Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

На рисунках ниже показано, где функция может достигать наименьшего и наибольшего значения. На левом рисунке наименьшее и наибольшее значения зафиксированы в точках локального минимума и максимума функции. На правом рисунке — на концах отрезка.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений. Это, как уже говорилось, может произойти либо в точках экстремума, либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной на отрезке [a, b], нужно вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции

f(x) на отрезке [a, b]. Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a, b].

Критической точкой называется точка, в которой функция определена, а её производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и на концах отрезка (f(a) и f(b)). Наибольшее из этих чисел и будет

наибольшим значением функции на отрезке [a, b].

Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2].

Решение. Находим производную данной функции . Приравняем производную нулю () и получим две критические точки: и . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на концах отрезка и в точке , так как точка не принадлежит отрезку [-1, 2]. Эти значения функции — следующие: , , . Из этого следует, что

наименьшее значение функции (на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка — в точке , а наибольшее (тоже красное на графике), равно 9, — в критической точке .

Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего.

Так, например, функция, изображённая на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет наибольшего значения.

Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.

Если функция непрерывна в промежутке и имеет единственный экстремум, то он является наименьшим значением в случае минимума и наибольшим — в случае максимума.

Как наименьшее значение функции, так и её наибольшее значение, могут быть найдены не только в одной точке, принадлежащей заданного интервала, а, как, например, далее — в двух.

Нередки случаи, когда уравнение, полученное от приравнивания производной функции нулю, не имеет действительных решений. Тогда наименьшее и наибольшее значения функции можно найти только на концах отрезка. Таков следующий пример.

Неплохо было бы взять и случаи, когда производная функции вычисляется не одним махом, как в предыдущих примерах.

Это мы сейчас и сделаем, решив пример, где требуется найти производную частного.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция — многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных). Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность — составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.

Пример 10. Резервуар ёмкостью 4 , имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?

Решение. Пусть x — сторона основания, h — высота резервуара, S — площадь его поверхности без крышки, V — его объём. Площадь поверхности резервуара выражается формулой , т.е. является функцией двух переменных . Чтобы выразить

S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что , откуда . Подставив найденное выражение h в формулу для S:

или

.

Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в ]0, +∞[, причём

.

Приравниваем производную нулю () и находим критическую точку . Кроме того, при производная не существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума. Итак, — единственная критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём вторую производную . При вторая производная больше нуля (). Значит, при функция достигает минимума . Поскольку этот

минимум — единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением. Итак, сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 11.

Из пункта A, находящегося на линии железной дороги, в пункт С, отстоящий от неё на расстоянии l, должны переправляться грузы. Стоимость провоза весовой единицы на единицу расстояния по железной дороге равна , а по шоссе она равна . К какой точке М линии железной дороги следует провести шоссе, чтобы транспортировка груза из А в С была наиболее экономичной (участок АВ железной дороги предполагается прямолинейным)?

Пусть , , (см. рисунок ниже).

Тогда , , . Стоимость провоза

p единиц груза по шоссе СМ составит , а по железной дороге МА она составит . Общая стоимость провоза груза по пути СМА выражается функцией

,

где .

Нужно найти наименьшее значение этой функции. Она дифференцируема при всех значениях x, причём

.

Приравняв производную нулю, получим иррациональное уравнение , решение которого даёт единственную критическую точку (так как точка не входит в область определения функции).

Взяв контрольные точки и слева и справа от критической точки, убедимся, что производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, при стоимость провоза груза из А и С является наименьшей, если . Если же , т. е. , то шоссе должно пройти по прямой АС (см. рисунок ниже).

Весь блок «Производная»

Наибольшее и наименьшее значение функции, формулы и примеры

Если функция $y=f(x)$ определена и непрерывна на отрезке $[a ; b]$ , то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Если свое наибольшее значение $M$ функция $f(x)$ принимает в точке $x_{0} \in[a ; b]$, то $M=f\left(x_{0}\right)$ будет локальным максимумом функции $f(x)$, так как в этом случае существует окрестность точки $x_{0}$, такая, что $f(x) \leq f\left(x_{0}\right)$ . {2}-4 x=0 \Rightarrow x_{1}=0, x_{2}=\frac{1}{3}$

Из полученных значений нам надо оставить лишь те, которые принадлежат заданному промежутку $[0 ; 5]$ . Оба значения лежат в этом промежутке.

