Преобразование иррациональных числовых выражений: Преобразование числовых и буквенных иррациональных выражений

Мы имеем = 25, = 16, = 0,01,

и потому = 25·16·0,01= 4.

Аналогично доказывается, что = (2)

2.5 Преобразование выражений

При преобразовании выражении, содержащих квадратные корни, оказывается полезной следующая формула

= ,

где А² В (в обеих частях равенства одновременно берутся знаки “ плюс “ и “ минус “). Чтобы доказать это равенство, заметим, во-первых, что и левая, и правая его части являются при А 0, В 0, А² – В 0 неотрицательными числами. Возведем теперь обе части равенства в квадрат. В левой части имеем А , в правой части по формуле квадрата суммы или разности получаем

2 + =

= А 2 = А 2 =

= А 2 = А 2 = А .

Таким образом, квадраты обеих частей равенства оказались одинаковыми, а поскольку эти части – неотрицательные числа, то равенство доказано.

Пример 1. Упростим выражение .

1-й способ. В одном случае имеем А = 5, В = 21, А² – В =

= 5² – 21 = 4, и поэтому по формуле

= — = — .

2-й способ. Приведем подкоренное выражение к полному квадрату:

5 — = = = = =

= . Поэтому = = .

Пример 2. Упростим выражение

1-й способ:

= + = + = .

2-й способ: = =

===

Поэтому = .

Пример 3. Доказать, что = 10.

= 28 – 10= 25 – 10+3 = 5² – 10= .

Поэтому ² = 5 – .

= 28 + 10= 25 + 10 + 3 = .

Поэтому = 5 + =

= 5 – = 5 + 5 = 10.

2.6 Правила извлечения квадратного корня из натурального числа

Пусть нужно извлечь квадратный корень из натурального числа m. Чтобы найти результат можно воспользоваться следующим правилом:

1. Разобьем число mна грани (справа налево, начиная с последней цифры), включив в каждую грань по две рядом стоящие цифры. При этом следует учесть, что если mсостоит из четного числа цифр, то в первой грани (слева) будет две цифры; если же число m состоит из нечетного числа цифр, то первая грань состоит из одной цифры. Количество граней показывает количество цифр результата.

2. Подбираем наибольшую цифру, такую, что ее квадрат не превосходит числа, находящегося в первой грани; эта цифра – первая цифра результата.

3. Возведем первую цифру результата в квадрат, вычтем полученное число из первой грани, припишем к найденной разности справа вторую грань. Получится некоторое число A. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число a. Теперь подберем такую наибольшую цифру x, чтобы произведение числа ax на x не превосходило числаA. Цифра x – вторая цифра результата.

4. Произведение числа ax на xвычтем из числа A, припишем к данной разности справа третью грань, получится некоторое число В.84 – их три, значит, в результате должно получиться трехзначное число. Первая цифра результата 3, так как 3²2>13. Вычтя 9 из 13, получим 4. Приписав к 4 следующую грань, получим A =483. Удвоив имеющуюся часть результата, то есть число 3, получим a=6. Подберем теперь такую цифру х, чтобы произведение двузначного числа ax на x было меньше числа 483. Такой цифрой будет 7, так как — это меньше 483, тогда как — это больше 483. Итак, вторая цифра результата 7. Вычтя 469 из 483, получим 14. Приписав к этому числу справа последнюю грань, получим В = 1484. Удвоив имеющуюся часть результата, то есть число 37, получим b=74. Подберем теперь такую наибольшую цифру у, чтобы произведение трехзначного числа bу на у не превосходило 1484. Такой цифрой будет 2, так как . Цифра 2 – последняя цифра результата. В ответе получили 372.

   =372

   3²=9

   _*67 _—483

   7 469

   _*742 _—1484

   2 1484

   0

   Пример 2. Вычислить . =543 52=25 *104 —448 4 416 *1083 —3249 3 3249 0	Пример 3. Вычислить . =123 12=1 *22 —51 2 44 * 243—729 3 729 0
   Пример 4. Вычислить . =1264 12=1 *22 —59 2 44 *246 —1576 6 1476 *2524 —10096 4 10096 0	Пример 5. Вычислить . =3530 32=9 *65 —346 5 325 * 703 —2109 3 2109 0

   Если корень не извлекается, то после последней цифры заданного числа ставят запятую и образуют дальнейшие грани, каждая из которых имеет вид 00. В этом случае процесс извлечения корня бесконечен; он прекращается, когда достигается требуемая точность

   Пример 1. Вычислить с точностью до 0,01.

   =2,645

   4

   _*46 _—300

   6 276

   _*524 _—2400

   4 2096

   _*5285 _—30400

   5 26425

   3975

   . . . . .

   2.7 Сравнение корней

   Для того чтобы сравнить квадратный корень из иррационального числа с квадратным корнем из другого числа или любым другим числом (рациональным, иррациональным, целым или натуральным), необходимо найти его приблизительное значение.

   Пример 1. Сравнить и .

   Выберем за первое приближение для число 2. Тогда следующие приближения вычисляется так:

   = = 2,5 = = 2,45 = = 2,4494

   Итак

   Выберем за первое приближение для число 3. Тогда следующие приближения вычисляется так:

   = = 3,1666 = = 3,1622. Итак

   Окончательно

   Выберем за первое приближение для число 2. Тогда второе приближение вычисляется так: = = 2,25.

   Далее имеем == 2,2361. Итак

   Выберем за первое приближение для число 3. Тогда второе приближение вычисляется так: = = 3,33.

   Далее имеем == 3,316. Итак

   Окончательно

   Ответ =

   Пример 2. Сравнить и 0.

   Решение: 1) 2)

   3) Итак >0

   Пример 3. Сравнить и

   Решение: 1) 2) 3) 4)

   5)

   6)

   >

   Глава 3. Практика решения уравнений содержащих переменную под знаком корня

   3.1 Решение иррациональных уравнений

   Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

   Рассмотрим два метода решения иррациональных уравнений: метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень и метод введения новых переменных.

   Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень состоит в следующем:

   а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду ;

   б) возводят обе части полученного уравнения в n-ю степень:

   ;

   в) учитывая, что , получают уравнениеf(х) = g(х);

   г) решают уравнение и делают проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней. Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.

   Пример 1.

   Решение. Данное уравнение содержит всего один радикал; оставим его в левой части, а все остальные члены уравнения перенесём в правую часть, получим

   =2х-1; возведем обе части в квадрат: х²+5х+1=(2х-1)²,

   х²+5х+1=4х²-4х+1; после переноса всех членов в левую часть и приведения подобных членов имеем х(х-3)=0 х₁=0 или х₂=3.

   Проверка. Если х₁=0, то + 1 — 2∙0≠0. Следовательно, первый корень х=0 не удовлетворяет уравнению. Второй корень х=3 удовлетворяет данному уравнению. Ответ: 3.

   Пример 2. =

   Решение. Возведём обе части в квадрат и получим 2х-3=х-2, откуда х=1. Проверка показывает, что этот корень посторонний (при х=1 обе части уравнения не имеют смысла). Заметим, что проверку можно выполнить так: областью определения уравнения служит луч [2;+∞), и так как 1 не

   = принадлежит данному лучу, то х=1 – посторонний корень.

   Ответ: нет корней.

   Метод введения новой переменной объясним на примере.

   Пример 3. .

   Решение.1) Введем новую переменную , тогда уравнение примет вид:

   . Умножим обе части уравнения на , получим .

   Возведем обе части уравнения в квадрат: . Помножив, обе части уравнения на 4 получим квадратное уравнение: у₁ = 4; у_{2= .}

   2) Так как , то получаем два уравнения: и

   корни уравнений и.

   3) Выполним проверку: пусть и

   . Пусть ( посторонний корень)

   Ответ: 3.

   3.2 Преобразование графика функции в график функции

   Пример 1. Построить график функции , зная .

   1) 2)

   Составим таблицу значений: Составим таблицу значений:

   Х	1	4	16	25	0,01	0,0001
   У	1	0,5	0,25	0,2	10	100

   
   Сравнивая таблицы значений, видим, что при нахождении соответствующих координат для построения второго графика функции увеличивая значения координаты х значения координаты у уменьшаются, а, уменьшая значения координаты х значения координаты у увеличиваются. Таким образом, ветвь параболы преобразуется в ветвь гиперболы.

   Пример 2. Построить график функции , зная график функции

   Пример 3. Построить график функции , зная график функции

   3.3 Два способа решения иррациональных уравнений: аналитический и графический

   Пример 1.

   а)

   Первый способ.

   1) Возведем обе части уравнения в квадрат: . Получим квадратное уравнение:

   2) Выполним проверку: пусть ( посторонний корень)

   Пусть

   Ответ: .

   Второй способ.

   Ответ: .

   б) Составим дробно-рациональное уравнение:

   Первый способ.

   1. Возведем обе части в квадрат: . Приведем дроби к общему знаменателю:

   и

   Ответ:

   Второй способ.

   Ответ:

   Пример 2.

   а)

   1) Возведем обе части уравнения в квадрат:

   D уравнение не имеет корней.

   Ответ: нет корней.

   Второй способ.

   Ответ: нет корней.

   б) Составим дробно-рациональное уравнение:

   .

   Первый способ.

   1. Возведем обе части уравнения в квадрат: Приведем дроби к общему знаменателю и получим: .

   D уравнение не имеет корней

   Ответ: нет корней.

   Второй способ.

   Ответ: нет корней.

   Пример 3.

   а) .

   Первый способ.

   1) Возведем обе части уравнения в квадрат: Приведем дроби к общему знаменателю и получим:

   Ответ:

   Второй способ.

   Ответ:

   б) Составим дробно-рациональное уравнение:

   Первый способ.

   1. Возведем обе части уравнения в квадрат: Приведем дроби к общему знаменателю и получим:

   Ответ:

   Второй способ.

   Ответ:

   Пример 4.

   а)

   Первый способ.

   1) Возведем обе части уравнения в квадрат: Получим квадратное уравнение:

   2) Выполним проверку: пусть 1 = 1.

   Ответ:.

   Второй способ.

   Ответ:.

   б) Составим дробно-рациональное уравнение:

   Первый способ.

   1. Возведем обе части уравнения в квадрат: Приведем дроби к общему знаменателю и получим:

   Ответ:.

   Второй способ.

   Ответ:.

   Выводы

   Настоящая работа посвящена проблеме иррациональности в алгебре. Сопоставлено определение корня разными учеными. Рассмотрены и проанализированы способы извлечения квадратного корня; способы преобразования выражений, содержащих квадратные корни. В работе приведены примеры действий с квадратными корнями и преобразования выражений с ними. Проведено исследование применения иррациональных выражений при решении иррациональных уравнений.

   Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что подобран алгоритм для извлечения квадратного корня из натуральных чисел и из иррациональных чисел.

