Лучший ответ по мнению автора | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
11.13
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука
Кинематика
1 |
На рисунке представлен график зависимости пути S велосипеда от времени t. Определите скорость велосипедиста в указанных интервалах времени. |
|||||||||||
|
||||||||||||
2 |
На рисунке представлен график зависимости пути |
|||||||||||
| Ответ: ____ м/с. | ||||||||||||
3 |
На рисунке представлен график зависимости пути S, пройденного материальной точки в интервале времени t. Определите скорость материальной точки в интервале времени от 5 до 7 с. |
|||||||||||
4 |
На рисунке представлен график зависимости координаты х велосипедиста от времени t. Определите проекцию скорости υx велосипедиста в интервале времени от 30 до 50 с. |
|||||||||||
| Ответ: ____ м/с. | ||||||||||||
5 |
На рисунке представлен график зависимости координаты х велосипедиста от времени t. Определите проекцию скорости υx |
|||||||||||
| Ответ: ____ м/с. | ||||||||||||
6 |
На рисунке представлены графики зависимости пройденного пути от времени для двух тел. |
|||||||||||
| Ответ: в ____ раз(а). | ||||||||||||
7 |
На рисунке представлены графики движения автобуса из пункта A в пункт Б и обратно. Пункт А находится в точке x = 0, а пункт Б — в точке x = 30 км. Чему равна скорость автобуса на пути из Б в А. |
|||||||||||
| Ответ: ____ км/ч. | ||||||||||||
8 |
На рисунке представлен график зависимости проекции скорости тела υx от времени t. Определите модуль ускорения этого тела ax в указанных интервалах времени. |
|||||||||||
|
||||||||||||
9 |
На рисунке представлен график зависимости проекции скорости тела |
|||||||||||
|
||||||||||||
10 |
На рисунке приведен график зависимости скорости υ прямолинейно движущегося тела от времени t. Определите ускорение тела. |
|||||||||||
| Ответ: ____ м/с2. | ||||||||||||
11 |
С помощью графика зависимости скорости от времени (см. рисунок) определите ускорение прямолинейного движущегося вдоль оси X тела в момент времени t = 2 с. |
|||||||||||
| Ответ: ____ м/с2. | ||||||||||||
12 |
На рисунке приведен график зависимости скорости υx тела от времени t при прямолинейном движении по оси X. Определите проекцию ускорения ax тела. |
|||||||||||
| Ответ: ____ м/с2. | ||||||||||||
13 |
На рисунке приведен график зависимости скорости υx тела от времени t при прямолинейном движении по оси X. Определите проекцию ускорения ax тела. |
|||||||||||
| Ответ: ____ м/с2. | ||||||||||||
14 |
Автомобиль движется по прямой улице вдоль оси X. На рисунке представлен график зависимости проекции скорости автомобиля от времени. Определите модуль минимального ускорения автомобиля за время наблюдения. |
|||||||||||
| Ответ: ____ м/с2. | ||||||||||||
15 |
Автомобиль движется по прямой улице вдоль оси X. |
|||||||||||
| Ответ: ____ м/с2. | ||||||||||||
16 |
Автомобиль движется по прямой улице вдоль оси X. На рисунке представлен график зависимости проекции скорости автомобиля от времени. Определите путь, пройденный автомобилем в течение указанных интервалов времени. |
|||||||||||
|
||||||||||||
17 |
Автомобиль движется по прямой улице вдоль оси X. На рисунке представлен график зависимости проекции скорости автомобиля от времени. Определите путь, пройденный автомобилем за 20 с от начала наблюдения. |
|||||||||||
| Ответ: ____ м. | ||||||||||||
18 |
Автомобиль движется по прямой улице вдоль оси X. На рисунке представлен график зависимости проекции скорости автомобиля от времени. Определите путь, пройденный автомобилем за 30 с от начала наблюдения. |
|||||||||||
| Ответ: ____ м. | ||||||||||||
19 |
На рисунке приведен график зависимости модуля скорости υ автомобиля от времени t. |
|||||||||||
| Ответ: ____ м. | ||||||||||||
20 |
Тело движется по оси X. На рисунке показан график зависимости проекции скорости тела на ось X от времени. Чему равен путь, пройденный телом к моменту времени t = 4 c? |
|||||||||||
| Ответ: ____ м. | ||||||||||||
21 |
На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела, движущегося вдоль оси X, от времени. Определите путь, пройденный телом за 10 с от начала наблюдения. |
|||||||||||
| Ответ: ____ м. | ||||||||||||
22 |
Координата x меняется с течением времени t согласно закону x = 4 — 2t. |
|||||||||||
| Ответ: ____ м. | ||||||||||||
23 |
Координата x меняется с течением времени t согласно закону x = 4t — 6. Все величины выражены в СИ. Определите проекцию скорости υx этого тела. |
|||||||||||
| Ответ: ____ м. | ||||||||||||
24 |
Координата x меняется стечением времени t согласно закону x = 4 + 3t — 5t2. Все величины выражены в СИ. Определите проекцию ускорения ax этого тела. |
|||||||||||
Ответ: ____ м/с2.
