Тема урока | Площадь треугольника | Тип урока | урок обобщения и систематизации знаний | ||||||||||||||||||||||||
Цель | |||||||||||||||||||||||||||
Систематизировать и закрепить знания учащихся по теме «Треугольники». | |||||||||||||||||||||||||||
Задачи | |||||||||||||||||||||||||||
Предметные | Метапредметные | Личностные | |||||||||||||||||||||||||
Повторить и обобщить тему “Треугольники”; Совершенствовать навыки решения задач на применение основной формулы площади треугольников; | Показать связь теории с практикой, способствовать выработке навыков решения задач, применяя ранее изученный материал. | Развивать внимание, память, умение выражать свои мысли Активизировать умение анализировать, делать выводы. Развивать умение анализировать, обобщать материал; | |||||||||||||||||||||||||
Ресурсы урока | интерактивное оборудование, раздаточный материал с задачами из открытого банка ОГЭ | ||||||||||||||||||||||||||
Технологии | Системно-деятельностный подход. | ||||||||||||||||||||||||||
Ход урока | |||||||||||||||||||||||||||
Содержание деятельности учителя | Содержание деятельности обучающихся | ||||||||||||||||||||||||||
1 этап урок — Мотивационно-целевой | |||||||||||||||||||||||||||
1 слайд В Математическом дворце, В треугольном зале Три подружки-хохотушки Весело болтали. Две из них в подарок вам Что-то делят пополам. Назовите имена подружек. О какой фигуре мы сегодня поговорим? Верно | Медиана, биссектриса, высота Треугольник | ||||||||||||||||||||||||||
Давайте вспомним ,что мы знаем о треугольниках | |||||||||||||||||||||||||||
2 этап урока — Операционно-деятельностный | |||||||||||||||||||||||||||
2 слайд Ответить на вопросы:
7. Перечислите свойства равнобедренного треугольника.
10. Перечислите свойства прямоугольного треугольника | 1.Треуго́льник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. 2. Вершины, стороны 3. Тупоугольный, прямоугольный 4. Равнобедренный, равносторонний, разносторонний 5. Это треугольник, у которого все стороны равны 6. Это треугольник, у которого две стороны равны 7. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны; в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой; в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой; в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. 9. 10. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Если в прямоугольном треугольнике один из углов равен 45º, то такой треугольник – равнобедренный. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30º, равен половине гипотенузы Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол напротив этого катета равен 30º. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половин | ||||||||||||||||||||||||||
Что мы с вами ещё не вспомнили о треугольниках? 4 слайд Как найти площадь треугольника? Формула, верная для всех треугольников. 5 слайд Какая тема урока? 6 слайд Какая цель урока? | Площадь треугольника Вспомнить формулу площади, и как её использовать. | ||||||||||||||||||||||||||
Теперь давайте решим задачи для подготовки к ОГЭ из открытого банка ФИПИ. Я буду вызывать к доске по одному. Смотри задачи приложение 2 | |||||||||||||||||||||||||||
7 слайд ЗАДАЧА 1 В треугольнике одна из сторон равна 10, а опущенная на нее высота — 5. Найдите площадь треугольника. | Используем только формулу площади | ||||||||||||||||||||||||||
8 слайд ЗАДАЧА 2 Две стороны равнобедренного треугольника равны 8 и 5, а две его высоты равны 4,8 и 3. Найдите площадь треугольника. Сколько возможных решений? Ответ будет один и тот же или разный? Почему? | |||||||||||||||||||||||||||
9 слайд ЗАДАЧА 3 Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.
Чему равна высота? Чему равна сторона, к которой проведена эта высота? | |||||||||||||||||||||||||||
10 слайд ЗАДАЧА 4 На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
Можем ли мы на чертеже найти длину высоты и стороны, к которой эта высота проведена? | |||||||||||||||||||||||||||
11 слайд ЗАДАЧА 5 У треугольника со сторонами 16 и 2 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне? | Сначала надо найти площадь, используя сторону 16 и высоту 1. Затем использовать найденную площадь и вторую сторону, и найти вторую высоту. | ||||||||||||||||||||||||||
12 слайд ЗАДАЧА 6 Периметр равнобедренного треугольника равен 196, а основание — 96. Найдите площадь треугольника. | Используя определение равнобедренного треугольника, найти боковые стороны. | ||||||||||||||||||||||||||
13 слайд ЗАДАЧА 7 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, а основание равно 12. Найдите площадь этого треугольника. | Провести высоту к основанию. Используя свойство равнобедренного треугольника и теорему Пифагора, найти высоту. Затем найти площадь. | ||||||||||||||||||||||||||
14 слайд ЗАДАЧА 8 В треугольнике ABC: BD – высота, AD=1, DC=3, ∠DBC=45º. Найдите площадь треугольника ABC. | Используя свойство прямоугольного треугольника, доказать, что треугольник BDC является равнобедренным. Значит BD=DC=3. Значит площадь можно найти зная BD и AC | ||||||||||||||||||||||||||
15 слайд ЗАДАЧА 9 Найдите площадь равнобедренного треугольника, изображенного на рисунке. Как проведём высоту? А вы знаете AB? А если провести другую высоту? | К AB Нет Задача решается легче, если провести высоту к боковой стороне. Затем найти площадь | ||||||||||||||||||||||||||
16 слайд ЗАДАЧА 10 Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке. | Используя дважды теорему Пифагора, найти два катета. Затем найти площадь | ||||||||||||||||||||||||||
3.этап урока — Оценочный | |||||||||||||||||||||||||||
Теперь проверьте свои задачи. Кто сделал все задачи и все правильно, те сдавайте тетрадь на проверку. (Проверка задач идёт минуты за 3 или 4 и тех ребят, которые сделали все задачи) | |||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||
4 этап урок – Рефлексивный | |||||||||||||||||||||||||||
17 слайд Что мы сегодня повторяли? | Треугольники и его площадь | ||||||||||||||||||||||||||
Вы сегодня что-то новое узнали? (Может, новые задачи решали? Может, новые способы решения задач узнали?) Какие задачи у вас вызвали трудности, и почему? | |||||||||||||||||||||||||||
5 этап урока – Домашнее задание (приложение 1) 18 слайд | |||||||||||||||||||||||||||
Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке. | |||||||||||||||||||||||||||
На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь. | |||||||||||||||||||||||||||
У треугольника со сторонами 12 и 3 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне? | |||||||||||||||||||||||||||
Периметр равнобедренного треугольника равен 234, а основание – 104. Найдите площадь треугольника. | |||||||||||||||||||||||||||
Какой угол треугольника наибольший, какой наименьший?