   Новизна данной работы состоит в том, что исследован графический метод решения иррациональных уравнений с использованием дробно-линейной функции.

   СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

   1. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М., 1982.

   2. Депман И.А. Рассказы о математике. – Л., 1954.

   3. Кордемский Б.А. Великие жизни в математике. – М., 1995.

   4. Колягин Ю.М. Русская школа и математическое образование. – М., 2001.

   5. Леокум А. Скажи мне почему?- М.,1994.

   6. Мордкович А.Г. Алгебра.8 класс.- М., 2002.

   7. Пичурин Л.Ф. За страницами алгебры. – М., 1999.

   8. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – М., 1976.

   9. Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. – М.,1987.

   10. Силкин Б.И. С корнем квадратным сквозь историю. – М., 1971.

   11. Энциклопедия книжного клуба XXI век. – М., 2002.

   Муниципальное общеобразовательное учреждение лицей №8 «Олимпия» Дзержинского района г. Волгограда

   Иррациональная алгебра

   Выполнили: ученики 8 «Б» класса

   Донника Данил

   Ровенко Дарья

   Сеимова Оксана

   Руководитель: учитель математики

   Солодовникова И.В.

   Волгоград 2007 г.

   Иррациональные выражения. Преобразование иррациональных выражений

   Выражения, содержащие корень, который нельзя извлечь, называются иррациональными или радикальными.

   Примеры:

     — иррациональные выражения.

   Сложение и вычитание корней

   При сложении или вычитании иррациональных выражений их пишут одно за другим с сохранением их знаков.

   Примеры:

   В некоторых случаях с помощью преобразования можно сделать иррациональные выражения подобными, то есть, имеющими одинаковые показатели корней и подкоренные числа (или выражения), а затем сделать приведение.

   Примеры:

   Умножение и деление корней

   При умножении иррациональных выражений с одинаковыми показателями корней перемножаются их подкоренные числа или выражения:

   При делении иррациональных выражений с одинаковыми показателями корней подкоренное число или выражение делимого делится на подкоренное число или выражение делителя:

   Примеры:

   Возведение корня в степень

   Чтобы возвести в степень иррациональное выражение, следует возвести в степень подкоренное число или выражение:

   Примеры:

   При возведении    в  n-ю  степень знак корня отбрасывается, так как возведение числа (или выражения) в  n-ю  степень и извлечение из него корня  n-ой  степени — это взаимно сокращающиеся действия:

   Извлечение корня

   Чтобы извлечь корень из иррационального выражения, следует показатели корней перемножить:

   ,  так как 

   Пример.

   С помощью таких преобразований можно упростить извлечение корней  4-й,  6-й,  8-й,  9-й  и т. п. степеней из чисел.

   Примеры:

   Сокращение корней

   Величина иррационального выражения не изменится, если показатель корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же число:

   так как извлечение корня и возведение в степень — это взаимно сокращающиеся действия, если их показатели равны.

   На этом свойстве основано сокращение корней и приведение их к общему показателю.

   Сокращение корней — это деление показателей корня и подкоренного числа (или выражения) на одно и то же число, если оно является общим множителем для всех показателей.

   Примеры:

   Приведение корней к общему показателю

   Приведение корней к общему показателю имеет большое сходство с приведением дробей к общему знаменателю. Рассмотрим два способа:

   1. Показатели корней не имеют общих множителей. В этом случае показатель каждого корня и его подкоренное число (или выражение) умножают на произведение остальных корней.

      Рассмотрим три выражения:

      ,

      Так как у данных показателей нет общего множителя, то просто перемножаем все показатели между собой. Полученный результат и станет общим показателем. После приведения к общему показателю выражения будут иметь следующий вид:

   2. Показатели корней имеют общий множитель. В этом случае надо найти НОК показателей и умножить показатель каждого корня на недостающий множитель.

      Рассмотрим два выражения:

      ,

      НОК (4, 6) = 12,  значит, для первого выражения дополнительным множителем будет  3,  а для второго  2.  После приведения к общему показателю выражения будут иметь следующий вид:

   При умножении и делении иррациональных выражений с разными показателями их приводят к общему показателю, а затем уже умножают или делят их подкоренные числа или выражения.

   Примеры:

   Урок 47. преобразование выражений — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

   Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

   Урок №47. Преобразование выражений.

   Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

   • Преобразование рациональных выражений;
   • Преобразование иррациональных выражений;
   • Преобразование логарифмических выражений.

   Глоссарий по теме

   Алгебраическая сумма — это запись, состоящая из нескольких алгебраических выражений, соединенных знаком «+» или «-».

   Одночлен – это произведение числовых и буквенных множителей, являющихся степенями с натуральными показателями.

   Многочлен – это алгебраическая сумма нескольких одночленов.

   Алгебраическая дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями.

   Степень с натуральным и целым показателем. Степень числа a с натуральным показателем n, большим 1, — это произведение n множителей, равных a , , где a — основание степени, n — показатель степени, – степень.

   Если и n — натуральное число, то ,

   если . то .

   Арифметический корень. Арифметическим корнем натуральной степени из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Обозначается , где a — подкоренное выражение.

   Степень с рациональным показателем. Если n — натуральное число, m — целое число и частное является целым числом, то при справедливо равенство

   Логарифмом положительного числа в по основанию а, где a > 0, a ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить в.

   Основная литература:

   Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4

   Открытые электронные ресурсы:

   Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

   Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

   Теоретический материал для самостоятельного изучения

   1. Выделение полного квадрата или куба. под знаком корня. Например, необходимо упростить выражение:

   Предположим, что под корнем стоит полный квадрат.

   Тогда

   Так как сумма квадратов не может равняться иррациональному числу, то в нашем случае сумма квадратов равна четырнадцати, а удвоенное произведение равно шесть корней из пяти.

   Мы получили систему, которую можно решить методом подстановки

   Решая первое уравнение как биквадратное, получим

   Так как в формуле квадрат суммы переменные a и b равноправны, получаем

   Аналогично

   Итак, заданное выражение

   Аналогично можно выделять полный куб под корнем.

   1. В некоторых случаях выделить полный куб не представляется возможным, тогда можно поступить следующим образом:

   Обозначим указанное выражение буквой А и получим равенство

   возведем обе части равенства в куб.

   Учитывая, что сумму кубических корней равна А, получим

   A = 3

   Таким образом, найдено значение выражения

   Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

   Пример 1.

   Упростить выражение и найти его значение при заданном значении переменной:

   при

   Варианты ответа: 0,2; 4; 0,4; 0,04;

   Решение.

   Обозначим , тогда наше выражение будет иметь вид:

   Вернемся к первоначальной переменной

   Вычислим при заданном значении переменной

   Пример 2. Упростите и вычислите: при a = 125.

   Варианты ответов: 125; 3,2; 6,4; 32; 62,5;

   Решение.

   Найдем значение при заданном значении переменной

   Рациональные и иррациональные числа | Алгебраические выражения

   1.3 Рациональные и иррациональные числа (EMA4)

   Рациональное число

   Рациональное число (\ (\ mathbb {Q} \)) — это любое число, которое можно записать как:

   \ [\ frac {a} {b} \]

   , где \ (a \) и \ (b \) — целые числа, а \ (b \ ne 0 \).

   Все следующие числа являются рациональными числами:

   \ [\ frac {10} {1} \; ; \; \ frac {21} {7} \; ; \; \ frac {-1} {- 3} \; ; \; \ frac {10} {20} \; ; \; \ frac {-3} {6} \]

   Мы видим, что все числители и все знаменатели целые.

   Это означает, что все целые числа являются рациональными числами, потому что они могут быть записаны со знаменателем \ (\ text {1} \).

   Иррациональные числа

   Иррациональные числа (\ (\ mathbb {Q} ‘\)) — это числа, которые нельзя записать в виде дроби с числителем и знаменателем в виде целых чисел.

   Примеры иррациональных чисел:

   \ [\ sqrt {2} \; ; \; \ sqrt {3} \; ; \; \ sqrt [3] {4} \; ; \; \число Пи \; ; \; \ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \]

   Это не рациональные числа, потому что числитель или знаменатель не является целым числом.

   Десятичные числа (EMA5)

   Все целые числа и дроби с целыми числителями и ненулевым целым знаменателем являются рациональными числами. Помните, что когда знаменатель дроби равен нулю, дробь не определена.

   Вы можете записать любое рациональное число в виде десятичного числа, но не все десятичные числа являются рациональными числами. Эти типы десятичных чисел являются рациональными числами:

   • Десятичные числа, которые заканчиваются (или заканчиваются).Например, дробь \ (\ frac {4} {10} \) может быть записана как \ (\ text {0,4} \).

   • Десятичные числа, состоящие из одной повторяющейся цифры. Например, дробь \ (\ frac {1} {3} \) может быть записана как \ (\ text {0,} \ dot {3} \) или \ (\ text {0,} \ overline {3} \). Обозначения точки и полосы эквивалентны, и оба представляют собой повторяющиеся символы \ (\ text {3} \), то есть \ (\ text {0,} \ dot {3} = \ text {0,} \ overline {3} = \ text {0,333 …} \).

   • Десятичные числа, повторяющиеся из нескольких цифр.Например, дробь \ (\ frac {2} {11} \) также может быть записана как \ (\ text {0,} \ overline {18} \). Полоса представляет собой повторяющийся узор из \ (\ text {1} \) и \ (\ text {8} \), то есть \ (\ text {0,} \ overline {18} = \ text {0 , 181818 …} \).

   Вы можете увидеть точку вместо запятой, используемой для обозначения десятичного числа. Таким образом, число \ (\ text {0,4} \) также можно записать как 0,4

   Обозначение: Вы можете использовать точку или черту над повторяющимися цифрами, чтобы указать, что десятичная дробь является повторяющейся десятичной.Если полоса охватывает более одной цифры, то все числа под полосой повторяются.

   Если вас попросят определить, является ли число рациональным или иррациональным, сначала запишите число в десятичной форме. Если число заканчивается, то это рационально. Если так будет продолжаться вечно, ищите повторяющийся набор цифр. Если нет повторяющегося рисунка, то цифра иррациональна.

   Когда вы записываете иррациональные числа в десятичной форме, вы можете продолжать записывать их для многих-многих десятичных знаков.Однако это неудобно и часто необходимо округлять.

   Округление иррационального числа делает его рациональным числом, которое приближается к иррациональному числу.

   Рабочий пример 1: Рациональные и иррациональные числа

   Какие из следующих чисел не являются рациональными?

   1. \ (\ pi = \ text {3,1415

      5897

      462643383279502884197169390 …} \)

   2. \ (\ text {1,4} \)

   3. \ (\ text {1,618033989…} \)

   4. \ (\ text {100} \)

   5. \ (\ text {1,7373737373 …} \)

   6. \ (\ text {0,} \ overline {02} \)

   1. Иррациональная, десятичная дробь не оканчивается и не повторяется

   2. Рациональное, десятичное завершение.

