Найдите площадь ромба если его высота равна 19 а острый угол 30 градусов: Найдите площадь ромба, если его высота равна 19 а острый угол 30 градусов

Тренировочный макет «Гео дерево»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №1 Р.П. ЧУНСКИЙ

Проект

Тема: Тренировочный макет «Гео дерево»

Выполнили: обучающиеся 8 «Б» класса

Мануйлова Ксения,

Минибаев Данил.

Руководитель Л.А.Семенова.

2019.г.

р.п. Чунский.

Содержание

Введение…………………………………………………………………3

Краткая аннотация проекта ………………………………………………………….4

Многоугольники…………………………………………………………5

Заключение………………………………………………………………7

Список использованной литературы …………………………………8

Банк задач ………………………………………………………………9

Приложение ……………………………………………………………16

Введение

Актуальность: На разных этапах изучения геометрии, на наш взгляд, основную трудность представляет выполнение чертежей к задачам, очень много времени отнимает чертёж от решения задач. Ещё бывают такие факты, что ученики до сих пор путаются в геометрических фигурах, их свойствах, признаках, геометрических понятиях, теоремах.

Мы считаем, для того, чтобы устранить эти проблемы, на уроках нужно больше использовать задачи по готовым чертежам и такие макеты будут хорошим подспорьем в повторении и закреплении изучаемого материала.

Помимо самого макета, мы собрали банк пока только из 79 задач. Краткое условие задачи оформили на отдельных карточках и к тому же к задаче смастерили маленький макет геометрической фигуры, на котором показаны основные элементы и данные из условия самой задачи.

При решении таких задач ученику предоставляется возможность

Взять модель геометрической фигуры в руки.
Повернуть ее к себе удобной стороной, что бы лучше распознать, увидеть какое свойство или теорему применить для решения этой задачи.
На моделях удобно давать пояснения к задачам

и вместе с тем, значительно упрощает процесс решения задач.

Помимо этого, прежде чем приступить к решению задачи ученик должен знать определение геометрической фигуры из задачи, назвать её свойства, признаки, озвучить теоремы, относящиеся к этой фигуре, а уж потом приступить к решению самой задачи. На самых первых занятиях ребята растерялись, было сложно сразу всё вспомнить, а потом включился дух соревнования, стало интересно, и результаты становились всё лучше и лучше. Конечно, нужно ещё много работать, что бы всё знать, но главное начать. Тем более мы не собираемся останавливаться, у нас появились ещё идеи.

Природа говорит языком математики: буквы этого языка – круги, треугольники и иные математические фигуры.

Г. Галилей

Цель: Создать тренировочный макет «Гео дерево» для повторения и закрепления учебного материала геометрии по теме «Многоугольники».

Задачи:

Самостоятельно продолжить изучение материала по теме «Многоугольники».
Создать банк задач по данной теме.
Изготовить макет «Гео дерево».
Предложить на уроках закрепления данный тренировочный макет.

Гипотеза: Повлияет ли тренировочный макет на улучшение качества знаний учащихся по теме: «Многоугольники», на повторение и закрепление свойств, основных признаков геометрических фигур и умение правильно их применить в решении задач.

Краткая аннотация проекта.

Основа проекта повторение и закрепление темы «Четырехугольники» курса геометрии 8 класса направлена на развитие познавательных способностей, навыков работы, при самостоятельном применении теоретического материала на практике.

В проекте затронуты учебные темы:

«Виды четырехугольников их свойства, признаки»,

«Площади многоугольников».

Многоугольники

Геометрия делится на два раздела: планиметрия и стереометрия.

Именно с планиметрии начинается изучение геометрии в школах.

Планиметрия происходит от латинского «planum»- плоскость, и греческого «metreo» — измеряю.

Многоугольники, виды многоугольников

Многоугольник — это геометрическая фигура, ограниченная со всех сторон замкнутой ломаной линией, состоящая из трех и более отрезков (звеньев).

Если замкнутая ломаная линия состоит из трех отрезков, то такой многоугольник называется треугольником, из четырех отрезком — четырехугольником, из пяти отрезков — пятиугольником и т. д.

Треугольники

Треугольник — это плоская геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.

Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которых человек узнал еще в глубокой древности, т. к. эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни.

Четырехугольники

Четырехугольник — это плоская геометрическая фигура, состоящая из четырех точек (вершин четырехугольника) и четырех последовательно соединяющих их отрезков (сторон четырехугольника). У них четыре угла и четыре стороны. У четырехугольника никогда на одной прямой не лежат три вершины.

Параллелограмм

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

В любом параллелограмме:

Противоположные стороны равны
Противоположные углы равны
Диагонали делятся пополам точкой пересечения

Квадрат

Квадрат — правильный четырёхугольник или ромб, у которого все углы прямые, или параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

Признак 1. Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то это – параллелограмм.

Признак 2. Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то это – параллелограмм.

Признак 3. Если у четырехугольника противоположные углы равны, то это – параллелограмм.

Признак 4. Если у четырехугольника диагонали делятся точкой пересечения пополам, то это – параллелограмм.

Квадрат по определению имеет равные стороны и углы, и, как выяснилось, обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Прямоугольник

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство:

Диагонали прямоугольника равны.

Ромб

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Ромб так же обладает всеми свойствами параллелограмма, но его диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов. Высоты ромба равны.

Свойства:

Диагонали ромба перпендикулярны.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это ромб.

Признак 2. Если в параллелограмме хотя бы одна из диагоналей делит пополам оба угла, через которые она проходит, то этот параллелограмм – ромб.

Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.

— Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

— Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Заключение:

В настоящем проекте собраны наиболее актуальные задачи за курс 8 класса по теме «Многоугольники». Данный макет развивает интерес к геометрии как к предмету, а подобранные задачи помогают в закреплении полученных знаний по геометрии, и будут хорошим подспорьем в подготовке к экзамену в 9 классе.

