Правильный треугольник, площадь правильного треугольника: свойства, формулы

Все предметы

Математика

Русский язык

Информатика

Обществознание

Биология

Английский язык

Литература

История

Физика

Химия

О ЕГЭ/ОГЭ

Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен  градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.

Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Пусть сторона правильного треугольника равна .

Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: .


Радиус описанной окружности в два раза больше: .
Площадь правильного треугольника: .

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части  — докажите их самостоятельно.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.

Ответ: .

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .

Ответ: .

Правильные многоугольники и окружность описанная и

Правильные многоугольники и окружность. Здравствуйте, Дорогие друзья! Во многих задачах в курсе геометрии, в том числе и в составе ЕГЭ имеется много заданий связанных с понятием окружности вписанной в правильный многоугольник и описанной около него. Если конкретней, то в данном случае мы рассмотрим правильный треугольник, также квадрат и правильный шестиугольник. Именно с этими правильными многоугольниками связаны условия заданий на экзамене. Обычно в ходе решения таких задач возникает необходимость выразить:

1. Сторону правильного треугольника через радиус вписанной или описанной окружности.

2. Сторону квадрата через радиус вписанной окружности или  описанной окружности.

3. Сторону правильного шестиугольника через радиус вписанной или описанной окружности.

4. Радиус вписанной в правильный многоугольник окружности через радиус описанной около него окружности и наоборот.

На сайте рассмотрены (и в будущем будут рассматриваться) задачи, в которых эти формулы используются. При решении подробно не описывается как они выводятся. Просто говорится, например, что сторона правильного треугольника соотносится с радиусом вписанной в него окружности как:

У многих возникают вопросы по этому поводу: Как? Почему? В этой статье мы выведем все указанные соотношения и в будущем  при решении задач, если потребуется, просто буду давать ссылку на эту статью.

Что нужно всегда помнить и понимать?

Центр правильного многоугольника совпадает с центром вписанной о описанной около него окружности. Итак, приступим!

Правильный треугольник, вписанная и описанная окружность.

Пусть а – это его сторона, радиус описанной окружности равен R, а радиус вписанной окружности равен r.

Стороны правильного треугольника и вписанная в него окружность имеют общие точки (точки касания), эти точки делят стороны треугольника пополам. Радиус описанной окружности, проведённый к вершине треугольника является биссектрисой, то есть делит угол при этой вершине, равный 60 градусам, пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым). По определению тангенса: Получаем, что: По определению косинуса: Получаем, что: Можем записать соотношение радиусов:

Квадрат, вписанная и описанная около него окружность.

Пусть а – это сторона квадрата, радиус описанной окружности равен R, а радиус вписанной окружности равен r.

Стороны квадрата и вписанная в него окружность имеют общие точки (точки касания), эти точки делят стороны квадрата пополам.

Радиус описанной окружности, проведённый к вершине квадрата является биссектрисой, то есть делит угол квадрата пополам.

Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым). На основании вышеизложенного можно сделать вывод о том, что:

По определению косинуса: Получаем, что: *Можно было воспользоваться также теоремой Пифагора. Запишем соотношение радиусов:

Правильный шестиугольник. Вписанная и описанная окружность.

Стороны правильного шестиугольника и вписанная окружность имеют общие точки (точки касания), эти точки делят стороны данного шестиугольника пополам.

Радиус описанной окружности, проведённый к вершине шестиугольника является биссектрисой, то есть делит угол правильного шестиугольника равный 120 градусам пополам. Подробнее о правильном шестиугольнике и описанной около него окружности можете посмотреть информацию в этой статье.

Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен жёлтым). По определению тангенса: Получаем, что:

Тот факт, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности известен практически всем школьникам изучившим соответствующий материал по планиметрии:

Если интересно посмотрите как это можно вывести. По определению косинуса в прямоугольном треугольнике: Получаем, что: Можем записать соотношение радиусов: Вот и всё.

Конечно же, учить и запоминать данные формулы не нужно. В ходе решения вы всегда сможете их также вывести используя свойства правильных многоугольников, определения тангенса и косинуса, теорему Пифагора.

Я решил изложить это в отдельной статье только для того, чтобы у вас не возникали вопросы при решении и изучении соответствующих заданий на блоге и вы всегда могли бы посмотреть откуда взялась формула. Везде, где потребуется данная информация я буду размещать ссылку на эту статью.

Получить материал статьи в формате PDF

Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Вписанная и описанная окружности [wiki.eduVdom.com]

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Теорема 1. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник, О — центр вписанной в него окружности, D, Е и F — точки касания окружности со сторонами (рис.1).

Рис. 2 = 400 \\ \text{ откуда }АВ = \sqrt{400} = 20\text{ и, значит, }R = 10\text{ (см).} $$


Пример 3. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равна 12. Окружность с центром вне этого треугольника имеет радиус 8 и касается продолжения боковых сторон треугольника ABC: BC и BA, а также касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Видео-решение.



Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Если в задаче дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой Пифагора.

Кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле

   

где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.

Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.

Задача 1.

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.

Дано: ∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

BM=4 см, AM=6 см.

Найти:

   

Решение:

1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,

AK=AM=6 см,

BF=BM=4 см,

CK=CF=x см.

2) AB=AM+BM=6+4=10 см,

AC=AK+CK=(6+x) см,

BC=BF+CF=(4+x) см.

3) По теореме Пифагора:

   

   

   

   

   

По теореме Виета,

   

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.

4)

   

   

   

   

   

   

Ответ: 24 см, 24 см², 2 см.

Задача 2.

Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.

Дано:∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

AB=26 см, r=4 см.

Найти:

   

Решение:

1) Проведем отрезки OK и OF.

   

(как радиусы, проведенные в точки касания).

Четырехугольник OKCF — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).

А так как OK=OF (как радиусы), то OKCF — квадрат.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

AM=AK=x см,

BF=BM=(26-x) см,

CF=CK=r=4 см.

3) AC=AK+KC=(x+4) см, BC=BF+CF=26-x+4=(30-x) см.

По теореме Пифагора,

   

   

   

   

   

   

Если AM=20 см, то AC=24 см, BC=10 см.

Если AM=6 см, то AC=10 см, BC=24 см.

   

   

Ответ: 120 см².

Радиус вписанной в треугольник окружности: онлайн-калькуляторы

На этой странице вы узнаете, как рассчитывается радиус вписанной в треугольник окружности для различных случаев: в общем случае, а также для прямоугольного, равнобедренного и равностороннего треугольников.

Также на страницу добавлены онлайн-калькуляторы для использования по приведённым формулам.

Определение 1

Окружность называется вписанной в треугольник если она касается каждой из сторон треугольника.

