2-5x-6=0\) имеет два корня: \(x_1=-1\) и \(x_2=6\). Меньший из корней: \(-1\). Вот его и надо будет записать в ответ. Если бы спрашивали про больший корень, то надо было бы записать \(6\).

Скачать статью

Презентация по математике «Показательная функция» (11-класс)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ НИЖНЕВАРТОВСКИЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ МАТЕМАТИКА ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2 Определение. показателе степени, называется показательным.  Уравнение,   содержащее   неизвестное   в Помни!   При   решении   показательных   уравнений   часто используются: 1. Теорема: если а > 0;, а   1 и а 1х =а 2х , то х1 = х2. 2. Свойства степени. Рассмотрим основные типы показательных уравнений и методы их решения. 1. Простейшее показательное уравнение вида             ах =в,    где а > 0; в >0, а   1, имеет решение                х = log a в. Пример 1. Решите уравнение     2 х = 3.                       Решение.             х =  log 2 3.                        Ответ: log 2 3 2. Для решения уравнений вида:      а f(x) = в,   где а > 0; в >0, а   1, нужно представить основания а  и   в в виде степени одного и того же числа, после чего сравнить показатели. Пример 2. Решите уравнение  5 2 х + 4  = 25.                     Решение.                 5 2 х + 4  = 5 2                                                       2х + 4 = 2                                                        2х  =  2 ­ 4           2х = ­ 2            х = ­ 2 : 2 3 Ответ: ­ 1.           х = ­ 1. 3. Показательное уравнение вида                а f(x) = a (x) , а > 0, a  1 решается путём логарифмирования обеих частей уравнения по основанию а. Равносильное ему уравнение                       f (x) = (x). Пример 3. Решите уравнение    6 2 х – 8 =  216 х .                      Решение.                  6 2 х – 8 = 6 3х,    т.к. 216 = 6 3 =                                                            2 х – 8 = 3 х                    2 х – 3 х = 8  666             ­ х = 8                  х  = 8 : (­1)               х = ­ 8                           Ответ: ­ 8.

Пример   4.  (ЕГЭ) принадлежит корень уравнения   1).  (­ 1; 1 ];       3).   (­ 3;  ­ 1 ]; 2).  (1; 10 ];       4).  (16;  20 ].  Укажите   промежуток, . 16  1,0 х 1    1 32      которому Решение. Представим числа  и 16 в виде степени числа 2: 1 32 5     2 1 5 2     и  16 = 2 4. 1 32 Получим уравнение, равносильное данному:      (2 – 5) 0,1 х – 1 = 2 4 , т.е.       2 – 5 ( 0,1 х – 1 ) = 2 4.  Такое уравнение равносильно уравнению         ­ 5 (0,1 х – 1) = 4          ­ 0,5 х + 5 = 4  4 ­ 0,5 х = 4 – 5             ­ 0,5 х = ­ 1                 х  = ­ 1 : ( ­ 0,5 )                     х = 2. Число   2   содержится   в   промежутке   (1;10],   указанном   в   качестве одного из вариантов ответов. Следовательно, верный   о т в е т 2. . Пример 4.  (ЕГЭ)  Найдите сумму квадратов корней уравнения 3  х  2 ­  5 = 9 – 2 х  1) 26         2) 25         3) 17          4) 13.     Решение. Используя свойства степеней, преобразуем  правую часть уравнения:                                9 – 2х  = (3 2 ) – 2х = 3 – 4х. Данное уравнение примет вид:                                  3  х  2 ­  5 = 3 – 4. Из   свойств   монотонности   показательной   функции   следует,   что показательное уравнение равносильно уравнению                                   х 2 – 5 = ­ 4 х. Решим квадратное уравнение      х 2 + 4 х – 5 = 0     D = b2 – 4 a c X 1,2=       D = 4 2 ­ 4 корня. )5(1  = 16 + 20 = 36 > 0, и уравнение имеет два                      Х 1 =  36 4   12   64 2  2  1 2  4   12 36    64 2   10 2                      Х 2 =  Так как квадратное уравнение равносильно исходному уравнению, полученные   корни   являются   корнями   и   данного   уравнения. 5  .5 Впрочем, можно проверить и непосредственной подстановкой, что числа – 5 и 1 являются корнями данного уравнения. Таким образом, сумма квадратов корней уравнения  3  х  2 ­  5 = 9 – 2 х   равна  (­ 5)2  + 1 2 = 25 + 1 = 26. Номер верного ответа – 1.  4. Уравнение вида   а0 а 2 х + а1 ах + а2 = 0.  Это уравнение называется трёхчленным показательным уравнением.
  Подстановка   а х  = у  обращает его в обычное квадратное уравнение  а0 у 2х + а1 у + а2 = 0. Решив его, найдём корни у1 и у 2.  После  этого решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений    а х  = у 1 ,  а х  = у2  .Последние уравнения имеют решение при  у 1 > 0  и y 2 > 0 . Пример 5. Решить уравнение   2 2 х  ­ 2 х  ­ 2 = 0. Решение. Пусть 2 х  = у , тогда уравнение примет вид               у 2  –  у  – 2 = 0                                                                                D = ( ­ 1 ) 2 – 4 1 (– 2) = 9 > 0, 2 корня У 1 =  У 2 =  1  2 1  2 9    1   31 9 =   2  2 2 2 а) 2 х = 2;               б) 2 х = ­ 1, нет решения, т.к. – 1 < 0.     2 х = 2 1        х = 1 Ответ: 1. Пример 6. Решить уравнение    9 х  ­ 3 х – 6 = 0 6 Решение. Первый член уравнения можно представить в виде  9 х = 3 2х = (3 х) 2. Тогда исходное уравнение примет вид  ( 3 х )2 – 3 х – 6 = 0. Обозначим  3 х = у , тогда имеем  у 2 – у – 6 = 0 1  6141 У 1,2 =  ;   У 1 = 3; У 2 = ­ 2.   51 2 2 А) 3 х = 3          б) 3 х = ­ 2 – нет решения, т.к. – 2 < 0.       Х = 1 Ответ : 1. 5. Уравнение вида 0kmx + а1а  а0 a  1kmx + … + аn a nkmx = М Это   уравнение   решается   путём   вынесения   общего   множителя   за скобки. Пример 7. Решить уравнение                  2 х + 1  +  3 2 х ­ 1 – 5 2 х  + 6 = 0              Решение. Вынесем за скобки общий множитель 2 х ­ 1 , получим  2 х ­ 1 ( 2 2  + 3 – 5 2 ) = ­ 6 2 х – 1 (­ 3) = ­ 6 2 х ­1 = ­ 6 : ( ­ 3 ) 2 х ­ 1 = 2 х – 1 = 1 х = 2 Ответ: 2            6. Уравнение   вида   а  f  (x)=  1,  где  f  (x)   –   выражение, содержащее неизвестное число; а > 0; , а   1. Для решения таких уравнений надо:  заменить 1 = а 0; а f (x)=а 0; 1. 2. решить уравнение   f (x)= 0 Пример 8.  Решить уравнение   72  х х 2  12 1 7  х 7 2 2 х Решение.   По определению степени с нулевым показателем имеем:                    х 2 – 7 х + 12 = 0 , (т.к. 1 = 2 0)   12 2 0 D = b2 – 4 a c X 1,2=      Решая квадратное уравнение, получим, х 1 = 3, х 2  = 4.
Ответ: 3; 4.                                           7. Уравнение вида а0 а х+ а1а 2 х  в  2 х + а 2в х= 0. Это уравнение приводится к трёхчленному показательному  уравнению путём деления обеих его частей на а х  или в х. Пример 9. Решить уравнение 9 х  + 6 х = 2 2х +1  х Решение. Перепишем уравнение в виде 3 2 х  + 2 х 3 х – 2 2 2 х = 0.  разделив обе части уравнения на 2 2х   0 , получим 3 2      2    у 2 + у – 2 = 0 .  Решая квадратное уравнение получим  у 1= ­ 2, у 2 = 1. х    х     Пусть  тогда уравнение примет вид 3 2 3 2    .0 2 у , = ­ 2  ­ нет решения, т.к. – 2 < 0 х а)  б)            3  2   3  1 2    3 3  2 2               х = 0.       0    х х 8 Ответ: 0 I. Решить уравнения:  Задачи.  1. 2 Х  =  32. 1 Х   8  . 2.    1 2 3. 4 3  –  2 Х = 4 2 – Х . 4. 2 5 Х + 1 = 4 2 Х . 5. 2*2 2Х – 3*2 Х – 2 = 0. 6. 2*9 Х – 3 Х + 1 – 9 = 0. 7. 2 Х – 2 = 1. 8. 3 Х + 2 – 3 Х = 72. 9. 3*25 Х – 14*5 Х – 5 = 0. 10. 2 2Х+ 3 – 15*2 Х – 2 = 0. 11. 5 3 Х – 1 = 0,2. 12.  Х    1 2   2   .28 13. 6 2Х – 8 = 216. 14.    2 3 15. 2 Х        8 Х  1 = 1,5 2Х – 3. Х 3 2    =  1 9 9 . 81,0 16. 0,3 Х  3 Х =  3 17. 3 Х – 3 Х + 3 = ­ 78. 1 5   3  18. 1 3       +     5 Х  1 Х 4 9 . 19. 2*4 Х – 5* 2 Х + 2 = 0. 20. 3  Х    4 9    + 7  Х    2 3     6 .0 21. 4 х – 1 = 1 22. 0,3 3 х – 2 = 1 23. 2 2 х = 2  34  2 1 3    3 х    1 3 24.      1 3 26. 400 х =  25. 27 х =  1 20    х  1  5  25 27. х    28.  1  1 3 81  29. 3*9 х = 81 30. 2*4 х = 64 31. 0,5 х + 7 0,5 1 – 2х = 2 х 2 32. 0,6 х 0,6 3 =  6,0 6,0 х2    1 6 5   33. 6 3х  1 6   6  34. 3 2 х – 1 + 3 2 х = 108 35. 2 х + 1 + 2 х – 1+ 2 х = 28 36. 2 3х + 2 – 2 3 х – 2 = 30 37. 3 х – 1 – 3 х + 3 х + 1 = 63 38. 3 х х  = 1 12 2 10 10  = 1  х 72  39. 2 х  40. 7 х – 7 х – 1= 6 41. 5 3х + 3*5 3х – 2  = 140 42. 3 2у ­  1 + 3 2 у – 2  ­ 3 2 у ­ 4= 315 43. 2 х + 1 + 3*2  х – 1 – 5*2 х + 6 = 0 44. 9 х – 4*3 х  + 3 = 0 45.
16 х – 17*4 х + 16 = 0 46. 25 х  ­ 6*5 х + 5 = 0 47. 64 х ­   8 х­ 56 = 0 48. 8*4 х – 6*2 х + 1= 0 49.    1 4 х      1 2 х   0  6 50. 13 2 х + 1 – 13 х – 12 = 0 II.  (ЕГЭ) Укажите какому промежутку принадлежит корень  уравнения : 1. 3 4х+5 = 81 1) ( ­ 1;0 ]              2) ( 0 ; 3]          3) ( 3; 4]             4) (4; +  )  2.    4 5х – 8= 64 1) ( ­  3; ]         2) ( ­ 3; ­ 2]         3) ( ­ 2; 0]            4) ( 0; 3 ] 3. 6 3 х + 5 = 36 1)  ( ­  8; ]       2) ( ­ 8; 0]            3) ( 0; 20 )        4) [ 20; +  ) 4. 2 5 – 3х  = 16 1) ( ­ 3; ­ 1)           2)  [ ­ 1; 0)           3) ( 0; 1)           4) [ 1 ; 3) 5. 2 5х – 6 = 8 1) ( ­ 3; ­ 1)          2) [ ­ 1;0 )            3) (0; 1 ]         4) ( 1; 3)   6. 6 10 х – 1  = 36 1) (– 4;  ­ 1)          2) [ ­ 1; 0)           3) ( 0; 1)          4) [ 1; 4) 11 7.5 2х – 2,3 = 125  1) [ 0 ; 1 )            2)  [ 1; 2 )          3) [ 2; 10)        4) [ 10;  +   )   8.  3 4 х + 1 = 9 1) [ ­ 2; 0]          2) ( 0; 1 )           3) [1; 3]             4) [ 4; 6 ] 9.  2 2х + 3 = 8 1) [ ­ 1; 1 ]        2) ( 1; 2)            3) [ 2; 4 )            4) [ 4; 6 ] 10.  5  2х + 1 = 125 1) [ ­2; 0 ]         2) (0; 2 )             3) [3; 4]               4) [4; 6 ] 11.  2 5 х + 1 = 4 1) [ ­ 4; ­ 2 ]       2) [ ­ 2; ­ 1 ]       3) [ ­ 1; 1 ]          4) [ 1; 4 ] 12.   5 х + 3 =125 1) [ ­ 6; ­ 4 ]      2) [ ­ 4; ­ 3 ]        3) [ ­ 3; 1 ]           4) [1; 3] 13.   6 2 х + 2  =216 1) [ 0; 1]            2) [ 1; 3 ]             3) [­ 2; 0 ]           4) [ 4; 6 ] 14.   72х+2 = 343 1)   [­ 4; ­ 3 ]         2) [­3; ­ 2]        3) [ ­ 2; 0 ]          4) [ 0; 2 ] 15.   3 3х+3 = 9    1) [ ­ 1; 1 ]          2) [1; 2 ]           3) [2; 4 ]             4) [ 4; 5 ] 16.    2 3х+1 = 8   1) [ ­ 6; ­ 4 ]         2)  [ ­ 4; ­ 2 ]        3) [ ­ 2; 2 ]       4) [ 2; 4 ] 17.  4 х + 6 = 16 1) [ ­ 7 ;  ­ 5 ]        2)  [ ­ 5; ­ 3 ]        3)  [ ­ 3; 0 ]       4) [ 0; 6 ] 12 18. 0,1 2х = 100 3х+1 1) [­  ; 0]              2) [ 1 2       19. 0,2 х – 0,5  = 0,04 х – 1 1) [ ­ 1  1 2 ; 0]       2) [1  1 2 1 2 ; 1]            3) ( ­ 1; ­ 0,5)      4) ( 0,5; 1) ; 2]            3) ( ­ 1; 0 )            4) (1,5 ; 3) 20.
  0,008 х = 5 1 – 2 х 1.  1 ) 5,1;1              2)  8;0                3) ( ­ 1;  ­ 0,5)       4) ( 0,5;  III. Найдите сумму квадратов корней уравнения 1. х 2    1 2     = 2 – 3х 1) 9                    2)  0                   3) 4                  4)  1 4   2.    1 27 2 х   33  х 1) 9       2)  1       3) 8               4)  1 9  0,2 ­  2х = 0,04 х – 1,5 3. 1) 10         2)  4            3)  8        4) 0,04 4. 2  1)  10         2) 13          3)  37          4) 0,25 = 0,5 6 – 3х 22  х х 5. 0,2  х 22  х =  х04,0 1 5 1) 0           2) 2             3)  1             4) 0,25 6.  3  1)  26          2)  25        3) 17           4) 13 = 9 – 2 х 2 х 5 13 7.     1 2 2 х   32  х  1)  9                  2)  0                 3) 4               4)  8.  2    1 х   27  = 3 – 3х 1)  9                  2)  1                 3) 8                 4)  1 4 1 9 Ответы  I. Решить уравнения  № 1 Ответ 5 2 ­3 13 14 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 1 ­1 1 1 2 2 1 1 15 5,5 5,5 0,2 ­2 0 № 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Ответ 2 1 3 2 5 0; log 5,12 № 27 28 29 30 Ответ ­ 2 4 1.5 2.5 1 1 2 3 2 3   ­  2 3 31 9 32 33 34 35 8 0,4 2 3 36 1 37 3 38 ­4; 39 2,5 40 1 41 1 42 3 43 2 44 1;  45 0;  46 1;  47 1 № Отве 14 т 3 0 2 0 № Ответ 48 ­ 1;­ 2 49 ­ 1 50 0 II.  (ЕГЭ) Укажите какому промежутку принадлежит корень  уравнения  1 1 11 3 2 4 12 3 3 2 13 1 № Отве т № Отве т  4 3 5 4 6 3 7 3 8 2 9 1 14 4 15 1 16 3 17 2 18 1 19 2 10 2 20 1 III. Найдите сумму квадратов корней уравнения 1 1 № Отве т 2 2 3 1 4 2 5 2 6 1 7 1 8 2 15 Литература 1. Математика в таблицах и схемах. Для школьников и  2. абитуриентов. СПб, ООО «Виктория плюс», 2004,  224 с.  Математика. Контрольные измерительные материалы  единого государственного экзамена в 2004 г. М.: Центр  тестирования Минобразования России, 2004. 3. Система тренировочных задач и упражнений по  математике/ А.Я. Симонов, Д.С. Бакаев, А.Г. Эпельман и др. – М.: Просвещение, 1991. – 208 с. 4. Готовимся к единому государственному экзамену.  Математика/ Л. О. Денищева, Е. М. Бойченко, Ю.А.  16 Глазков и др. – 2 –е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004.­  120 с. 5. Лаппо Л.Д., Попов М.А. Математика. Типовые тестовые  задания: Учебно – практическое пособие / Л.Д  Лаппо ,  М.А. Попов. – М.: Издательство «Экзамен», 2004 – 48 с. 6. Единый государственный экзамен: математика: 2004 –  2005: Контрол. измерит. материалы / Л. О. Денищева,  Г.К. Безрукова, Е.М. Бойченко и др.; под ред. Г.С.  Ковалёвой; М – во образования и науки Рос. Федерации,  Федерал. служба по надзору в сфере образования и  науки. – М. : Просвещение, 2005. – 80 с. 7. Математика. Тренировочные тесты ЕГЭ 2004 – 2005 /  Т.А. Корешкова, В.В. Мирошин, Н.В. Шевелёва. – М.6  Изд – во Эксмо, 2005.­ 80 с. (Подготовка к ЕГЭ) 17

