Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел 792: Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 792 иа) пять; б) четыре;в) трииз них образуют геометрическую прогрессию?

ПОВЫШЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ КУЛЬТУРЫ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ | Статья по математике (5, 6 класс):

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

 Лицей №13г.Химки (Аэрокосмический лицей)

ПОВЫШЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ КУЛЬТУРЫ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Подготовила учитель математики

Герасимова Г. Р.

Работая учителем математики я неоднократно, обращалась к теме «Повышение вычислительной культуры обучающихся», потому что было замечено, чем лучше ученик считает, тем он быстрей и качественней усваивает новые математические темы.

В настоящее время бытует мнение, что вычислительная работа должна стать уделом компьютеров, а человек может отойти от этого рутинного занятия. При этом мы не замечаем, что всё более и более освобождая ученика от вычислений, фактически освобождаем его от умственного развития. “Развитие навыков должно предшествовать развитию ума”. Это сказал Аристотель 25 веков назад.

Вычислять быстро, подчас на ходу – это требование времени. Числа окружают нас повсюду, а выполнение арифметических действий над ними приводит к результату, на основании которого мы принимаем то или иное решение. Понятно, что без вычислений не обойтись, как в повседневной жизни, так и во время учёбы в школе.

Вот уже несколько лет я работаю по данной теме, изучая теоретический материал: «Особенности работы по формированию у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков», «Устные вычисления», нахожу и применяю на уроках различные алгоритмы ускоренных вычислений. И прихожу к выводу, что это очень нужно.

Повышение вычислительной культуры способствует развитию интеллектуальных способностей, основных психических функций учащихся, развитию речи, внимания, памяти, помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла, что, в современных условиях не смотря на использование информационно-технологических средств, вычислительные навыки по-прежнему остаются актуальными.

Поэтому, выбрав тему, я решила создать систему различных приёмов для устного счета.

Наблюдения за работой учащихся 5-6 классов, показывают, что учащиеся испытывают трудности в устных вычислениях.

По мнению многих учителей математики, вычислительные навыки и умения можно считать сформированными только в том случае, если учащиеся умеют с достаточной беглостью выполнять математические действия с натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями, рациональными числами, а также производить тождественные преобразования различных числовых выражений и приближенные вычисления.

О наличии у учащихся вычислительной культуры можно судить по их умению производить устные и письменные вычисления, рационально организовать ход вычислений, убеждать в правильности полученных результатов.

Качество вычислительных умений определяется знанием правил и алгоритмов вычислений. Поэтому степень овладения вычислительными умениями зависит от четкости сформулированного правила и от понимания принципа его использования. Умение формируется в процессе выполнения целенаправленной системы упражнений. Очень важно владение некоторыми вычислительными умениями доводить до навыка.

Образование вычислительных навыков ускоряется, если учащемуся понятен процесс вычислений и его особенности.

Перечислю важнейшие вычислительные умения и навыки по каждой параллели.

В пятом классе у учащихся необходимо закреплять умение выполнять все арифметические действия с натуральными (многозначными) числами. В результате прохождения программного материала пятиклассники должны уметь выполнять основные действия с десятичными дробями; законы сложения и умножения к упрощению выражений; использовать округлять числа до любого разряда; определять порядок действий при вычислении значения выражения.

В шестом классе у учащихся необходимо закрепить умение находить числовое значение выражения с использованием всех действий с десятичными дробями. В процессе изучения материала учащиеся должны уметь использовать признаки делимости на 10, 2, 5 и 3; уметь выполнять сложение и вычитание обыкновенных дробей с различными знаменателями, умножение и деление дробей, совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями, применять переместительный и сочетательный законы сложения к упрощению вычислений с дробями, использовать распределительный закон умножения, выполнять действия с положительными и отрицательными числами, решать пропорции, читать простейшие графики.

В седьмом классе вычислительная техника школьников совершенствуется при выполнении тождественных преобразований над степенями с натуральным показателем, с одночленами и многочленами, при использовании тождеств сокращенного умножения.

