№24. В треугольник АВС вписан квадрат так, что две его вершины лежат на стороне АB и по одной вершине – на сторонах АC и ВС. Найдите площадь квадрата, если АB = 40 см, а высота, проведенная из вершины С, имеет длину 24 см.

№25. В равнобокой трапеции одно из оснований в два раза больше другого. Диагональ трапеции является биссектрисой острого угла. Найдите меньшее основание трапеции, если ее площадь равна 2713 EMBED Equation.3 1415см2.

№26. Треугольник АBC, стороны которого 13 см,14 см и 15 см, разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку пересечения медиан М с вершинами треугольника. Найдите площадь треугольника BMC.

№27. Одна из диагоналей прямоугольной трапеции делит эту трапецию на два прямоугольных равнобедренных треугольника. Какова площадь этой трапеции, если ее меньшая боковая сторона равна 4?

№28. На сторонах AB и AC треугольника ABC, площадь которого равна 50, взяты соответственно точки M и K так, что AM : MB = 1 : 5, а AK : KC = 3 : 2. Найдите площадь
треугольника AMK.

№29. Медианы BM и CN треугольника ABC пересекаются в точке K. Найдите площадь треугольника BKN, если площадь треугольника ABC равна 24.

VI. «Координаты и векторы»

№1. Даны векторы: 13 EMBED Equation.3 1415(m;12), 13 EMBED Equation.3 1415(3;–5), 13 EMBED Equation.3 1415(–1; 2n). Найдите числа m и n, если 13 EMBED Equation.3 1415.

№2. Дан вектор 13 EMBED Equation.3 1415 (–8; 6). Найдите координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415 (х; у), такого, что 13 EMBED Equation.3 1415 сонаправлен с 13 EMBED Equation.3 1415и его длина в два раза больше, чем у вектора 13 EMBED Equation.3 1415.

№3. Найдите координаты точки А (х; у), если она симметрична точке В (–20; 11) относительно точки М (0; –5).

№4. Найдите координаты точки С (х; у), если она принадлежит оси абсцисс и одинаково удалена от точек А (–14; 5) и В (3; 8).

№5. Даны точки М (–2; 6), К (1; 2) и L (4; –2). Определите, принадлежат ли
данные точки одной прямой.

№6. Определите, будет ли треугольник ОРQ равносторонним, если О – начало координат и Р (5; 6), Q (–6; 5).

№7. То чка М делит отрезок КL в отношении 2:3. Найдите координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415,
если 13 EMBED Equation.3 1415(–5; –9).

№8. Даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415 (–4, 12) и 13 EMBED Equation.3 1415(х; –6). Найдите значение х, при котором данные векторы будут перпендикулярны.

№9. Найдите модуль вектора 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415 единичные векторы, и угол между ними равен 60°.

№10. Найдите угол между векторами 13 EMBED Equation.3 1415и13 EMBED Equation.3 1415,заданными своими координатами 13 EMBED Equation.3 1415(1; 13 EMBED Equation.3 1415) и
13 EMBED Equation.3 1415(3; 13 EMBED Equation.3 1415).

VII. «Углы»

№1. Величины углов АВС и КВС относятся как 7 : 3, а их разность равна 72°. Могут ли эти углы быть смежными?

№2. При пересечении двух прямых n и m секущей k образовалось восемь углов. Четыре из них равны 60°, а четыре другие – 120°. Определите взаимное расположение прямых n и m.
№3. На рисунке: 13 EMBED Equation.3 14151 = 55°;
·13 EMBED Equation.3 14152 = 125°; 13 EMBED Equation.3 1415
·3 = 123°. Найдите
·13 EMBED Equation.3 14154.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13PAGE 15

13PAGE 14815

b

d

1

4

2

3

a

c

Root Entry

Геометрия

— Нахождение радиуса окружности, вписанной в трапецию

Когда ничего не помогает, возьмите молоток побольше

… что я сделал и обнаружил, что ответ был $ R = 6 $.

Я не буду объяснять, почему $ AC $, $ BD $ $ PR $ и $ QS $ совпадают в $ F $. Это просто частный случай Теорема Брианшона. Итак, начнем с этого. Обратите внимание на углы $ \ angle CAB = \ angle ACD = \ alpha $, $ \ angle ABD = \ angle BDC = \ beta $ и сегмент $ OF = x $. Мы будем использовать их постоянно. Для простоты я также введу следующие символы: $ AK = p_1 $, $ LC = p_2 $, $ BM = q_1 $, $ DN = q_2 $.Мы знаем, что $ p_1p_2 = 16 $ и $ q_1q_2 = 9/4 $.

Сначала попробуем найти $ p_1 = AK $. Тот же подход будет использован для поиска сегментов $ p_2, q_1, q_2 $

Взгляните на четырехугольник $ AQOK $:

$$ AQ = FQ \ cot \ alpha = AK \ cos \ alpha + OK \ sin \ varphi $$

$$ QO = AK \ sin \ alpha + OK \ cos \ varphi $$

Это приводит к следующим уравнениям:

$$ p_1 \ cos \ alpha + R \ sin \ varphi = (R + x) \ cot \ alpha $$ $$ p_1 \ sin \ alpha + R \ cos \ varphi =

рупий

или:

$$ R \ sin \ varphi = (R + x) \ cot \ alpha-p_1 \ cos \ alpha $$ $$ R \ cos \ varphi = R-p_1 \ sin \ alpha $$

Возведите эти два уравнения в квадрат и сложите их.2} = 36 \ подразумевает R = 6 $$

Калькулятор кругов

Что такое площадь и периметр круга?

Набор точек на плоскости, одинаково удаленных от заданной точки $ O $, представляет собой окружность. Точка $ O $ называется центром окружности. Расстояние от центра круга до любой точки на окружности называется радиусом этого круга. Радиус круга должен быть положительным вещественным числом. Окружность с центром $ O $ и радиусом $ r $ обозначается $ c (O, r) $.
Расстояние вокруг круга называется периметром или окружностью круга.Обычно обозначается как $ C $.