Задание №5. Простейшие уравнения. Профильный ЕГЭ по математике

В задании №5 варианта ЕГЭ вам встретятся всевозможные уравнения: квадратные и сводящиеся к квадратным, дробно-рациональные, иррациональные, степенные, показательные и логарифмические и даже тригонометрические. Видите, как много нужно знать, чтобы справиться с заданием! И еще ловушки и «подводные камни», которые ждут вас в самом неожиданном месте.

Вот список тем, которые стоит повторить:

Квадратные уравнения

Арифметический квадратный корень

Корни и степени

Показательная функция

Показательные уравнения

Логарифмическая функция

Логарифмические уравнения

Тригонометрический круг

Формулы приведения

Формулы тригонометрии

Простейшие тригонометрические уравнения 1

Уравнения, сводящиеся к квадратным

1. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Кажется, что уравнение очень простое. Но иногда здесь ошибаются даже отличники. А вот шестиклассник бы не ошибся.

С левой частью уравнения все понятно. Дробь умножается на А в правой части — смешанное число Его целая часть равна 19, а дробная часть равна Запишем это число в виде неправильной дроби:

Получим:

или

Выбираем меньший корень.

Ответ: — 6,5.

2. Решите уравнение

Возведем в квадрат левую часть уравнения. Получим:

Ответ: — 6

Дробно-рациональные уравнения

3. Найдите корень уравнения

Перенесем единицу в левую часть уравнения. Представим 1 как и приведем дроби к общему знаменателю:

Это довольно простой тип уравнений. Главное — внимательность.

Иррациональные уравнения

Так называются уравнения, содержащие знак корня — квадратного, кубического или n-ной степени.

4. Решите уравнение:

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не равен нулю.

Значит, .

Возведём обе части уравнения в квадрат:

Решим пропорцию:

Условие  при этом выполняется.

Ответ: 87.

5. Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

А в этом уравнении есть ловушка. Решите его самостоятельно и после этого читайте дальше.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень — величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

Решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов:

Мы получили, что . Это единственный корень уравнения.

Типичная ошибка в решении этого уравнения такая. Учащиеся честно пишут ОДЗ, помня, что выражение под корнем должно быть неотрицательно:

Возводят обе части уравнения в квадрат. Получают квадратное уравнение: Находят его корни: или Пишут в ответ: -9 (как меньший из корней). В итоге ноль баллов.

Теперь вы знаете, в чем дело. Конечно же, число -9 корнем этого уравнения быть не может.

6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Ответ: 9.

Показательные уравнения

При решении показательных уравнений мы пользуемся свойством монотонности показательной функции.

7. Решите уравнение

Вспомним, что Уравнение приобретает вид: Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

откуда

8. Решите уравнение

Представим как

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает только один раз. Степени равны, их основания, значит, и показатели равны.

Ответ: 7,5.

9. Решите уравнение

Представим в виде степени с основанием 3 и воспользуемся тем, что


Логарифмические уравнения

Решая логарифмические уравнения, мы также пользуемся монотонностью логарифмической функции: каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, значит, равны и сами числа.

И конечно, помним про область допустимых значений логарифма:

Логарифмы определены только для положительных чисел;

Основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

10. Решите уравнение:

Область допустимых значений: . Значит, 

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом 



Ответ: 21.

11. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

Ответ: -4.

12. Решите уравнение:

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Записываем решение как цепочку равносильных переходов.

Ответ: 19.

13. Решите уравнение. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

В этом уравнении тоже есть ловушка. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно единице.

Получим систему:

Первое уравнение мы получили просто из определения логарифма.

Квадратное уравнение имеет два корня: и

Очевидно, корень является посторонним, поскольку основание логарифма должно быть положительным. Значит, единственный корень уравнения:

Тригонометрические уравнения (Часть 1 ЕГЭ по математике)

Тригонометрические уравнения? В первой части вариантов ЕГЭ? — Да. Причем это задание не проще, чем задача 13 из второй части варианта Профильного ЕГЭ.

14. Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Типичная ошибка — решать это уравнение в уме. Мы не будем так делать! Несмотря на то, что это задание включено в первую части варианта ЕГЭ, оно является полноценным тригонометрическим уравнением, причем с отбором решений.

Сделаем замену Получим:

Получаем решения: Вернемся к переменной x.

Поделим обе части уравнения на и умножим на 4.

Первой серии принадлежат решения

Вторая серия включает решения

Наибольший отрицательный корень — тот из отрицательных, который ближе всех к нулю. Это

Ответ: -2.

15. Решите уравнение В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решение:

Сделаем замену Получим: Решения этого уравнения:

Вернемся к переменной х:

Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на

Выпишем несколько решений уравнения и выберем наименьший положительный корень:

Наименьший положительный корень

Ответ: 2

Мы разобрали основные типы уравнений, встречающихся в задании №5 Профильного ЕГЭ по математике. Конечно, это не все, и видов уравнений в этой задаче существует намного больше. Успеха вам в подготовке к ЕГЭ!

{i \ dfrac {2 \ pi (1 + k)} {n}} = \ cos \ left (\ dfrac {2 \ pi (1 + k)} {n} \ right) + i \ sin \ left (\ dfrac {2 \ pi (1 + k)} {n} \ right), \ qquad k = 0,1, \ ldots, n-1, $$

, где $ n $ — целое положительное, нечетное или четное число.

См. Комментарий Джерри Майерсона, показывающий, как группа Галуа для неприводимой квартики определяет, работает ли метод, представленный ниже.

