Алгебра – основные понятия и формулы. Готовимся к ЕГЭ по Математике

В школьном курсе алгебры не так уж много теории. Намного больше практики, то есть секретов и приемов решения задач. Хороший репетитор-математик вряд ли будет читать вам на каждом уроке длинные лекции. Он скажет: «Смотри, как решаются такие задачи!»

И все-таки минимальное знание теории необходимо. Основные понятия и формулы надо знать наизусть.

Например, что такое квадратный корень из неотрицательного числа?

Что такое модуль числа?

Для каких чисел существуют логарифмы?

Чем действительные числа отличаются от рациональных?

Как узнать, что число делится на 11?

На этой странице – все основные темы и понятия алгебры, необходимые учащимся 10-11 класса. И еще – полезная информация о том, как считать быстро и без калькулятора и как легко запоминать формулы.

Числовые множества

Делимость чисел

Правила округления чисел 

Таблица квадратов натуральных чисел и формулы сокращенного умножения

ЕГЭ без ошибок. Считаем быстро и без калькулятора

Как запоминать формулы

Основы логики. Система условий, совокупность условий

Квадратный корень

Корни и степени

Логарифмы

Модуль числа

Число e

Проверь себя. Помнишь ли ты основные понятия алгебры?

Арифметический квадратный корень из числа a — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

— Определение модуля числа:

— Что такое ?  Запомним:

— Знаешь ли ты, что корни второй, третьей, четвертой, пятой,

n-ной степени можно записывать просто как степени? И это намного удобнее. Например,

Напомним, что корень третьей степени из а – такое число, при возведении которого в третью степень получается число а.

Аналогично, корень четвертой степени из а – такое неотрицательное число, при возведении которого в четвертую степень получается число а.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a , чтобы получить b.

При этом

 

 

  Поиск Поиск
  • Школьный помощник
    • математика 5 класс
    • математика 6 класс
    • алгебра 7 класс
    • алгебра 8 класс
    • геометрия 7 класс
    • русский язык 5 класс
    • русский язык 6 класс
    • русский язык 7 класс
  • математика
  • алгебра
  • геометрия
  • русский язык

«»

следующая предыдущая вернуться на предыдущую страницу

Такой страницы нет !!!

  • Популярные запросы
    • Обстоятельство
    • Дополнение
    • Определение
    • Деление дробей
    • Русский язык 5 класс
    • Русский язык 6 класс
    • Алгебра 7 класс
    • Русский язык 7 класс
    • Математика 6 класс
    • Математика 5 класс
    • Алгебра 8 класс
    • Наименьшее общее кратное
    • Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
    • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / — гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
    • Буквы о и а в корнях -кос- / -кас-; -гор- / — гар-; -клан- / -клон-; -зар- / -зор-
    • Деление и дроби
    • Квадратный корень из неотрицательного числа
    • Доли. Обыкновенные дроби
    • Окружность и круг
    • Антонимы. Синонимы
    • Десятичная запись дробных чисел
    • Буквы о – а в корнях -лаг- / -лож-, -рос- / -раст- (-ращ-)

4.2. Основные законы алгебры логики и правила преобразования логических выражений. Информатика: аппаратные средства персонального компьютера

Читайте также

Пользовательский интерфейс и основные правила работы с программой

Пользовательский интерфейс и основные правила работы с программой После запуска программы на экране отображается ее пользовательский интерфейс, который представлен на рис. 7.1. Рис.

Правила написания выражений

Правила написания выражений В процессе чтения этой главы мы изучили множество выражений JavaScript. Но так и не узнали, по каким правилам они пишутся. Настала пора восполнить пробел в наших знаниях.— Между операндами, операторами, вызовами функций и методов и ключевыми

Правила написания выражений

Правила написания выражений В процессе чтения этой главы мы изучили множество выражений JavaScript. Но так и не узнали, по каким правилам они пишутся. Настала пора восполнить пробел в наших знаниях. — Между операндами, операторами, вызовами функций и методов и ключевыми

Основные законы теории цепей

Основные законы теории цепей При изучении электрических цепей широко применяется второй закон Кирхгофа, согласно которому алгебраическая сумма напряжений на замкнутом контуре равна 0. Первый закон Кирхгофа относится к токам, подходящим к узлу, и утверждает, что

Глава 1 Основные правила оформления рефератов, курсовых и дипломных работ

Глава 1 Основные правила оформления рефератов, курсовых и дипломных работ • Общие сведения об оформлении• Структура работы• Межгосударственный стандарт ГОСТ 7.1—2003• Заголовки• Оформление текста (границы, абзацы, размер шрифта,

2.2. Основные правила форматирования

2.2. Основные правила форматирования Форматирование текстаТекст в редакторе Word можно набирать разными шрифтами. Программа предусматривает установку размера, типа и начертания шрифта. Перед форматированием необходимо выделить фрагмент текста, который требуется

6. Выражения реляционной алгебры

6. Выражения реляционной алгебры Покажем, как можно использовать рассмотренные ранее выражения и операции реляционной алгебры в практической эксплуатации различных баз данных.Пусть для примера в нашем распоряжении имеется фрагмент какой-то коммерческой базы

Глава 1 Основные правила оформления рефератов, курсовых и дипломных работ

Глава 1 Основные правила оформления рефератов, курсовых и дипломных работ Сведения о правилах оформления рефератов, курсовых и дипломных работ обычно предоставляют студентам в каждом учебном заведении. В большинстве случаев можно выделить основные общие требования и

2.2. Основные правила форматирования

2.2. Основные правила форматирования Форматирование текста Текст в редакторе Word можно набирать разными шрифтами. Программа предусматривает установку размера, типа и начертания шрифта. Перед форматированием необходимо выделить фрагмент текста, который требуется

5.2.1. Основные правила эксплуатации ноутбука

5.2.1. Основные правила эксплуатации ноутбука Не нужно загромождать воздушное пространство на расстоянии примерно 10–15 см вокруг ноутбука — оно необходимо для нормальной вентиляции.Не курите рядом с ноутбуком, чтобы пепел не падал на клавиатуру.Не нужно принимать пищу и

5.1.3. Основные правила набора текста

5.1.3. Основные правила набора текста При работе с электронным документом помимо правил русского языка следует знать и использовать правила набора текста? Переход на новую строку в процессе набора текста происходит автоматически, не требуя ввода специального символа?

Основные правила работы за компьютером

Основные правила работы за компьютером Многие родители, родственники, руководители учебных заведений задаются не праздным вопросом о том, существуют ли правила работы с компьютером, позволяющие сохранить здоровье и продуктивно работать? Разные исследователи и научные

Основные правила композиции

Основные правила композиции Ваши фотографии должны смотреться красиво и привлекательно, а для этого при построении кадра необходимо соблюдать несложные правила, которые обеспечат снимкам наилучший вид. Эти правила нужно «пропустить через себя», то есть добиться того,

Основные законы алгебры логики

Для преобразования функций, упрощения формул, полученных при формализации условий логических задач, в алгебре логики производятся эквивалентные преобразования, опирающиеся на основные логические законы. Некоторые из этих законов формулируются и записываются так же, как аналогичные законы в арифметике и алгебре, другие выглядят непривычно.