Если все вершины многоугольника принадлежат окружности, многоугольник называется вписанным. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то многоугольник называется описанным.

Метод определения длины окружности: Впишем в круг правильный многоугольник, например квадрат. Затем удвойте количество сторон этого многоугольника, чтобы получить восьмиугольник. Если продолжить процесс удвоения количества сторон правильные вписанные многоугольники, мы получаем бесконечную последовательность периметров правильных многоугольников, которая увеличивается.Эта возрастающая последовательность ограничена, поскольку периметры всех вписанных выпуклых многоугольников меньше периметра любого описанного многоугольника. Итак, эта возрастающая последовательность периметров имеет определенный предел. Этот предел — окружность. Следовательно, окружность круга — это предел периметра правильного многоугольника, вписанного в круг, когда число его вершин бесконечно удваивается. Поскольку все круги похожи, отношение длины окружности к диаметру одинаковое для всех кругов.Это отношение длины окружности к диаметру обозначается греческой буквой $ \ pi \ приблизительно 3,14 $. Таким образом, формула для окружности

$$ C = D \ times \ pi $$

или же

$$ C = 2 \ times r \ times \ pi $$


Архимед [Heath, T. L., it A History of Greek Mathematics, 2 vol., Oxford, 1921] дал приближение $ \ pi $ с помощью $$ \ pi \ приблизительно \ frac {22} 7 = 3,142857142857 … $$
Метод определения площади круга: Площадь круга — это количество квадратных единиц внутри этого круга.2) $ и т. Д.

Работа с площадью и периметром круга с шагом показывает полное пошаговое вычисление для нахождения окружности и площади круга с радиусом длиной $ 8 \; in $ с использованием формул окружности и площади. . За любое другое значение длины радиуса круга, просто введите положительное действительное число и нажмите кнопку СОЗДАТЬ РАБОТУ. Учащиеся начальной школы могут использовать этот круговой калькулятор для создания работы, проверки результатов периметра и площади двухмерных фигур или для эффективного выполнения домашних заданий.Они могут использовать эти методы для определения площади и длины частей круга.

Калькулятор площади круга

Калькулятор площади круга — расчет площади круга онлайн. Площадь круга — числовая характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной линией окружности. Площадь круга может быть вычислена с использованием числа пи и радиуса круга или других известных входных данных.Наш калькулятор поможет вам бесплатно рассчитать площадь круга онлайн или проверить уже выполненные расчеты.

Таблица с формулами площади круга (в конце страницы)

— Вычисление (показано) (скрыт)

— примечания (показаны) (скрыт)


1

Площадь окружности по радиусу

… подготовка …

r — радиус



2

Площадь круга по диаметру

… подготовка …

D — диаметр



3

Площадь круга по окружности

… подготовка …

— длина окружности



4

Площадь круга, проходящего через квадрат, вписанного в круг

… подготовка …

a — боковой



5

Площадь круга, вписанного в квадрат

… подготовка …

A — боковой



6

Площадь круга, описанного вокруг произвольного треугольника

Эта формула применима только в том случае, если круг можно описать вокруг треугольника, то есть все три вершины треугольника должны лежать на линии круга.Треугольник в этом случае может быть любым.

Чтобы вычислить площадь круга, сначала вычислите полупериметр треугольника

… подготовка …

a — боковой

b — боковой

c — боковой



7

Площадь круга, описанного рядом с равносторонним треугольником

… подготовка …

a — боковой



8

Площадь круга, описанного вокруг равностороннего треугольника, вычисленная по высоте треугольника

… подготовка …

h — высота



9

Площадь круга около равнобедренного треугольника

… подготовка …

a — боковой

b — цоколь



10

Площадь круга, описанного около прямоугольного треугольника

… подготовка …

a — боковой

b — боковой



11

Площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник

… подготовка …

a — боковой

b — цоколь



12

Площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник, вычисленная по сторонам треугольника и углу между ними

… подготовка …

b — боковой

α — угол между сторонами



13

Площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник

… подготовка …

a — боковой

b — боковой

c — боковой



14

Площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, вычисленная по стороне и углу

… подготовка …

b — боковой

α — угол у основания



15

Площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник

… подготовка …

a — боковой



16

Площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию, рассчитывается от основания трапеции и угла при основании

… подготовка …

b — боковой

α — угол у основания



17

Площадь описанного круга около равнобедренной трапеции, вычисленная по сторонам трапеции, ее диагонали и основанию

Чтобы вычислить площадь круга, сначала вычислите полупериметр треугольника ABC

… подготовка …

a — боковой

c — боковой

d — диагональ



18

Площадь описанного круга около прямоугольника

… подготовка …

a — боковой

b — боковой



19

Площадь описываемой окружности рядом с правильным многоугольником

… подготовка …

a — боковой

N — количество сторон многоугольника



20

Площадь круга, описанного около правильного шестиугольника

… подготовка …

a — боковой


Примечание:

Если в исходных данных угол указан в радианах, то для преобразования в градусы можно использовать формулу: 1 радиан × (180 / π) ° = 57,296 °


Таблица с формулами площади круга



Круг, вписанный в квадрат

Мы видели, что когда квадрат вписан в круг, мы можем выразить все свойства квадрата или круга (площадь, периметр, окружность, радиус, длина стороны), если мы знаем просто длина радиуса или длина стороны квадрата.

Теперь мы увидим, что то же самое верно, когда круг вписан в квадрат.

Задача 1

В квадрат вписана окружность радиуса «r». Найдите формулы для длины стороны, длины диагонали, периметра и площади квадрата через r.

Стратегия

При решении аналогичной задачи квадрат вписан в круг, ключевой вывод заключался в том, что диагональ квадрата — это диаметр круга.