Рассмотрим как рассчитывается радиус вписанной окружности в общем случае. Для использования онлайн-калькулятора введите известные вам данные в поля для ввода.

Радиус вписанной окружности в треугольник, зная стороны

Радиус вписанной окружности можно сосчитать по формуле:

$R = \sqrt{\frac{(- a + b + c) \cdot(a — b + c) \cdot(a + b — c)} {4 \cdot (a + b + c)}}$, где

$a, b, c$ — стороны треугольника.

Разберём пример на использование этой формулы.

Пример 1

Задача

Дан треугольник со сторонами $a, b$ и $c$ соответственно равными $3, 4$ и $5$ см. Чему равен радиус $R$ вписанной в него окружности?

Решение:

$R = \sqrt{\frac{(- 3 + 4 + 5) ( 3 — 4 + 5) (3 + 4 — 5)}{4 \cdot (3 + 4 + 5)}} = 1$ см.

Ответ совпадает с ответом онлайн-калькулятора, а значит, решение найдено верно.

Следующей рассмотрим формулу радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности.

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник, зная стороны

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, определяется по формуле:

$R = \frac{a + b — c}{2}$, где

$a, b$ — меньшие стороны;

$c$ — гипотенуза.

Решим пример на использование этой формулы.

Пример 2

Задача

Дан прямоугольный треугольник со сторонами $a, b$ и $c$ соответственно равными $2, 2$ и $2,85$ см. Чему равен радиус вписанной в него окружности?

Решение:

$R = \frac{2 + 2 + 2.85}{2} = 0,57$ см.

Данный ответ совпадает с ответом онлайн-калькулятора, а значит, решение осуществлено верно.

Также разберём, как выглядят упрощённые формулы для окружностей, вписанных в равнобедренный и равносторонний треугольники.

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны

$R = \frac{b}{2} \cdot \sqrt{\frac{2\cdot a — b}{2\cdot a + b}}$, где

$a$ — длина одинаковых сторон;

$b$ — длина третьей стороны.

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник через сторону

Через сторону радиус вписанной окружности определяется по формуле:

$R = \frac{\sqrt3 \cdot a }{6} $, где

$a$ — сторона правильного треугольника.

Построение правильных многоугольников — Техническое черчение

Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 —6, 4—3, 4—5 и 7—2, после чего прово­дим стороны 5—6 и 3—2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника. Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0—1—2 равен 30°, то для нахождения стороны

1—2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0—1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1—2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2—3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину—точку 1 и проводим диаметральную линию 1—4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность. Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4—1 и 3—2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1—2 и 4—3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вер­шины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Далее от точки К на этой прямой откладываем отрезок, равный 4/6 AB.

Получим точку 1—вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведён­ными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиу­сом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с про­должением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, прово­дим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересече­ние которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / — // — /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведе­ния лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоуголь­ников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно произ­водить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэф­фициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

В первой колонке этой таблицы указаны числа сторон правильного вписанного многоугольника, а во второй—коэффициенты.

Длина стороны заданного многоугольника получится от умножения радиуса данной окружности на коэффициент, соответствующий числу сторон этого многоугольника.

Планиметрия. Страница 11

         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Планиметрия. Страница 11  
   
   
 

1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.
3.Подобие многоугольников.
4.Длина окружности.
5.Примеры.

 

 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 

1.

Многоугольники. Правильные многоугольники
 
 

   Ломаной А1,А2…Аn называется геометрическая фигура, которая состоит из точек и соединяющих их отрезков (Рис.1). Длина ломаной больше отрезка, соединяющего ее концы и равна сумме длин ее звеньев. Если длина ломаной равна отрезку, соединяющего ее концы, то такая ломаная есть прямая.

   Пусть начальная и конечные точки ломаной совпадают, тогда такая фигура называется многоугольником. Многоугольники могут иметь n вершин и соответственно n сторон. Если многоугольник лежит в одной полуплоскости относительно каждой своей стороны, то он называется выпуклым. В противном случае невыпуклый.

   Сумма углов выпуклого многоугольника S = 180°(n — 2).

 

Рис.1 Ломаная. Многоугольник..

 
         
         
         
 

   Многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны называется правильным.

   Теорема. Любой правильный выпуклый многоугольник вписан в окружность и описан около окружности.

   Доказательство. Пусть ABCDEF — правильный многоугольник. (Рис. 2)

   Проведем биссектрисы из вершин А и В. Треугольник АОВ равнобедренный. Стороны АО и ОВ равны, т.к. они лежат против равных углов. Проведем прямую ОС. Тогда треугольники АОВ и ВОС равны по первому признаку. Сторона ОВ у них общая, стороны АВ и ВС равны по условию, т.к. это правильный многоугольник. Углы при вершине В равны. Следовательно ОВ = ОС. Отсюда следует, что ОА = ОВ = ОС. Таким образом, можно доказать, что треугольники ВОС и СОD равны и т.д. Следовательно отрезки, соединяющие вершины многоугольника и точку О равны. Это означает, что эти отрезки являются радиусом описанной окружности.

   Т.к. треугольники равны, то и высоты, опущенные на стороны, тоже равны. А они будут являться радиусом вписанной окружности.

 

Рис.2 Многоугольник вписанный в окружность и описанный около окружности.

 
       
       

2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников

   
       
 

   Пусть дан правильный многоугольник ABCDEF (Рис.3). Найдем радиус описанной (R = ОВ) и вписанной (r = ОР) окружностей .

   Где n — число углов многоугольника.

 

Рис.3 Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.

 
         
 
   
 

3.

Подобие многоугольников
   
       
 

   Теорема. Правильные выпуклые многоугольники подобны. Если правильные выпуклые многоугольники имеют равные стороны, то они равны.

   Доказательство. Пусть даны два правильных выпуклых многоугольника В и А’ c вершинами В1,В2,В3,В4,В5,В6 и A’1,A’2,A’3,A’4,A’5,A’6 (Рис.4). При этом k = А’1А’2/В1В2. Подвергнем многоугольник В гомотетии, т.е. преобразованию подобия, с коэффициентом преобразования k. Т.к. при преобразовании подобия расстояния между точками изменяется в одно и тоже число k раз и углы при этом сохраняются, то полученный многоугольник А1А2А3А4А5А6 равен многоугольнику А’1А’2А’3А’4А’5А’6. Т.к. его стороны, например А1А2 = k В1В2 = (А’1А’2/В1В2) * В1В2 = А’1А’2.
Т.е. А1А2 = А’1A’2.

   Отсюда можно сделать вывод, что у правильных n — угольников отношения периметров, радиусов (диаметров) описанных и вписанных окружностей равны.