Таким образом, цель проекта считаем, достигнута, поставленные задачи выполнены.

Литература:

Автор: Балаян Э.Н. Геометрия. 7-9 классы. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ.
Автор: Е. М. Рабинович: Математика. Задачи и упражнения на готовых чертежах по геометрии 7-9 классы.

Банк задач по геометрии.

1.Основания трапеции ВС=3, АД=7, высота ВЕ=4, найти её площадь.

2. В треугольнике АВС угол С прямой, СВ =12, АВ=13, найти площадь треугольника АВС.

3. В равнобедренной трапеции АВСД основания ВС=7 и АД=17, боковые стороны АВ=СД=13. Найти её площадь.

4. Треугольник АВС — равносторонний, его сторона равна 2. Найти площадь треугольника.

5. В треугольнике АВС стороны АВ=13, ВС=14, АС=15. Найти площадь треугольника.

6. В равнобедренном треугольнике АВС, АВ=ВС=10. Найти площадь треугольника.

7. В трапеции АВСД, ЕF параллельна АВ, СЕ=ЕД, ВС=3, FД=2, ВH=5; ВH и АД перпендикулярны. Найти площадь трапеции.

8. В трапеции АВСД основания АД и СВ, АД=28, СД=11, АВ=25, СД=26. Найти площадь трапеции.

9. АВСД – равнобедренная трапеция, СЕ и АД перпендикулярна, СЕ=5, АС – диагональ, угол САД равен 30°. Найти площадь трапеции.

10. В прямоугольной трапеции АВСД, СД и АД перпендикулярны, СД=12, АС – диагональ, а углы ВАС и САД равны 30°. Найти площадь трапеции.

11. В прямоугольной трапеции АВСД, CE=25, EД=36, OE=r=2, АВ и АД — перпендикулярны. Найти площадь трапеции.

12. В трапеции АВСД, АС и ВД пересекаются в точке Е, угол АСД=90°, ВС=13, АД=37, а ВС и АД – основания. Найти площадь трапеции.

13. В трапеции АВСД, АС и ВД – диагонали, АС=7, ВД=15, ВС=2, АД=18; ВС и АД – её основания. Найти площадь трапеции.

14. В трапецию АВСД вписана окружность, радиус которой равен 4, основание трапеции ВС=4. Найти площадь трапеции.

15. Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

16.Найдите площадь треугольника, в котором СД и АВ перпендикулярны, АД=32, ДВ=10, АС=40, ВС=26 и СД=24.

17. В равнобедренной трапеции известна высота, DF=5 большее основание АВ=14 и угол при основании А=45˚. Найдите меньшее основание.

18. АВСД – параллелограмм, АВ=10, АД=15, угол А=60°. Найти площадь параллелограмма.

19. В параллелограмме АВСД, АВ=5, АЕ=3, ВС=8, а ВЕ и АД перпендикулярны. Найти площадь параллелограмма.

20. В параллелограмме АВСД, АВ=5, АЕ=4, ЕД=8, а ВЕ и АД перпендикулярны. Найти площадь параллелограмма.

21. В параллелограмме АВСД, АС и ВД пересекаются в точке О, АС=8, ВД=6, угол СОД равен 45°. Найти площадь параллелограмма.

22. В прямоугольнике АВСД, АС – диагональ, ВЕ и ДF ей перпендикулярны. ВЕ=6 и CF=16. Найти площадь прямоугольника.

23. В квадрате АВСД, АС=4, найти его площадь.

24. АВСД – ромб, ВЕ и АД – перпендикулярны. ВД=7, ВЕ=4√3. Найти площадь.

25. В ромбе АВСД, АС диагональ, BF и АД перпендикулярны. АС и BF пересекаются в точке Е. ВЕ=26, ЕF=10. Найти его площадь.

26. В треугольнике АВС, угол С равен 30°, ВС=8, АС=9. Найти площадь.

27. В треугольнике АВС, угол С прямой, СД – медиана, АД=15, ДВ=20. Найти площадь треугольника.

28. В прямоугольнике АВСД , АС Диагональ ВЕ и АС перпендикулярны АЕ=4 , ЕС=9 ВЕ и АС пересекаются в точке Е Найти площадь

29.В прямоугольнике АС Диагональ САД равна 30° .найти площадь прямо угольника .

30.АВСД – ромб ,АС и ВД – диагональ, АС=8, ВД=5. найти площадь ромба

31.В ромбе АВЕД вписана окружность О – точка пересечение диагонали АС и ВД . ОЕ = 8, ОЕ и ВС перпендикулярны ВЕ = х, СЕ=4х

32. Периметр прямоугольника 26 см, одна из его сторон 8 см. Найдите площадь прямоугольника.

33.Площадь квадрата 81 кв. см. Найдите его периметр.

34.Площадь прямоугольника 120 кв. см, одна из его сторон10 см. Найдите периметр прямоугольника.

35.Периметр квадрата 40 см. Найдите его площадь.

36.Диагональ прямоугольника10 см, а одна из его сторон 6 см. Найдите площадь прямоугольника и его периметр.

37.Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 4 см. Найдите периметр и площадь квадрата.

38.Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 8 см. Найдите площадь и периметр квадрата.

39.Отношение сторон прямоугольника равно 1:4, а его периметр 60 см. Найдите периметр равновеликого квадрата.

40.Одна из сторон прямоугольника в 2 раза больше другой, а его периметр равен 18 см. Найдите диагональ равновеликого квадрата.

41.Найдите площадь трапеции со сторонами 10 см, 10 см, 10см и 22 см.