Здесь аналогичный ключевой вывод состоит в том, что радиус круга равен половине длины стороны квадрата.

Поскольку круг вписан в квадрат, сторона квадрата касается круга. По определению, радиус перпендикулярен касательной в точке касания.

Радиус образует угол 90 ° с одной стороной квадрата. Таким образом, он параллелен соседней стороне квадрата. Это верно и для других радиусов. Это означает, что четырехугольник, образованный двумя радиусами и двумя смежными сторонами квадрата, также является квадратом.

В этом новом квадрате сторона равна радиусу.Мы можем сделать это для каждой из остальных 4 сторон большего внешнего квадрата. В каждом из них радиусы образуют квадраты меньшего размера. У меньших квадратов все стороны равны радиусу.

Стороны двух таких соседних маленьких квадратов образуют сторону большего внешнего квадрата. Поскольку каждая из сторон меньшего квадрата равна r, сторона внешнего квадрата равна 2r.

Формальное доказательство:

(1) OA ⊥ AB // Учитывая, что AB касается окружности O, касательная линия перпендикулярна радиусу
(2) m∠OAB = 90 ° // Определение перпендикулярной линии
( 3) m∠ABC = 90 ° // Все внутренние углы квадрата прямые
(4) OA || CB // Теорема об обратных последовательных внутренних углах
(5) OC ⊥ CB // Учитывая, что CB касается окружности O, касательная линия перпендикулярна радиусу
(6) m∠OCB = 90 ° // Определение перпендикулярной линии
(7) m∠ABC = 90 ° // Все внутренние углы квадрата прямые
(8 ) OC || AB // Теорема об обратных последовательных внутренних углах
(9) OC = OA // Все радиусы окружности равны
(10) OCBA — параллелограмм // (4), (8), определение параллелограмма
(11) BA = OC = r // противоположные стороны параллелограмма равны

И аналогично

(12) OEDA — параллелограмм
(13) AD = OE = r // противоположные стороны параллелограмма равны
(14) | BD | = | BA | + | AD | = r + r = 2r

Хорошо, теперь, когда мы это сделали, остальное очень просто.Площадь квадрата равна квадрату длины стороны, поэтому она равна 4r 2 . Периметр в 4 раза больше длины стороны, поэтому он равен 4 ребрам. А длину диагонали можно вычислить по теореме Пифагора, и она равна 2r√2.

Теперь давайте сделаем обратное, найдя свойства вписанного круга по длине стороны квадрата.

Задача 2

В квадрат вписан круг со стороной, равной «а». Найдите формулы для радиуса, диаметра, длины окружности и площади круга через букву «а».

Как мы показали выше, радиус круга равен половине длины стороны квадрата, поэтому r = a / 2. Диаметр в два раза больше радиуса, поэтому d = a. Длина окружности равна d · π, поэтому C = πa. Наконец, площадь равна π · r 2 , поэтому A = π · a 2 /4.

Этот тип проблем с вписанной формой часто имеет компонент, заключающийся в нахождении области между формами, которая является неправильной, поэтому давайте рассмотрим пример.

Задача 3

В квадрат вписан круг со стороной 10 единиц.Найдите область заштрихованной области:

Стратегия

Ключ к решению этого типа задач — найти области правильной формы. Затем выразите заштрихованную область как разницу между ними. В этом случае мы легко можем найти площадь круга и квадрата.

Разница между ними в четырех углах, образованных двумя краями квадрата и дугой, составляющей четверть круга. Из-за симметрии все эти формы имеют одинаковую площадь. Таким образом, заштрихованная область составляет половину разницы между площадями круга и квадрата.

Решение

A квадрат = a · a = 10 · 10 = 100
A круг = π · a 2 /4 = π · 10 2 /4 = 25π
A заштрихованный = (Квадрат -A круг ) / 2 = (100-25π) /2=12,5 (4-π)

Решатель задач геометрии — трапеция

Они дают следы, некоторые проблемы могут быть решены автоматически, числовые значения не имеют значения в различных примерах.

Трасса 1

Равнобедренная трапеция имеет высоту 20 м, большее основание 80 м, меньшее основание 50 м.Рассчитайте периметр и площадь трапеции.

Колея 2

Равнобедренная трапеция имеет наклонную сторону 20 см; имеет основание большее 80 см, имеет меньшее основание 50 см. Рассчитайте периметр.

Трасса 3

Прямоугольная трапеция имеет высоту 40 м, основание большее 80 м, меньшее основание 50 м. Рассчитайте периметр и площадь трапеции.

Трасса 4

Равнобедренная трапеция с основанием больше 80 см, имеет меньшее основание 50 см, имеет площадь 1300 см.Рассчитайте высоту трапеции.

Колея 5

Прямоугольник трапеции имеет площадь 1500 см; имеет высоту 30 см. Вычисляет сумму двух оснований.

Колея 6

Равнобедренная трапеция имеет площадь 1500 см; имеет высоту 30 см. Вычисляет сумму двух оснований.

Колея 7

Равнобедренная трапеция имеет периметр 150 см; имеет основание больше 50 см; имеет меньшую базу 30 см.Рассчитайте длину скошенной стороны.

Направляющая 8

Равнобедренная трапеция имеет периметр 150 см, меньшее основание 30 см, наклонную сторону 35 см. Рассчитайте длину более длинного основания.

Направляющая 9

Равнобедренная трапеция имеет периметр 150 см, основание больше 50 см, наклонную сторону 35 см. Рассчитайте длину более короткого основания.

Колея 10

Прямоугольная трапеция имеет основание больше 50 см, имеет меньшее основание 30 см; имеет наклонную сторону 35 см.Рассчитайте периметр и площадь.

Колея 11

Прямоугольник трапеции имеет периметр 180 см; имеет основание больше 60 см, имеет наклонную сторону 50 см; имеет высоту 40 см. Рассчитайте длину более короткого основания.

