Нахождение значения выражения: правила, примеры, решения
В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.
Как найти значение числового выражения?
Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.
Простейшие случаи
Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий.
Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами.
Если в выражении есть только числа и арифметические знаки «+», «·», «-«, «÷», то действия выполняются слева направо в следующем порядке: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. Приведем примеры.
Пример 1. Значение числового выраженияПусть нужно найти значения выражения 14-2·15÷6-3.
Выполним сначала умножение и деление. Получаем:
14-2·15÷6-3=14-30÷6-3=14-5-3.
Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:
14-5-3=9-3=6.
Пример 2. Значение числового выраженияВычислим: 0,5-2·-7+23÷234·1112.
Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:
0,5-2·-7+23÷234·1112=12-(-14)+23÷114·1112
Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:
12-(-14)+29=12+14+29=14+1318=141318.
Искомое значение найдено.
Выражения со скобками
Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.
Пример 3. Значение числового выраженияНайдем значение выражения 0,5·(0,76-0,06).
В выражении присутствуют скобки, поэтому сначала выполняем операцию вычитания в скобках, а уже потом — умножение.
0,5·(0,76-0,06)=0,5·0,7=0,35.
Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.
Пример 4. Значение числового выраженияВычислим значение 1+2·1+2·1+2·1-14.
Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним.
1+2·1+2·1+2·1-14=1+2·1+2·1+2·34
1+2·1+2·1+2·34=1+2·1+2·2,5=1+2·6=13.
В нахождении значений выражений со скобками главное — соблюдать последовательность действий.
Выражения с корнями
Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня.
Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.
Вычислим значение выражения с корнями -2·3-1+60÷43+3·2,2+0,1·0,5.
Сначала вычисляем подкоренные выражения.
-2·3-1+60÷43=-6-1+153=83=2
2,2+0,1·0,5=2,2+0,05=2,25=1,5.
Теперь можно вычислить значение всего выражения.
-2·3-1+60÷43+3·2,2+0,1·0,5=2+3·1,5=6,5
Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.
Сколько будет 3+13-1-1
Как видим, у нас нет возможности заменить корень точным значением, что усложняет процесс счета. Однако, в данном случае можно применить формулу сокращенного умножения.
3+13-1=3-1.
Таким образом:
3+13-1-1=3-1-1=1.
Выражения со степенями
Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.
Найдем значение выражения 23·4-10+161-123,5-2·14.
Начинаем вычислять по порядку.
23·4-10=212-10=22=4
16·1-123,5-2·14=16*0,53=16·18=2.
Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:
23·4-10+161-123,5-2·14=4+2=6.
Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения с использованием свойств степени.
Пример 8. Значение числового выраженияВычислим значение следующего выражения: 2-25·45-1+3136.
Показатели степеней опять таковы, что их точные числовые значения получить не удастся. Упростим исходное выражение, чтобы найти его значение.
2-25·45-1+3136=2-25·225-1+313·6
2-25·225-1+313·6=2-25·22·5-2+32=22·5-2-25+32
22·5-2-25+32=2-2+3=14+3=314
Выражения с дробями
Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения.
Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.
Пример 9. Значение числового выраженияНайдем значение выражения, содержащего дроби: 3,22-3·7-2·36÷1+2+39-6÷2.
3,22=3,2÷2=1,6
7-2·36=7-66=16
1+2+39-6÷2=1+2+39-3=66=1.
Перепишем наше выражение и вычислим его значение:
1,6-3·16÷1=1,6-0,5÷1=1,1
Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей.
Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.
Вычислим выражение 25-1-25-74-3.
Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.
25-1=25+15-15+1=25+15-1=25+24
Исходное выражение принимает вид:
25-1-25-74-3=25+24-25-74-3.
Вычислим значение этого выражения:
25+24-25-74-3=25+2-25+74-3=94-3=-34.
Выражения с логарифмами
Когда в выражении присутствуют логарифмы, их значение, если это возможно, вычисляется с самого начала. К примеру, в выражении log24+2·4 можно сразу вместо log24 записать значение этого логарифма, а потом выполнить все действия. Получим: log24+2·4=2+2·4=2+8=10.