|
||||||||||||
25 |
Координата x меняется стечением времени t согласно закону x = 15 — 5t + 3t2. Все величины выражены в СИ. Определите проекцию ускорения ax этого тела. |
|||||||||||
| Ответ: ____ м/с2. | ||||||||||||
26 |
Зависимость пути прямолинейно движущегося тела от времени имеет вид S(t) = 2t + 3t2. Все величины выражены в СИ. Определите модуль ускорения a этого тела. |
|||||||||||
| Ответ: ____ м/с2. | ||||||||||||
27 |
Автомобиль движется по закругленной дороге радиусом 20 м с центростремительным ускорением 5 м/с2. |
|||||||||||
| Ответ: ____ м/с. | ||||||||||||
28 |
Автомобиль движется по закругленной дороге радиусом 30 м со скоростью 12 м/с. Определите центростремительное ускорение автомобиля. |
|||||||||||
| Ответ: ____ м/с. | ||||||||||||
29 |
Материальная точка равномерно движется со скоростью υ по окружности радиусом r. Во сколько раз увеличится модуль центростремительного ускорения точки, если ее скорость будет вдвое больше? |
|||||||||||
| Ответ: в ____ раз(а). | ||||||||||||
30 |
Материальная точка движется постоянной скоростью υ по окружности радиусом R. |
|||||||||||
| Ответ: в ____ раз(а). | ||||||||||||
31 |
Шарик движется по окружности радиусом r с постоянной скоростью υ. Во сколько раз уменьшится его центростремительное ускорение, если радиус окружности увеличить в 3 раза, оставив скорость шарика прежней? |
|||||||||||
| Ответ: в ____ раз(а). | ||||||||||||
32 |
Материальная точка движется по окружности радиусом R с постоянной по модулю скоростью υ. Во сколько раз уменьшится центростремительное ускорение точки, если скорость уменьшить в 2 раза, а радиус окружности увеличить в 2 раза? |
|||||||||||
Ответ: в ____ раз(а).
|
||||||||||||
33 |
Материальная точка движется по окружности радиусом R с частотой вращения ν. Во сколько раз увеличится центростремительное ускорение точки, если частоту обращения увеличить в 2 раза? |
|||||||||||
| Ответ: в ____ раз(а). | ||||||||||||
34 |
Материальная точка движется по окружности радиусом R с частотой вращения ν. Во сколько раз нужно уменьшить частоту обращения, чтобы при увеличении радиуса окружности в 4 раза центростремительное ускорение точки осталось прежним? |
|||||||||||
| Ответ: в ____ раз(а). | ||||||||||||
| Ответы | ||||||||||||
Определите, во сколько раз скорость второго тела υ2 больше скорости первого тела υ1.
На рисунке представлен график зависимости проекции скорости автомобиля от времени. Определите модуль максимального ускорения автомобиля за время наблюдения.
Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале времени от 0 до 3 с.
Все величины выражены в СИ. Определите проекцию скорости υx этого тела.
Чему равна скорость автомобиля?
Во сколько раз увеличится модуль центростремительного ускорения точки, если ее скорость вдвое увеличить, а радиус окружности вдвое уменьшить?3.
3 Среднее и мгновенное ускорениеЦели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Рассчитать среднее ускорение между двумя моментами времени.
- Рассчитайте мгновенное ускорение, учитывая функциональную форму скорости.
- Объясните векторную природу мгновенного ускорения и скорости.
- Объясните разницу между средним ускорением и мгновенным ускорением.
- Найдите мгновенное ускорение в указанное время на графике зависимости скорости от времени.
Важность понимания ускорения охватывает наш повседневный опыт, а также обширные просторы космоса и крошечный мир субатомной физики. В повседневном разговоре ускорить означает ускорить; при нажатии на педаль тормоза автомобиль замедляется. Например, мы знакомы с ускорением нашего автомобиля. Чем больше ускорение, тем больше изменение скорости за данное время. Ускорение широко используется в экспериментальной физике. В экспериментах с линейным ускорителем частиц, например, субатомные частицы разгоняются до очень высоких скоростей в экспериментах по столкновению, которые сообщают нам информацию о структуре субатомного мира, а также о происхождении Вселенной.
В космосе космические лучи — это субатомные частицы, которые были ускорены до очень высоких энергий в сверхновых (взрывах массивных звезд) и активных ядрах галактик. Важно понимать процессы, которые ускоряют космические лучи, потому что эти лучи содержат сильно проникающее излучение, которое может повредить электронику, например, на космическом корабле.
Среднее ускорение
Формальное определение ускорения согласуется с только что описанными понятиями, но является более всеобъемлющим.
Среднее ускорение
Среднее ускорение — скорость изменения скорости:
[латекс] \overset{\text{–}}{a}=\frac{\text{Δ}v}{\text{ Δ}t}=\frac{{v}_{\text{f}}-{v}_{0}}{{t}_{\text{f}}-{t}_{0}}, [/latex]
, где [latex] \overset{\text{−}}{a} [/latex] — среднее ускорение, v — скорость, t — время. (Черта между и означает , среднее ускорение .)