Колея 12

Прямоугольник трапеции имеет периметр 180 см; имеет меньшую базу 30 см; имеет косую сторону 50 см; имеет высоту 40 см. Рассчитайте длину более длинного основания.

Колея 13

Прямоугольник трапеции имеет периметр 180 см; имеет меньшую базу 30 см; имеет высоту 40 см; имеет базу больше 60 см.Рассчитайте длину скошенной стороны.

Колея 14

Прямоугольник трапеции имеет периметр 180 см; имеет меньшую базу 30 см; имеет косую сторону 50 см; имеет базу больше 60 см. Рассчитывает длину высоты.

Колея 15

Равнобедренная трапеция имеет основание больше 20 см, наклонную сторону 5 см; имеет высоту 4 см. Рассчитайте меньшую базу.

Колея 16

Равнобедренная трапеция имеет меньшее основание 14 см; имеет скошенную сторону 5 см; имеет высоту 4 см.Вычисляет большую базу.

Колея 17

Равнобедренная трапеция имеет основание больше 20 см, наклонную сторону 5 см; имеет выступ скошенной стороны на большее основание 3 см. Рассчитайте периметр.

Колея 18

Равнобедренный треугольник имеет меньшее основание 14 см; имеет наклонную сторону 5 см. Имеет экранирование наклонной стороны на большем основании 3 см. Рассчитайте периметр.

Трасса 19

Равнобедренная трапеция имеет площадь 2400 см, высоту 40 см, основы составляют треть от другой.Определите периметр.

Дорожка 20

Трапеция образована квадратом и треугольником. Учитывая, что площадь треугольника составляет 6 см, а разница между основаниями трапеции составляет 4 см, вычислите площадь трапеции.

Колея 21

Равнобедренная трапеция имеет наклонную сторону 20 см; имеет основание больше 90 см, имеет меньшее основание, равное 2/3 большего основания. Рассчитайте периметр.

Колея 22

Прямоугольная трапеция эквивалентна 1/4 квадрата с периметром 160 см.Учитывая, что высота трапеции составляет 20 см и 6 см, вычислите площадь прямоугольника, размеры которого совпадают с размерами оснований трапеции.

Направляющая 23

Прямоугольник в форме трапеции, описанный по кругу, длина скошенной стороны составляет 40 см, а высота равна 3/5 наклонной стороны. Рассчитайте периметр и площадь трапеции.

Дорожка 24

Площадь трапециевидного прямоугольника составляет 2250 см.Зная, что разница размеров проекции наклонной стороны на большее основание и высоты составляет 15 см, а их соотношение составляет 3/4, рассчитайте периметр трапеции.

Трасса 25

Периметр равнобедренной трапеции 250 см, высота 30 см, меньшее основание на 4/7 от большего, равного наклонной стороне. Вычислите площадь трапеции.

Колея 26

Большая база прямоугольной формы трапеции со скошенной стороной под углом 45; зная, что основания 25 см и 15 см, вычисляет площадь трапеции.

Трасса 27

Равнобедренная трапеция ABCD образована тремя равнобедренными равнобедренными треугольниками, периметр каждого из которых равен 170 см, а наклонная сторона составляет 6/5 основания. Рассчитайте периметр трапеции.

Дорожка 28

Равнобедренная трапеция ABCD имеет площадь 900 см. Основание AB является двойным, его высота составляет 20 см. Определите площадь треугольника ACD

Track 29

В равнобедренной трапеции площадь равна 1032 см, а два основания имеют размер 61 см и 25 см соответственно.Вычислите меру высоты и периметра.

Колея 30

В прямоугольной трапеции с наклонной стороной образует большое основание под широким углом 30. Две базы размером 50 см и 30 см соответственно определяют периметр и площадь трапеции.

Дорожка 31

В равнобедренной трапеции сумма и разница размеров двух оснований составляет соответственно 74 см и 14 см. Вычисляет площадь и периметр трапеции, зная, что наклонная сторона равна 25 см.

Колея 32

Периметр равнобедренной трапеции 176 см. Зная, что меньшее основание составляет 4/3 наклонной стороны, а большее основание составляет 19/10 меньшего основания, вычисляется площадь трапеции.

Трасса 33

Каждая из наклонных сторон равнобедренной трапеции составляет треть меньшего основания. Зная, что периметр равен 230 см, а длина большего основания 105 см, вычисляется размер меньшего основания и площадь трапеции.

Колея 34

В прямоугольной трапеции нижняя диагональ перпендикулярна наклонной стороне. Зная, что эта диагональная линия и наклонная сторона 24 см и 18 см соответственно, найдите периметр и площадь трапеции.

Колея 35

В прямоугольной трапеции с наклонной стороной образует большое основание под широким углом 30. Вычислите периметр трапеции, зная, что высота равна 11,56 см, а площадь равна 462.42 см.

Направляющая 36

В трапеции главное основание и вспомогательное основание имеют длину 55 см и 30 см, а периметр — 140 см. Определяет длину наклонных сторон, зная, что одна составляет 6/5 другой.

Колея 37

Разница между основаниями равнобедренной трапеции составляет 30 см, меньшее основание — 5/8 большего основания, периметр — 180 см. Рассчитывает размер наклонных сторон.

Направляющая 38

Из равнобедренной трапеции вы знаете, что: а) высота составляет 20 см.б) разница между двумя базами 30 см. в) основание больше 80 см. Рассчитайте периметр и площадь трапеции.

Колея 39

Периметр трапеции, имеющей высоту 34,60 см, составляет 203,49 см. Вычислите площадь трапеции, зная, что наклонные стороны образуют с большим основанием острые углы шириной 45 и 60.

Дорожка 40

Площадь трапециевидного прямоугольника составляет 1080 квадратных сантиметров, а высота — 24 см.Рассчитайте размеры двух оснований, зная, что периметр равен 140 см.

Колея 41

Периметр равнобедренной трапеции составляет 152 см, а длина скошенной стороны — 26 см. Вычислите высоту и площадь трапеции, зная, что меньшее основание имеет длину 40 см.