Под самим знаком логарифма и в его основании также могут находится числовые выражения. В таком случае, первым делом находятся их значения. Возьмем выражение log5-6÷352+2+7.
log5-6÷352+2+7=log327+7=3+7=10.
Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.
Пример 11. Значение числового выраженияНайдем значение выражения log2log2256+log62+log63+log5729log0,227.
log2log2256=log28=3.
По свойству логарифмов:
log62+log63=log6(2·3)=log66=1.
Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:
log5729log0,227=log5729log1527=log5729-log527=-log27729=-log27272=-2.
Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.
log2log2256+log62+log63+log5729log0,227=3+1+-2=2.
Выражения с тригонометрическими функциями
Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.
Пример 12. Значение числового выраженияНайдите значение выражения: tg24π3-sin-5π2+cosπ.
Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.
tg4π3=3
sin-5π2=-1
cosπ=-1.
Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:
tg24π3-sin-5π2+cosπ=32-(-1)+(-1)=3+1-1=3.
Значение выражения найдено.
Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.
Пример 13. Значение числового выраженияНужно найти значение выражения cos2π8-sin2π8cos5π36cosπ9-sin5π36sinπ9-1.
Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.
cos2π8-sin2π8cos5π36cosπ9-sin5π36sinπ9-1=cos2π8cos5π36+π9-1=cosπ4cosπ4-1=1-1=0.
Общий случай числового выражения
В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.
- Корни, степени, логарифмы и т.
д. заменяются их значениями. - Выполняются действия в скобках.
- Оставшиеся действия выполняются по порядку слева направо. Сначала — умножение и деление, затем — сложение и вычитание.
д. заменяются их значениями.Разберем пример.
Пример 14. Значение числового выраженияВычислим, чему равно значение выражения -2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2+1+39.
Выражение довольно сложное и громоздкое. Мы не случайно выбрали именно такой пример, постаравшись уместить в него все описанные выше случаи. Как найти значение такого выражения?
Известно, что при вычислении значения сложного дробного вида, сначала отдельно находятся значения числителя и знаменателя дроби соответственно. Будем последовательно преобразовывать и упрощать данное выражение.
Первым делом вычислим значение подкоренного выражения 2·sinπ6+2·2π5+3π5+3. Чтобы сделать это, нужно найти значение синуса, и выражения, которое является аргументом тригонометрической функции.
π6+2·2π5+3π5=π6+2·2π+3π5=π6+2·5π5=π6+2π
Теперь можно узнать значение синуса:
sinπ6+2·2π5+3π5=sinπ6+2π=sinπ6=12.
Вычисляем значение подкоренного выражения:
2·sinπ6+2·2π5+3π5+3=2·12+3=4
Отсюда:
2·sinπ6+2·2π5+3π5+3=4=2.
Со знаменателем дроби все проще:
lne2=2.
Теперь мы можем записать значение всей дроби:
2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2=22=1.
С учетом этого, запишем все выражение:
-1+1+39=-1+1+33=-1+1+27=27.
Окончательный результат:
-2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2+1+39=27.
В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.
Вычисление значений выражений рациональными способами
Вычислять значения числовых нужно последовательно и аккуратно. Данный процесс можно рационализировать и ускорить, используя различные свойства действий с числами. К примеру, известно, что произведение равно нулю, если нулю равен хотя бы один из множителей. С учетом этого свойства, можно сразу сказать, что выражение 2·386+5+58941-sin3π4·0 равно нулю.
При этом, вовсе не обязательно выполнять действия по порядку, описанному в статье выше.
Также удобно использовать свойство вычитания равных чисел. Не выполняя никаких действий, можно заказать, что значение выражения 56+8-3,789lne2-56+8-3,789lne2 также равно нулю.
Еще один прием, позволяющий ускорить процесс — использование тождественных преобразований таких как группировка слагаемых и множителей и вынесение общего множителя за скобки. Рациональный подход к вычислению выражений с дробями — сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе.
Например, возьмем выражение 23-15+3·289·343·23-15+3·289·34. Не выполняя действий в скобках, а сокращая дробь, можно сказать, что значение выражения равно 13.
Нахождение значений выражений с переменными
Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных.
Нахождение значений выражений с переменнымиЧтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.
Вычислить значение выражения 0,5x-y при заданных x=2,4 и y=5.
Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:
0,5x-y=0,5·2,4-5=1,2-5=-3,8.
Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.
Например, выражение х+3-х, очевидно, имеет значение 3, и для вычисления этого значения совсем необязательно знать значение переменной икс. Значение данного выражения равно трем для всех значений переменной икс из ее области допустимых значений.
Еще один пример. Значение выражения xx равно единице для всех положительных иксов.
404 Not Found — МАОУ «Средняя школа №115»
Дмитрий Будкеев 0
«Сибирский воин» 05.03.2023 г. в школе 156 состоялся Межрегиональный турнир по киокушинкай каратэ «Сибирский воин». Принимали участие бойцы из Красноярска, Новосибирска, Благовещенска, Иркутска. Спортсмены из нашей школы приняли самое активное […]
Изображение Дмитрий Будкеев 0
Дмитрий Будкеев 0
22.02 в нашей школе прошел мастер-класс «Спаси жизнь». Его провели руководитель проектов «Первые шаги в медицину» и «Будущий доктор» Асмолова Р. А., совместно с доцентом кафедры общей хирургии им. профессора […]
Дмитрий Будкеев 0
«Президентские спортивные игры». ПСИ – это комплексные соревнования, в которых принимают участие 10 мальчиков и 10 девочек от школы. Участники соревнуются в четырёх видах спорта: настольный теннис, баскетбол, волейбол и […]
Дмитрий Будкеев 0
«Спортивные выходные». Последние дни прошедшей недели, стали очень плодотворными для спортсменов нашей школы: 10 февраля Первенство школы по конькобежному спорту среди 6 классов, победу одержали Текоцкий Семён 6а и Рагимова […]
Дмитрий Будкеев 0
С 31 января по 03 февраля в КрасГМУ проходил II Международный научно-педагогический форум.
Интеграция медицинского и фармацевтического образования, науки и практики. Наш педагог дополнительного образования Асмолова Рузанна Ахмедгарифовна приняла участие […]
Дмитрий Будкеев 0
С 19 по 27 января в нашей школе проходил фестиваль, посвященный жизни и творчеству знаменитого русского живописца-передвижника В.И. Сурикова. В рамках фестиваля были проведены классные часы, 24 января в день […]
Дмитрий Будкеев 0
Если тебе интересно как работают социальные сети, «Как создать сообщество с 50000 подписчиками «, «Как вести Культурный блог» приходи 26 января в 15:00 на открытие проекта по блогингу.
Мероприятие будет […]
Дмитрий Будкеев 0
17 января 2023г.в МАОУ СШ 115 прошёл заключительный урок проекта «7 уроков искусств», посвящённый театру. Ребята увидели «эволюцию» зданий и помещений театра, узнали что арлекин-это не шут, а задник есть […]
Дмитрий Будкеев 0
12-14 января, сразу после новогодних каникул в г. Абакан уже много лет подряд проходят соревнования по волейболу «Рождественский кубок», в этом году участие приняли 10 команд мальчиков и 8 команд […]
Значение выражения: определение, метод расчета
- Автор ШВЕТА Б.Р.
- Последнее изменение 25-01-2023
Значение выражения: Выражения — это математические операторы, в которых хотя бы один терм содержит числа или переменные, или и то, и другое, связанные оператором.
Сложение, вычитание, умножение и деление являются примерами математических операций. Например, \(x+y\) — это выражение, в котором \(x\) и \(y\) — члены, разделенные оператором сложения. Арифметические выражения, которые содержат просто числа, и алгебраические выражения, которые включают в себя как числа, так и переменные, являются двумя формами выражений в математике. Математические выражения решают сложные задачи, находя их значение.
Когда переменным и константам математического выражения присваиваются значения, результатом вычисления, описываемого этим выражением, является значение. В этой статье давайте узнаем все о значении выражения. Читайте дальше, чтобы узнать больше.
Выражения
В математике выражением называется оператор, который содержит не менее двух чисел и одну математическую операцию. Давайте посмотрим, как писать выражения.
Пример: Число равно \(8\), больше половины другого числа, а другое число равно 9.0021 \(х\).
Этот оператор записывается как \(\frac{x}{2}+8\) в математическом выражении.