Поскольку ускорение представляет собой скорость в метрах, деленную на время в секундах, единицы СИ для ускорения часто обозначают м/с 2 , то есть метры в секунду.
квадрат или метры в секунду в секунду. Это буквально означает, на сколько метров в секунду скорость изменяется каждую секунду. Напомним, что скорость — это вектор — она имеет как величину, так и направление — это означает, что изменение скорости может быть изменением величины (или скорости), но также может быть и изменением направления. Например, если бегун, движущийся со скоростью 10 км/ч строго на восток, замедляется до остановки, меняет направление и продолжает свой бег со скоростью 10 км/ч строго на запад, его скорость изменилась в результате изменения направления, хотя величина скорости одинакова в обоих направлениях. Таким образом, ускорение возникает, когда скорость изменяется по величине (увеличение или уменьшение скорости) или по направлению, или по тому и другому.
Ускорение как вектор
Ускорение — это вектор в том же направлении, что и изменение скорости, [латекс] \text{Δ}v [/латекс]. Поскольку скорость является вектором, она может изменяться по величине или по направлению, или и по тому, и по другому.
Таким образом, ускорение — это изменение скорости или направления, или того и другого.
Имейте в виду, что хотя ускорение происходит в направлении изменения скорости, оно не всегда совпадает с направлением движения. Когда объект замедляется, его ускорение противоположно направлению его движения. Хотя это обычно называют замедлением (рисунок), мы говорим, что поезд ускоряется в направлении, противоположном направлению его движения.
Рис. 3.10 Поезд метро в Сан-Паулу, Бразилия, замедляет скорость при подъезде к станции. Он ускоряется в направлении, противоположном направлению его движения. (кредит: Юсуке Кавасаки)
Термин замедление может вызвать путаницу в нашем анализе, поскольку он не является вектором и не указывает на определенное направление относительно системы координат, поэтому мы его не используем. Ускорение — это вектор, поэтому мы должны выбрать для него соответствующий знак в выбранной нами системе координат. В случае поезда на (рисунке) ускорение составляет в отрицательном направлении в выбранной системе координат , поэтому мы говорим, что поезд испытывает отрицательное ускорение.
Если движущийся объект имеет скорость в положительном направлении относительно выбранного начала координат и приобретает постоянное отрицательное ускорение, объект в конце концов приходит в состояние покоя и меняет направление. Если мы подождем достаточно долго, объект пройдет через начало координат в противоположном направлении. Это показано на (рис.).
Рисунок 3.11 Объект, движущийся с вектором скорости на восток с отрицательным ускорением, останавливается и меняет направление. Он проходит начало координат, двигаясь в противоположном направлении через достаточно долгое время.
Пример
Расчет среднего ускорения: скаковая лошадь покидает ворота
Скаковая лошадь, выходящая из ворот, разгоняется из состояния покоя до скорости 15,0 м/с строго на запад за 1,80 с. Каково его среднее ускорение?
Рисунок 3.12 Скаковые лошади разгоняются за воротами. (кредит: Джон Салливан)
Стратегия
Сначала мы рисуем эскиз и назначаем системе координат задачу (Рисунок).
Это простая задача, но ее всегда полезно визуализировать. Обратите внимание, что мы назначаем восток как положительный, а запад как отрицательный. Таким образом, в этом случае мы имеем отрицательную скорость.
Рисунок 3.13 Укажите систему координат, предоставленную информацию и то, что вы хотите определить.
Мы можем решить эту проблему, идентифицируя [латекс] \текст{Δ}v\,\текст{и}\,\текст{Δ}t [/латекс] из данной информации, а затем вычисляя среднее ускорение непосредственно из уравнение [латекс] \overset{\text{–}}{a}=\frac{\text{Δ}v}{\text{Δ}t}=\frac{{v}_{\text{f} }-{v}_{0}}{{t}_{\text{f}}-{t}_{0}} [/latex].
Решение
Сначала определите известные значения: [латекс] {v}_{0}=0,{v}_{\text{f}}=-15,0\,\text{м/с} [ /латекс] (знак минус указывает направление на запад), Δ т = 1,80 с.
Во-вторых, найдите изменение скорости. Поскольку лошадь движется от нуля до –15,0 м/с, изменение ее скорости равно ее конечной скорости:
[латекс] \text{Δ}v={v}_{\text{f}}-{v} _{0}={v}_{\text{f}}=-15,0\,\text{м/с}.
{2}. [/латекс]
Значение
Отрицательный знак ускорения указывает на то, что ускорение направлено на запад. Ускорение 8,33 м/с 2 строго на запад означает, что лошадь увеличивает свою скорость на 8,33 м/с строго на запад каждую секунду; то есть 8,33 метра в секунду за секунду, что мы запишем как 8,33 м/с 2 . Это действительно среднее ускорение, потому что езда не плавная. Позже мы увидим, что ускорение такой величины потребовало бы, чтобы всадник удерживался с силой, почти равной его весу. 9{7}\,\text{м/с} [/latex] за 10 –4 с. Каково среднее ускорение протонов?