Направляющая 42

В прямоугольной трапеции основное основание, меньшее основание и высота имеют длину соответственно 60 см, 50 см и 24 см. Вычисляет площадь и периметр трапеции.

Трасса 43

Вычислите площадь трапеции, у которой большее основание составляет 8/5 меньшего основания, что, в свою очередь, равно высоте, составляющей 50 см.

Трасса 44

Сумма оснований трапеции 80 см, основание 5/3 другого, высота 2/3 вспомогательного основания. Вычислите размер каждой диагонали ромба, эквивалентного трапеции, зная, что одна диагональ равна 25/16 другой.

Трасса 45

Трапеция образована квадратом со стороной 48 см и двумя треугольниками, катет которых совпадает с одной из двух противоположных сторон квадрата.Гипотенуза двух треугольников составляет 60 см и 50 см соответственно. Рассчитайте периметр и площадь трапеции.

Колея 46

Разносторонняя трапеция имеет периметр 180 см; вычисляет все стороны, зная, что AB = 8/5 DC, DC — AB = 30 см, AD = 2/5 DC.

Дорожка 47

У равнобедренной трапеции ABCD основание CD составляет 15/22 большего основания, наклонные стороны превышают 7 см 3/5 меньшего основания, периметр составляет 124 см. Какой район?

Направляющая 48

Большая основа, высота и наклонная сторона прямоугольника до трапеции соответственно размером 80 см, 48 см и 50 см.Рассчитайте периметр и площадь трапеции.

Колея 49

Окружность имеет радиус 50 см; две параллельные хорды AB и CD расположены на противоположных частях относительно центра и имеют размер соответственно 96 см и 28 см. Вычисляет площадь и периметр трапеции, в основе которой лежат две хорды.

Трасса 50

Равнобедренная трапеция имеет высоту 20 м, основание больше 80 м, меньшее основание 50 м.Вычислите радиус окружности, описанной трапецией.

Трасса 51

Трапеция имеет основания для диаметра окружности длиной 50 см и параллельную ей веревку длиной 30 см. Рассчитайте периметр и площадь трапеции.

Дорожка 52

В круге с радиусом 50 см сделайте две параллельные хорды, расположенные на противоположных сторонах относительно центра и на расстоянии 14 см и 48 см от него соответственно. Вычисляет площадь и периметр трапеции, у которой есть основания для двух струн.

Колея 53

Прямоугольник и равнобедренная трапеция равны по высоте, периметр прямоугольника 140 см, разница размеров прямоугольника между ними 30 см, наклонная сторона трапеции 25 см. Вычислить:
размер оснований прямоугольника;
протяженность оснований трапеции;
площадь трапеции и прямоугольника;
периметр трапеции.

Направляющая 54

Прямоугольник в форме трапеции имеет высоту 24 см, а основания составляют 5/6 от другого.Вычислите площадь круга, радиус которого соответствует наклонной стороне, зная, что площадь трапеции составляет 1320 см.

Направляющая 55

Равнобедренная трапеция имеет высоту 24 см и основание соответственно 28 и 8 см. Вычислите периметр, площадь и две диагонали.

Направляющая 56

Прямоугольная трапеция имеет высоту 24 см и основания соответственно 18 и 10 см. Вычислите периметр, площадь и две диагонали.

Колея 57

Прямоугольная трапеция, сумма оснований 110 см, высота 24 см. Рассчитывает площадь.

Трасса 58

Равнобедренная трапеция, сумма оснований 110 см, высота 24 см. Рассчитывает площадь.

Трасса 59

Равнобедренная трапеция имеет площадь 336 см, сумма оснований 28 см. Рассчитайте высоту.

Дорожка 60

Прямоугольник трапеции имеет площадь 336 см, сумма оснований 28 см.Рассчитайте высоту.

Колея 61

Равнобедренная трапеция имеет большее основание 50 см, меньшее основание 30 см. Рассчитайте высоту, зная, что наклонная сторона равна 26 см.

Колея 62

Равнобедренная трапеция имеет большее основание 72 см, меньшее основание 8 см. Рассчитайте радиус круга, вписанного в трапецию, зная, что высота 24 см.

Колея 63

Равнобедренная трапеция имеет большее основание 72 см, меньшее основание 8 см.Рассчитайте диаметр круга, вписанного в трапецию, зная, что высота 24 см.

Колея 64

Прямоугольная трапеция имеет большее основание 48 см, меньшее основание 16 см. Рассчитайте радиус круга, вписанного в трапецию, зная, что высота 24 см.

Колея 65

Прямоугольная трапеция имеет большее основание 48 см, меньшее основание 16 см. Рассчитайте диаметр круга, вписанного в трапецию, зная, что высота 24 см.

Колея 66

Равнобедренная трапеция имеет основание большее 80 см, меньшее основание 50 см. Рассчитайте диаметр круга на трапеции, зная, что высота составляет 48,75 дюйма.

Колея 67

Равнобедренная трапеция имеет большее основание 80 см, меньшее основание 50 см. Вычислите длину круга, окружающего трапецию, зная, что высота составляет 48,75 дюйма.

Колея 68

Равнобедренная трапеция имеет основание большее 80 см, меньшее основание 50 см.Вычислите площадь описанной круговой трапеции, зная, что высота составляет 48,75 дюйма.

Колея 69

Равнобедренная трапеция имеет большее основание 80 см, меньшее основание 50 см. Вычислите:
площадь круга, описанного трапецией, зная, что высота составляет 48,75 дюйма;
расстояние от центра хорды AB;
расстояние от центра каната CD;
длина дуги АВ;
длина дуги CD;
центральный угол АОБ;
центральный угол COD;
площадь кругового сектора AOB; площадь кругового сектора наложенным платежом.

Направляющая 70

Прямоугольник в форме трапеции имеет высоту 24 см, а основания составляют 5/6 от другого. Вычислите площадь круга, радиус которого соответствует большему основанию, зная, что площадь трапеции составляет 1320 см.