Наибольший угол К, наименьший угол L
Всего подготовлено 10 задач. Скорее всего на уроке все решить не успеем. Кто решит все задачи до звонка с урока, тот подходит и проверяет ответы. Если верно, то тетрадь оставляет на столе. Я проверю и поставлю оценку. Если не верно, то идёт исправлять.
Провести высоту к основанию. Используя свойство равнобедренного треугольника и теорему Пифагора, найти высоту. Затем найти площадь.
Тогда её можно будет найти по свойству прямоугольного треугольника с углом 30º.
Треугольник. Медиана, биссектриса, высота, средняя линия.
ОпределениеТреугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек на плоскости, которые не лежат на одной прямой, и трех последовательно соединяющих их отрезков.
Точки называют вершинами треугольника, а отрезки – сторонами. Вершины треугольника обозначают заглавными латинскими буквами.
Виды треугольников по углам
Треугольники классифицируются по углам: остроугольные; тупоугольные; прямоугольные.
| Остроугольные | Тупоугольные | Прямоугольные |
| Остроугольным треугольником называется треугольник, у которого все три угла острые. На рисунке показан такой остроугольный треугольник АВС. | Тупоугольным называется треугольник, у которого есть тупой угол. В треугольнике может быть только один тупой угол. На рисунке показан треугольник такого вида, где угол М – тупой. | Прямоугольным называется треугольник, у которого есть угол, равный 90 |
Виды треугольников по сторонам
Треугольники классифицируются по сторонам: разносторонний; равнобедренный; равносторонний.
| Разносторонний | Равнобедренный | Равносторонний |
Треугольник называется разносторонним, если у него длины всех сторон разные. На рисунке показан такого вида треугольник АВС. | Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. На рисунке показан равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ=ВС. | Треугольник называется равносторонним, если у него все стороны равны. На рисунке показан такой треугольник, у него АВ=ВС=АС. |
Медиана
ОпределениеОтрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
В любом треугольнике можно провести три медианы, так как сторон – три. На рисунке показаны медианы треугольника АВС: AF, EC, BD.
По данному рисунку также видно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке – точке О. Это справедливо для любого треугольника.
Биссектриса
ОпределениеВ любом треугольнике можно провести три биссектрисы, так как углов – три.
На рисунке показаны биссектрисы треугольника ЕDC: DD1, EE1 и CC1.
По рисунку также видно, что биссектрисы имеют одну точку пересечения. Это справедливо для любого треугольника.
Высота
ОпределениеВысота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне.
На рисунке показаны высоты треугольника АВС: АН1, ВН2 и СН3.
По рисунку видно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Это также справедливо для любого треугольника.
Средняя линия
ОпределениеСредней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке показаны три средние линии треугольника АВС: MN, KN и MK.
Средняя линия обладает следующими свойствами: она параллельна противоположной стороне; она равна половине противоположной стороны.
Выполним чертеж окружности, описанной около треугольника АВС, покажем на нём все дополнительные элементы.
При построении прямой АО образовалась точка пересечения этой прямой с окружностью, обозначим её буквой Е и соединим с точкой В и с точкой С. Получим вписанные углы АВЕ и АСЕ, опирающиеся на диаметр АЕ, следовательно угол АВЕ и АСЕ равны по 900.
Рассмотрим треугольники АВЕ и АВF: у них углы АВЕ и АFВ прямые, угол ЕАВ – общий, следовательно, эти треугольники подобны.
Составим отношение сторон:
AEAB..=ABAF.. откуда по свойству пропорции АВ2=АЕ∙АF
Рассмотрим треугольники АСЕ и ADF, у которых углы АСЕ и AFD прямые, а угол FAD – общий. Значит, треугольники АСЕ и ADF подобны.
Составим отношение сторон:
AEAD..=ACAF.. ; откуда выразим AD=AE∙AFАC..=AE∙AFAC..
Теперь рассмотрим наши два полученных равенства: АВ2=АЕ∙АF и AD=AE∙AFAC..