Находим значения функции в полученных стационарных точках из промежутка и на концах промежутка:

$y(0)=4 ; \quad y\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{106}{27} \approx 3,92 ; y(5)=454$

Таким образом,

Ответ.

Читать дальше: выпуклость функции, точки перегиба.

Слишком сложно?

Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Конспект урока по теме: «Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке с помощью производной».

Тема урока:

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке с помощью производной.

Цели урока:

Образовательные – обеспечить повторение и систематизацию материала темы.

Повторить необходимые и достаточные условия существования точек экстремума, понятия: стационарные и критические точки;

Ввести алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, сформировать умение решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения степенной функции на отрезке с помощью производной.

разобрать прототипы задач В12 экзаменационной работы в формате ЕГЭ.

Развивающие – способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные – содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

Методы обучения: частично — поисковый. Проверка уровня знаний, работа по обобщающей схеме, решение познавательных обобщающих задач, системные обобщения, самопроверка, восприятие нового материала, взаимопроверка.

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная.

Оборудование и источники информации: Экран; мультимедийный проектор; ноутбук. У учащихся на партах ноутбуки для работы по программе Мой Тест;

1. Организационный момент. (Презентация. Слайды 1 – 2. )

Французский писатель Анатоль Франс (1844 – 1924) однажды заметил: «Учиться можно только весело. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом».

Так вот, давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в вашей дальнейшей жизни.

Сегодня у нас заключительный урок по теме. Перед нами стоит задача – показать свои знания и умения по решению задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функций на отрезке с помощью производной.

2. Актуализация знаний.

Устная работа (слайды 3-5). Повторение материала, изученного на предыдущих уроках. Фронтальная работа. Учитель обращает внимание обучающихся на существенное различие понятий максимума (минимума) функций и наибольшего (наименьшего) значений.

3. Мотивация.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач на нахождение наилучших, оптимальных решений при наименьших затратах труда, так называемые задачи на оптимизацию.

С некоторыми из таких задач мы познакомимся на следующих уроках. Чтоб успешно решать такие задачи необходимо уметь находить наибольшее и наименьшее значения заданных функций на заданном промежутке.

Ребятам предлагается три графика функции для самостоятельного определения точек наибольшего и наименьшего значений. Проанализировать расположение данных точек на графике и сделать вывод (слайд 5).

Постановка проблемы.

Учитель задает вопрос: “Как, не изображая графика функции, определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?”

Задание . Проанализировать решения предыдущих примеров и сформулировать алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке. Обучающиеся по группам обсуждают данный вопрос, затем, обменявшись мнениями с другими группами, приходят к общему выводу.

Решение проблемы.

Ребята формулируют алгоритм. Проверяется алгоритм по учебнику стр.371

Учитель дополняет. Если речь идет о нахождении наибольшего или наименьшего значений функции, непрерывной на незамкнутом промежутке, то удобно использовать следующую теорему (слайд 6). Данная теорема в курсе 10 класса не доказывается. Ребята записывают теорему в тетрадь.

4.Закрепление “добытых” знаний

1.Найдите наименьшее значение функции

y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]

2.Найдите наибольшее значение функции

3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= x2 — 3x + 5 + |1-x| на отрезке [0;4].

5. Работа с программой мой тест

Вариант1

1.Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

2.Найдите наибольшее значение функции 

3. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

4.Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

Вариант2

1.Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

2.Найдите наименьшее значение функции 

3Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .

4.Найдите наименьшее значение функции на отрезке 

Вариант3

1.Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

2.Найдите точку максимума функции 

3.Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

4.Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

1.Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

Вариант4

2.Найдите точку минимума функции 

3. Найдите наименьшее значение функции на отрезке 

4.Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

При подготовке к уроку учитель делает закладку необходимой для занятия Web-страницы. Интернет-сайт “ЕГЭ по математике: подготовка к тестированию” http://www.uztest.ru. включает “Тренажер”, позволяющий проходить on-line тест по теме “Наибольшее, наименьшее значение функции” на конструктивном уровне. Ребятам предлагается выполнить тест из 4 заданий. Осуществляя дифференцированный подход к обучающимся.

6. Итог. 

Рефлексия деятельности на уроке. Домашнее задание.

Учитель беседует с ребятами, говоря о новых знаниях полученных на уроке, о достигнутых целях, интересуется их ощущениями от происходящего и предлагает заполнить карточки рефлексии.

Наибольшее и наименьшее значения функции

Понятие наибольшего и наименьшего значений функции.

Понятие набольшего и наименьшего значений тесно связано с понятием критической точки функции.