4. Длина окружности

   Теорема. Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от размера окружности, т.е. величина постоянная.

   Доказательство. Пусть даны две окружности с диаметрами D1 и D2. L1 и L2 — длины этих окружностей.

   Впишем в нашу окружность правильный многоугольник с большим числом сторон n. Тогда длина окружности приблизительно будет равна периметру многоугольника L ≈ P

 

Рис.4 Подобие многоугольников.

 
         
 

   По свойству выпуклых правильных многоугольников известно, что отношение периметров, радиусов и диаметров вписанных и описанных окружностей равны. Следовательно:

   Таким образом мы пришли к противоречию. Отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная π ≈ 3.14159

 
         
         

5.Пример 1

 

   Докажите, что у замкнутой ломаной расстояние между любыми двумя вершинами не больше половины длины ломаной.

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть A1 A2 A3 A4 A5 … An — данная ломаная (Рис.5). Заменим звенья A1A2 и A2A3 одним звеном A1A3. Теперь рассмотрим треугольник A1A2A3. По свойству треугольника имеем:

    A1A31A2 + A2A3

    Также как и в треугольнике A1A3A4

    A1A41A3 + A3A4

    Теперь рассмотрим треугольник A1A5An

    A1A51An + AnA5

    А в треугольнике A1A5A4

    A1A41A5 + A4A5

    Так как длина ломаной равна:

    d = A1A2 + A2A3 + A3A4 + A4A5 + A5An + . .. + AnA1

 

Рис.5 Задача. Докажите, что у замкнутой ломаной…

 
         
 

    То заменим первые три звена на звено меньшей длины A1A4, а остальные звенья соответственно на A1A4. Тогда получим:

    d > A1A4 + A1A4 = 2 A1A4 или d / 2 > A1A4.

   Т.е. длина между любыми двумя вершинами замкнутой ломаной меньше половины длины ломаной. Вместо точки A4 можно взять любую промежуточную точку.

 
         
 

Пример 2

 
 

   Докажите, что хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, равна стороне правильного вписанного треугольника.

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть дана окружность с центром в точке О, радиусом ОА и хордой АВ (Рис.6). ОЕ = ОА / 2. Тогда, cos α = EO / OA = 1/2. Т.е. угол α = 60°.

   Следовательно, ∠ АОВ = ∠ АОС = ∠ ВОС = 120°.

   Таким образом, треугольники АОВ, АОС и ВОС равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). У них сторона АО = ОВ = ОС = R, которые являются общими для каждой пары треугольников, и углы между ними равны по 120°.

    Следовательно, хорда АВ = АС = ВС. А это значит, что вписанный в окружность треугольник АВС является правильным.

 

Рис.6 Задача. Докажите, что хорда, перпендикулярная радиусу…

 
         
         
 

Пример 3

 
 

   Докажите, что у правильного треугольника центры описанной и вписанной окружностей совпадают, а также, что радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности.

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть дан правильный треугольник АВС (Рис.7). Проведем биссектрисы из вершин А и С, которые пересекутся в точке О.

   Так как у правильного треугольника все углы равны, т.е. углы при вершинах А, В и С, то ∠ ОАЕ = ∠ ОСЕ, и следовательно, АО = ОС. Далее, соединим точку О с вершиной В — ВО. Треугольники АОС и ВОС (также как и треугольники ВОС и АОВ) равны по первому признаку равенства треугольников: у них стороны АС и ВС равны, т.к. треугольник АВС правильный, а сторона ОС у них общая. Углы между сторонами равны α/2, так как ОС биссектриса. Следовательно, ОС = ОВ. И ОВ является биссектрисой.

   Отсюда следует, что точка пересечения биссектрис, т. е. точка О, является центром описанной окружности с радиусом АО = ОС = ОВ. Одновременно с этим, точка О является центром вписанной окружности, так как из равенства равнобедренных треугольников АОС, ВОС и АОВ следует, что высоты ОЕ, ОF и OD равны (расстояния от точки О до сторон треугольника), которые, таким образом, являются радиусами вписанной окружности. Т.е. центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

 

Рис.7 Задача. Докажите, что у правильного треугольника…

 
         
 

   Теперь докажем, что 2 ОЕ = АО. Рассмотрим треугольник АОЕ. Так как у него все углы равны 60° (углы α), то α/2 = 30°. Из прямоугольного треугольника АОЕ следует: sin α/2 = sin 30° = ОЕ / АО = 1/2. Таким образом, 2 ОЕ = АО.

 
         
         
 

Пример 4

 
 

   В окружность, радиус которой равен , вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.

 
         
 

   Решение:

   Пусть дан правильный треугольник АВС (Рис. 8). АО — радиус описанной окружности. На стороне АС построен квадрат ACDE. Найдем его сторону.

   Из прямоугольного треугольника АОF:

    AF = АО cos α.

    AF = / 2 = / (cos 30° = / 2)

   Следовательно, АС = =

   Теперь из прямоугольного треугольника ЕАС запишем:

    ЕС2 = AC2 + AE2

   Так как ACDE квадрат, то АЕ = АС.

    ЕС2 = 2AC2

    ЕС2 = 22 = 12

    ЕС = 2

 

Рис.8 Задача. В окружность, радиус которой равен…

 
         
 

   Следовательно, радиус окружности ЕР, описанной около квадрата, равен .

 
         
         
 

Пример 5

 
 

   Сторона правильного многоугольника равна 12 см. А радиус вписанной окружности равен 8 см. Найдите радиус описанной окружности.

 
         
 

   Решение:

   Пусть дан правильный многоугольник АСD… (Рис.9). Сторона АС = 12 см, r = OB = 8 см. Найти R = AO.

   Из прямоугольного треугольника АОВ:

    AO2 = AB2 + OB2

    AB = AC/2 = 12/2 = 6 см.

    AO2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100

   Отсюда следует, что AO = R = 10 см.

 

Рис.9 Задача. Сторона правильного многоугольника равна 4 см…

 
         
         
         
 
   
 
         
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 7  
  1. Основные фигуры планиметрии.
2.Аксиомы планиметрии.
3.Смежные углы.
4.Вертикальные углы.
5.Перпендикулярные прямые.
6.Признаки равенства треугольников.
  1.Движение и его свойства.
2.Симметрия относительно точки.
3.Симметрия относительно прямой.
4.Параллельный перенос и его свойства.
 
