Найти сумму точек экстремума функции по графику: Найдите сумму точек экстремума функции f(x)

Банк ЕГЭ | Открытый банк заданий

Банк ЕГЭ Банк решенных заданий ЕГЭ по математике

ЕГЭ по математике В1 ● В2 ● В3 ● В4 ● В5 ● В6 ● В7 В8 ● В9 ● В10 ● В11 ● В12 ● В13 ● В14 С1 ● С2 ● С3 ● С4

Полезные советы		Лента задачек
Мы рекомендуем вам использовать сайт https://www. wolframalpha.com/. На этом сайте вы можете: решать не слишком сложные уравнения и системы уравнений (неравенств), брать производные от функций, стоить графики этих функций и так далее. Во время подготовки к ЕГЭ, этот сайт можно использовать для: проверки отсутствия арифметических ошибок, вычисления громоздких выражений, решения промежуточных систем уравнений, и еще для огромного количества других полезных вещей. Более подробную информацию о том, как пользоваться сайтом wolframalpha.com, можно получить в соответствующей статье. По адресу https://ucheba.pro/ находится популярный форум, на котором находится большое количество решенных задачек с ЕГЭ. Формулы с этого форума показываются в браузере при помощи технологии MathML, которую на текущий момент поддерживают только Firefox и Opera. Мы рекомендуем просматривать этот форум именно через браузер Firefox, потому что отображение в нем MathML-формул самое лучшее. Не смотря на то, что администрация сайта bankege.ru стремится минимизировать количество ошибок в решениях задач на своем сайте, эти ошибки все равно присутствуют. В связи с этим, рекомендуется критически относиться к решениям представленных на данном сайте задач. В случае обнаружения ошибки в решении задачи, вы можете прокомментировать (либо сразу исправить) ее. В этом случае, ошибка будет оперативно устранена, что очень сильно поможет множеству людей, которые будут читать решение этой задачки после вас.		С4 Дан параллелограмм $ABCD$, сторона которого $AB=13$. Из углов $А$ и $В$ проведены биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$. Расстояние от точки $O$ до отрезка АВ равно $\frac{60}{13}$. {\circ}$ больше вписанного угла ACB, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах. [посмотреть решение] В7 Найдите, если $\operatorname{tg}\alpha=-4$ [посмотреть решение] $$\frac{8\cos\alpha+2\sin\alpha+6}{\sin\alpha+4\cos\alpha+3}$$

 

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Минимумы и максимумы вместе именуют

экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. \(y\). Когда пишут

точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, \(-5\) точка минимума (или точка экстремума), а \(1\) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\). Количество точек экстремума функции – \(5\).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось \(x\)).

         

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.

— Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с \(-13\): до \(-13\) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что \(-13\) – точка максимума.

\(-11\): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что \(-11\) – это минимум.

\(- 9\): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

\(-7\): минимум.

\(3\): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.

— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

1. Найдите производную функции \(f'(x)\). 
2. Найдите корни уравнения \(f'(x)=0\). 
3. Нарисуйте ось \(x\) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью \(f'(x)\), а под осью \(f(x)\).
4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
   — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(+\)» на «\(-\)», то \(x_1\) – точка максимума;
   — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(-\)» на «\(+\)», то \(x_3\) – точка минимума;
   — если \(f’(x)\) не изменила знак, то \(x_2\) – может быть точкой перегиба. 2-4=0\)
                  \(x=±2\)

   3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

   
   

   Теперь очевидно, что точкой максимума является \(-2\).

   Ответ. \(-2\).

   Смотрите также:
   Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
   Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

   Скачать статью

   5.1 Максимум и минимум

   точка локального максимума на функции является точка $(x,y)$ на графике функции, координата $y$ которой равна больше, чем все остальные координаты $y$ на графике в точках «близких к»$(x,y)$. Точнее, $(x,f(x))$ является локальным максимумом, если существует интервал $(a,b)$ с $allocal точкой минимума если он имеет локально наименьшую координату $y$. Снова точнее: $(x,f(x))$ является локальным минимумом, если существует есть интервал $(a,b)$ с $локальным экстремумом является либо локальным минимумом, либо локальным максимумом.