42.В трапецию, основания которой 3 см и 5 см, вписана окружность радиуса 2 см. Найдите площадь и периметр трапеции.

43.Средняя линия трапеции 10 см, а её высота равна 8 см. Найдите площадь трапеции.

44.Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 6 см.

45.Основание равнобедренного треугольника 8 см, боковая сторона 5 см. Найдите площадь и периметр треугольника.

46.Стороны треугольника 60 см, 61 см и 11 см. Найдите его площадь.

47.Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 см.

48.Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведённую к гипотенузе, если его катеты 8 см и 15 см.

49.Катет прямоугольного треугольника 12 см, а гипотенуза 20 см. Найдите периметр и площадь треугольника.

50.Найдите площадь треугольника со сторонами 5см, 5см и 8 см.

51.Диагонали ромба равны 12 см и 35 см. Найдите его площадь.

52.Диагонали ромба 24 см и 10 см. Найдите его площадь и периметр.

53.Найдите площадь ромба с периметром 40 см и диагональю 12 см.

54.Найдите площадь ромба со стороной 6 см и острым углом 30 градусов.

55.Найдите площадь параллелограмма со сторонами 5 см и 8 см и углом 60 градусов.

56.Стороны параллелограмма равны 6 см и 10 см и угол между ними 150 градусов. Найдите площадь параллелограмма.

57.Найдите площадь треугольника со сторонами 5см, 5см и 8 см.

58.Стороны параллелограмма равны 10 см и 18 см и угол между ними 150 градусов. Найдите площадь параллелограмма.

59.Периметр квадрата 40 см. Найдите его площадь.

60.Площадь квадрата 81 кв. см. Найдите его периметр.

61.Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведённую к гипотенузе, если его катеты 8 см и 15 см.

62.Основание равнобедренного треугольника 16 см, боковая сторона 10 см. Найдите площадь треугольника.

63.Ширина окна прямоугольной формы 4 дм, а длина в 2 раза больше. Вычислите площадь окна.

64.Стороны параллелограмма равны 6 см и 10 см и угол между ними 150 градусов. Найдите площадь параллелограмма.

65.Высоты параллелограмма равны 3 см и 4 см, острый угол между сторонами равен 30 градусов. Найдите площадь параллелограмма.

66.Найдите площадь трапеции со сторонами 10 см, 10 см, 10см и 22 см, если угол между боковыми сторонами и нижним основанием 30 градусов.

67.Стороны параллелограмма равны 8 см и 15 см и угол между ними 150 градусов. Найдите площадь параллелограмма.

68.Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведённую к гипотенузе, если его катеты 8 см и 15 см.

69.Найдите высоту прямоугольного треугольника, проведённую к гипотенузе, если его катеты 10 см и 18 см.

70. Найти площадь квадрата со стороной см ( найти площадь прямоугольника со сторонами 0,2дм и 3 дм)

71. Найти площадь прямоугольника со сторонами 0,5 м и 4 м ( найти площадь квадрата со стороной м)

72. Найти площадь треугольника со стороной 12 см и высотой, проведенной к этой стороне 6 см ( Найти площадь треугольника со стороной 10 дм и высотой, проведенной к этой стороне 4 дм)

73. Площадь треугольника равна 12,5 см2, сторона треугольника 10 см. Найти высоту, проведенную к данной стороне. ( Площадь треугольника равна 7,5 см2 , а высота треугольника 3 см. Найти сторону, к которой проведена данная высота)

74. Найти площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 0,3 дм, и 0,4 дм (Найти площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны 0,5 дм и 0,6 дм)

75. Найти площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 6 см. ( Найти площадь ромба, если его диагонали равны 8 см и 4 см)

76. Найти площадь трапеции, если его основания 2см и 4см, а высота равна 1,5 см (основания 3 см и 7 см, а высота 2,5 см).

77. Высота и основания трапеции относятся как5:6:4 . Найдите меньшее основание трапеции, если ее площадь 88см2.

78.Высота трапеции равна меньшему основанию и в два раза меньше большего основания. Найдите высоту трапеции, если е площадь равна 54 кв.см.

79. Основания равнобедренной трапеции 12см и 16см, а ее диагональ взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

Приложение:

Результаты эксперимента:

Тема: «Тренировочный макет «Гео дерево», который выполнили обучающиеся 8 «Б» класса Минибаев Данил и Мануйлова Ксения.

В практической части представлен макет, банк задач и отчет об исследовательской работе с одноклассниками.

Материал проекта изложен последовательно и четко, в соответствии с требованиями к проектно-исследовательской работе.

Содержание соответствует теме. Тема раскрыта полностью. Выводы и заключение сделаны правильно. Работа написана грамотным научным языком. Оформление работы в целом соответствует предъявленным требованиям.

Проект способствует расширению кругозора учащихся в области

математической грамотности. В процессе работы ученики развивают навыки исследовательской деятельности, умение работать с различными информационными источниками, а также навыками работы над решением поставленной задачи.

Также они смогла показать пользу и важность макета не только в закреплении школьного материала, а так же в подготовке к предстоящему экзамену. Так как в подобранных задачах есть весь необходимый учебный материал за курс восьмого класса по предмету. Смогли проанализировать ситуацию и привести все в единую систему.

Дата 11.04.2019

Рецензент:

Семенова Лариса Александровна

Подготовка к ОГЭ. Площади фигур. | Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по геометрии (9 класс):

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение школа №8

Дидактические материалы по теме

«Площади фигур»

подготовка к ОГЭ

Желтова А.В.,

учитель математики

г.Кулебаки, 2020 г.