         
  Страница 2   Страница 8  
  1.Параллельность прямых.
2.Признаки параллельности прямых.
3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых.
4.Сумма углов треугольника.
5.Единственность перпендикуляра к прямой.
6.Высота, биссектриса и медиана треугольника.
7.Свойство медианы равнобедренного треугольника.
  1.Вектор и его абсолютная величина.
2.Сложение векторов.
3.Умножение вектора на число.
4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
5.Скалярное произведение векторов.
 
         
  Страница 3   Страница 9  
  1.Окружность.
2.Окружность описанная около треугольника.
3.Окружность вписанная в треугольник.
4.Геометрическое место точек.
  1. Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.
3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.
5.Подобие прямоугольных треугольников.
 
         
  Страница 4   Страница 10  
  1.Параллелограмм.
2.Свойства диагоналей параллелограмма.
3.Ромб.
4.Теорема Фалеса.
5.Средняя линия треугольника.
6.Трапеция.
7.Теорема о пропорциональных отрезках.
  1.Углы, вписанные в окружность.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности.
3.Теорема косинусов.
4.Теорема синусов.
5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.
 
         
  Страница 5   Страница 11  
  1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник.
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
4.Основные тригонометрические тождества.
  1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.
3.Подобие многоугольников.
4. Длина окружности.
 
         
  Страница 6   Страница 12  
  1.Декартова система координат.
2.Расстояние между точками.
3.Уравнение окружности.
4.Уравнение прямой.
5.Координаты точки пересечения.
  1.Площадь прямоугольника.
2.Площадь параллелограмма.
3.Площадь треугольника.
4.Площадь круга.
5.Площадь подобных фигур.
6.Площадь трапеции.
 
 
     
 

Как построить (нарисовать) равносторонний треугольник с циркулем и линейкой или линейкой

Как построить (нарисовать) равносторонний треугольник с циркулем и линейкой или линейкой — Math Open Reference

На этой странице показано, как построить равносторонний треугольник с циркулем и линейкой или линейкой. Равносторонний треугольник — это треугольник со всеми тремя сторонами одинаковой длины. Это начинается с заданного отрезок длина каждой стороны желаемого равностороннего треугольника.

Это работает, потому что ширина компаса не меняется между рисованием каждой стороны, гарантируя, что все они конгруэнтный (такой же длины). Это похоже на Конструкция под углом 60 градусов, потому что внутренние углы равностороннего треугольника — все 60 градусов.

Пошаговые инструкции для печати

Вышеупомянутая анимация доступна как распечатываемый лист с пошаговыми инструкциями, который можно использовать для изготовления раздаточных материалов или когда компьютер недоступен.

Проба

Изображение ниже — это окончательный рисунок выше.

Аргумент Причина
1 PQ, PR и QR — все конгруэнтно AB, поэтому все они имеют одинаковую длину Ширина компаса, установленная от AB, чтобы нарисовать их все
2 Треугольник RPQ — равносторонний треугольник с заданной длиной стороны AB. Все три стороны совпадают.См. Определение равностороннего треугольника.

— Q.E.D

Попробуйте сами

Щелкните здесь, чтобы распечатать рабочий лист, содержащий две проблемы, которые можно попробовать. Когда вы перейдете на страницу, используйте команду печати браузера, чтобы распечатать столько, сколько хотите. Печатная продукция не защищена авторскими правами.

Другие конструкции, страницы на сайте

линий

Уголки

Треугольники

Правые треугольники

Центры треугольника

Окружности, дуги и эллипсы

Полигоны

Неевклидовы конструкции

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Как найти высоту равностороннего треугольника

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Равносторонний треугольник — Калькулятор геометрии

1D линия, круговая дуга, парабола, спираль, кривая Коха 2D Правильные многоугольники:
Равносторонний треугольник, Квадрат, Пентагон, Шестиугольник, Семиугольник, Восьмиугольник, Нонагон, Десятиугольник, Хендекагон, Додекагон, Шестиугольник, N-угольник, Кольцо многоугольника

Другие многоугольники:
Треугольник, Прямой треугольник, Равнобедренный треугольник, ИК-треугольник, четырехугольник, прямоугольник, золотой прямоугольник, ромб, параллелограмм, полуквадратный воздушный змей, воздушный змей, воздушный змей, правая трапеция, равнобедренная трапеция, трех равносторонняя трапеция, трапеция, циклический четырехугольник, тангенциальный четырехугольник, стрелка, вогнутый четырехугольник, крест Антипараллелограмм, Форма дома, Симметричный пятиугольник, Вырезанный прямоугольник, Вогнутый пятиугольник, Вогнутый правильный пятиугольник, Параллелогон, Вытянутый шестиугольник, Вогнутый шестиугольник, Стрелка-шестиугольник, Прямоугольный шестиугольник, L-образная форма, Острый перегиб, T-образная форма, Усеченный квадрат, Рамка, Открытая рамка, сетка, крест, форма X, форма H, тройная звезда, четыре звезды, пентаграмма, гексаграмма, уникурсальная гексаграмма, октаграмма, звезда Лакшми, двойная звезда многоугольник, полиграмма, многоугольник

90 097 Круглые формы:
Круг, Полукруг, Круговой сектор, Круговой сегмент, Круговой слой, Круговой центральный сегмент, Круглый угол, Круглый угол, Круговая касательная стрелка, Форма капли, Полумесяц, Остроконечный овал, Ланцетная арка, Бугорок, Кольцо, Кольцевой сектор , Изогнутый прямоугольник, закругленный многоугольник, закругленный прямоугольник, эллипс, полуэллипс, эллиптический сегмент, эллиптический сектор, эллиптическое кольцо, стадион, спираль, бревно.Спираль, Треугольник Рело, Циклоида, Двойная Циклоида, Астроид, Гипоциклоида, Кардиоида, Эпициклоида, Параболический сегмент, Сердце, Треугольник, Интерарк треугольник, Круговой треугольник дуги, Четырехугольник Интерарк, Межкруговый четырехугольник, Круговой четырехугольник дуги, Круговой дуговый многоугольник, Коготь — Ян, Арбелос, Салинон, Выпуклость, Луна, Три круга, Поликруг, Многоугольник с закругленными краями, Роза, Шестеренка, Овал, Профиль яйца, Лемниската, Сквикул, Круглый квадрат, Дигон, Сферический треугольник

3D Платоновы тела:
Тетраэдр, Куб, Октаэдр, Додекаэдр, Икосаэдр

Архимедовы тела:
Усеченный тетраэдр, Кубооктаэдр, Усеченный куб, Усеченный октаэдр, Ромбододе-кубооктаэдроэдрониктоэдрониктоэдроникатегедроноктоэдро, прямоугольникубооктагедроноктоэдр , Усеченный икосододекаэдр, Snub Додекаэдр