В восьмом классе при изучении тем «Рациональные дроби», «Неравенства», «Квадратные корни и квадратные уравнения» широко используются умения учащихся выполнять действия с дробными числами в процессе нахождения числовых значений рациональных выражений, содержащих степени с целыми показателями, решения неравенств, вычисления квадратных корней.

В девятом классе в процессе изучения тем «Квадратные уравнения», «Уравнения и неравенства с двумя переменными», «Системы уравнений и неравенств», «Степень с рациональным показателем» девятиклассники должны свободно владеть навыками действий с рациональными числами.

Учитель должен постоянно следить за тем, чтобы учащиеся закрепляли свои навыки в действиях с многозначными числами, восстанавливали в памяти приемы вычисления. Бывает, что учащиеся хорошо владеют таблицами сложения и умножения. Правильно подписывают цифры, но не понимают механизма действия

Организация устных вычислений на уроках.

Как пишет опытный педагог Зайцева О.П., в своей статье «Роль устного счета в формировании вычислительных навыков и развития личности ребенка»: важность и необходимость устных упражнений доказывать не приходиться. Значение их велико в формировании вычислительных навыков, и совершенствовании знаний по нумерации, и в развитии личностных качеств ребенка. Создание определенной системы закрепления и повторения изученного материала дает учащимся возможность усвоения знаний на уровне автоматического навыка. Устные вычисления не могут быть случайным этапом урока, а должны находиться в методической связи с основной темой и носить проблемный характер.

Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Кроме того, освоение вычислительных навыков развивает память и помогает школьникам полноценно усваивать предметы физико-математического цикла.

Устный счет является одним из основных этапов урока, который, во-первых, должен отвлечь учащихся от перемены и предыдущего урока, во-вторых, подготовить к изучению нового материала или помочь обобщить ранее изученный, в-третьих, активизировать творческую познавательную деятельность учащихся. Всем известно, что интерес к математике – удел немногих. Поэтому одна из миссий устного счета: не отпугнуть тех, кому нравится математика и дать увидеть ее красоту другим. Действительно, начиная с начальной школы и заканчивая выпускными классами, каждый учитель старается вместить в этот небольшой этап урока все составляющие устного счета.

 Упражнения в устных вычислениях должны пронизывать весь урок. Их можно соединять с проверкой домашних заданий, закреплением изученного материала, предлагать при опросе. Особенно хорошо, если наряду с этим, специально отводить 5-7 минут на уроке для устного счета. Материал для этого можно подобрать из учебника или специальных сборников, составить самому учителю. В зависимости от этого определяю место устного счета на уроке. Если устные упражнения предназначаются для повторения материала, формированию вычислительных навыков и готовят к изучению нового материала, то их лучше провести в начале урока до изучения нового материала. Если устные упражнения имеют цель закрепить изученное на данном уроке, то надо провести устный счет после изучения нового материала. Не следует проводить его в конце урока, так как дети уже утомлены, а устный счет требует большого внимания, памяти и мышления. Количество упражнений должно быть таким, чтобы их выполнение не переутомляло детей и не превышало отведенного на это времени урока.

При подготовке к уроку отбираю материал, систематизирую, продумываю переход от одного упражнения к другому. При обдумывании системы заданий и форм организация устного счета не исключается учет индивидуальной подготовки учащихся, склонностей и способностей к устным вычислениям. Но чтобы все учащиеся быстро считали, выполняли простейшие алгебраические преобразования необходимо время для их отработки: 5-7 минут устного счета на уроке недостаточны не только для развития вычислительных навыков, но и для их закрепления, если нет системы устного счета.

Первое время на уроках учащимся для устного счета предлагались обычные карточки типа: найдите сумму чисел 57 и 9, 18 и 13 и так далее или же проводились игры типа «Быстрый счетчик», «Математическое лото». Для слабого ученика это разнообразие приемов недостаточно. Слабому ученику необходимо иметь систему устных упражнений и дома.

Некоторые алгоритмы ускоренных вычислений.

