ГДЗ. Математика. Базовый уровень ЕГЭ

ГДЗ. Математика. Базовый уровень ЕГЭ — 2017. Вар.№29. Зад.№19.Под руководством Ященко. Помогите найти четырёхзначное натуральное число. – Рамблер/класс

Интересные вопросы

Школа

Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?

Новости

Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?

Школа

Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?

Школа

Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?

Новости

Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?

Вузы

Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?

   Здравствуйте! Помогите найти четырёхзначное натуральное число, кратное 4, сумма цифр которого на 1 больше их произведения.

ответы

Привет Светлана! Вот твой ответ пиши: 
3112;
1312;
1132.

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия  пользовательского соглашения

похожие темы

ГИА

ОГЭ

Последний звонок

Выпускной

похожие вопросы 5

ГДЗ. Математика. Базовый уровень ЕГЭ — 2017. Вар.№26. Зад.№9.Под руководством Ященко. Помогите установить соответствие.

   Здравствуйте! Помогите установить соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца (Подробнее…)

ЕГЭЭкзаменыМатематикаЯщенко И.В.

Задание 38 Однородные члены предложения. Что такое однородные члены предложения? Русский язык.4 класс. Канакина В.П., Горецкий В.Г. ГДЗ

Всем привет, поделитесь ответом на задание
Прочитайте.
Рассмотрите условные обозначения однородных членов. (Подробнее…)

ГДЗРусский языкКанакина В.П.Горецкий В.Г.4 класс

Когда в 2018 году будет проводиться ЕГЭ?

Когда в 2018 году запланировано провести ЕГЭ?  (Подробнее…)

ЕГЭШколаНовостиЭкзамены

4. Теорему синусов можно записать в виде… Ященко И. В. Математика ЕГЭ-2017 ГДЗ. Вариант 23.

(Подробнее…)

ГДЗЕГЭМатематикаЯщенко И.В.

Подскажите, как поступать, если мой сын хочет опротестовать результаты апелляционной комиссии после сдачи ЕГЭ?

Это возможно и кто следит за работой комиссии, что если он не согласился с проставленными результатами после сдачи ЕГЭ? (Подробнее…)

ШколаЕГЭЭкзаменыНовости

Сумма и произведение цифр числа. Решение задачи на Python

Одной из часто используемых задач для начинающих изучать программирование является нахождение суммы и произведения цифр числа. Число может вводиться с клавиатуры или генерироваться случайно. Задача формулируется так:

Дано число. Найти сумму и произведение его цифр.


Например, сумма цифр числа 253 равна 10-ти, так как 2 + 5 + 3 = 10. Произведение цифр числа 253 равно 30-ти, так как 2 * 5 * 3 = 30.

В данном случае задача осложняется тем, что количество разрядов числа заранее (на момент написания программы) не известно. Это может быть и трехзначное число, как в примере выше, и восьмизначное, и однозначное.

Обычно предполагается, что данная задача должна быть решена арифметическим способом и с использованием цикла. То есть с заданным число должны последовательно выполняться определенные арифметические действия, позволяющие извлечь из него все цифры, затем сложить их и перемножить.

При этом используются операции деления нацело и нахождения остатка. Если число разделить нацело на 10, произойдет «потеря» последней цифры числа. Например, 253 ÷ 10 = 25 (остаток 3). С другой стороны, эта потерянная цифра есть остаток от деления. Получив эту цифру, мы можем добавить ее к сумме цифр и умножить на нее произведение цифр числа.

Пусть n – само число, suma – сумма его цифр, а mult – произведение. Тогда алгоритм нахождения суммы и произведения цифр можно словесно описать так:

  1. Переменной suma присвоить ноль.
  2. Переменной mult присвоить единицу. Присваивать 0 нельзя, так как при умножении на ноль результат будет нулевым.
  3. Пока значение переменной n больше нуля повторять следующие действия:
    1. Найти остаток от деления значения n на 10, то есть извлечь последнюю цифру числа.
    2. Добавить извлеченную цифру к сумме и увеличить на эту цифру произведение.
    3. Избавиться от последнего разряда числа n путем деления нацело на 10.

В языке Python операция нахождения остатка от деления обозначается знаком процента — %. Деление нацело — двумя слэшами — //.

Код программы на языке Python

n = int(input())
 
suma = 0
mult = 1
 
while n > 0:
    digit = n % 10
    suma = suma + digit
    mult = mult * digit
    n = n // 10
 
print("Сумма:", suma)
print("Произведение:", mult)

Пример выполнения:

253
Сумма: 10
Произведение: 30

Изменение значений переменных можно записать в сокращенном виде:

...
while n > 0:
    digit = n % 10
    suma += digit
    mult *= digit
    n //= 10
...