Каталонских Сухой остаток:
триакистетраэдр, ромбический додекаэдр, триакисоктаэдр, тетракисгексаэдр, дельтоидальный икоситетраэдр, гексакис октаэдр, ромбический триаконтаэдр, триакисикосаэдр, пентакисдодекаэдр, Пятиугольные Icositetrahedron, дельтоидальный гексеконтаэдр, гексакис Икосаэдр, Пятиугольный гексеконтаэдр

Твердые тела Джонсона:
Пирамиды, купола, ротонда, удлиненные пирамиды, гиро-продолговатые пирамиды, бипирамиды, удлиненные бипирамиды, гиро-продолговатая квадратная дипирамида, гиробифастигеноид, дисхептагидрон, дисхептагидрон Sphenocorona, Disphenocingulum

Другие многогранники:
Кубоид, квадратный столб, треугольная пирамида, квадратная пирамида, правильная пирамида, пирамида, правильная пирамида, конус, правильная бипирамида, бипирамида, бифрустум, клин-пирамида, клин-пирамида, клин-пирамида Полутетраэдр, ромбоэдр, параллелепипед, правильная призма, призма, наклонная призма, антикуб, антипризма, призматоид, трапецоэдр, дисфеноид, угол, общий тетраэдр, клин-кубоид, полукубоид, скошенный кубоид, слиток, скошенная трехгранная призма , Усеченный кубоид, кубоид с тупыми краями, удлиненный додекаэдр, усеченный ромбоэдр, обелиск, изогнутый кубоид, полый кубоид, полая пирамида, полая пирамида, звездная пирамида, звездчатый октаэдр, малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр

000, большой додекаэдр Круглые формы:
Сфера, полусфера, сферический угол, цилиндр, отрезной цилиндр, наклонный цилиндр, изогнутый цилиндр, эллиптический цилиндр, обобщенный Цилиндр, конус, усеченный конус, косой круговой конус, эллиптический конус, биконус, усеченный биконус, заостренный столб, закругленный конус, капля, сфероид, эллипсоид, полуэллипсоид, сферический сектор, сферическая крышка, сферический сегмент, сферический центральный сегмент, двойной калотт , Сферический клин, полуцилиндр, диагонально разрезанный пополам цилиндр, цилиндрический клин, цилиндрический сектор, цилиндрический сегмент, цилиндр с плоским концом, полуконус, конический сектор, конический клин, сферическая оболочка, полусферическая оболочка, цилиндрическая оболочка, цилиндрическая оболочка с вырезом, косо-цилиндрическая оболочка , Полый конус, усеченный полый конус, сферическое кольцо, тор, шпиндельный тор, тороид, сектор тора, сектор тороида, арка, тетраэдр Рело, капсула, сегмент капсулы, двойная точка, антиконус, усеченный антиконус, сферический цилиндр, линза, вогнутый Линза, ствол, форма яйца, параболоид, гиперболоид, олоид, твердые тела Штейнмеца, твердое тело вращения

4D Тессеракт, Гиперсфера


Anzeige

Вычисления в равностороннем треугольнике или правильном треугольнике.Это самый простой правильный многоугольник (многоугольник с равными сторонами и углами). Введите одно значение и выберите количество десятичных знаков. Затем нажмите Рассчитать.


Формулы:
h = √3 / 2 * a
p = 3 * a
A = a² * √3 / 4
r c = √3 / 3 * a
r i = √3 / 6 * a
Угол: 60 °
0 диагоналей

Длина, высота, периметр и радиус имеют одинаковые единицы измерения (например, метр), а площадь имеет квадрат (например, квадратный метр).

Anzeige

Высоты, биссектрисы, срединные линии, серединные перпендикулярные и оси симметрии совпадают. По отношению к ним равносторонний треугольник осесимметричен. Они встречаются с центром тяжести, описанной окружности и центром вписанной окружности в одной точке. Для этого равносторонний треугольник осесимметричен при повороте на 120 ° или кратное этому.


периметр p, площадь A

высота h a , h b , h c

вписанная и описанная окружность


углы и биссектрисы

срединные линии

перпендикулярные биссектрисы
Доля:

© Jumk.de Webprojects


Anzeige

Онлайн-калькулятор: Равносторонний треугольник

В геометрии равносторонний треугольник — это треугольник, в котором все три стороны равны. В известной евклидовой геометрии равносторонний треугольник также является равноугольным; все три внутренних угла также совпадают друг с другом и составляют 60 ° каждый. Это также правильный многоугольник, поэтому его еще называют правильным треугольником.

В равностороннем треугольнике высота, биссектриса угла, середина перпендикуляра и медиана каждой стороны совпадают.

Из-за правильной природы равностороннего треугольника мы можем определить многие из его величин по одному известному значению. То есть, если вы знаете длину сторон, площадь равностороннего треугольника, периметр треугольника, радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности или высоту (высоту) треугольника, вы можете найти все остальные количества.

Воспользуйтесь калькулятором перед тем, как ввести известное значение и вычислить все остальные значения.Соответствующие формулы перечислены под калькулятором для справки.

Равносторонний треугольник
Известное значение Длина сторон Площадь Периметр Радиус описанной окружности Радиус вписанной окружности Высота или высота Точность вычисления

Цифры после десятичной точки: 2

Длина сторон

Радиус стороны описанная окружность

Радиус вписанной окружности

content_copy Ссылка сохранить Сохранить расширение Виджет

Формулы равностороннего треугольника

Пусть a будет длиной сторон, A — площадь треугольника, p периметр, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности, х — высота (высота) с любой стороны.

Эти значения связаны следующими формулами:

Есть несколько сокращенных формул, в которых вы можете найти значения непосредственно из высоты (высоты) треугольника, если вы ее знаете, без предварительного вычисления длины стороны.

.

Кстати, обратите внимание, что апофема или высота центра с каждой стороны тоже

Калькулятор равностороннего треугольника — Решите любую часть

Введите любое известное значение для равностороннего треугольника, чтобы вычислить длину ребер, высоту, площадь, периметр, внутренний и окружной радиус.



Что такое равносторонний треугольник?

Равносторонний треугольник, также называемый правильным треугольником, представляет собой треугольник со сторонами равной длины. Равносторонний треугольник — это особый вид равнобедренного треугольника.

Поскольку все стороны равны, все углы в равностороннем треугольнике также равны, каждый угол равен 60 °.

Как рассчитать длину ребер равностороннего треугольника

Если вам известна площадь или периметр, можно определить длину ребра равностороннего треугольника.

Решите длину кромки с использованием площади

Учитывая площадь равностороннего треугольника, длину ребер можно определить по следующей формуле:

а = (4Т) ÷ √3

Таким образом, длина ребра a равна квадратному корню из 4, умноженному на площадь T , деленному на квадратный корень из 3.