На уроках математики в 5-9 классах по соответствующим темам математики я использую различные алгоритмы ускоренных вычислений.

Приведу примеры некоторых из них.

Сложение с перестановкой слагаемых:

72 + 63 + 28 = ?

Заметим, что третье слагаемое является дополнением первого до 100. Мысленно переставим слагаемые и сложим их:

72 + 28 + 63 = 163.

3013 + 74 + 2187 + 126 = ?

Группируем слагаемые попарно:

(3013 + 2187) + (74 + 126) = 5200 + 200 = 5400.

Раздельное поразрядное вычитание:

574 – 243 = ?

Вычитаем из 500 число 200, получим 300. Вычитаем из 70 число 40, получаем 30. Вычитаем из 4 число 3, получаем 1. Ответ: 331.

68 894 – 42 413 = ?

Вычитаем из 68 000 число 42 000, получаем 26 000. Вычитаем из 800 число 400, получаем 400. Вычитаем из 94 число 13, получаем 81. Ответ: 26 481.

Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого:

67 – 48 = ?

Добавив к уменьшаемому 1, вычитаем 48 из 68, получаем 20. Отняв из этой разности ранее добавленную единицу, окончательно получаем 19.

67 – 48 = (68 – 48) – 1 = 20 – 1 = 19.

453 – 316 = ?

Уменьшив вычитаемое на 3, вычтем 313 из 453, получим 140. Отняв от этой разности еще 3, найдем 137.

Способы быстрого умножения и деления натуральных чисел.

Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания к множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности.

Примеры: (310+8)=2480+64=2544.

Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10.

Число десятков любого множителя умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй. Этот способ основан на тождестве.

Умножение на 11:

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Примеры:

72 * 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792

35 * 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

Пример:

94 * 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

Умножение двузначного числа на 111.

Справа налево нужно последовательно записать: последнюю цифру первого множителя (т.е. цифру из разряда единиц), сумму цифр первого множителя, снова сумму его цифр и, наконец, его первую цифру. Если сумма цифр двузначного числа больше 9, то записываем цифру единиц каждой суммы, а к следующему результату прибавляем 1.

Умножение однозначного или двузначного числа на 37.

Способ основан на равенствах 2• 37=74, 3• 37=111.

Умножение на 5, 25, 125.

Разделить число соответственно на 2, 4, 8 и результат умножить на 10, 100, 1000. Если множитель не делится нацело на 2, 4 или на 8, то деление производится с остатком. Затем частное умножают соответственно на 10, 100 или 1000, а остаток – на 5, 25 или 125.

Умножение на 9, 99, 999.

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.

Умножение на 75.

Нужно число разделить на 4 и результат умножить на 300.

Умножение на 101.

Чтобы умножить двузначное число на 101, надо к этому числу приписать справа это же число.

Умножение на 1001.

Чтобы умножить трёхзначное число на 1001, надо к этому числу приписать справа это же число.

Умножение чисел, близких к 100 и 1000

Примеры. 245•998=245•(1000-2)=245000-490=244510 
(1000-1)=375000-375=374625

Умножение пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10

Примеры: 83•87=8•9•100+3•106=10••207=20•21•100+3•7=42021

Умножение двух рядом стоящих чисел

Правило. При умножении двух рядом стоящих чисел надо сначала перемножить цифры десятков, затем цифру десятков умножить на сумму цифр единиц и, наконец, надо перемножить цифры единиц.

Умножение чисел, оканчивающихся на 1

Правило.При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать ещё правее. Сложив столбиком, получим ответ.

Деление на 5, 25, 125

Умножить числа соответственно на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000.

Умножение чисел, оканчивающихся цифрой 5

При умножении чисел, оканчивающихся цифрой 5 (одна цифра десятков – чётная, а другая – нечётная), надо к произведению цифр десятков прибавить целую часть половины

Умножение на число, оканчивающиеся на 5:

Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, можно применить следующее правило.

Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.