Определение 1

$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:

1) $x_0$ — внутренняя точка области определения;

2) $f’\left(x_0\right)=0$ или не существует.

Введем теперь определения наибольшего и наименьшего значения функции.

Определение 2

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, достигает своего наибольшего значения, если существует точка $x_0\in X$, такая, что для всех $x\in X$ выполняется неравенство

\[f\left(x\right)\le f(x_0)\]

Определение 3

Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, достигает своего наименьшего значения, если существует точка $x_0\in X$, такая, что для всех $x\in X$ выполняется неравенство

\[f\left(x\right)\ge f(x_0)\]

Теорема Вейерштрасса о непрерывной на отрезке функции

Введем для начала понятие непрерывной на отрезке функции:

Определение 4

Функция $f\left(x\right)$ называется непрерывной на отрезке $[a,b]$, если она непрерывна в каждой точке интервала $(a,b)$, а также непрерывна справа в точке $x=a$ и слева в точке $x=b$.

Сформулируем теорему о непрерывной на отрезке функции.

Теорема 1

Теорема Вейерштрасса

Непрерывная на отрезке $[a,b]$ функция $f\left(x\right)$ достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения, то есть существуют точки $\alpha ,\beta \in [a,b]$ такие, что для всех $x\in [a,b]$ выполняется неравенство $f(\alpha )\le f(x)\le f(\beta )$.

Геометрическая интерпретация теоремы изображена на рисунке 1.

Здесь функция $f(x)$ достигает своего наименьшего значения в точке $x=\alpha $ достигает своего наибольшего значения в точке $x=\beta $.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$

1) Найти производную $f'(x)$;

2) Найти точки, в которых производная $f’\left(x\right)=0$;

3) Найти точки, в которых производная $f'(x)$ не существует;

4) Выбрать из полученных в пунктах 2 и 3 точек те, которые принадлежат отрезку $[a,b]$;

5) Вычислить значение функции в точках, полученных в пункте 4, а также на концах отрезка $[a,b]$;

6) Выбрать из полученных значений наибольшее и наименьшее значение. 2-2x-3=0\] \[x=-1,\ x=3\]

3) $f'(x)$ не существует в точке $x=1$

4) $3\notin \left[-2,2\right],\ -1\in \left[-2,2\right],\ 1\in \left[-2,2\right]$, однако 1 не принадлежит области определения;

5) Значения:

\[f\left(-2\right)=\frac{4+12+9}{-3}=-8\frac{1}{3}\] \[f\left(-1\right)=\frac{1+6+9}{-2}=-8\] \[f\left(2\right)=\frac{4-12+9}{1}=1\]

6) Наибольшее из найденных значений — $1$, наименьшее из найденных значений — $-8\frac{1}{3}$. Таким образом, получим: \end{enumerate}

Ответ: $max=1,\ min==-8\frac{1}{3}$.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке

Пусть – функция, непрерывная на некотором отрезке оси ох (рис. 5)

Ставится задача: указать схему нахождения тех точек отрезка оси ох, в которых функция достигает своего наибольшего значения и своего наименьшего значения , и найти эти и .

Сразу отметим, что такие точки на отрезке заведомо существуют (это доказано). А вот на интервале их может и не быть. То есть на интервале функция своих наибольшего и наименьшего значений может и не иметь. Например, функция на отрезке свое наименьшее значение достигает в точке , а свое наибольшее значение достигает в точке . А вот на интервале своих наибольшего и наименьшего значений функция , очевидно, не имеет (не достигает).

Вернемся к рис. 5, на котором изображена произвольная непрерывная на отрезке функция . Здесь достигается функцией на конце a отрезка , а – в точке x1, являющейся одной из точек минимума функции. И вообще, очевидно, что и при любой другой форме графика непрерывной функции наибольшее и наименьшее значения достигаются ею на отрезке или в её точках экстремума, содержащихся на этом отрезке, или на концах отрезка. Отсюда вытекает следующая

схема нахождения и функции на отрезке :

  1. Находим производную .

  2. Находим принадлежащие отрезку точки, подозрительные на экстремум.

  3. Не исследуя этих точек, вычисляем значение функции во всех найденных подозрительных точках, а также на концах a и b отрезка . Из всех найденных значений y выбираем и . А заодно и устанавливаем, в каких точках отрезка эти и достигаются.

Пример 3. На отрезке найти наибольшее и наименьшее значения функции .

Решение. Реализуем изложенную выше схему.

