АлгСбра – основныС понятия ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. Готовимся ΠΊ Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅

Π’ школьном курсС Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ ΡƒΠΆ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ. Намного большС ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ сСкрСтов ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠΎΠ² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡. Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠΉ Ρ€Π΅ΠΏΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΠΎΡ€-ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ вряд Π»ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹Π΅ Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Он скаТСт: Β«Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ!Β»

И всС-Ρ‚Π°ΠΊΠΈ минимальноС Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ понятия ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π½Π°Π΄ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΈΠ·ΡƒΡΡ‚ΡŒ.

НапримСр, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа?

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ числа?

Для ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… чисСл ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹?

Π§Π΅ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…?

Как ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ число дСлится Π½Π° 11?

На этой страницС – всС основныС Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ ΠΈ понятия Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ учащимся 10-11 класса. И Π΅Ρ‰Π΅ – полСзная информация ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ быстро ΠΈ Π±Π΅Π· ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹.

ЧисловыС мноТСства

Π”Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ чисСл

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° округлСния чисСл 

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния

Π•Π“Π­ Π±Π΅Π· ошибок. Π‘Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ быстро ΠΈ Π±Π΅Π· ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°

Как Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ. БистСма условий, ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ условий

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ

ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈ стСпСни

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹

ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ числа

Число e

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒ сСбя. Помнишь Π»ΠΈ Ρ‚Ρ‹ основныС понятия Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹?

АрифмСтичСский ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ из числа aΒ β€” это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ a.

— ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ модуля числа:

— Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ? Β Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ:

— Π—Π½Π°Π΅ΡˆΡŒ Π»ΠΈ Ρ‚Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ, Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ, Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ, пятой,

n-Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ просто ΠΊΠ°ΠΊ стСпСни? И это Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅. НапримСр,

Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни ΠΈΠ· Π° – Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число, ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ получаСтся число Π°.

Аналогично, ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· Π° – Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ получаСтся число Π°.

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа b ΠΏΠΎ основанию aΒ β€” это ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π°Π΄ΠΎ возвСсти a , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ b.

ΠŸΡ€ΠΈ этом

Β 

Β 

  Поиск Поиск
  • Π¨ΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΈΠΊ
    • ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° 5 класс
    • ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° 6 класс
    • Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° 7 класс
    • Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° 8 класс
    • гСомСтрия 7 класс
    • русский язык 5 класс
    • русский язык 6 класс
    • русский язык 7 класс
  • ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°
  • Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°
  • гСомСтрия
  • русский язык

«»

ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ прСдыдущая Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΡƒΡŽ страницу

Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ страницы Π½Π΅Ρ‚ !!!

  • ΠŸΠΎΠΏΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹Π΅ запросы
    • ΠžΠ±ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ
    • Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
    • ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅
    • Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ
    • Русский язык 5 класс
    • Русский язык 6 класс
    • АлгСбра 7 класс
    • Русский язык 7 класс
    • ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° 6 класс
    • ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° 5 класс
    • АлгСбра 8 класс
    • НаимСньшСС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅
    • Наибольший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ. Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ простыС числа
    • Π‘ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ ΠΎ ΠΈ Π° Π² корнях -кос- / -кас-; -Π³ΠΎΡ€- / — Π³Π°Ρ€-; -ΠΊΠ»Π°Π½- / -ΠΊΠ»ΠΎΠ½-; -Π·Π°Ρ€- / -Π·ΠΎΡ€-
    • Π‘ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ ΠΎ ΠΈ Π° Π² корнях -кос- / -кас-; -Π³ΠΎΡ€- / — Π³Π°Ρ€-; -ΠΊΠ»Π°Π½- / -ΠΊΠ»ΠΎΠ½-; -Π·Π°Ρ€- / -Π·ΠΎΡ€-
    • Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ
    • ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа
    • Π”ΠΎΠ»ΠΈ. ΠžΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ
    • ΠžΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³
    • Антонимы. Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠ½ΠΈΠΌΡ‹
    • ДСсятичная запись Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… чисСл
    • Π‘ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ ΠΎ – Π° Π² корнях -Π»Π°Π³- / -Π»ΠΎΠΆ-, -рос- / -раст- (-Ρ€Π°Ρ‰-)

4.2. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° прСобразования логичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π˜Π½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°: Π°ΠΏΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ срСдства ΠΏΠ΅Ρ€ΡΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π°

Π§ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅

ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΈΠΉ интСрфСйс ΠΈ основныС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΎΠΉ

ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΈΠΉ интСрфСйс ΠΈ основныС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΎΠΉ ПослС запуска ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π½Π° экранС отобраТаСтся Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΈΠΉ интСрфСйс, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ прСдставлСн Π½Π° рис. 7.1. Рис.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° написания Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° написания Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π’ процСссС чтСния этой Π³Π»Π°Π²Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ мноТСство Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ JavaScript. Но Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π½Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ, ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ΡΡ. Настала ΠΏΠΎΡ€Π° Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π» Π² Π½Π°ΡˆΠΈΡ… знаниях.β€”Β ΠœΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Π½Π΄Π°ΠΌΠΈ, ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, Π²Ρ‹Π·ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹ΠΌΠΈ

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° написания Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° написания Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π’ процСссС чтСния этой Π³Π»Π°Π²Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ мноТСство Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ JavaScript. Но Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π½Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ, ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ΡΡ. Настала ΠΏΠΎΡ€Π° Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π» Π² Π½Π°ΡˆΠΈΡ… знаниях. β€”Β ΠœΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Π½Π΄Π°ΠΌΠΈ, ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, Π²Ρ‹Π·ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΈ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹ΠΌΠΈ

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Ρ†Π΅ΠΏΠ΅ΠΉ

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Ρ†Π΅ΠΏΠ΅ΠΉ ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ элСктричСских Ρ†Π΅ΠΏΠ΅ΠΉ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ примСняСтся Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠšΠΈΡ€Ρ…Π³ΠΎΡ„Π°, согласно ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ алгСбраичСская сумма напряТСний Π½Π° Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Π° 0. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠšΠΈΡ€Ρ…Π³ΠΎΡ„Π° относится ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΊΠ°ΠΌ, подходящим ΠΊ ΡƒΠ·Π»Ρƒ, ΠΈ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Π“Π»Π°Π²Π° 1 ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° оформлСния Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², курсовых ΠΈ Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚

Π“Π»Π°Π²Π° 1 ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° оформлСния Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², курсовых ΠΈ Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ β€’Β ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ свСдСния ΠΎΠ± ΠΎΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈβ€’Β Π‘Ρ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ‚ΡƒΡ€Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹β€’Β ΠœΠ΅ΠΆΠ³ΠΎΡΡƒΠ΄Π°Ρ€ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ стандарт Π“ΠžΠ‘Π’ 7.1β€”2003β€’Β Π—Π°Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΊΠΈβ€’Β ΠžΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ тСкста (Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹, Π°Π±Π·Π°Ρ†Ρ‹, Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ ΡˆΡ€ΠΈΡ„Ρ‚Π°,

2.2. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° форматирования

2.2. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° форматирования Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ тСкстаВСкст Π² Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π΅ Word ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΡˆΡ€ΠΈΡ„Ρ‚Π°ΠΌΠΈ. ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° прСдусматриваСт установку Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°, Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΠΈ начСртания ΡˆΡ€ΠΈΡ„Ρ‚Π°. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„Ρ€Π°Π³ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ тСкста, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ трСбуСтся

6. ВыраТСния рСляционной Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹

6. ВыраТСния рСляционной Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ПокаТСм, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ рассмотрСнныС Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ выраТСния ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ рСляционной Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π² практичСской эксплуатации Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π±Π°Π· Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ….ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ для ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Π² нашСм распоряТСнии имССтся Ρ„Ρ€Π°Π³ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ коммСрчСской Π±Π°Π·Ρ‹

Π“Π»Π°Π²Π°Β 1 ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° оформлСния Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², курсовых ΠΈ Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚

Π“Π»Π°Π²Π°Β 1 ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° оформлСния Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², курсовых ΠΈ Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ БвСдСния ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°Ρ… оформлСния Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², курсовых ΠΈ Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ студСнтам Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠΌ Π·Π°Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ. Π’ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅ случаСв ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ основныС ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ трСбования ΠΈ

2.2. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° форматирования

2.2. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° форматирования Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ тСкста ВСкст Π² Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π΅ Word ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π±ΠΈΡ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΡˆΡ€ΠΈΡ„Ρ‚Π°ΠΌΠΈ. ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° прСдусматриваСт установку Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°, Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΠΈ начСртания ΡˆΡ€ΠΈΡ„Ρ‚Π°. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„Ρ€Π°Π³ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ тСкста, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ трСбуСтся

5.2.1. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° эксплуатации Π½ΠΎΡƒΡ‚Π±ΡƒΠΊΠ°

5.2.1. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° эксплуатации Π½ΠΎΡƒΡ‚Π±ΡƒΠΊΠ° НС Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π³Ρ€ΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·Π΄ΡƒΡˆΠ½ΠΎΠ΅ пространство Π½Π° расстоянии ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ 10–15 см Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π½ΠΎΡƒΡ‚Π±ΡƒΠΊΠ° β€” ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ для Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ вСнтиляции.НС ΠΊΡƒΡ€ΠΈΡ‚Π΅ рядом с Π½ΠΎΡƒΡ‚Π±ΡƒΠΊΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅ΠΏΠ΅Π» Π½Π΅ ΠΏΠ°Π΄Π°Π» Π½Π° ΠΊΠ»Π°Π²ΠΈΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Ρƒ.НС Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΈΡ‰Ρƒ ΠΈ

5.1.3. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° тСкста

5.1.3. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° тСкста ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с элСктронным Π΄ΠΎΠΊΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» русского языка слСдуСт Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° тСкста? ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ Π½Π° Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ строку Π² процСссС Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° тСкста происходит автоматичСски, Π½Π΅ трСбуя Π²Π²ΠΎΠ΄Π° ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ символа?