Приведенная выше программа подходит только для нахождения суммы и произведения цифр натуральных чисел, то есть целых чисел больше нуля. Если исходное число может быть любым целым, следует учесть обработку отрицательных чисел и нуля.

Если число отрицательное, это не влияет на сумму его цифр. В таком случае достаточно будет использовать встроенную в Python функции abc, которая возвращает абсолютное значение переданного ей аргумента.

Она превратит отрицательное число в положительное, и цикл while с его условием n > 0 будет работать как и прежде.

Если число равно нулю, то по логике вещей сумма его цифр и их произведение должны иметь нулевые значения. Цикл срабатывать не будет. Поскольку исходное значение mult — это 1, следует добавить проверку на случай, если заданное число — это ноль.

Программа, обрабатывающая все целые числа, может начинаться так:

n = abs(int(input()))
 
suma = 0
mult = 1
if n == 0:
    mult = 0
...

Заметим, если в самом числе встречается цифра 0 (например, 503), то произведение всех цифр будет равно нулю. Усложним задачу:

Вводится натуральное число. Найти сумму и произведение цифр, из которых состоит это число. При этом если в числе встречается цифра 0, то ее не надо учитывать при нахождении произведения.

Для решения такой задачи в цикл добавляется проверка извлеченной цифры на ее неравенство нулю. Делать это надо до умножения на нее значения переменной-произведения.

n = int(input())
 
suma = 0
mult = 1
 
while n > 0:
    digit = n % 10
    if digit != 0:  
        suma += digit
        mult *= digit
    n = n // 10
 
print("Сумма:", suma)
print("Произведение:", mult)

Обратим внимание, что заголовок условного оператора if digit != 0: в Python можно сократить до просто if digit:. Потому что 0 — это False. Все остальные числа считаются истиной.

Приведенный выше математический алгоритм нахождения суммы и произведения цифр числа можно назвать классическим, или универсальным. Подобным способом задачу можно решить на всех императивных языках, независимо от богатства их инструментария. Однако средства языка программирования могут позволить решить задачу другим, зачастую более простым, путем. Например, в Python можно не преобразовывать введенную строку к числу, а извлекать из нее отдельные символы, которые преобразовывать к целочисленному типу

int:

a = input()
 
suma = 0
mult = 1
 
for digit in a:
    suma += int(digit)
    mult *= int(digit)
 
print("Сумма:", suma)
print("Произведение:", mult)

Если добавить в код проверку, что извлеченный символ строки действительно является цифрой, то программа станет более универсальной. С ее помощью можно будет считать не только сумму и произведение цифр целых чисел, но и вещественных, а также цифр, извлекаемых из произвольной строки.

n = input()
 
suma = 0
mult = 1
 
for digit in n:
    if digit.isdigit():
        suma += int(digit)
        mult *= int(digit)
 
print("Сумма:", suma)
print("Произведение:", mult)

Пример выполнения:

это3 чи3с9ло!
Сумма: 15
Произведение: 81

Строковый метод isdigit проверяет, состоит ли строка только из цифр. В нашем случае роль строки играет одиночный, извлеченный на текущей итерации цикла, символ.

Глубокое знание языка Python позволяет решить задачу более экзотическими способами:

import functools
 
n = input()
n = [int(digit) for digit in n]
 
suma = sum(n)
mult = functools.reduce(lambda x, y: x*y, n)
 
print("Сумма:", suma)
print("Произведение:", mult)

Выражение [int(digit) for digit in n] представляет собой генератор списка. Если была введена строка "234", будет получен список чисел: [2, 3, 4].

Встроенная функция sum считает сумму элементов переданного ей аргумента.

Функция reduce модуля functools принимает два аргумента — лямбда-выражение и в данном случае список. Здесь в переменной x происходит накопление произведения, а y принимает каждое следующее значение списка.

Больше задач в PDF


комбинаторика — Сколько пятизначных чисел, сумма цифр которых кратна 4?

спросил

Изменено 2 года, 5 месяцев назад

Просмотрено 666 раз

$\begingroup$

В моем учебнике та же проблема, за исключением 5-значных чисел, сумма цифр которых кратна 5. Общий подход:

Выберите первые 4 цифры. Количество возможных способов сделать это = $9\times 10\times 10\times 10$, так как десятитысячная цифра не может быть равна нулю. Сумма этих четырех цифр составляет $5k$, $5k+1$, $5k+2$, $5k+3$ или $5k+4$. Если это $5k$, последняя цифра может быть только $0$ или $5$. Сумма $5k+1 \подразумевается$, что последняя цифра $4$ или $9$ и так далее. В каждом случае возможно только $2$ последних цифр.