Примеры:

44 * 5 = (44 : 2) * 5 * 2 = 22 * 10 = 220;

По этой теме  у меня появилась заинтересованность в поиске новых карточек и игр для развития навыков устного счета. Для устного счета есть интересный математический сборник «Математический тренажер» Жохина В.И. и Погодина В.Н., предназначенный для учащихся 5-6 классов.

Задача по математике: Трехзначное — вопрос № 1578, комбинаторика

Сколько трехзначных натуральных чисел больше 321, если ни одна цифра в числе не повторяется?

Правильный ответ:

Пошаговое объяснение:

1. 324
2. 325
3. 326
4. 327
9.0 3119 9.0 3128 9 7. 340
8 341
9. 342
10. 345
11. 346
12. 347
13. 348
14. 349
15. 350
16. 351
19.0011 18. 354
19. 356
20. 357
21. 358
22. 359
23. 360
24. 361
25. 362
25
26. 0164 26. 0164 1 28. 367
29. 368
30 369
31. 370
32. 371
33. 372
34. 374
35. 375
36. 376
37. 378
38.0 379 379 9.0311 39 81
41. 382
42. 384
43. 385
44. 386
45. 387
46. 389
47. 390
48. 391
49. 392
50. 394
51.0 195 11 53. 397
54. 398
55. 401
56. 402
57. 403
58. 405
59. 406
60. 407
61. 408 1 6
9 62. 0 40 0011 64. 412
65. 413
66. 415
67. 416
68. 417
69. 418
70. 419
71. 420
72. 421
73. 423
74. 7 7 425
427
77. 428
78. 429
79. 430
80. 431
81. 432
82. 435
83. 436
84. 437
85. 438
86. 1 50 180 40011 89.
89. 452
90. 453
91. 456
92. 457
93. 458
94. 459
95. 460
96. 461
97. 462
95
98. 0163 98. 0163 1 100. 467
101. 468
102 469
103. 470
104. 471
105. 472
106. 473
107. 475
108. 476
109. 478
10 1 1904 110 190 479 011 112. 481
113. 482
114. 483 119 4. 496
125. 497
126. 498
127. 501
128. 502
129. 503
130. 504
131. 506
132. 109 507 1301 134. 509
135. 510
136. 512
137. 513
138. 514
139. 516
140. 517
141. 518
142. 519
143. 520
144. 1 521
2 1240 5 145. 0
147. 526
148. 527
149. 528
150 529
151 530
152 531
153 532
154 534
155 536
156 537
157 5318 90
159. 540
160. 541
161. 542
162. 543
163. 546
164. 547
165. 548
160. 6 90 549 16.7011 8. 561
169. 562
170. 563
171 564
172, 567
173, 568
174, 569
175, 570
176, 571
177, 572
178, 573 6,5
8,011 179, 014 011 181. 578
182. 579
183. 580
184. 581
185. 582
186. 583
187. 584
188. 586
189. 587
190. 589
191. 590 1
2. 591
193. 592
194. 593
195. 594
196. 596
197. 597
198. 598
199. 601
203 911 200 1002. 602. 0011 202. 604
203. 605
204. 607
205. 608
206. 609
207. 610
208. 612
209. 613
210. 614
211. 615
213
13
213 18 13 18 0117 90 1 214. 619