   3. Иррациональная, десятичная дробь не оканчивается и не повторяется

   4. Рационально, все числа рациональны.

   5. Рациональная десятичная дробь имеет повторяющийся образец.

   6. Рациональная десятичная дробь имеет повторяющийся образец.

   Преобразование завершающих десятичных знаков в рациональные числа (EMA6)

   Десятичное число состоит из целой и дробной части. Например, \ (\ text {10,589} \) имеет целую часть \ (\ text {10} \) и дробную часть \ (\ text {0,589} \), потому что \ (10 ​​+ \ text {0,589} = \ текст {10,589} \).

   Каждая цифра после десятичной точки представляет собой дробь со знаменателем в возрастающей степени \ (\ text {10} \).

   Например:

   • \ (\ text {0,1} \) равно \ (\ frac {1} {\ text {10}} \)

   • \ (\ text {0,01} \) равно \ (\ frac {1} {\ text {100}} \)

   • \ (\ text {0,001} \) равно \ (\ frac {1} {\ text {1 000}} \)

   Это означает, что

   \ begin {align *} \ text {10,589} & = 10 + \ frac {5} {10} + \ frac {8} {100} + \ frac {9} {\ text {1 000}} \\ & = \ frac {\ text {10 000}} {\ text {1 000}} + \ frac {\ text {500}} {\ text {1 000}} + \ frac {80} {\ text {1 000 }} + \ frac {9} {\ text {1 000}} \\ & = \ frac {\ text {10 589}} {\ text {1 000}} \ end {выровнять *}

   В следующих двух видеороликах объясняется, как преобразовать десятичные дроби в рациональные числа.

   Часть 1

   Видео: 2DBJ

   Часть 2

   Видео: 2DBK

   Преобразование повторяющихся десятичных знаков в рациональные числа (EMA7)

   Когда десятичная дробь является повторяющейся десятичной дробью, требуется немного больше работы, чтобы записать дробную часть десятичного числа в виде дроби.

   Рабочий пример 2: Преобразование десятичных чисел в дроби

   Запишите \ (\ text {0,} \ dot {3} \) в форме \ (\ frac {a} {b} \) (где \ (a \) и \ (b \) — целые числа).

   Определите уравнение

   \ [\ text {Let} x = \ text {0,33333 …} \]

   Умножить на \ (\ text {10} \) с обеих сторон

   \ [10x = \ текст {3,33333 …} \]

   Вычтите первое уравнение из второго уравнения

   \ [9x = 3 \]

   Упростить

   \ [x = \ frac {3} {9} = \ frac {1} {3} \]

   Рабочий пример 3: Преобразование десятичных чисел в дроби

   Запишите \ (\ text {5,} \ dot {4} \ dot {3} \ dot {2} \) в виде рациональной дроби.

   Определите уравнение

   \ [x = \ текст {5,432432432 …} \]

   Умножить на \ (\ text {1 000} \) с обеих сторон

   \ [\ text {1 000} x = \ text {5 432,432432432 …} \]

   Вычтите первое уравнение из второго уравнения

   \ [\ text {999} x = \ text {5 427} \]

   Упростить

   \ [x = \ frac {\ text {5 427}} {\ text {999}} = \ frac {\ text {201}} {\ text {37}} = \ text {5} \ frac {\ text { 16}} {\ text {37}} \]

   В первом примере десятичное число умножалось на \ (\ text {10} \), а во втором примере десятичное число умножалось на \ (\ text {1 000} \).Это связано с тем, что в первом примере повторялась только одна цифра (т. Е. \ (\ Text {3} \)), а во втором — три повторяющиеся цифры (т. Е. \ (\ Text {432} \)).

   В общем, если у вас повторяется одна цифра, умножьте ее на \ (\ text {10} \). Если у вас повторяются две цифры, умножьте их на \ (\ text {100} \). Если у вас повторяются три цифры, умножьте их на \ (\ text {1 000} \) и так далее.

   Не все десятичные числа можно записать как рациональные числа. Почему? Иррациональные десятичные числа, например \ (\ sqrt {2} = \ text {1,4142135…} \) нельзя записать с целым числителем и знаменателем, потому что они не имеют шаблона повторяющихся цифр и не завершаются.

   Ты справишься! Позвольте нам помочь вам учиться с умом для достижения ваших целей. Siyavula Practice направит вас в удобном для вас темпе, когда вы задаете вопросы в Интернете.

   Зарегистрируйтесь, чтобы улучшить свои оценки
   Упражнение 1.1

   Какое место на диаграмме занимает число \ (- \ frac {12} {3} \)?

   Сначала упростите дробь: \ (- \ frac {12} {3} = -4 \)

   \ (- \ text {4} \) является целым числом, поэтому оно попадает в набор \ (\ mathbb {Z} \).

   В следующем списке два ложных утверждения и одно истинное утверждение. Какое из утверждений соответствует действительности ?

   1. Каждое целое число — натуральное число.
   2. Каждое натуральное число — это целое число.
   3. В целых числах нет десятичных знаков.

   Тщательно обдумайте каждый вариант:

   1. Есть целые числа, которые не попадают в натуральные числа (все отрицательные числа), поэтому это неверно.
   2. Натуральные числа — это \ (\ left \ {1; 2; 3; \ ldots \ right \} \), а целые числа — это \ (\ left \ {0; 1; 2; 3; \ ldots \ right \} \ ) (круг \ (\ mathbb {N} \) находится внутри \ (\ mathbb {N} _ {0} \)), поэтому, если число является натуральным числом, оно должно быть целым числом. Это верно.
   3. Целые числа \ (\ left \ {0; 1; 2; 3; \ ldots \ right \} \) увеличиваются только с шагом 1, поэтому в целых числах не может быть никаких десятичных чисел, что делает это ложным.

   Итак, верно только (ii).

   Какое место на диаграмме занимает число \ (- \ frac {1} {2} \)?

   \ (- \ frac {1} {2} \) находится в своей простейшей форме, поэтому его нет в \ (\ mathbb {N} \), \ (\ mathbb {N} _0 \) или \ (\ mathbb {Z} \).Он находится в пространстве между прямоугольником и \ (\ mathbb {Z} \).

   В следующем списке два ложных утверждения и одно истинное утверждение. Какое из утверждений соответствует действительности ?

   1. Каждое целое число — натуральное число.
   2. Каждое целое число является целым числом.
   3. В целых числах нет десятичных знаков.

   Тщательно обдумайте каждый вариант:

   1. Есть целые числа, которые не попадают в натуральные числа (все отрицательные числа), поэтому это неверно.
   2. Целые числа \ (\ left \ {\ ldots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; \ ldots \ right \} \), а целые числа — \ (\ left \ {0 ; 1; 2; 3; \ ldots \ right \} \) (круг \ (\ mathbb {Z} \) находится внутри \ (\ mathbb {N} _ {0} \)), поэтому, если число является целым это должно быть целое число. Это верно.
   3. Целые числа \ (\ left \ {0; 1; 2; 3; 4; \ ldots \ right \} \) увеличиваются только с шагом 1, поэтому в целых числах не может быть никаких десятичных чисел, что делает это ложным .

   Итак, верно только (ii).

   \ (- \ sqrt {3} \)

   \ (- \ sqrt {3} \) не имеет знака минус под квадратным корнем (минус находится за пределами корня) и не делится на ноль, поэтому он действительный.

   \ (\ dfrac {0} {\ sqrt {2}} \)

   \ (\ dfrac {0} {\ sqrt {2}} \) не имеет знака минус под квадратным корнем (минус находится вне корня) и не делится на ноль, поэтому он действительный.

   \ (\ sqrt {-9} \)

   \ (\ sqrt {-9} \) имеет знак минус под квадратным корнем, поэтому он не является действительным.

   \ (\ dfrac {- \ sqrt {7}} {0} \)

   \ (\ dfrac {- \ sqrt {7}} {0} \) имеет деление на ноль, поэтому не определено.

   \ (- \ sqrt {-16} \)

   \ (- \ sqrt {-16} \) имеет отрицательное число под квадратным корнем, поэтому оно не является действительным.

   \ (\ sqrt {2} \)

   \ (\ sqrt {2} \) не имеет минуса под квадратным корнем (минус находится вне корня), не делится на ноль, поэтому он действительный.

   \ (- \ frac {1} {3} \) рационально. Дробь целых чисел — это рациональное число.

   \ (\ text {0,651268962154862.7 \) является рациональным, целым, целым и натуральным числом. Его можно записать как целое число.

   \ (\ пи + 3 \)

   \ (\ pi \) иррационально. \ (\ text {3} \) рационально (это целое число). Любое рациональное число, добавленное к любому иррациональному числу, иррационально.

   Следовательно, \ (\ pi + 3 \) иррационально.

   \ (\ пи + \ текст {0,858408346} \)

   \ (\ pi \) иррационально.\ (\ text {0,858408346} \) является рациональным (это конечная десятичная дробь). Любое рациональное число, добавленное к любому иррациональному числу, иррационально.

   Следовательно, \ (\ pi + \ text {0,858408346} \) иррационально.

   \ (\ frac {5} {6} \) рационально.

   Поскольку \ (a \) — целое число, \ (\ frac {a} {3} \) рационально.

   Поскольку \ (b \) — целое число, \ (\ frac {-2} {b} \) рационально.

   Обратите внимание, что \ (b \) не может быть \ (\ text {0} \), так как это делает дробь неопределенной.

   Поскольку \ (c \) иррационально, \ (\ frac {1} {c} \) иррационально.

   \ (\ frac {a} {14} = \ frac {1} {14} \) рационально.

   \ (\ frac {a} {14} = \ frac {-10} {14} \) рационально.

   \ (\ frac {a} {14} = \ frac {\ sqrt {2}} {14} \) иррационально.

   \ (\ frac {a} {14} = \ frac {\ text {2,1}} {14} \) рационально.

   Проверить, какое из чисел входит в набор \ (\ left \ {1; 2; 3; 4; \ ldots \ right \} \). Следовательно, \ (\ text {7} \) и \ (\ text {11} \) — натуральные числа.

   Помните, что рациональные числа можно записать как \ (\ frac {a} {b} \), где \ (a \) и \ (b \) — целые числа. Также помните, что рациональные числа включают завершающие десятичные числа. Следовательно, \ (- \ sqrt {8} \;; \; \ text {3,3231089 …} \; \; 3+ \ sqrt {2} \;; \; \ pi \) все иррациональны.

   Любое число, являющееся квадратным корнем из отрицательного числа, не является действительным.Следовательно, нереально только \ (\ sqrt {-1} \).