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π·Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€ΠΎΠΌ

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π·Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€ΠΎΠΌ МногиС Ρ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, родствСнники, Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… Π·Π°Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ ΠΏΡ€Π°Π·Π΄Π½Ρ‹ΠΌ вопросом ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π»ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ²ΡŒΠ΅ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ? Π Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ исслСдоватСли ΠΈ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Π΅

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ Π’Π°ΡˆΠΈ Ρ„ΠΎΡ‚ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡΡ красиво ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π° для этого ΠΏΡ€ΠΈ построСнии ΠΊΠ°Π΄Ρ€Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠΎΠ±Π»ΡŽΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ нСслоТныС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ обСспСчат снимкам Π½Π°ΠΈΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄. Π­Ρ‚ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Β«ΠΏΡ€ΠΎΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· сСбя», Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ,

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ

Для прСобразования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, упрощСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ условий логичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ производятся эквивалСнтныС прСобразования, ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π½Π° основныС логичСскиС Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹. НСкоторыС ΠΈΠ· этих Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ Π² Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅, Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ выглядят Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ.

Π—Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°ΠΌΠΈ.

Π’ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ высказываний логичСскиС Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ равСнства эквивалСнтных Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ».

Π’ справСдливости всСх Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, построив Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ истинности для Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ частСй записанного Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°. ПослС упрощСния выраТСния с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ истинности ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚.

Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ части Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, примСняя инструмСнтарий Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ† истинности.

Рисунок 1.

default/handbook/article/relatedWorks.twig

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

  • Боставим Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ истинности для выраТСния

    Рисунок 2.

    Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π° столбца Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ запишСм Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ $x$ ΠΈ $y$, Π² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… столбцах β€” значСния ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π° Π² послСднСм столбцС β€” Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ исходного выраТСния. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ:

Рисунок 3.

Упростим исходноС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ основныС Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ:

Рисунок 4.

(Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π”Π΅ ΠœΠΎΡ€Π³Π°Π½Π°, Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ для И, Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠΈ, опСрация ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ с Π΅Ρ‘ инвСрсиСй).

Из Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ всСх Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π°Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… $x$ ΠΈ $y$ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π½Π° рис.2 ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ $1$, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ являСтся тоТдСствСнно истинной.

  • Боставим Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ истинности для выраТСния:

    Рисунок 5.

    , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ содСрТит Π΄Π²Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ $x$ ΠΈ $y$. Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π° столбца Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ запишСм Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ $x$ ΠΈ $y$, Π² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… столбцах β€” значСния ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π° Π² послСднСм столбцС β€” Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ исходного выраТСния. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ:

Рисунок 6.

Из Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅ значСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… значСниях ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… $x$ ΠΈ $y$.

Упростим Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° рис.5, примСняя основныС Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ.

Рисунок 7.

(Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π”Π΅ ΠœΠΎΡ€Π³Π°Π½Π°, Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ поглощСния, Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ для И).

  • Боставим Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ истинности для выраТСния

    Рисунок 8.

Рисунок 9.

Из Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ всСх Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π°Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… $x$ ΠΈ $y$ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π½Π° рис.8 ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ $0$, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ являСтся тоТдСствСнно Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ.

Упростим Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, примСняя Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ:

Рисунок 10.

  • Упростим Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

    Рисунок 11.

Рисунок 12.

(Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π”Π΅ ΠœΠΎΠ³Ρ€Π³Π°Π½Π°, Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ).

Боставим Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ истинности для выраТСния Π½Π° рис.11:

Рисунок 13.

Из Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° рис.11 Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… случаях ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ $1$, Π° Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… β€” $0$, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ являСтся Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ.

(ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π΄Π΅ ΠœΠΎΡ€Π³Π°Π½Π°, выносим Π·Π° скобки ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ с Π΅Ρ‘ инвСрсиСй).

  • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ:

    Рисунок 15.

(повторяСтся Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠΈ; Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π²Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… ΠΈ Π΄Π²Π° послСдних сомноТитСля ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ склСивания).

  • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ:

    Рисунок 16.

(Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ логичСский ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ

Рисунок 17.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ — HintFox

Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ΡΡ нСсколько случаСв, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ, Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒΡΡ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρƒ. Π’ этих случаях ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π΅Π΅ Π½Π΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π· ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ, Π° ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° — Π±ΡƒΠΊΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ равСнство, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈ ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращённого умноТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² — часто Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ случаи умноТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ². МногиС ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ частным случаСм Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°. Бмысл Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращСнного умноТСния ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ: Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высоких стСпСнСй ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, состоящих ΠΈΠ· Ρ‚Π΅Ρ… ΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ исходныС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹, Π½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠ΅ стСпСни. Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ свСсти ΠΊ разности ΠΈ суммС этих Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½. Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² сводится ΠΊ разности ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни. Π“Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ слСдуСт ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Ρƒ вас нСкоторая комбинация, Π½ΠΎ Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ этих Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ».

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ суммы ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ разности.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½ a+b Π½Π° сСбя, Ρ‚. Π΅. раскроСм скобки Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ (a+b)(a+b),ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ (a+b)[2]:

(a+b)2= (a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+ab+ab+b2-ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ суммы

Аналогично ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ba-b2=a2-2ab+b2-ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ разности

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ β„– 1. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

(5Π°[2]-4b[3])[2]

Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ(2), учтя, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ€ΠΎΠ»ΠΈ Π° выступаСт 5Π°[2], Π° Π² Ρ€ΠΎΠ»ΠΈ b выступаСт 4b[3]. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

(5Π°[2]-4b[3])[2]=(5Π°[2])[2]-2Β·5Π°[2]Β·4b[3]+(4b[3])[2]=25Π°[4]-40Π° [2]b[3]+16b[6] Π° b

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращённого умноТСния ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π° ΠΈ b — ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. Рассмотрим ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ со стороной Π°+b ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π΅ΠΆΠ΅ΠΌ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°Ρ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ со сторонами, соотвСтствСнно Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π° ΠΈ b .

b b Π° Π° Π° b

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° со стороной Π°+b Ρ€Π°Π²Π½Π° (Π°+b)[2]. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ части: ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ со стороной Π° (Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°[2]), ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ со стороной b (Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° b[2]), Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° со сторонами Π° ΠΈ b (ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°b). Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, (Π°+b)[2]=Π°[2]+2Π°b+b[2], Ρ‚. Π΅. ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ.

Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ².

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½ Π°+b Π½Π° Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½ Π°-b:

(Π°+b)(Π°-b) = Π°[2]-Π°b+bΠ°-b[2]= Π°[2]-b[2] — Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ².

Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ равСнство Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΡƒΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ справа Π½Π°Π»Π΅Π²ΠΎ: (Π° + b)(Π° — b) = Π°[2]-b[2]; Π°[2]-b2 = (Π° + b)(Π° — b).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ β„– 2: ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: Π°)(3Ρ…-2Ρƒ)(3Ρ…+2Ρƒ)=(3Ρ…)[2]-(2Ρƒ)[2]=9Ρ…[2]-4Ρƒ[2] Π±) ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½ 16Ρ…[4]-9 Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ².

РСшСниС: 16Ρ…[4]-9 — этот Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², Ρ‚. Π΅. ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (3), ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π½Π½ΡƒΡŽ справа Π½Π°Π»Π΅Π²ΠΎ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

16Ρ…[4]-9=(4Ρ…[2])[2]-(3)[2]=(4Ρ…[2]+3)(4Ρ…[2]-3).

Π—Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠΌ Ρ€Π°Π·Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ гСомСтричСским рассуТдСниСм.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π° ΠΈ b- ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ Π° большС Π². Рассмотрим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со сторонами Π°+b ΠΈ Π°- b (рис. 2). Π•Π³ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° (Π°+b)(Π°-b). ΠžΡ‚Ρ€Π΅ΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со сторонами b ΠΈ Π°-b ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠ»Π΅ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΊ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠ΅ΠΉΡΡ части Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС 3. Ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ получСнная Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ, Ρ‚. Π΅. (Π°+b)(Π°-b). Но эту Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ: ΠΈΠ· ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° со стороной Π° Π²Ρ‹Ρ€Π΅Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ со стороной b.

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π°[2]-b[2]. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, (Π°+b)(Π°-b)=Π°[2]-b[2], Ρ‚. Π΅. ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ. a b a-b a-b a-b

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ².

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½ Π°-Π² Π½Π° Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ Π°[2]+Π°Π²+Π²[2]:

(Π°-Π²)(Π°[2]+Π°Π²+Π²[2])=Π°Β·Π°+Π°Β·Π°Π²+Π°Β·Π²[2]-Π²Β·Π°[2]-Π²Β·Π°Π²-Π²Π²2 = Π°[3]+Π° [2]Π²+Π°Π²[2]-Π° [2]Π²-Π°Π²[2]-Π²[3]=Π°[3]-Π²[3]

(Π°-Π²)(Π°[2]+Π°Π²+Π²[2])= Π°[3]-Π²[3] — Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²

Аналогично:

(Π°+Π²)(Π°[2]-Π°Π²+Π²[2])=Π°[3]+Π²[3] — сумма ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ β„–3: ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

(2Ρ…-1)(4Ρ…[2]+2Ρ…+1) Ρ‚. ΠΊ. ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² 2Ρ… ΠΈ 1, Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ — Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΈΡ… суммы, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ . ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

(2Ρ…-1)(4Ρ…[2]+2Ρ…+1)=(2Ρ…)[3]-(1)[3]=8Ρ…[3]-1

Π’ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΅Ρ‰Ρ‘ Ρ€Π°Π· ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (1)-(5) ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ справа Π½Π°Π»Π΅Π²ΠΎ, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ случаС (слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ) говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ (1)-(5)- Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращённого умноТСния, Π° Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ случаС (справа Π½Π°Π»Π΅Π²ΠΎ) говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ (1)-(5)- Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

Π“Π΄Π΅ Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния?