Видим, что 362=АЕ∙АF (подставили вместо АВ значение 36), также у нас известно, что АС=54. Найдем из второго равенства AD=AE∙AFAC..=36254..=24
Теперь найдем CD=AC-AD=54-24=30
Ответ: 30pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Задание 18OM21RНа клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник АВС. Найти длину его средней линии, параллельной стороне АС.
Для решения задачи надо вспомнить свойство средней линии: она параллельна основанию и равна его половине.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Задание 15OM21RВ треугольнике АВС известно, что угол ВАС равен 840, АD – биссектриса. Найдите угол ВАD. Ответ дайте в градусах.
Ключевое слово в данной задаче – биссектриса. Вспоминаем, что она делит угол пополам. Нам надо найти величину угла ВАD, следовательно он равен половине угла ВАС, то есть 840:2=420
Ответ: 42pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Даниил Романович | Просмотров: 7.1k
Как найти периметр равностороннего треугольника
- Войти
- Биографии репетитора
- Подготовка к тесту
СРЕДНЯЯ ШКОЛА
- ACT Репетиторство
- SAT Репетиторство
- Репетиторство PSAT
- ASPIRE Репетиторство
- ШСАТ Репетиторство
- Репетиторство STAAR
ВЫСШАЯ ШКОЛА
- Репетиторство MCAT
- Репетиторство GRE
- Репетиторство по LSAT
- Репетиторство по GMAT
К-8
- Репетиторство AIMS
- Репетиторство по HSPT
- Репетиторство ISEE
- Репетиторство по SSAT
- Репетиторство STAAR
Поиск 50+ тестов
- Академическое обучение
репетиторство по математике
- Алгебра
- Исчисление
- Элементарная математика
- Геометрия
- Предварительный расчет
- Статистика
- Тригонометрия
репетиторство по естественным наукам
- Анатомия
- Химия
- Физика
- Физиология
иностранные языки
- французский
- немецкий
- Латинский
- Китайский мандарин
- Испанский
начальное обучение
- Чтение
- Акустика
- Элементарная математика
прочие
- Бухгалтерия
- Информатика
- Экономика
- Английский
- Финансы
- История
- Письмо
- Лето
Поиск по 350+ темам
- О
- Обзор видео
- Процесс выбора наставника
- Онлайн-репетиторство
- Мобильное обучение
- Мгновенное обучение
- Как мы работаем
- Наша гарантия
- Влияние репетиторства
- Обзоры и отзывы
- Освещение в СМИ
- О преподавателях университета
Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:
(888) 888-0446
Все математические ресурсы PSAT
10 диагностических тестов 421 практический тест Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Справка по математике PSAT » Геометрия » Плоская геометрия » Треугольники » Равнобедренные треугольники » Как найти периметр равностороннего треугольника
Квадратный бордюр состоит из сплошного узора из равносторонних треугольников с равнобедренными треугольниками в качестве углов, один из которых показан выше.
Если длина каждой стороны равностороннего треугольника составляет 5 дюймов, а всего треугольников 40, каков общий периметр ковра?
Внутренние углы угловых треугольников равны 30°.
Возможные ответы:
180
208
188
200
124
Правильный ответ:
188
Объяснение:
Эта проблема состоит из двух компонентов. Первый и более простой — определить, какую часть периметра занимают равносторонние треугольники: поскольку всего треугольников 40, их должно быть 40 — 4 = 36. По наблюдениям, каждый из них вносит только одну сторону в общий периметр, поэтому мы можем просто умножить вклад 36 (5) = 180 дюймов. треугольники, а равные углы можно найти по
180 = 30+2x → x = 75°
Мы можем использовать коэффициенты, чтобы найти неизвестную сторону:
75/5 = 30/y → 75y = 150 → y = 2».
Поскольку у квадратного ковра 4 угла, 2(4) = 8 дюймов в общем периметре. Сложив 2 компонента, мы получим 180+8 = 188 дюймов периметра .
Сообщить об ошибке
Высота равностороннего треугольника равна
Каков периметр треугольника?
Возможные ответы:
8
6
12
24
Правильный ответ:
12
Пояснение:
Высота, проведенная в равностороннем треугольнике, образует два треугольника 30-60-90. Высота равностороннего треугольника равна длине большей стороны треугольника 30-60-90. Длина стороны равностороннего треугольника равна длине гипотенузы 30-60-90.
Отношение длины гипотенузы к длине более длинного катета 30-60-90 треугольник равен
Длина большей стороны треугольника 30-60-90 в этой задаче равна
Используя это отношение, мы находим, что длина гипотенузы этого треугольника равна 4.
Таким образом, периметр равностороннего треугольника будет 4 умножить на 3, что равно 12.
Сообщить об ошибке
Уведомление об авторских правах
Посмотреть репетиторов по математике PSAT
Стефани
Сертифицированный репетитор
Государственный университет Кливленда, бакалавр наук, математика. Университет Портленда, магистр педагогики, учебной программы и ин…
Посмотреть Репетиторы математики PSAT
Tyrique
Сертифицированный репетитор
Earlham College, бакалавр искусств, биохимия.
Просмотр PSAT Репетиторы по математике
Ливан
Сертифицированный репетитор
Университет Эмори, бакалавр наук, математика/экономика.
Все математические ресурсы PSAT
10 диагностических тестов 421 практический тест Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции
Трехточечная корреляционная функция для полей Spin-2 — arXiv Vanity
Масахиро Такада
и Бхувнеш Джайн
Физический факультет Пенсильванского университета, 209 S.