Направляющая 71

Прямоугольник в форме трапеции имеет высоту 24 см, а основания составляют 5/6 от другого. Вычислите площадь круга, радиус которого соответствует диагонали, зная, что площадь трапеции составляет 1320 см.

Направляющая 72

Прямоугольная трапеция имеет высоту 24 см и основание соответственно 60 и 50 см. Вычислите радиус окружности, соответствующей трапеции.

Направляющая 73

Прямоугольник в форме трапеции имеет площадь 1320 см и основания соответственно 60 и 50 см. Вычислите площадь круга, радиус которого соответствует высоте трапеции.

Направляющая 74

Прямоугольник в форме трапеции имеет площадь 1320 см и основания соответственно 60 см и 50 см.Вычислите площадь круга, диаметр которого соответствует диагонали трапеции.

Направляющая 75

Прямоугольник трапеции имеет периметр 160 см, меньшее основание 50 см, высоту 24 см и наклонную сторону 26 см. Вычислите площадь круга, диаметр которого соответствует основанию трапеции.

Дорожка 76

Прямоугольник трапеции имеет основное основание 60 см, меньшее основание 50 см, высоту 24 см. Вычислите площадь круга, окружность которого изопериметрическая трапеция.

Направляющая 77

Прямоугольник в форме трапеции имеет высоту 24 см, а основания составляют 5/6 от другого. Вычислите площадь круга, радиус которого соответствует меньшему основанию, зная, что площадь трапеции составляет 1320 см.

Колея 78

Равнобедренная трапеция имеет высоту 24 см, а основания составляют одну из 5/7 другой. Вычислите площадь круга, радиус которого соответствует меньшему основанию, зная, что площадь трапеции составляет 1440 см.

Направляющая 79

Равнобедренная трапеция имеет высоту 24 см, а основания составляют одну из 5/7 другой. Вычислите площадь круга, радиус которого соответствует большему основанию, зная, что площадь трапеции составляет 1440 см.

Направляющая 80

Прямоугольник в форме трапеции имеет высоту 24 см, а основания составляют 5/6 от другого. Вычислите площадь круга, радиус которого соответствует малой диагонали, зная, что площадь трапеции составляет 1320 см.

Трасса 81

Равнобедренная трапеция имеет высоту 10 см и основания, которые являются одним из 7/17 другого. Вычислите площадь круга, радиус которого равен диагонали, зная, что площадь трапеции составляет 240 см.

Дорожка 82

Равнобедренная трапеция имеет высоту 24 см и основание соответственно 60 и 50 см. Вычислите радиус окружности, соответствующей трапеции.

Трасса 83

Равнобедренная трапеция имеет площадь 1320 см и основания соответственно 60 и 50 см.Вычислите площадь круга, радиус которого соответствует высоте трапеции.

Направляющая 84

Прямоугольник в форме трапеции имеет площадь 360 см и основания соответственно 10 см и 20 см. Вычислите площадь круга, диаметр которого меньше диагонали трапеции.

Направляющая 85

Равнобедренная трапеция имеет площадь 240 см и основания соответственно 34 см и 14 см. Вычислите площадь круга, диаметр которого соответствует диагонали трапеции.

Направляющая 86

Равнобедренная трапеция имеет периметр 186 см, меньшее основание 50 см, высоту 24 см и наклонную сторону 26 см. Вычислите площадь круга, диаметр которого соответствует основанию трапеции.

Трасса 87

Равнобедренная трапеция имеет большое основание 70 см, меньшее основание 50 см, высоту 24 см. Вычислите площадь круга, окружность которого изопериметрическая трапеция.

Track 88

Рассчитайте площадь и периметр разносторонней трапеции, зная, что большее основание составляет 80 см, а меньшее основание — 50 см, а наклонные стороны имеют длину соответственно 30 см и 20 см.

Направляющая 89

Равнобедренная трапеция имеет меньшее основание 8,4 см и выступ скошенной стороны на большем основании 10,8 см. Зная, что диагональ перпендикулярна наклонной, рассчитайте периметр и площадь трапеции.

Направляющая 90

Прямоугольная трапеция имеет меньшее основание 19,2 см и выступ скошенной стороны на большем основании 10,8 см. Зная, что нижняя диагональ перпендикулярна наклонной, рассчитайте периметр и площадь трапеции.

Направляющая 91

Прямоугольник в форме трапеции имеет наклонную сторону 18 см и проекцию наклонной стороны на большее основание 10,8 см. Зная, что нижняя диагональ перпендикулярна наклонной, рассчитайте периметр и площадь трапеции.

Направляющая 92

Равнобедренная трапеция имеет наклонную сторону 18 см и выступание наклонной стороны на большее основание 10,8 см. Зная, что диагональ перпендикулярна наклонной, рассчитайте периметр и площадь трапеции.

Колея 93

Равнобедренная трапеция имеет основание 30 см и выступ скошенной стороны на большее основание 10,8 см. Зная, что диагональ перпендикулярна наклонной, рассчитайте периметр и площадь трапеции.

Направляющая 94

Прямоугольная трапеция имеет основание 30 см и выступ скошенной стороны на большее основание 10,8 см. Зная, что нижняя диагональ перпендикулярна наклонной, рассчитайте периметр и площадь трапеции.

Направляющая 95

Прямоугольная трапеция имеет основание 30 см и наклонную сторону 18 см. Зная, что нижняя диагональ перпендикулярна наклонной, рассчитайте периметр и площадь трапеции.

Колея 96

Равнобедренная трапеция имеет основание 30 см и наклонную сторону 18 см. Зная, что диагональ перпендикулярна наклонной, рассчитайте периметр и площадь трапеции.

Колея 97

Периметр равнобедренной трапеции составляет 204 см, а каждая наклонная сторона — 30 см.Вычислите площадь и протяженность оснований, зная, что большее — это 5/3 второстепенного.