Законы алгебры логики называют иногда теоремами.

В алгебре высказываний логические законы выражаются в виде равенства эквивалентных формул.

В справедливости всех законов можно убедиться, построив таблицы истинности для левой и правой частей записанного закона. После упрощения выражения с применением законов алгебры логики таблицы истинности совпадают.

Справедливость части законов можно доказать, применяя инструментарий таблиц истинности.

Рисунок 1.

default/handbook/article/relatedWorks.twig

Примеры

  • Составим таблицу истинности для выражения

    Рисунок 2.

    В первые два столбца таблицы запишем четыре возможных пары значений $x$ и $y$, в последующих столбцах — значения промежуточных выражений, а в последнем столбце — значение исходного выражения. В результате получим таблицу:

Рисунок 3.

Упростим исходное выражение, используя основные законы алгебры логики:

Рисунок 4.

(закон Де Моргана, распределительный закон для И, закон идемпотенции, операция переменной с её инверсией).

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных $x$ и $y$ формула на рис.2 принимает значение $1$, то есть является тождественно истинной.

  • Составим таблицу истинности для выражения:

    Рисунок 5.

    , которое содержит две переменные $x$ и $y$. В первые два столбца таблицы запишем четыре возможных пары значений $x$ и $y$, в последующих столбцах — значения промежуточных выражений, а в последнем столбце — значение исходного выражения. В результате получим таблицу:

Рисунок 6.

Из таблицы видно, что Исходное выражение принимает такие же значения, что и Упрощенное выражение на соответствующих значениях переменных $x$ и $y$.

Упростим выражение на рис.5, применяя основные законы алгебры логики.

Рисунок 7.

(закон Де Моргана, закон поглощения, распределительный закон для И).

  • Составим таблицу истинности для выражения

    Рисунок 8.

Рисунок 9.

Из таблицы видно, что при всех наборах значений переменных $x$ и $y$ формула на рис.8 принимает значение $0$, то есть является тождественно ложной.

Упростим выражение, применяя законы алгебры логики:

Рисунок 10.

  • Упростим выражение:

    Рисунок 11.

Рисунок 12.

(закон Де Могргана, распределительный).

Составим таблицу истинности для выражения на рис.11:

Рисунок 13.

Из таблицы видно, что выражение на рис.11 в некоторых случаях принимает значение $1$, а в некоторых — $0$, то есть является выполнимым.

(правило де Моргана, выносим за скобки общий множитель, правило операций переменной с её инверсией).

  • Упростить выражение используя законы алгебры логики:

    Рисунок 15.

(повторяется второй сомножитель, что возможно используя закон идемпотенции; затем комбинируются два первых и два последних сомножителя и используется закон склеивания).

  • Упростить выражение используя законы алгебры логики:

    Рисунок 16.

(вводим вспомогательный логический сомножитель

Рисунок 17.

Основные формулы алгебры — HintFox

Имеется несколько случаев, когда умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один многочлен на другой, а пользоваться готовым результатом.

Формула — буквенное выражение или равенство, показывающее зависимость между величинами. Формула может указывать зависимость какой-то величины и от нескольких других величин.

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем Бинома Ньютона. Смысл формул сокращенного умножения следующий: некоторые комбинации многочленов второй третьей и более высоких степеней можно представить в виде произведения множителей, состоящих из тех же переменных, что и исходные многочлены, но имеющих более низкие степени. Так, например, разность квадратов двух величин можно свести к разности и сумме этих величин. Разность кубов сводится к разности и некоторой комбинации второй степени. Главное, что вам следует понимать и держать в голове, что если у вас некоторая комбинация, но ее можно упростить с помощью этих формул.

Квадрат суммы и квадрат разности.

Умножим двучлен a+b на себя, т. е. раскроем скобки в произведении (a+b)(a+b),или, что то же самое, в выражении (a+b)[2]:

(a+b)2= (a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+ab+ab+b2-квадрат суммы

Аналогично получаем:

(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ba-b2=a2-2ab+b2-квадрат разности

Пример № 1. Преобразуйте выражение:

(5а[2]-4b[3])[2]

Воспользуемся формулой(2), учтя, что в роли а выступает 5а[2], а в роли b выступает 4b[3]. Получим:

(5а[2]-4b[3])[2]=(5а[2])[2]-2·5а[2]·4b[3]+(4b[3])[2]=25а[4]-40а [2]b[3]+16b[6] а b

Формулы сокращённого умножения применяются и в геометрии. Пусть а и b — положительные числа. Рассмотрим квадрат со стороной а+b и вырежем в двух его углах квадраты со сторонами, соответственно равными а и b .

b b а а а b

Площадь квадрата со стороной а+b равна (а+b)[2]. Этот квадрат мы разделим на четыре части: квадрат со стороной а (его площадь равна а[2]), квадрат со стороной b (его площадь равна b[2]), два прямоугольника со сторонами а и b (площадь каждого такого прямоугольника равна аb). Значит, (а+b)[2]=а[2]+2аb+b[2], т. е. получили формулу.

Разность квадратов.

Умножим двучлен а+b на двучлен а-b:

(а+b)(а-b) = а[2]-аb+bа-b[2]= а[2]-b[2] — разность квадратов.

Любое верное равенство в математике употребляются как слева направо, так и справа налево: (а + b)(а — b) = а[2]-b[2]; а[2]-b2 = (а + b)(а — b).

Пример № 2: Преобразуйте выражение: а)(3х-2у)(3х+2у)=(3х)[2]-(2у)[2]=9х[2]-4у[2] б) Представить двучлен 16х[4]-9 в виде произведения двучленов.

Решение: 16х[4]-9 — этот двучлен есть разность квадратов, т. е. к нему можно применить формулу (3), прочитанную справа налево. Тогда получим:

16х[4]-9=(4х[2])[2]-(3)[2]=(4х[2]+3)(4х[2]-3).

Завершим разговор о формуле разности квадратов любопытным геометрическим рассуждением.

Пусть а и b- положительные числа, причём а больше в. Рассмотрим прямоугольник со сторонами а+b и а- b (рис. 2). Его площадь равна (а+b)(а-b). Отрежем прямоугольник со сторонами b и а-b и подклеим его к оставшейся части так как показано на рисунке 3. Ясно, что полученная фигура имеет ту же площадь, т. е. (а+b)(а-b). Но эту фигуру можно построить так: из квадрата со стороной а вырезать квадрат со стороной b.

Значит, площадь новой фигуры равна а[2]-b[2]. Итак, (а+b)(а-b)=а[2]-b[2], т. е. получили формулу. a b a-b a-b a-b

Сумма и разность кубов.