  1. Найдем :

.

  1. Найдем на отрезке точки (значения x), подозрительные на экстремум:

а) .

б) не существует  таких x нет.

На отрезке содержатся лишь две подозрительные на экстремум точки: это и .

  1. Вычисляем значении функции в обеих найденных подозрительных точках, а также на концах отрезка, и выберем из найденных значений функции наибольшее и наименьшее:

; ; ;

Ответ: ; .

Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба

Направление выпуклости кривой является важной характеристикой ее формы.

Понятие о выпуклости, вогнутости и точках перегиба функции дадим, исходя из рис. 6. На этом рисунке изображен график функции, выпуклой на интервале , вогнутой на интервале , и y которой точка x0, разделяющая интервалы выпуклости и вогнутости, есть точка перегиба функции. Кстати, точка M0 называется точкой перегиба графика функции (не путать точку перегиба функции x0 и точку перегиба её графика M0). Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции – важные характеристики любой функции, поэтому полезно уметь их находить.

Рассмотрим подробнее функцию на ее интервале выпуклости (рис. 7 (а)) и на ее интервале вогнутости (рис. 7 (б)).

Для выпуклой функции (рис. 7 (а)) касательная к ее графику в любой его точке расположена выше графика, причем с увеличением абсциссы x точки касания эта касательная поворачивается по часовой стрелке. Это значит, что с увеличением x угол наклона касательной к оси ох уменьшается. Но тогда уменьшается и угловой коэффициент касательной . А значит, с увеличением x уменьшается (убывает) равная ему производная функции . Но если некая функция убывает, то, как мы знаем, ее производная отрицательна. Значит, на всем интервале выпуклости функции .

Аналогичное рассуждение приводит к выводу, что если функция вогнута на некотором интервале (см. рис. 7 (б)), то для любого x из этого интервала (проведите это рассуждение самостоятельно).

Верно, естественно, и обратное: если на некотором интервале оси ох вторая производная функции положительна, то функция вогнута на этом интервале. А если эта производная отрицательна – то функция выпукла на указанном интервале.

Определение 3. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Определение 4. Кривая обращена выпуклостью вниз на интервале, если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Кривая, обращенная выпуклостью вверх, будет называть выпуклой, а обращенную выпуклостью вниз – вогнутой.

Теорема 5: Если во всех точках интервала вторая производная f(x) отрицательна, т.е. , то кривая y=f(x) на этом интервале обращена выпуклостью вверх ( кривая выпукла )

Доказательство. Возьмем в интервале произвольную точку х=х0 и проведем касательную к кривой в точке с абсциссой х=х0. Теорема будет доказана, если мы установим, что все точки кривой на интервале лежат ниже этой касательной, т.е. что ордината любой точки кривой y=f(x) меньше ординаты y касательной при одном и том же значении х.

Уравнение кривой имеет вид

y=f(x).

Уравнение касательной к кривой в точке х=х0 имеет вид

Откуда следует, что разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении х равна

Применяя теорему Лагранжа к разности , получим:

,

( где с лежит между х0 и х ). К выражению, стоящему в квадратных скобках, снова применим теорему Лагранжа, тогда

.

( где с1 лежит между х0 и с ).

Рассмотрим два случая:

  1. Пусть х>x0. Тогда x0<c1<c<x, поскольку . Учитывая этот факт и условие , получим .

  2. Пусть х<x0. Тогда x<c<c1<x0, поскольку . Учитывая этот факт и условие , получим .

Таким образом, мы доказали, что любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой, каковы бы ни были значения х и х0 на интервале . Что и означает, что кривая выпукла. Теорема доказана.

Аналогично доказывается теорема для случая вогнутой функции.

Теорема 6: Если во всех точках интервала вторая производная f(x) положительна, т. е. , то кривая y=f(x) на этом интервале обращена выпуклостью вниз ( кривая вогнута )

Теперь перейдем к точкам перегиба функции. Так как эти точки разграничивают интервалы выпуклости и вогнутости и, следовательно, не принадлежат ни тем, ни другим, то в точках перегиба вторая производная функции не может быть ни положительной, ни отрицательной. А значит, в этих точках она или равна нулю, или не существует.

Но не все точки x, в которых или не существует, непременно должны быть точками перегиба. Точками перегиба будут лишь те из них, в которых вторая производная меняет знак (с (+) на (–) или с (–) на (+)). Таким образом, точки оси ох, в которых или не существует, являются лишь подозрительными на перегиб. Окончательное выяснение сути этих точек производится после исследования знака второй производной слева и справа от каждой из них. Справедлива следующая

Теорема 7. Пусть кривая определяется уравнением y=f(x). Если или не существует и при переходе через значение x=a производная меняет знак, то точка кривой с абсциссой x=a есть точка перегиба.

