От столба к дому натянут провод длиной 10 метров: От столба к дому натянут провод длиной 10 м, который закреплён на стене дома на…

[латекс]\boldsymbol{F = k\Delta{L},}[/латекс]

, где Δ L — величина деформации (например, изменение длины), вызванная силой F , а k — константа пропорциональности, которая зависит от формы и состава объект и направление силы. Обратите внимание, что эта сила является функцией деформации Δ L — не постоянна, как кинетическая сила трения. Иногда мы используем Δ x вместо Δ L. Деформация может быть вдоль любой оси. Переставить это на

[латекс]\boldsymbol{\Delta{L}\: = }[/латекс][латекс]\boldsymbol{\frac{F}{k}}[/латекс]

дает понять, что деформация пропорциональна приложенной силе. На рис. 1 показана зависимость по закону Гука между расширением Δ L пружины или человеческой кости. Для металлов или пружин прямолинейная область, к которой относится закон Гука, намного больше. Кости хрупкие, эластичная область мала, а перелом внезапный. В конце концов, достаточно большое напряжение на материале приведет к его разрыву или разрушению. Прочность на растяжение — это разрушающее напряжение, вызывающее необратимую деформацию или разрушение материала.

ЗАКОН ГУКА

[латекс]\boldsymbol{F = k\Delta{L},}[/латекс]

, где Δ L — величина деформации (например, изменение длины), вызванная силой F , а k — константа пропорциональности, зависящая от формы и состава объекта и направления силы.

[латекс]\boldsymbol{\Delta{L}\:=}[/латекс][латекс]\boldsymbol{\frac{F}{k}}[/латекс]

Константа пропорциональности k зависит от ряда факторов для материала. Например, гитарная струна из нейлона растягивается при натяжении, причем удлинение Δ L пропорционально приложенной силе (по крайней мере, при малых деформациях). Более толстые нейлоновые струны и те, что сделаны из стали, меньше растягиваются при одном и том же приложенном усилии, что означает, что они имеют большее 9-кратное усилие.0111 к (см. рис. 2). Наконец, все три струны возвращаются к своей нормальной длине после снятия силы при условии, что деформация невелика. Большинство материалов ведет себя таким образом, если деформация составляет менее примерно 0,1% или примерно 1 часть на 10 ³ .

НЕМНОГО ПОТЯНИТЕСЬ

Как бы вы измерили константу пропорциональности k резиновой ленты? Если резиновая лента растянулась на 3 см, когда к ней прикреплен груз массой 100 г, то насколько сильно она растянется, если две одинаковые резиновые ленты будут прикреплены к одной и той же массе, даже если их сложить параллельно или, наоборот, связать вместе последовательно?

Решения

Задачи и упражнения

1) 110 Н/м

2) 0,0101 м = 1,01 см

3) 1,11 ньютона

4) 6,0 см       По соотношению и пропорции      12 Н/4,0 см? так ? = 18 х 4 / 12 =

Теперь рассмотрим тип деформации, вызывающий изменение длины (растяжение и сжатие). Существуют также боковые силы, вызывающие сдвиг (напряжение) и изменение объема, но мы не будем подробно останавливаться на них в этом курсе.

Изменение длины Δ L образуется при приложении к проволоке или стержню силы, параллельной его длине L ₀ , либо растяжения (растяжение), либо сжатия. (См. рис. 3.)

Эксперименты показали, что изменение длины ( Δ L ) зависит лишь от нескольких переменных. Как уже отмечалось, Δ L пропорциональна силе F и зависит от вещества, из которого сделан объект. Кроме того, изменение длины пропорционально исходной длине L ₀ и обратно пропорциональна площади поперечного сечения проволоки или стержня. Например, длинная гитарная струна растянется больше, чем короткая, а толстая струна растянется меньше, чем тонкая. Мы можем объединить все эти факторы в одно уравнение для Δ L :

[латекс]\boldsymbol{\Delta{L}\:=}[/латекс][латекс]\boldsymbol{\frac{1}{Y}\frac{\vec{\textbf{F}}}{A} }[/латекс][латекс]\boldsymbol{L_0},[/латекс]

Стратегия

Сила равна максимальному натяжению, или F = 3,0 × 10 ⁶ Н . Площадь поперечного сечения π r ² = 2,46 × 10 ^-3 м ² . Уравнение [латекс]\жирныйсимвол{\Delta{L} = \frac{1}{Y}\frac{F}{A}L_0}[/latex] можно использовать для определения изменения длины. 92})(3020\textbf{ m})}[/latex]

[latex]\boldsymbol{=18\textbf{ m}}.[/latex]

Обсуждение

Это довольно натянуто, но только около 0,6% длины без поддержки. Влияние температуры на длину может быть важным в этих условиях.