Умножим двучлен а-в на трёхчлен а[2]+ав+в[2]:

(а-в)(а[2]+ав+в[2])=а·а+а·ав+а·в[2]-в·а[2]-в·ав-вв2 = а[3]+а [2]в+ав[2]-а [2]в-ав[2]-в[3]=а[3]-в[3]

(а-в)(а[2]+ав+в[2])= а[3]-в[3] — разность кубов

Аналогично:

(а+в)(а[2]-ав+в[2])=а[3]+в[3] — сумма кубов

Пример №3: Преобразуйте выражение:

(2х-1)(4х[2]+2х+1) т. к. первый множитель есть разность одночленов 2х и 1, а второй множитель — неполный квадрат их суммы, то можно воспользоваться формулой . Получим:

(2х-1)(4х[2]+2х+1)=(2х)[3]-(1)[3]=8х[3]-1

В заключении ещё раз повторим, что все полученные формулы (1)-(5) используются как слева направо, так и справа налево, только в первом случае (слева направо) говорят, что (1)-(5)- формулы сокращённого умножения, а во втором случае (справа налево) говорят, что (1)-(5)- формулы разложения на множители.

Где на практике можно применять формулы сокращенного умножения?

Варианты применения:

1. При решении уравнений.

2. При разложении многочлена на множители.

3. При доказательстве тождеств.

4. При доказательстве теорем в геометрии.

5. При решении неравенств.

6. При сравнении чисел.

1. При решении уравнений:

Пример 1: Решите уравнение: (х -6)[2] — х (х +8) = 2.

Решение: Применим к левой части уравнения формулу квадрат разности и раскроем скобки: х[2] — 12х + 36 — х[2] — 8х = 2. После упрощения левой части, получаем: 36 -20х =2. Откуда х = 1,7.

2. При разложении многочлена на множители

Пример 1: Разложите на множители:

Выражение (x+3)[2]-16 в явной форме ни одно из семи тождеств не представляет, но число 16 представим в виде степени с основанием 4, т. е. 16 = 4[2]. Тогда выражение

(x+3)[2]-16 = (x+3)[2]- 4[2]=(x+3-4)(x+3+4)=(x-1)(x+7).

Пример 2: Разложите на множители: 6x[2]+24xy+24y[2]

Анализируя, видим, что в каждом слагаемом можно вынести общий множитель 6 за скобки. Получим: 6(x[2]+4xy+4y[2]). Выражение в скобках представляет собой разложенный квадрат суммы двух выражений: х[2]+4ху+4у[2]=(х+2у)[2]. Теперь наше выражение примет вид:

6х[2]+24ху+24у[2]=6(х+2у)[2]=6(х+2у)(х+2у).

3. При доказательстве тождеств.

Иногда формулы сокращенного умножения называют тождествами.

Тождество- равенство, верное при любых значениях переменных.

Например, равенство 3(х + у) = 3х + 3у верно при любых значениях х и у.

Пример 1: Докажите тождество: 9а2+6аb+b23a+b = 27a3+b39a2-3ab+b2

3a+b23a+b=3a+b(9a2-3ab+b2)9a2-3ab+b2

После сокращения, имеем:

3а + b = 3а + b

4. При доказательстве теорем в геометрии.

Пример 1:

Теорема Пифагора.

Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a,b и гипотенузой (рис. а). Докажем, что с[2] = a[2] + b[2]

Достроим треугольник до квадрата со стороной, а + b так, как показано на (рис. б). Площадь S этого квадрата равна (a + b)[2].

С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна a · b, и квадрата со стороной c, поэтому

S = 4· a · b + с2 = 2ab + с2

(a + b)2 = 2ab + с2 с2 = (a + b)2 — 2ab с2 = a2 + 2аb + b2 — 2ab, откуда с[2] = a[2] + b[2]

Пример 2:

Площадь прямоугольника

Теорема: Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольник со сторонами а, b и площадью S .

Докажем, что S = а b.

Достроим прямоугольник до квадрата со стороной а + b . Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, имеем, что площадь получившегося квадрата равна (а + b)[2].

С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S и двух квадратов с площадями а[2] и b[2]. Так как, если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников, имеем:

(а + b)2 = S + S + а[2] + b[2] или a2 + 2аb + b[2] = 2 S + а[2] + b[2] или 2аb = 2 S. Откуда получаем, S = а b.

5. При решении неравенств.

Пример 1: Решите неравенство 4х2+4х+1>=0.

Применим к неравенству формулу квадрата суммы: 2х+12>=0. Данное неравенство принимает неотрицательные значения при любых значениях переменной.

Ответ: (-infinity; +infinity)

Пример 2: Укажите наибольшее целое решение неравенства х2-10х+25хх2-9

Применим к числителю дроби формулу квадрата разности, к знаменателю — разности квадратов и решим неравенство методом интервалов: х-52 х (х-3)(х+3)

Ответ: (-infinity;-3) ∪ (0;3), наибольшее целое х=2.

6. При сравнении чисел.

Пример 1: Сравните числа: 24[4] и 18 ∙ 21 ∙ 25 ∙ 28.

Решение: 18 ∙ 21 ∙ 25 ∙ 28 = (23 -5)(23 -2)(23 +2)(23 +5) = (23[2] — 5[2])(23[2] — 2[2]) 18 ∙ 21 ∙ 25 ∙ 28.

Исследование

Количество учащихся

Знают основные формулы

Знают некоторые формулы

Не знают ни одной формулы

Качество усвоения формул

Из таблицы видно, что только 23 учащихся класса знают основные формулы, и треть класса не знают их вообще. Лучшее усвоение формул в 8 классе, очевидно, это связано с недавним изучением формул в 7 классе. К, сожалению, в старших классах знание основных формул алгебры не улучшается. Мой проект имеет своей целью: показать важность формул, привлечь внимание учащихся к их изучению и запоминанию, что непосредственно пригодится при прохождении итоговой аттестации как в 9 классе, так и в 11 классе.

Заключение

Формул сокращенного умножения, которые нужно знать школьнику, всего 7 штук. Так что не поленитесь их выучить — это позволит вам существенно сократить время решения многих примеров. Например, в ЕГЭ последних лет обязательно было 2-3 примера, основанных именно на формулах сокращенного умножения.

1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

3. a2 − b2 = (a + b)(a − b)

4. (a − b) 3= a3 — 3а2b + 3ab2 − b3

5. (a + b)3 = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3

6. a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

7. a[3] − b[3] = (a − b)(a[2] + ab + b[2])

Всего лишь 7 формул. И больше вам ничего не понадобится! Этого вполне достаточно, чтобы решить практически все задачи на формулы сокращенного умножения. Каждая из этих формул имеет свое название:

1. квадрат суммы

2. квадрат разности

3. разность квадратов

4. куб разность

5. куб суммы

6. сумма кубов

7. разность кубов

Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения
  1. формула квадрата суммы: a+b2=a2+2ab+b2
  2. формула квадрата разности: a-b2=a2-2ab+b2
  3. формула куба суммы: a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
  4. формула куба разности: a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3
  5. формула разности квадратов: a2-b2=a-ba+b
  6. формула суммы кубов: a3+b3=a+ba2-ab+b2
  7. формула разности кубов: a3-b3=a-ba2+ab+b2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы. 