   Помните, что рациональные числа можно записать как \ (\ frac {a} {b} \), где \ (a \) и \ (b \) — целые числа. Также помните, что рациональные числа включают завершающие десятичные числа. Следовательно, \ (- 3 \;; \; 0 \;; \; -8 \ frac {4} {5} \;; \; \ frac {22} {7} \; \; 7 \;; \; \ text {1,} \ overline {34} \; \; 9 \ frac {7} {10} \;; \; 11 \) — все рациональные числа.

   Проверьте, какое из чисел входит в набор \ (\ left \ {\ ldots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; \ ldots \ right \} \).Следовательно, \ (- 3 \;; \; 7 \;; \; 11 \) — целые числа.

   Любая дробь, разделенная на \ (\ text {0} \), не определена. Следовательно, только \ (\ frac {14} {0} \) не определено.

   \ (\ текст {2,121314 …} \)

   • Номер не заканчивается (это показано \ (\ ldots \)). Также отсутствует указание на повторяющийся узор цифр, поскольку ни над одним из чисел нет точки или полосы. Следующие три цифры могут быть любыми числами.

     Обратите внимание, что, хотя кажется, что в цифрах есть шаблон, мы не знаем, продолжается ли этот шаблон.

   • Иррационально, нет повторяющегося рисунка.

   \ (\ текст {1,242244246 …} \)

   • Номер не заканчивается (это показано \ (\ ldots \)). Также отсутствует указание на повторяющийся узор цифр, поскольку ни над одним из чисел нет точки или полосы. Следующие три цифры могут быть любыми числами.

     Обратите внимание, что, хотя кажется, что в цифрах есть шаблон, мы не знаем, продолжается ли этот шаблон.

   • Иррационально, нет повторяющегося рисунка.

   \ (\ текст {3,324354 …} \)

   • Номер не заканчивается (это показано \ (\ ldots \)). Также отсутствует указание на повторяющийся узор цифр, поскольку ни над одним из чисел нет точки или полосы. Следующие три цифры могут быть любыми числами.

     Обратите внимание, что, хотя кажется, что в цифрах есть шаблон, мы не знаем, продолжается ли этот шаблон.

   • Иррационально, нет повторяющегося рисунка.

   \ (\ текст {3,3243} \ dot {5} \ dot {4} \)

   \ (\ text {0,1} = \ frac {1} {10} \)

   \ begin {align *} \ text {0,12} & = \ frac {1} {10} + \ frac {2} {100} \\ & = \ frac {10} {100} + \ frac {2} {100} \\ & = \ frac {12} {100} \\ & = \ frac {3} {25} \ end {выровнять *}

   \ begin {align *} \ text {0,58} & = \ frac {5} {10} + \ frac {8} {100} \\ & = \ frac {50} {100} + \ frac {8} {100} \\ & = \ frac {58} {100} \\ & = \ frac {29} {50} \ end {выровнять *}

   \ begin {align *} \ text {0,2589} & = \ frac {2} {10} + \ frac {5} {100} + \ frac {8} {\ text {1 000}} + \ frac {9} {\ text { 10 000}} \\ & = \ frac {\ text {2 000}} {\ text {10 000}} + \ frac {500} {\ text {10 000}} + \ frac {80} {\ text {10 000}} + \ гидроразрыв {9} {\ text {10 000}} \\ & = \ frac {\ text {2 589}} {\ text {10 000}} \ end {выровнять *}

   Мы видим, что повторяется только цифра \ (\ text {1} \), поэтому мы можем записать это как \ (\ text {0,} \ dot {1} \).

   \ (\ text {0,1212121212 …} \)

   Существует повторяющийся образец \ (\ text {12} \), поэтому мы можем записать это число как: \ (\ text {0,} \ overline {12} \)

   \ (\ text {0,123123123123 …} \)

   Существует повторяющийся шаблон \ (\ text {123} \), поэтому мы можем записать это число как: \ (\ text {0,} \ overline {123} \)

   \ (\ text {0,11414541454145 …} \)

   Шаблон 4145 повторяется, поэтому мы можем записать это число как: \ (\ text {0,11} \ overline {4145} \).7 \ текст {00}} & = \ текст {2} \ текст {остаток} \ текст {4} \\ \ frac {\ text {7}} {\ text {33}} & = \ text {0,} \ text {2 121} \ ldots \\ & = \ текст {0,} \ точка {\ текст {2}} \ точка {\ текст {1}} \ end {выровнять *}

   \ begin {align *} \ frac {2} {3} & = 2 \ left (\ frac {1} {3} \ right) \\ & = 2 (\ text {0,333333 …}) \\ & = \ текст {0,666666 …} \\ & = \ текст {0,} \ точка {6} \ end {выровнять *}

   \ begin {align *} 1 \ frac {3} {11} & = 1 + 3 \ left (\ frac {1} {11} \ right) \\ & = 1 + 3 (\ text {0,0

…}) \\ & = 1 + \ текст {0,27272727 …} \\ & = \ текст {1,} \ overline {27} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 4 \ frac {5} {6} & = 4 + 5 \ left (\ frac {1} {6} \ right) \\ & = 4+ 5 (\ text {0,1666666 …}) \\ & = 4 + \ текст {0,833333 …} \\ & = \ текст {4,8} \ точка {3} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 2 \ frac {1} {9} & = 2 + \ text {0,1111111 …} \\ & = \ текст {2,} \ точка {1} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} х & = \ текст {0,55555…} \ text {и} \\ 10x & = \ text {5,55555 …} \\ 10x — x & = (\ text {5,55555 …}) — (\ text {0,55555 …}) \\ \ text {9} x & = \ text {5} \\ \ поэтому x & = \ frac {5} {9} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 10x & = \ text {6,3333 …} \ text {и} \\ 100x & = \ текст {63,3333 …} \\ 100x — 10x & = (\ text {63,3333 …}) — (\ text {6,3333 …}) \\ \ text {99} x & = \ text {57} \\ \ поэтому x & = \ frac {57} {90} \ end {выровнять *}

\ (\ текст {0,} \ точка {4} \)

\ begin {align *} х & = \ текст {0,4444…} \ text {и} \\ \ text {10} x & = \ text {4,4444 …} \\ 10x — x & = (\ text {4,4444 …}) — (\ text {0,4444 …}) \\ \ text {9} x & = \ text {4} \\ \ поэтому x & = \ frac {\ text {4}} {\ text {9}} \ end {выровнять *}

\ (\ text {5,} \ overline {31} \)

\ begin {align *} х & = \ текст {5,313131 …} \ текст {и} \\ 100x & = \ text {531,313131 …} \\ 100x — x & = (\ text {531,313131…}) — (\ text {5,313131 …}) \\ \ text {99} x & = \ text {526} \\ \ поэтому x & = \ frac {526} {99} \ end {выровнять *}

\ (\ text {4,} \ overline {\ text {93}} \)

\ begin {align *} х & = \ текст {4,939393 …} \ текст {и} \\ 100x & = \ text {493,939393 …} \\ 100x — x & = (\ text {493,939393 …}) — (\ text {4,939393 …}) \\ \ text {99} x & = \ text {489} \\ \ поэтому x & = \ frac {\ text {163}} {\ text {33}} \ end {выровнять *}

\ (\ text {3,} \ overline {\ text {93}} \)

\ begin {align *} х & = \ текст {3,939393…} \ text {и} \\ 100x & = \ text {393,939393 …} \\ 100x — x & = (\ text {393,939393 …}) — (\ text {3,939393 …}) \\ \ text {99} x & = \ text {390} \\ \ поэтому x & = \ frac {\ text {130}} {\ text {33}} \ end {выровнять *}

Что такое рациональные числа? Как преобразовать повторяющуюся десятичную дробь в дробь?

Вы здесь: На главную → Статьи → Рациональные числа

Рациональные числа — это целых, дробных и десятичных чисел — чисел, которые мы используем в нашей повседневной жизни.Их можно записать как отношения двух целых чисел. Рациональные числа противопоставляются иррациональным числам — числам, таким как Pi, √2, √7, другим корням, синусам, косинусам и логарифмам чисел. В этой статье основное внимание уделяется рациональным числам.

В определении говорится, что число является рациональным, если вы можете записать его в форме a / b , где a и b — целые числа, а b не равно нулю . Очевидно, что все дроби имеют такую ​​форму, поэтому дроби являются рациональными числами.Завершающие десятичные числа также могут быть легко записаны в такой форме: например, 0,67 = 67/100, 3,40938 = 340938/100000 и т. Д.

Мы можем проиллюстрировать положительные рациональные числа в координатной плоскости с помощью прямых , проходящих через начало координат, и другой точки с целочисленными координатами. Например:

Линия y = 5 x проходит через точку (1, 5).

Линия y = (1/3) x проходит через точку (3, 1).

Линия y = (9/2) x проходит через точку (2, 9).

И так далее. Кроме того, точки, которые я перечислил, являются ПЕРВЫМИ точками с целочисленными координатами, через которые проходят эти линии (после начала координат).




Потренируйтесь немного: Какую первую точку с целочисленными координатами проходят эти линии? a) y = 9x b) y = 243x c) y = 5 / 6x d) y = 8/3 x e) y = 345/1039 x

Теперь вы можете представить линию, проходящую через начало координат, которая НЕ касается ЛЮБОЙ из этих точек с координатами целых чисел ????? Это сложно, но такие строки существуют.Они просто не касаются ни одной из точек с целочисленными координатами, а их наклон — это иррациональное число !!! Трудно понять. Конечно, когда вы рисуете линии на бумаге или на компьютере, ваша точность ограничена, и даже линия y = Pi * x, вероятно, пройдет через точку с целочисленными координатами, а именно точку (7,22). Это действительно не пошло бы через это, если бы мы могли рисовать очень точно, это было бы просто близко. Но поскольку он приближается, 22/7 — хорошее приближение к Пи.

Линия y = Pi * x действительно выглядит так, как будто она проходит через точку (7,22), поскольку графическая программа не может рисовать достаточно точно.




Непрерывные повторяющиеся десятичные дроби являются рациональными

Мы говорили о том, что завершающие десятичные числа, очевидно, являются рациональными числами. Как насчет бесконечных десятичных чисел? Возможно, вы никогда не слышали о них, хотя я надеюсь, что слышали. Их тоже много. Возьмите, например, 1/9 и преобразуйте его в десятичное число с помощью алгоритма длинного деления.Что вы получаете? Как насчет 2/9? 3/9? 1/11? 2/13? 15/7? Сможете ли вы найти больше дробей, которые превращаются в непрерывные десятичные числа?

Поскольку 0,11111 … = 1/9, то десятичное число 0,11111 … является рациональным числом . Фактически, каждое бесконечное десятичное число, которое ПОВТОРЯЕТ определенный образец цифр , является рациональным числом. Например, давайте составим десятичное число 0,135135135135135 … которое никогда не заканчивается. Вы верите, что мы МОЖЕМ записать это дробью в форме a / b? Звучит так, будто это чистая догадка, но нет, есть метод, на мой взгляд, хороший и умный.