Кости в целом не ломаются при растяжении или сжатии. Скорее, они обычно ломаются из-за бокового удара или изгиба, что приводит к сдвигу или хрусту кости. Поведение костей при растяжении и сжатии важно, поскольку оно определяет нагрузку, которую кости могут нести. Кости классифицируются как несущие конструкции, такие как колонны в зданиях и деревьях. Несущие конструкции имеют особенности; колонны в здании имеют стальные арматурные стержни, а деревья и кости — волокнистые. Кости в разных частях тела выполняют разные структурные функции и подвержены разным нагрузкам. Таким образом, кость в верхней части бедренной кости располагается тонкими пластинками, разделенными костным мозгом, тогда как в других местах кости могут быть цилиндрическими и наполненными костным мозгом или просто сплошными. Люди с избыточным весом склонны к повреждению костей из-за постоянного сжатия в суставах и сухожилиях.

Другой биологический пример закона Гука происходит в сухожилиях. Функционально сухожилие (ткань, соединяющая мышцу с костью) должно сначала легко растягиваться при приложении силы, но обеспечивать гораздо большую восстанавливающую силу при большем напряжении. На рис. 5 показана зависимость между напряжением и деформацией сухожилия человека. Некоторые сухожилия имеют высокое содержание коллагена, поэтому напряжение или изменение длины относительно невелики; другие, такие как опорные сухожилия (как в ноге), могут изменять длину до 10%. Обратите внимание, что эта кривая напряжения-деформации нелинейна, поскольку наклон линии изменяется в разных областях. В первой части растяжения, называемой областью пальцев, волокна сухожилия начинают выстраиваться в направлении напряжения — это называется 9.0111 разжимной . В линейной области фибриллы будут растягиваться, а в области разрушения отдельные волокна начинают рваться. Простую модель этой взаимосвязи можно проиллюстрировать параллельными пружинами: разные пружины активируются при разной длине растяжения. Примеры этого приведены в задачах в конце этой главы. Связки (ткань, соединяющая кость с костью) ведут себя аналогичным образом.

В отличие от костей и сухожилий, которые должны быть прочными и эластичными, артерии и легкие должны быть очень растяжимыми. Эластические свойства артерий необходимы для кровотока. Давление в артериях увеличивается, и стенки артерий растягиваются, когда кровь выталкивается из сердца. Когда аортальный клапан закрывается, давление в артериях падает, и стенки артерий расслабляются, чтобы поддерживать кровоток. Когда вы чувствуете свой пульс, вы чувствуете именно это — эластичное поведение артерий по мере того, как кровь течет через них при каждом толчке сердца. Если бы артерии были жесткими, вы бы не почувствовали пульс. Сердце также является органом с особыми эластическими свойствами. Легкие расширяются за счет мышечного усилия, когда мы вдыхаем, но свободно и эластично расслабляются, когда мы выдыхаем. Наша кожа особенно эластична, особенно у молодых. Молодой человек может похудеть со 100 кг до 60 кг без видимых провисаний кожи. Эластичность всех органов с возрастом снижается. Постепенное физиологическое старение за счет снижения эластичности начинается в начале 20-летнего возраста.

Пример 2. Расчет деформации: насколько укорачивается ваша нога, когда вы стоите на ней?

Рассчитайте изменение длины бедренной кости бедра, когда мужчина массой 70,0 кг поддерживает на ней 62,0 кг своего веса, принимая, что кость эквивалентна однородному стержню длиной 40,0 см и радиусом 2,00 см . 2) = 607.6\textbf{N}},[/латекс]

, а площадь поперечного сечения равна π r ² = 1,257 × 10 ^-3 м ² . Уравнение [латекс]\жирныйсимвол{\Delta{L} = \frac{1}{Y}\frac{F}{A}L_0}[/latex] можно использовать для определения изменения длины.