   Локальные точки максимума и минимума хорошо различаются на графике функцию, и поэтому полезны для понимания формы график. Во многих прикладных задачах мы хотим найти наибольшее или наименьшее значение, которое достигает функция (например, мы можем захотеть найти минимальную стоимость, при которой может быть выполнена некоторая задача) и, следовательно, определение максимальных и минимальных точек будет полезно для прикладных также проблемы. Некоторые примеры точек локального максимума и минимума показаны на рис. 5.1.1.

   Рисунок 5.1.1. Некоторые локальные точки максимума ($A$) и точки минимума ($B$).

   Если $(x,f(x))$ — точка, в которой $f(x)$ достигает локального максимума или минимума, и если производная от $f$ существует в точке $x$, то граф имеет касательная, а касательная должна быть горизонтальной. Это достаточно важно, чтобы сформулировать его как теорему, хотя мы не будем его доказывать.

   Теорема 5.1.1 (теорема Ферма). Если $f(x)$ имеет локальный экстремум в точке $x=a$ и $f$ дифференцируема в $a$, тогда $f'(a)=0$. 2$ и $f'(0)=0$, но нет ни максимума, ни минимум в $(0,0)$.

   Рисунок 5.1.2. Нет ни максимума, ни минимума, хотя производная равна нулю.

   Поскольку производная равна нулю или не определена как в локальном максимуме, так и в точки локального минимума, нам нужен способ определить, какие из них на самом деле происходит. Большинство элементарный подход, но часто утомительный или трудный, состоит в том, чтобы непосредственно проверить, находится ли координата $y$ «близко» к потенциальному максимум или минимум выше или ниже координаты $y$ в точке представляет интерес. Конечно, слишком много точек «рядом» с точкой чтобы проверить, но небольшое размышление показывает, что нам нужно проверить только два, если мы известно, что $f$ непрерывна (напомним, что это означает, что график В $f$ нет ни скачков, ни пробелов).

   Предположим, например, что мы определили три точки, в которых $f’$ равно нулю или не существует: $\ds (x_1,y_1)$, $\ds (x_2,y_2)$, $\ds (x_3,y_3)$, и $\ds x_15. 1.3). Предположим, что мы вычисляем значение $f(a)$ для $\ds x_1f(x_2)$? Нет: если бы они были, график шел бы вверх от $(a,f(a))$ до $(b,f(b))$, затем вниз до $\ds (x_2,f(x_2))$ и где-то в между ними будет точка локального максимума. (Это не очевидно, это результат теоремы об экстремальном значении, теорема 6.1.2.) Но в этом локальном максимуме производная от $f$ была бы нулевой или не существовала бы, но мы уже известно, что производная равна нулю или не существует только при $\ds x_1$, $\ds ​​x_2$ и $\ds x_3$. В результате одно вычисление говорит нам, что $\ds ​​(x_2,f(x_2))$ имеет наибольшую координату $y$ любой точки на график около $\ds x_2$ и левее $\ds x_2$. Мы можем выполнить то же самое тест справа. Если мы обнаружим, что по обе стороны от $\ds x_2$ значения меньше, то должен быть локальный максимум в точке $\ds (x_2,f(x_2))$; если находим, что по обе стороны от $\ds x_2$ значения больше, тогда должен быть локальный минимум в $\ds (x_2,f(x_2))$; если мы найдем один из каждого, то нет ни локального максимума, ни минимума в точке $\ds x_2$. 2-1$. Это определяется везде и равен нулю в $\ds x=\pm \sqrt{3}/3$. Глядя сначала на $\ds ​​x=\sqrt{3}/3$, мы видим, что $\ds f(\sqrt{3}/3)=-2\sqrt{3}/9$. Теперь мы тестируем две точки по обе стороны $\ds ​​x=\sqrt{3}/3$, убедившись, что ни один из них не находится дальше, чем ближайшее критическое значение; так как $\ds\sqrt{3}-2\sqrt{3}/9$ и $\ds f(1)=0>-2\sqrt{3}/9$, должен быть локальный минимум при $\ds ​​x=\sqrt{3}/3$. Для $\ds x=-\sqrt{3}/3$ мы видим, что $\ds ​​f(-\sqrt{3}/3)=2\sqrt{3}/9$. На этот раз мы можем использовать $x=0$ и $x=-1$, и мы находим, что $\ds f(-1)=f(0)=0