Показать решениеМгновенное ускорение
Мгновенное ускорение a или ускорение в определенный момент времени получают с использованием того же процесса, который обсуждался для мгновенной скорости. То есть мы вычисляем среднюю скорость между двумя моментами времени, разделенными [латекс] \текст{Δ}t [/латекс], и приближаем [латекс] \текст{Δ}t [/латекс] к нулю.
Результатом является производная функции скорости v ( t ), что равно мгновенному ускорению и математически выражается как
[латекс] a(t)=\frac{d}{dt}v(t). [/latex]
Таким образом, подобно тому, как скорость является производной функции положения, мгновенное ускорение является производной функции скорости. Мы можем показать это графически так же, как мгновенную скорость. На (рисунке) мгновенное ускорение в момент времени t 0 представляет собой наклон касательной к графику зависимости скорости от времени в момент времени 9.0019 т 0 . Мы видим, что среднее ускорение [латекс] \overset{\text{–}}{a}=\frac{\text{Δ}v}{\text{Δ}t} [/latex] приближается к мгновенному ускорению, поскольку [латекс] \text{Δ}t [/latex] приближается к нулю. Также в части (а) рисунка мы видим, что скорость имеет максимум, когда ее наклон равен нулю. Это время соответствует нулю функции ускорения. В части (b) показано мгновенное ускорение при минимальной скорости, которая также равна нулю, так как наклон кривой и там равен нулю.
Таким образом, для данной функции скорости нули функции ускорения дают либо минимальную, либо максимальную скорость.
Рисунок 3.14 На графике зависимости скорости от времени мгновенное ускорение представляет собой наклон касательной. (a) Показано среднее ускорение [латекс] \overset{\text{–}}{a}=\frac{\text{Δ}v}{\text{Δ}t}=\frac{{v}_{ \text{f}}-{v}_{i}}{{t}_{\text{f}}-{t}_{i}} [/latex] между временами [латекс] \text{Δ} t={t}_{6}-{t}_{1},\text{Δ}t={t}_{5}-{t}_{2} [/латекс] и [латекс] \ текст{Δ}t={t}_{4}-{t}_{3} [/латекс]. Когда [latex] \text{Δ}t\to 0 [/latex], среднее ускорение приближается к мгновенному ускорению в момент времени t0. На виде (а) показано мгновенное ускорение для точки на кривой скорости при максимальной скорости. В этой точке мгновенное ускорение представляет собой наклон касательной, который равен нулю. В любой другой момент времени наклон касательной и, следовательно, мгновенное ускорение не были бы равны нулю. (b) То же, что и (a), но показано для мгновенного ускорения при минимальной скорости.
Чтобы проиллюстрировать эту концепцию, рассмотрим два примера. Во-первых, показан простой пример с использованием (Рисунок)(b), графика зависимости скорости от времени (Рисунок), для графического определения ускорения. Этот график изображен на (Рисунок)(а) и представляет собой прямую линию. Соответствующий график зависимости ускорения от времени находится по наклону скорости и показан на (Рисунок)(б). В этом примере функция скорости представляет собой прямую линию с постоянным наклоном, поэтому ускорение является постоянным. В следующем примере функция скорости имеет более сложную функциональную зависимость от времени.
Рисунок 3.15 (a, b) График зависимости скорости от времени является линейным и имеет отрицательный постоянный наклон (a), равный ускорению, показанному на (b).
Если мы знаем функциональную форму скорости, v ( t ), мы можем рассчитать мгновенное ускорение a ( t ) в любой момент времени в движении, используя (Рисунок).
{2}\,\text{м/с} [/latex].
- Найдите функциональную форму ускорения.
- Найти мгновенную скорость в точке t = 1, 2, 3 и 5 с.
- Найти мгновенное ускорение в точке т = 1, 2, 3 и 5 с.
- Интерпретируйте результаты (c) с точки зрения направлений векторов ускорения и скорости.
Стратегия
Найдем функциональную форму ускорения, взяв производную от функции скорости. Затем вычисляем значения мгновенной скорости и ускорения по заданным функциям для каждого. Для части (d) нам нужно каждый раз сравнивать направления скорости и ускорения. 9{2} [/латекс]
В t = 2 с скорость увеличилась до [латекс] v(2\,\text{s)}=20\,\text{м/с} [/латекс], где она максимальна, что соответствует моменту, когда ускорение равно нулю.
Мы видим, что максимальная скорость возникает, когда наклон функции скорости равен нулю, что равно нулю функции ускорения.
В момент времени t = 3 с скорость равна [латекс] v(3\,\text{s)}=15\,\text{м/с} [/латекс], а ускорение отрицательно. Частица уменьшила свою скорость, и вектор ускорения отрицателен. Частица замедляется.
При t = 5 с скорость равна [латекс] v(5\,\текст{с)}=-25\,\текст{м/с} [/латекс], а ускорение становится все более отрицательным. Между моментами времени t = 3 с и t = 5 с скорость частицы уменьшилась до нуля, а затем стала отрицательной, тем самым изменив свое направление. Теперь частица снова ускоряется, но в противоположном направлении.