215. 620
216. 621
217. 623
218. 624
219. 625
220. 627
221. 628
222. 629
223. 630
224. 631
6 329.0011 226. 634
227. 635
228. 637
229. 638
230. 639
231. 640
232. 641
233. 642
1 3 1 642
1 2 645
236 647
237 648
238 649
239 650
240 651
241 652
242 653
243 654
244 657
245 2 658
4 9011 246 0 159 011 248. 671
249. 672
250. 673
251. 674
252. 675
253. 678
254. 679
255. 680
256. 681
257. 682
258. 683 2509011. 684
260. 685
261. 687
262. 689
263. 690
264. 691
265. 692
266. 693
6 5 100 11 267 6912 90 694 90 1 269. 697
270. 698
271. 701
272. 702
273. 703
274. 704
275. 705
276. 706
277. 708
278. 709
279. 710
7 1280 280.
282. 714
283. 715
284. 716
285. 718
286. 719
287. 720
288. 721
289. 723
290. 724
291. 725
292. 726
293. 728
294. 729
295. 730
296. 731
297. 732
298. 734
299. 735
300. 1 300 8
1 3 739
303 740
304 741
305 742
306. 743
307 745
308. 746
309. 748
310. 749
311 011 315. 754
316. 756
317. 758
318. 759
319. 760
320. 761
321. 762
322. 763
323. 764
324. 765
325. 768 9200117 6329 6. 791
337. 792
338. 793
339 794
340 795
341 796
342 798
343 801
344 802
345 803
346 804
349 80 115 011 349. 807
350. 809
351. 810
352. 812
353. 813
354. 814
355. 815
356. 816
357. 817
358. 819
359. 220 820 3 1600110011 361. 823
362. 824
363. 825
364. 826
365. 827
366. 829
367. 830
1 7 731 61 3 834
371 835
372 836
373 837
374 839
375 840
376 841
377 842
378 843
379 845
380 846
3 8 9 2011 3 8 0 117 011 383. 850
384. 851
385. 852
386. 853
387. 854
388. 856
389. 857
390. 859
391. 860
392. 861
393. 862 3
. 863
395. 864
396. 865
397. 867
398. 869
399. 870
400. 871
401. 872
1 4.90 318 402. 873 0011 404. 875
405. 876
406. 879
407. 890
408. 891
409. 892
410. 893
411. 894
412. 895
413. 896
914 1 5
914. 8917 90 1 416. 902
417. 903
418. 904
419. 905
420. 906
421. 907
422. 908
423. 910
424. 912
425. 913
426. 914
9 429.0011 428 916
429 917
430 918
431 920
432 927
438. 928
439. 930
440 931
441. 932
442. 934
443. 935
444. 936
445. 937
446. 938
447. 940
4 2 9011 4 4 90 911 011 450. 943
451. 945
452. 946
453. 947
454. 948
455. 950
456. 951
457. 952
458. 953
459. 954
460. 956
461.01157
462. 958
463. 960
464. 961
465. 962
466. 963
467. 964
468. 965
469,0 1014 800 900 471. 970
472. 971
473. 972
474. 973
475. 974
476. 975
477. 976
478. 978
479. 980
480. 981
481. 982
8 1840 482. 0
484. 985
485. 986
486. 987