Из всего сказанного вытекает

схема исследования функции на выпуклость-вогнутость и точки перегиба:

  1. Находим область определения функции, а заодно устанавливаем интервалы ее непрерывности и точки разрыва (стандартное начало любого исследования функции).

  2. Находим вторую производную .

  3. Находим точки (значения x), подозрительные на перегиб. То есть находим те точки (значения x), в которых вторая производная функции или равна нулю, или не существует:

а)

б) не существует

  1. Наносим все найденные подозрительные на перегиб точки на область определения функции (на ось ох) и отмечаем (например, дугами) интервалы, на которые разобьется этими дугами область определения функции. В каждом из этих интервалов выясняем знак второй производной . По установленным знакам этой производной отмечаем интервалы выпуклости и вогнутости функции ((–) – выпуклость, (+) – вогнутость), а также точки перегиба функции.

  2. Вычисляем значения функции во всех найденных точках ее перегиба и находим тем самым точки перегиба графика функции.

Пример 4. Исследовать на выпуклость-вогнутость и точки перегиба функцию (в примере 2 она уже исследовалась на возрастание-убывание и точки экстремума).

Решение. Реализуем изложенную выше схему.

  1. Функция определена, а следовательно и непрерывна для любых x от до .

  2. Найдем :

.

  1. Найдем точки (значения x), подозрительные на перегиб:

а) .

б) не существует  таких x нет.

  1. Нанесем на ось ох найденную подозрительную на перегиб точку . Ось ох (область определения функции) разобьется этой точкой на два интервала:

Определяем знаки второй производной в этих интервалах (они отмечены на рис. выше). Тем самым устанавливаем интервалы выпуклости (знак ) и вогнутости (знак ) , а также устанавливаем, что – точка перегиба функции.

  1. Вычисляем значение функции в точке ее перегиба и тем самым определим точку перегиба графика функции (она указана на рис. 4).

Наибольшее и наименьшее значение функции. Алгебра

Дата публикации: .

Что будем изучать:


1. Нахождение наибольшего и наименьшего значения по графику функции.
2. Нахождение наибольшего и наименьшего значения с помощью производной.
3. Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции y=f(x) на отрезке [a;b].
4. Наибольшее и наименьшее значение функции на незамкнутом интервале.
5. Примеры.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения по графику функции

Ребята, мы с вами находили наибольшее и наименьшее значения функции и раньше. Мы смотрели на график функции и делали вывод, где функция достигает наибольшего значения, а где — наименьшего.
Давайте повторим:

По графику нашей функции видно, что наибольшее значение достигается в точке x= 1, оно равно 2. Наименьшее значение достигается в точке x= -1, и оно равно -2. Данным способом довольно просто находить наибольшие и наименьшие значения, но не всегда существует возможность построить график функции.


Нахождение наибольшего и наименьшего значения с помощью производной

Ребята, а как вы думаете, как с помощью производной можно найти наибольшее и наименьшее значение?

Ответ можно найти в теме экстремумы функции. Там мы с вами находили точки максимума и минимума, не правда ли термины похожи. Однако, путать наибольшее и наименьшее значение с максимум и минимум функции нельзя, это разные понятия.

Итак, давайте введем правила:
а) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает своего наибольшего и наименьшего значения на этом отрезке.
б) Наибольшего и наименьшего значения функция может достигать как на концах отрезках, так и внутри него. Давайте рассмотрим этот пункт подробнее.

На рисунке а функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах отрезках [a;b].
На рисунке б функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения внутри отрезка [a;b]. На рисунке в точка минимума находится внутри отрезка, а точка максимума — на конце отрезка, в точке b.
в) Если наибольшее и наименьшее значение достигается внутри отрезка, то только в стационарных или критических точках.


Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции y= f(x) на отрезке [a;b]


Функция имеет абсолютный минимум около x = 0 и два локальных максимума, которые происходят в конечных точках ограниченного домена. Абсолютный максимум достигается в правой конечной точке ограниченного домена.

Теперь определите крайние точки, используя методы исчисления.

Производная, , не равно 0 в любом месте [-2, 4], поэтому из этого условия не возникает критическая точка, но f ' не существует при x = 0, что означает, что x = 0 является критическим точка. Следовательно, единственная критическая точка f находится при x = 0.