Как преобразовать повторяющееся десятичное число в дробь

Давайте назовем наше число a = 0,135135135 … и умножим его на степень 10, затем вычтем исходное a и новое число, чтобы повторяющиеся десятичные части уравняли друг друга при вычитании.

a	=	0.	135135135 …
10 a	=	1.	35135135135 …
100 a	=	13.	5135135135 …
1000 a	= 4	135 …

Хорошо, с 1000 и будут работать, десятичные дроби выровняются! Итак, теперь мы вычитаем 1000 и :

904 904 904 904 904 904 904 904

1000	=	135.	135135135 …
— и	=	0.	135135135 …
9993	,

, из которых a = 135/999.




Другой пример записи повторяющейся десятичной дроби в виде дроби

Иногда первая пара десятичных цифр не является частью повторяющегося шаблона.Например, b = 5,65787878787 … такое число. Однако работает тот же трюк: мы умножаем b на такую ​​степень десяти, что повторяющиеся части уравновешивают друг друга при вычитании.

b	=	5.	65787878787 …
10 b	=	56.	578787878 …
100 b	=	565.	7878787 …

Как видите, десятичные части b и 100 b идентичны! Итак, мы можем вычесть их:

99 b

100 b	=	565.	78787878 …
— b	=	— 5.	6578787316	=	560.	13

, откуда b = 560.13/99 = 56013/9900.




Потренируйтесь немного: Можете ли вы преобразовать эти десятичные дроби в дроби, используя ту же идею? а) 0,186186186186 … б) 4,1515151515 … в) 0,139999999 …. г) 4,50398989898 … д) 0,30458304583045830458 ….




Иррациональные числа

Мы обсуждали завершение десятичных чисел и повторение десятичных чисел.Угадай, что? НЕПОВТОРИМЫЕ и НЕЗАКОНЧИВАЮЩИЕСЯ десятичные числа — это ИРРАЦИОННЫЕ ЧИСЛА .

---

См. Также:

Рациональные числа исчисляемы

О рациональных числах
Вы можете объяснить мне «рациональные числа»? Как вы их выражаете?

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби
Я знаю .333333333333 — это 1/3, но в чем тут фокус?




Рациональные и иррациональные числа — Предалгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Определить рациональные числа и иррациональные числа
• Классифицируйте различные типы действительных чисел

Определите рациональные числа и иррациональные числа

Поздравляем! Вы прочитали первые шесть глав этой книги! Пришло время подвести итоги того, что вы уже сделали в этом курсе, и подумать о том, что вас ждет впереди.Вы научились складывать, вычитать, умножать и делить целые числа, дроби, целые числа и десятичные дроби. Вы познакомились с языком и символами алгебры, а также упростили и оценили алгебраические выражения. Вы решили много разных типов приложений. Вы заложили хорошую прочную основу, необходимую для достижения успеха в алгебре.

В этой главе мы позаботимся о том, чтобы ваши навыки твердо закрепились. Мы еще раз взглянем на типы чисел, с которыми работали во всех предыдущих главах.Мы будем работать со свойствами чисел, которые помогут вам улучшить ваше чувство числа. И мы будем практиковаться в их использовании, как при решении уравнений и выполнении других процедур в алгебре.

Мы уже описали числа как счетные числа, целые числа и целые числа. Вы помните, в чем разница между этими типами чисел?

счетные числа
целые числа
целые числа

Рациональные числа

Какой тип чисел вы получите, если начнете со всех целых чисел, а затем включите все дроби? Числа, которые у вас получились бы, составили набор рациональных чисел.Рациональное число — это число, которое можно записать как отношение двух целых чисел.

Рациональные числа

Рациональное число — это число, которое можно записать в виде где и являются целыми числами, а

Все дроби, как положительные, так и отрицательные, являются рациональными числами. Несколько примеров:

Каждый числитель и каждый знаменатель — целое число.

Нам нужно посмотреть на все числа, которые мы использовали до сих пор, и убедиться, что они рациональны. Определение рациональных чисел говорит нам, что все дроби рациональны.Теперь мы посмотрим на счетные числа, целые числа, целые числа и десятичные дроби, чтобы убедиться, что они рациональны.

Целые числа — рациональные числа? Чтобы решить, является ли целое число рациональным числом, мы пытаемся записать его как отношение двух целых чисел. Легкий способ сделать это — записать дробь со знаминателем один.

Поскольку любое целое число можно записать как отношение двух целых чисел, все целые числа являются рациональными числами. Помните, что все счетные числа и все целые числа также являются целыми числами, а значит, они тоже рациональны.

А как насчет десятичных знаков? Они рациональны? Давайте посмотрим на несколько, чтобы увидеть, можем ли мы записать каждое из них как отношение двух целых чисел. Мы уже видели, что целые числа — это рациональные числа. Целое число может быть записано как десятичное. Итак, очевидно, что некоторые десятичные дроби рациональны.

Подумайте о десятичном. Можем ли мы записать его как отношение двух целых чисел? Потому что означает, что мы можем записать это как неправильную дробь, Так — это отношение целых чисел, а это рациональное число.

Обычно любое десятичное число, которое заканчивается рядом цифр (например, или является рациональным числом.Мы можем использовать разряд последней цифры в качестве знаменателя при записи десятичной дроби в виде дроби.

Запишите каждое как отношение двух целых чисел:

ⓐⓑⓒ.

Запишите каждое как отношение двух целых чисел:

ⓐⓑ.
1. ⓐ
2. ⓑ

Запишите каждое как отношение двух целых чисел:

ⓐⓑ.
1. ⓐ
2. ⓑ

Давайте посмотрим на десятичную форму рациональных чисел. Мы видели, что каждое целое число является рациональным числом, поскольку для любого целого числа мы также можем преобразовать любое целое число в десятичное, добавив десятичную точку и ноль.

Мы также видели, что каждая дробь является рациональным числом. Посмотрите на десятичную форму только что рассмотренных дробей.

Что вам говорят эти примеры? Каждое рациональное число можно записать как в виде отношения целых чисел, так и в виде десятичной дроби, которая либо останавливается, либо повторяется. В таблице ниже показаны числа, которые мы рассматривали, выраженные как отношение целых чисел и десятичной дроби.

Иррациональные числа

Есть ли десятичные дроби, которые не останавливаются и не повторяются? да.Число (греческая буква пи, произносится как «пирог»), которое очень важно при описании кругов, имеет десятичную форму, которая не останавливается и не повторяется.

Точно так же десятичные представления квадратных корней чисел, не являющихся точными квадратами, никогда не прекращаются и никогда не повторяются. Например,

Десятичная дробь, которая не останавливается и не повторяется, не может быть записана как отношение целых чисел. Мы называем такое число иррациональным числом.

Иррациональное число

Иррациональное число — это число, которое нельзя записать как отношение двух целых чисел.Его десятичная форма не останавливается и не повторяется.

Давайте резюмируем метод, который мы можем использовать, чтобы определить, является ли число рациональным или иррациональным.

Если десятичная форма числа

• останавливается или повторяется, число рациональное.
• не останавливается и не повторяется, цифра иррациональна.

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное:

ⓐ

ⓑ

ⓒ

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное:

ⓐⓑⓒ

1. ⓐ рациональный
2. ⓑ рациональный
3. ⓒ иррационально

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное:

ⓐⓑⓒ

1. ⓐ рациональный
2. ⓑ рациональный
3. ⓒ иррационально

Давайте теперь подумаем о квадратных корнях.Квадратные корни из полных квадратов всегда целые числа, поэтому они рациональны. Но десятичные формы квадратных корней чисел, которые не являются точными квадратами, никогда не прекращаются и никогда не повторяются, поэтому эти квадратные корни иррациональны.

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное:

ⓐ

ⓑ

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное:

ⓐ

ⓑ

1. ⓐ рациональный
2. ⓑ иррационально

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное:

ⓐ

ⓑ

1. ⓐ иррационально
2. ⓑ рациональный

Классифицируйте действительные числа

Мы видели, что все счетные числа являются целыми числами, все целые числа являются целыми числами и все целые числа являются рациональными числами.Иррациональные числа — отдельная категория. Когда мы соединяем рациональные числа и иррациональные числа, мы получаем набор действительных чисел.

(рисунок) показывает, как связаны наборы чисел.

Эта диаграмма иллюстрирует отношения между различными типами действительных чисел.

Вещественные числа

Вещественные числа — это числа, которые могут быть рациональными или иррациональными.

Вам не кажется странным термин «действительные числа»? Существуют ли какие-либо числа, которые не являются «настоящими», и если да, то какими они могут быть? На протяжении веков люди знали только цифры, которые мы сейчас называем настоящими числами.Затем математики открыли набор из мнимых чисел. В этом курсе вы не встретите мнимые числа, но вы встретитесь позже при изучении алгебры.

Определите, является ли каждое из чисел в следующем списке ⓐ целым числом, ⓑ целым числом, рациональным числом, ⓓ иррациональным числом и действительным числом.

Сведем результаты в таблицу.

Определите, является ли каждое число ⓐ целым числом, ⓑ целым числом, рациональным числом, ⓓ иррациональным числом и действительным числом:

Определите, является ли каждое число ⓐ целым числом, ⓑ целым числом, рациональным числом, ⓓ иррациональным числом и действительным числом:

Практика ведет к совершенству

Рациональные числа

В следующих упражнениях запишите как отношение двух целых чисел.

1. ⓐ
2. ⓑ
1. ⓐ
2. ⓑ

В следующих упражнениях определите, какие из приведенных чисел рациональны, а какие иррациональны.

Рациональный:. Иррациональный:

Рациональный:,. Иррациональный:

,

В следующих упражнениях определите, является ли каждое число рациональным или иррациональным.

1. ⓐ
2. ⓑ
1. ⓐ рациональный
2. ⓑ иррационально
1. ⓐ
2. ⓑ
1. ⓐ
2. ⓑ
1. ⓐ иррационально
2. ⓑ рациональный
1. ⓐ
2. ⓑ

Классификация вещественных чисел

В следующих упражнениях определите, является ли каждое число целым, целым, рациональным, иррациональным и действительным.

Повседневная математика

Экскурсия Все ученики начальной школы Линкольна отправятся на экскурсию в музей науки. Считая всех детей, учителей и сопровождающих, найдутся люди. Каждый автобус вмещает людей.

ⓐ Сколько потребуется автобусов?

ⓑ Почему ответ должен быть целым числом?

ⓒ Почему бы вам не округлить ответ обычным способом?

Присмотр за детьми Серена хочет открыть лицензированный детский сад.Ее состояние требует, чтобы на каждого учителя приходилось не более детей. Она хотела бы, чтобы ее детский сад обслуживал детей.

ⓐ Сколько потребуется учителей?

ⓑ Почему ответ должен быть целым числом?

ⓒ Почему бы вам не округлить ответ обычным способом?