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул. 

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+..+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn

Здесь Cnk — биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля.  Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

Cnk=n!k!·(n-k)!=n(n-1)(n-2)..(n-(k-1))k!

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы — это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a1+a2+..+an2=a12+a22+..+an2+2a1a2+2a1a3+..+2a1an+2a2a3+2a2a4+..+2a2an+2an-1an

Как читать эту формулу? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Еще одна формула, которая может пригодится — формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

an-bn=a-ban-1+an-2b+an-3b2+..+a2bn-2+bn-1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней. 

Для четных показателей 2m:

a2m-b2m=a2-b2a2m-2+a2m-4b2+a2m-6b4+..+b2m-2

Для нечетных показателей 2m+1:

a2m+1-b2m+1=a2-b2a2m+a2m-1b+a2m-2b2+..+b2m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n=2 и n=3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на -b.

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a+b2=a2+2ab+b2.

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a-b2=a2-2ab+b2  запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Прочитаем формулу a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3. Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений,  утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3. Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a2-b2=a-ba+b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a2+ab+b2 и a2-ab+b2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a-b2=a2-2ab+b2.

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

a-b2=a-ba-b.

Раскроем скобки:

a-ba-b=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2.

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Примеры применения ФСУ

Цель использования формул сокращенного умножения — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Пример 1. ФСУ

Упростим выражение 9y-(1+3y)2.

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9y-(1+3y)2=9y-(1+6y+9y2)=9y-1-6y-9y2=3y-1-9y2

Пример 2. ФСУ

Сократим дробь 8×3-z64x2-z4.

Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.

8×3-z64x2-z4=2x-z(4×2+2xz+z4)2x-z2x+z.

Сокращаем и получаем:

8×3-z64x2-z4=(4×2+2xz+z4)2x+z

Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное — уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79. Вместо громоздких вычислений, запишем:

79=80-1;792=80-12=6400-160+1=6241.

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение 4×2+4x-3 можно преобразовать в вид 2×2+2·2·x·1+12-4=2x+12-4. Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Конспект урока для 7 класса «Алгебра событий и основные правила вычисления вероятностей»

Закономерности окружающего мира – 7 класс

Тема 9. Алгебра событий и основные правила вычисления вероятностей.

урок на тему Правило сложения вероятностей несовместных событий

задачи урока: познакомить школьников с основными правилами вычисления вероятностей

оборудование урока: таблицы по математике, иллюстрирующие правила сложения

содержание урока:

  1. Организация школьников на урок.

  2. Изучение нового материала:

Формула включения – исключения.


   Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления

P(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB)

Для случая трех событий

P(A+B+С) = P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

ПРИМЕР. Опыт состоит в случайном извлечении карты из колоды в 52 карты. Чему равна вероятность того, что это будет или туз, или карта масти треф?

Решение.

Определим события: А — «Извлечение туза», В — «Извлечение карты трефовой масти». Р(А) = 4/15, Р(В) = 13/52; вероятность их пересечения — извлечение трефового туза — Р(АВ) = 1/52.

Событие B ->

Нас интересует вероятность суммы событий А и В.
P(A+B) = 4/52 + 13/52 — 1/52 = 16/52 = 1/2.

Несовместные события.

    Два события называются несовместными, если они не пересекаются.
   Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Для несовместных событий А, В
P(A+B) = P(A) + P(B)

Правило сложения вероятностей справедливо и для конечного числа n попарно несовместных событий
P(A1+A2+A3+…+An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) +…+P(An)

ПРИМЕР.Компания производит 40000 холодильников в год. которые ревлизуются в различных регионах России. Из них 10000 экспортируются в страны СНГ, 8000 продаются в регионах Европейской части России, 7000 продаются в страны дальнего зарубежья, 6000 в Западной Сибири, 5000 в Восточной Сибири, 4000 в Дальневосточном районе. Чему равна вероятность того , что определенный холодильник будет: а)произведен на экспорт; б)продан в России?

Решение.

Обозначим события: А — «Холодильник будет продан в странах СНГ»;
Р(А) = 10000/40000 = 0,25;
В — «Холодильник будет продан в Европейской части России»;
P(B) = 8000/40000 = 0,2;
С — «Холодильник будет продан в страны дальнего зарубежья»;
P(C) = 7000/40000 = 0/175;
D — «Холодильник будет продан в Восточной Сибири»;
P(D) = 6000/40000 = 0,15;
E — «Холодильник будет продан в Западной Сибири»;
P(E) = 5000/40000 = 0,125;
F — «Холодильник будет продан в Дальневосточном районе»; P(F) = 4000/40000 = 0,1.
События А, B, C, D, E, F — несовместные. а) P(холодильник произведен на экспорт) = P(A+B) = P(A) + P(B) = 0,25 + 0,175 = 0,425.
б )P(холодильник будет продан в России) = P(B+D+E+F) = P(B) + P(D) + P(E) + P(F) = 0,2 + 0,15 + 0,125 + 0,1 = 0,575.

  1. Закрепление знаний. Решение задач 1,2, с.266

  2. Домашнее задание: п.9.1

Треф

Бубны

Пики

Червы

Туз

Туз

Туз

Туз

Король
Дама
Валет
10

2

Король
Дама
Валет
10

2

Король
Дама
Валет
10

2

Король
Дама
Валет
10

2

Ответ:

 1/2.

Ответ:

  P(холодильник произведен на экспорт) = 0,425.
P(холодильник будет продан в России) = 0,575.

основных правил алгебры | Ресурсы Wyzant

В математике есть основные свойства, применимые ко всем действительным числам. При работе с переменными в алгебре, эти свойства все еще применимы. Мы применим большинство следующих свойств к решать различные алгебраические задачи.

Алгебраические свойства

Пусть a, b и c — действительные числа, переменные или алгебраические выражения.

Коммутативное свойство Дополнения

Мы можем складывать числа в любом порядке.

Коммутативное свойство умножения

Мы также можем умножать числа в любом порядке.

Ассоциативное свойство сложения

Мы можем группировать числа в сумму любым способом и получать одинаковый ответ.

Ассоциативное свойство умножения

Мы можем группировать числа в продукте любым способом и получать одинаковый ответ.

Распределительная собственность

Когда мы складываем и умножаем в скобках, мы можем распределить умножение через дополнение.

Для более подробного обсуждения см. Распределительное свойство

.

Свойство аддитивной идентичности

Если мы добавим 0 к любому числу, мы получим то же самое число.

Свойство мультипликативной идентичности

Если мы умножим 1 на любое число, мы получим такое же число.

Аддитивное обратное свойство

Если мы добавим число, противоположное самому себе, мы получим 0.

Мультипликативное обратное свойство

Если мы умножим число на обратное, то получим 1.

Имейте в виду, что вычитание также считается сложением, но с отрицательным числом. Точно так же деление можно рассматривать как обратное умножение, но с ограничением что знаменатель не может быть равен 0.