Используйте функцию Value экрана Graph для вычисления значений f в критической точке и на конечных точках ограниченной области [-2, 4].


Крайние значения можно резюмировать следующим образом:

  1. f имеет локальный и абсолютный минимум 0 при 0.
  2. Значение f при x = -2 составляет приблизительно 1,587, а значение при x = 4 составляет приблизительно 2,520. Каждое из них является локальным максимальным значением.
  3. Абсолютное максимальное значение f составляет примерно 2.520 при x = 4.

Экстремальные значения

В предыдущих примерах мы имели дело с непрерывными функциями, определенными на отрезках. В таком случае теорема 1 гарантирует, что будет как абсолютный максимум, так и абсолютный минимум. В этом примере область не является закрытым интервалом, и теорема 1 не применяется. Крайние значения могут быть найдены с помощью процедуры, аналогичной описанной выше, но необходимо следить за тем, чтобы экстремумы действительно существовали.

Обратите внимание, что домен f равен (-2, 2), потому что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель должен быть отличным от нуля.

  • График в окне просмотра [-4, 4, 1] x [-2, 4, 1].

График показывает, что существует абсолютный минимум около 0,5 при x = 0. Также есть локальные максимумы около 2.5, когда x = -2 и x = 2. Однако f не определен при x = -2 и x = 2, поэтому они не могут быть локальными максимумами.

Методы исчисления требуют, чтобы были определены конечные точки области и критические точки. Домен f - это (-2, 2), открытый интервал, поэтому конечных точек нет. Критические точки определяются с помощью производной, которая находится с помощью правила цепочки.

Производная равна 0 при x = 0 и не определена при x = -2 и x = 2.Поскольку -2 и 2 не находятся в области f , единственная критическая точка - x = 0.

Поскольку x перемещается от 0 в любом направлении, знаменатель f ( x ) становится меньше, а f ( x ) становится больше. Таким образом, f имеет абсолютный минимум 0,5 при x = 0.

Абсолютного максимума не существует. Это не нарушает теорему об экстремальном значении, поскольку функция не определена на отрезке.Поскольку абсолютный максимум должен иметь место в критической точке или конечной точке, а x = 0 является единственной такой точкой, абсолютного максимума быть не может.

y = x 3 в окне [-3, 3 1] x [-2, 2, 1] в окне [-3, 3, 1] x [-2, 2, 1]

Обратите внимание, что производная от y = x 3 равна y ' = 3 x 2 , а производная от y = x 1/3 равна .

Первая производная от y = x 3 равна нулю, когда x = 0, а первая производная от y = x 1/3 не существует при x = 0. Хотя x = 0 - критическая точка обеих функций, ни одна из них не имеет там экстремального значения.

Помимо поиска критических точек с помощью методов исчисления, просмотр графика функции должен помочь определить экстремальные значения.

В этих двух примерах обратите внимание, что первая производная положительна по обе стороны от x = 0. В уроке 13.2 мы будем использовать тест первой производной, где знак производной по обе стороны от критической точки используется для определения является ли критическая точка локальным максимумом, локальным минимумом или ни одним из них.

Как найти максимальные значения

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как так как ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного расположения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить преподавателям Varsity Tutors найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса - изображению, ссылке, тексту и т. д. - относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении прав, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Макс.-мин. Проблем со словами

Макс.-мин. Проблем со словами

В этом разделе мы будем использовать наши результаты по максимумам и минимумам для функции для решения задач со словами, которые включают поиск самых больших или наименьшее значение длин, площадей, объемов, затрат и так далее. В Самая сложная часть решения этих проблем - настройка соответствующих уравнения; Исчисление относительно простое.

Некоторые из этих проблем связаны с нахождением абсолютного максимума или минимума на закрытый интервал. Мы знаем, что для этого находим критические точки на интервале, затем проверьте конечные и критические точки в исходная функция.

В некоторых ситуациях количество, которое мы пытаемся максимизировать или минимизировать изменяется в течение незамкнутого интервала.В этих случаях следующие теорема часто бывает полезной.

Теорема. Предположим, что функция f имеет второй производная, определенная на интервале. Предположим, что, и что c равно единственная критическая точка на интервале.

(a) Если c - локальный максимум, то это абсолютный максимум.

(b) Если c - локальный min, то это абсолютный min.

Ключ к применению теоремы состоит в том, что существует только один критический точка.