Π’Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹ примСнСния:

1. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

2. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

3. ΠŸΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ тоТдСств.

4. ΠŸΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

5. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ нСравСнств.

6. ΠŸΡ€ΠΈ сравнСнии чисСл.

1. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: (Ρ… -6)[2] — Ρ… (Ρ… +8) = 2.

РСшСниС: ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΊ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части уравнСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ разности ΠΈ раскроСм скобки: Ρ…[2] — 12Ρ… + 36 — Ρ…[2] — 8Ρ… = 2. ПослС упрощСния Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ: 36 -20Ρ… =2. ΠžΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° Ρ… = 1,7.

2. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ:

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (x+3)[2]-16 Π² явной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· сСми тоТдСств Π½Π΅ прСдставляСт, Π½ΠΎ число 16 прСдставим Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ стСпСни с основаниСм 4, Ρ‚. Π΅. 16 = 4[2]. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

(x+3)[2]-16 = (x+3)[2]- 4[2]=(x+3-4)(x+3+4)=(x-1)(x+7).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ: 6x[2]+24xy+24y[2]

Анализируя, Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ слагаСмом ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вынСсти ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 6 Π·Π° скобки. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ: 6(x[2]+4xy+4y[2]). Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² скобках прСдставляСт собой Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ: Ρ…[2]+4Ρ…Ρƒ+4Ρƒ[2]=(Ρ…+2Ρƒ)[2]. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ нашС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄:

6Ρ…[2]+24Ρ…Ρƒ+24Ρƒ[2]=6(Ρ…+2Ρƒ)[2]=6(Ρ…+2Ρƒ)(Ρ…+2Ρƒ).

3. ΠŸΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ тоТдСств.

Иногда Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ тоТдСствами.

ВоТдСство- равСнство, Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… значСниях ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ….

НапримСр, равСнство 3(Ρ… + Ρƒ) = 3Ρ… + 3Ρƒ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… значСниях Ρ… ΠΈ Ρƒ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ тоТдСство: 9Π°2+6Π°b+b23a+b = 27a3+b39a2-3ab+b2

3a+b23a+b=3a+b(9a2-3ab+b2)9a2-3ab+b2

ПослС сокращСния, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

3Π° + b = 3Π° + b

4. ΠŸΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1:

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°: Π’ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ².

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ:

Рассмотрим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ с ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ a,b ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·ΠΎΠΉ (рис. Π°). Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ с[2] = a[2] + b[2]

Достроим Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π΄ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° со стороной, Π° + b Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° (рис. Π±). ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ S этого ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° (a + b)[2].

Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, этот ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ составлСн ΠΈΠ· Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ… Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½Π° a Β· b, ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° со стороной c, поэтому

S = 4· a · b + с2 = 2ab + с2

(a + b)2 = 2ab + с2 с2 = (a + b)2 — 2ab с2 = a2 + 2Π°b + b2 — 2ab, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° с[2] = a[2] + b[2]

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2:

ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°: ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΅Π³ΠΎ смСТных сторон.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ:

Рассмотрим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со сторонами Π°, b ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ S .

Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ S = Π° b.

Достроим ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π΄ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° со стороной Π° + b . Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ Π΅Π³ΠΎ стороны, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π³ΠΎΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° (Π° + b)[2].

Π‘ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, этот ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ составлСн ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° с ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ S, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° с ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒΡŽ S ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² с площадями Π°[2] ΠΈ b[2]. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ, Ссли ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ составлСн ΠΈΠ· Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ этих ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

(Π° + b)2 = S + S + Π°[2] + b[2] ΠΈΠ»ΠΈ a2 + 2Π°b + b[2] = 2 S + Π°[2] + b[2] ΠΈΠ»ΠΈ 2Π°b = 2 S. ΠžΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, S = Π° b.

5. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ нСравСнств.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ нСравСнство 4Ρ…2+4Ρ…+1>=0.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΊ нСравСнству Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° суммы: 2Ρ…+12>=0. Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ нСравСнство ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… значСниях ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: (-infinity; +infinity)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ наибольшСС Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ нСравСнства Ρ…2-10Ρ…+25Ρ…Ρ…2-9

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΊ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° разности, ΠΊ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŽ — разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ нСравСнство ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ²: Ρ…-52 Ρ… (Ρ…-3)(Ρ…+3)

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: (-infinity;-3) βˆͺ (0;3), наибольшСС Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ Ρ…=2.

6. ΠŸΡ€ΠΈ сравнСнии чисСл.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚Π΅ числа: 24[4] ΠΈ 18 βˆ™ 21 βˆ™ 25 βˆ™ 28.

РСшСниС: 18 βˆ™ 21 βˆ™ 25 βˆ™ 28 = (23 -5)(23 -2)(23 +2)(23 +5) = (23[2] — 5[2])(23[2] — 2[2]) 18 βˆ™ 21 βˆ™ 25 βˆ™ 28.

ИсслСдованиС

ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ учащихся

Π—Π½Π°ΡŽΡ‚ основныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

Π—Π½Π°ΡŽΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

НС Π·Π½Π°ΡŽΡ‚ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

ΠšΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ усвоСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»

Из Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ 23 учащихся класса Π·Π½Π°ΡŽΡ‚ основныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ класса Π½Π΅ Π·Π½Π°ΡŽΡ‚ ΠΈΡ… Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅. Π›ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π΅ усвоСниС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π² 8 классС, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, это связано с Π½Π΅Π΄Π°Π²Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π² 7 классС. К, соТалСнию, Π² ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΡ… классах Π·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ основных Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π½Π΅ ΡƒΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ. Мой ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ своСй Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ: ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ учащихся ΠΊ ΠΈΡ… ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΈ запоминанию, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСпосрСдствСнно пригодится ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΉ аттСстации ΠΊΠ°ΠΊ Π² 9 классС, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π² 11 классС.

Π—Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращСнного умноТСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ, всСго 7 ΡˆΡ‚ΡƒΠΊ. Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΈΡ… Π²Ρ‹ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ — это ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ сущСствСнно ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ врСмя Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ². НапримСр, Π² Π•Π“Π­ послСдних Π»Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ 2-3 ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°, основанных ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ… сокращСнного умноТСния.

1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

2. (a βˆ’ b)2 = a2 βˆ’ 2ab + b2

3. a2 βˆ’ b2 = (a + b)(a βˆ’ b)

4. (a βˆ’ b) 3= a3 — 3Π°2b + 3ab2 βˆ’ b3

5. (a + b)3 = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3

6. a3 + b3 = (a + b)(a2 βˆ’ ab + b2)

7. a[3] βˆ’ b[3] = (a βˆ’ b)(a[2] + ab + b[2])

ВсСго лишь 7 Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ». И большС Π²Π°ΠΌ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ понадобится! Π­Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ достаточно, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ практичСски всС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния. КаТдая ΠΈΠ· этих Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ своС Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅:

1. ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ суммы

2. ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ разности

3. Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²

4. ΠΊΡƒΠ± Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

5. ΠΊΡƒΠ± суммы

6. сумма ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²

7. Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния: Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ использования

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния (Π€Π‘Π£) ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ для возвСдСния Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈ умноТСния чисСл ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Часто эти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ произвСсти вычислСния Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡ‚Π½ΠΎ ΠΈ быстро.

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ ΠΌΡ‹ пСрСчислим основныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния, сгруппируСм ΠΈΡ… Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ, рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ использования этих Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ остановимся Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ°Ρ… Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращСнного умноТСния.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°

Π’ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅ΠΌΠ° Π€Π‘Π£ рассматриваСтся Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… курса «ΠΠ»Π³Π΅Π±Ρ€Π°» Π·Π° 7 класс. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅ 7 основных Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ».

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния
  1. Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° суммы:Β a+b2=a2+2ab+b2
  2. Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° разности:Β a-b2=a2-2ab+b2
  3. Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΊΡƒΠ±Π° суммы:Β a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
  4. Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΊΡƒΠ±Π° разности:Β a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3
  5. Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²:Β a2-b2=a-ba+b
  6. Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° суммы ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²:Β a3+b3=a+ba2-ab+b2
  7. Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²:Β a3-b3=a-ba2+ab+b2

Π‘ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈΒ a,Β b,Β cΒ Π² Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… выраТСниях ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ числа, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ выраТСния. Для удобства использования Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ Π²Ρ‹ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ сСмь основных Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π½Π°ΠΈΠ·ΡƒΡΡ‚ΡŒ. Π‘Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈΡ… Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅, обвСдя Ρ€Π°ΠΌΠΊΠΎΠΉ.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ соотвСтствСнно ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡƒΠ± суммы ΠΈΠ»ΠΈ разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

ΠŸΡΡ‚Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° вычисляСт Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ произвСдСния ΠΈΡ… суммы ΠΈ разности.