   Конечно, этот пример сделан очень простым благодаря нашему выбору точек для тест, а именно $x=-1$, $0$, $1$. Мы могли бы использовать другие значения, например $-5/4$, $1/3$ и $3/4$, но это сделало бы расчеты значительно утомительнее.

   Пример 5.1.3 Найдите все локальные точки максимума и минимума для $f(x)=\sinx+\cosx$. Производная равна $f'(x)=\cos x-\sin x$. Это всегда определен и равен нулю всякий раз, когда $\cos x=\sin x$. напоминая, что $\cos x$ и $\sin x$ — координаты $x$ и $y$ точек на единичный круг, мы видим, что $\cos x=\sin x$, когда $x$ равно $\pi/4$, $\pi/4\pm\pi$, $\pi/4\pm2\pi$, $\pi/4\pm3\pi$ и т. д. Поскольку оба синуса и косинус имеют период $2\pi$, нам нужно только определить состояние $x=\pi/4$ и $x=5\pi/4$. Мы можем использовать $0$ и $\pi/2$ для проверки критическое значение $x= \pi/4$. Получаем, что $\ds f(\pi/4)=\sqrt{2}$, $\ds f(0)=1

   Мы используем $\pi$ и $2\pi$ для проверки критического значения $x=5\pi/4$. соответствующие значения: $\ds f(5\pi/4)=-\sqrt2$, $\ds f(\pi)=-1>-\sqrt2$, $\ds ​​f(2\pi)=1>-\sqrt2$, поэтому существует локальный минимум при $x=5\pi/4$, $5\pi/4\pm2\pi$, $5\pi/4\pm4\pi$ и т. д. Более кратко: локальные минимумы при $5\pi/4\pm 2k\pi$ для каждое целое число $k$. $\квадрат$

   В задачах 1–12 найти все локальные максимумы и минимумы точек $(x,y)$ методом, описанным в этом разделе.

   Пример 5.1.1 92 &$x \neq 0$\cr}$ (отвечать)

   Пример 5. 1.13 Для любого действительного числа $x$ существует единственный целое число $n$ такое, что $n \leq x

   Пример 5.1.14 Объясните, почему функция $f(x)=1/x$ не имеет локальных максимумы или минимумы.

   Пример 5.1.15 Сколько критических точек может иметь квадратичная полиномиальная функция? (отвечать)

   Пример 5.1.16 Покажите, что кубический многочлен может иметь не более двух критических точки. Приведите примеры, показывающие, что кубический многочлен может иметь нуль, одна или две критические точки. 93 + cx +1$, где $c$ является константой. Сколько и каких видов локальных экстремумов существует? Ваш ответ должен зависеть от значения $c$, т.е. значения $c$ дадут разные ответы.

   Исчисление I – критические точки

   Онлайн-заметки Пола
   Главная / Исчисление I / Применение производных / Критические точки

   Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

   Уведомление для мобильных устройств

   Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы наверное на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

   Раздел 4.2: Критические точки

   Критические точки будут встречаться на протяжении большей части этой главы, поэтому нам сначала нужно определить их и поработать с несколькими примерами, прежде чем переходить к разделам, в которых они используются.