Свойства отрицания

Мы должны быть осторожны, чтобы не делать арифметических ошибок при работе с отрицательными знаками. и вычитание.

Свойства равенства

Добавить c с каждой стороны

Умножить обе стороны на c

Вычесть c с обеих сторон

Разделите обе стороны на c

Свойства нуля

0 прибавляется или вычитается из чего-либо, равняется самому себе

0 умноженное на что угодно равно 0

0 делится на что угодно равно 0

Нельзя делить на 0

Свойство нулевого продукта


Если произведение двух или более вещей равно 0, по крайней мере одно из значений должно быть 0

Свойства и действия дробей

Пусть a, b, c и d — действительные числа, переменные или алгебраические выражения такие, что b и d не равны 0.

Эквивалентные дроби

крестовое умножение

Правила знаков

отрицательный результат может идти в любом месте дроби, а два отрицания равны положительному

Генерация эквивалентных дробей

умножение верха и низа на одно и то же значение сохраняет дробную часть того же значения

Сложить / вычесть с такими же знаменателями

если знаменатели совпадают, прибавить или вычесть верхнюю часть дроби

Сложение / вычитание с отличными знаменателями

найти общий знаменатель

Умножение дробей

умножить верхнюю часть на верхнюю и нижнюю на нижнюю

Разделить на дроби

при делении двух фракитонов умножить делитель на обратную величину

Некоторые правила алгебры — Полный курс алгебры

5

ИЗ

Правило симметрии

Коммутативные правила

Обратное прибавление

Два правила для уравнений

Можно сказать, что

АЛГЕБРА — это совокупность формальных правил. Это правила, показывающие, как то, что написано в одной форме, можно переписать в другой форме. Ибо что такое расчет, как не замена одного набора символов на другой? В арифметике мы заменяем «2 + 2» на «4». В алгебре мы можем заменить « a + (- b )» на « a b ».

a + (- b ) = a b .

Мы называем это формальным правилом. Знак = означает, что «можно переписать как» или «можно заменить на.«

Вот некоторые из основных правил алгебры:

1 · а = а .
(1 раз любое число не меняет его. Поэтому 1 называется единицей умножения.)
(-1) а = а .
— (- а ) = а . (Урок 2)
a + (- b ) = а б . (Урок 3)
a — (- b ) = а + б . (Урок 3)

С ними — и с любым правилом — связано правило симметрии:

Если a = b , то b = a .

Во-первых, это означает, что правило алгебры действует в обоих направлениях.

Так как мы можем написать

п. + (- q ) = p q
— то есть в расчете мы можем заменить p + (- q ) на p q — тогда симметрично:
p q = п. + (- q ).

Мы можем заменить p q на p + (- q ).

Правило симметрии также означает, что в любом уравнении, мы можем поменять местами стороны .

Если
15 = 2 х + 7,
тогда нам разрешено писать
2 x + 7 = 15.

Итак, правила алгебры говорят нам, что нам разрешено писать. Они говорят нам, что законно.

Проблема 1. Используйте правило симметрии, чтобы переписать каждое из следующих утверждений. И обратите внимание, что симметричная версия также является правилом алгебры.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

а) 1 · x = x x = 1 · x б) (-1) x = — x x = (−1) x
в) x + 0 = x x = x + 0 г) 10 = 3 x + 1 3 x + 1 = 10
д) x
y
= топор
ау
топор
ау
= x
y
е) x + (- y ) = x y x y = x + (- y )
г) а
2
+ б
2
= a + b
2
a + b
2
= а
2
+ б
2

Коммутативные правила

Порядок, в котором мы пишем термины, не влияет на сумму. Мы выражаем это в алгебре, записывая

Это называется коммутативным правилом сложения. Это будет применяться к любому количеству терминов.

a + b — c + d = b + d + a — c = −c + a + d + b .

Порядок не имеет значения.

Пример 1. Примените правило коммутативности к p q .

Решение . Коммутативное правило сложения указано для операции +. Но здесь у нас есть операция -. Но мы можем написать

p q = п. + (- q ).
Следовательно,
p q = q + p .

*

Вот коммутативное правило умножения:

Порядок факторов не имеет значения.

abcd = dbac = cdba .

Правило применяется к любому количеству факторов.

Более того, мы можем связывать факторы любым способом:

( abc ) d = b ( dac ) = ( ca ) ( db ).

И так далее.

Пример 2. Умножение 2 x · 3 y · 5 z .

Решение . Проблема означает: умножьте числа и перепишите буквы.

2 x · 3 y · 5 z = 2 · 3 · 5 xyz = 30 xyz .

В алгебре принято писать числовой множитель слева от буквального множителя.

Задача 2. Умножить.

а) 3 x · 5 y = 15 xy б) 7 p · 6 q = 42 pq в) 3 a · 4 b · 5 c = 60 abc

Проблема 3. Перепишите каждое выражение, применяя правило коммутативности.

а) p + q = q + (- p ) = q p б) (-1) 6 = 6 (-1)
в) ( x — 2) + ( x + 1) = ( x + 1) + ( x — 2)
г) ( x — 2) ( x + 1) = ( x + 1) ( x — 2)

Ноль

Мы видели следующее правило для 0 (Урок 3):

Для любого номера a :

0, добавленное к любому номеру, не меняет номер.0 поэтому называется тождеством сложения.

Обратное прибавление

Операция, обратная операции, отменяет эту операцию.

Если мы начнем, например, с 5, а затем прибавим 4,

5 + 4,

, затем, чтобы отменить это — чтобы вернуться к 5 — мы должны добавить −4:

5 + 4 + (−4) = 5 + 0 = 5.

Добавление −4 является обратным сложению 4, и наоборот.Мы говорим, что −4 является аддитивным обратным числом 4.

Как правило, каждому номеру a соответствует уникальный номер — a , так что

a + (- a ) = (- a ) + a = 0

Число в сочетании с обратным ему дает идентификацию.

Мы видели, что это правило по сути является определением — a .

Таким образом, аддитивная величина, обратная a , равна — a .И аддитивная величина, обратная — a a .

— (- a ) = a .

Задача 4. Преобразуйте каждое из следующего в соответствии с правилом алгебры.

а) xyz + 0 = xyz б) 0 + (-q) = -q в) −¼ + 0 = −¼
г) ½ + (−½) = 0 д) pqr + pqr = 0 е) x + abc abc = x

g) sin x + cos x + (−cos x ) = sin x

Ученик может подумать, что это тригонометрия, но это не так.
г) Алгебра

Проблема 5. Выполните следующее.

а) pq + (- pq ) = 0 б) z + (- z ) = 0 в) — & 2 $ + & 2 $ = 0
г) ½ x + 0 = ½ x д) 0 + (-qr) = -qr е) −π + 0 = −π

г) желто-коричневый x + детская кроватка x + (-колыбельная x ) = желто-коричневая x .

Два правила для уравнений

Уравнение — это утверждение, что две вещи — две стороны — равны. Значение равно заложено в том факте, что до тех пор, пока мы делаем одно и то же с обеими сторонами, они все равно будут равны. Это выражается в следующих двух правилах.