33rd Street,
Филадельфия, Пенсильвания, 19104;
Abstract
Трехточечная корреляционная функция (3PCF) полей спина 2,
космического сдвига и поляризации микроволнового фона.
статистическая мера негауссовых сигналов. В каждой вершине
треугольник, поле сдвига имеет две независимые компоненты.
Получившиеся восемь возможных 3PCF были недавно исследованы
Шнайдер и Ломбарди (2002 г.) и Залдарриага и Скоччимарро (2002 г.).
Используя преобразования вращения и четности, они поставили вопрос:
сколько компонентов сдвига 3PCF отличны от нуля и полезны?
Мы решаем этот вопрос, используя аналитическую модель и измерения
из моделирования трассировки лучей. Мы показываем, что все восемь 3PCF, вообще говоря,
отличны от нуля и имеют сравнимую амплитуду.
Эти восемь 3PCF можно использовать для улучшения отношения сигнал/шум при съемке.
данные и их конфигурационная зависимость могут быть использованы
разделить вклад от E- и B-мод. Это разделение
обеспечивает новый и точный анализ систематических ошибок.
Оцениваем отношение сигнал/шум
для измерения сдвига 3PCF из исследований слабого линзирования с использованием
смоделированные карты, которые включают шум из-за внутренней эллиптичности.
Съемка с глубоким линзированием площадью порядка 10 квадратных градусов позволила бы
для обнаружения сдвиговых 3PCF; съемка с площадью более 100
квадратные градусы необходимы для точных измерений.
космология: теория – гравитационное линзирование – крупномасштабная структура Вселенной – космический микроволновый фон
1 Введение
Может ли трехточечная корреляционная функция (3PCF) поля со спином 2 быть
полезный зонд негауссовых сигналов в космологии? Большинство
предыдущая работа была сосредоточена на 3PCF или его преобразовании Фурье,
биспектр скалярных величин, таких как плотность числа галактик
и температурная анизотропия в космическом микроволновом фоне (CMB).
Захватывающее развитие
является недавнее обнаружение 3PCF поля космического сдвига
Бернардо, Мелье и Ван Варбеке (2002a; см.
также Бернардо, Ван
Waerbeke & Mellier 2002b), который устанавливает новые ограничения на
моделей структурообразования, выходящих за рамки моделей двухточечного
статистика. Для реликтового излучения биспектр температурной анизотропии
многообещающий способ исследования первичных негауссовских
возмущения (например, Верде и др., 2000; Комацу и др., 2002).
3PCF поляризации реликтового излучения может открыть новый, дополнительный
окно для этого в том, что он может отдельно измерять негауссовскую
сигналы, возникающие из первичных скалярных, векторных и тензорных возмущений.
Поле со спином 2 имеет два компонента на небе, следовательно, его 3PCF в целом
имеет 23=8 компонентов. Можно спросить:
сколько из этих компонентов отличны от нуля? Все ли компоненты несут в себе полезную
информация о В- и Е-модах спина-2
поле 1 1 1 Двумерное поле со спином 2 можно разделить
в E-моду, выводимую из скалярного потенциала и
псевдоскалярный B-мода
(Каменковски, Косовски и Стеббинс, 1997;
Залдарриага и Сельяк, 1997 г .
; Hu & White 1997 для поляризации реликтового излучения
и Стеббинс 1996; Камионковский и др. 1998 год; Криттенден
и другие. 2001 г.; Шнайдер и др. 2002 для космического сдвига).?
Недавно Schneider & Lombardi (2002; далее SL02) и
Залдарриага и Скоччимарро (2002; далее ZS02) исследовали
эти вопросы.
Цель настоящего письма – прояснить эти вопросы.
используя геометрические аргументы и измерения
из моделирования трассировки лучей космического сдвига. Мы заплатим
особое внимание проблеме того, как
восемь 3PCF относятся к режимам E и B.
2 3ПКФ полей Spin-2
Две компоненты поля со спином 2 зависят от выбора
система координат. Предположим, у нас есть компоненты сдвига,
γ1 и γ2 на небе при заданных
Декартовы координаты 2 2 2
Используем обозначения слабого линзирования
для поля спина 2 γi; наша дискуссия может быть
применяется к поляризации реликтового излучения, если заменить γ1 и γ2
с параметрами Стокса Q и U соответственно.
Поворот системы координат на φ (против часовой
направлении в нашем соглашении) преобразует поля сдвига как
γ′1+iγ′2=(γ1+iγ2)e−i2φ.
Для двухточечной корреляционной функции (2PCF) задача о координатной зависимости сдвигового поля хорошо изучены в литературе (например, Бартельманн и Шнайдер, 2001). Для заданной пары точек Х1 и Х2, разделенные фиксированным углом θ, мы можем определить два компоненты 2PCF, инвариантные относительно поворотов координат: ξ+(θ)=⟨γ+(X1)γ+(X2)⟩ и ξ×(θ)=⟨γ×(X1)γ×(X2)⟩. Здесь γ+(Xi) и γ×(Xi) суть компоненты сдвига, определяемые проекцией сдвига вдоль направление φ, соединяющее две точки: . Другой возможный компонент, ⟨γ+γ×⟩, исчезает из-за четности инвариантность.