ШСстая ΠΈ сСдьмая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ — соотвСтствСнно ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ суммы ΠΈ разности Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ разности ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ суммы.Β 

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° сокращСнного умноТСния ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ тоТдСствами сокращСнного умноТСния. Π’ этом Π½Π΅Ρ‚ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ равСнство прСдставляСт собой тоТдСство.

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ практичСских ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния с пСрСставлСнными мСстами Π»Π΅Π²Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹ΠΌΠΈ частями. Π­Ρ‚ΠΎ особСнно ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ,Β ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния

НС Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ курсом 7 класса ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ Π² Π½Π°ΡˆΡƒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π€Π‘Π£ Π΅Ρ‰Π΅ нСсколько Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ».Β 

Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, рассмотрим Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°.

a+bn=Cn0Β·an+Cn1Β·an-1Β·b+Cn2Β·an-2Β·b2+..+Cnn-1Β·aΒ·bn-1+CnnΒ·bn

Π—Π΄Π΅ΡΡŒΒ CnkΒ — Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ коэффициСнты, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ стоят Π² строкС ΠΏΠΎΠ΄ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌΒ nΒ Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ паскаля.Β Β Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹Β Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

Cnk=n!k!Β·(n-k)!=n(n-1)(n-2)..(n-(k-1))k!

Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Π€Π‘Π£ для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΈ ΠΊΡƒΠ±Π° разности ΠΈ суммы — это частный случай Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈΒ n=2Β ΠΈΒ n=3соотвСтствСнно.

Но Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Ссли слагаСмых Π² суммС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ возвСсти Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, большС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΄Π²Π°? ПолСзной Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° суммы Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…, Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слагаСмых.

a1+a2+..+an2=a12+a22+..+an2+2a1a2+2a1a3+..+2a1an+2a2a3+2a2a4+..+2a2an+2an-1an

Как Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ? ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ суммы n слагаСмых Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² всСх слагаСмых ΠΈ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ всСх Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€ этих слагаСмых.

Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, которая ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ пригодится — Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° разности n-Ρ‹Ρ… стСпСнСй Π΄Π²ΡƒΡ… слагаСмых.

an-bn=a-ban-1+an-2b+an-3b2+..+a2bn-2+bn-1

Π­Ρ‚Ρƒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΡƒΒ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ Π½Π° Π΄Π²Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ — соотвСтствСнно для Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… стСпСнСй.Β 

Для Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ 2m:

a2m-b2m=a2-b2a2m-2+a2m-4b2+a2m-6b4+..+b2m-2

Для Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉΒ 2m+1:

a2m+1-b2m+1=a2-b2a2m+a2m-1b+a2m-2b2+..+b2m

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ², ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ догадались, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ частными случаями этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΒ n=2Β ΠΈΒ n=3 соотвСтствСнно. Для разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²Β bΒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ замСняСтся Π½Π°Β -b.

Как Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния?

Π”Π°Π΄ΠΈΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Π½ΠΎ сначала разбСрСмся с ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΎΠΌ чтСния формул. Π£Π΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ всСго Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° суммы Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл.

a+b2=a2+2ab+b2.

Говорят: ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉΒ aΒ ΠΈΒ bΒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния, ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния.

ВсС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ. Для ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° разности a-b2=a2-2ab+b2Β  запишСм:

ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ разности двух Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉΒ aΒ ΠΈΒ bΒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² этих Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ минус ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния.

НуТна ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ прСподаватСля?

Опиши Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅Β β€” и наши экспСрты Ρ‚Π΅Π±Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚!

ΠžΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΡƒΒ a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3. ΠšΡƒΠ± суммы двух Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉΒ aΒ ΠΈΒ bΒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² этих Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Β ΡƒΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΈ ΡƒΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ произвСдСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Ρ‡Ρ‚Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²Β a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3.Β ΠšΡƒΠ± разности двух Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉΒ aΒ ΠΈΒ bΒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΊΡƒΠ±Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния минус утроСнноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅, плюс ΡƒΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅Β ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅Β ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, минус ΠΊΡƒΠ± Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния.

ΠŸΡΡ‚Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° a2-b2=a-ba+bΒ (Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²) читаСтся Ρ‚Π°ΠΊ: Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ разности ΠΈ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

ВыраТСния Ρ‚ΠΈΠΏΠ°Β a2+ab+b2Β ΠΈΒ a2-ab+b2 для удобства Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ соотвСтствСнно Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ суммы ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ разности.

Π‘ ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ этого, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ суммы ΠΈ разности ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊ:

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ суммы этих Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΈΡ… разности.

Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ разности этих Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΈΡ… суммы.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Π€Π‘Π£

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π€Π‘Π£ довольно просто. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ Π½Π° свойствах умноТСния, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ частСй Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π² скобках.

Для ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° рассмотрим Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° разности.

a-b2=a2-2ab+b2.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ возвСсти Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ само Π½Π° сСбя.

a-b2=a-ba-b.

РаскроСм скобки:

a-ba-b=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.Β ΠžΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π€Π‘Π£ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ примСнСния Π€Π‘Π£

ЦСль использования Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращСнного умноТСния — быстроС ΠΈ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. Однако, это Π½Π΅ вся сфСра примСнСния Π€Π‘Π£. Они ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ сокращСнии Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, сокращСнии Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ, Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Π€Π‘Π£

Упростим Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β 9y-(1+3y)2.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ суммы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

9y-(1+3y)2=9y-(1+6y+9y2)=9y-1-6y-9y2=3y-1-9y2

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π€Π‘Π£

Π‘ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΈΠΌ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒΒ 8×3-z64x2-z4.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² числитСлС — Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ², Π° Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ — Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ².

8×3-z64x2-z4=2x-z(4×2+2xz+z4)2x-z2x+z.

Π‘ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

8×3-z64x2-z4=(4×2+2xz+z4)2x+z

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π€Π‘Π£ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ значСния Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π“Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ — ΡƒΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Π³Π΄Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ. ПокаТСм это Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ число 79. ВмСсто Π³Ρ€ΠΎΠΌΠΎΠ·Π΄ΠΊΠΈΡ… вычислСний, запишСм:

79=80-1;792=80-12=6400-160+1=6241.

Казалось Π±Ρ‹, слоТноС вычислСниС ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ быстро всСго лишь с использованиСм Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» сокращСнного умноТСния ΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ умноТСния.

Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ — Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° Π΄Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½Π°. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅Β 4×2+4x-3Β ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Β 2×2+2Β·2Β·xΒ·1+12-4=2x+12-4. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ прСобразования ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ.

ΠšΠΎΠ½ΡΠΏΠ΅ΠΊΡ‚ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ° для 7 класса «ΠΠ»Π³Π΅Π±Ρ€Π° событий ΠΈ основныС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° вычислСния вСроятностСй»

ЗакономСрности ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΈΡ€Π° – 7 класс

Π’Π΅ΠΌΠ° 9. АлгСбра событий ΠΈ основныС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° вычислСния вСроятностСй.

ΡƒΡ€ΠΎΠΊ Π½Π° Ρ‚Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ слоТСния вСроятностСй нСсовмСстных событий

Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°: ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒ школьников с основными ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌΠΈ вычислСния вСроятностСй

ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°: Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° слоТСния

содСрТаниС ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°:

  1. ΠžΡ€Π³Π°Π½ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΡ школьников Π½Π° ΡƒΡ€ΠΎΠΊ.

  2. Π˜Π·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ – ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ.


Β Β Β Π’Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… событий Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС вСроятностСй этих событий Π±Π΅Π· вСроятности ΠΈΡ… совмСстного наступлСния

P(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB)

Для случая Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… событий

P(A+B+Π‘) = P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π . ΠžΠΏΡ‹Ρ‚ состоит Π² случайном ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Ρ‹ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ»ΠΎΠ΄Ρ‹ Π² 52 ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Ρ‹. Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚ΡƒΠ·, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π° масти Ρ‚Ρ€Π΅Ρ„?

РСшСниС.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ события: А — «Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΡƒΠ·Π°», Π’ — «Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ„ΠΎΠ²ΠΎΠΉ масти». Π (А) = 4/15, Π (Π’) = 13/52; Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… пСрСсСчСния — ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ„ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΡƒΠ·Π° — Π (АВ) = 1/52.

Π‘ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅ B ->

Нас интСрСсуСт Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ суммы событий А ΠΈ Π’.
P(A+B) = 4/52 + 13/52 — 1/52 = 16/52 = 1/2.

НСсовмСстныС события.

Β Β Β  Π”Π²Π° события Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ нСсовмСстными, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ.
Β Β Β Π’Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ суммы Π΄Π²ΡƒΡ… нСсовмСстных событий Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС вСроятностСй этих событий.

Для нСсовмСстных событий А, Π’
P(A+B) = P(A) + P(B)

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ слоТСния вСроятностСй справСдливо ΠΈ для ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа n ΠΏΠΎΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΎ нСсовмСстных событий
P(A1+A2+A3+…+An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) +…+P(An)

ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π .Компания ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ 40000 Ρ…ΠΎΠ»ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² Π³ΠΎΠ΄. ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π²Π»ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π³ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ… России. Из Π½ΠΈΡ… 10000 ΡΠΊΡΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² страны БНГ, 8000 ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ€Π΅Π³ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ… ЕвропСйской части России, 7000 ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² страны дальнСго Π·Π°Ρ€ΡƒΠ±Π΅ΠΆΡŒΡ, 6000 Π² Π—Π°ΠΏΠ°Π΄Π½ΠΎΠΉ Π‘ΠΈΠ±ΠΈΡ€ΠΈ, 5000 Π² Восточной Π‘ΠΈΠ±ΠΈΡ€ΠΈ, 4000 Π² Π”Π°Π»ΡŒΠ½Π΅Π²ΠΎΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π°ΠΉΠΎΠ½Π΅. Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ , Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ…ΠΎΠ»ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚: Π°)ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ Π½Π° экспорт; Π±)ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°Π½ Π² России?