1. ⓐ 4
2. ⓑ Учителей нельзя делить
3. ⓒ Это приведет к меньшему количеству.

Письменные упражнения

Объясните своими словами разницу между рациональным числом и иррациональным числом.

Объясните, как наборы чисел (счетные, целые, целые, рациональные, иррациональные, действительные) связаны друг с другом.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Если большая часть ваших чеков была:

… уверенно. Поздравляю! Вы достигли целей в этом разделе. Поразмышляйте над своими учебными навыками, чтобы вы могли продолжать их использовать.Что вы сделали, чтобы убедиться в своей способности делать эти вещи? Быть конкретной.

… с некоторой помощью. Эту проблему нужно решать быстро, потому что темы, которые вы не освоили, становятся ухабами на вашем пути к успеху. В математике каждая тема основывается на предыдущей работе. Прежде чем двигаться дальше, важно убедиться, что у вас есть прочный фундамент. К кому обратиться за помощью? Ваши одноклассники и инструктор — хорошие ресурсы. Есть ли в кампусе место, где доступны репетиторы по математике? Можно ли улучшить свои учебные навыки?

… нет, я не понимаю! Это предупреждающий знак, игнорировать его нельзя.Вам следует немедленно обратиться за помощью, иначе вы быстро не справитесь. Как можно скорее обратитесь к своему инструктору, чтобы обсудить вашу ситуацию. Вместе вы сможете составить план оказания вам необходимой помощи.

вещественных чисел | Колледж алгебры

Результаты обучения

• Классифицируйте действительное число.
• Выполните вычисления, используя порядок операций.
• Используйте свойства действительных чисел.
• Оценивать и упрощать алгебраические выражения.

Из-за эволюции системы счисления теперь мы можем выполнять сложные вычисления, используя несколько категорий действительных чисел. В этом разделе мы исследуем наборы чисел, выполним вычисления с различными типами чисел и начнем узнавать об использовании чисел в алгебраических выражениях.

Классифицируйте реальное число

Числа, которые мы используем для подсчета или перечисления элементов, — это натуральные числа : 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Мы описываем их в обозначениях множества как {1, 2, 3,…}, где многоточие (…) указывает, что числа продолжаются до бесконечности.Натуральные числа, конечно же, также называются счетными числами . Каждый раз, когда мы перечисляем членов команды, считаем монеты в коллекции или подсчитываем деревья в роще, мы используем набор натуральных чисел. Набор целых чисел — это набор натуральных чисел плюс ноль: {0, 1, 2, 3,…}.

Набор целых чисел добавляет противоположности натуральных чисел к набору целых чисел: {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}. Полезно отметить, что набор целых чисел состоит из трех различных подмножеств: отрицательных целых чисел, нуля и положительных целых чисел.В этом смысле положительные целые числа — это просто натуральные числа. Другой способ думать об этом — это то, что натуральные числа являются подмножеством целых чисел.

[латекс] \ begin {align} & {\ text {отрицательные целые числа}} && {\ text {zero}} && {\ text {положительные целые числа}} \\ & {\ dots, -3, -2, -1 ,} && {0,} && {1,2,3, \ dots} \\ \ text {} \ end {align} [/ latex]

Набор рациональных чисел записывается как [latex] \ left \ {\ frac {m} {n} | m \ text {и} {n} \ text {являются целыми числами и} {n} \ ne {0 } \ right \} [/ латекс].Обратите внимание на определение, что рациональные числа — это дроби (или частные), содержащие целые числа как в числителе, так и в знаменателе, а знаменатель никогда не равен 0. Мы также можем видеть, что каждое натуральное число, целое число и целое число является рациональным числом с знаменатель 1.

Поскольку это дроби, любое рациональное число также может быть выражено в десятичной форме. Любое рациональное число может быть представлено как:

1. завершающий десятичный разделитель: [латекс] \ frac {15} {8} = 1.875 [/ латекс] или
2. повторяющееся десятичное число: [latex] \ frac {4} {11} = 0,36363636 \ dots = 0. \ Overline {36} [/ latex]

Мы используем линию, проведенную над повторяющимся блоком чисел, вместо того, чтобы писать группу несколько раз.

Пример: запись целых чисел в виде рациональных чисел

Запишите каждое из следующих чисел в виде рациональных чисел.

1. 7
2. 0
3. –8
Показать решение

Запишите дробь с целым числом в числителе и единицей в знаменателе.

1. [латекс] 7 = \ dfrac {7} {1} [/ латекс]
2. [латекс] 0 = \ dfrac {0} {1} [/ latex]
3. [латекс] -8 = — \ dfrac {8} {1} [/ латекс]

Попробуйте

Запишите каждое из следующих чисел в виде рациональных чисел.

1. 11
2. 3
3. –4
Показать решение
1. [латекс] \ dfrac {11} {1} [/ латекс]
2. [латекс] \ dfrac {3} {1} [/ латекс]
3. [латекс] — \ dfrac {4} {1} [/ латекс]

Пример: определение рациональных чисел

Запишите каждое из следующих рациональных чисел как завершающее или повторяющееся десятичное число.

1. [латекс] — \ dfrac {5} {7} [/ латекс]
2. [латекс] \ dfrac {15} {5} [/ латекс]
3. [латекс] \ dfrac {13} {25} [/ латекс]
Показать решение

Запишите каждую дробь в виде десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель.

1. [латекс] — \ dfrac {5} {7} = — 0. \ overline {714285} [/ latex], повторяющееся десятичное число
2. [latex] \ dfrac {15} {5} = 3 [/ latex] (или 3,0), завершающее десятичное число
3. [латекс] \ dfrac {13} {25} = 0,52 [/ латекс], завершающее десятичное число

Иррациональные числа

В какой-то момент в древнем прошлом кто-то обнаружил, что не все числа являются рациональными числами.Строитель, например, мог обнаружить, что диагональ квадрата с единичными сторонами не равна 2 и даже не [латекс] \ frac {3} {2} [/ latex], а что-то другое. Или производитель одежды мог заметить, что отношение длины окружности к диаметру рулона ткани было немного больше 3, но все же не рациональное число. Такие числа называются иррациональными , потому что они не могут быть записаны в виде дробей. Эти числа составляют набор из иррациональных чисел . Иррациональные числа нельзя выразить дробью двух целых чисел.Невозможно описать этот набор чисел одним правилом, кроме как сказать, что число иррационально, если оно нерационально. Итак, мы пишем это, как показано.

{ч | h не рациональное число}

Пример: различение рациональных и иррациональных чисел

Определите, является ли каждое из следующих чисел рациональным или иррациональным. Если это рационально, определите, является ли это завершающей или повторяющейся десятичной дробью.

1. [латекс] \ sqrt {25} [/ латекс]
2. [латекс] \ dfrac {33} {9} [/ латекс]
3. [латекс] \ sqrt {11} [/ латекс]
4. [латекс] \ dfrac {17} {34} [/ латекс]
5. [латекс] 0.3033033303333 \ точки [/ латекс]
Показать решение
1. [латекс] \ sqrt {25}: [/ latex] Это можно упростить как [латекс] \ sqrt {25} = 5 [/ latex]. Следовательно, [latex] \ sqrt {25} [/ latex] рационально.
2. [latex] \ dfrac {33} {9}: [/ latex] Поскольку это дробь, [latex] \ dfrac {33} {9} [/ latex] является рациональным числом. Затем упростите и разделите.

   [латекс] \ dfrac {33} {9} = \ dfrac {{11} \ cdot {3}} {{3} \ cdot {3}} = \ dfrac {11} {3} = 3. \ Overline { 6} [/ латекс]

   Итак, [latex] \ dfrac {33} {9} [/ latex] является рациональным и повторяющимся десятичным числом.

3. [latex] \ sqrt {11}: [/ latex] Это нельзя упростить дальше. Следовательно, [latex] \ sqrt {11} [/ latex] — иррациональное число.
4. [latex] \ dfrac {17} {34}: [/ latex] Поскольку это дробь, [latex] \ dfrac {17} {34} [/ latex] является рациональным числом. Упростите и разделите.

   [латекс] \ dfrac {17} {34} = \ dfrac {1 \ cdot {17}} {2 \ cdot {17}} = \ dfrac {1} {2} = 0,5 [/ латекс]

   Итак, [latex] \ dfrac {17} {34} [/ latex] является рациональным и завершающим десятичным числом.

5. 0,3033033303333… не является завершающим десятичным числом.Также обратите внимание, что здесь нет повторяющегося шаблона, потому что группа из трех увеличивается каждый раз. Следовательно, это не завершающее и не повторяющееся десятичное число и, следовательно, не рациональное число. Это иррациональное число.

Реальные числа

Для любого числа n мы знаем, что n либо рационально, либо иррационально. Не может быть и того, и другого. Наборы рациональных и иррациональных чисел вместе составляют набор из действительных чисел . Как мы видели с целыми числами, действительные числа можно разделить на три подмножества: отрицательные действительные числа, ноль и положительные действительные числа.Каждое подмножество включает дроби, десятичные дроби и иррациональные числа в соответствии с их алгебраическим знаком (+ или -). Ноль не считается ни положительным, ни отрицательным.

Действительные числа можно визуализировать на горизонтальной числовой строке с произвольной точкой, выбранной как 0, с отрицательными числами слева от 0 и положительными числами справа от 0. Затем используется фиксированное единичное расстояние, чтобы отметить каждое целое число ( или другое базовое значение) по обе стороны от 0. Любое действительное число соответствует уникальной позиции в числовой строке.Верно и обратное: каждое место в числовой строке соответствует ровно одному действительному числу. Это называется взаимно-однозначным соответствием. Мы называем это строкой действительного числа .

Строка вещественных чисел

Пример: классификация действительных чисел

Классифицируйте каждое число как положительное или отрицательное, а также как рациональное или иррациональное. Число находится слева или справа от 0 на числовой прямой?

1. [латекс] — \ dfrac {10} {3} [/ латекс]
2. [латекс] \ sqrt {5} [/ латекс]
3. [латекс] — \ sqrt {289} [/ латекс]
4. [латекс] -6 \ pi [/ латекс]
5. [латекс] 0.{2}} = — 17 [/ latex] — это отрицательно и рационально. Он находится слева от 0.
6. [латекс] -6 \ пи [/ латекс] отрицательно и нерационально. Он находится слева от 0.
7. [латекс] 0,616161 \ точки [/ латекс] — повторяющееся десятичное число, поэтому оно рационально и положительно. Он находится справа от 0.
8. [латекс] 0,13 [/ латекс] является конечным десятичным числом и может быть записано как 13/100. Так что это рационально и позитивно.

Попробуйте

Классифицируйте каждое число как положительное или отрицательное, а также как рациональное или иррациональное.Число находится слева или справа от 0 на числовой прямой?