Колея 98

Основание большей формы равнобедренной трапеции с наклонной стороной под углом 45; зная, что основания 35 см и 15 см, вычисляет площадь и периметр трапеции.

***********

Площадь трапеции — объяснение и примеры

Напомним, трапеция , также называемая трапецией , , представляет собой четырехугольник с одной парой параллельных сторон и другой парой непараллельных сторон.Подобно квадрату и прямоугольнику, трапеция также плоская. Следовательно, это 2D.

В трапеции параллельные стороны называются основаниями, а пара непараллельных сторон — ногами. Расстояние по перпендикуляру между двумя параллельными сторонами трапеции называется высотой трапеции.

Проще говоря, основание и высота трапеции перпендикулярны друг другу.

Трапеции могут быть как правыми трапециями (два угла 90 градусов), так и равнобедренными трапециями (две стороны одинаковой длины).Но иметь один прямой угол невозможно, потому что у него есть пара параллельных сторон, которые ограничивают его, образуя два прямых угла одновременно.

Из этой статьи вы узнаете:

  • Как найти площадь трапеции,
  • Как получить формулу площади трапеции и
  • Как найти площадь трапеции с помощью трапеции формула площади.

Как найти площадь трапеции?

Площадь трапеции — это область, покрытая трапецией в двухмерной плоскости.Это пространство, заключенное в 2D-геометрии.

На рисунке выше трапеция состоит из двух треугольников и одного прямоугольника. Следовательно, мы можем вычислить площадь трапеции, взяв сумму площадей двух треугольников и одного прямоугольника.

Вывести формулу площади трапеции

Площадь трапеции ADEF = (½ x AB x FB ) + ( BC x FB ) + (½ x CD x EC )

= ( ¹ / ₂ × AB × h ) + ( BC × h ) + (¹ / ₂ × CD × h )

= ¹ / ₂ × h × ( AB + 2 BC + CD )

= ¹ / ₂ × h × ( FE + AD )

Но, FE = b 1 и AB = b 2

Следовательно, Площадь a трапеция ADEF ,

= ¹ / × h × (b 1 + b 2 ) ……………….(Это формула площади трапеции)

Формула площади трапеции

Согласно формуле площади трапеции, площадь трапеции равна половине произведения высоты и суммы двух оснований.

Площадь = ½ x (сумма параллельных сторон) x (расстояние по перпендикуляру между параллельными сторонами).

Площадь = ½ h (b 1 + b 2 )

Где h — высота, а b 1, и b 2 — параллельные стороны трапеции.

Как определить площадь неправильной трапеции?

Неправильная трапеция имеет непараллельные стороны неравной длины. Чтобы найти его площадь, вам нужно найти сумму оснований и умножить ее на половину высоты.

В вопросе иногда не хватает высоты, что можно найти с помощью теоремы Пифагора.

Как найти периметр трапеции?

Вы знаете, что периметр — это сумма всех длин внешнего края фигуры.Следовательно, периметр трапеции — это сумма длин всех 4 сторон.

Пример 1

Рассчитайте площадь трапеции, высота которой составляет 5 см, а основания — 14 см и 10 см.

Решение

Пусть b 1 = 14 см и b 2 = 10 см

Площадь трапеции = ½ h (b 1 + b 2 ) см 2

= ½ x 5 (14 + 10) см 2

= ½ x 5 x 24 см 2

= 60 см 2

Пример 2

Найдите площадь трапеции с высота 30 мм, а основания 60 мм и 40 мм.

Решение

Площадь трапеции = ½ h (b 1 + b 2 ) кв. Единиц

= ½ x 30 x (60 + 40) мм 2

= ½ x 30 x 100 мм 2

= 1500 мм 2

Пример 3

Площадь трапеции составляет 322 квадратных дюйма. Если длины двух параллельных сторон трапеции составляют 19 дюймов и 27 дюймов, найдите высоту трапеции.

Решение

Площадь трапеции = ½ часа (b 1 + b 2 ) кв.единицы.

⇒ 322 квадратных дюйма = ½ x в x (19 + 27) кв. дюймов

⇒ 322 квадратных дюйма = ½ x h x 46 кв. дюймы

⇒ 322 = 23h

Разделите обе стороны на 23.

h = 14

Итак, высота трапеции составляет 14 дюймов.

Пример 4

Учитывая, что высота трапеции составляет 16 м, а длина одного основания — 25 м. Рассчитайте размер другого основания трапеции, если его площадь составляет 352 м 2 .

Решение

Пусть b 1 = 25 м

Площадь трапеции = ½ h (b 1 + b 2 ) кв. Единиц

⇒ 352 м 2 = ½ x 16 м x (25 m + b 2 ) квадратных единиц

⇒ 352 = 8 x (25 + b 2 )

⇒ 352 = 200 + 8b 2

Вычтем 200 с обеих сторон.

⇒ 152 = 8b 2

Разделите обе части на 8, чтобы получить;

b 2 = 19

Следовательно, длина другого основания трапеции составляет 19 м.

Пример 5

Рассчитайте площадь трапеции, показанной ниже.

Решение

Поскольку стороны (непараллельные стороны) трапеции равны, то высоту трапеции можно рассчитать следующим образом;

Чтобы получить основание двух треугольников, вычтите 15 см из 27 см и разделите на 2.

⇒ (27-15) / 2 см

⇒ 12/2 см = 6 см

12 2 = h 2 + 6 2 По теореме Пифагора высота (h) рассчитывается как;

144 = h 2 + 36.

Вычтем 36 с обеих сторон.

h 2 = 108.

h = 10,39 см.

Следовательно, высота трапеции 10,39 см.

Теперь вычислите площадь трапеции.

Площадь трапеции = ½ ч (b 1 + b 2 ) кв. единицы.

= ½ x 10,39 x (27 + 15) см 2 .

= ½ x 10,39 x 42 см 2 .