РСшСниС.

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ события: А — «Π₯олодильник Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°Π½ Π² странах БНГ»;
Р(А) = 10000/40000 = 0,25;
Π’ — «Π₯олодильник Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°Π½ Π² ЕвропСйской части России»;
P(B) = 8000/40000 = 0,2;
Π‘ — «Π₯олодильник Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°Π½ Π² страны дальнСго Π·Π°Ρ€ΡƒΠ±Π΅ΠΆΡŒΡ»;
P(C) = 7000/40000 = 0/175;
D — «Π₯олодильник Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°Π½ Π² Восточной Π‘ΠΈΠ±ΠΈΡ€ΠΈ»;
P(D) = 6000/40000 = 0,15;
E — «Π₯олодильник Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°Π½ Π² Π—Π°ΠΏΠ°Π΄Π½ΠΎΠΉ Π‘ΠΈΠ±ΠΈΡ€ΠΈ»;
P(E) = 5000/40000 = 0,125;
F — «Π₯олодильник Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°Π½ Π² Π”Π°Π»ΡŒΠ½Π΅Π²ΠΎΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π°ΠΉΠΎΠ½Π΅»; P(F) = 4000/40000 = 0,1.
Бобытия А, B, C, D, E, F — нСсовмСстныС. Π°) P(Ρ…ΠΎΠ»ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ Π½Π° экспорт) = P(A+B) = P(A) + P(B) = 0,25 + 0,175 = 0,425.
Π± )P(Ρ…ΠΎΠ»ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°Π½ Π² России) = P(B+D+E+F) = P(B) + P(D) + P(E) + P(F) = 0,2 + 0,15 + 0,125 + 0,1 = 0,575.

  1. Π—Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ. РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ 1,2, с.266

  2. Π”ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½Π΅Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅: ΠΏ.9.1

Π’Ρ€Π΅Ρ„

Π‘ΡƒΠ±Π½Ρ‹

Пики

Π§Π΅Ρ€Π²Ρ‹

Π’ΡƒΠ·

Π’ΡƒΠ·

Π’ΡƒΠ·

Π’ΡƒΠ·

ΠšΠΎΡ€ΠΎΠ»ΡŒ
Π”Π°ΠΌΠ°
Π’Π°Π»Π΅Ρ‚
10

2

ΠšΠΎΡ€ΠΎΠ»ΡŒ
Π”Π°ΠΌΠ°
Π’Π°Π»Π΅Ρ‚
10

2

ΠšΠΎΡ€ΠΎΠ»ΡŒ
Π”Π°ΠΌΠ°
Π’Π°Π»Π΅Ρ‚
10

2

ΠšΠΎΡ€ΠΎΠ»ΡŒ
Π”Π°ΠΌΠ°
Π’Π°Π»Π΅Ρ‚
10

2

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

Β 1/2.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:

Β  P(Ρ…ΠΎΠ»ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ Π½Π° экспорт) = 0,425.
P(Ρ…ΠΎΠ»ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π°Π½ Π² России) = 0,575.

основных ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ | РСсурсы Wyzant

Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ основныС свойства, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΊΠΎ всСм Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числам. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅, эти свойства всС Π΅Ρ‰Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΡ‹. ΠœΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… свойств ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ алгСбраичСскиС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

АлгСбраичСскиС свойства

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ a, b ΠΈ c — Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ алгСбраичСскиС выраТСния.

ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство ДополнСния

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ числа Π² любом порядкС.

ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ свойство умноТСния

ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ числа Π² любом порядкС.

АссоциативноС свойство слоТСния

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ числа Π² сумму Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ способом ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.

АссоциативноС свойство умноТСния

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ числа Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ способом ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.

Π Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Когда ΠΌΡ‹ складываСм ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π² скобках, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Для Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ³ΠΎ обсуТдСния см. Π Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ свойство

.

Бвойство Π°Π΄Π΄ΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ идСнтичности

Если ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ 0 ΠΊ Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΌΡƒ числу, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС число.

Бвойство ΠΌΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ идСнтичности

Если ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ 1 Π½Π° любоС число, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΆΠ΅ число.

АддитивноС ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ свойство

Если ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ число, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ самому сСбС, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ 0.

ΠœΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ свойство

Если ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ число Π½Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ 1.

Π˜ΠΌΠ΅ΠΉΡ‚Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ считаСтся слоТСниСм, Π½ΠΎ с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом. Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½ΠΎ с ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0.

Бвойства отрицания

ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ остороТны, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ арифмСтичСских ошибок ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅.

Бвойства равСнства

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ c с ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ стороны

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π΅ стороны Π½Π° c

Π’Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ c с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон

Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Π΅ стороны Π½Π° c

Бвойства нуля

0 прибавляСтся ΠΈΠ»ΠΈ вычитаСтся ΠΈΠ· Ρ‡Π΅Π³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ, равняСтся самому сСбС

0 ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0

0 дСлится Π½Π° Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0

НСльзя Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 0

Бвойство Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°


Если ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π΅Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0, ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ 0

Бвойства ΠΈ дСйствия Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ a, b, c ΠΈ d — Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ алгСбраичСскиС выраТСния Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ b ΠΈ d Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 0.

Π­ΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ

крСстовоС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²

ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ΄Ρ‚ΠΈ Π² любом мСстС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Π° Π΄Π²Π° отрицания Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ

ГСнСрация эквивалСнтных Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ

ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π° ΠΈ Π½ΠΈΠ·Π° Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ сохраняСт Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ значСния

Π‘Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ / Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ с Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΆΠ΅ знамСнатСлями

Ссли Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚, ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ / Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ с ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ знамСнатСлями

Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ

ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ ΠΈ ниТнюю Π½Π° ниТнюю

Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ

ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„Ρ€Π°ΠΊΠΈΡ‚ΠΎΠ½ΠΎΠ² ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ

НСкоторыС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ — ΠŸΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ курс Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹

5

Π˜Π—

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ симмСтрии

ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

Π”Π²Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

МоТно ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

АЛГЕБРА — это ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ». Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ написано Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. Ибо Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расчСт, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° символов Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ? Π’ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ замСняСм Β«2 + 2Β» Π½Π° Β«4Β». Π’ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Β« a + (- b )Β» Π½Π° Β« a b Β».

a + (- b ) = a b .

ΠœΡ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ это Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ. Π—Π½Π°ΠΊ = ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Β«ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΒ» ΠΈΠ»ΠΈ Β«ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°.Β«

Π’ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· основных ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹:

1 Β· Π° = Π° .
(1 Ρ€Π°Π· любоС число Π½Π΅ мСняСт Π΅Π³ΠΎ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ 1 называСтся Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ΠΉ умноТСния.)
(-1) Π° = Π° .
— (- Π° ) = Π° . (Π£Ρ€ΠΎΠΊ 2)
a + (- b ) = Π° Π± . (Π£Ρ€ΠΎΠΊ 3)
a — (- b ) = Π° + Π± . (Π£Ρ€ΠΎΠΊ 3)

Π‘ Π½ΠΈΠΌΠΈ — ΠΈ с Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ — связано ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ симмСтрии:

Если a = b , Ρ‚ΠΎ b = a .

Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ дСйствуСт Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… направлСниях.

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ

ΠΏ. + (- q ) = p q
— Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² расчСтС ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ p + (- q ) Π½Π° p q — Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° симмСтрично:
p q = ΠΏ. + (- q ).

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ p q Π½Π° p + (- q ).

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ симмСтрии Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² любом ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ мСстами стороны .

Если
15 = 2 Ρ… + 7,
Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°ΠΌ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΎ ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ
2 x + 7 = 15.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ говорят Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΎ ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ. Они говорят Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π½ΠΎ.

ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° 1. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ симмСтрии, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ. И ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ симмСтричная вСрсия Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, Π½Π°Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ Π½Π° Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ.
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π·, Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Β«ΠžΠ±Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΒ» (Β«ReloadΒ»).
Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ сами!

Π°) 1 Β· x = x x = 1 Β· x Π±) (-1) x = — x x = (βˆ’1) x
Π²) x + 0 = x x = x + 0 Π³) 10 = 3 x + 1 3 x + 1 = 10
Π΄) x
y
= Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΡ€
Π°Ρƒ
Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΡ€
Π°Ρƒ
= x
y
Π΅) x + (- y ) = x y x y = x + (- y )
Π³) Π°
2
+ Π±
2
= a + b
2
a + b
2
= Π°
2
+ Π±
2

ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°

ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ пишСм Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹, Π½Π΅ влияСт Π½Π° сумму. ΠœΡ‹ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌ это Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅, записывая

Π­Ρ‚ΠΎ называСтся ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ слоТСния. Π­Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΌΡƒ количСству Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ².

a + b — c + d = b + d + a — c = βˆ’c + a + d + b .

ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ значСния.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ коммутативности ΠΊ p q .

РСшСниС . ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ слоТСния ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ для ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ +. Но здСсь Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ опСрация -. Но ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ

p q = ΠΏ. + (- q ).
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,
p q = q + p .

*

Π’ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ умноТСния:

ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ значСния.

abcd = dbac = cdba .

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ примСняСтся ΠΊ Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΌΡƒ количСству Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ способом:

( abc ) d = b ( dac ) = ( ca ) ( db ).

И Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 2 x Β· 3 y Β· 5 z .