Пояснительная записка

Основной целью государственной (итоговой) аттестации выпускников девятых классов общеобразовательных учреждений является проведение открытой и объективной процедуры оценивания учебных достижений школьников, обладающей широкими дифференцирующими возможностями. Экзаменационная работа рассчитана на выпускников IX классов общеобразовательных учреждений (школ, гимназий, лицеев), включая классы с углубленным изучением математики.

Поскольку в контрольно-измерительные материалы ОГЭ за курс основной школы включены задания по геометрии, выполнение которых учитываются при определении порога успешности, то этот факт актуализирует своевременное изучение геометрии в полном объеме. Незнание фундаментальных метрических формул, свойств основных планиметрических фигур полностью лишает ученика возможности применить свои знания по геометрии при решении соответствующих заданий ОГЭ.

Проанализировав задания открытых банков заданий ОГЭ по планиметрии, можно выделить список основных тем по геометрии, которые необходимо рассмотреть в 9 классе на уроках заключительного повторения, а также акцентировать внимание при прохождении текущего программного материала:

Треугольник: признаки равенства и подобия треугольников. Теорема Пифагора. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Решение треугольников.
Четырёхугольники. Виды четырехугольников их свойства и признаки.
Окружность. Вписанная и описанная окружности.
Площади фигур.
Координатный и векторный методы решения геометрических задач.

Демонстрационный вариант ОГЭ 2020 по математике, задания открытого банка показывают, что изменены требования к знаниям, умениям и навыкам учащихся в материалах экзамена. Само содержание образования существенно не изменилось, но существенно сместился акцент в требованиях к знаниям и умениям выпускника. Изменились формулировки заданий: задания стали нестандартными, задаются в косвенной форме, ответ на вопрос требует анализа условия задачи. И это все в первой части экзаменационной работы, которая предусматривает обязательный уровень знаний учащихся. Содержание заданий изобилует математическими тонкостями, на отработку которых в общеобразовательной программе не отводится достаточного количества часов.

Таким образом, тщательно проанализировав содержание КИМов, учитывая низкий уровень мотивации учащихся к учению, необходимо:

Организовать повторение изученного материала в 9 классе с начала учебного года.
Включать в изучение текущего учебного материала соответствующие задания из открытого банка заданий.
В содержание текущего контроля включать экзаменационные задания.
Тщательно отслеживать результаты освоения учащимися программного материала и своевременно проводить коррекцию уровня усвоения учебного материала.

Следует обратить внимание на то, что задания, входящие в контрольные измерительные материалы по контролируемым в них элементам содержания не выходят за рамки образовательного стандарта. Таким образом, подготовка к государственной итоговой аттестации по геометрии должна быть обеспечена качественным изучением нового материала, продуманным текущим повторением, и, наконец, обязательным обобщением, систематизацией знаний из различных разделов курса геометрии.

Тема «Площади» одна из важных тем планиметрии. Поэтому в представленных мною ниже материалах по подготовке к ОГЭ, представлена система обобщения и систематизации знаний, умений и навыков по данной теме. Дидактические материалы состоят из тестов, наборов задач по микротемам и презентации «Площади фигур».

Дидактические материалы по теме «Площади фигур»

1 Диагностический тест

Вариант 1

Выбери верные утверждения:

1) Площадь параллелограмма равна:

а) произведению его сторон;

б) произведению его высот;

в) произведению его стороны на высоту, проведенную к данной стороне.

2) Площадь квадрата со стороной 3 см равна:

а) 6 см2;

б) 8 см;

в) 9 см2.

3) Закончите предложение: “Площадь ромба равна…

а) произведению его сторон;

б) половине произведения его диагоналей;

в) произведению его стороны и высоты.

4) По формуле можно вычислить:

а) площадь треугольника;

б) площадь прямоугольника;

в) площадь параллелограмма.

5) Площадь трапеции АВСD с основаниями АВ и СD и высотой ВО вычисляется по формуле:

Вариант 2

Выберите верные утверждения:

1) Площадь квадрата равна:

а) полупроизведению его сторон;

б) квадрату его стороны;

в) произведению его сторон на высоту.

2) Площадь параллелограмма равна:

а) произведению его смежных (соседних) сторон;

б) произведению его высоты на сторону;

в) произведению его основания на высоту, проведенную к данному основанию.

3) По формуле можно вычислить площадь:

а) ромба;

б) треугольника;

в) параллелограмма.

4) Площадь треугольника равна половине произведения:

а) оснований;

б) основания на высоту, проведенную к данному основанию;

в) его высот.

5) Площадь трапеции АВСD с основаниями ВС и АD и высотой ВН равна

Вариант 3

Выбери верные утверждения:

1) Площадь треугольника равна:

а) полупроизведению его сторон;

б) произведению его стороны на высоту, проведенную к данной стороне.

в) полупроизведению его стороны на высоту, проведенную к данной стороне.

2) Площадь прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12см и гипотенузой 4 см равна

а) 10 см2;

б) 30 см2;

в) 60 см2.

3) По формуле можно вычислить площадь:

а) ромба;

б) квадрата;

в) прямоугольника.

4) Площадь прямоугольника равна:

а) произведению двух сторон;

б) полупроизведению противолежащих сторон;

в) произведению двух смежных (соседних) сторон.

5) Площадь трапеции АВСD с основаниями АD и СB и высотой DK вычисляется по формуле:

Вариант 4

Выберите верные утверждения:

1) Площадь прямоугольного треугольника равна:

а) произведению его катетов;

б) полупроизведению любых двух его сторон;

в) полупроизведению его катетов.

2) Площадь ромба равна:

а) произведению его смежных сторон;

б) произведению его высоты на сторону;

в) произведению его стороны на высоту, проведенную к данной стороне.

3) По формуле можно вычислить площадь:

а) квадрата;

б) треугольника;

в) параллелограмма.