Арифметические или числовые выражения
Арифметическое/числовое выражение представляет собой математическое выражение, состоящее из чисел и одного или нескольких символов операций. Сложение, вычитание, умножение и деление являются примерами символов операций.
Арифметические/числовые выражения состоят из целых чисел, операторов, скобок и переменных, синтаксически точных. 9{2}-30\вправо)+50\).
\(\Стрелка вправо(100-30)+50\)
\(\Стрелка вправо 70+50\)
\(\Стрелка вправо 120\)
Изучите понятия алгебраических выражений
Арифметическое значение /Числовые выражения
Значением числового выражения является значение, полученное путем решения арифметического/числового выражения.
Мы знаем, как выполнять четыре основных действия над целыми числами, дробями и десятичными дробями: сложение, вычитание, умножение и деление.
Мы выполняем только одну операцию за раз. Теперь рассмотрим, как совместить две и более операции.
Чтобы упростить и получить значение числового оператора с двумя или более операциями, мы сначала выполняем такие операции, как деление, а затем умножение, сложение и вычитание. Эти операции выполняются с использованием стандартного результата, известного как BODMAS.
Слово BODMAS означает:
\(B →\) Скобки
\(O →\) Порядок или показатели
\(D →\) Деление
\(M →\) Умножение
\( A →\) Сложение
\(S →\) Вычитание
Если в задаче присутствуют скобки, сначала упрощаем скобки. Есть четыре вида скобок.
- \(() \стрелка вправо\) простые скобки или круглые скобки или круглые скобки.
- \(\{ \} \rightarrow\) Скобки или фигурные скобки.
- \([\,] \стрелка вправо\) Квадратные скобки.
- _____________\(\стрелка вправо\) Это линия, называемая баром, vinculum. Он помещается либо над чертой, либо как подчеркивание.
Если в задаче участвуют два и более типа скобок, то они удаляются в таком порядке ‘_______________’, \((),~\{ \} ,~[\,]\).
Примеры:
1. \(\left[ {13 + \left\{ {7 – \left( {8 \div 2} \right)} \right\}} \right] \times 3 \)
\( \Стрелка вправо \влево[ {13 + \стрелка влево\{ {7 – 4} \вправо\}} \вправо] \умножить на 3\) (круглые скобки удалены)
\(\Стрелка вправо[13+ 3] \times 3 \) (Фигурные скобки удалены)
\(\Стрелка вправо 16 \times 3\) (Квадратные скобки удалены)
\(\Стрелка вправо 48\)
2. \(16 + \left[ { 22 – \left\{ {8 + \left( {6 \div 2} \right)} \right\}} \right]\)
\(16 + \left[ {22 – \left\{ {8 + 3} \right\}} \right]\) (круглые скобки удалены)
\(\Rightarrow 16+[22-11]\ ) (Фигурные скобки удалены)
\(\Rightarrow 16+11\) (Квадратные скобки удалены)
\(\Rightarrow 27\)
Алгебраические выражения
Алгебраическое выражение представляет собой комбинацию констант и связанных литералов/переменных знаками основных операций, таких как вычитание, сложение, умножение и деление.
Пример: \(2 x+3\)
Константа: Константа — это число с фиксированным значением.
In \(2 x+3,3\) является константой.
Переменная: Переменная — это символ, которому не присвоено определенное значение.
In \(2 x+3, x\) является переменной.
Терм: Терм может состоять из одной константы, одной переменной или их комбинации.
В \(2 x+3,2 x\) и \(3\) два члена выражения.
Значение выражения
Значение выражения является результатом вычисления, описываемого этим выражением, когда переменным и константам в нем присваиваются значения.
Буквы могут использоваться для представления чисел в алгебраическом выражении. Термин «вычисление выражения» относится к подстановке заданного значения для каждой переменной и выполнению операций.
Примеры:
1. Значение выражения \(3 x+5\), если \(x=2\).
\(\Стрелка вправо 3 x+5\)
\(\Стрелка вправо 3(2)+5\)
\(\Стрелка вправо 6+5=11\)
Следовательно, значение данного выражения равно \(11\).
2. Значение выражения \(8 y-4\), если \(y=3\).
\(\Стрелка вправо 8 y-4\)
\(\Стрелка вправо 8(3)-4\)
\(\Стрелка вправо 24-4=20\)
Следовательно, значение данного выражения равно \(20\).