Решите длину кромки с использованием периметра

Учитывая периметр равностороннего треугольника, длины ребер можно найти по следующей формуле:

а = р3

Поскольку каждая сторона имеет одинаковую длину, длина стороны a равна периметру p , деленному на три.

Как рассчитать высоту равностороннего треугольника

Если вы знаете длину ребра равностороннего треугольника, вы также можете решить высоту. При необходимости используйте приведенные выше формулы, чтобы найти длину кромки.

в = а * √ 32

Таким образом, высота h равна длине ребра a , умноженному на квадратный корень из 3, деленный на 2.

Как рассчитать площадь и периметр

Учитывая длину ребра равностороннего треугольника, можно также решить площадь и периметр.

Решить область

Площадь можно найти по следующей формуле:

T = a² × √34

Площадь T равностороннего треугольника равна длине ребра a в квадрате, умноженном на квадратный корень из 3, деленный на 4.

Решить периметр

Периметр можно найти по этой формуле:

р = 3а

Поскольку каждая сторона равностороннего треугольника равна длине, периметр равен трехкратной длине ребра a .

Как рассчитать Inradius и Circumradius

Есть также несколько простых формул для определения внутреннего и описанного радиуса равностороннего треугольника.

Решить Inradius

Внутренний радиус равен 1/2 радиуса описанной окружности или 1/3 высоты / высоты треугольника. Если длина кромки известна, можно также использовать следующую формулу.

г = а × √36

Радиус r равностороннего треугольника равен , умноженному на квадратный корень из 3, деленный на 6.

Решить Circumradius

Радиус описанной окружности равен 2/3 высоты / высоты или вдвое больше внутреннего радиуса.

R = 2r

Радиус описанной окружности R равен двукратному внутреннему радиусу r .

Возможно, вас заинтересует наш калькулятор прямоугольного треугольника.

Тример с правильным треугольником и порядок заряда, сохраняющие состояние Андерсона в структуре пирохлора CsW 2 O 6

Порядок заряда в фазе II CsW 2 O 6 интересен тем, что «условие Андерсона» сохраняется в необычный способ.Андерсон указал, что магнетит имеет бесконечное количество структур зарядового упорядочения, где все тетраэдры в структуре пирохлора имеют одинаковый общий заряд, т. Е. Так называемое условие Андерсона, и это макроскопическое вырождение сильно подавляет температуру перехода перехода Вервея 18 . Эту ситуацию можно интерпретировать как геометрическое расстройство электронных зарядов. Однако не только магнетит, но и другие системы пирохлора со смешанной валентностью, такие как CuIr 2 S 4 и AlV 2 O 4 , показали порядок заряда, который нарушает условие Андерсона 19, 20,21,22,23 .В них ожидалось, что энергия, полученная за счет связывания σ между d орбиталями соседних атомов, будет достаточно большой, чтобы компенсировать потерю кулоновской энергии из-за нарушения условия Андерсона, поскольку соединения шпинельного типа включают краевые соединения. общие октаэдры 24,25 . Напротив, порядок заряда CsW 2 O 6 удовлетворяет условию Андерсона, где каждый тетраэдр состоит из трех атомов W 5.33+ и одного W 6+ атомов.Однако этот порядок заряда отличается от предложенного Андерсоном и Вервей, который имеет целочисленные валентности с соотношением 1: 1 18,26 . Порядки типа гиперкагоме часто возникают в пирохлорных системах с соотношением двух типов атомов 1: 3, например, спиновая структура uuud плато половинной намагниченности оксидов хром-шпинели и порядок атомов в упорядоченных в B-позициях оксидах шпинели A 2 BB 3 O 8 27,28,29 . Насколько нам известно, CsW 2 O 6 является единственным примером, показывающим порядок типа гиперкагоме, где формирование этого порядка нетривиально.Это альтернативный способ избавиться от геометрического разочарования, основанный на традиционной проблеме физики конденсированного состояния.

Почему такой необычный порядок заряда возникает в CsW 2 O 6 ? Ключ к пониманию этого вопроса кроется в нестабильности электронной зонной структуры фазы I на поверхности Ферми. На левой панели рис. 3 показана зонная структура фазы I, а на правой панели показаны четыре перекрывающиеся зонные структуры, которые изображены после параллельные сдвиги электронных полос, соответствующие изменению примитивной ячейки с гранецентрированной кубической на примитивную кубическую.Как видно на правой панели рис. 3, пересечение зон происходит близко ко всем точкам, где электронные зоны касаются энергии Ферми E F , что позволяет предположить, что поверхности Ферми хорошо вложены в параллельный сдвиг электронных зон, что соответствует к потере операций центровки. Эту ситуацию можно назвать «трехмерным вложением», что означает, что большая электронная энергия приобретается за счет структурного изменения, связанного с вышеуказанным изменением симметрии. На электронную нестабильность и нестабильность поверхностей Ферми в фазе I также указывалось в предыдущем исследовании 12 .Кубические соединения редко имеют такие хорошо вложенные поверхности Ферми, за исключением заполненного скуттерудита PrRu 4 P 12 . PrRu 4 P 12 показывает переход металл-изолятор, сопровождающийся структурным изменением от объемно-центрированной кубической к примитивной кубической 30,31 и имеет нестабильность поверхности Ферми, соответствующую этому структурному изменению 32 .

Рис. 3. Расчеты из первых принципов фазы I, рассчитанные со спин-орбитальной связью.

Левая панель представляет собой электронную зонную структуру, основанную на зоне Бриллюэна гранецентрированной кубической решетки, которая показана черными сплошными линиями на центральной панели. На правой панели четыре структуры полос, основанные на четырех примитивных ячейках, которые показаны красными, коричневыми, бледно-синими и синими сплошными линиями на центральной панели, соответственно, перекрываются на графике.

Вышеупомянутое обсуждение показывает, что трехмерное вложение, вероятно, является важным ингредиентом для перехода 215K.Однако, если это единственная движущая сила, структурное изменение с Fd \ (\ bar 3 \) m на P 4 1 32 или P 4 3 32, которые являются максимальными не -изоморфные подгруппы с примитивными кубическими решетками, как также обсуждалось в предыдущем теоретическом исследовании 12 . В этом случае атомы W (2) должны образовывать однородную структуру гиперкагома. Это исследование также показало, что запрещенная зона не открывается при энергии Ферми в P 4 1 32 и P 4 3 32 случаях 12 , что несовместимо с наблюдаемой изолирующей природой фазы. II.В действительности пространственная группа фазы II — это P 2 1 3, которая является подгруппой P 4 1 32 и P 4 3 32, а атомы W (2) образуют дышащая структура гиперкагома, где размер маленького треугольника на 2% меньше размера большого треугольника. Пространственная группа P 2 1 3 также отличается от орторомбической P 2 1 2 1 2 1 , предложенной в исх. 12 . Кроме того, является ли зонная структура, рассчитанная со структурными параметрами фазы II, зазором или нет, может быть важным для понимания физики, лежащей в основе фазового перехода.Однако в настоящее время результаты расчетов с перекрывающимся зазором еще не полностью совпали из-за большого количества атомов в примитивной элементарной ячейке.