Хотя я и поздно представил другое алгебраическое решение, менее элегантное, но более «автоматическое» в том смысле, что никакой хитрый трюк не требуется.[ Редактировать в ответ на комментарий Джерри Майерсона] Мы собираемся разложить его на два фактора, один из которых является линейным, а другой — квадратичным. Этот метод работает для полиномов пятой степени, если мы можем найти одно решение и решить фактор квадратичного полинома. Если это не удается, в принципе мы можем решить квадратный многочлен с помощью резольвентного кубического уравнения (также в этом посте на португальском языке) [ конец редактирования ]. Для общего полинома 7-й степени или выше это не применимо, потому что это зависит от нахождения одного корня путем проверки (или численно), а остальные — алгебраически.{2} + \ left (bC + cB \ right) x + cC, $$

коэффициенты должны удовлетворять

$$ \ left \ { \ begin {array} {c} В + Ь = 1 \\ С + ЬБ + с = 1 \\ bC + cB = 1 \\ cC = 1% \ end {массив}% \Правильно. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin {array} {c} В = 1-б \\ 1 / c + b \ left (1-b \ right) + c = 1 \\ б / с + с \ влево (1-б \ вправо) = 1 \\ С = 1 / с% \ end {массив}% \Правильно.

$

Одно из решений $ b / c + c \ left (1-b \ right) = 1 $ — $ c = 1 $. По заменой находим оставшиеся коэффициенты:

$$ \ left \ { \ begin {array} {c} B = \ frac {1} {2} \ mp \ frac {1} {2} \ sqrt {5} \\ b = \ frac {1} {2} \ pm \ frac {1} {2} \ sqrt {5} \\ с = 1 \\ С = 1% \ end {массив}% \Правильно. {5} -1 $ являются корнями этих трех факторов. Они равны, соответственно, $ x_1 = 1 $ и

$$ x_ {2,3} = — \ frac {1} {4} — \ frac {1} {4} \ sqrt {5} \ pm \ frac {1} {4} \ sqrt {-10 + 2 \ sqrt {5}}, \ quad x_ {4,5} = — \ frac {1} {4} + \ frac {1} {4} \ sqrt {5} \ pm \ frac {1} {4} \ sqrt {-10-2 \ sqrt {5}}. $$

Решение кубических уравнений — методы и примеры

Решение полиномиальных уравнений высшего порядка — важный навык для любого, кто изучает естественные науки и математику. Однако понять, как решать такие уравнения, довольно сложно.

В этой статье будет обсуждаться, как решать кубические уравнения, используя различные методы, такие как метод деления, теорема о множителях и разложение на множители по группировке.

Но прежде чем перейти к этой теме, давайте обсудим , что такое полиномиальное и кубическое уравнение.

Многочлен — это алгебраическое выражение с одним или несколькими членами, в которых знак сложения или вычитания разделяет константу и переменную.

Общая форма многочлена: ax n + bx n-1 + cx n-2 +….+ kx + l, где каждая переменная сопровождается константой в качестве коэффициента. Различные типы полиномов включают в себя; двучлены, трехчлены и четырехчлены. Примеры полиномов: 3x + 1, x 2 + 5xy — ax — 2ay, 6x 2 + 3x + 2x + 1 и т. Д.

Кубическое уравнение — это алгебраическое уравнение третьей степени.
Общий вид кубической функции: f (x) = ax 3 + bx 2 + cx 1 + d. Кубическое уравнение имеет вид ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, где a, b и c — коэффициенты, а d — постоянная.

Как решать кубические уравнения?

Традиционный способ решения кубического уравнения — свести его к квадратному уравнению, а затем решить его либо факторизацией, либо квадратной формулой.

Подобно тому, как квадратное уравнение имеет два действительных корня , кубическое уравнение может иметь три действительных корня. Но в отличие от квадратного уравнения, которое может не иметь реального решения, кубическое уравнение имеет по крайней мере один действительный корень.

Два других корня могут быть действительными или мнимыми.

Всякий раз, когда вам задают кубическое уравнение или какое-либо уравнение, вы всегда должны сначала преобразовать его в стандартную форму.

Например, если вам дано что-то вроде этого, 3x 2 + x — 3 = 2 / x, вы перегруппируете его в стандартную форму и запишете это как, 3x 3 + x 2 — 3x — 2 = 0. Тогда вы можете решить это любым подходящим методом.

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже для лучшего понимания:

Пример 1

Определите корни кубического уравнения 2x 3 + 3x 2 — 11x — 6 = 0

Решение

Поскольку d = 6, то возможными множителями являются 1, 2, 3 и 6.

Теперь примените теорему о факторах, чтобы проверить возможные значения методом проб и ошибок.

f (1) = 2 + 3 — 11 — 6 ≠ 0
f (–1) = –2 + 3 + 11 — 6 ≠ 0
f (2) = 16 + 12 — 22 — 6 = 0

Следовательно, x = 2 — первый корень.

Остальные корни уравнения можно получить, используя метод синтетического деления.
= (x — 2) (ax 2 + bx + c)
= (x — 2) (2x 2 + bx + 3)
= (x — 2) (2x 2 + 7x + 3 )
= (x — 2) (2x + 1) (x +3)

Следовательно, решения следующие: x = 2, x = -1/2 и x = -3.

Пример 2

Найдите корни кубического уравнения x 3 — 6x 2 + 11x — 6 = 0

Решение

x 3 — 6x 2 + 11x — 6

(x — 1) — один из факторов.

Разделив x 3 — 6x 2 + 11x — 6 на (x — 1),

⟹ (x — 1) (x 2 — 5x + 6) = 0

⟹ (x — 1) (x — 2) (x — 3) = 0

Это решение кубического уравнения: x = 1, x = 2 и x = 3.

Пример 3

Решить x 3 — 2x 2 — x + 2

Решение

Разложите уравнение на множители.

x 3 — 2x 2 — x + 2 = x 2 (x — 2) — (x — 2)

= (x 2 — 1) (x — 2)

= (x + 1) (x — 1) (x — 2)

x = 1, -1 и 2.

Пример 4

Решите кубическое уравнение x 3 — 23x 2 + 142x — 120

Решение

Сначала разложите полином на множители.

x 3 — 23x 2 + 142x — 120 = (x — 1) (x 2 — 22x + 120)

Но x 2 — 22x + 120 = x 2 — 12x — 10x + 120

= x (x — 12) — 10 (x — 12)
= (x — 12) (x — 10)

Следовательно, x 3 — 23x 2 + 142x — 120 = ( x — 1) (x — 10) (x — 12)

Приравнять каждый множитель к нулю.

x — 1 = 0

x = 1

x — 10 = 10

x — 12 = 0

x = 12

Корни уравнения — x = 1, 10 и 12.

Пример 5

Решите кубическое уравнение x 3 — 6 x 2 + 11x — 6 = 0.

Решение

Чтобы решить эту задачу методом деления, возьмите любой множитель постоянная 6;

let x = 2

Разделите многочлен на x-2 до

(x 2 — 4x + 3) = 0.

Теперь решите квадратное уравнение (x 2 — 4x + 3) = 0 чтобы получить x = 1 или x = 3

Следовательно, решения следующие: x = 2, x = 1 и x = 3.

Пример 6

Решите кубическое уравнение x 3 — 7x 2 + 4x + 12 = 0

Решение

Пусть f (x) = x 3 — 7x 2 + 4x + 12

Поскольку d = 12, возможные значения — 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

Методом проб и ошибок мы находим, что f (–1) = –1 — 7 — 4 + 12 = 0

Итак, (x + 1) является множителем функции.

x 3 — 7x 2 + 4x + 12
= (x + 1) (x 2 — 8x + 12)
= (x + 1) (x — 2) (x — 6)

Следовательно, x = –1, 2, 6

Пример 7

Решите следующее кубическое уравнение:

x 3 + 3x 2 + x + 3 = 0.

Решение

x 3 + 3x 2 + x + 3
= (x 3 + 3x 2 ) + (x + 3)
= x 2 (x + 3) + 1 (x + 3)
= (x + 3) (x 2 + 1)

Следовательно, x = -1, 1-3.

Пример 8

Решить x 3 — 6x 2 + 11x — 6 = 0

Решение

Разложить на множители

x 3 — 6x 2 + 11x — 6 = 0 ⟹ (x — 1) (x — 2) (x — 3) = 0

Приравнивание каждого множителя к нулю дает;

x = 1, x = 2 и x = 3

Пример 9

Решить x 3 — 4x 2 — 9x + 36 = 0

Решение

Разложите каждый набор два срока.

x 2 (x — 4) — 9 (x — 4) = 0

Извлеките общий множитель (x — 4), чтобы получить

(x 2 — 9) (x — 4) = 0

Теперь разложите разность двух квадратов на множители

(x + 3) (x — 3) (x — 4) = 0

Приравнивая каждый множитель к нулю, мы получаем;

x = −3, 3 или 4

Пример 10

Решите уравнение 3x 3 −16x 2 + 23x — 6 = 0

Решение

Divide 3x 3 −16x 2 + 23x — 6 на x -2, чтобы получить 3x 2 — 1x — 9x + 3

= x (3x — 1) — 3 (3x — 1)

= (x — 3) ( 3x — 1)

Следовательно, 3x 3 −16x 2 + 23x — 6 = (x- 2) (x — 3) (3x — 1)

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы получить,

x = 2, 3 и 1/3

Пример 11

Найдите корни 3x 3 — 3x 2 — 90x = 0

Решение

разложите на множители 3x

3x 3 — 3x 2 — 90x ⟹3x (x 2 — x — 30)

Найдите пару множителей, произведение которых равно −30, а сумма равна −1.

⟹- 6 * 5 = -30

⟹ −6 + 5 = -1

Перепишите уравнение, заменив член «bx» на выбранные множители.

⟹ 3x [(x 2 — 6x) + (5x — 30)]

Разложите уравнение на множители;

⟹ 3x [(x (x — 6) + 5 (x — 6)]

= 3x (x — 6) (x + 5)

Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем:

x = 0, 6, -5

Решение кубических уравнений с помощью графического метода

Если вы не можете решить кубическое уравнение ни одним из вышеперечисленных методов, вы можете решить его графическим способом.Для этого вам необходимо иметь точный набросок данного кубического уравнения.

Точка (точки), где его график пересекает ось x, является решением уравнения. Количество реальных решений кубических уравнений равно количеству пересечений его графиком оси абсцисс.

Пример 12

Найдите корни x 3 + 5x 2 + 2x — 8 = 0 графически.

Решение

Просто нарисуйте график следующей функции, подставив случайные значения x:

f (x) = x 3 + 5x 2 + 2x — 8

. График отсекает ось абсцисс в 3 точках, следовательно, существует 3 реальных решения.

На графике решения следующие:

x = 1, x = -2 & x = -4.