n=7⋅9⋅8−1⋅2⋅9=486 

Нашли ошибку или неточность? Смело звоните по номеру

. Спасибо!

Подсказки для связанных онлайн-калькуляторов

См. также наш калькулятор вариантов.
Хотите подсчитать количество комбинаций?

Для решения этой математической задачи вам необходимо знать следующие знания:

• комбинаторика
• вариации
• принцип умножения
• 05107
  6 арифметика 90
• вычитание
• цифры
• натуральные числа

Класс задачи:

• практика для 14-летних
• старшая школа

• Повторяющиеся 79734 50 б0
  Сколько чисел может быть больше 50, меньше 50 а) сформированный из цифры 0,1,5,8,9 так, чтобы ни одна цифра не повторялась?
• По возрастанию 32663
  Сколько натуральных чисел можно составить из цифр числа 4052? Ни одна цифра не может повторяться в вводе номера. Отсортируйте числа в порядке возрастания размера.
• Содержится 45451
  Сколько натуральных чисел можно составить из цифр, содержащихся в числе 4002? Ни одна цифра не может повторяться в вводе номера. Однако не все цифры должны использоваться. Отсортируйте числа в порядке возрастания размера.
• Числа
  Сколько различных трехзначных натуральных чисел, в которых ни одна цифра не повторяется, можно составить из цифр 0,1,2?
• X y/10
  X y/10 — дробное число, большее 6,895, но меньшее 7,8. Если x и y являются однозначными натуральными числами и x < y, то найдите эти числа.
• 5 цифр
  У вас есть следующие цифры: 9, 8, 0, 1, 5. Запишите наименьшее, даже пятизначное число, если одна цифра повторяется три раза, а остальные цифры не повторяются. Сумма цифр числа: а) 9 б) 6 в) 8 г) 23
• Цифры
  Сколько натуральных чисел больше 4000 образовано из цифр 0,1,3,7,9 с не повторяющимися цифрами , Б) Сколько будет натуральных чисел меньше 4000 и могут ли числа повторяться?
• Трехзначное число
  Сколько трехзначных натуральных чисел можно составить из цифр 0, 1 и 2, если в этих числах повторяются числительные?
• Сумма цифр
  Определите, сколько целых чисел больше 900 и меньше 1,001 имеют цифру суммы цифр числа 1.
• Двузначное число 33471
  Сколько двузначных чисел больше 60 можно составить из цифр 0,5 ,6,7,8,9? Цифры не должны повторяться.
• Делимые 6615
  Сколько трехзначных чисел можно составить из цифры 1,3,5,7,9если цифры не могут повторяться в записи числа? Сколько из них делится на пять?
• Повторяющийся 38103
  Сколько пятизначных чисел можно составить из числа 2,3,4,5,6,7,8,9, если цифра в каждом числе может повторяться только один раз?
• Четырехзначный 73114
  Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 6, 3, 5, 1 и 9, если цифры в числе не повторяются?
• Двузначное число 62944
  Найдите количество всех двузначных чисел, состоящих из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, которые больше 24. Мы можем повторять числа.
• Больше 35661
  Во сколько раз число 5, умноженное на 105, больше, чем число, умноженное на 125, умноженное на 103?
• Вероятность 4020
  В шапке цифры от 1 до 20. Какова вероятность того, что мы вытащим из шляпы: а / однозначное число б / простое число в / число больше 11 д / число кратное шести Спасибо
• Двузначное 17443
  Сколько всего четное двузначные числа, которые Мы можем составить из цифр 2, 4 и 7? Цифры могут повторяться в созданном номере.

Треугольник Паскаля

Одной из самых интересных числовых моделей является треугольник Паскаля (названный в честь Блеза Паскаля , известного французского математика и философа).

Чтобы построить треугольник, начните с «1» вверху, затем продолжайте размещать числа под ним в виде треугольника.

Каждое число представляет собой сложенные числа непосредственно над ним.

(Здесь я подчеркнул, что 1+3 = 4)

Узоры внутри треугольника

Диагонали

Первая диагональ это, конечно же, просто «1»

На следующей диагонали находятся Счетные числа (1,2,3 и т.д.).

Третья диагональ имеет треугольные числа

(Четвертая диагональ, не выделенная, имеет тетраэдрические числа.)

Симметричный

Треугольник также симметричен. Числа на левой стороне имеют одинаковые совпадающие числа на правой стороне, как зеркальное отражение.

Горизонтальные суммы

Что вы заметили в горизонтальных суммах?

Есть шаблон?

Они удваивают каждый раз (степень двойки).

Экспоненты числа 11

Каждая строка также представляет собой степени (показатели) числа 11:

• 11 ⁰ =1 (первая строка просто «1»)
• 11 ¹ =11 (вторая строка «1» и «1»)
• 11 ² =121 (третья строка «1», «2», «1»)
• и т.д.!

Но что происходит с 11 ⁵ ? Простой! Цифры просто перекрываются, вот так:

То же самое происходит с 11 ⁶ и т.д.

Квадраты

Для второй диагонали квадрат числа равен сумме чисел рядом с ним и под обоими из них.

Примеры:

• 3 ² = 3 + 6 = 9,
• 4 ² = 6 + 10 = 16,
• 5 ² = 10 + 15 = 25,
• . ..

Есть и веская причина… ты можешь подумать? (Подсказка: 4 ² =6+10, 6=3+2+1 и 10=4+3+2+1)

Последовательность Фибоначчи

Попробуйте следующее: создайте фигуру, двигаясь вверх и вниз, затем сложите значения (как показано на рисунке)… вы получите последовательность Фибоначчи.