Мы можем увидеть эти результаты графически на (Рисунок).
Рисунок 3.16 (a) Скорость в зависимости от времени. Касательные линии указаны в моменты времени 1, 2 и 3 с. Наклоны касательных линий являются ускорениями. При t = 3 с скорость положительна.
При t = 5 с скорость отрицательна, что указывает на то, что частица изменила направление. (b) Ускорение в зависимости от времени. Сравнивая значения ускорений, указанные черными точками, с соответствующими наклонами касательных (наклоны линий, проходящих через черные точки) на (а), мы видим, что они идентичны.
Значение
Проводя численный и графический анализ скорости и ускорения частицы, мы можем многое узнать о ее движении. Численный анализ дополняет графический анализ, давая общее представление о движении. Ноль функции ускорения соответствует максимуму скорости в этом примере. Также в этом примере, когда ускорение положительно и в том же направлении, что и скорость, скорость увеличивается. По мере того, как ускорение стремится к нулю, со временем становясь отрицательным, скорость достигает максимума, после чего начинает уменьшаться. Если мы подождем достаточно долго, скорость также станет отрицательной, указывая на изменение направления. Реальным примером такого типа движения является автомобиль, скорость которого увеличивается до максимума, после чего он начинает замедляться, останавливается, а затем меняет направление.
Проверьте свое понимание
Самолет приземляется на взлетно-посадочной полосе, направляясь на восток. Опишите его ускорение.
Показать решениеЧувство ускорения
Вы, вероятно, привыкли ощущать ускорение, когда входите в лифт или нажимаете на педаль газа в машине. Однако ускорение происходит и со многими другими объектами в нашей Вселенной, с которыми у нас нет прямого контакта. (Рисунок) представлены ускорения различных объектов. Мы можем видеть, что величины ускорений простираются на многие порядки.
25; 2; 5; 9.8; 29; 59; 79; 147; 982; 1540; 3200; 30,000; 1,000,000; 1.9 multiplied by 10 in the 9 power.»> В этой таблице мы видим, что типичные ускорения сильно различаются для разных объектов и не имеют ничего общего с размером объекта или его массой.
Ускорение также может сильно меняться со временем во время движения объекта. Дрэг-рейсер имеет большое ускорение сразу после старта, но затем оно уменьшается, когда транспортное средство достигает постоянной скорости. Его среднее ускорение может сильно отличаться от его мгновенного ускорения в определенный момент времени во время его движения. (Рисунок) графически сравнивает среднее ускорение с мгновенным ускорением для двух очень разных движений.
Рисунок 3.17 График зависимости мгновенного ускорения от времени для двух различных одномерных движений. а) Ускорение меняется незначительно и всегда в одном и том же направлении, так как оно положительно. Среднее значение по интервалу почти такое же, как ускорение в любой момент времени. (b) Ускорение сильно различается, возможно, это представляет собой пакет на ленточном конвейере почтового отделения, который ускоряется вперед и назад, когда он толкается. В такой ситуации необходимо рассматривать небольшие промежутки времени (например, от 0 до 1,0 с) с постоянным или почти постоянным ускорением.
Узнайте о графиках положения, скорости и ускорения. Перемещайте человечка вперед-назад с помощью мыши и зарисовывайте его движение. Установите положение, скорость или ускорение, и пусть симуляция переместит человека за вас. Посетите эту ссылку, чтобы использовать симуляцию движущегося человека.
Сводка
- Ускорение — это скорость изменения скорости. Ускорение — это вектор; оно имеет как величину, так и направление. Единицей ускорения в системе СИ является метр в секунду в квадрате.
- Ускорение может быть вызвано изменением величины или направления скорости, или тем и другим.
- Мгновенное ускорение a ( t ) является непрерывной функцией времени и дает ускорение в любой конкретный момент времени во время движения. Он рассчитывается из производной функции скорости. Мгновенное ускорение — это наклон графика зависимости скорости от времени.
- Отрицательное ускорение (иногда называемое замедлением) — это ускорение в отрицательном направлении в выбранной системе координат.
Концептуальные вопросы
Возможно ли, чтобы скорость была постоянной, а ускорение не равно нулю?
Показать решениеВозможно ли, чтобы скорость была постоянной, а ускорение не равным нулю? Объяснять.
Приведите пример, в котором скорость равна нулю, а ускорение — нет.
Показать решениеЕсли поезд метро движется влево (имеет отрицательную скорость), а затем останавливается, то как направлено его ускорение? Ускорение положительное или отрицательное?
Знаки плюс и минус используются при одномерном движении для указания направления. Каков знак ускорения, уменьшающего модуль отрицательной скорости? положительной скорости?
Показать решениеГепард может разогнаться из состояния покоя до скорости 30,0 м/с за 7,00 с. Каково его ускорение?
Показать решение Доктор Джон Пол Стэпп был офицером ВВС США, который изучал влияние экстремального ускорения на организм человека. 10 декабря 1954, Стапп ехал на ракетных салазках, разогнавшись из состояния покоя до максимальной скорости 282 м/с (1015 км/ч) за 5,00 с и резко остановившись всего за 1,40 с.