Правило 1. Если
a = б ,
, затем
а + в = b + c .

Правило означает:

Мы можем прибавить к обеим сторонам уравнения.

Это алгебраическая версия аксиомы арифметики и геометрии:

Если равные прибавляются к равным, суммы равны.

Пример 3. Если
х — 2 = 6,
, затем
x = 6 + 2
= 8.

— после прибавления 2 к обеим сторонам.

Пример 4. Если
х + 2 = 6,
, затем
x = 6–2
= 4.

— после вычитания 2 с обеих сторон.

Но правило изложено в терминах сложения. Почему мы можем вычитать?

Потому что вычитание эквивалентно сложению отрицательного числа.

a b = a + (- b ).

Следовательно, любое правило сложения также является правилом вычитания.

Примечание : В примере 3 добавление 2 является обратным вычитанию 2.В результате −2 транспонируется в другую часть уравнения , равную , как +2.

В примере 4 вычитание 2 с обеих сторон приводит к транспонированию +2 в другую сторону уравнения как −2.

Подробнее об этом мы поговорим в Уроке 9.

Задача 6.

а) Если б) Если
х — 1 = 5, х + 1 = 5,
, затем , затем
x = 6. x = 4.
При добавлении 1 к обеим сторонам. При вычитании 1 с обеих сторон.
в) Если г) Если
x — 4 = −6, x + 4 = −6,
, затем , затем
x = −2. x = −10.
При добавлении 4 к обеим сторонам. При вычитании 4 с обеих сторон.
Правило 2. Если
a = б ,
, затем
ок. = CB .

Это правило означает:

Мы можем умножить обе части уравнения на одно и то же число.

Пример 5. Если

2 x = 3,
, затем
10 x = ?

Итак, что случилось с 2 x , чтобы оно стало 10 x ?

Мы умножили его на 5.Следовательно, чтобы сохранить равенство, надо также умножить 3 на 5.

10 x = 15.

Пример 6. Если

x
2
= 5,
, затем
x = 10.

Здесь мы умножили обе стороны на 2, и двойки просто сокращаются.

См. Урок 26 по арифметике, пример 5.

Пример 7. Если

2 x = 14,
, затем
x = 7.

Здесь мы разделили с обеих сторон на 2. Но правило гласит, что мы можем умножить на обе стороны. Почему мы можем разделиться?

Потому что деление равно умножению на обратную. В этом примере мы могли бы сказать, что умножили обе части на 1/2.

Таким образом, любое правило умножения также является правилом деления.

Проблема 7.

а) Если б) Если
x = 5, x = −7,
, затем , затем
2 x = 10. −4 x = 28.
в) Если г) Если
x
3
= 2, x
4
= −2
, затем , затем
x = 6. x = −8.
При умножении обеих сторон на 3. При умножении обеих сторон на 4.
Задача 8. Разделите обе стороны.
а) Если б) Если
3 x = 12, −2 x = 14,
, затем , затем
x = 4. x = −7.
При разделении обеих сторон на 3. О делении обеих частей на −2.
в) Если г) Если
6 x = 5, −3 x = −6,
, затем , затем
x = 5
6
x = 2.

Задача 9. Меняем вывески с обеих сторон. Напишите строку, полученную в результате умножения обеих частей на -1.

а) х = 5. б) х = −5. в) х = 0.
x = −5. x = 5. x = -0 = 0.

Эта проблема иллюстрирует следующую теорему:

В любом уравнении мы можем изменить знаки на с обеих сторон.

Если
а = б ,
, затем
a = б .

Это непосредственно следует из однозначности аддитивного обратного.

Если
а = б ,
, затем
а + б = 0.
Но это подразумевает
a = б .

Это то, что мы хотели доказать.

У нас будет возможность применить эту теорему, когда мы перейдем к решению уравнений. Поскольку мы увидим, что для «решения» уравнения мы должны изолировать x , а не x , слева от знака равенства.И когда мы перейдем к правилу распределения (Урок 14), мы увидим, что можем изменить все знаки с обеих сторон.

Проблема 10.

а) Если x = 9, то — x = −9. б) Если x = −9, то — x = 9.
в) Если — x = 2, то x = −2. г) Если — x = −2, то x = 2.

x — переменная. Это ни положительно, ни отрицательно. Только числа могут быть положительными или отрицательными. Когда x принимает значение — положительное или отрицательное — значения x и — x будут иметь противоположные знаки. Если x принимает положительное значение, то — x будет отрицательным.Но если x принимает отрицательное значение, то — x будет положительным.

Таким образом, если x = −2, то — x = — (- 2) = +2. (Урок 2.)

(Если x = 0, то — x = −0, что, надо сказать, равно 0. −0 = +0 = 0.)

Следующий урок: Обратные вычисления и ноль

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]


Резюме по алгебре — Темы в предварительном исчислении

1

Студент, изучавший алгебру, найдет здесь полный обзор. Студент, который сейчас проходит такой курс, увидит, что его ждет.

АЛГЕБРА — это метод письменных вычислений. А что такое расчет, как не замена одного набора символов другим? В арифметике мы заменяем «2 + 2» на «4». В алгебре мы можем заменить « a + (- b )» на « a b ».

a + (- b ) = a b .

Мы называем это формальным правилом. Он показывает, как выражение, написанное в одной форме, может быть заменено другой формой.Знак = означает «можно переписать как» или «можно заменить на».

Если p и q являются утверждениями (уравнениями), то правило

Если p , то q ,

или аналогично

p означает q ,

означает: Мы можем заменить — в смысле дальнейшего — утверждение p утверждением q . Например,

x + a = b подразумевает x = b a .

Это означает, что мы можем следовать утверждению « x + a = b » с утверждением « x = b a ».

Ибо мы решаем уравнения с помощью логической последовательности утверждений.

Алгебра зависит от того, как все выглядит. Таким образом, мы можем сказать, что алгебра — это система формальных — грамматических — правил. Далее следует то, что нам разрешено писать.

(См. Полный курс «Навыки алгебры».)

11. Аксиомы «равно»

a = a Личность
Если a = b , то b = a . Симметрия
Если a = b и b = c , то a = c . Транзитивность

Невозможно дать явное определение слову «равно» или его символу =. Однако эти правила являются неявным определением. Значение слова «равный» подразумевает эти три правила.

О том, как правило симметрии применяется на практике, см. Урок 6 алгебры. Правило симметрии применяется ко всем приведенным ниже правилам.

12. Коммутативные правила сложения и умножения

a + b = b + a
a · b = b · a

13.Идентификационные элементы сложения и умножения:

3. 0 и 1

a + 0 = 0 + a = a

a · 1 = 1 · a = a

Таким образом, если мы «оперируем» числом с элементом идентичности,
возвращает это число без изменений.