Рисунок 1: Верхний: Определения переменных треугольника, используемых для 3PCF. Внутренний угол между x1 и x2 определяется как ψ и его положительное направление показано стрелкой. Обратите внимание, что сплошная и штриховая кривые в каждой вершине покажите положительные направления для γ+ и γ×. Ниже: Зеркальное преобразование относительно боковой вектор x1 для ζ++×. Вершины преобразуются как 1→1′ и так далее.
Обратите внимание, что
компоненты + остаются неизменными по знаку, но знак ×
компонент перевернут.SL02 и ZS02 исследовали восемь возможных компонентов сдвиг 3PCF на основе +/× разложения поля сдвига. Мы будем внимательно следить за этими авторами при настройке геометрия 3PCF. В отличие от 2PCF здесь нет однозначного выбора. опорного направления для определения разложений +/× для полей сдвига в вершинах треугольника. «Центр масс», o, треугольника является одним из возможных доверительных выборов: о≡(1/3)∑3i=1Xi. На рис. 1 показан эскиз треугольника, который мы используем для определить сдвиг 3PCF. Сплошные и пунктирные линии в каждой вершине показывают положительные направления компонентов + и ×, соответственно. Определим также внутренний угол ψ между х1 и х2. Оператор проектирования для вычисления + или × компонентов в каждой вершине записывается как:
| Р+(Си) | = | −(θ2i1−θ2i2,2θi1θi2)/θ2i, | |||
| P×(Xi) | = | −(−2θi1θ2i, θ2i1−θ2i2)/θ2i, | (1) |
где θi≡Xi−o.
Используя эти проекции, получаем в каждой вершине
γ+=P+1γ1+P+2γ2 и γ×=P×1γ1+P×2γ2. Они преобразуются по четности как
γ+→γ+ и γ×→−γ×.
В терминах γ+ и γ× мы
определить восемь компонентов
сдвиг 3PCF для данного треугольника как функция
x1, x2 и ψ:
| ζμντ(x1,x2,ψ)≡⟨γμ(X% 1)γν(X2)γτ(X3)⟩, | (2) |
где μ,ν,τ=+ или × и ⟨⋯⟩ обозначают среднее по ансамблю. Определенный выше 3PCF инвариантен относительно вращения треугольника относительно центра o как указано в SL02. Следовательно, он полностью характеризуется тремя переменными x1,x2,ψ, как 3PCF скалярного поля (заметим, что если бы мы использовали декартовы компоненты сдвига, нам понадобилось бы четыре переменные, чтобы указать его, поскольку он не является инвариантным относительно вращения).
Для чистого Е-режима, на основе свойств γ+ и γ× при преобразованиях четности, описанных выше, мы делим восемь сдвиговых 3PCF на две группы:
| Функции контроля четности: | ζ+++,ζ+××,ζ×+×,ζ××+ | ||||
| Функции четности-нечетности: | ζ×××,ζ×++,ζ+×+,ζ++×. | (3) |
Слабое линзирование выдаёт только Е-режим, в то время как исходная галактика кластеризуется, внутренние выравнивания и систематика наблюдений индуцировать как E, так и B-моды в целом (Криттенден и др., 2001; Шнайдер и др., 2002) 3 3 3 Несколько отклонения линз обычно вызывают B-режим, но Jain, Seljak & White (2000) показали что индуцированная B-мода намного меньше, чем линзирующая E-мода с помощью моделирования трассировки лучей. Для поляризации реликтового излучения, хотя первичные скалярные возмущения генерировать только Е-моду, вектор и тензорные возмущения могут индуцировать обе моды (например, Kamionkowski et др. 1997).
Вопрос, заданный SL02 и ZS02, заключается в том,
все восемь 3PCF могут иметь вклад от линзирования.
Рассмотрим этот вопрос с помощью геометрических соображений.
и показать результаты моделирования в следующем разделе.
Преобразование четности для треугольника можно считать
зеркальное преобразование, как показано на рисунке 1, которое
показывает преобразование четности относительно стороны
вектор x1 в качестве примера.
Это соответствует изменению
ψ→2π−ψ в наших параметрах.
Рисунок 1 иллюстрирует
преобразование для ζ++×. Из статистической однородности и
симметрия, амплитуда
3PCF зависит только от расстояний между центром и каждым
вершина. Следовательно, абсолютные амплитуды ζ++×
для двух показанных треугольников должны быть одинаковыми. Но знак
γ× в вершине 3′ изменяется при этом преобразовании четности.
Для восьми 3PCF в уравнении (3)
можно сказать в целом:
| Четность по четности: ζμντ(x1,x2,ψ)=ζμντ(x1,x2,2π−ψ), | |||
| Четность-нечетность: ζµντ(x1,x2,ψ)=−ζµντ(x1,x2,2π−ψ). | (4) |
Далее рассмотрим равнобедренный треугольник с x1=x2. В этом случае γ× в вершинах 3 и 3′ в Рис. 1 статистически идентичны (если смотреть с центр треугольника, они должны иметь равные вклады при усреднении по распределению вещества). Таким образом, у нас есть дополнительные симметрии для двух нечетных 3PCF:
| ζ++×(x1,x1,ψ) | = | ζ++×(x1,x1,2π−ψ), | |||
| ζ×××(x1,x1,ψ) | = | ζ×××(x1,x1,2π−ψ). | (5) |
Свойства, описанные в уравнения (4) и (5) приводят к
| Равнобедренные треугольники: ζ++×=0,ζ×××=0. | (6) |
Обратите внимание, что этот аргумент не приводит к исчезновению двух других нечетно-четных функций, в которых × компонента находится в вершине, ограниченной неравными сторонами. Однако для равносторонних треугольников все четыре нечетные функции четности исчезнуть:
| Равносторонние треугольники: ζчетность-нечетность=0. | (7) |
Мы утверждаем, что для общего треугольника со всеми неравными сторонами,
разница в длине сторон
нарушить выраженную симметрию
в уравнении (5). Другими словами,
тот факт, что гравитация имеет зависимость от масштаба, позволяет
3PCF должны быть ненулевыми для треугольника с неравными сторонами.