4) Формула Герона – это формула для нахождения площади:

а) треугольника;

б) ромба;

в) трапеции.

5) Площадь трапеции MNKS с основаниями KS и MN и высотой KT равна

Таблица ответов:

Вариант	1	2	3	4	5
1	в	в	б	а	в
2	б	в	а	б	в
3	в	б	б	в	б
4	в	в	в	а	в

Прототипы задач по теме «Площади фигур»

из открытого банка ФИПИ

Площадь треугольника

1. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен . Найдите площадь треугольника.

2. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а острый угол, прилежащий к нему, равен . Найдите площадь треугольника.

3. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен . Найдите площадь треугольника.

4. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а острый угол, прилежащий к нему, равен . Найдите площадь треугольника.

5. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен . Найдите площадь треугольника.

6. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а острый угол, прилежащий к нему, равен . Найдите площадь треугольника.

7. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов равен . Найдите площадь треугольника.

8. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов равен . Найдите площадь треугольника.

9. Сторона равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь.

10. Периметр равностороннего треугольника равен 30. Найдите его площадь.

11. Высота равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь.

12. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, а угол, лежащий напротив основания, равен . Найдите площадь треугольника.

13. Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а боковая сторона — 5. Найдите площадь треугольника.

14. Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а основание — 6. Найдите площадь треугольника.

15. В треугольнике одна из сторон равна 10, а опущенная на нее высота — 5. Найдите площадь треугольника.

16. В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна , а угол между ними равен . Найдите площадь треугольника.

17. В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна , а угол между ними равен . Найдите площадь треугольника.

18. В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна , а угол между ними равен . Найдите площадь треугольника.

19. В треугольнике одна из сторон равна 12, другая равна 16, а синус угла между ними равен . Найдите площадь треугольника.

20. В треугольнике одна из сторон равна 12, другая равна 10, а косинус угла между ними равен . Найдите площадь треугольника.

21. В треугольнике одна из сторон равна 12, другая равна 10, а тангенс угла между ними равен . Найдите площадь треугольника.

22. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, острый угол, прилежащий к нему, равен , а гипотенуза равна 20. Найдите площадь треугольника.

23. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен , острый угол, прилежащий к нему, равен , а гипотенуза равна 20. Найдите площадь треугольника.

24. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, угол, лежащий напротив него, равен , а гипотенуза равна 20. Найдите площадь треугольника.

25. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание , а угол, лежащий напротив основания, равен . Найдите площадь треугольника.

26. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание , а угол, лежащий напротив основания, равен . Найдите площадь треугольника.

27. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание — , а угол, лежащий напротив основания, равен . Найдите площадь треугольника.

28. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание , а угол, лежащий напротив основания, равен . Найдите площадь треугольника.

29. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание , а угол, лежащий напротив основания, равен . Найдите площадь треугольника.

Площадь прямоугольника и квадрата

30. Сторона квадрата равна 10. Найдите его площадь.

31. Периметр квадрата равен 40. Найдите площадь квадрата.

32. В прямоугольнике одна сторона равна 10, другая сторона равна 12. Найдите площадь прямоугольника.

33. В прямоугольнике одна сторона равна 10, периметр равен 44. Найдите площадь прямоугольника.

34. В прямоугольнике одна сторона равна 6, а диагональ равна 10. Найдите площадь прямоугольника.

35. В прямоугольнике диагональ равна 10, а угол между ней и одной из сторон равен . Найдите площадь прямоугольника.

36. В прямоугольнике диагональ равна 10, угол между ней и одной из сторон равен , длина этой стороны . Найдите площадь прямоугольника.

37. В прямоугольнике диагональ равна 10, а угол между ней и одной из сторон равен , длина этой стороны равна 5. Найдите площадь прямоугольника.

38. Найдите периметр прямоугольного участка земли, площадь которого равна 800 м2 и одна сторона в 2 раза больше другой. Ответ дайте в метрах.

39. Площадь прямоугольного земельного участка равна 6 га, ширина участка равна 150 м. Найдите длину этого участка в метрах.

40. Периметр равнобедренного треугольника равен 216, а основание — 96. Найдите площадь треугольника.

41. В треугольнике одна из сторон равна 10, а опущенная на нее высота — 5. Найдите площадь треугольника.

Площадь ромба

42. Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба.

43. Периметр ромба периметр равен 40, а один из углов равен . Найдите площадь ромба.

44. Периметр ромба периметр равен 40, а один из углов равен . Найдите площадь ромба.

45. Периметр ромба равен 24, а синус одного из углов равен . Найдите площадь ромба.

46. Периметр ромба равен 40, а один из углов равен . Найдите площадь ромба.

47. Периметр ромба равен 24, а косинус одного из углов равен . Найдите площадь ромба.

48. Периметр ромба равен 24, а тангенс одного из углов равен . Найдите площадь ромба.

49. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей — , а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен . Найдите площадь ромба.

50. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей — , а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен . Найдите площадь ромба.

51. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей — , а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен . Найдите площадь ромба.

52. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей — , а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен . Найдите площадь ромба.

53. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей — 10, а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен . Найдите площадь ромба.

54. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей — , а угол, из которого выходит эта диагональ, равен . Найдите площадь ромба.

55. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей — , а угол, из которого выходит эта диагональ, равен . Найдите площадь ромба.

Площадь параллелограмма

56. Одна из сторон параллелограмма равна 12, а опущенная на нее высота равна 10. Найдите площадь параллелограмма.

57. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а один из углов — . Найдите площадь параллелограмма.

58. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а один из углов — . Найдите площадь параллелограмма.

59. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а синус одного из углов равен . Найдите площадь параллелограмма.

60. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а косинус одного из углов равен . Найдите площадь параллелограмма.

61. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а тангенс одного из углов равен . Найдите площадь параллелограмма.

Площадь трапеции

62. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна , а угол между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.

63. Основания трапеции равны 18 и 10, одна из боковых сторон равна , а угол между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.

64. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а синус угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.

65. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а косинус угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.

66. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а тангенс угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.

Площадь круга и кругового сектора

67. Радиус круга равен 1. Найдите его площадь.

68. Найдите площадь кругового сектора, если радиус круга равен 3, а угол сектора равен .

69. Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна , а угол сектора равен .

70. Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна , а угол сектора равен .

Прототипы задач с выбором ответа по теме «Площади фигур»

из открытого банка ФИПИ

1. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.

2) Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.

3) Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен , то площадь этого треугольника равна 10.

4) Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен , то площадь этого параллелограмма равна 10.

2.Какие из следующих утверждений верны?

1) Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен , то площадь этого треугольника равна 10.

2) Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.

3) Площадь трапеции не превосходит произведения средней линии на высоту.

4) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

3.Какие из следующих утверждений верны?

1) Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.

2) Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.

3) Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.

4) Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.

4. Какие из следующих утверждений верны?

1) Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

2) Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

3) Площадь трапеции не превосходит произведения средней линии на высоту.

4) Если площадь круга равна 4, то его радиус равен 2.

5. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если стороны правильного шестиугольника увеличить в три раза, то его площадь увеличится в 9 раз.

2) Площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон.

3) Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна четверти произведения его периметра на диаметр вписанной окружности.

4) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.

6.Какие из следующих утверждений верны?

1) Если диагонали ромба равна 5 и 4, то его площадь равна 10.

2) Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

3) Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

4) Если сторона треугольника равна 5, а высота, проведенная к этой стороне, равна 4, то площадь этого треугольника равна 20.

7. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4, то его площадь равна 12.

2) Площадь трапеции не превосходит произведения средней линии на высоту.

3) Если средняя линия трапеции равна 5, а высота равна 3, то площадь этой трапеции равна 15.

4) Если диагонали ромба равна 8 и 6, то его площадь равна 24.

8.Какие из следующих утверждений верны?

1) Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна четверти произведения его периметра на диаметр вписанной окружности.

2) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

3) Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.

4) Площадь треугольника равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

9.Какие из следующих утверждений верны?

1) Отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия.

2) Если стороны правильного шестиугольника увеличить в три раза, то его площадь увеличится в 9 раз.

3) Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

4) Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен , то площадь этого треугольника равна 10.

10.Какие из следующих утверждений верны?

1) Площадь круга равна четверти произведения длины его окружности на диаметр.

2) Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух его сторон на синус угла между ними.

3) Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.

4) Если площадь круга равна 4, то его радиус равен 2.

11. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если сторона треугольника равна 5, а высота, проведенная к этой стороне, равна 4, то площадь этого треугольника равна 20.

2) Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.

4) Если стороны правильного шестиугольника увеличить в три раза, то его площадь увеличится в 9 раз.

12. Какие из следующих утверждений верны?

1) Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух его сторон на синус угла между ними.

2) Площадь круга равна четверти произведения длины его окружности на диаметр.

3) Если катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4, то его площадь равна 12.

4) Если периметр многоугольника, описанного около окружности радиуса 2, равен 20, то его площадь равна 20.

13. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4, то его площадь равна 12.

2) Если радиус круга равен 4, то его площадь равна 8.

3) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.

4) Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

14. Какие из следующих утверждений верны?

1) Площадь параллелограмма равна произведению двух его сторон на косинус угла между ними.

2) Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна четверти произведения его периметра на диаметр вписанной окружности.

3) Если радиус круга равен 4, то его площадь равна 8.

4) Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.

15. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если радиус круга равен 4, то его площадь равна 8.

2) Площадь круга равна четверти произведения длины его окружности на диаметр.

3) Площадь треугольника равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

4) Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.

16. Какие из следующих утверждений верны?

1) Площадь круга равна четверти произведения длины его окружности на диаметр.

2) Площадь треугольника равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

3) Если площадь круга равна 4, то его радиус равен 2.

4) Площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон.

17. Какие из следующих утверждений верны?

1) Площадь треугольника равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

2) Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.

3) Площадь круга равна четверти произведения длины его окружности на диаметр.

4) Если катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4, то его площадь равна 12.

18. Какие из следующих утверждений верны?

1) Отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия.

2) Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.

3) Если катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4, то его площадь равна 12.

4) Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.

19. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если радиус круга равен 4, то его площадь равна 8.

2) Площадь параллелограмма равна произведению двух его сторон на косинус угла между ними.

3) Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.

4) Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.

20. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если две стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними равен 300, то площадь этого треугольника равна 10.

3) Площадь трапеции не превосходит произведения средней линии на высоту.

4) Площадь круга равна четверти произведения длины его окружности на диаметр.

Задачи повышенного уровня

1. Дано: АВСD – трапеция с основаниями ВС и АD; ВК- высота. ВС : АD = 2 : 3; ВК = 6см; SABCD = 60см2. Найти: BC, AD.

2. Дано: АВСD – прямоугольная трапеция; АВ — меньшая боковая сторона. АВ=3 см, SABCD = 30 см2, РABCD=28 см. Найти большую боковую сторону СD.

3. В треугольнике АВС, С = 90°, В = 30°, СВ = 5 см, АВ = 12 см. Найти площадь треугольника.

4. В треугольнике ABC С = 90°, А = 45°, АВ = 8 см, АС = 3 см. Найти площадь треугольника.

5. Площадь треугольника АВС равна . Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются основания медиан треугольника АВС.

6. В трапеции АВСD АВ=СD, АС=5см, СH=3см. Найти площадь трапеции.