Пример. Прямоугольная ручка состоит из двух идентичные участки, разделенные забором. 120 футов забора используется для внешней стороны пера и разделительной перегородки. Какие размеры для каждого раздела изготовить перо наибольшей площади?

Пусть каждая секция будет x футов в ширину и y футов в высоту.

Общая площадь

Поскольку доступны 120 футов забора,

Подключите это к:

Конечные точки задаются крайними случаями и; обратите внимание, что дает

Различать:

Установить и решить для x:

Максимум происходит, когда.В таком случае,

Пример. Лист картона прямоугольной формы 15 в ширину и 24 дюйма в высоту. Нарезаются квадраты со стороной длины x. из каждого угла. Четыре получившихся выступа складываются, чтобы получился прямоугольная коробка (без верха). Найдите значение x, которое дает ящик наибольшего объема.

Основание коробки - на, высота - на x. Следовательно, объем

Конечные точки: (квадраты не вырезаны) и (обрезаны наполовину снизу вверх).Очевидно, что эти конечные точки дают объем 0, но это означает, что V является определяется на закрытом интервале. Так что мне просто нужно проверить критическое точки на интервале и найдите ту, которая дает макс.

Различать:

Корни бывают и.

Сейчас больше чем, значит, это вне интервала. Так что я только нужно рассмотреть другой корень.

Таким образом, максимально увеличивает громкость.

Пример. Прямоугольный плакат напечатан на кусок картона площадью 1200 квадратных дюймов. Печатный регион представляет собой прямоугольную область с центром на картоне. Есть незапечатанные (пустые) поля шириной 3 дюйма слева и справа области печати и шириной 4 дюйма сверху и снизу печатный регион.

Какие размеры области печати увеличивают ее площадь?

Предположим, область печати - x на y. Его площадь

Так как слева и справа есть поля шириной 3, а поля шириной 4 сверху и снизу, площадь картона составляет

Решение для урожайности

Подставьте это в выражение для A, чтобы получить

Крайние случаи - это и.Если, то

Итак, конечные точки - это и. (Это делает область печатной области 0, поэтому они явно не дают максимума!)

Вычислить производную:

Найдите критические точки:

Поскольку x - длина, она не может быть отрицательной, поэтому возьмите знак плюс. Это дает

Подключите это, чтобы получить .

Это показывает это и максимизирует область печатаемой области.

Пример. Найдите точку на прямой, ближайшую к ней.

Расстояние от до

Я хочу точку, до которой расстояние самый маленький.

Поскольку меньшие числа дают меньшие квадраты и наоборот, я могу найти где квадрат расстояния наименьшее:

Это позволяет мне удалить квадратный корень и сделать дифференциация проще.

Линия есть. Решение относительно x дает. Подставьте это в уравнение для s:

Нет ограничений на x, поэтому я буду использовать вторую производную Тестовое задание. Дифференцируйте (обратите внимание, что переменная - y):

Установите для поиска критических точек:

Это дает

Теперь это местный мин. Поскольку это единственная критическая точка, это абсолютный минимум.

Пример. Объем кругового цилиндра (с верхом и низом) есть. Какие ценности для радиус r и высота h дают наименьшую общую площадь поверхности (площадь стороны плюс площадь верха плюс площадь дно)?

Площадь стороны, площадь верх, а площадь низа .

Общая площадь поверхности составляет

Объем

Решение для h дает.Подключите это в A:

Единственное ограничение на r есть. Следовательно, r не ограничен закрытым интервалом. Следовательно, Я буду использовать второй производный тест.

Вычислить и:

Установить и решить для r:

Это дает .

Сейчас же

Следовательно, является локальным мин. Поскольку это единственный критическая точка, это абсолютный мин.

Пример. Банка цилиндрической формы с крышкой и дно сделано из квадратных дюймов листа металл, без отходов. Какие размеры для радиуса r и высоты h дать банку наибольшего объема?

Площадь верха, площадь верха дно есть, а площадь стороны есть. Итак, общая площадь

Решите уравнение для h:

Заменить в V:

исключено, потому что это вызовет делением на 0 в уравнении для h. Других ограничений на r, за исключением того, что он должен быть положительным. Поскольку V не ограничивается закрытый интервал, я буду использовать второй Производный тест.

Вычислите производные:

Найдите критические точки:

Поскольку r не может быть отрицательным (так как это радиус цилиндра), я получаю . потом

Вторая производная равна

Таким образом, это локальный макс.Поскольку это единственный критическая точка, это абсолютный макс.