Следовательно, общее количество таких пятизначных чисел равно $9\times 10 \times 10 \times 10 \times 2 = 18000$.

Когда мы применяем этот подход к задаче «сумма цифр кратна 4», мы получаем,

Сумма первых 4 цифр равна $4k \имплицитно$ последняя цифра равна $0$, $4$ или $8$ .
Сумма первых 4 цифр равна $4k+1 \подразумевается$, что последняя цифра равна $3$ или $7$.
Сумма первых 4 цифр равна $4k+2 \подразумевается$, что последняя цифра равна $2$ или $6$.
Сумма первых 4 цифр равна $4k+3 \подразумевается$, что последняя цифра равна $1$, $5$ или $9$.

В двух из этих случаев мы получаем три возможные последние цифры, а в двух других — две возможные последние цифры. Наш общий подход явно ломается здесь. Один из способов обойти это — спросить себя: «Сколькими способами мы можем выбрать четыре цифры, чтобы их сумма была $4k$ или $4k+3$», и умножить это число на 3; повторите для $4k+2$ и $4k+1$, но умножьте на 2. Сложите оба этих числа, чтобы получить ответ.

Это кажется слишком длинным. Есть ли более простой способ сделать это?

  • комбинаторика

$\endgroup$

9

$\begingroup$

Пусть $S$ будет набором чисел, где хотя бы одна цифра находится в диапазоне $\{1,\dots,8\}$. Я утверждаю, что ровно одна четвертая часть чисел в $S$ имеет сумму цифр, кратную $4$. Для этого мы разобьем $S$ на группы по четыре, где числа в каждой группе имеют разные остатки по модулю $4$.

  • Пусть $S_1$ — набор чисел из $S$, первая цифра которых находится в $\{1,\dots,8\}$, а $x$ — некоторое число из $S_1$. Если первая цифра $x$ находится в $\{1,2,3,4\}$, группа, содержащая $x$, создается путем замены этой цифры на другие числа в $\{1,2,3, 4\}$. Например, группа, содержащая $34682$, будет $\{14682, 24682, 34682, 44682\}$. Вы делаете соответствующую вещь, если первая цифра находится в $\{5,6,7,8\}$.

  • Но что делать, если первая цифра $0$ или $9$? Затем вы рассматриваете $S_2$, набор чисел, первая цифра которых равна $0$ или $9$, а вторая цифра находится в $\{1,\dots,8\}$, и выполняете ту же процедуру в первом пункте, чтобы вторая цифра.

  • Затем пусть $S_3$ будет набором чисел, первые две цифры которых равны $0$ или $9$, а третья цифра находится в $\{1,\dots,8\}$, и делаете то же самое. вещь. То же самое с $S_4$.

Поскольку $S$ является непересекающимся объединением $S_1,S_2,S_3$ и $S_4$, мы разбили $S$ на группы по четыре, как это необходимо. Следовательно, нам нужно подсчитать количество чисел в $S$ и разделить на $4$, чтобы найти количество искомых чисел в $S$. Для подсчета $S$ используйте дополнительный подсчет.

Как насчет чисел за пределами $S$? Их всего $16$, и вы можете подсчитать количество таких, чья сумма цифр прямо кратна четырем.

$\endgroup$

$\begingroup$

Обозначим $a_i(n)$ $\>(0\leq i\leq3)$ количество $n$-значных десятичных строк, сумма цифр которых оставляет остаток $i$ по модулю $4$, и соберем $a_i (n)$ в $a(n):=\bigl(a_0(n), a_1(n), a_2(n), a_3(n)\bigr)$, последний рассматривается как вектор-столбец. Тогда имеем $$a(1)=(2,3,2,2)\ .$$ Для последних цифр кратность возможных остатков равна $(3,3,2,2)$, поскольку цифра $ {\tt 0}$ с остатком $0$ разрешено.

То, что мы уже написали, позволяет вычислить $$a_0(2)=3\cdot2+2\cdot3+2\cdot2+3\cdot2=22\ .$$ В самом деле, когда первая цифра имеет остаток $0$, вторая также должна иметь остаток $0$, а когда первая цифра имеет остаток $1$, вторая должна иметь остаток $3$ и так далее. 4\ a(1)=\bigl(22500, 22498, 22500, 22502\больше)\ ,$$ так что искомое число равно $22\500$. Чтобы вычислить, например, $a(23)$, лучше найти схему для вычисления старших степеней «циклической» матрицы $A$.