7.В трапеции ABCD AD и BC — основания, отношение AD : BC = 4:3 . Площадь трапеции равна . Найдите площадь треугольника ABC.

8. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30 градусов. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 4 см.

9. Средняя линия равнобедренной трапеции равна 5, боковая сторона равна 4, наклонена к основанию под углом 30 градусов. Найдите площадь трапеции.

10. Медианы треугольника равны 5м, 6м, 5м. Найдите площадь треугольника.

11. Найти отношение между площадями вписанного и описанного кругов:

1) для правильного треугольника;

2) для квадрата;

3) для правильного шестиугольника.

Итоговый тест Площади фигур

I вариант

Заполните таблицу (запишите все известные вам формулы)

№	Фигура	Площадь
1	Квадрат
2	Прямоугольник
3	Параллелограмм
4	Треугольник
5	Ромб
6.	Трапеция
7.	Круг
8.	Многоугольник, описанный около окружности

1.Стороны параллелограмма 6 см и 5 см, а один из углов параллелограмма

равен 150°. Найдите площадь параллелограмма.

2. Сторона ромба равна 20 см, а одна из диагоналей равна 24 см.

Найдите площадь ромба.

3. Основания равнобедренной трапеции равны 7 см и 5 см . Боковая сторона, равная 6 см составляет с основанием угол в . Чему равна площадь трапеции?

4. Площадь прямоугольного равнобедренного треугольника равна 16см2 . Найдите гипотенузу этого треугольника.

5. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если радиус круга равен 4, то его площадь равна 8.

2) Площадь параллелограмма равна произведению двух его сторон на косинус угла между ними.

3) Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.

4) Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.

6. Решить задачу

Площадь прямоугольного треугольника равна 150 см2, а один из катетов равен 15 см. Найдите длину высоты, опущенной из вершины прямого угла.

Итоговый тест Площади фигур

II вариант

Заполните таблицу (запишите все известные вам формулы)

№	Фигура	Площадь
1	Квадрат
2	Прямоугольник
3	Параллелограмм
4	Треугольник
5	Ромб
6.	Трапеция
7.	Круг
8.	Многоугольник, описанный около окружности

1.Смежные стороны треугольника 10 см и 6 см, а угол между ними равен 135°

Найдите площадь треугольника.

2. Одна из диагоналей ромба равна 12 см, а сторона ромба равна 10 см

Найдите площадь ромба.

3. Длина окружности см. Чему равна площадь круга, ограниченного окружностью?

4. Гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника равна 8 см . Найдите площадь этого треугольника.

5. Какие из следующих утверждений верны?

1) Площадь параллелограмма равна произведению двух его сторон на косинус угла между ними.

3) Если радиус круга равен 4, то его площадь равна 8.

4) Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.

6. Решить задачу

В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Найдите площадь трапеции, если боковая сторона равна 6 см, а один из углов

трапеции равен 60°

Литература

1.Атанасян Л.С. Геометрия 7-9, учебник для общеобр.учр.

2.http://oge.fipi.ru/os/xmodules/qprint/index.php?proj=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0

Задание №17 ОГЭ по математике 🐲 СПАДИЛО.РУ

Описание задания В 17 задании нас ждут задачи с четырехугольниками, а именно трапецией, ромбами и произвольными параллелограммами. Необходимо знать формулы вычисления площади всех вышеперечисленных четырехугольников, а также их свойства. В демонстрационном варианте ОГЭ предлагается задание, связанное с нахождением площади фигуры. Как найти площадь треугольника, трапеции, параллелограмма, круга и сектора? С одной стороны, мы знаем соответствующие формулы. Для выполнения большинства заданий этого будет вполне достаточно, но иногда надо проявить и определенную сообразительность. В некоторых случаях будет разумно представить заданную геометрическую фигуру как сумму или как разность более простых фигур. Безусловно, площадь измеряется в соответствующих единицах. Например, если длины сторон фигуры заданы в сантиметрах, то вычисляемая площадь автоматически измеряется в квадратных сантиметрах. Чтобы не загромождать условие задачи информацией, которая при ее решении фактически не используется, единицы измерения, если они не существенны, не указаны.

Теория к заданию №18

Приступим к разбору теории. Выпуклый четырехугольник:

Правильный многоугольник:

Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.
Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и в него вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают.

Ниже я привожу формулы для вычисления элементов произвольного правильного многоугольника: Разберем пример четырехугольника — ромб.

Параллелограмм, все стороны которого равны называется ромбом.

Диагональ ромба является его осью симметрии.
Диагонали взаимно перпендикулярны.
Диагонали являются биссектрисами углов.

Трапеция:

Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие не параллельны, называется трапецией.

Задание OM1806o Найдите величину острого угла параллелограмма АВСD, если биссектриса угла А образует со стороной ВС угол, равный 41°. Ответ дайте в градусах.

Так как АК биссектриса, то углы ВАК и КАD равны. Обозначим ∠ВАК через х. Поскольку АВСD параллелограмм, то ∠В+∠А=180°. Т.к. АК биссектриса, то ∠А=2х. Тогда ∠В=180°–2х. Рассмотрим ∆АВК:

По теореме о сумме углов треугольника ∠ВАК+∠В+∠ВКА=180° По условию ∠ВКА = 41° Отсюда получаем:

х+ 180°–2х+41⁰=180°

х–2х=180⁰–180⁰–41°

–х=–41°

х=41°

Значит, искомый (острый) ∠А=2·41⁰=82°

Ответ: 82

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1805o Сторона ромба равна 4, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 1. Найдите площадь ромба.Площадь ромба будем искать по формуле:

S=ah,

где a – сторона ромба, h– высота, опущенная на сторону а. По условию а=4. Найдем h. Для этого рассмотрим ∆ОКС и ∆АРС: Здесь ОК || АР, причем ОК проходит через середину АС (т.к. АВСD ромб, то его диагонали в т.О делятся пополам). Значит, ОК – ср.линия ∆АРС. Поэтому АР=2ОК. Т.к. пор условию ОК=1, то АР=2·1=2. Т.о., h=АР=2. Отсюда получаем:

S=4·1=4.