1. [латекс] \ sqrt {73} [/ латекс]
2. [латекс] -11.411411411 \ точки [/ латекс]
3. [латекс] \ dfrac {47} {19} [/ латекс]
4. [латекс] — \ dfrac {\ sqrt {5}} {2} [/ латекс]
5. [латекс] 6.210735 [/ латекс]
Показать решение
1. положительный, иррациональный; правый
2. отрицательный, рациональный; левый
3. положительный, рациональный; правый
4. негативный, иррациональный; левый
5. положительный, рациональный; правый

Наборы чисел как подмножества

Начиная с натуральных чисел, мы расширили каждый набор, чтобы сформировать более крупный набор, что означает, что между наборами чисел, с которыми мы столкнулись до сих пор, существует связь подмножества.Эти отношения становятся более очевидными, если рассматривать их в виде диаграммы.

Наборы цифр. N : набор натуральных чисел W : набор целых чисел I : набор целых чисел Q : набор рациональных чисел Q´ : набор иррациональных чисел

Общее примечание: наборы чисел

Набор натуральных чисел включает числа, используемые для подсчета: [латекс] \ {1,2,3, \ точки \} [/ латекс].

Набор целых чисел — это набор натуральных чисел плюс ноль: [latex] \ {0,1,2,3, \ dots \} [/ latex].

Набор целых чисел добавляет отрицательные натуральные числа к набору целых чисел: [latex] \ {\ dots, -3, -2, -1,0,1,2,3, \ dots \} [/ латекс].

Набор рациональных чисел включает дроби, записанные как [латекс] \ {\ frac {m} {n} | m \ text {и} n \ text {целые числа и} n \ ne 0 \} [/ latex] .

Набор иррациональных чисел — это набор чисел, которые не являются рациональными, неповторяющимися и неповторяющимися: [latex] \ {h | h \ text {не является рациональным числом} \} [/ latex].

Пример: дифференцирование наборов чисел

Классифицируйте каждое число как натуральное число, целое число, целое число, рациональное число и / или иррациональное число.

• [латекс] \ sqrt {36} [/ латекс]
• [латекс] \ dfrac {8} {3} [/ латекс]
• [латекс] \ sqrt {73} [/ латекс]
• [латекс] -6 [/ латекс]
• [латекс] 3,2121121112 \ точки [/ латекс]
Показать решение

	натуральное число	целое число	целое число	рациональное число	иррациональное число
[латекс] \ sqrt {36} = 6 [/ латекс]	да	да	да	да	№
[латекс] \ dfrac {8} {3} = 2.\ overline {6} [/ latex]	№	№	№	да	№
[латекс] \ sqrt {73} [/ латекс]	№	№	№	№	да
[латекс] –6 [/ латекс]	№	№	да	да	№
[латекс] 3,2121121112 \ точки [/ латекс]	№	№	№	№	да

Попробуйте

Классифицируйте каждое число как натуральное число ( N ), целое число ( W ), целое число ( I ), рациональное число ( Q ) и / или иррациональное число ( Q ’).

1. [латекс] — \ dfrac {35} {7} [/ латекс]
2. [латекс] 0 [/ латекс]
3. [латекс] \ sqrt {169} [/ латекс]
4. [латекс] \ sqrt {24} [/ латекс]
5. [латекс] 4,763763763 \ точки [/ латекс]
Показать решение