Феноменологически ориентация занятых 5 d орбиталей важна для понижения симметрии от P 4 1 32/ P 4 3 32 (однородный гиперкагоме) до P 2 1 3 (дыхание гиперкагоме). Для октаэдра W (2) O 6 фазы II, показанного на рис.2e, две апикальные связи W (2) -O (серые) на 3–8% короче четырех других экваториальных связей (синие), что указывает на то, что октаэдр одноосно сжат. Это сжатие сравнимо с типичным ян-теллеровским искажением в электронных системах t 2g , и 5 орбиталей d , лежащих в этой экваториальной плоскости, должны быть заняты электронами. Схематические изображения занятых 5 орбиталей d в малых и больших треугольниках показаны на правой и левой панелях рис.2е соответственно. Между занятыми 5 орбиталями d в маленьком треугольнике через орбиталь O 2 p наблюдается значительное перекрытие. Напротив, в большом треугольнике существует небольшое перекрытие, что указывает на то, что два электрона в трех атомах W (2) заключены в тример W 3 в маленьком треугольнике.

Это образование тримера правильного треугольника может быть понято как образование связи с тремя центрами и двумя электронами (3c2e), где два электрона размещены на молекулярной орбитали, состоящей из трех орбиталей W 5 d (и O 2 с ними гибридизуются орбитали p ).В этом случае естественно иметь немагнитное основное состояние. Этот тример с правильным треугольником существенно отличается от тримеров известных LiVO 2 и LiVS 2 , где два электрона разделяются двумя атомами V вдоль каждой стороны треугольника 33,34,35 . Было отмечено, что Na 3 Ir 3 O 8 имеет правильные треугольные молекулы Ir 3 , сформированные на структуре гиперкагома 36 . Однако молекулы Ir 3 связаны друг с другом, что существенно отличается от того факта, что тримеры W 3 в CsW 2 O 6 изолированы, как видно на рис.2b. Стабилизация электронной энергии за счет образования многоцентровых связей, где несколько электронов совместно используются многими атомами, часто происходит в электронно-дефицитных молекулах или кластерных соединениях 37 . Насколько нам известно, CsW 2 O 6 является единственным примером, где этот тип образования связи проявляется как фазовый переход. Само образование правильно-треугольных тримеров также удивительно, поскольку связь 3c2e обычно имеет изогнутую форму. Согласно предыдущим сообщениям, только ион H 3 + имеет форму правильного треугольника в трехатомных молекулах, образованных связью 3c2e.Более того, H 3 + является межзвездным веществом и не является стабильным на Земле, что было обнаружено в астрономических спектрах 38 .

Эта правильная треугольная форма тримера может быть связана с его внутренней структурой, часть которой проявляется в параметрах атомных смещений (ADP). Как показано на рис. 2d, атомы O, соединяющие атомы W (2) в тримере W 3 (сайт O (1)) в фазе II, имеют большие ADP, перпендикулярные связи W-W. ADP других атомов O являются типичными значениями, предполагая, что ADP сайта O (1) увеличиваются не из-за структурной нестабильности структуры β-пирохлора, а скорее из-за электронной нестабильности тримера.Большие ADP, перпендикулярные связи W-W, указывают на то, что существует сильная флуктуация, которая изменяет угол W (2) –O (1) –W (2). В оксидах пирохлора изменение этого угла сильно влияет на перекрытие орбиталей 39 . Следовательно, это колебание можно интерпретировать как сильное колебание до состояния, в котором одна из связей W-W становится сильнее, или, в крайнем случае, до состояния, в котором образуется димер W 2 . Поскольку АДФ сайта W (2) имеют типичные значения, маловероятно, что димеры статически и случайным образом образуются на тримерах.Вместо этого димер может динамически колебаться или резонировать. Для полного понимания внутренней структуры тримеров было бы желательно непосредственно наблюдать их динамические свойства в будущих исследованиях.

Для образования этого тримера электронная корреляция 5 d электронов в CsW 2 O 6 может быть другим важным фактором. Спектры оптической проводимости CsW 2 O 6 , измеренные при комнатной температуре, полученные из отражательной способности с использованием преобразования Крамерса – Кронига 40 , показанные на вставке к рис.1b, демонстрируют широкий пик около 0,6 эВ. Экстраполяция спектров к нулевой частоте совпадает с ρ = 3 мОм см при комнатной температуре (основная панель рис. 1б). Этот результат указывает на то, что вклад Друде в спектры отсутствует или пренебрежимо мал, а проводящие носители захвачены чем-то с энергетическим масштабом 0,6 эВ, что приводит к потере когерентности, что подтверждается утверждением / dT <0 в фазе I. Отсутствие пика в дальней инфракрасной области указывает на то, что эта локализация не вызвана беспорядком, а может напоминать спектры изоляторов Мотта, легированных легкими носителями 41,42,43 .Как видно из зонной структуры, показанной на рис. 3а, есть плоские части около E F , а энергетические зоны имеют узкую ширину 0,7 эВ, что свидетельствует о наличии сильной электронной корреляции для электрона 5 d . система. В 5 d или 4 d оксидах пирохлора 5 d /4 d электронов часто имеют умеренно сильную электронную корреляцию из-за небольшого перекрытия орбиталей из-за изогнутых связей металл-кислород-металл. Фактически, оптические проводимости Nd 2 Ir 2 O 7 и Sm 2 Mo 2 O 7 указывают на присутствие некогерентных d электронов 9,44 , аналогично корпус CsW 2 O 6 .В результате 5 d оксидов пирохлора часто демонстрируют электронный фазовый переход с порядком электронных степеней свободы. Nd 2 Ir 2 O 7 с J eff = 1/2 и Cd 2 Os 2 O 7 с S = 3/2, без заряда и орбитальных градусов свободы, показал магнитный порядок, сопровождаемый переходом металл-изолятор 3,4,5 . Вместо этого для CsW 2 O 6 тримеры образуются с помощью электронной корреляции, как в случае LiVO 2 45 .В тримере CsW 2 O 6 два электрона 5 d образуют спин-синглетную пару, что приводит к немагнитному и изолирующему основному состоянию. Это альтернативный тип самоорганизации d электронов, реализуемый в сильно коррелированном оксиде 5 d .