   Определение

   Мы говорим, что \(x = c\) является критической точкой функции \(f\left( x \right)\), если \(f\left( c \right)\) существует и если верно любое из следующих утверждений.

   \[f’\влево(c\вправо) = 0\hspace{0,5 дюйма}{\mbox{OR}}\hspace{0,5in}f’\влево(c\вправо)\,\,\,{\mbox {не существует}}\]

   Обратите внимание, что мы требуем, чтобы \(f\left( c \right)\) существовало, чтобы \(x = c\) действительно было критической точкой. Это важный момент, которым часто пренебрегают. На самом деле это говорит о том, что все критические точки должны находиться в области определения функции. Если точка не находится в области определения функции, то она не является критической точкой.

   Также обратите внимание, что на данный момент мы работаем только с действительными числами, поэтому любые комплексные числа, которые могут возникнуть при нахождении критических точек (а они иногда будут возникать), будут игнорироваться. Есть части исчисления, которые работают немного по-другому при работе с комплексными числами, поэтому в первом классе исчисления, таком как этот, мы игнорируем комплексные числа и работаем только с действительными числами. Расчет с комплексными числами выходит за рамки этого курса и обычно преподается на курсах математики более высокого уровня. 92}\влево({5x — 3}\вправо)\влево({x+5}\вправо) = 0\]

   Поскольку это факторизованная форма производной, довольно легко определить три критические точки. Они есть,

   \[x = — 5,\,\,\,\,\,\,x = 0,\,\,\,\,\,\,x = \frac{3}{5}\]

   Полиномы обычно представляют собой довольно простые функции для нахождения критических точек при условии, что степень не становится настолько большой, что возникают проблемы с поиском корней производной. 9{\ гидроразрыва {1} {3}}}}} \]

   Нам нужно быть осторожными с этой проблемой. Столкнувшись с отрицательным показателем степени, часто лучше исключить знак минус в показателе степени, как мы сделали выше. На самом деле это не обязательно, но иногда это может облегчить нашу жизнь, если мы это сделаем.

   Заметим также, что устранение отрицательного показателя степени во втором члене позволяет нам правильно определить, почему \(t = 0\) является критической точкой для этой функции. Как только мы переместим второй член в знаменатель, мы ясно увидим, что производная не существует в \(t = 0\), и поэтому это будет критическая точка. Если вы не избавитесь от отрицательного показателя степени во втором члене, многие люди неправильно заявят, что \(t = 0\) является критической точкой, потому что производная равна нулю в \(t = 0\). Хотя это может показаться глупой точкой, в конце концов, в каждом случае \(t = 0\) идентифицируется как критическая точка, это иногда важно знать, почему точка является критической точкой. Фактически, через пару разделов мы увидим факт, который работает только для критических точек, в которых производная равна нулю. 9{\ гидроразрыва {1} {3}}}}} \]

   Обратите внимание, что у нас все еще есть \(t = 0\) в качестве критической точки. Выполнение такого объединения никогда не должно терять критические точки, это делается только для того, чтобы помочь нам найти их. Как мы видим, теперь стало намного проще быстро определить, где производная будет равна нулю. Напомним, что рациональное выражение будет равно нулю только в том случае, если его числитель равен нулю (и, конечно, при условии, что знаменатель в этот момент не равен нулю). 2} — w — 6 = \left( {w — 3} \right)\left( {w + 2} \right) = 0\]

   Мы не стали возводить это в квадрат, так как если это ноль, то ноль в квадрате все равно будет нулем, а если он не равен нулю, то возведение в квадрат не сделает его равным нулю.

   Отсюда видно, что производная не будет существовать при \(w = 3\) и \(w = — 2\). Однако это НЕ критические точки, так как в этих точках функция также не будет существовать. Напомним, что для того, чтобы точка была критической, функция должна действительно существовать в этой точке.

   В этот момент мы должны быть осторожны. Числитель не учитывается, но это не означает, что нет критических точек, в которых производная равна нулю. Мы можем использовать формулу квадрата для числителя, чтобы определить, равна ли дробь в целом нулю. 92} — 4\влево( 1 \вправо)\влево( { — 1} \вправо)} }}{{2\влево( 1 \вправо)}} = \frac{{ — 14 \pm \sqrt {200} }}{2} = \frac{{ — 14 \pm 10\sqrt 2 }}{2} = — 7 \pm 5\sqrt 2 \]

   Итак, мы получаем две критические точки. Кроме того, это не «хорошие» целые числа или дроби. Это будет происходить при случае. Не зацикливайтесь на ответах, которые всегда должны быть «хорошими». Часто это не так.