РСшСниС . ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚: ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ числа ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹.

2 x Β· 3 y Β· 5 z = 2 Β· 3 Β· 5 xyz = 30 xyz .

Π’ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ принято ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ числовой ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ слСва ΠΎΡ‚ Π±ΡƒΠΊΠ²Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ мноТитСля.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ.

Π°) 3 x Β· 5 y = 15 xy Π±) 7 p Β· 6 q = 42 pq Π²) 3 a Β· 4 b Β· 5 c = 60 abc

ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° 3. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, примСняя ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ коммутативности.

Π°) p + q = q + (- p ) = q p Π±) (-1) 6 = 6 (-1)
Π²) ( x — 2) + ( x + 1) = ( x + 1) + ( x — 2)
Π³) ( x — 2) ( x + 1) = ( x + 1) ( x — 2)

Ноль

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ для 0 (Π£Ρ€ΠΎΠΊ 3):

Для любого Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π° a :

0, Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΊ Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΌΡƒ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, Π½Π΅ мСняСт Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€.0 поэтому называСтся тоТдСством слоТСния.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ, обратная ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ, отмСняСт эту ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ.

Если ΠΌΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, с 5, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ 4,

5 + 4,

, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ это — Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ 5 — ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ βˆ’4:

5 + 4 + (βˆ’4) = 5 + 0 = 5.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ βˆ’4 являСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ слоТСнию 4, ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.ΠœΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ βˆ’4 являСтся Π°Π΄Π΄ΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ числом 4.

Как ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ a соотвСтствуСт ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ — a , Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ

a + (- a ) = (- a ) + a = 0

Число Π² сочСтании с ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ Π΅ΠΌΡƒ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡŽ.

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠΎ сути являСтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ — a .

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, аддитивная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, обратная a , Ρ€Π°Π²Π½Π° — a .И аддитивная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, обратная — a a .

— (- a ) = a .

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 4. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π² соотвСтствии с ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹.

Π°) xyz + 0 = xyz Π±) 0 + (-q) = -q Π²) βˆ’ΒΌ + 0 = βˆ’ΒΌ
Π³) Β½ + (βˆ’Β½) = 0 Π΄) pqr + pqr = 0 Π΅) x + abc abc = x

g) sin x + cos x + (βˆ’cos x ) = sin x

Π£Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это тригономСтрия, Π½ΠΎ это Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ.
Π³) АлгСбра

ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° 5. Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅.

Π°) pq + (- pq ) = 0 Π±) z + (- z ) = 0 Π²) — & 2 $ + & 2 $ = 0
Π³) Β½ x + 0 = Β½ x Π΄) 0 + (-qr) = -qr Π΅) βˆ’Ο€ + 0 = βˆ’Ο€

Π³) ΠΆΠ΅Π»Ρ‚ΠΎ-ΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΉ x + дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° x + (-ΠΊΠΎΠ»Ρ‹Π±Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ x ) = ΠΆΠ΅Π»Ρ‚ΠΎ-коричнСвая x .

Π”Π²Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ — это ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π΅ Π²Π΅Ρ‰ΠΈ — Π΄Π²Π΅ стороны — Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π·Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€, ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌΠΈ сторонами, ΠΎΠ½ΠΈ всС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹. Π­Ρ‚ΠΎ выраТаСтся Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°Ρ….

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 1. Если
a = Π± ,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
Π° + Π² = b + c .

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚:

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ сторонам уравнСния.

Π­Ρ‚ΠΎ алгСбраичСская вСрсия аксиомы Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ:

Если Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ, суммы Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. Если
Ρ… — 2 = 6,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
x = 6 + 2
= 8.

— послС прибавлСния 2 ΠΊ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ сторонам.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4. Если
Ρ… + 2 = 6,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
x = 6–2
= 4.

— послС вычитания 2 с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон.

Но ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… слоТСния. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ?

ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ эквивалСнтно слоТСнию ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа.

a b = a + (- b ).

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, любоС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ слоТСния Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ вычитания.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅ : Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 3 Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2 являСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΡŽ 2.Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ βˆ’2 транспонируСтся Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ уравнСния , Ρ€Π°Π²Π½ΡƒΡŽ , ΠΊΠ°ΠΊ +2.

Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 4 Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ 2 с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Ρ‚Ρ€Π°Π½ΡΠΏΠΎΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ +2 Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ сторону уравнСния ΠΊΠ°ΠΊ βˆ’2.

ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΎΠ± этом ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ Π² Π£Ρ€ΠΎΠΊΠ΅ 9.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 6.

Π°) Если Π±) Если
Ρ… — 1 = 5, Ρ… + 1 = 5,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
x = 6. x = 4.
ΠŸΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ 1 ΠΊ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ сторонам. ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠΈ 1 с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон.
Π²) Если Π³) Если
x — 4 = βˆ’6, x + 4 = βˆ’6,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
x = βˆ’2. x = βˆ’10.
ΠŸΡ€ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ 4 ΠΊ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ сторонам. ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠΈ 4 с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон.
ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ 2. Если
a = Π± ,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
ΠΎΠΊ. = CB .

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚:

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π΅ части уравнСния Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ число.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5. Если

2 x = 3,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
10 x =?

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ с 2 x , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½ΠΎ стало 10 x ?

ΠœΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° 5.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ равСнство, Π½Π°Π΄ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ 3 Π½Π° 5.

10 x = 15.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6. Если

x
2
= 5,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
x = 10.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Π΅ стороны Π½Π° 2, ΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠΊΠΈ просто ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ.

Π‘ΠΌ. Π£Ρ€ΠΎΠΊ 26 ΠΏΠΎ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7. Если

2 x = 14,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
x = 7.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон Π½Π° 2. Но ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ±Π΅ стороны. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ?

ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ. Π’ этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Π΅ части Π½Π° 1/2.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, любоС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ умноТСния Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ дСлСния.

ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° 7.

Π°) Если Π±) Если
x = 5, x = βˆ’7,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
2 x = 10. βˆ’4 x = 28.
Π²) Если Π³) Если
x
3
= 2, x
4
= βˆ’2
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
x = 6. x = βˆ’8.
ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон Π½Π° 3. ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон Π½Π° 4.
Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 8. Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Π΅ стороны.
Π°) Если Π±) Если
3 x = 12, βˆ’2 x = 14,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
x = 4. x = βˆ’7.
ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон Π½Π° 3. О Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… частСй Π½Π° βˆ’2.
Π²) Если Π³) Если
6 x = 5, βˆ’3 x = βˆ’6,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
x = 5
6
x = 2.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 9. МСняСм вывСски с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон. ΠΠ°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ строку, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ умноТСния ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… частСй Π½Π° -1.

Π°) Ρ… = 5. Π±) Ρ… = βˆ’5. Π²) Ρ… = 0.
x = βˆ’5. x = 5. x = -0 = 0.

Π­Ρ‚Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ:

Π’ любом ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Π½Π° с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон.

Если
– Π° = Π± ,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
a = Π± .

Π­Ρ‚ΠΎ нСпосрСдствСнно слСдуСт ΠΈΠ· однозначности Π°Π΄Π΄ΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ.

Если
– Π° = Π± ,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
Π° + Π± = 0.
Но это ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π΅Ρ‚
a = Π± .

Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

Π£ нас Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ эту Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для Β«Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΒ» уравнСния ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΠ·ΠΎΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ x , Π° Π½Π΅ x , слСва ΠΎΡ‚ Π·Π½Π°ΠΊΠ° равСнства.И ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ распрСдСлСния (Π£Ρ€ΠΎΠΊ 14), ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ всС Π·Π½Π°ΠΊΠΈ с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон.

ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° 10.

Π°) Если x = 9, Ρ‚ΠΎ — x = βˆ’9. Π±) Если x = βˆ’9, Ρ‚ΠΎ — x = 9.
Π²) Если — x = 2, Ρ‚ΠΎ x = βˆ’2. Π³) Если — x = βˆ’2, Ρ‚ΠΎ x = 2.

x — пСрСмСнная. Π­Ρ‚ΠΎ Π½ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Волько числа ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ. Когда x ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ — ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ — значСния x ΠΈ — x Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ. Если x ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚ΠΎ — x Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.Но Ссли x ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚ΠΎ — x Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ссли x = βˆ’2, Ρ‚ΠΎ — x = — (- 2) = +2. (Π£Ρ€ΠΎΠΊ 2.)

(Если x = 0, Ρ‚ΠΎ — x = βˆ’0, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Π½Π°Π΄ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0. βˆ’0 = +0 = 0.)

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠΊ: ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ вычислСния ΠΈ ноль

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ | Π”ΠΎΠΌ


Π‘Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΆΠ΅Ρ€Ρ‚Π²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ TheMathPage ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π°Π»Π°ΡΡŒ Π² сСти.
Π”Π°ΠΆΠ΅ 1 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚.


АвторскиС ΠΏΡ€Π°Π²Π° Β© 2021 ЛоурСнс Π‘ΠΏΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

Вопросы ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ?

Π­Π». ΠŸΠΎΡ‡Ρ‚Π°: [email protected]


РСзюмС ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ — Π’Π΅ΠΌΡ‹ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ исчислСнии

1

Π‘Ρ‚ΡƒΠ΄Π΅Π½Ρ‚, ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π²ΡˆΠΈΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρƒ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ здСсь ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€. Π‘Ρ‚ΡƒΠ΄Π΅Π½Ρ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ сСйчас ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ курс, ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΆΠ΄Π΅Ρ‚.