Наконец, мы обсудим еще один структурный переход при 90 К. Фаза II выглядит как основное состояние, в котором потеряна большая часть степеней свободы, но неожиданно другой фазовый переход происходит при 90 К.Путем индексации дифракционных пятен в данных рентгеновской дифракции монокристалла фазы II было обнаружено, что кристаллическая структура ниже 90 K, названная фазой III, имеет моноклинную пространственную группу P 2 1 с четырехкратно большей (2 × 1 × 2) элементарной ячейки, чем у фазы II, как показано на дополнительном рисунке 1. Процедура, выполняемая для определения размера элементарной ячейки и пространственной группы фазы III, описана в дополнительных примечаниях 2 и 3. Как видно из рисунка на вставке к рис. 1b теплоемкость, деленная на температуру, ° C / T , показывает небольшой, но очевидный пик, который соответствует изменению энтропии на ~ 0.4 Дж K −1 моль −1 , при ~ 90 K, что указывает на наличие объемного фазового перехода. Пространственная группа P 2 1 отличается от пространственной группы Pnma и P 2 1 2 1 2 1 пространственных групп, предложенных в предыдущих исследованиях 11,12 . Позиции атомов в фазе III еще не определены из-за крошечного моноклинного искажения и образования доменов, но ясно, что структурное изменение при 90 К невелико, как видно на дополнительном рис.2. Кроме того, × не обнаруживает аномалии при 90 К. Эти результаты предполагают, что переход 90 К не вызван спином, зарядом и / или орбитальным порядком, отличным от перехода 215 К.

Какой механизм вызывает переход 90 К? Диффузное рассеяние, которое появляется на дифрактограммах монокристаллов, может дать намек на ответ на этот вопрос. На дифрактограммах монокристаллов фаз I, II и III, показанных на рис.4, наблюдается диффузное рассеяние в тех же положениях, что соответствует правилу экстинкции h + l = 4 n (для кубическая элементарная ячейка) и соединяют пятна сверхрешетки, возникшие в Фазе III.Это говорит о том, что структурные изменения от фазы II к фазе III и диффузное рассеяние имеют одно и то же происхождение. Такая же картина диффузного рассеяния также появилась в CsW 1,835 O 6 (дополнительный рис.7) и CsTi 0,5 W 1,5 O 6 46 , которые изоструктурны CsW 2 O , но имеют только атомы W 6+ без 5 d электронов, что позволяет предположить, что они не зависят от перехода 215 К и могут быть вызваны структурной нестабильностью самой структуры β-пирохлора.Это обсуждение также подразумевает, что переход 215 K не имеет отношения к этой нестабильности и является чисто электронным.

Рис. 4: Диффузное рассеяние на рентгенограммах.

Показаны рентгенограммы монокристалла, полученные при 25 (фаза III), 100 (фаза II) и 250 K (фаза I). На этих картинах подчеркнуты диффузные рассеяния. Поскольку интенсивность диффузного рассеяния намного ниже, чем у брэгговских отражений, наблюдаемое диффузное рассеяние не влияет на уточнение кристаллической структуры.

В заключение, мы обнаружили, что правильные треугольники W 3 тримеры образуются при переходе 215 K в β-пирохлороксиде CsW 2 O 6 , как определено с помощью измерений структурных и электронных свойств высоких температур. качественные монокристаллы. Этот переход представляет собой самоорганизацию 5 d электронов, где геометрическое разочарование устраняется нетривиальным способом, который удовлетворяет традиционному условию Андерсона и приводит к довольно редкому кубическому структурному переходу.Этот тип электронного перехода не только необычен, но и лишь частично понятен из первых принципов расчетов, предполагающих, что это может быть фазовый переход с спиновой, зарядовой и орбитальной связью, происходящий за пределами существующих электронных фазовых переходов пирохлорных систем. Вышеприведенное открытие показывает, что исследование геометрически фрустрированных соединений 5 d приведет к открытию других интересных электронных явлений, таких как мультиполи с нечетной четностью и спин-заряд-орбитально запутанные квантовые жидкости.

треугольников (предварительная алгебра, введение в геометрию) — Mathplanet

Треугольник состоит из трех отрезков прямых. Сегменты линии пересекаются в своих конечных точках. Чтобы назвать треугольник, мы часто используем его вершины (название конечных точек). Треугольник ниже называется ABC.

У треугольника три угла. Сумма углов всегда равна 180 ° в треугольнике.

У нас есть разные типы треугольников. Треугольник классифицируется по углам и количеству совпадающих сторон.

Треугольник с тремя острыми ангелами называется острым треугольником.

Треугольник с одним прямым углом называется прямоугольным.

Треугольник с одним тупым углом называется тупым треугольником.

Когда треугольник имеет три равные стороны, мы называем его равносторонним треугольником. Отметим совпадающие стороны косой чертой. Углы в равностороннем треугольнике всегда равны 60 °.

Если у треугольника две равные стороны, он называется равнобедренным треугольником.Углы, противоположные двум сторонам одинаковой длины, совпадают.

Треугольник без равных сторон или углов называется разносторонним треугольником.

Когда два треугольника совпадают, это означает, что они имеют одинаковый размер и форму. Это означает, что у них одинаковые углы. Красные косые черты показывают нам, какие стороны и углы совпадают. Конгруэнтность показана этим символом

.

$$ \ cong $$

$$ \ begin {matrix} A \ cong X & & AB \ cong XY \\ B \ cong Y & & BC \ cong YZ \\ C \ cong Z & & AC \ cong XZ \ end {matrix} $$

Треугольники с одинаковыми углами, но не одинакового размера, называются подобными.Подобные треугольники имеют пропорциональные стороны. Сходство показано этим символом

$$ \ sim $$

$$ \ bigtriangleup ABC \ sim \ bigtriangleup XYZ $$

$$ A = X, \: \: B = Y, \: \: C = Z $$

$$ \ frac {a} {x} = \ frac {b} {y} = \ frac {c} {z} $$


Пример

Найдите x в подобных треугольниках.

Мы знаем, что, поскольку треугольники похожи, стороны пропорциональны, что означает, что

$$ \ frac {x} {14} = \ frac {3} {21} \ Rightarrow $$

$$ x = \ frac {14 \ cdot 3} {21} = \ frac {42} {21} = 2 $$

$$ x = 2 $$


Видеоурок

Определите, какие треугольники прямые, равнобедренные, острые, разносторонние, тупые или равносторонние