   Обратите внимание, что мы используем только действительные числа для критических точек. Итак, если бы при решении квадратного числа в числителе мы получили комплексное число, эти точки не считались бы критическими.

   Подводя итог, у нас есть две критические точки. Они есть,

   \[w = — 7 + 5\sqrt 2 ,\,\,\,\,w = — 7 — 5\sqrt 2 \]

   Опять же, помните, что, хотя производная не существует в точках \(w = 3\) и \(w = — 2\), функция не существует, поэтому эти две точки не являются критическими для этой функции.

   В предыдущем примере нам пришлось использовать квадратичную формулу для определения некоторых потенциальных критических точек. Мы знаем, что иногда мы получаем комплексные числа из квадратичной формулы. Просто помните, что, как упоминалось в начале этого раздела, когда это происходит, мы игнорируем возникающие комплексные числа.

   До сих пор во всех примерах не было триггерных функций, экспоненциальных функций, и т. д. . в них. Мы не должны ожидать, что так будет всегда. Итак, давайте взглянем на некоторые примеры, в которых используются не только степени \(x\).

   Пример 4. Определить все критические точки функции. \[y = 6x — 4\cos \left( {3x} \right)\]

   Показать решение

   Сначала получите производную и не забудьте использовать цепное правило для второго члена.

   \[y’ = 6 + 12\sin\left( {3x} \right)\]

   Теперь это будет существовать везде, поэтому не будет критических точек, для которых производная не существует. Единственными критическими точками будут точки, в которых производная равна нулю. Нам нужно будет решить,

   \[\begin{align*}6 + 12\sin \left( {3x} \right) & = 0\\ \sin \left( {3x} \right) & = — \frac{1}{2}\ конец {выравнивание *} \]

   Решение этого уравнения дает следующее.

   \[\begin{align*}3x & = 3,6652 + 2\pi n,\hspace{0,25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ 3x & = 5,7596 + 2\pi n, \hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]

   Не забудьте \(2 \pi n\) на них! В будущем будут проблемы, в которых мы упустим решения без этого! Также убедитесь, что он надет на этом этапе! Теперь разделите на 3, чтобы получить все критические точки для этой функции.

   \[\begin{align*}x &= 1,2217 + \frac{{2\pi n}}{3},\hspace{0.5in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x &= 1,9199 + \frac{{2\pi n}}{3},\hspace{0.5in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]

   Обратите внимание, что в предыдущем примере мы получили бесконечное количество критических точек. 2}}}\] 92}\left( {\frac{3}{{3x}}} \right)\\ & = 2x\ln \left( {3x} \right) + x\\ & = x\left( {2\ln \left( {3x} \right) + 1} \right)\end{align*}\]

   Теперь этой производной не будет, если \(x\) отрицательное число или если \(x = 0\), но опять же не будет и функции, так что это не критические точки. Помните, что функция будет существовать только в том случае, если \(x > 0\), и достаточно хорошо, что производная также будет существовать только в том случае, если \(x > 0\), поэтому единственное, о чем нам нужно беспокоиться, это где производная равна нулю.

   Во-первых, обратите внимание, что, несмотря на внешний вид, производная не будет равна нулю для \(x = 0\). Как отмечалось выше, производная не существует в \(x = 0\) из-за натурального логарифма, и поэтому производная не может быть там равна нулю!

   Таким образом, производная будет равна нулю, только если

   \[\begin{align*}2\ln \left( {3x} \right) + 1 & = 0\\ \ln \left( {3x} \right) & = — \frac{1}{2}\ конец {выравнивание *} \]

   Напомним, что мы можем решить эту задачу, возведя в степень обе стороны.