= 218,19 см 2 .

Пример 6

Одно основание трапеции на 10 м больше высоты.Если другое основание составляет 18 м, а площадь трапеции равна 480 м 2 , найдите высоту и основание трапеции.

Решение

Пусть высота = x

Другая база равна 10 м, чем высота = x + 10.

Площадь трапеции = ½ h (b 1 + b 2 ) Кв. единицы.

Путем подстановки

480 = ½ * x * (x + 10 + 18)

480 = ½ * x * (x + 28)

Удалите скобки с помощью свойства распределения.

480 = ½x 2 + 14x

Умножьте каждый член на 2.

960 = x 2 + 28x

x 2 + 28x — 960 = 0

Решите квадратное уравнение, чтобы получить;

x = — 48 или x = 20

Подставьте положительное значение x в уравнение высоты и основания.

Высота: x = 20 м.

Другая база = x + 10 = 10 + 20 = 30 м.

Следовательно, другое основание и высота трапеции равны 30 и 20 м соответственно.

Практические задачи
  1. Найдите площадь трапеции, у которой есть параллельные основания длиной 9 единиц и 12 единиц, а высота — 15 единиц.
  2. Для трапециевидной фигуры сумма параллельных оснований составляет 25 м, а высота — 10 м. Определите площадь этой фигуры.
  3. Рассмотрим трапецию площадью 112b квадратных футов, где b — более короткая базовая длина. Какова высота этой трапеции, если длины двух параллельных оснований таковы, что одно основание в два раза больше другого?

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Полигоны — Площадь многоугольников и окружностей

Площадь всегда положительное число.Он представляет собой количество квадратных единиц, необходимых для покрытия фигура, например многоугольник или круг. Обычно мы используем формулы для расчета области.

Площадь: прямоугольник | квадрат | параллелограмм | треугольник | трапеция | круг

Площадь прямоугольника
Прямоугольник — это хорошая и простая форма для начала. Площадь прямоугольника равна произведению длины основания на длину и высоту.Высота — это отрезок, перпендикулярный основанию. Для прямоугольника основание и высоту часто называют «длиной» и «шириной», а иногда высота называется «высотой».

Давайте найдем площадь этого прямоугольника с основанием 4 фута и высотой 6 футов. Используя формулу, мы умножаем 4 фута на 6 футов, чтобы получить 24 квадратных метра. ноги.

Площадь Квадрата
Квадрат — это особый прямоугольник, площадь которого можно определить с помощью прямоугольника. формула.Однако, поскольку основание и высота — это всегда одно и то же число для квадрат, мы их обычно называем «сторонами». Площадь квадрата равна длина одной стороны в квадрате.

Если длина одной стороны этого квадрата 4 сантиметра, какова площадь? Подставляем в формулу значение «4 см» и находим площадь равной 16 квадратных сантиметров.

Площадь параллелограмма
Чтобы найти площадь параллелограмма, мы можем использовать ту же формулу, что и мы. для площади прямоугольника, умножив длину основания на длина высоты.

Давайте найдем площадь параллелограмма с основанием 23 см и высотой 7 см. Если подставляем значения в формулу, находим, что параллелограмм имеет площадь 161 квадратный сантиметр.

Площадь треугольника
А как насчет треугольников? Этот набросок четырехугольника показывает нам, что одна диагональ разделяет внутреннее пространство на две равные части.

The Следовательно, площадь треугольника составляет половину площади четырехугольника, который это базовая длина, умноженная на высоту.Какова площадь треугольника с длина основания 23 фута и высота 16 футов? Подставьте значения в формула, и мы находим площадь 184 квадратных фута.

Площадь трапеции
Чтобы найти площадь трапеции, мы можем нарисовать диагональ так, чтобы трапеция была разделен на два треугольника.

Вы видно, что площадь трапеции DEFG равна сумме площадей двух треугольников EFG и DEG.

Площадь треугольника EFG = & frac12bh = & frac12 (base1) h
Площадь треугольника DEG = & frac12bh = & frac12 (base2) h

Площадь трапеции DEFG = & frac12 (base1) h + & frac12 (base2) h. Поскольку высота треугольника EFG и DEG одинаковы, мы можем написать формулу для площади трапеции (в любом случае правильно):

Если трапеция DEFG имеет высоту 8 дюймов, основание DG составляет 12 дюймов, а базовое EF — размеры. 7 дюймов, какова площадь трапеции? Если подставить значения в по формуле, мы находим площадь 76 квадратных дюймов.

Площадь Круга
Наконец, мы посмотрим, как найти площадь круга. Чтобы помочь нам понять площадь круга лучше, сначала нарисуем квадрат, и впишем в него круг, что означает нарисовать круг внутри квадрата так, чтобы круг только касался каждую сторону квадрата.

ср можно найти площадь этого квадрата, сначала найдя площадь четырех меньших квадраты — каждый со сторонами, равными r , радиус круга — и сложив их вместе.

Обратите внимание, что стороны квадрата вдвое длиннее радиуса круга. Ты также можно найти площадь квадрата, умножив сторону на сторону, или 2r x 2r, что также равно 4r 2 .

Вы можете увидеть что площадь круга должна быть меньше площади четырех квадратов. Но насколько меньше? Мы могли бы сделать обоснованное предположение и сказать, что площадь круг может быть немного больше трех меньших квадратов.

Фактическое число мы ищем (от 3 до 4) специальный номер, называемый пи, представленный греческой буквой. Пи примерно равно 3,14.

Символ вы см. здесь означает «примерно равно». Пи на самом деле имеет бесконечное число десятичных знаков, но 3,14 обычно достаточно близко для наших расчетных целей. Пи — это отношение диаметра окружности к окружности.

The Окончательная формула для площади круга показана здесь.

Допустим, ваш Циферблат часов имеет диаметр 1 дюйм, поэтому его радиус равен или 0,5. Мы можем найти его площадь такая:

назад наверх

.