Эти выводы согласуются с выводами SL02.
3 Прогнозы на основе моделирования трассировки лучей
Чтобы более точно продемонстрировать свойства сдвиговых 3PCF, мы используем моделирование трассировки лучей космического сдвига в исполнении Джейн и др. (2000). Мы используем модель SCDM (Ωm0=1, h=0,5 и σ8=0,6), с красным смещением источника zs=1 и площадь Ωsky=7,68 градуса2 (подробнее см. Jain et al. 2000). Мы последовали за Barriga & Gaztañaga (2002) в отношении алгоритма для рассчитать 3PCF. Списки соседей используются для нахождения трех вершин из данных на основе ячеек, а также вычислить проекционные операторы для каждого вершина. Планки погрешностей, показанные на следующих рисунках, вычислены из 9различные реализации (подробнее см. Takada & Jain 2002c).
Рисунок 2: Результаты моделирования с помощью трассировки лучей для сдвига 3PCF для равнобедренных треугольников. Длины двух сторон равны x1=x2=0,′97. Верхняя панель показывает четыре функции контроля четности, а нижняя панель показывает четыре нечетно-четные функции.
В иллюстративных целях,
результаты для ζ×+× и ζ++× таковы
немного сдвинуты по горизонтали. Сплошные кривые
показать аналитические расчеты сдвиговых 3PCF на основе
модель гало, разработанная Takada & Jain (2002b). На рис. 2 показаны результаты для сдвига 3PCFs
для равнобедренных треугольников относительно внутреннего угла ψ между
две равные стороны x1=x2=0,′97 (см. рис. 1).
Сдвиг 3PCF вычисляется из смоделированных данных путем усреднения
оценка по всем триплетам с заданной конфигурацией треугольника.
Для размера корзины мы использовали
Δx=0,′08 для длин сторон и
Δψ=π/20 для внутреннего угла.
На верхней панели показаны четыре четных по четности 3PCF, а на нижней панели
показывает нечетно-нечетные функции. Как и ожидалось,
ζ+++, по-видимому, имеет наибольшее
линзовые вклады, и, в частности,
пики для равносторонних треугольников с ψ=π/3.
Остальные три моды имеют меньшую амплитуду, чем ζ+++, а две из них
они одинаковы из-за симметричного треугольника и конфигураций сдвига.
Интересно,
особенности этих кривых соответствуют теоретическим кривым, показанным на рисунке 3.
ZS02 (ϕ на их рисунках соответствует π−ψ на нашем рисунке).
Их результаты были представлены с произвольной нормировкой по оси Y,
поэтому мы можем только сравнить зависимость конфигурации.
Таким образом, эти мелкомасштабные сложные функции в основном фиксируются
тангенциальными узорами сдвига вокруг одного ореола.
На нижней панели рис. 2, ясно, что два из 3PCF с нечетностью по четности отличны от нуля, но остальные исчезают, как указано в уравнении (6). Этот результат поясняет, что нечетные 3PCF в целом несут информацию о линзах и исчезают только для специального треугольника конфигурации. Для равнобедренных треугольников можно использовать две исчезающие нечетные функции четности. отличить систематику от E-моды. При ψ=π/3 треугольник равносторонний, и все нечетные 3PCF исчезают, как указано в уравнении (7).
Мы убедились, что результаты моделирования совпадают
с предсказаниями модели ореола с 1 ореолом. Сплошные кривые
на рисунке 2 показаны следующие предсказания модели гало.
формализм реального космического ореола, разработанный Takada & Jain (2002b).
Расчеты основаны на адаптации уравнения (52) из этой статьи.
путем замены κm соответствующим компонентом сдвига для гало
заданной массы. Подробное сравнение аналитического и имитационного
результаты для различных моделей будут представлены в Takada & Jain (2002c).
Элементы, показанные выше для равнобедренных треугольников
исследуются для треугольника с тремя неравными сторонами на рисунке
3, в котором x1=x2/2=0,′97.
Эта цифра построена в диапазоне
ψ=[0,2π], чтобы явно показать
четность (верхняя панель)
и нечетные (нижняя панель) свойства сдвиговых 3PCF.
Обратите внимание, что преобразование четности эквивалентно преобразованию
меняем ψ→2π−ψ в наших параметрах.
Как отмечено в ZS02, амплитуда 3PCF подавляется
для вытянутых треугольников из-за компенсаций в сигналах
вектороподобное свойство сдвига. Фигура
показывает, что все нечетные 3PCF
отличны от нуля и фактически все восемь 3PCF
имеют примерно сопоставимую амплитуду.