(Последовательность Фибоначчи начинается с «0, 1», а затем продолжается добавлением двух предыдущих чисел, например, 3+5=8, затем 5+8=13 и т. д.)

Шансы и четы

Если мы раскрасим нечетные и четные числа, мы получим узор, аналогичный треугольнику Серпинского

Пути

Каждая запись также является числом различных путей сверху вниз.

Пример: существует только один путь сверху вниз к любой «1»

И мы видим, что есть 2 разных пути к «2»

То же самое вверх, есть 3 разных пути из 3:

Ваша очередь, посмотрите, сможете ли вы найти все пути вниз к «6»:

Использование треугольника Паскаля

Орел и решка

Треугольник Паскаля показывает нам, сколько способов может сочетаться орел и решка. Затем это может показать нам вероятность любой комбинации.

Например, если вы подбросите монету три раза, только одна комбинация даст три орла (HHH), но есть три комбинации, которые дадут два орла и одну решку (HHT, HTH, THH), а также три комбинации, которые дадут одна голова и две решки (HTT, THT, TTH) и одна для всех решек (TTT). Это паттерн «1,3,3,1» в треугольнике Паскаля.

Подбрасывает	Возможные результаты (сгруппированные)	Треугольник Паскаля
1	Х Т	1, 1
2	HH HT TH TT	1, 2, 1
3	HHH HHT, HTH, THH HTT, THT, TTH TTT	1, 3, 3, 1
4	HHHH HHHT, HHTH, HTHH, THHH HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH HTTT, THTT, TTHT, TTTH TTTT	1, 4, 6, 4, 1
	. .. и т. д. …

Пример. Какова вероятность того, что при 4 подбрасываниях монеты выпадет ровно два орла?

Существует 1+4+6+4+1 = 16 (или 2 ⁴ =16) возможных результатов, и 6 из них дают ровно два орла. Таким образом, вероятность равна 6/16, или 37,5%

Комбинации

Треугольник также показывает нам, сколько комбинаций объектов возможно.

Пример: У вас есть 16 шаров для бильярда. Сколькими способами можно выбрать только 3 из них (игнорируя порядок их выбора)?

Ответ: спуститься к началу 16 ряда (верхний ряд 0), а потом по 3 местам (первое место 0) и значение там ваш ответ, 560 .

Вот выдержка из строки 16:

 1 14 91 364 ...
1 15 105 455 1365 ...
1 16 120  560  1820 4368 ... 

Формула для любого входа в треугольник

На самом деле существует формула из Комбинаций для определения значения в любом месте треугольника Паскаля:

Обозначение: «n выбирает k» также может быть записано как C(n,k) , ⁿ C _k или _{n
7 C} k 9.

Таким образом, Треугольник Паскаля также может быть треугольником
и «n выбрать k» , подобным этому.

(Обратите внимание, что верхняя строка равна нулевой строке
, а крайний левый столбец равен нулю)

Пример: Строка 4, член 2 в треугольнике Паскаля равен «6» …

… посмотрим, работает ли формула:

( 4 2 ) = 4! 2!(4−2)! = 4! 2!2! = 4×3×2×1 2×1×2×1 = 6

Да, работает! Попробуйте другое значение для себя.

Это может быть очень полезно… теперь мы можем найти любое значение в треугольнике Паскаля непосредственно (без вычисления всего треугольника над ним).

Многочлены

Треугольник Паскаля также показывает нам коэффициенты в биномиальном разложении:

Мощность	Биномиальное разложение	Треугольник Паскаля
2	(х + 1) 2 = 1 х 2 + 2 х + 1	1, 2, 1
3	(x + 1) 3 = 1 x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1	1, 3, 3, 1
4	(х + 1) 4 = 1 х 4 + 4 х 3 + 6 х 2 + 1 909 0 6 4 4 007	1, 4, 6, 4, 1
	. .. и т. д. …

Первые 15 строк

Для справки я включил строки с 0 по 14 треугольника Паскаля 9.0003

1

5

10

10

5

1

1

6

15

20

15

6

1

1

7

21

35

35

21

7

1

1

8

28