	натуральное число	целое число	целое число	рациональное число	иррациональное число
[латекс] — \ dfrac {35} {7} [/ латекс]	да	да	да	да	№
[латекс] 0 [/ латекс]	№	да	да	да	№
[латекс] \ sqrt {169} [/ латекс]	да	да	да	да	№
[латекс] \ sqrt {24} [/ латекс]	№	№	№	№	да
[латекс] 4.{2} [/ latex] — математическое выражение. Чтобы вычислить математическое выражение, мы выполняем различные операции. Однако мы не выполняем их в произвольном порядке. Мы используем порядок операций . Это последовательность правил для вычисления таких выражений. Напомним, что в математике мы используем круглые скобки (), квадратные скобки [] и фигурные скобки {} для группировки чисел и выражений, так что все, что появляется в символах, рассматривается как единое целое. Кроме того, столбцы дробей, радикалов и абсолютных значений обрабатываются как символы группировки.{2} = 12 [/ латекс]. Для некоторых сложных выражений потребуется несколько проходов по порядку операций. Например, внутри круглых скобок может быть радикальное выражение, которое необходимо упростить перед вычислением скобок. Соблюдение порядка операций гарантирует, что любой, кто упрощает одно и то же математическое выражение, получит тот же результат. A Общее примечание: порядок работы Операции в математических выражениях должны оцениваться в систематическом порядке, который можно упростить, используя аббревиатуру PEMDAS : . {2} \ right] +1 [/ латекс] Показать решение 1.{2} -4} {7} -3 && \ text {Упрощение радикала} \\ & = \ frac {25-4} {7} -3 && \ text {Степень упрощения} \\ & = \ frac {21} {7} -3 && \ text {Упростить вычитание в числителе} \\ & = 3-3 && \ text {Упростить деление} \\ & = 0 && \ text {Упростить вычитание} \ end {align} [/ latex] Обратите внимание, что на первом шаге радикал рассматривается как символ группировки, например круглые скобки. Кроме того, на третьем этапе полоса дроби считается символом группировки, поэтому числитель считается сгруппированным.{2}] + 1 && \ text {Упростить в круглых скобках} \\ & 7 \ left (15 \ right) -2 \ left (3-16 \ right) +1 && \ text {Упростить показатель степени} \\ & = 7 \ left (15 \ right) -2 \ left (-13 \ right) +1 && \ text {Subtract} \\ & = 105 + 26 + 1 && \ text {Умножение} \\ & = 132 && \ text {Добавить } \ end {align} [/ latex] Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть больше примеров использования порядка операций для упрощения выражения. Использование свойств действительных чисел Для некоторых действий, которые мы выполняем, порядок некоторых операций не имеет значения, но порядок других операций имеет значение.Например, не имеет значения, надеваем ли мы правую обувь перед левой или наоборот. Однако не имеет значения, наденем ли мы сначала туфли или носки. То же самое и с математическими операциями. Коммутативные свойства Коммутативное свойство сложения гласит, что числа можно складывать в любом порядке, не влияя на сумму. [латекс] a + b = b + a [/ латекс] Мы можем лучше увидеть эту взаимосвязь при использовании действительных чисел. [латекс] \ left (-2 \ right) + 7 = 5 \ text {и} 7+ \ left (-2 \ right) = 5 [/ latex] Точно так же коммутативное свойство умножения гласит, что числа можно умножать в любом порядке, не влияя на произведение. [латекс] a \ cdot b = b \ cdot a [/ латекс] Снова рассмотрим пример с действительными числами. [латекс] \ left (-11 \ right) \ cdot \ left (-4 \ right) = 44 \ text {и} \ left (-4 \ right) \ cdot \ left (-11 \ right) = 44 [ / латекс] Важно отметить, что ни вычитание, ни деление не коммутативны.Например, [латекс] 17-5 [/ латекс] не то же самое, что [латекс] 5-17 [/ латекс]. Аналогично [латекс] 20 \ div 5 \ ne 5 \ div 20 [/ латекс]. Ассоциативные свойства Ассоциативное свойство умножения говорит нам, что не имеет значения, как мы группируем числа при умножении. Мы можем перемещать символы группировки, чтобы упростить расчет, при этом продукт остается прежним. [латекс] a \ left (bc \ right) = \ left (ab \ right) c [/ латекс] Рассмотрим этот пример. [латекс] \ left (3 \ cdot4 \ right) \ cdot5 = 60 \ text {и} 3 \ cdot \ left (4 \ cdot5 \ right) = 60 [/ латекс] Ассоциативное свойство сложения говорит нам, что числа могут быть сгруппированы по-разному, не влияя на сумму. [латекс] a + \ left (b + c \ right) = \ left (a + b \ right) + c [/ латекс] Это свойство может быть особенно полезно при работе с отрицательными целыми числами. Рассмотрим этот пример. [латекс] [15+ \ left (-9 \ right)] + 23 = 29 \ text {и} 15 + [\ left (-9 \ right) +23] = 29 [/ латекс] Ассоциативны ли вычитание и деление? Просмотрите эти примеры. [латекс] \ begin {align} 8- \ left (3-15 \ right) & \ stackrel {?} {=} \ Left (8-3 \ right) -15 \\ 8- \ left (-12 \ справа) & \ stackrel {?} = 5-15 \\ 20 & \ neq 20-10 \\ \ text {} \ end {align} [/ latex] [латекс] \ begin {align} 64 \ div \ left (8 \ div4 \ right) & \ stackrel {?} {=} \ Left (64 \ div8 \ right) \ div4 \\ 64 \ div2 & \ stackrel { ?} {=} 8 \ div4 \\ 32 & \ neq 2 \\ \ text {} \ end {align} [/ latex] Как видим, ни вычитание, ни деление не ассоциативны. Распределительная собственность Распределительное свойство утверждает, что произведение множителя на сумму является суммой множителя, умноженного на каждый член в сумме. [латекс] a \ cdot \ left (b + c \ right) = a \ cdot b + a \ cdot c [/ латекс] Это свойство сочетает в себе как сложение, так и умножение (и это единственное свойство). Рассмотрим пример. Обратите внимание, что 4 находится за пределами символов группировки, поэтому мы распределяем 4, умножая его на 12, умножая на –7 и складывая произведения. Чтобы быть более точным, описывая это свойство, мы говорим, что умножение распределяется по сложению. Обратное неверно, как мы видим в этом примере. [латекс] \ begin {align} 6+ \ left (3 \ cdot 5 \ right) и \ stackrel {?} {=} \ Left (6 + 3 \ right) \ cdot \ left (6 + 5 \ right) \\ 6+ \ left (15 \ right) & \ stackrel {?} {=} \ Left (9 \ right) \ cdot \ left (11 \ right) \\ 21 & \ ne 99 \ end {align} [/ latex ] Умножение не распределяет по вычитанию, а деление не распределяет ни по сложению, ни по вычитанию. Особый случай свойства распределения возникает при вычитании суммы членов. [латекс] a-b = a + \ left (-b \ right) [/ латекс] Например, рассмотрим разницу [латекс] 12- \ влево (5 + 3 \ вправо) [/ латекс].Мы можем переписать разницу между двумя терминами 12 и [латекс] \ left (5 + 3 \ right) [/ latex], превратив выражение вычитания в сложение противоположного. Поэтому вместо вычитания [латекс] \ влево (5 + 3 \ вправо) [/ латекс] мы добавляем противоположное. [латекс] 12+ \ влево (-1 \ вправо) \ cdot \ left (5 + 3 \ вправо) [/ латекс] Теперь распределите [latex] -1 [/ latex] и упростите результат. [латекс] \ begin {align} 12+ \ left (-1 \ right) \ cdot \ left (5 + 3 \ right) & = 12 + [\ left (-1 \ right) \ cdot5 + \ left (-1 \ right) \ cdot3] \\ & = 12 + (- 5-3) \\ & = 12+ \ left (-8 \ right) \\ & = 4 \ end {align} [/ latex] Это кажется большой проблемой для простой суммы, но это иллюстрирует мощный результат, который будет полезен, когда мы введем алгебраические термины.Чтобы вычесть сумму членов, измените знак каждого члена и сложите результаты. Имея это в виду, мы можем переписать последний пример. [латекс] \ begin {align} 12- \ left (5 + 3 \ right) & = 12 + \ left (-5-3 \ right) \\ & = 12 + \ left (-8 \ right) \\ & = 4 \ end {align} [/ latex] Свойства идентичности Свойство идентификатора дополнения утверждает, что существует уникальный номер, называемый аддитивным идентификатором (0), который при добавлении к номеру дает исходный номер. [латекс] a + 0 = a [/ латекс] Свойство идентичности умножения утверждает, что существует уникальный номер, называемый мультипликативным идентификатором (1), который при умножении на число дает исходное число. [латекс] a \ cdot 1 = a [/ латекс] Например, у нас есть [латекс] \ left (-6 \ right) + 0 = -6 [/ latex] и [latex] 23 \ cdot 1 = 23 [/ latex]. Для этих свойств нет исключений; они работают для всех действительных чисел, включая 0 и 1. Обратные свойства Свойство , обратное сложению , утверждает, что для каждого действительного числа a существует уникальное число, называемое аддитивным обратным (или противоположным), обозначаемое — a , которое при добавлении к исходному числу дает в аддитивном тождестве 0. [латекс] a + \ left (-a \ right) = 0 [/ латекс] Например, если [latex] a = -8 [/ latex], аддитивная инверсия равна 8, поскольку [latex] \ left (-8 \ right) + 8 = 0 [/ latex]. Свойство, обратное умножению , сохраняется для всех действительных чисел, кроме 0, поскольку величина, обратная 0, не определена. Свойство заявляет, что для каждого действительного числа a существует уникальное число, называемое обратным мультипликативным (или обратным), обозначаемое [latex] \ frac {1} {a} [/ latex], которое при умножении на исходное число, приводит к мультипликативному тождеству, 1. [латекс] a \ cdot \ dfrac {1} {a} = 1 [/ латекс] Например, если [latex] a = — \ frac {2} {3} [/ latex], обратная величина, обозначенная [latex] \ frac {1} {a} [/ latex], будет [latex] — \ гидроразрыв {3} {2} [/ latex], потому что [латекс] a \ cdot \ dfrac {1} {a} = \ left (- \ dfrac {2} {3} \ right) \ cdot \ left (- \ dfrac {3} {2} \ right) = 1 [/ латекс] Общее примечание: свойства действительных чисел Следующие свойства имеют место для действительных чисел a , b и c . Дополнение Умножение Коммутационная собственность [латекс] a + b = b + a [/ латекс] [латекс] a \ cdot b = b \ cdot a [/ латекс] Ассоциативное свойство [латекс] a + \ left (b + c \ right) = \ left (a + b \ right) + c [/ латекс] [латекс] a \ left (bc \ right) = \ left (ab \ right) c [/ латекс] Распределительная собственность [латекс] a \ cdot \ left (b + c \ right) = a \ cdot b + a \ cdot c [/ латекс] Идентификационная собственность Существует уникальное действительное число, называемое аддитивным идентификатором, 0, такое, что для любого действительного числа a [латекс] a + 0 = a [/ латекс] Существует уникальное действительное число, называемое мультипликативным тождеством, 1, такое, что для любого действительного числа a [латекс] a \ cdot 1 = a [/ латекс] Обратное свойство Каждое действительное число a имеет аддитивное обратное или противоположное, обозначенное –a , так что [латекс] a + \ left (-a \ right) = 0 [/ латекс] Каждое ненулевое действительное число a имеет обратное мультипликативное или обратное число, обозначаемое [latex] \ frac {1} {a} [/ latex], такое, что [латекс] a \ cdot \ left (\ dfrac {1} {a} \ right) = 1 [/ latex] Пример: использование свойств действительных чисел Используйте свойства действительных чисел, чтобы переписать и упростить каждое выражение.Укажите, какие свойства применимы. [латекс] 3 \ cdot 6 + 3 \ cdot 4 [/ латекс] [латекс] \ влево (5 + 8 \ вправо) + \ влево (-8 \ вправо) [/ латекс] [латекс] 6- \ левый (15 + 9 \ правый) [/ латекс] [латекс] \ dfrac {4} {7} \ cdot \ left (\ frac {2} {3} \ cdot \ dfrac {7} {4} \ right) [/ latex] [латекс] 100 \ cdot \ left [0,75+ \ left (-2,38 \ right) \ right] [/ латекс] Показать решение 1. [латекс] \ begin {align} 3 \ cdot6 + 3 \ cdot4 & = 3 \ cdot \ left (6 + 4 \ right) && \ text {Распределительное свойство} \\ & = 3 \ cdot10 && \ text {Simplify} \\ & = 30 && \ text {Simplify} \ end {align} [/ latex] 2. [латекс] \ begin {align} \ left (5 + 8 \ right) + \ left (-8 \ right) & = 5 + \ left [8+ \ left (-8 \ right) \ right] && \ text {Ассоциативное свойство сложения} \\ & = 5 + 0 && \ text {Обратное свойство сложения} \\ & = 5 && \ text {Идентификационное свойство сложения} \ end {align} [/ latex] 3. [латекс] \ begin {align} 6- \ left (15 + 9 \ right) & = 6 + (- 15-9) && \ text {Распределительное свойство} \\ & = 6 + \ left (-24 \ right ) && \ text {Simplify} \\ & = -18 && \ text {Simplify} \ end {align} [/ latex] 4. [латекс] \ begin {align} \ frac {4} {7} \ cdot \ left (\ frac {2} {3} \ cdot \ frac {7} {4} \ right) & = \ frac {4} {7} \ cdot \ left (\ frac {7} {4} \ cdot \ frac {2} {3} \ right) && \ text {Коммутативное свойство умножения} \\ & = \ left (\ frac {4} {7} \ cdot \ frac {7} {4} \ right) \ cdot \ frac {2} {3} && \ text {Ассоциативное свойство умножения} \\ & = 1 \ cdot \ frac {2} {3} && \ text {Обратное свойство умножения} \\ & = \ frac {2} {3} && \ text {Идентификационное свойство умножения} \ end {align} [/ latex] 5. [латекс] \ begin {align} 100 \ cdot [0,75+ \ left (-2,38 \ right)] & = 100 \ cdot0.75 + 100 \ cdot \ left (-2,38 \ right) && \ text {Распределительное свойство} \\ & = 75 + \ left (-238 \ right) && \ text {Simplify} \\ & = -163 && \ text {Simplify} \ end {align} [/ latex] Попробуйте Используйте свойства действительных чисел, чтобы переписать и упростить каждое выражение. Укажите, какие свойства применимы. [латекс] \ left (- \ dfrac {23} {5} \ right) \ cdot \ left [11 \ cdot \ left (- \ dfrac {5} {23} \ right) \ right] [/ латекс] [латекс] 5 \ cdot \ left (6.2 + 0,4 \ правый) [/ латекс] [латекс] 18- \ левый (7-15 \ правый) [/ латекс] [латекс] \ dfrac {17} {18} + \ cdot \ left [\ dfrac {4} {9} + \ left (- \ dfrac {17} {18} \ right) \ right] [/ latex] [латекс] 6 \ cdot \ left (-3 \ right) +6 \ cdot 3 [/ латекс] Показать решение 11, коммутативное свойство умножения, ассоциативное свойство умножения, обратное свойство умножения, тождественное свойство умножения; 33, распределительное имущество; 26, распределительное имущество; [latex] \ dfrac {4} {9} [/ latex], коммутативное свойство сложения, ассоциативное свойство сложения, обратное свойство сложения, тождественное свойство сложения; 0, свойство распределения, свойство, обратное сложению, свойство идентичности добавления Вычисление и упрощение алгебраических выражений До сих пор в математических выражениях, которые мы видели, использовались только действительные числа.{2}} [/ латекс]. В выражении [latex] x + 5,5 [/ latex] называется константой , потому что она не меняется, а x называется переменной , потому что это так. (При именовании переменной игнорируйте любые экспоненты или радикалы, содержащие переменную.) Алгебраическое выражение — это набор констант и переменных, объединенных вместе алгебраическими операциями сложения, вычитания, умножения и деления. Мы уже видели несколько реальных числовых примеров экспоненциальной записи, сокращенного метода записи продуктов того же множителя.{3} = \ left (yz \ right) \ cdot \ left (yz \ right) \ cdot \ left (yz \ right) \\ \ text {} \ end {align} [/ latex] В каждом случае показатель степени говорит нам, сколько факторов базы использовать, независимо от того, состоит ли база из констант или переменных. Любая переменная в алгебраическом выражении может принимать или иметь разные значения. Когда это происходит, значение алгебраического выражения меняется. Вычислить алгебраическое выражение означает определить значение выражения для данного значения каждой переменной в выражении.{2}} [/ латекс]	2	[латекс] м, н [/ латекс]

Пример: вычисление алгебраического выражения при различных значениях

Вычислите выражение [латекс] 2x — 7 [/ latex] для каждого значения x.

1. [латекс] x = 0 [/ латекс]
2. [латекс] x = 1 [/ латекс]
3. [латекс] x = \ dfrac {1} {2} [/ латекс]
4. [латекс] x = -4 [/ латекс]
Показать решение
1. Заменить 0 на [латекс] x [/ латекс].

   [латекс] \ begin {align} 2x-7 & = 2 \ left (0 \ right) -7 \\ & = 0-7 \\ & = -7 \ end {align} [/ latex]

2. Заменить 1 на [латекс] x [/ латекс].

   [латекс] \ begin {align} 2x-7 & = 2 \ left (1 \ right) -7 \\ & = 2-7 ​​\\ & = -5 \ end {align} [/ latex]

3. Замените [латекс] \ dfrac {1} {2} [/ latex] на [latex] x [/ latex].

   [латекс] \ begin {align} 2x-7 & = 2 \ left (\ frac {1} {2} \ right) -7 \\ & = 1-7 \\ & = -6 \ end {align} [ / латекс]

4. Заменить [латекс] -4 [/ латекс] на [латекс] х [/ латекс].

   [латекс] \ begin {align} 2x-7 & = 2 \ left (-4 \ right) -7 \\ & = -8-7 \\ & = -15 \ end {align} [/ latex]

Пример: вычисление алгебраических выражений

Оцените каждое выражение для заданных значений.{2}} [/ latex] для [латекса] m = 2, n = 3 [/ latex]