14. Добавка, обратная a : — a

a + (- a ) = — a + a = 0

«Инверсия» числа отменяет действие числа.
Например, если вы начнете с 5 и прибавите 2, то, чтобы вернуться к 5, вы должны добавить −2. Добавление 2 + (−2) в этом случае то же самое, что и прибавление 0 -, что является тождеством.

15. Мультипликативная обратная или обратная величина a ,
5. обозначается как 1
а
( a 0)
a · 1
а
= 1
а
· а = 1.

Два числа называются , обратными друг к другу, если их произведение равно 1.
Таким образом, 1/ a символизирует то число, которое при умножении на a дает 1.

Величина, обратная p
q
это q
p
.

16. Алгебраическое определение вычитания

a b = a + (- b )

Вычитание в алгебре определяется как сложение обратного.

17. Алгебраическое определение деления

.

Деление в алгебре определяется как умножение на обратную.
Следовательно, в алгебре есть две основные операции: сложение и умножение.

18. Обратное к обратному

— (- a ) = a

19. Связь между b a до a b

b a = — ( a b )

Теперь, b + a равно , равно до a + b . Но b a — это отрицательное значение из a b .

10. Правило знаков для умножения, деления и
10. Дроби

a (- b ) = — a b . (- a ) b = — a b . (- a ) (- b ) = ab.

a
b
= — a
b
. а
б
= — a
b
. а
б
= a
b
.

«Подобные знаки дают положительное число, в отличие от знаков — отрицательное.«

11. Правила для 0

a · 0 = 0 · a = 0.

Если a 0, то

0
a
= 0. а
0
= Нет значения. 0
0
= Неопределенный.

Деление на 0 — исключенная операция. (Навыки алгебры, 5-й урок)

12. Умножение / разложение на множители

м ( a + b ) = м a + м b Распределительное правило /
Общий коэффициент
( x a ) ( x b ) = x 2 — ( a + b ) x + ab
Квадратичный трехчлен
( a ± b ) 2 = a 2 ± 2 ab + b 2 Трехчлен полного квадрата
( a + b ) ( a b ) = a 2 b 2 Разница
два квадрата
( a ± b ) (a 2 ab + b 2 ) = a 3 ± b 3 Сумма или разница
два кубика

13.Одна и та же операция для обеих частей уравнения

Если Если
a = б , a = б ,
, затем , затем
a + c = b + c . ac = б в .

Мы можем прибавить к обеим сторонам уравнения , одинаковое число;
мы можем умножить с обеих сторон на одно и то же число.

14. Изменение знаков в обеих частях уравнения

Если
а = б ,
, затем
a = б .

Мы можем изменить любой знак в обеих частях уравнения.

15. Смена знака по обе стороны неравенства:
15. Смена смысла

Если
a б ,
, затем
а > б .

Когда мы меняем знаки с обеих сторон неравенства, мы должны изменить смысл неравенства.

16. Четыре формы уравнений, соответствующие
16. Четыре операции и их обратные

Если Если
x + a = б , x а = б ,
, затем , затем
x = b a . x = а + б .
Если Если
топор = б , x
a
= б ,
, затем , затем
x = b
a
. x = а.б. .

См. «Навыки алгебры», урок 9.

.

17. Изменение смысла при решении неравенства

Если
ось б,
, затем
x > — b
a
.

18. Абсолютное значение

Если | x | = b , затем x = b или x = — b .

Если | x | < b , то — b < x < b .

Если | x | > b b > 0), затем x > b или x <- b .

19. Принцип эквивалентных дробей

Мы можем умножить числитель и знаменатель на один и тот же множитель; мы можем разделить и то, и другое на общий фактор.

20. Умножение дробей

a
b
· c
d
= ac
bd
a · c
d
= ac
d

21.Разделение на фракции (Комплексные фракции)

Деление — это умножение на обратную.

22. Сложение дробей

a
c
+ b
c
= a + b
c
Тот же знаменатель
a
b
+ c
d
= ad + bc
bd
Разные знаменатели при
без общих множителей
a
до н.э.
+ e
CD
= ad + be
bcd
Разные знаменатели с общими множителями

Общий знаменатель — это НОК знаменателей.

23. Правила экспонентов

24. Определение отрицательной экспоненты

25. Определение экспоненты 0

а 0 = 1

26. Определение квадратного корня с корнем

Корень квадратного корня в квадрате дает подкоренное выражение.

27. Уравнения вида a 2 = b

Если
а 2 = б ,
, затем
а = ±.

28. Радикалы умножения / разложения на множители

29. Определение корня n

30. Определение рационального показателя

Умелее сначала рут пустить.

31. Законы логарифмов

журнал xy = журнал x + журнал y .

журнал x
y
= журнал x — журнал y .

журнал x n = n журнал x .

32. Определение комплексной единицы i

i 2 = -1

Следующая тема: Рациональные и иррациональные числа

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]


Решайте уравнения и упрощайте выражения (Алгебра 2, Уравнения и неравенства) — Mathplanet

В алгебре 1 нас учат, что два правила решения уравнений — это правило сложения и правило умножения / деления.
Правило сложения для уравнений говорит нам, что одна и та же величина может быть добавлена ​​к обеим сторонам уравнения без изменения набора решений уравнения.


Пример

$$ \ begin {array} {lcl} 4x-12 & = & 0 \\ 4x-12 + 12 & = & 0 + 12 \\ 4x & = & 12 \\ \ end {array} $$

Добавление 12 к каждой стороне уравнения в первой строке примера — это первый шаг в решении уравнения. Мы не меняли решение, добавляя по 12 с каждой стороны, поскольку и второе, и третье уравнения имеют одно и то же решение. Уравнения, которые имеют одинаковые наборы решений, называются эквивалентными уравнениями.

Правило умножения / деления для уравнений говорит нам, что каждый член в обеих частях уравнения может быть умножен или разделен на один и тот же член (кроме нуля) без изменения набора решений уравнения.


Пример

$$ \ begin {array} {lcl} 4x-12 & = & 0 \\ 4x-12 + 12 & = & 0 + 12 \\ 4x & = & 12 \\ \ frac {4x} {4} & = & \ frac {12} {4} \\ x & = & 3 \\ \ end {array} $$

Когда мы упрощаем выражение, мы действуем в следующем порядке:

  1. Упростите выражения внутри скобок, скобок, фигурных скобок и дробей.
  2. Оцените все полномочия.
  3. Все умножения и деления делайте слева направо.{2} -2)} {\ sqrt {2}} $$

    Сначала мы упрощаем выражение в круглых скобках, вычисляя степени, а затем выполняем вычитание внутри него.

    $$ \ frac {(4-2)} {\ sqrt {2}} $$

    $$ \ frac {(2)} {\ sqrt {2}} $$

    Затем мы убираем скобки и умножаем знаменатель и числитель на √2.

    $$ \ frac {2 \ cdot \ sqrt {2}} {\ sqrt {2} \ cdot \ sqrt {2}} $$

    В качестве последнего шага мы делаем все умножения и деления слева направо.

    $$ \ frac {2 \ cdot \ sqrt {2}} {2} $$

    $$ \ sqrt {2} $$


    Видеоурок

    Решите данное уравнение

    $$ 12 (\ frac {3b-b} {4a}) = 36 $$

    Основные правила упрощения выражений

    Уравнения алгебры почти всегда решаются путем предварительного упрощения уравнения.Упростить означает упростить понимание и решение, представив уравнение в его простейшей форме. Это требует пошагового процесса, за которым легко следить и часто прямо.