Пример. Найдите положительное число, для которого сумма, умноженная на 5 и 320 обратная величина, равна самый маленький.

Пусть x будет числом. Сумма в 5 раз больше числа и в 320 раз больше взаимно

Единственное ограничение на x -. Поскольку x не ограниченный закрытым интервалом, я буду использовать тест второй производной.

Различать:

Найдите критические точки, установив:

С тех пор я получаю. Подключите это ко второй производной:

Следовательно, является локальным мин. Поскольку это единственный критическая точка, это абсолютный мин.

Пример. Коробка прямоугольная с квадратом нижний и не верхний выполнен с квадратом 1200 дюймы картона. Какие значения длины x стороны дно и высота y дают ящик с наибольшим объемом?

Объем

Площадь 4-х сторон, а площадь внизу есть.Так

Решение для y дает

Подключите это к V и упростите:

Обратите внимание, что, поскольку он подключен к противоречие. Так что единственное ограничение на х это.

Поскольку x не ограничен закрытым интервалом, я буду использовать второй тест производной.

Вычислите производные:

Найдите критические точки:

Поскольку x - длина, она должна быть положительной, поэтому. Это дает

Подключитесь ко второй производной:

это локальный максимум, но это единственный критический точка, так что это абсолютный максимум.

Пример. Коробка прямоугольная с квадратом нижний и никакой верхний имеет объем 2048 куб. дюймов. Какие значения длины x стороны дна и высота y дает коробку с наименьшей общей площадью поверхности (площадь дна плюс площадь сторон)?

Площадь 4-х сторон, а площадь внизу есть.Итак, общая площадь

Объем

Решение для y дает

Подключите это к A и упростите:

Обратите внимание, что, поскольку подключено к дает, противоречие. Так что единственное ограничение по x это то.

Поскольку x не ограничен закрытым интервалом, я буду использовать второй тест производной.

Вычислите производные:

Найдите критические точки:

дает

Подключитесь ко второй производной:

это локальный минимум, но это единственный критический точка, так что это абсолютный мин.

Пример. Прямоугольная коробка изготовлена ​​из картон. Он не имеет верха и состоит из двух одинаковых перегородок. разделены общей стеной. Каждая перегородка имеет квадратное дно, которое составляет x дюймов на x дюймов, а высота поля - y дюймов. Если объем всего ящика 10584 кубических дюйма, какие значения для x и y свести к минимуму общее количество используемого картона (внизу, четыре стороны и разделитель, разделяющий перегородки)?

Площадь дна составляет.

Передняя и задняя стороны имеют по y, поэтому у них есть общая площадь.

Правая сторона, левая сторона и средняя перегородка - каждая x на y, итак, у них общая площадь.

Следовательно, общая площадь (общий объем использованного картона) составляет

Общий объем составляет

Решение этого уравнения относительно y дает

Подключите это к A и упростите:

Крайний случай исключен, т. к. вызывает деление на 0 в уравнении для A.Таким образом, x не ограничен к закрытому интервалу, и я буду использовать Второй производный тест.

Различать:

Найдите критические точки, задав и решив для x:

Это дает

Выполните второй производный тест:

Следовательно, является местным мин. Поскольку это единственная критическая точка, это абсолютный минимум.

Пример. Прямоугольная коробка без верха имеет два одинаковые перегородки, разделенные общей стеной. Каждый раздел имеет квадратное дно. Если использовать картон площадью 2400 квадратных дюймов без отходы, чтобы построить коробку, какие размеры дают коробку с наибольший (общий) объем?

Предположим, что основание каждого разбиения равно x на x, а высота равна y. В объем

Площадь дна - это площадь передняя часть, площадь задней части, площадь левой стороны, площадь правой стороны, и площадь разделителя, разделяющего две части. перегородки есть.Общая площадь

Решение для урожайности. Вставьте это в уравнение объема и упростите:

x не может быть 0, так как вызывает деление на 0 в формула для y. Поскольку x - длина, она должна быть положительной. Итак, и других ограничений на x нет. Поскольку x есть не ограничиваясь закрытым интервалом, я буду использовать тест второй производной.

Различать:

Найдите критические точки, установив:

Поскольку x должен быть положительным, я получаю.Это дает

Вставить в :

Следовательно, является локальным максимумом. Поскольку это единственная критическая точка, это абсолютный максимум.

Контактная информация

Домашняя страница Брюса Икенаги

Авторские права 2018 Брюс Икенага

.