$\endgroup$

1

комбинаторика — Подсчет четырехзначных чисел, сумма цифр которых равна $9$

Сколько четырехзначных чисел кратны 3, но не кратны 11, а их сумма цифр является полным квадратом?

Если они кратны $3$, то сумма их цифр равна $3,6,9,12,15,18,21,24,27, 30, 33, 36$.

Если их сумма цифр представляет собой полный квадрат, то их сумма цифр равна $9, 36$. Единственное четырехзначное число с суммой цифр 36 долларов — это 9999 долларов, что кратно 11 долларам. Таким образом, их сумма цифр должна быть $9$.

Итак, нам нужно подсчитать количество четырехзначных чисел, сумма цифр которых равна $9$. Мы можем использовать метод звезд и полос, чтобы найти это число, но мы должны быть осторожны. Биномиальный коэффициент $\binom{n+k-1}{k-1}$ будет подсчитывать количество k-кортежей неотрицательных целых чисел, сумма которых равна $n$. За исключением того, что мы хотим, чтобы первое число в четверке было положительным. Мы можем получить это число, вычислив $\binom{(n-1)+k-1}{k-1}$, количество k-кортежей неотрицательных целых чисел, которые в сумме дают $n-1$, а затем добавив $1$ до первой цифры. При $n=9$ и $k=4$, что дает нам число

$$\binom{11}{3} = 165$$

Любое из этих чисел $165$ кратно $11$? Нет. Сумма цифр $9$ означает, что такое число должно быть кратно $99$. Если это число $abcd_{10}$, то $ab_{10} + cd_{10}=99$. Это означает, что $a+b+c+d > 9$

Wolfram Alpha сгенерировал приведенный ниже список с запросом «положительные четырехзначные числа, сумма цифр которых равна 9».

\начало{массив}{с} 1008 и 1017 и 1026 и 1035 и 1044 и 1053 и 1062 и 1071 и 1080 \\ 1107 и 1116 и 1125 и 1134 и 1143 и 1152 и 1161 и 1170\ 1206 и 1215 и 1224 и 1233 и 1242 и 1251 и 1260\ 1305 и 1314 и 1323 и 1332 и 1341 и 1350\ 1404 и 1413 и 1422 и 1431 и 1440\ 1503 и 1512 и 1521 и 1530 \\ 1602 и 1611 и 1620 \\ 1701 и 1710 \\ 1800\\ 2007, 2016, 2025, 2034, 2043, 2052, 2061, 2070 \\ 2106 и 2115 и 2124 и 2133 и 2142 и 2151 и 2160\ 2205 и 2214 и 2223 и 2232 и 2241 и 2250\ 2304 и 2313 и 2322 и 2331 и 2340\ 2403 и 2412 и 2421 и 2430\ 2502 и 2511 и 2520\\ 2601 и 2610 \\ 2700\\ 3006 и 3015 и 3024 и 3033 и 3042 и 3051 и 3060 \\ 3105 и 3114 и 3123 и 3132 и 3141 и 3150\ 3204 и 3213 и 3222 и 3231 и 3240\ 3303 и 3312 и 3321 и 3330\ 3402 и 3411 и 3420\ 3501 и 3510 \\ 3600\\ 4005 и 4014 и 4023 и 4032 и 4041 и 4050\ 4104 и 4113 и 4122 и 4131 и 4140\ 4203 и 4212 и 4221 и 4230\ 4302 и 4311 и 4320\ 4401 и 4410 \\ 4500\\ 5004 и 5013 и 5022 и 5031 и 5040\ 5103 и 5112 и 5121 и 5130\ 5202 и 5211 и 5220\ 5301 и 5310 \\ 5400 \\ 6003 и 6012 и 6021 и 6030 \\ 6102 и 6111 и 6120\ 6201 и 6210 \\ 6300 \\ 7002 и 7011 и 7020 \\ 7101 и 7110 \\ 7200\\ 8001 и 8010 \\ 8100 \\ 9000 \end{array}

Мы также можем рассмотреть возможность подсчета всех возможных «шаблонов» формы $[abcd]$ с $a \le b \le c \le d$, которые мы определяем как означающие все возможные четырехзначные числа, которые можно составить из цифр $a,b,c,d$ так, чтобы первая цифра не была $0$.