    Есть несколько распространенных методов, используемых для упрощения алгебраических уравнений, а именно:

    1. Объединение похожих терминов
    2. Факторинг
    3. Расширение уравнений, являющееся распределительным свойством
    4. Умножение или деление членов

    Мы рассмотрим каждый из этих методов шаг за шагом, чтобы по-настоящему понять, как упростить решение алгебраического уравнения.

    1. Объединение одинаковых терминов

    Во-первых, нам нужно объединить похожие члены в уравнение. Это просто означает сложение одинаковых членов, чтобы сократить уравнение.

    Например:

    17x + 3y — 9x будет упрощено до 8x + 3y, потому что мы объединили члены x.

    Или 3a -5b + 3ab + 7a = 22, что можно упростить до: 10a — 5b + 3ab = 22.

    По сути, ищите любые похожие термины, такие как a, y, e, или с любыми другими неизвестными коэффициентами.

    2. Факторинг

    Во-вторых, у нас есть метод факторинга. Этот вариант сложнее, так как требует другого знания операций алгебры, а также технически не упрощен. Этот процесс применяется только как метод упрощения, если вы решаете длинные комбинированные алгебраические уравнения. Проще говоря, мы берем длинное уравнение и упрощаем его, разлагая на множители в более короткое уравнение. Это упрощает использование в других математических вычислениях, а также упрощает запись.

    Например:

    X2 — 2x — 3 будет упрощено до:

    (х — 3) (х + 1)

    Я знаю, что это кажется контрпродуктивным, особенно в свете следующих методов упрощения. Тем не менее, это помогает при работе с более крупными уравнениями алгебры и более длинными математическими вопросами, в которых есть сложные алгебраические зелья. Знание того, что одно или два подуравнения в уравнении лагера можно легко разделить на более мелкие части, помогает легко вычислить решения для большего уравнения.

    3. Расширение уравнения

    Следующий метод также известен как свойство распределения. Здесь вы расширяете уравнение, удаляя скобки и превращая его в более длинное, но более легкое в использовании.

    Например:

    5b (b — 6) + 4 = 10 будет упрощено до

    5b2 — 30b + 4 = 10, с которым намного проще работать.

    4. Умножение и деление членов

    Наконец, у нас есть умножение и деление членов.Это просто означает умножение того, что можно умножить, или деление того, что можно разделить. Это гарантирует, что вы, наконец, будете работать с уравнением с наименьшими возможными коэффициентами.

    Один из примеров: (4x — 12y) ÷ 4 + 3 = 0

    Это можно упростить до следующего: (x — 3y) + 3 = 0

    Второй пример: 10a * 2a ÷ 4a = 20

    Это можно было бы упростить: 20a2 ÷ 4a = 20

    Вы будете использовать все вышеперечисленные методы в какой-то момент при решении уравнений алгебры.Вы часто используете их вместе и применяете к более широким темам математики, связанным с некоторой алгеброй.

    Оставьте первый комментарий ниже.

    Шесть законов математической алгебры

    Шесть законов математической алгебры

    Основные законы алгебры — это коммутативный закон для сложения, коммутативный закон для умножения, ассоциативный для сложения, ассоциативный для умножения, дистрибутивный закон и нулевые законы.

    1. Закон о замене дополнений

    Расположение слагаемых не влияет на сумму.

    Пример:

    x + y + z = z + x + y = y + x + z, где x = 5, y = 1 и z = 7

    5 + 1 + 7 = 13

    7 + 5 + 1 = 13

    1 + 5 + 7 = 13

    2. Закон коммутативности для умножения

    Расположение факторов не влияет на продукт.

    Пример:

    x * y * z = z * x * y = y * x * z, где x = 4, y = 3 и z = 6

    4 * 3 * 6 = 12 * 6 = 72

    6 * 4 * 3 = 24 * 3 = 72

    3 * 4 * 6 = 12 * 6 = 72

    3.Ассоциативный закон для сложения

    Группировка слагаемых не влияет на сумму.

    Пример:

    x + (y + z) = (x + y) + z, где x = 5, y = 1 и z = 7

    5 + (1 + 7) = 5 + 8 = 13

    (5 + 1) + 7 = 6 + 7 = 13

    обратите внимание, что независимо от того, как числа сгруппированы, ответ все равно будет 13.

    4. Ассоциативный закон умножения

    Группировка факторов не влияет на продукт.

    Пример:

    (x * y) * z = x * (y * z), где x = 4, y = 3 и z = 6

    (4 * 3) * 6 = 12 * 6 = 72

    4 * (3 * 6) = 4 * 18 = 72

    Ассоциативный закон работает, когда мы складываем или умножаем. Это НЕ работает, когда мы вычитаем или делим.

    5. Распределительное право

    Сложение чисел с последующим их умножением дает тот же результат, что и умножение чисел с последующим их сложением.

    Пример:

    4 * (2 + 5 + 6) = 4 * 13 = 52 ……………. (i)

    (4 * 2) + (4 * 5) + (4 * 6) = 8 + 20 + 24 = 52 ……………. (ii)

    Два уравнения (i) и (ii) равны и оба равны 52.

    Закон распределения включает число или переменную вне скобок (множитель) и числа или переменные внутри скобок, разделенные знаками сложения и / или вычитания (термы).

    Умножьте каждый член в круглых скобках на множитель вне его.

    Например, дистрибутив 5 (2 + 6) выдаст тот же результат, что и 5 (2) + 5 (6).

    6. Закон о нулевой собственности

    Закон умножения с нулевыми свойствами гласит, что любое число, умноженное на 0, равно 0.

    Пример:

    155 * 0 = 0

    0 * 3 = 0

    Закон сложения с нулевыми свойствами гласит, что любое число плюс 0 равно одному и тому же числу.

    155 + 0 = 155

    0 + 3 = 3

    Основы алгебры — Показатели — Углубленно

    Показатели используются во многих задачах алгебры, поэтому важно понимать правила работы с экспонентами. Давайте подробно рассмотрим каждое правило и посмотрим Некоторые примеры.

    Правила из 1

    Есть два запомнить простые «правила 1».

    Во-первых, любое число возведенный в степень «один», равняется самому себе.Это имеет смысл, потому что степень показывает, во сколько раз основание умножается само на себя. Если это только умножается один раз, то логично, что он равен самому себе.

    Во-вторых, один возведен в любую власть — один. Это тоже логично, потому что один раз один раз один, сколько бы раз вы его умножали, всегда равен единице.

    Товар Правило

    Показатель степени «правило произведения» говорит нам, что при умножении двух степеней, которые имеют на той же базе можно складывать экспоненты.