Обратите внимание, что
ζ××× и ζ+×+ равны нулю
при ψ/π=0,42, когда треугольник становится
равнобедренный треугольник с x2=x3, и, следовательно, 3PCFs
согласуются с результатом на рис. 2.
Поворачивая смоделированное поле сдвига в каждом положении на 45 градусов,
мы можем исследовать 3PCF карты чистого B-мода (Kaiser 1992). С
эта процедура преобразует γ+→γ× и γ×→−γ+,
мы находим ζE+++→ζB××× и так далее.
Следовательно, ζB×××
несет большую часть сигнала B-режима для треугольников, которые находятся близко
к равностороннему.
Далее свойства симметрии 3PCF
при ψ→2π−ψ (показано на рис. 3)
перевернуты для B-режима;
например, ζB×××(ψ)=ζB×××(2π−ψ).
Поэтому мы должны иметь в виду, что для
общее поле со спином 2, которое включает в себя моды E и B,
свойство ζ(ψ)=±ζ(2π−ψ) больше нельзя ожидать.
Таким образом, измерения ζ должны быть выполнены для всего диапазона
ψ=[0,2π] (в отличие от случая для 3PCF
скалярная величина, такая как поле плотности или температура CMB
поле колебаний).
Верхняя панель На рис. 4 показаны результаты для сдвига 3PCF для равносторонних треугольников относительно длины стороны. Для измерений по смоделированным данным, мы использовали треугольники с длина каждой стороны в диапазоне [r−Δr,r+Δr], с фиксированным размером ячейки Δr=0′,325. Поскольку все нечетные 3PCF равны нулю для равносторонний треугольник, результаты для ζ+++ и ζ+××(=ζ×+×=ζ+××) показаны. Мы также показываем предсказания модели гало для 1-галогенные члены ζ+++ и ζ+×× сплошной и штриховой кривыми соответственно. Это снова очевидно что предсказания модели гало хорошо согласуются с Результаты симуляции.
Для оценки отношения сигнал/шум (S/N) для измерения
сдвиг 3PCF из фактической съемки,
необходимо учитывать шум, возникающий из-за большого собственного
эллиптичности исходных галактик.
Нижняя часть рисунка 4 показывает
3PCF, измеренные по смоделированным картам сдвига, включая
шумовое загрязнение.
Мы предполагаем, что внутренние эллиптичности имеют случайные
ориентации с гауссовым распределением амплитуд
со среднеквадратичным значением σϵ=0,3.
Предполагается, что галактики распределены случайным образом с числовой плотностью
нгал≈38 угловых минут−2.
Видно, что ζ+++
могут быть обнаружены при съемке площадью порядка 10 квадратных градусов,
при условии, что в ошибках преобладают статистические ошибки.
Другие 3PCF труднее измерить для равносторонних
треугольники.
Здесь мы также показываем ζ×××, который, как ожидается,
быть равным нулю для сигнала E-режима, поэтому полосы погрешностей на нем показывают
точность, с которой можно ограничить B-режим.
Эти результаты частично подтверждают обнаружение сдвига 3PCF.
Бернардо и др. (2002a) из обзора космического сдвига
Van Waerbeke et al. (2001), хотя они использовали другой
оценщик сдвига 3PCF.
S/N для одной конкретной конфигурации треугольника с размером r
масштабируется примерно как S/N∝ζγ(σϵ/√ngal)−3Ω1/2surveyr2(Δlnr)3/2,
где Ωобзор – площадь съемки.
Комбинируя информацию из треугольников с разной конфигурацией
и из разных 3PCF мы можем улучшить S/N
(однако,
для интерпретации измеренных 3PCF необходимо
оценить, насколько коррелированы соседние бины, как обсуждается ниже).
Обратите внимание, что мы использовали SCDM
модель с ζ+++=2−4×10−6 для
г=1-5′; серийный номер для
модель согласованности ΛCDM ниже, потому что сигнал меньше,
например ζ+++=4−8×10−7 (Такада и Джейн, 2002c).
Этот грубый анализ приводит нас к выводу, что будущие опросы с
площадь ≳100
Degree2 должен обеспечивать измерения 3PCF с соотношением S/N
значительно более 10 в каждом бине, если исключить систематические ошибки.
4 Обсуждение
Мы исследовали 3PCF поля космического сдвига.
Мы измерили восемь компонентов сдвига 3PCF.
из моделирования трассировки лучей и проверили наши результаты
с помощью аналитических расчетов на основе модели гало.
Рисунки 2 и 3 показывают, что в общем случае все восемь компонент отличны от нуля, т.е.
имеют сопоставимую амплитуду и имеют сложную конфигурационную зависимость.
Эти результаты подтверждают анализ SL02, который проанализировал
3PCF на основе их преобразований при четности и вращениях.
3PCF показывают негауссовские сигнатуры, вызванные нелинейным гравитационная группировка. В сдерживании модели по измерениям сдвига 3PCF, необходимо будет разработать оптимальный способ совмещения восемь 3PCF. Для этого нам понадобятся явные соотношения показывая, как сдвиговые 3PCF связаны с E-режимом линзирования, по аналогии с двухточечным статистика (Криттенден и др., 2001; Шнайдер и др., 1998, 2002). Эта задача легче формулируется в пространстве Фурье. Если мы используем декартовы компоненты сдвига для определения 3PCF, тогда существуют простые соотношения между биспектрами сдвиговых 3ПКФ, ~ζijk и биспектр сходимости, Bκ:
| ~ζijk(l1,l2,l3)=Bκ(l1,l2,l3)ui(l1)uj(l2)uk(l3), | (8) |
где i,j,k=1,2 и ui(l)=(cos2φl,sin2φl) для E-моды.