Вычислите его (а) ускорение в направлении его движения и (б) ускорение, противоположное направлению его движения. Выразите каждое из них кратным г (9,80 м/с 2 ), взяв его отношение к ускорению свободного падения.
Нарисуйте график зависимости ускорения от времени, используя следующий график зависимости скорости от времени.
Показать ответПассажирка выезжает из гаража задним ходом с ускорением 1,40 м/с 2 . а) За какое время она достигнет скорости 2,00 м/с? б) Если она затем затормозит до остановки через 0,800 с, каково ее ускорение?
Предположим, что межконтинентальная баллистическая ракета выходит из состояния покоя до суборбитальной скорости 6,50 км/с за 60,0 с (фактическая скорость и время засекречены). Чему равно его среднее ускорение в метрах в секунду и кратное г (9,80 м/с 2 )?
Показать решение Самолет, стартовав из состояния покоя, движется по ВПП с постоянным ускорением в течение 18 с, а затем взлетает со скоростью 60 м/с.
Каково среднее ускорение самолета?
Глоссарий
- среднее ускорение
- скорость изменения скорости; изменение скорости во времени
- мгновенное ускорение
- ускорение в определенный момент времени
10.2 Вращение с постоянным угловым ускорением — University Physics Volume 1
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Вывести кинематические уравнения для вращательного движения с постоянным угловым ускорением
- Выберите из кинематических уравнений для вращательного движения с постоянным угловым ускорением соответствующие уравнения для решения неизвестных при анализе систем, совершающих вращение с неподвижной осью
- Используйте решения, найденные с помощью кинематических уравнений, для проверки графического анализа вращения с фиксированной осью с постоянным угловым ускорением
В предыдущем разделе мы определили вращательные переменные углового смещения, угловой скорости и углового ускорения.
В этом разделе мы работаем с этими определениями, чтобы вывести взаимосвязи между этими переменными и использовать эти взаимосвязи для анализа вращательного движения твердого тела вокруг фиксированной оси с постоянным угловым ускорением. Этот анализ формирует основу для кинематики вращения. Если угловое ускорение постоянно, уравнения кинематики вращения упрощаются, подобно уравнениям линейной кинематики, обсуждаемым в «Движении по прямой» и «Движении в двух и трех измерениях». Затем мы можем использовать этот упрощенный набор уравнений для описания многих приложений в физике и технике, где угловое ускорение системы является постоянным. Кинематика вращения также является предпосылкой для обсуждения динамики вращения далее в этой главе.
Кинематика вращательного движения
Используя нашу интуицию, мы можем начать видеть, как величины вращения θ, θ, ω, ω, αα и t связаны друг с другом. Например, в предыдущем разделе мы видели, что если маховик имеет угловое ускорение в том же направлении, что и его вектор угловой скорости, его угловая скорость увеличивается со временем, и его угловое смещение также увеличивается.
Наоборот, если угловое ускорение противоположно вектору угловой скорости, его угловая скорость уменьшается со временем. Мы можем описать эти физические ситуации и многие другие с помощью согласованного набора уравнений кинематики вращения при постоянном угловом ускорении. Такой метод исследования вращательного движения называется кинематикой вращательного движения.
Для начала отметим, что если система вращается с постоянным ускорением, то средняя угловая скорость подчиняется простому соотношению, поскольку угловая скорость линейно возрастает со временем. Средняя угловая скорость равна половине суммы начального и конечного значений:
ω–=ω0+ωf2.ω–=ω0+ωf2.10,9
Из определения средней угловой скорости можно найти уравнение, связывающее угловое положение, среднюю угловую скорость и время:
ω–=ΔθΔt.ω–=ΔθΔt.
Решая θθ, мы имеем
θf=θ0+ω–t, θf=θ0+ω–t,10,10
, где мы установили t0=0t0=0. Это уравнение может быть очень полезным, если мы знаем среднюю угловую скорость системы.
Тогда мы могли бы найти угловое смещение за заданный период времени. Далее находим уравнение, связывающее ωω, αα и t . Чтобы определить это уравнение, начнем с определения углового ускорения:
α=dωdt.α=dωdt.
Мы преобразуем это, чтобы получить αdt=dωαdt=dω, а затем интегрируем обе части этого уравнения от начальных значений до конечных значений, то есть от t0t0 до t и от ω0 до ωfω0 до ωf. При равномерном вращательном движении угловое ускорение постоянно, поэтому его можно вынести из интеграла, что даст два определенных интеграла:
α∫t0tdt′=∫ω0ωfdω.α∫t0tdt′=∫ω0ωfdω.
Установка t0=0t0=0, имеем
αt=ωf−ω0.αt=ωf−ω0.
Переставляем это, чтобы получить
ωf=ω0+αt,ωf=ω0+αt,10.11
, где ω0ω0 — начальная угловая скорость. Уравнение 10.11 является вращательным аналогом уравнения линейной кинематики vf=v0+atvf=v0+at. С помощью уравнения 10.11 мы можем найти угловую скорость объекта в любое заданное время от 90 457 до 90 020, учитывая начальную угловую скорость и угловое ускорение.