Практические вопросы

Решите следующие кубические уравнения:

  1. x 3 — 4x 2 — 6x + 5 = 0
  2. 2x 3 — 3x 2 — 4x — 35 = 0
  3. x 3 — 3x 2 — x + 1 = 0
  4. x 3 + 3x 2 — 6x — 8 = 0
  5. x 3 + 4x 2 + 7x + 6 = 0
  6. 2x 3 + 9x 2 + 3x — 4 = 0
  7. x 3 + 9x 2 + 26x + 24 = 0
  8. x 3 — 6x 2 — 6x — 7 = 0
  9. x 3 — 7x — 6 = 0
  10. x 3 — 5x 2 — 2x + 24 = 0
  11. 2x 3 + 3x 2 + 8x + 12 = 0
  12. 5x 3 — 2x 2 + 5x — 2 = 0
  13. 4x 3 + x 2 — 4x — 1 = 0
  14. 5x 3 — 2x 2 + 5x — 2 = 0
  15. 4x 3 900 72 — 3x 2 + 20x — 15 = 0
  16. 3x 3 + 2x 2 — 12x — 8 = 0
  17. x 3 + 8 = 0
  18. 2x 3 — x 2 + 2x — 1 = 0
  19. 3x 3 — 6x 2 + 2x — 4 = 0
  20. 3x 3 + 5x 2 — 3x — 5 = 0
Предыдущий урок | Главная страница | Следующее занятие

プ ラ ダ ア ウ ト レ ッ ト PRADA (ВЫХОД) 2VD166-О ナ イ ロ ン 斜 め 掛 け シ ョ ル ダ ー バ ッ グ メ ッ セ ン ジ ャ ー バ ッ グ ア ウ ト レ ッ ト 2VD166-О バ ッ グ 2E9S F0002 НЕРОН ブ ラ ッ ク メ ン ズ: триколор [ト リ コ ロ ー レ] 【※】 送 料 無 料 【ラ ッ ピ ン グ 無 料】

大好 き！ ア イ ラ ブ サ ス！ こ の ブ ロ 科学 の を な べ わ か り や ン ト し ま。
職場 の 薬 品 棚 に は, 古 く て い つ か ら あ る の か わ か ら な い 薬 品 が た く さ ん 置 い て あ る. 名 前 も 聞 い た こ と の な い も の も あ る. 何 か の 実 験 に 使 っ た の だ ろ う. し か し 最近 は 使 わ れ て い な い よ うだ。

は そ ん な 薬 的 の 中 か ら 「サ ッ カ ロ ー ス つ い て 調 べ る。

「サ ッ カ ロ ー ス」 と い う と? の 人 も 「シ ョ 糖」 と い う と わ か る の で は な い だ ろ う か? 「シ ョ 糖」 と い っ て わ か ら な い 人 も 「砂糖」 と い う と わ か る だ ろ う. 砂糖 の 主 成分 が シ ョ 糖 であ る。 シ ョ 糖 （蔗糖 、 し ょ と う） は 代表 的 な 二 糖類 一 、 単 糖 で あ る ー ス （ブ ド ウ）

シ ョ 糖 は 脳 が 疲 れ た と き に よ い と い わ れ る. こ れ は 生物 体内 で す ぐ 分解 さ れ て 生 じ る ブ ド ウ 糖 が, 脳 活動 の エ ネ ル ギ ー 源 と し て す ぐ に 供給 さ れ る た め で あ る. シ ョ 糖 を 酵素 的 に 分解 して で き る 果糖 と ぶ ど う 糖 の （転 化 糖） は 、 砂糖 よ 甘 み の 強 い 甘味 料 と て 使 わ れ る。

デ ザ ー ト や お 菓子 に 人 気 の キ ャ ラ メ ル 味. こ れ は カ ラ メ ル と も い う が, 「カ ル メ 焼 き」 と い う お 菓子 に も 使 わ れ て い て, 理科 の 実 験 と し て も よ く 出 て く る. 他 に は コ ー ラ の よ う な 飲料 の 風味付 け や プ リ ン の シ に も 使用 さ れ る。 ま た も。 着色 料 メ

キ ャ ラ メ ル は 砂糖 を 170 度 ま ゆ っ く り と 加熱 す。 砂糖 が 溶 け 近 づ く と 子 が.

サ ッ カ ロ ー ス と は 何 か？

サ ッ カ ロ ー ス は ス ク ロ ー ス (сахароза) や シ ョ 糖 (蔗糖, し ょ と う) と も 言 わ れ る 代表 的 な 二 糖 の 一 つ で, 単 糖 で あ る グ ル コ ー ス (ブ ド ウ 糖) と フ ル ク ト ー ス (果糖) か ら 構成 さ れ て い る. 実 験は c12h32o11。 式 量 は 342.30.

ス ク ロ ー ス は, グ ル コ ー ス と フ ル ク ト ー ス が グ リ コ シ ド 結合 し た 二 糖類 で あ る. グ ル コ ー ス の ア ル デ ヒ ド 基 と フ ル ク ト ー ス の ケ ト ン 基 が 共 に グ リ コ シ ド 結合 の た め 酸化 さ れ ず, 糖類 で は 例外 的 に 還 元 性 を 持 た な い.

ス ク ロ ー ス は, 共有 結合 性 化合物 で あ る. 一般 に は サ ト ウ キ ビ や, サ ト ウ ダ イ コ ン か ら 抽出 し 純度 を 高 め, 結晶 化 し た も の ​​で あ る. そ の 他 に 商業 上, 比較 的 重要 で は な い 原料 と し て, ソ ル ガ ム と サ ト ウ カ エ デ が あ る。 純 粋 な ス ク ロ 、 先進 に お け る 主要 な 甘味 あ り 、 砂糖 の 主 成分 で あ る。

ネ コ 科 哺乳類 は. 加工 食品 や ジ ャ ン ク フ ー ド に は た い て い ス ク ロ ー ス が 添加 さ れ て い る. ス ク ロ ー ス は, 小腸 に 存在 す る 消化 酵素 (ス ク ラ ー ゼ, 別名 イ ン ベ ル タ ー ゼ) に よ り グ ル コ ー ス (ブ ド ウ 糖) と フ ル ク ト ー ス (果糖) に 加 水 分解 さ れ (転 化 糖),小腸 で 吸収 さ れ て 血流 に 入 る。

ま た 約 170 度 に 加熱 す る と, カ ラ メ ル (キ ャ ラ メ ル) と 呼 ば れ る 褐色 の 物質 に 変 化 す る. カ ラ メ ル 自 体 が 食用 に な り, カ ス タ ー ド プ デ ィ ン グ な ど 調理 に も 有用 で あ る.

砂糖 が 健康 に 悪 い 理由?

ス ク ロ ー ス は, 健康 に 悪 影響 を 及 ぼ す こ と が あ る. そ の 代表 的 な も の は 虫 歯 で あ る. 口腔 内 の 細菌 が ス ク ロ ー ス を 材料 と し て エ ナ メ ル 質 や 象牙 質 と い っ た 歯 質 を 破 壊 す る 酸 を 産生 す る た め であ る. 特 に 甘味 を 求 め, ス ク ロ ー ス の 摂 取 量 が 増 加 し, な お か つ 口腔 内 の 清掃 が 比較 的 行 き 届 い て い な い 子 供 に お い て 問題 と な る.

ま た, 一般 に ス ク ロ ー ス は カ ロ リ ー が 高 く, 肥 満 の 原因 に な り, 糖尿病患者 は ス ク ロ ー ス の 摂 取 を 制 限 し な け れ ば な ら な い と い う 説 が あ る が, 食物 中 の 炭 水化 物 の 総 量 の う ち ス ク ロ ー ス の 占 め る 割 合 は ご く 一部 に 過 ぎ な い の で ス ク ロ ー ス の み を 制 限 し て も 意味 は 無 い.

逆 に ス ク ロ ー ス 180 г 程度 以上 に 摂 取 す る と 健 っ て も 一 過 性 の す る。 こ の 量 食 こ 食 こ5 リ ッ ト ル 前後 の 量 (約 1100kcal) に 相当 す る.

上 記 の よ う な 健康 へ の 影響 か ら ス ク ロ ー ス を 避 け た い と い う ニ ー ズ に 応 え る た め, 代用 甘味 料 が い く つ も 開 発 さ れ て き た. し か し, 例 え ば ア ス パ ル テ ー ム は加熱 す る こ と で 甘 る ど 、 調理 用 に 砂糖 の し て 利用 す る の が 難 も が あ る ま。

「糖 質」 と は 何 か？

身体 の エ ネ ル ギ ー 源 と し て 不可 欠 な 糖 質. 砂糖 は 正確 に は シ ョ 糖 と 呼 ば れ る 糖 質 の こ と だ. そ の 最 も 小 さ い 単 位 を 単 糖類 と 呼 ぶ. ブ ド ウ 糖 (グ ル コ ー ス) と 果糖 (フ ル ク ト ー ス) と ガ ラ ク ト ー ス の 3つ が あ る. こ れ ら が 2 つ つ な が っ た も の ​​が 二 糖類 で, シ ョ 糖 (ス ク ロ ー ス (ま た は サ ッ カ ロ ー ス) = ブ ド ウ 糖 + 果糖), 乳糖 (ラ ク ト ー ス = ブ ド ウ 糖 + ガ ラ ク ト ー ス), 麦芽糖 (マ ル ト ー ス = ブ ド ウ 糖 + ブ ド ウ 糖) な ど が あ る.

３ つ 以上 が つ な が っ た の は 多 糖類。 オ リ ン プ ン な ど が る。

食 べに よ っ て 肝 臓 に 運 ば れ, こ こ で 果糖 や ガ ラ ク ト ー ス は ブ ド ウ 糖 に 変 え ら れ る.

肝 臓 に グ リ コ ー ゲ ン と し て 貯 え ら れ た り, 脂肪 や た ん ぱ く 質 の 素 と な る ア ミ ノ 酸 の 合成 材料 に な っ た り, 血糖 と し て 体 の あ ち こ ち に 運 ば れた り す る. そ の 後 脂肪 組織 に 取 り 込 ま れ た 血糖 は そ こ で 脂肪 に な る. ま た, 筋肉 組織 に 取 り 込 ま れ た 血糖 は グ リ コ ー ゲ ン と し て 貯 え ら れ 筋肉 が 活動 す る と き の エ ネ ル ギ ー 源 と な る. グ リ コ ー ゲ ン は 貯 え ら れ る 量 が 決 ま っ てる の で 、 余 分 な 糖 な る。 こ れ “食 べ 過 ぎ” で 太 る 仕 だ。。

対 61 68 61 68 61 の68て い る わ け で は な い. 言 え る こ と は, 糖 質 は 必須 だ が, 現在 の 日本人 の 平均 的 な 食 事 を 考 え る と, い わ ゆ る 三大 栄 養 素 (炭 水化 物, 脂肪, 蛋白質) を む し ろ 多 す ぎ る ほ ど 摂 っ て い る の で (特 に 油脂), 最終 的 に は 炭 水化 物 を 適量 と っ て さ え い れ ば ブ ド ウ 糖 が 不足 す る こ と は な い の で (そ れ が 不足 す る と 体 脂肪 や 体 蛋白質 を 分解 し て エ ネ ル ギ ー 源 に 変 え る 回路 が 作 動 す る), あ え て 砂糖で 糖分 を ま か な う 必要 は な い の で は な い だ ろ う か. (1/2) = -3 # и # 2 = 2 #

# 3! = -3 # и # 2 = 2 #

Следовательно, решение #x = -4 # не имеет значения.

Решение рациональных уравнений — ChiliMath

Рациональное уравнение — это тип уравнения, в котором используется по крайней мере одно рациональное выражение, причудливое название дроби . Лучший подход к решению этого типа уравнения — исключить все знаменатели, используя идею ЖК-дисплея (наименьшего общего знаменателя). Таким образом, оставшееся уравнение, с которым приходится иметь дело, обычно либо линейное, либо квадратичное.

В этом уроке я хочу рассмотреть более десяти (10) рабочих примеров с различными уровнями сложности.Я считаю, что большинство из нас изучает математику, глядя на множество примеров. Вот так!

Примеры решения рациональных уравнений

Пример 1: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Было бы неплохо, если бы знаменатели не стояли там? Что ж, мы не можем просто стереть их без какого-либо правильного алгебраического шага. Подход состоит в том, чтобы найти наименьший общий знаменатель (также известный как наименьшее общее кратное) и использовать его для умножения обеих сторон рационального уравнения.Это приводит к удалению знаменателей, оставляя нам регулярные уравнения, которые мы уже знаем, как решать, такие как линейные и квадратичные. В этом суть решения рациональных уравнений.