Абсолютное значение
Абсолютное значение числа — это его расстояние от \(0\) на числовой прямой.
Все мы знаем, что расстояние обычно является положительным числом. Таким образом, абсолютное значение является мерой расстояния. Оно никогда не бывает отрицательным.
Абсолютное значение числа \(p\) записывается как \(|p|\).
\(|p| \geq 0\) для всех номеров
Примеры:
- \(|6|=6\)
- \(|-6|=6\)
Абсолютное значение выражения
Абсолютные значения всегда положительны (нулевые или положительные). Таким образом, если вы найдете число в квадратных скобках абсолютного значения, вы можете использовать неотрицательную форму этого числа для его замены. Как правило, с выражениями внутри модуля можно обращаться так же, как с выражениями в круглых скобках.
Используйте обычный порядок операций с абсолютными значениями, примените абсолютное значение и рассмотрите внешние члены. 9{2}+2(1)(2)\)
\(=1+4+4\)
\(=9\)
Следовательно, полученное значение данного выражения равно \(9\).
Q.3. Найдите значение выражения \(\left[ {16 + \left\{ {7 – \left( {8 \div 2} \right)} \right\}} \right] \times 4.\)
Ответ: Дано \(\left[ {16 + \left\{ {7 – \left( {8 \div 2} \right)} \right\}} \right] \times 4.\)
\( = \left[ {16 + \left\{ {7 – 4} \right\}} \right] \times 4.\) (круглые скобки удалены)
\(=[16+3] \times 4 \) (фигурные скобки удалены) 9{2}\)
\(\Стрелка вправо 1+1+4\)
\(\Стрелка вправо 6\)
Следовательно, полученное значение данного выражения равно \(6\).
Сводка
Значение выражения определяется значениями переменных, составляющих выражение. Существуют различные случаи, в которых мы должны определить значение выражения.
Два типа выражений — это арифметические выражения и алгебраические выражения. Арифметическое/числовое выражение представляет собой математическое выражение, состоящее из чисел и одного или нескольких символов операций.
Алгебраическое выражение представляет собой комбинацию констант и литералов/переменных, соединенных знаками основных операций. Когда переменным и константам в выражении присваиваются значения, значение выражения является результатом вычисления, заданного этим выражением. Эта статья включает в себя арифметические и алгебраические выражения, значение выражения, абсолютное значение.
Список важных алгебраических выражений и формул
Часто задаваемые вопросы о значении выражения Q.1. Как найти значение выражения?
Ответ: Когда число заменяет переменную, для нахождения значения выражения вычисляется алгебраическое выражение. Чтобы вычислить выражение, мы сначала заменяем заданное число переменной в выражении, а затем используем порядок операций для упрощения оператора.
Q.2. Что означает значение выражения? Приведите пример?
Ответ: Значение выражения вычисляется по значениям переменных, составляющих выражение.
Пример: Найдите значение выражения \(3 x-6\), для \(x=4\)
\(\Стрелка вправо 3 x-6\)
\(\Стрелка вправо 3(4) -6\)
\(\Стрелка вправо 12-6=6\)
Итак, значение данного выражения равно \(6\).
Q.3: Что такое значение в уравнении?
Ответ: Значения переменных, которые делают уравнение верным, называются значением уравнения. С другой стороны, решение уравнения включает в себя определение того, какие переменные делают уравнение верным.
Q.4. Каково значение числового выражения?
Ответ: Значение, полученное путем решения числового выражения, называется значением числового выражения.
Числовое выражение — это математическое выражение, состоящее из чисел и одного или нескольких символов операций. Сложение, вычитание, умножение и деление являются примерами символов операций.
Q.5. Что такое уравнение и выражение?
Ответ: Число, переменная или комбинация чисел, переменных и символов операций составляют выражение. Знак равенства соединяет два выражения в уравнение.
Мы надеемся, что эта подробная статья о … помогла вам в учебе. Если у вас есть какие-либо сомнения, вопросы или предложения относительно этой статьи, не стесняйтесь спрашивать нас в разделе комментариев, и мы будем более чем рады помочь вам. Приятного обучения!
Leave A Comment