Теперь проведем аналогичную обработку, начиная с уравнения ω=dθdtω=dθdt. Мы перестраиваем его, чтобы получить ωdt=dθωdt=dθ, и снова интегрируем обе части от начального до конечного значения, отмечая, что угловое ускорение является постоянным и не зависит от времени. Однако на этот раз угловая скорость непостоянна (в общем случае), поэтому подставим в то, что мы вывели выше:
∫t0tf(ω0+αt′)dt′=∫θ0θfdθ;∫t0tω0dt+∫t0tαt′dt′=∫θ0θfdθ=[ω0t′+α((t′)22)]t0t=ω0t+α(t22)=θf− θ0,∫t0tf(ω0+αt′)dt′=∫θ0θfdθ;∫t0tω0dt+∫t0tαt′dt′=∫θ0θfdθ=[ω0t′+α((t′)22)]t0t=ω0t+α(t22)=θf −θ0,
, где мы установили t0=0t0=0. Теперь переставляем, чтобы получить
θf=θ0+ω0t+12αt2.θf=θ0+ω0t+12αt2.10.12
Уравнение 10.12 представляет собой вращательный аналог уравнения линейной кинематики, найденного в книге «Движение вдоль прямой линии» для положения как функции времени. Это уравнение дает нам угловое положение вращающегося твердого тела в любой момент времени t заданы начальные условия (начальное угловое положение и начальная угловая скорость) и угловое ускорение.
Мы можем найти уравнение, которое не зависит от времени, решив для t в уравнении 10.11 и подставив в уравнение 10.12. Уравнение 10.12 становится
22αθf=θ0+ω0( ?0005
или
ωf2=ω02+2α(Δθ).ωf2=ω02+2α(Δθ).10.13
Уравнения с 10.10 по 10.13 описывают вращение с фиксированной осью для постоянного ускорения и сведены в Таблицу 10.1.
| Угловое смещение от средней угловой скорости | θf=θ0+ω–tθf=θ0+ω–t |
| Угловая скорость из углового ускорения | ωf=ω0+αtωf=ω0+αt |
| Угловое смещение от угловой скорости и углового ускорения | θf=θ0+ω0t+12αt2θf=θ0+ω0t+12αt2 |
| Угловая скорость по угловому смещению и угловому ускорению | ωf2=ω02+2α(Δθ)ωf2=ω02+2α(Δθ) |
Стол
10.
1
Кинематические уравнения
Применение уравнений вращательного движения
Теперь мы можем применить ключевые кинематические соотношения для вращательного движения к нескольким простым примерам, чтобы понять, как уравнения можно применять в повседневных ситуациях.
Пример 10.4
Расчет ускорения рыболовной катушки
Глубоководный рыбак ловит на крючок большую рыбу, которая уплывает от лодки, вытягивая леску из своей рыболовной катушки. Вся система изначально находится в покое, а леска разматывается с катушки на радиусе 4,50 см от ее оси вращения. Катушке придается угловое ускорение 110 рад/с2110 рад/с2 в течение 2,00 с (рис. 10.11).а) Какова конечная угловая скорость барабана через 2 с?
(б) Сколько оборотов делает катушка?
Рисунок 10.11 Леска, сходящая с вращающейся катушки, движется линейно.
Стратегия
Определите известные и сравните с кинематическими уравнениями для постоянного ускорения.
Найдите подходящее уравнение, которое можно решить относительно неизвестного, используя известные в описании задачи.Решение
- Нам даны αα и t , и мы хотим определить ωω. Наиболее просто использовать уравнение ωf=ω0+αtωf=ω0+αt, поскольку известны все члены, кроме неизвестной переменной, которую мы ищем. Нам дано, что ω0=0ω0=0 (начинается из состояния покоя), поэтому
ωf=0+(110рад/с2)(2,00с)=220рад/с.ωf=0+(110рад/с2)(2,00с)=220рад/с.
- Нас просят найти количество оборотов. Поскольку 1 об = 2 π рад 1 об = 2 π рад, мы можем найти количество оборотов, найдя θθ в радианах. Нам даны αα и t , и мы знаем, что ω0ω0 равно нулю, поэтому мы можем получить θθ, используя
θf=θi+ωit+12αt2=0+0+(0,500)(110рад/с2)(2,00с)2=220рад.θf=θi+ωit+12αt2=0+0+(0,500)(110рад/с2)( 2.00с)2=220рад.
Преобразование радианов в обороты даетЧисло оборотов=(220рад)1об2πрад=35.
0об. Число оборотов=(220рад)1об2πрад=35.0об.
0об. Число оборотов=(220рад)1об2πрад=35.0об.Значение
Этот пример показывает, что отношения между величинами вращения во многом аналогичны отношениям между линейными величинами. Ответы на вопросы реалистичны. После размотки в течение двух секунд обнаруживается, что катушка вращается со скоростью 220 рад/с, что составляет 2100 об/мин. (Неудивительно, что барабаны иногда издают высокие звуки.)В предыдущем примере мы рассмотрели рыболовную катушку с положительным угловым ускорением. Теперь рассмотрим, что происходит при отрицательном угловом ускорении.