  • ЖК-дисплей 6x. Я умножу обе части рационального уравнения на 6x, чтобы избавиться от знаменателей. В любом случае, это наша цель — сделать нашу жизнь намного проще.
  • У вас должно получиться что-то подобное после раздачи ЖК-дисплея.
  • Я решил оставить переменную x справа.Поэтому удалите -5x слева, добавив обе стороны по 5x.
  • Упростить. Теперь очевидно, как решить это одношаговое уравнение. Разделите обе части на коэффициент 5x.
  • Ага! Окончательный ответ — x = 2 после проверки его обратно в исходное рациональное уравнение. Это дает правдивое заявление.

Всегда возвращайте свои «решенные ответы» в исходное уравнение, чтобы исключить посторонние решения. Это критический аспект общего подхода при работе с такими проблемами, как рациональные уравнения и радикальные уравнения.

Пример 2: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Первым шагом в решении рационального уравнения всегда является поиск «серебряной пули», известной как ЖКД. Итак, для этой проблемы найти ЖК-дисплей просто.

Ну вот.

Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и / или членов.

Умножьте вместе единицы с наивысшими показателями для каждого уникального простого числа , переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

  • ЖК-дисплей 9x. Распределите его по обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от знаменателей.
  • Чтобы переменные оставались слева, вычтите обе части на 63.
  • Полученное уравнение представляет собой одношаговое уравнение. Разделите обе части на коэффициент при x.
  • Вот и все! Верните значение x = — \, 39 обратно в основное рациональное уравнение, и оно должно убедить вас, что оно работает.

Пример 3: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Похоже жк уже выдан. У нас есть единственный и общий член \ left ({x — 3} \ right) для обоих знаменателей. Число 9 имеет тривиальный знаменатель 1, поэтому я не буду его учитывать. Следовательно, ЖК-дисплей должен быть \ влево ({x — 3} \ right).

  • ЖК-дисплей здесь \ left ({x — 3} \ right). Используйте его как множитель к обеим сторонам рационального уравнения.
  • Надеюсь, вы получите это линейное уравнение после некоторых отмен.

Распределите константу 9 в \ left ({x — 3} \ right).

  • Объедините константы в левой части уравнения.
  • Переместите все числа вправо, добавив 21 к обеим сторонам.
  • Неплохо. Снова возьмите за привычку проверять решенный «ответ» из исходного уравнения.

Он должен работать, так что да, окончательный ответ — x = 2.

Пример 4: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Я надеюсь, что теперь вы сможете определить, какой ЖК-дисплей для этой проблемы, осмотрев.Если нет, все будет хорошо. Просто продолжайте повторять несколько примеров, и в дальнейшем это будет иметь больше смысла.

Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и / или членов.

Умножьте вместе единицы с наивысшими показателями для каждого уникального простого числа , переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

  • ЖК-дисплей расположен 4 \ влево ({x + 2} \ вправо). Умножьте на него каждую часть уравнения.
  • После тщательного преобразования ЖК-дисплея в рациональное уравнение, я надеюсь, что у вас тоже есть это линейное уравнение.

Краткое примечание : Если вы когда-либо сталкивались с остатками в знаменателе после умножения, это означает, что у вас неправильный ЖК-дисплей.

Теперь распределите константы в скобках с обеих сторон.

  • Объедините константы слева, чтобы упростить его.
  • На этом этапе примите решение, где сохранить переменную.
  • Удерживая x слева, мы вычитаем обе стороны на 4.
  • Вот и все.Проверьте свой ответ, чтобы убедиться в его достоверности.

Пример 5: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Ориентируясь по знаменателям, ЖК-дисплей должен быть 6x. Почему?

Помните, умножайте вместе «каждую копию» простых чисел или переменных с наибольшей степенью.

  • ЖК-дисплей 6x. Распределите по обе стороны данного рационального уравнения.
  • Как должно выглядеть после осторожной отмены аналогичных условий.

Укажите константу в круглых скобках.

  • Переменную x можно комбинировать в левой части уравнения.
  • Поскольку слева только одна константа, я оставлю переменную x на противоположной стороне.
  • Итак, я вычитаю обе стороны в 5 раз.
  • Разделите обе стороны на -2, чтобы выделить x.
  • Ага! Мы получили окончательный ответ.

Пример 6: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.2} + 4x — 5 = \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 1} \ right). Не так уж плохо?

Поиск ЖК-дисплея как и в предыдущих задачах.

Попытайтесь выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и / или членов. В этом случае у нас есть члены в виде двучленов.

Умножьте вместе единицы с наивысшими показателями для каждой уникальной копии простого числа, переменной и / или членов, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

  • Прежде чем я распределю ЖК-дисплей по рациональным уравнениям, полностью вычеркните знаменатели.

Это помогает в отмене общих условий позже.

  • Умножьте каждую сторону на ЖК-дисплей.
  • Вау! Удивительно, как быстро был убран «беспорядок» исходной проблемы.
  • Избавьтесь от круглых скобок перед распределительным свойством.

У вас должно получиться очень простое уравнение.

Пример 7: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Поскольку знаменатели представляют собой два уникальных бинома, логично, что ЖК-дисплей — это всего лишь их продукт.

  • ЖК-дисплей находится \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x — 5} \ right). Разложите это на рациональное уравнение.
  • В результате получается произведение двух биномов с обеих сторон уравнения.

Использование метода FOIL имеет большой смысл. Это звонит в колокол?

  • Я расширил обе части уравнения, используя FOIL. До этого момента у вас должна быть аналогичная установка.2}.
  • Задача сводится к регулярному линейному уравнению из квадратичного.
  • Чтобы изолировать переменную x с левой стороны, необходимо сложить обе стороны на 6x.
  • Переместите все константы вправо.
  • Наконец, разделите обе стороны на 5, и все готово.

Пример 8: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Это выглядит немного устрашающе.Но если мы будем придерживаться основ, например, правильно найти ЖК-дисплей и тщательно умножить его на уравнение, мы должны понять, что можем довольно легко управлять этим «зверем».

Выражение каждого знаменателя в виде уникальных степеней членов

Умножьте каждый уникальный член с наибольшей степенью, чтобы получить ЖК-дисплей

  • Выведите знаменатели за множители.
  • Умножьте обе стороны на полученный выше ЖК-дисплей.

Будьте осторожны со своими отменами.

  • У вас должно получиться что-то вроде этого, если все сделано правильно.
  • На следующем шаге поместите константы в круглые скобки.

С каждым шагом это становится проще!

Я бы объединил похожие термины с обеих сторон, чтобы еще больше упростить.

  • Это просто многоступенчатое уравнение с переменными с обеих сторон. Легкий!
  • Чтобы оставить x слева, вычтите обе стороны на 10x.
  • Переместите все чистые числа вправо.
  • Вычтем обе части на 15.
  • Простое одношаговое уравнение.
  • Разделите обе части на 5, чтобы получить окончательный ответ. Опять же, не забудьте проверить значение в исходном уравнении для проверки.

Пример 9: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Давайте найдем ЖК-дисплей для этой проблемы и воспользуемся им, чтобы избавиться от всех знаменателей.

Выразите каждый знаменатель в виде уникальной степени выражений.

Умножьте каждый уникальный член с наибольшей степенью, чтобы определить ЖК-дисплей.

  • Полностью разложите знаменатели на множители
  • Распределите ЖК-дисплей, найденный выше, в данное рациональное уравнение, чтобы исключить все знаменатели.
  • Мы свели задачу к очень простому линейному уравнению. В этом «волшебство» использования ЖК-дисплея.

Умножьте константы в скобки.

  • Держите переменную слева, вычитая x с обеих сторон.
  • Сохраняйте константы справа.
  • Сложите обе части на 8, чтобы найти x. Сделанный!

Пример 10: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

Начнем с определения ЖК-дисплея. Выразите каждый знаменатель в виде степеней уникальных терминов. Затем перемножьте выражения с наивысшими показателями для каждого уникального члена , чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

Итак, у нас есть,

  • Полностью вынести за скобки знаменатели.
  • Разделите найденный выше ЖК-дисплей на рациональное уравнение, чтобы исключить все знаменатели.
  • Укажите константу в круглых скобках.
  • Критический этап : Здесь мы имеем дело с квадратным уравнением. {2} + 18 \), где \ (t \) представляет время через секунды после падения объекта.{2} + 50 \), где \ (t \) представляет время в секундах после падения объекта. Сколько времени нужно, чтобы объект упал на землю? (Округлите до сотых долей секунды.)
  • Насколько высока лестница длиной \ (22 \) футов, если ее основание находится в \ (6 \) футах от здания, на которое она опирается? Округлите до ближайшей десятой доли фута.
  • Высота треугольника равна \ (\ frac {1} {2} \) длине его основания. Если площадь треугольника составляет \ (72 \) квадратных метров, найдите точную длину основания треугольника.
    • Ответ

    1. \ (\ pm 9 \)

    3. \ (\ pm \ frac {1} {3} \)

    5. \ (\ pm 2 \ sqrt {3} \)

    7. \ (\ pm \ frac {3} {4} \)

    9. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {2}} {2} \)

    11. \ (\ pm 2 \ sqrt {10} \)

    13. \ (\ pm i \)

    15. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {5}} {5} \)

    17. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {2}} {4} i \)

    19.\ (\ pm 2 i \)

    21. \ (\ pm \ frac {2} {3} \)

    23. \ (\ pm 2 \ sqrt {2} \)

    25. \ (\ pm 2 i \ sqrt {2} \)

    27. \ (\ pm \ frac {\ sqrt {10}} {5} \)

    29. \ (- 9, -5 \)

    31. \ (5 \ pm 2 \ sqrt {5} \)

    33. \ (- \ frac {2} {3} \ pm \ frac {\ sqrt {6}} {3} i \)

    35. \ (\ frac {- 2 \ pm 3 \ sqrt {3}} {6} \)

    37. \ (\ frac {1} {3} \ pm \ frac {\ sqrt {6}} {6} i \)

    39.{2} = 3 (3 т + 1) \)

  • \ ((3 t + 2) (t-4) — (t-8) = 1-10 t \)
    • Ответ

    1. \ (- 15 \ pm \ sqrt {10} \)

    3. 1 \ (\ pm 2 \ sqrt {2} \)

    5. 1 \ (\ pm i \ sqrt {3} \)

    7. \ (- 15,5 \)

    9. \ (- \ frac {1} {3}, 1 \)

    11. \ (\ frac {-1 \ pm \ sqrt {5}} {2} \)

    13. \ (\ frac {-3 \ pm \ sqrt {17}} {2} \)

    15. \ (- \ frac {3} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {11}} {2} i \)

    17.\ (\ frac {7 \ pm 3 \ sqrt {3}} {2} \)

    19. \ (\ frac {1 \ pm \ sqrt {17}} {4} \)

    21. \ (\ frac {2 \ pm \ sqrt {5}} {2} \)

    23. \ (\ frac {-3 \ pm \ sqrt {6}} {3} \)

    25. \ (\ frac {-1 \ pm \ sqrt {10}} {3} \)

    27. \ (\ frac {3 \ pm 2 \ sqrt {6}} {2} \)

    29. 1 \ (\ pm 2 i \)

    31. \ (\ frac {1 \ pm \ sqrt {17}} {4} \)

    33. \ (\ frac {-1 \ pm \ sqrt {7}} {3} \)

    35. 2 \ (\ pm 2 \ sqrt {5} \)

    37.{2} -6 (6 x + 1) = 0 \)

    Ответ

    1. \ (0,19,1,31 \)

    3. \ (- 0,45,1,12 \)

    5. \ (0,33,0,67 \)

    Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)

    1. Создайте собственное уравнение, которое можно решить, извлекая корни. Поделитесь им вместе с решением на доске обсуждений.
    2. Объясните, почему метод извлечения корней значительно расширяет наши возможности решать квадратные уравнения.{2} = q \).