АЛГЕБРА — это ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΏΠΈΡΡŒΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… вычислСний. А Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ расчСт, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° символов Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ? Π’ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ замСняСм Β«2 + 2Β» Π½Π° Β«4Β». Π’ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Β« a + (- b )Β» Π½Π° Β« a b Β».

a + (- b ) = a b .

ΠœΡ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ это Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ. Он ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, написанноС Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ.Π—Π½Π°ΠΊ = ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΒ» ΠΈΠ»ΠΈ Β«ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Β».

Если p ΠΈ q ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ утвСрТдСниями (уравнСниями), Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ

Если p , Ρ‚ΠΎ q ,

ΠΈΠ»ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ

p ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ q ,

ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚: ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ — Π² смыслС дальнСйшСго — ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ p ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ q . НапримСр,

x + a = b ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π΅Ρ‚ x = b a .

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Β« x + a = b Β» с ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Β« x = b a Β».

Ибо ΠΌΡ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ уравнСния с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ логичСской ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ.

АлгСбра зависит ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ всС выглядит. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° — это систСма Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… — грамматичСских — ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ». Π”Π°Π»Π΅Π΅ слСдуСт Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΎ ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ.

(Π‘ΠΌ. ΠŸΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ курс «Навыки Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹Β».)

11. Аксиомы Β«Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΒ»

a = a Π›ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ
Если a = b , Ρ‚ΠΎ b = a . БиммСтрия
Если a = b ΠΈ b = c , Ρ‚ΠΎ a = c . Π’Ρ€Π°Π½Π·ΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

НСвозмоТно Π΄Π°Ρ‚ΡŒ явноС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ слову Β«Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΒ» ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π³ΠΎ символу =. Однако эти ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ нСявным ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ слова Β«Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉΒ» ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π΅Ρ‚ эти Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°.

О Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ симмСтрии примСняСтся Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅, см. Π£Ρ€ΠΎΠΊ 6 Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ симмСтрии примСняСтся ΠΊΠΎ всСм ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ.

12. ΠšΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° слоТСния ΠΈ умноТСния

a + b = b + a
a Β· b = b Β· a

13.Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ элСмСнты слоТСния ΠΈ умноТСния:

3. 0 ΠΈ 1

a + 0 = 0 + a = a

a Β· 1 = 1 Β· a = a

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ссли ΠΌΡ‹ Β«ΠΎΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΒ» числом с элСмСнтом идСнтичности,
Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ это число Π±Π΅Π· ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.

14. Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΊΠ°, обратная a : — a

a + (- a ) = — a + a = 0

Β«Π˜Π½Π²Π΅Ρ€ΡΠΈΡΒ» числа отмСняСт дСйствиС числа.
НапримСр, Ссли Π²Ρ‹ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅Ρ‚Π΅ с 5 ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚Π΅ 2, Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ 5, Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ βˆ’2. Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2 + (βˆ’2) Π² этом случаС Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 0 -, Ρ‡Ρ‚ΠΎ являСтся тоТдСством.

15. ΠœΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Π°Ρ обратная ΠΈΠ»ΠΈ обратная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° a ,
5. обозначаСтся ΠΊΠ°ΠΊ 1
Π°
( a 0)
a Β· 1
Π°
= 1
Π°
Β· Π° = 1.

Π”Π²Π° числа Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ , ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ, Ссли ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, 1/ a символизируСт Ρ‚ΠΎ число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° a Π΄Π°Π΅Ρ‚ 1.

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, обратная p
q
это q
p
.

16. АлгСбраичСскоС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ вычитания

a b = a + (- b )

Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ слоТСниС ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ.

17. АлгСбраичСскоС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ дСлСния

.

Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ основныС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ: слоТСниС ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

18. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΊ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ

— (- a ) = a

19. Бвязь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ b a Π΄ΠΎ a b

b a = — ( a b )

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, b + a Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ , Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΄ΠΎ a + b . Но b a — это ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· a b .

10. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² для умноТСния, дСлСния ΠΈ
10. Π”Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ

a (- b ) = — a b . (- a ) b = — a b . (- a ) (- b ) = ab.

a
b
= — a
b
. Π°
Π±
= — a
b
. Π°
Π±
= a
b
.

Β«ΠŸΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π² ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² — ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅.Β«

11. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° для 0

a Β· 0 = 0 Β· a = 0.

Если a 0, Ρ‚ΠΎ

0
a
= 0. Π°
0
= НСт значСния. 0
0
= НСопрСдСлСнный.

Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° 0 — ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Π°Ρ опСрация. (Навыки Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, 5-ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠΊ)

12. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ / Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

ΠΌ ( a + b ) = ΠΌ a + ΠΌ b Π Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ /
ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ коэффициСнт
( x a ) ( x b ) = x 2 — ( a + b ) x + ab
ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½
( a Β± b ) 2 = a 2 Β± 2 ab + b 2 Π’Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°
( a + b ) ( a b ) = a 2 b 2 Π Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π°
Π΄Π²Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°
( a Β± b ) (a 2 ab + b 2 ) = a 3 Β± b 3 Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π°
Π΄Π²Π° ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΠ°

13.Одна ΠΈ Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ опСрация для ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… частСй уравнСния

Если Если
a = Π± , a = Π± ,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
a + c = b + c . ac = Π± Π² .

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ сторонам уравнСния , ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ число;
ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ число.

14. ИзмСнСниС Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π² ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… частях уравнСния

Если
– Π° = Π± ,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
a = Π± .

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ любой Π·Π½Π°ΠΊ Π² ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… частях уравнСния.

15. Π‘ΠΌΠ΅Π½Π° Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Π΅ стороны нСравСнства:
15. Π‘ΠΌΠ΅Π½Π° смысла

Если
a Π± ,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
– Π° > Π± .

Когда ΠΌΡ‹ мСняСм Π·Π½Π°ΠΊΠΈ с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон нСравСнства, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ смысл нСравСнства.

16. Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅
16. Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΈΡ… ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅

Если Если
x + a = Π± , x Π° = Π± ,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
x = b a . x = Π° + Π± .
Если Если
Ρ‚ΠΎΠΏΠΎΡ€ = Π± , x
a
= Π± ,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
x = b
a
. x = Π°.Π±. .

Π‘ΠΌ. «Навыки Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹Β», ΡƒΡ€ΠΎΠΊ 9.

.

17. ИзмСнСниС смысла ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ нСравСнства

Если
ось б,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
x > — b
a
.

18. ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

Если | x | = b , Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ x = b ΠΈΠ»ΠΈ x = — b .

Если | x | < b , Ρ‚ΠΎ — b < x < b .

Если | x | > b (ΠΈ b > 0), Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ x > b ΠΈΠ»ΠΈ x <- b .

19. ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ эквивалСнтных Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ; ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Ρ‚ΠΎ, ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

20. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ

a
b
Β· c
d
= ac
bd
a Β· c
d
= ac
d

21.Π Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ„Ρ€Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„Ρ€Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ)

Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ — это ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ.

22. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ

a
c
+ b
c
= a + b
c
Π’ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ
a
b
+ c
d
= ad + bc
bd
Π Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ
Π±Π΅Π· ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ
a
до н.э.
+ e
CD
= ad + be
bcd
Π Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ с ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌΠΈ мноТитСлями

ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ — это НОК Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ.

23. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° экспонСнтов

24. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ экспонСнты

25. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ экспонСнты 0

Π° 0 = 1

26. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня с ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

27. УравнСния Π²ΠΈΠ΄Π° a 2 = b

Если
Π° 2 = Π± ,
, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ
Π° = Β±.

28. Π Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹ умноТСния / разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

29. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня n -ΠΉ

30. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ показатСля

Π£ΠΌΠ΅Π»Π΅Π΅ сначала Ρ€ΡƒΡ‚ ΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ.

31. Π—Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

ΠΆΡƒΡ€Π½Π°Π» xy = ΠΆΡƒΡ€Π½Π°Π» x + ΠΆΡƒΡ€Π½Π°Π» y .

ΠΆΡƒΡ€Π½Π°Π» x
y
= ΠΆΡƒΡ€Π½Π°Π» x — ΠΆΡƒΡ€Π½Π°Π» y .

ΠΆΡƒΡ€Π½Π°Π» x n = n ΠΆΡƒΡ€Π½Π°Π» x .

32. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксной Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ i

i 2 = -1

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΌΠ°: Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ | Π”ΠΎΠΌ


Π‘Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΆΠ΅Ρ€Ρ‚Π²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ TheMathPage ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π°Π»Π°ΡΡŒ Π² сСти.
Π”Π°ΠΆΠ΅ 1 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚.


АвторскиС ΠΏΡ€Π°Π²Π° Β© 2021 ЛоурСнс Π‘ΠΏΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

Вопросы ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ?