Раствор

Все количества, кроме Δ L , известны. Обратите внимание, что здесь необходимо использовать значение сжатия для модуля Юнга кости. Таким образом,

[латекс]\boldsymbol{\Delta{L}=(\frac{1}{9{-5}\textbf{ м}}.[/latex]

Обсуждение

Это небольшое изменение длины кажется разумным, согласующимся с нашим опытом, что кости жесткие. На самом деле, даже довольно большие силы, возникающие при напряженной физической работе, не сильно сжимают или сгибают кости. Хотя кость является жесткой по сравнению с жиром или мышцами, некоторые из веществ, перечисленных в таблице 3, имеют более высокие значения модуля Юнга Y . Другими словами, они более жесткие.

Уравнение изменения длины традиционно перестраивается и записывается в следующем виде:

[латекс]\boldsymbol{\frac{F}{A}}[/latex][латекс]\boldsymbol{=Y}[/латекс][латекс]\boldsymbol{\frac{\Delta{L}}{L_0 }}.[/латекс]

Отношение силы к площади [латекс]\boldsymbol{\frac{F}{A}},[/латекс] определяется как напряжение (измеряется в Н/м ² ), а отношение изменения длины в длину,[латекс]\жирныйсимвол{\гидроразрыва{\Delta{L}}{L_0}},[/латекс]определяется как штамм (безразмерное количество). Другими словами,

[латекс]\boldsymbol{\textbf{стресс}=Y\times\textbf{штамм}}.[/латекс]

В этой форме уравнение аналогично закону Гука, где напряжение аналогично силе, а деформация аналогична деформации. Если мы снова перепишем это уравнение к виду

[латекс]\boldsymbol{F=YA}[/латекс][латекс]\boldsymbol{\frac{\Delta{L}}{L_0}},[/latex]

видим, что это то же самое, что и закон Гука с константой пропорциональности

[латекс]\boldsymbol{k\:=}[/латекс][латекс]\boldsymbol{\frac{YA}{L_0}}. [/latex]

Эта общая идея о том, что сила и вызываемая ею деформация пропорциональны малым деформациям, применима к изменениям длины, боковому изгибу и изменениям объема.

НАПРЯЖЕНИЕ

Отношение силы к площади [латекс]\boldsymbol{\frac{F}{A}},[/латекс] определяется как напряжение, измеренное в Н/м ² .

НАПРЯЖЕНИЕ

Отношение изменения длины к длине [латекс]\boldsymbol{\frac{\Delta{L}}{L_0}},[/латекс] определяется как напряжение (безразмерная величина). Другими словами,

[латекс]\boldsymbol{\textbf{стресс}=Y\times\textbf{штамм}}.[/латекс]

• Закон Гука определяется выражением

  [латекс]\boldsymbol{F=k\Delta{L}},[/latex]    или  [латекс]\boldsymbol{F=k\Delta{x}},[/latex]

  , где Δ L — величина деформации (изменение длины), F — приложенная сила, а k — константа пропорциональности, зависящая от формы и состава объекта. и направление силы. Связь между деформацией и приложенной силой также можно записать как

  [латекс]\boldsymbol{\Delta{L}\:=}[/латекс][латекс]\boldsymbol{\frac{1}{Y}\frac{F}{A}}[/latex][латекс] \boldsymbol{L_0},[/латекс]

  , где Y — это модуль Юнга , который зависит от вещества, A — площадь поперечного сечения, а L ₀ — исходная длина.

• Отношение силы к площади [латекс]\boldsymbol{\frac{F}{A}},[/латекс] определяется как напряжение , измеренное в Н/м ² .
• Отношение изменения длины к длине [латекс]\boldsymbol{\frac{\Delta{L}}{L_0}},[/латекс] определяется как штамм (безразмерная величина). Другими словами,

  [латекс]\boldsymbol{\textbf{стресс}=Y\times\textbf{штамм}}.[/латекс]

Сноски

1. 1 Приблизительные и средние значения. Модули Юнга Y для растяжения и сжатия иногда различаются, но здесь они усреднены.