      Как решать полиномиальные уравнения

      Как решать полиномиальные уравнения

      Авторские права © 20022020 Стэн Браун

      Резюме: В алгебре вы тратите много времени на решение многочлена уравнения или факторизации многочленов (что одно и то же). Было бы легко потеряться во всех техниках, но эта статья связывает их все вместе в единое целое.

      Генеральный план

      Убедитесь, что вас не смущает терминология.Все это то же:

      • Решение полиномиального уравнения p ( x ) = 0
      • Нахождение корней полиномиального уравнения p ( x ) = 0
      • Нахождение нулей полиномиальной функции p ( x )
      • Факторизация полиномиальной функции p ( x )

      Есть коэффициент для каждого корня, и наоборот. ( x — r ) является фактором тогда и только тогда, когда r является корнем.Это Теорема о факторах : поиск корней или факторов по сути то же самое. (Основное различие заключается в том, как вы относитесь к постоянный коэффициент.)

      Точное или Приблизительное?

      Чаще всего, когда мы говорим о решении уравнения или факторизации полиномом мы подразумеваем точное (или аналитическое) решение . В другой тип, приблизительное (или числовое) решение , всегда возможно, а иногда и единственно возможный.

      Когда найдешь, точное решение лучше .Вы всегда можете найти численное приближение к точному решению, но пойти другим путем гораздо труднее. Эта страница тратит больше всего своего времени на методы точных решений, но также расскажет, что нужно делать, когда аналитические методы терпят неудачу.

      Шаг за шагом

      Как найти множители или нули многочлена (или корни полиномиального уравнения)? По сути, вам сточить . Каждый раз вы вычеркиваете множитель или корень из многочлена, у вас остается полином на одну степень проще.Используйте этот новый уменьшенный полином, чтобы найти оставшиеся факторы или корни.

      На любом этапе процедуры, если вы попадете в кубическое или четвертое уравнение (степень 3 или 4), у вас есть выбор продолжения факторинга или использования кубические или четвертичные формулы. Этих формул много работы, поэтому большинство людей предпочитают продолжать факторинг.

      Следуйте этой процедуре шаг за шагом:

      1. Если вы решаете уравнение, запишите его в стандартную форму с 0 с одной стороны и упрощают .[ подробности ]
      2. Знайте , сколько корней ожидать. [ подробности ]
      3. Если у вас есть линейное или квадратное уравнение (степень 1 или 2), решите осмотром или по формуле корней квадратного уравнения. [ подробности ]
        Затем переходите к шагу 7.
      4. Найдите один рациональный фактор или корень. Это самая сложная часть, но есть много методов, которые могут вам помочь. [ подробности ]
        Если вы можете найти фактор или корень, перейдите к шагу 5 ниже; если не можете, переходите к шагу 6.
      5. Разделите на множитель . Это оставляет вас с новым приведенный многочлен , степень которого на 1 меньше. [ подробности ]
        В остальном вы будете работать с уменьшенным многочлен, а не оригинал. Продолжите с шага 3.
      6. Если вы не можете найти множитель или корень , обратитесь к численные методы. [ подробности ]
        Затем переходите к шагу 7.
      7. Если нужно было решить это уравнение, запишите корни . Если это был многочлен для разложения на множители, запишите его в факторизованной форме , включая любые постоянные факторы, которые вы вывели на шаге 1.

      Это пример алгоритма , набор шагов что приведет к желаемому результату за конечное количество операций. Это итеративная стратегия , потому что средние шаги повторять столько, сколько необходимо.

      Кубические и четвертые формулы

      Приведенные здесь методы находят рациональный корень и использовать синтетическое деление проще всего. Но если вы не можете найти рациональный корень, есть специальные методы для кубические уравнения (степень 3) и уравнения четвертой степени (степень 4), оба в Mathworld.Альтернативный подход предоставляется Дик Никаллс в PDF для кубический и четвертичная уравнения.

      Шаг 1. Стандартная форма и упрощение

      К сожалению, это легко не заметить. Если у вас есть полиномиальное уравнение , отложите все члены в одну сторону и 0 с другой. И независимо от того, является ли это проблема факторизации или уравнение, которое нужно решить, положите ваш многочлен в стандартной форме от до наименьшей степени .

      Например, вы не можете решить это уравнение в такой форме:

      x + 6 x + 12 x = −8

      Вы должны изменить его на эту форму:

      x + 6 x + 12 x + 8 = 0

      Также убедитесь, что вы упростили, исключив любые общие факторы .Это может включать в себя вычитание −1 так что наивысшая степень имеет положительный коэффициент. Пример: коэффициент

      7-6 x -15 x — 2 х

      начнем с его стандартной формы:

      −2 x -15 x -6 x + 7

      , а затем вычтите −1

      — (2 x + 15 x + 6 x — 7) или же (−1) (2 x + 15 x + 6 x -7)

      Если вы решаете уравнение, вы можете выбросить любой общий постоянный множитель.Но если вы факторизуете многочлен, вы должны сохранить общий множитель .

      Пример: решить 8 x + 16 x + 8 = 0, вы можете разделите левую и правую на общий множитель 8. Уравнение х + 2 х + 1 = 0 имеет те же корни, что и исходное уравнение .

      Пример: Фактор 8 x + 16 x + 8, вы узнаете общий множитель 8 и перепишем многочлен в виде 8 ( x + 2 x + 1), что является идентичен исходному многочлену .(Хотя это правда, что вы сосредоточит ваши дальнейшие усилия по факторингу на x + 2 x + 1, это будет ошибкой написать, что исходный многочлен равен x + 2 x + 1.)

      Ваш общий фактор может быть дробь, потому что вы должны вычесть любые дроби, чтобы многочлен имеет целочисленных коэффициентов .

      Пример: решить (1/3) x + (3/4) x — (1/2) x + 5/6 = 0, вы узнаете общий множитель 1/12 и разделите обе стороны на 1/12.Это в точности то же самое, что и распознавание и умножение на наименьший общий знаменатель из 12. В любом случае вы получите 4 x + 9 x — 6 x + 10 = 0, которое имеет те же корни, что и исходное уравнение .

      Пример: Фактор (1/3) x + (3/4) x — (1/2) x + 5/6, вы узнаете общий множитель 1/12 (или наименьший общий знаменатель 12) и вычитаем 1/12. Вы получаете (1/12) (4 x + 9 x -6 x + 10), что идентично исходному многочлену .

      Шаг 2. Сколько корней?

      Многочлен степени n будет иметь n корней, некоторые из которых могут быть множественные корни.

      Как узнать, что это правда? В Фундаментальная теорема алгебры говорит вам, что многочлен имеет хотя бы один корень. Теорема о множителях говорит вам, что если r является корнем, тогда ( x — r ) является множителем. Но если разделить многочлен степени n на коэффициент ( x — r ), степень которого равна 1, вы получите полином степени n −1.Неоднократно применяя Фундаментальную Теорема и теорема о множителях дают вам n корней и n факторов.

      Правило знаков Декарта

      Правило знаков Декарта может сказать вам , сколько положительных значений и сколько отрицательных действительных нулей многочлен. Это большое трудосберегающее устройство, особенно когда вы решаете, какой возможные рациональные корни, которые нужно искать.

      Чтобы применить Правило знаков Декарта, вам необходимо понимать термин изменение знака .Когда многочлен расположен в стандартная форма, вариация в знак возникает, когда знак коэффициента отличается от знака предыдущего коэффициента. (Нулевой коэффициент игнорируется.) Для пример,

      p ( x ) = x 5 — 2 x 3 + 2 x 2 — 3 x + 12

      имеет четыре варианта знака.

      Правило знаков Декарта:

      • Число положительных корней из p ( x ) = 0 либо равно количество вариаций знака p ( x ), или меньше, чем на четное количество.
      • Число отрицательных корней из p ( x ) = 0 либо равно количество вариаций знака p (- x ), или меньше, чем на четное количество.

      Пример: рассмотрим p ( x ) выше. Поскольку у него четыре варианта в знаке должно быть либо четыре положительных корня, либо два положительных корня, или нет положительных корней.

      Теперь сформируйте p (- x ), заменив x на (- x ) в над:

      p (- x ) = (- x ) 5 — 2 (- x ) 3 + 2 (- x ) 2 — 3 (- x ) + 12

      p (- x ) = — x 5 + 2 x 3 + 2 x 2 + 3 x + 12

      p (- x ) имеет один вариант знака, поэтому оригинал p ( x ) имеет один негатив корень.Поскольку вы знаете, что p ( x ) должен иметь отрицательный корень, но он может или может не иметь положительных корней, сначала ищите отрицательные корни.

      p ( x ) — полином пятой степени, поэтому он должен иметь пять нулей. Поскольку x не является множителем, вы знаете, что x = 0 не является нуль полинома. (Для полинома с действительными коэффициентами, например этот комплексные корни встречаются парами.) Следовательно, есть три возможности:

      количество нулей
      , которые являются
      положительным отрицательным сложным
      не реально
      первая возможность 4 1 0
      вторая возможность 2 1 2
      третий вариант 0 1 4

      Сложные корни

      Если полином имеет действительных коэффициентов , то либо все корни настоящие или есть четное число не действительных комплексных корней в сопряженных парах .

      Например, если 5 + 2i является нулем многочлена с вещественными коэффициентов, то 5−2i также должен быть нулем этого многочлена. Также верно и то, что если ( x −5−2i) является множителем, то ( x −5 + 2i) также является фактором.

      Почему это правда? Потому что, когда у вас есть фактор с воображаемым часть и умножьте ее на комплексное сопряжение, вы получите реальную результат:

      ( x −5−2i) ( x −5 + 2i) = x −10 x + 25−4i = x −10 x +29

      Если ( x −5−2i) было фактором, но ( x −5 + 2i) не было, тогда многочлен будет иметь воображаемые в его коэффициентах, независимо от других факторов возможно.Если многочлен имеет только действительные коэффициентов, то любые комплексные корни должны входить в сопряженные пары.

      Иррациональные корни

      По аналогичным причинам, если многочлен имеет рациональных коэффициентов то иррациональные корни, включающие квадрат корни встречаются (если вообще встречаются) в сопряженных парах. Если ( x −2 + √3) является множителем многочлена с рациональными коэффициентов, то ( x −2 − √3) также должно быть фактор. Чтобы понять, почему, вспомните, как вы рационализируете бином. знаменатель; или просто проверьте, что происходит, когда вы умножаете эти два факторы.(1/3) и два сложные корни.

      Интересная проблема, нет ли иррациональности с четными корнями порядка ≥4 также должны встречаться в сопряженных пары. У меня нет немедленного ответа. Я работаю над пруф, как я успеваю.

      Множественные корни

      Когда данный множитель ( x — r ) встречается m раз в полиноме, r равно называется кратным корнем или корнем с кратностью м .

      • Если кратность м — четное число, график касается Ось x при x = r , но не пересекает ее.
      • Если кратность m — нечетное число, график пересекает Ось x при x = r . Если кратность 3, 5, 7 и т. Д., График горизонтально в точке пересечения оси.

      Примеры: сравните эти два многочлена и их графики:

      f ( x ) = ( x −1) ( x −4) 2 = x 3 — 9 x 2 + 24 x — 16

      г ( x ) = ( x −1) 3 ( x −4) 2 = x 5 — 11 x 4 + 43 x 3 — 73 x 2 + 56 x — 16

      Эти многочлены имеют одинаковые нули, но корень 1 встречается с разной кратностью.Посмотрите на графики:

      Оба полинома имеют нули только в точках 1 и 4. f ( x ) имеет степень 3, что означает три корня. Вы видите из факторов, что 1 является корнем кратность 1 и 4 является корнем из кратности 2. Следовательно, граф пересекает ось в точке x = 1 (но не горизонтально там) и касается в точке x = 4 без пересечения.