Это уравнение показывает, что сдвиг
3PCF могут быть связаны с одним 3PCF для поля E-режима.
Например, мы можем получить биспектр сходимости, используя
восемь измеренных биспектров сдвига как:
| Bκ(l1,l2,l3)=∑i,j,kui(l1)uj(l2)uk(%l3)~ζijk(l1,l2,l3). | (9) |
Однако в реальном космосе до сих пор неясно, как лучше использовать восемь 3PCF, измеренные в ограниченном диапазоне масштабов, чтобы получить оптимальное оценщик Е-моды 3PCF. Другой вопрос, который мы не рассмотрели, заключается в том, насколько сильно 3PCF сдвига коррелируют для разных треугольных конфигураций, поскольку поля линзирования в масштабах угловых минут сильно негауссовы (например, Такада и Джейн, 2002а).
Реалистичные данные содержат шум, включающий оба режима E/B, как если бы
вклады внутренних корреляций эллиптичности, нелинейные
эффекты линзирования и систематические ошибки.
Мы показали, что две или все четыре нечетные 3PCF исчезают при
равнобедренные или равнобедренные треугольники соответственно (см.
рис. 2 и 4).
Для общих треугольников рисунок 3 показывает, что 3PCF полей сдвига E-моды
обладают специфическими свойствами симметрии при изменении
ψ→2π−ψ, где ψ — внутренний угол
треугольника, изображенного на рисунке 1.
Эти свойства можно использовать для поиска
Вклады B-моды (свойства симметрии которых обратные) как функция
масштаба и конфигурации. Таким образом, происхождение вклада B-моды
могут быть идентифицированы более точно, чем это возможно с двухточечной статистикой.
Примером явного теста для режимов B является измерение комбинаций
такие как ζ++×(x1,x2,ψ)+ζ++×(x1,x2,2π−ψ). Это должно быть нулем
для всех функций, нечетных по четности для чистой моды E, как указано
в уравнении (3).
Результаты, представленные выше, также могут быть применены к
параметры Стокса Q и U поляризации реликтового излучения.
Результаты, которые у нас есть
показано, подразумевает, что восемь 3PCF, построенных из комбинаций
Q/U, например. ⟨UQQ⟩, не исчезающие
сигнализирует, если поле поляризации реликтового излучения не является гауссовым.
Преимущество 3PCF состоит в том, что они могут различать негауссовость.
возникающие из-за E- и B-мод.
Однако, поскольку поляризация
сигнал мал по сравнению с флуктуациями температуры реликтового излучения,
это будет большой проблемой.
Мы благодарны Г. Бернштейну, Л. Хуи, М. Джарвису, П. Шнайдеру, R. Scoccimarro, A. Stebbins, A. Szalay и M. Tegmark за полезные обсуждения. Работа выполнена при поддержке грантов НАСА NAG5-10923, NAG5-10924. и грант фонда Кека.
Ссылки
- (Баррига и Газтаньяга, 2002 г.) Баррига, Дж., и Газтаньяга, Э. 2002, MNRAS, 333, 443.
- (Бартельманн и Шнайдер, 2001 г.) Бартельманн, М., и Шнайдер, П. 2001, Phys. Представитель 340, 291
- () Бернардо Ф., Мелье Ю. и Ван Ваербеке, Л. 2002a, A&A, 389, L28.
- () Бернардо Ф., Ван Вербеке и Л., Мелье, Ю. 2002b, astro-ph/0201029
- () Криттенден, Р. Г., Натараджан, П., Пен, У.-Л., и Теунс, Т. 2001, Ап.Дж., 559, 552
- () Ху, В. и Уайт, М.
1997, Phys. Ред. D, 56, 596 - () Джейн Б., Сельяк У. и Уайт С. Д. М. 2000, ApJ, 530, 547
- () Кайзер, Н. 1992, ApJ, 388, 272.
- () Камионковски М., Косовский А. и Стеббинс А. 1997, Phys. Ред. D, 55, 7368
- () Камионковски М., Бабул А., Кресс С. М. и Рефрегье А. 1998, МНРАН, 301, 1064
- () Комацу Э., Вандельт Б. Д., Спаргель Д., Бандай А. Дж., & Górski, K. M. 2002, ApJ, 566, 19.
- () Шнайдер П. и Ломбарди М. 2002 г., astro-ph/0207454 (SL02)
- () Шнайдер, П., Ван Ваербеке, Джейн, Б., и Крузе, Г. 1998, MNRAS, 296, 873
- () Шнайдер, П., Ван Ваербеке, Л., Килбингер, М., и Мелье, Ю. 2002, astro-ph/0206182
- () Стеббинс, А., 1996, astro-ph/9609149.
- () Такада М. и Джейн Б. 2002a, MNRAS, в печати, astro-ph/0205055
- () Такада М. и Джейн Б. 2002b, представлено в MNRAS, astro-ph/0209167.
- () Такада М. и Джейн Б. 2002c, в процессе подготовки
- ()
Ван Варбеке и др.
1997, Phys. Ред. D, 56, 596
Leave A Comment