Ответ: 4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1804o Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.Для решения необходимо помнить и знать формулу для вычисления площади трапеции, а это «полусумма оснований умноженная на высоту» Непонятно, зачем нам дана информация о значениях длин отрезков, тем не менее решение выглядит так:

Верхнее основание равно 7
Нижнее основание равно 9 + 12 = 21
Полусумма (21 + 7) / 2 = 14
Высота равна 12

Таким образом, площадь равна 14 • 12 = 168 см²Ответ: 168

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1803o Основания трапеции равны 10 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Средняя линия трапеции является еще и средней линией для треугольников, на которые трапецию поделила её диагональ. Средняя линия треугольника равна половине основания, поэтому отрезки, на которые делит диагональ среднюю линию, будут равны:

10 / 2 = 5

11 / 2 = 5,5

Так как нас просят найти больший из отрезков, то ответ 5,5.

Ответ: 5,5

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1802o В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основаниям равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований, умноженную на высоту. Основания нам известны из условия, необходимо самим найти высоту:

После проведения высоты, у нас получается прямоугольный треугольник. Прямоугольный — потому что высота проводится к основанию под углом 90 градусов. Один из углов равен 45°, значит, и второй тоже, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Следовательно, треугольник равнобедренный.

Проведя еще одну высоту, мы получим прямоугольник в центре, та с противоположной стороной, равной основанию 3.

Так как трапеция равнобедренная, то и треугольники равны, значит оставшаяся длина делится пополам:

( 9 — 3 ) / 2 = 3

А так как треугольники равнобедренные, то и высота равна 3.

Отсюда можем найти площадь:

S = ( a + b ) • h / 2 = ( 3 + 9 ) • 3 / 2 = 18

Ответ: 18

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Задание OM1801o Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 35° и 30°. Найдите меньший угол параллелограмма.

Найдем угол BAD — это сумма углов, на которые диагональ делит этот угол, поэтому:

∠BAD = 35° + 30° = 65°

Вспоминаем, что в параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°.

Значит:

∠ABC = ∠ADC = 180 — 65 = 115°

∠BAD = ∠BCD = 65°

Так как нас просят найти меньший угол, то это 65.

Ответ: 65

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Модуль «Геометрия» (1 часть) — математика, прочее

Укажите номера верных утверждений.

	1)	В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
	2)	В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.
	3)	Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.

Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60° , а расстояние от точки А до точки О равно 6.

Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60° . Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 8.

Лестницу длиной 2 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,2 м?

Точка О – центр окружности, ∠AOB=84° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB (в градусах).

Боковая сторона трапеции равна 3, а один из прилегающих к ней углов равен 30° . Найдите площадь трапеции, если её основания равны 2 и 6.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

	1)	Вокруг любого треугольника можно описать окружность.
	2)	Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.
	3)	Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

	1)	Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
	2)	Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
	3)	Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

	1)	Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
	2)	Диагонали прямоугольника равны.
	3)	У любой трапеции боковые стороны равны.

На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 2 м, если длина его тени равна 1 м, высота фонаря 9 м?

Точка О — центр окружности, ∠BOC=160° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).

Сторона ромба равна 30, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

Сторона ромба равна 32, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

Найдите тангенс угла В треугольника ABC , изображённого на рисунке.

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 25° и 30° . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 75° . Найдите величину угла ODC .

Лестницу длиной 2,5 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 0,7 м?

В треугольнике ABC угол C прямой, BC=6 , sinA=0,6 . Найдите AB.

Укажите номера верных утверждений.

	1)	Диагонали любого прямоугольника равны.
	2)	Если в треугольнике есть один острый угол, то этот треугольник остроугольный.
	3)	Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.

Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50° . Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Укажите номера верных утверждений.

	1)	Существует квадрат, который не является прямоугольником.
	2)	Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.
	3)	Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.

Конец формы

Укажите номера верных утверждений.

	1)	Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.
	2)	Сумма смежных углов равна 180° .
	3)	Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой.

В треугольнике ABC угол C прямой, AC=6 , cosA=0,6 . Найдите AB.

В треугольнике ABC угол C прямой, BC=8 , cosB=0,8 . Найдите AB.

Найдите угол АВС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 20° и 100° соответственно.

Точка О – центр окружности, ∠ACB=24° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB (в градусах).

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

	1)	Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
	2)	Диагонали прямоугольника равны.
	3)	У любой трапеции основания параллельны.

В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45° . Найдите площадь трапеции.

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=38∘. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 7∘. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.

На отрезке AB выбрана точка C так, что AC=80 и BC=2. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

На прямой AB взята точка M. Луч MD – биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC=24∘. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах.

На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,6 м, если длина его тени равна 2 м, высота фонаря 4 м?

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

	1)	Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
	2)	В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
	3)	У равностороннего треугольника есть центр симметрии.

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

	1)	На плоскости существует единственная точка, равноудалённая от концов отрезка.
	2)	В любой треугольник можно вписать окружность.
	3)	Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.

В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, СН — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основание BC равно 6.

Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно. Ответ дайте в градусах.

Центральный угол AOB, равный 60° , опирается на хорду АВ длиной 4. Найдите радиус окружности.

В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

В треугольнике АВС углы А и С равны 20° и 50° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 140°

В треугольнике ABC угол C прямой, BC=4 , sinA=0,8 . Найдите AB.

В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 112∘, угол ABC равен 106∘. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.