      Напротив, г ( x ) имеет степень 5. ( г ( x ) = f ( x ) раз ( x −1) 2 .) Из пяти корней 1 встречается с кратность 3: график пересекает ось при x = 1 и является горизонтальным там; 4 встречается с кратностью 2, и график касается ось при x = 4 без пересечения.

      Шаг 3. Квадратичные множители

      Когда у вас есть квадратичные множители (Ax + Bx + C), он может или не может можно будет их дополнительно проанализировать.

      Иногда вы можете просто увидеть факторы, как в случае с x — x −6 = ( x +2) ( x −3).В других случаях не так очевидно, квадратичный можно разложить на множители. Вот когда квадратная формула (показан справа) ваш друг.

      Например, предположим, что у вас есть коэффициент 12 x — x −35. Можно ли это еще раз проанализировать? Судом и ошибка вам придется перепробовать много комбинаций! Вместо этого используйте факт что коэффициенты соответствуют корням , и примените формулу к найти корни из 12 x — x −35 = 0, например:

      x = [- (- 1) √1 — 4 (12) (- 35)] / 2 (12)

      x = [1 √1681] / 24

      √1681 = 41, следовательно,

      x = [1 41] / 24

      x = 42/24 или -40/24

      x = 7/4 или -5/3

      Если 7/4 и −5/3 являются корнями, то ( x −7/4) и ( x +5/3) факторы. Следовательно,

      12 x — x −35 = (4 x −7) (3 x +5)

      А как насчет x −5 x +7? Этот выглядит как лучший, но как ты можешь быть уверен? Снова примените формулу:

      x = [- (- 5) √25 — 4 (1) (7)] / 2 (1)

      x = [5 √ − 3] / 2

      Что с этим делать, зависит от исходной проблемы. Если оно был множитель над реалами, тогда x −5 x +7 простое число.Но если этот фактор был частью уравнения, и вы должны были найти все сложные корни, у вас их два:

      x = 5/2 + (√3 / 2) i, x = 5/2 — (√3 / 2) i

      Поскольку исходное уравнение имело действительные коэффициенты, эти сложные корни встречаются в сопряженной паре.

      Шаг 4. Найдите один фактор или корень

      Этот шаг является сердцем факторизации многочлена или решения полиномиальное уравнение. Есть много методов, которые могут вам помочь найти фактор.

      Иногда можно найти факторы путем осмотра (см. Первые два разделы, которые следуют). Это отличный способ быстрого доступа, поэтому проверьте легкие факторы, прежде чем начинать более напряженные методы.

      Мономиальные множители

      Всегда начинайте с поиска любых мономиальных множителей, которые вы видите. Например, если ваша функция

      f ( x ) = 4 x 6 + 12 x 5 + 12 x 4 + 4 x 3

      , вы должны немедленно разложить его на

      f ( x ) = 4 x 3 ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1)

      Получение числа 4 упрощает оставшиеся числа, x 3 дает вам корень x = 0 (с кратностью 3), и теперь у вас есть только кубический многочлен (степени 3) вместо sextic (степень 6).Фактически, теперь вы должны распознать эту кубику как особый продукт, идеальный куб ( x +1) 3 .

      Когда вы вычитаете множитель общей переменной, убедитесь, что вы помните об этом в конце, когда перечисляете фактор или корни. x +3 x +3 x +1 = 0 имеет определенные корни, но x ( x +3 x +3 x +1) = 0 имеет те же корни и также корень x = 0 (с кратностью 3).

      Особые продукты

      Будьте внимательны к применению специальных продуктов .Если вы сможете применить их, ваша задача станет намного проще. Специальный Произведения:

      • полный квадрат (2 формы): A 2 A B + B = ( A B )
      • сумма квадратов: A + B нельзя разложить на множители на действительные числа, как правило (для исключительных случаев см. Как разложить сумму квадратов на множители)
      • разность квадратов: A — B = ( A + B ) ( A — B )
      • идеальный куб (2 формы): A 3 A B + 3 A B B = ( A B )
      • сумма кубов: A + B = ( A + B ) ( A — A B + B )
      • разность кубов: A — B = ( A — B ) ( A + A B + B )

      Выражения для суммы или разности двух кубов выглядят так: хотя они должны учитывать дополнительные факторы, но они этого не делают. A A B + B является простым над реалами.

      Считайте

      p ( x ) = 27 x — 64

      Вы должны узнать это как

      p ( x ) = (3 x ) — 4

      Вы умеете множить разницу двух кубов:

      p ( x ) = (3 x −4) (9 x +12 x +16)

      Бинго! Как только вы дойдете до квадратичной, вы можете применить Квадратичная формула, и все готово.

      Вот другой пример:

      q ( x ) = x 6 + 16 x 3 + 64

      Это просто идеальный квадратный трехчлен, но вместо x 3 размером x . Вы учитываете это точно так же:

      q ( x ) = ( x 3 ) 2 + 2 (8) ( x 3 ) + 8 2

      q ( x ) = ( x 3 + 8) 2

      И вы можете легко разложить ( x 3 +8) 2 как ( x +2) 2 ( x 2 −2 x +4) 2 .

      Рациональные корни

      Предполагая, что вы уже учли простые мономиальные факторы и специальные продукты, что делать, если у вас все еще есть многочлен степени 3 или выше?

      Ответ — Rational Root Test . Он может показать вам некоторые корни кандидатов когда вы не видите, как разложить полином на множители, как показано ниже.

      Рассмотрим многочлен стандартной формы, записанный с высшей степени до самого низкого и всего с целочисленными коэффициентами :

      f ( x ) = a n x n +… + a o

      Теорема рационального корня говорит вам, что , если многочлен имеет рациональный нуль , затем , это должна быть дробь p / q , где p — коэффициент конечной постоянной a o и q — множитель старшего коэффициента a n .

      Пример:

      p ( x ) = 2 x 4 — 11 x 3 — 6 x 2 + 64 x + 32

      Коэффициенты старшего коэффициента (2) равны 2 и 1.В коэффициенты постоянного члена (32) равны 1, 2, 4, 8, 16 и 32. Следовательно, возможные рациональные нули: 1, 2, 4, 8, 16 или 32 разделить на 2 или 1:

      любой из 1/2, 1/1, 2/2, 2/1, 4/2, 4/1, 8/2, 8/1, 16/2, 16/1, 32/2, 32/1

      уменьшено: любое из, 1, 2, 4, 8, 16, 32

      Что мы имеем в виду, когда говорим, что это список всех возможных рациональных корней ? Мы имеем в виду, что никакое другое рациональное число, как или 32/7, может быть нулем этого конкретного многочлена.

      Внимание : Не делайте Rational Root Test больше, чем есть.Это не означает, что рациональные числа являются корнями , просто что никакие другие рациональные числа не могут быть корнями. И это не говорит вы что-нибудь о том, какие иррациональные или даже сложные корни существовать. Rational Root Test — это только отправная точка.

      Предположим, у вас есть многочлен с нецелыми коэффициентами. Вы застряли? Нет, вы можете исключить наименее распространенные знаменатель (LCD) и получите многочлен с целыми коэффициентами, которые путь. Пример:

      (1/2) x — (3/2) x + (2/3) x — 1/2

      ЖК-дисплей 1/6.Вынося за скобки 1/6, получаем многочлен

      .

      (1/6) (3 x — 9 x + 4 x — 3)

      Эти две формы эквивалентны, и поэтому имеют одинаковые корни. Но вы не можете применить Rational Root Test к первой форме, только ко второму. Тест говорит вам, что единственно возможное рациональное корни — любые из 1/3, 1, 3.

      После того, как вы определили возможных рациональных нулей, как вы можете их проверить? Метод грубой силы заключался бы в том, чтобы взять каждый возможное значение и замените его на x в полиноме: если результат равен нулю, тогда это число является корнем.Но есть лучше путь.

      Используйте Synthetic Division, чтобы узнать, кандидат делает полином равным нулю. Это лучше на троих причины. Во-первых, это проще в вычислительном отношении, потому что вам не нужно вычислить высшие степени чисел. Во-вторых, в то же время он сообщает независимо от того, является ли данное число корнем, он производит сокращенный многочлен , который вы будете использовать, чтобы найти оставшийся корни. Наконец, результаты синтетического деления могут дать вам верхняя или нижняя граница, даже если число тестирование оказывается не рутом.

      Иногда правило знаков Декарта может поможет вам в дальнейшем выявить возможные рациональные корни. Например, Rational Root Test сообщает, что если

      q ( x ) = 2 x 4 + 13 x 3 + 20 x 2 + 28 x + 8

      имеет какие-либо рациональные корни, они должны происходить из списка любой из, 1, 2, 4, 8. Но не начинайте с замены или синтетическое разделение. Поскольку нет изменений знаков, нет положительные корни.Есть ли отрицательные корни?

      q (- x ) = 2 x 4 -13 x 3 + 20 x 2 -28 x + 8

      имеет четыре смены знака. Следовательно, может быть целых четыре отрицательные корни. (Также может быть два отрицательных корня или ни одного.) Нет гарантии, что какой-либо из корней является рациональным, но любой корень рациональное должно происходить из списка -, −1, −2, −4, −8.

      (Если у вас есть графического калькулятора, вы можете предварительно просмотреть рациональные корни, построив график полином и увидеть, где он, кажется, пересекает ось x .Но ты по-прежнему необходимо проверить корень алгебраически, чтобы увидеть, что f ( x ) равно ровно 0, а не почти 0.)

      Помните, что Rational Root Test гарантирует нахождение всех рациональных корня. Но он полностью упустит настоящие корни, которых нет. рациональные, как корни x −2 = 0, которые √2, или корни из x + 4 = 0, которые 2i.

      Наконец, помните, что Rational Root Test работает, только если все коэффициенты — целые числа.Посмотрите еще раз на эту функцию, которая на графике справа:

      p ( x ) = 2 x 4 — 11 x 3 — 6 x 2 + 64 x + 32

      Теорема о рациональном корне говорит вам, что единственно возможный рациональный нули — это 1, 2, 4, 8, 16, 32. Но предположим, что вы вычтите 2 (как я когда-то сделал в классе), написав эквивалент функция

      p ( x ) = 2 ( x 4 — (11/2) x 3 — 3 x 2 + 32 x + 16)

      Эта функция аналогична предыдущей, но вы не можете дольше применять Rational Root Test, потому что коэффициенты не целые числа. По сути — это ноль р ( х ), но это не так. появляются, когда я (незаконно) применил Rational Root Test к вторая форма. Моя ошибка заключалась в том, что я забыл, что применима теорема о рациональном корне. только когда все коэффициентов многочлена равны целые числа.

      Графические подсказки

      Построение графика функции вручную или с помощью графика Вы можете понять, где находятся корни, примерно, и сколько существует настоящих корней.

      Пример: Если Rational Root Test говорит вам, что 2 возможных рациональных корня, вы можете посмотреть на график, чтобы увидеть, пересекает ли он (или касается) ось x в точках 2 или −2.Если да, используйте синтетическое деление, чтобы убедитесь, что предполагаемый корень на самом деле является корнем. Да ты всегда нужно проверить по графику, вы никогда не можете быть уверены является ли перехват на ваш возможный рациональный корень или всего рядом с ит.

      Границы корней

      Некоторые методы не сообщают вам конкретное значение корня, но скорее, что корень существует между двумя значениями или что все корни меньше определенного числа больше определенного числа. Этот помогает сузить область поиска.

      Теорема о промежуточном значении

      Эта теорема говорит вам, что если график многочлена находится выше ось x для одного значения x и ниже оси x для другое значение x , оно должно пересекать ось x где-то посередине. (Если вы можете построить график функции, пересечения обычно будет очевидным.)