Π­Π». ΠŸΠΎΡ‡Ρ‚Π°: [email protected]


Π Π΅ΡˆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ уравнСния ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°ΠΉΡ‚Π΅ выраТСния (АлгСбра 2, УравнСния ΠΈ нСравСнства) — Mathplanet

Π’ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ 1 нас ΡƒΡ‡Π°Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ — это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ слоТСния ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ умноТСния / дСлСния.
ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ слоТСния для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈ Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Π° ​​к ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ сторонам уравнСния Π±Π΅Π· измСнСния Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ уравнСния.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

$$ \ begin {array} {lcl} 4x-12 & = & 0 \\ 4x-12 + 12 & = & 0 + 12 \\ 4x & = & 12 \\ \ end {array} $$

Π”ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ 12 ΠΊ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ сторонС уравнСния Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ строкС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° — это ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ шаг Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ уравнСния. ΠœΡ‹ Π½Π΅ мСняли Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, добавляя ΠΏΠΎ 12 с ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ стороны, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅, ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ уравнСния ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. УравнСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ эквивалСнтными уравнСниями.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ умноТСния / дСлСния для ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π² ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… частях уравнСния ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Ρ‡Π»Π΅Π½ (ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ нуля) Π±Π΅Π· измСнСния Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ уравнСния.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

$$ \ begin {array} {lcl} 4x-12 & = & 0 \\ 4x-12 + 12 & = & 0 + 12 \\ 4x & = & 12 \\ \ frac {4x} {4} & = & \ frac {12} {4} \\ x & = & 3 \\ \ end {array} $$

Когда ΠΌΡ‹ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΡ‹ дСйствуСм Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ порядкС:

  1. УпроститС выраТСния Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ скобок, скобок, Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π½Ρ‹Ρ… скобок ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ.
  2. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ всС полномочия.
  3. ВсС умноТСния ΠΈ дСлСния Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ.{2} -2)} {\ sqrt {2}} $$

    Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΌΡ‹ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Ρ‹Ρ… скобках, вычисляя стСпСни, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ выполняСм Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Π½Π΅Π³ΠΎ.

    $$ \ frac {(4-2)} {\ sqrt {2}} $$

    $$ \ frac {(2)} {\ sqrt {2}} $$

    Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ скобки ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° √2.

    $$ \ frac {2 \ cdot \ sqrt {2}} {\ sqrt {2} \ cdot \ sqrt {2}} $$

    Π’ качСствС послСднСго шага ΠΌΡ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ всС умноТСния ΠΈ дСлСния слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ.

    $$ \ frac {2 \ cdot \ sqrt {2}} {2} $$

    $$ \ sqrt {2} $$


    Π’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎΡƒΡ€ΠΎΠΊ

    Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

    $$ 12 (\ frac {3b-b} {4a}) = 36 $$

    ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° упрощСния Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

    УравнСния Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ всСгда Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ упрощСния уравнСния.Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, прСдставив ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ пошагового процСсса, Π·Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ часто прямо.

    Π•ΡΡ‚ΡŒ нСсколько распространСнных ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ², ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… для упрощСния алгСбраичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ:

    1. ОбъСдинСниС ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΡ… Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ²
    2. Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³
    3. Π Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ свойством
    4. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²

    ΠœΡ‹ рассмотрим ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· этих ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² шаг Π·Π° шагом, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎ-настоящСму ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ алгСбраичСского уравнСния.

    1. ОбъСдинСниС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ²

    Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎ просто ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ слоТСниС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

    НапримСр:

    17x + 3y — 9x Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΎ Π΄ΠΎ 8x + 3y, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ объСдинили Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ x.

    Или 3a -5b + 3ab + 7a = 22, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ: 10a — 5b + 3ab = 22.

    По сути, ΠΈΡ‰ΠΈΡ‚Π΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ a, y, e, ΠΈΠ»ΠΈ с Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ нСизвСстными коэффициСнтами.

    2. Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³

    Π’ΠΎ-Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Π°. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ слоТнСС, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ знания ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ тСхничСски Π½Π΅ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ процСсс примСняСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ упрощСния, Ссли Π²Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ алгСбраичСскиС уравнСния. ΠŸΡ€ΠΎΡ‰Π΅ говоря, ΠΌΡ‹ Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ, разлагая Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Π΅Ρ‚ использованиС Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… матСматичСских вычислСниях, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Π΅Ρ‚ запись.

    НапримСр:

    X2 — 2x — 3 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΎ Π΄ΠΎ:

    (Ρ… — 3) (Ρ… + 1)

    Π― знаю, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это каТСтся ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ, особСнно Π² свСтС ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ² упрощСния. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅, это ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΡ€ΡƒΠΏΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ уравнСниями Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ матСматичСскими вопросами, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π΅ΡΡ‚ΡŒ слоТныС алгСбраичСскиС зСлья. Π—Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²Π° подуравнСния Π² ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π»Π°Π³Π΅Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΌΠ΅Π»ΠΊΠΈΠ΅ части, ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ для большСго уравнСния.

    3. Π Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ уравнСния

    Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстСн ΠΊΠ°ΠΊ свойство распрСдСлСния. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π²Ρ‹ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, удаляя скобки ΠΈ прСвращая Π΅Π³ΠΎ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ΅, Π½ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎΠ΅ Π² использовании.

    НапримСр:

    5b (b — 6) + 4 = 10 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΎ Π΄ΠΎ

    5b2 — 30b + 4 = 10, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ.

    4. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²

    НаконСц, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ².Π­Ρ‚ΠΎ просто ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ. Π­Ρ‚ΠΎ Π³Π°Ρ€Π°Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ с наимСньшими Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами.

    Один ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²: (4x — 12y) Γ· 4 + 3 = 0

    Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ: (x — 3y) + 3 = 0

    Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: 10a * 2a Γ· 4a = 20

    Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ: 20a2 Γ· 4a = 20

    Π’Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ всС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹.Π’Ρ‹ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡ… вмСстС ΠΈ примСняСтС ΠΊ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΈΠΌ Ρ‚Π΅ΠΌΠ°ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, связанным с Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΉ.

    ΠžΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

    Π¨Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² матСматичСской Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹

    Π¨Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² матСматичСской Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹

    ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ — это ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ для слоТСния, ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ для умноТСния, ассоциативный для слоТСния, ассоциативный для умноТСния, дистрибутивный Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΈ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹.

    1. Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

    РасполоТСниС слагаСмых Π½Π΅ влияСт Π½Π° сумму.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

    x + y + z = z + x + y = y + x + z, Π³Π΄Π΅ x = 5, y = 1 ΠΈ z = 7

    5 + 1 + 7 = 13

    7 + 5 + 1 = 13

    1 + 5 + 7 = 13

    2. Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ коммутативности для умноТСния

    РасполоТСниС Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π΅ влияСт Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

    x * y * z = z * x * y = y * x * z, Π³Π΄Π΅ x = 4, y = 3 ΠΈ z = 6

    4 * 3 * 6 = 12 * 6 = 72

    6 * 4 * 3 = 24 * 3 = 72

    3 * 4 * 6 = 12 * 6 = 72

    3.Ассоциативный Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ для слоТСния

    Π“Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ° слагаСмых Π½Π΅ влияСт Π½Π° сумму.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

    x + (y + z) = (x + y) + z, Π³Π΄Π΅ x = 5, y = 1 ΠΈ z = 7

    5 + (1 + 7) = 5 + 8 = 13

    (5 + 1) + 7 = 6 + 7 = 13

    ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСзависимо ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ числа сгруппированы, ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ всС Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 13.

    4. Ассоциативный Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ умноТСния

    Π“Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ° Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π΅ влияСт Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

    (x * y) * z = x * (y * z), Π³Π΄Π΅ x = 4, y = 3 ΠΈ z = 6

    (4 * 3) * 6 = 12 * 6 = 72

    4 * (3 * 6) = 4 * 18 = 72

    Ассоциативный Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ складываСм ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ. Π­Ρ‚ΠΎ НЕ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ.

    5. Π Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ

    Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ чисСл с ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΈΡ… ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ чисСл с ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΈΡ… слоТСниСм.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

    4 * (2 + 5 + 6) = 4 * 13 = 52 ……………. (i)

    (4 * 2) + (4 * 5) + (4 * 6) = 8 + 20 + 24 = 52 ……………. (ii)

    Π”Π²Π° уравнСния (i) ΠΈ (ii) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈ ΠΎΠ±Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 52.

    Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ распрСдСлСния Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ число ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Π½Π΅ скобок (ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ) ΠΈ числа ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ скобок, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ слоТСния ΠΈ / ΠΈΠ»ΠΈ вычитания (Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΡ‹).

    Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π² ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Ρ‹Ρ… скобках Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π²Π½Π΅ Π΅Π³ΠΎ.

    НапримСр, дистрибутив 5 (2 + 6) выдаст Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ 5 (2) + 5 (6).

    6. Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΎ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ собствСнности

    Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ умноТСния с Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌΠΈ свойствами гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ любоС число, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° 0, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

    155 * 0 = 0

    0 * 3 = 0

    Π—Π°ΠΊΠΎΠ½ слоТСния с Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌΠΈ свойствами гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ любоС число плюс 0 Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΆΠ΅ числу.

    155 + 0 = 155

    0 + 3 = 3

    ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ — ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ — Π£Π³Π»ΡƒΠ±Π»Π΅Π½Π½ΠΎ

    ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, поэтому Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с экспонСнтами. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ рассмотрим ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΈ посмотрим НСкоторыС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

    ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈΠ· 1

    Π•ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ простыС Β«ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° 1Β».

    Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, любоС число Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Β«ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Β», равняСтся самому сСбС.Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Π²ΠΎ сколько Ρ€Π°Π· основаниС умноТаСтся само Π½Π° сСбя. Если это Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ умноТаСтся ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π·, Ρ‚ΠΎ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ самому сСбС.

    Π’ΠΎ-Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ Π² Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π²Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ — ΠΎΠ΄ΠΈΠ½. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π· ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π· ΠΎΠ΄ΠΈΠ½, сколько Π±Ρ‹ Ρ€Π°Π· Π²Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π»ΠΈ, всСгда Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅.

    Π’ΠΎΠ²Π°Ρ€ ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ

    ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни Β«ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния» Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… стСпСнСй, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π½Π° Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π±Π°Π·Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ экспонСнты.