Пример 10,5
Расчет продолжительности замедления и остановки рыболовной катушки
Теперь рыбак тормозит спиннинговую катушку, достигая углового ускорения -300рад/с2-300рад/с2. Сколько времени требуется барабану, чтобы остановиться?Стратегия
Нас просят найти время t , чтобы барабан остановился.
Начальные и конечные условия отличаются от условий в предыдущей задаче, в которой использовалась та же рыболовная катушка. Теперь мы видим, что начальная угловая скорость ω0=220рад/sω0=220рад/с, а конечная угловая скорость ωω равна нулю. Угловое ускорение задается как α=-300 рад/с2.α=-300рад/с2. Исследуя имеющиеся уравнения, мы видим все величины, кроме t известны в ωf=ω0+αtωf=ω0+αt, что упрощает использование этого уравнения.Раствор
Уравнение утверждаетωf=ω0+αt.ωf=ω0+αt.
Алгебраически решаем уравнение для t и затем, как обычно, подставляем известные значения, что дает 220,0 рад/с−300,0 рад/с2=0,733 с.
Значение
Обратите внимание, что необходимо соблюдать осторожность со знаками, указывающими направления различных величин. Также обратите внимание, что время остановки барабана довольно мало, потому что ускорение довольно велико. Леска иногда рвется из-за связанных с ней ускорений, и рыбаки часто позволяют рыбе немного поплавать, прежде чем затормозить катушку.
Уставшая рыба медленнее, и ей требуется меньшее ускорение.Проверьте свое понимание 10.2
Центрифуга, используемая для выделения ДНК, вращается с максимальной скоростью 7000 об/мин, создавая на образце «перегрузку», которая в 6000 раз превышает силу тяжести. Если центрифуге требуется 10 секунд, чтобы прийти в состояние покоя с максимальной скорости вращения: (a) Каково угловое ускорение центрифуги? б) Каково угловое перемещение центрифуги за это время?
Пример 10,6
Угловое ускорение воздушного винта
На рис. 10.12 показан график зависимости угловой скорости воздушного винта самолета от времени. Его угловая скорость начинается с 30 рад/с и линейно падает до 0 рад/с в течение 5 секунд. а) Найдите угловое ускорение объекта и проверьте результат с помощью кинематических уравнений. (b) Найдите угол, на который поворачивается пропеллер за эти 5 секунд, и проверьте свой результат, используя уравнения кинематики.
Рисунок 10.12 График зависимости угловой скорости винта от времени.
Стратегия
- Поскольку угловая скорость изменяется линейно со временем, мы знаем, что угловое ускорение постоянно и не зависит от временной переменной. Угловое ускорение представляет собой наклон графика зависимости угловой скорости от времени, α=dωdtα=dωdt. Чтобы рассчитать наклон, мы читаем непосредственно из рисунка 10.12 и видим, что ω0=30 рад/sω0=30 рад/с при t=0st=0с и ωf=0рад/sωf=0рад/с при t=5st=5с. Затем мы можем проверить результат, используя ω=ω0+αtω=ω0+αt.
- Используем уравнение ω=dθdt;ω=dθdt; поскольку производная угла по времени является угловой скоростью, мы можем найти угловое смещение, интегрируя угловую скорость, что на рисунке означает взятие площади под графиком угловой скорости. Другими словами:
∫θ0θfdθ=θf−θ0=∫t0tfω(t)dt.∫θ0θfdθ=θf−θ0=∫t0tfω(t)dt.
Затем мы используем кинематические уравнения для постоянного ускорения, чтобы проверить результат.
Решение
- Вычисляя наклон, получаем
α=ω−ω0t−t0=(0−30,0)рад/с(5,0−0)s=−6,0рад/с2.α=ω−ω0t−t0=(0−30,0)рад/с(5,0−0) )s=−6,0 рад/с2.
Мы видим, что это точно такое же уравнение 10.11 с небольшой перестановкой членов. - Мы можем найти площадь под кривой, вычислив площадь прямоугольного треугольника, как показано на рис. 10.13.
Рисунок 10.13 Площадь под кривой — это площадь прямоугольного треугольника.
Δθ=площадь(треугольник);Δθ=12(30рад/с)(5с)=75рад.Δθ=площадь(треугольник);Δθ=12(30рад/с)(5с)=75рад.
Мы проверяем решение, используя уравнение 10.12:θf=θ0+ω0t+12αt2.θf=θ0+ω0t+12αt2.
Полагая θ0=0θ0=0, имеемθf=(30,0рад/с)(5,0с)+12(−6,0рад/с2)(5,0рад/с)2=150,0−75,0=75,0рад.θf=(30,0рад/с)(5,0с)+ 12(−6,0рад/с2)(5,0рад/с)2=150,0−75,0=75,0рад.
Это подтверждает решение, найденное путем нахождения площади под кривой.
Значение
Из части (б) мы видим, что существуют альтернативные подходы к анализу вращения с фиксированной осью с постоянным ускорением.
Leave A Comment