      Пример:

      p ( x ) = 3 x + 4 x — 20 x −32

      Рациональные корни (если есть) должны быть из списка любой из 1/3, 2/3, 1, 4/3, 2, 8/3, 4, 16/3, 8, 32/3, 16, 32.Естественно, сначала вы посмотрите на целые числа, потому что арифметика Полегче. Пробуя синтетическое деление, вы найти p (1) = −45, p (2) = −22 и p (4) = 144. Поскольку p (2) и p (4) имеют противоположные знаки, вы знайте, что график пересекает ось между x = 2 и x = 4, поэтому хотя бы один корень между этими числами. Другими словами, либо 8/3 — это корень или корень от 2 до 4 иррациональны. (Фактически, синтетическое деление показывает, что 8/3 — это корень.)

      Теорема о промежуточном значении может сказать вам, где root, но он не может сказать вам, где нет root. Например, считать

      q ( x ) = 4 x -16 x + 15

      q (1) и q (3) оба положительны, но это вам не говорит может ли график касаться или пересекать ось между ними. (Это на самом деле дважды пересекает ось, при x = 3/2 и x = 5/2.)

      Верхняя и нижняя границы

      Одним из побочных эффектов синтетического деления является что даже если число, которое вы тестируете, окажется не корневым, оно может сказать вам, что все корни меньше или больше этого номер:

      • Если вы выполните синтетическое деление на положительное число a , и каждое число в нижнем ряду положительное или нулевое, тогда — это верхняя граница для корней, что означает, что все настоящие корни ≤ — .
      • Если вы делаете синтетическое деление на отрицательное число b , а числа в нижнем ряду чередуются знак, тогда b — это нижняя граница для корней, что означает, что все настоящие корни ≥ b .

        Что делать, если нижняя строка содержит нули? Более полный Утверждение состоит в том, что чередуются неотрицательные и неположительные знаки , после синтетического деления на отрицательное число показать нижнюю границу корень. Следующие два примера поясняют это.

      (Кстати, правило для нижних оценок следует из правила для верхних оценок. Нижние пределы корней p ( x ) равны верхним пределам корни p (- x ), и деление на (- x + r ) такое же, как деление на — ( x — r ). )

      Пример:

      q ( x ) = x 3 + 2 x 2 — 3 x — 4

      Использование Rational Root Тест, вы определяете единственные возможные рациональные корни как 4, 2 и 1.Вы решаете попробовать −2 в качестве возможный корень, и вы проверяете его с синтетическим делением:

              -2 | 1 2 -3-4
            | -2 0 6
            | ------------------
               1 0–3 2

      −2 не является корнем уравнения f ( x ) = 0. В третьей строке чередуются знаки, и вы делили на отрицательное число; однако этот ноль все портит. Напомним, что у вас есть нижняя граница, только если знаки в нижнем ряду чередовать неположительный и неотрицательный.1 положительный (неотрицательный), и 0 может считаться неположительным, но −3 не считается неотрицательным. Чередование битая, а ты не знаешь есть ли корни меньше -2. (Фактически, графический или численные методы покажут корень около -2,5.) Следовательно, вам нужно попробовать наименьший возможный рациональный корень, −4:

      .
              -4 | 1 2 -3-4
            | -4 8-20
            | ------------------
               1–2 5–24

      Здесь знаки чередуются; поэтому вы знаете, что нет корни ниже −4.(Остаток −24 показывает, что −4 сам по себе не является корнем.)

      Вот другой пример:

      r ( x ) = x + 3 x — 3

      Rational Root Test сообщает вам что возможные рациональные корни — 1 и 3. С синтетическим деление на −3:

              -3 | 1 3 0-3
            | -3 0 0
            | ------------------
               1 0 0-3

      −3 не является корнем, но знаки здесь чередуются, так как первый 0 считается неположительным, а второй — неотрицательным.Следовательно, −3 — это нижняя граница корней, а это означает, что уравнение не имеет вещественных корней ниже −3.

      Коэффициенты и корни

      Существует интересная взаимосвязь между коэффициентами многочлен и его нули. Я упоминаю об этом в последнюю очередь, потому что это больше подходит для формирования многочлена, который имеет нули с желаемыми свойствами, вместо нахождения нулей существующего многочлена. Однако если вы знать все корни многочлена, кроме одного или двух, вы можете легко использовать это техника, чтобы найти оставшийся корень.

      Рассмотрим многочлен

      f ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + a n −2 x n −2 + … + a 2 x 2 + a 1 x + а или

      Существуют следующие отношения:

      • — a n −1 a n = сумма всех корней
      • + a n − 2 a n = сумма произведений корней взяты по два за раз
      • — a n −3 a n = сумма произведений корней взято по три за раз
      • и так далее, пока
      • (-1) n a 0 a n = произведение всех корней

      Пример: f ( x ) = x 3 — 6 x 2 — 7 x — 8 имеет степень 3 и, следовательно, не более трех реальных нулей.Если записываем действительные нули как r 1 , r 2 , r 3 , то сумма корней равна r 1 + r 2 + r 3 = — (- 6) = 6; в сумма произведений корней, взятых по два за раз, равна r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 2 r 3 = −7, а произведение корней равно r 1 r 2 r 3 = (-1) 3 (-8) = 8.

      Пример: Учитывая, что многочлен

      г ( x ) = x 5 -11 x 4 + 43 x 3 -73 x 2 + 56 x -16

      имеет тройной корень при x = 1, найдите два других корня.

      Решение: Пусть два других корня будут c и d . Тогда вы знаете, что сумма всех корней равна 1 + 1 + 1 + c + d = — (- 11) = 11, или c + d = 8.Ты также знайте, что продукт всех корней 111 c d = (−1) 5 (−16) = 16, или c d = 16. c + d = 8, c d = 16; поэтому c = d = 4, поэтому оставшиеся корни представляют собой двойной корень с размером x = 4.

      Дополнительные коэффициенты и корни

      Есть еще несколько теорем о соотношении между коэффициентами и корнями. Статья в Википедии Свойства корней полиномов дает хорошее, хотя и несколько краткое резюме.

      Шаг 5. Разделите на множитель

      Помните, что r является корнем тогда и только тогда, когда x — r является фактором; это факторная теорема. Так что если ты хочешь чтобы проверить, является ли r корнем, вы можете разделить многочлен на x — r и посмотрите, выходит ли ровным (остаток от 0). Элизабет Стапель пример деления многочленов делением в столбик.

      Но делать синтетическое деление проще и быстрее.Если ваш синтетическое деление немного заржавело, вы можете взглянуть на Dr. Математика короткая Учебник по синтетическому дивизиону; если вам нужен более длинный учебник, Элизабет Стейплс Синтетический дивизион отличный. (У доктора Мата также есть страница о почему работает Synthetic Division.)

      Синтетическое подразделение также имеет некоторые побочные преимущества. Если вы подозреваете корень на самом деле является корнем, синтетическое деление дает вам приведенный многочлен . А иногда и тебе везет, и синтетическое деление показывает вам верхнюю или нижнюю привязаны к корням.

      Вы можете использовать синтетическое деление при делении на бином вида x — r для константы r . Если вы делите на x −3, вы проверяете, является ли 3 корнем, и вы синтетическое деление на 3 (не на −3). Если вы делите на x +11, вы тестируете является ли −11 корнем, и вы синтетически делите на −11 (не 11).

      Пример:

      p ( x ) = 4 x 4 — 35 x 2 — 9

      Вы подозреваете, что x −3 может быть фактором, и проверяете это с помощью синтетическое деление, например:

              3 | 4 0-35 0-9
           | 12 36 3 9
           | --------------------
              4 12 1 3 0

      Поскольку остаток равен 0, вы знаете, что 3 является корнем p ( x ) = 0, а x −3 является множителем p ( x ).Но ты знаешь более. Поскольку 3 положительно и нижняя строка синтетического деления все положительные или нулевые, вы знаете, что все корни p ( x ) = 0 должно быть ≤ 3. И вы также знаете, что что

      p ( x ) = ( x −3) (4 x 3 + 12 x 2 + x + 3)

      4 x 3 + 12 x 2 + x + 3 — это приведенный многочлен .Все его факторы также коэффициентов исходного p ( x ), но его степень на единицу меньше , поэтому его с ним легче работать.

      Шаг 6. Численные методы

      Когда у вашего уравнения больше нет рациональных корней (или многочлен не имеет более рациональных множителей) можно перейти к числовым методы нахождения приблизительного значения иррациональных корней:

      • Статья в Википедии Алгоритм поиска корней имеет достойное резюме с указателями на конкретные методы.
      • Многие графические калькуляторы имеют функцию Решить или Команда Root или Zero, которая поможет вам найти приблизительные корни. Например, на ТИ-83 или ТИ-84 вы график функцию, а затем выберите [2nd] [Calc] [zero].

      Полный пример

      Решить для всех сложных корней:

      4 x + 15 x — 36 = 0

      Шаг 1. Уравнение уже в стандартной форме, с только ноль с одной стороны и степень x от наибольшего к наименьшему.Там нет общих факторов.

      Шаг 2. Поскольку уравнение имеет степень 3, будет 3 корни. Есть одна вариация знака, а от Правило знаков Декарта, которое, как вы знаете, должно быть одним положительным корнем. Изучите многочлен с заменой — x x :

      −4 x -15 x -36

      Знаков нет, значит, нет отрицательные корни. Следовательно, два других корня должны быть сложными, и конъюгаты друг друга.

      Шаги 3 и 4. Возможные рациональные корни к сожалению, довольно много: любые из 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 делится на любое из 4, 2, 1. (перечислены только положительные корни, потому что вы уже определили, что для этого нет отрицательных корней уравнение.) Вы решаете сначала попробовать 1:

              1 | 4 0 15 -36
           | 4 4 19
           | -----------------
              4 4 19-17

      1 не является корнем, поэтому вы проверяете 2:

              2 | 4 0 15 -36
           | 8 16 62
           | -----------------
              4 8 31 26

      Увы, 2 тоже не рут.Но обратите внимание, что f (1) = −17 и f (2) = 26. У них противоположные знаки, что означает, что график пересекает ось x между x = 1 и x = 2, а корень находится между 1 и 2. (В данном случае это единственный root, поскольку вы определили, что существует один положительный корень и нет отрицательных корней.)

      Единственный возможный рациональный корень между 1 и 2 — 3/2, и следовательно, либо 3/2 является корнем, либо корень иррационален. Вы пытаетесь 3/2 по синтетическому разделению:

              3/2 | 4 0 15 -36
             | 6 9 36
             | -----------------
                4 6 24 0

      Ура! 3/2 — это корень. Приведенный полином равен 4 x + 6 x + 24. Другими словами,

      (4 x + 15 x — 36) ( х −3/2) = 4 x + 6 x + 24

      Приведенный многочлен имеет степень 2, так что нет необходимости в большем методом проб и ошибок, и вы переходите к шагу 5.

      Шаг 5. Теперь вы должны решить

      4 x + 6 x + 24 = 0

      Сначала разделите общий множитель 2:

      2 x + 3 x + 12 = 0

      Нет смысла пытаться множить этот квадратичный коэффициент, потому что вы определили, используя Правило знаков Декарта, что больше нет настоящие корни.Итак, вы используете квадратичный формула:

      x = [−3 √9 — 4 (2) (12)] / 2 (2)

      x = [−3 √ − 87] / 4

      x = −3/4 (√87 / 4) i

      Шаг 6. Помните, что вы нашли корень в более ранний шаг! Полный список корней —

      3/2, −3/4 + (√87 / 4) я, −3/4 — (√87 / 4) я

      Что нового

      • 19 окт.2020 г. : преобразовано в HTML5. Переменные, выделенные курсивом и имена функций; выделил мнимое i.
      • 3 ноября 2018 г. : Некоторые изменения форматирования для ясности, особенно с радикалами. Здесь отметили, что 0 является тройным корнем в этом примере.
      • (промежуточные изменения подавлены)
      • 15 февраля 2002 г. : первая публикация.
      .