{2} + 1} = 0$$ РСшаСм это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ этого ΡƒΡ€-ния $$x_{1} = 0$$ $$x_{2} = 3.28103090528$$ $$x_{3} = -0.373548376565$$ Π—Π½. экстрСмумы Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…:
(0, -1)
(3.28103090528, 1.01984828342285)
(-0.373548376565, -0.977554081645009)
Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ возрастания ΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
Найдём ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹, Π³Π΄Π΅ функция возрастаСт ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ ΠΈ максимумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, для этого смотрим ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Π΄Ρ‘Ρ‚ сСбя функция Π² экстрСмумах ΠΏΡ€ΠΈ малСйшСм ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ экстрСмума:
ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…: $$x_{3} = 0$$ ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…: $$x_{3} = 3.28103090528$$ $$x_{3} = -0.373548376565$$ Π£Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ…
(-oo, -0.373548376565] U [0, oo)
ВозрастаСт Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ…
(-oo, 0] U [3.28103090528, oo)

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/proizvodnaya-funktsii/one/ β€” ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π΅Π΅ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния. Π­Ρ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ экстрСмумами этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

МоТно ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ (https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/grafik/xy/) ΠΈ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ всС посчитали

Π’ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ β€” Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ экстрСмум?

Π’ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ экономики трСбуСтся Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… условиях данная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° (функция) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ β€” Π² ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ тСория экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ЭкстрСмумом Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ называСтся такая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° x, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ производная этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ

исслСдованиС Π½Π° экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½

Π’Ρ‹ искали исслСдованиС Π½Π° экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½? На нашСм сайтС Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° любой матСматичСский вопрос здСсь. ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с описаниСм ΠΈ пояснСниями ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ с самой слоТной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ ΠΈ исслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° экстрСмум ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½, Π½Π΅ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ домашним Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, ΠΎΠ»ΠΈΠΌΠΏΠΈΠ°Π΄Π°ΠΌ, Π° Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π² Π²ΡƒΠ·. И ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ‹ запрос ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π²Ρ‹ Π½Π΅ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ β€” Ρƒ нас ΡƒΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

НапримСр, «исслСдованиС Π½Π° экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½Β».

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… матСматичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ распространСно Π² нашСй ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ. Они ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… расчСтах, ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ сооруТСний ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ спортС. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ использовал Π΅Ρ‰Π΅ Π² дрСвности ΠΈ с Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ возрастаСт. Однако сСйчас Π½Π°ΡƒΠΊΠ° Π½Π΅ стоит Π½Π° мСстС ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΠ»Π°ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ Π΅Π΅ Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ исслСдованиС Π½Π° экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,исслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° экстрСмум ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,исслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π½Π° экстрСмум,ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° экстрСмум ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° экстрСмум ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° экстрСмум ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° экстрСмум ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,исслСдуйтС Π½Π° экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ,критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,максимум ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,максимум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈ максимум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ максимум ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ максимум ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ максимум ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ максимум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ максимум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈ максимум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈ максимум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈ максимум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΠΈ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ условный экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ экстрСмум,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ экстрСмумы,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ,Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΠΈ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° экстрСмум,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ,ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ,стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,стационарными Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€,Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΠΈ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,экстрСмум ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,экстрСмумы ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½,экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€.

На этой страницС Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘Ρ‚Π΅ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ любой вопрос, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС ΠΈ исслСдованиС Π½Π° экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π² окошко ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Β«Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒΒ» здСсь (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, исслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π½Π° экстрСмум).

Π“Π΄Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π° Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ исслСдованиС Π½Π° экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Онлайн?

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ исслСдованиС Π½Π° экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π° нашСм сайтС https://pocketteacher.ru. БСсплатный ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ любой слоТности Π·Π° считанныС сСкунды. ВсС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ β€” это просто ввСсти свои Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»Π΅. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΈΠ½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ввСсти Π²Π°ΡˆΡƒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π½Π° нашСм сайтС. А Ссли Ρƒ вас ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ вопросы, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π² Ρ‡Π°Ρ‚Π΅ снизу слСва Π½Π° страницС ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°.

ЭкстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

На этой страницС Π²Ρ‹ смоТСтС ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² для нахоТдСния экстрСмумов Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π΅ΡΡ‚ΡŒ своя ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, поэтому Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ всС.
Π—Π΄Π΅ΡΡŒ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Ρ‘ Π½Π°Π΄ΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ сначала посмотритС ΠΌΠΎΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ….

  1. ИмССм Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ:

    Найдём Π΅Ρ‘ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ:

    ΠŸΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

    Наносим x=0 Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΈ смотрим, Π³Π΄Π΅ производная Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Π° Π³Π΄Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ нашСй Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (для этого Π±Π΅Ρ€Ρ‘ΠΌ любоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎ ноля Π½Ρƒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, -1 ΠΈ подставляСм Π΅Π³ΠΎ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ -2, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ минус) ΠΈ послС Π½Π΅Ρ‘ (всё Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±Π΅Ρ€Ρ‘ΠΌ любоС число ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²Ρƒ сторону ΠΎΡ‚ ноля, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, 1 Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 2 – Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π·Π½Π°ΠΊ плюс).

    Π’ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ
    x=0
    , производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с плюса Π½Π° минус, Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.
  2. Всё Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΈ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

    Наносим Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ x=0 Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΈ вычисляСм ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния.

    Π’ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ здСсь Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅ мСняСтся, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ данная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ экстрСмумом.
  3. ΠŸΡ€ΠΈΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΠΌ ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ:

    Как всСгда Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΈ прировняСм Π΅Ρ‘ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π² нас Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΊ нолю Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ.

    Π•Ρ‰Ρ‘ Π½Π°Π΄ΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ
    Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π°
    , ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

    Наносим всС эти Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΈ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ².

    Π’ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ -1 ΠΈ 1 производная Π½Π΅ мСняСт Π·Π½Π°ΠΊΠ°, эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ экстрСмумами, Π° ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 0 мСняСт с плюса Π½Π° минус, поэтому Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° x=0 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ максимумом.
  4. Ну ΠΈ рассмотрим Π΅Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ нСбольшой ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

    ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π΅Ρ‘ ΠΊ нолю:

    ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… наносим Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΈ высчитываСм Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ². Ну Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡŒΠΌΡ‘ΠΌ
    -2
    , Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° производная Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π° -0,24, для Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡŒΠΌΡ‘ΠΌ 0, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° производная Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 2 ΠΈ для Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡŒΠΌΡ‘ΠΌ 2, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° производная Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ -0,24. И проставим ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ.

    Π’ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ -1 производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с минуса Π½Π° плюс, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Π° ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 1 – мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ ΠΈ плюса Π½Π° минус, соотвСтствСнно это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ максимум.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅:

ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ с Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌΠΈ:

Загрузка…

ЭкстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (ЛСкция β„–9)

Рассмотрим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x), ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° рисункС.

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x1 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ большС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΎ всСх сосСдних Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΊΠ°ΠΊ слСва, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ справа ΠΎΡ‚ x1. Π’ этом случаС говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x1 максимум. Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x3 функция, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум. Если Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ x2, Ρ‚ΠΎ Π² Π½Π΅ΠΉ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ мСньшС всСх сосСдних Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π’ этом случаС говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x2 ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ. Аналогично для Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x4.

Ѐункция y=f(x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум, Ссли Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ большС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΅Π΅ значСния Π²ΠΎ всСх Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°, содСрТащСго Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ x0, Ρ‚.Π΅. Ссли сущСствуСт такая ΠΎΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x0, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для всСх xβ‰ x0, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… этой окрСстности, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто нСравСнство f(x)<f(x0).

Ѐункция y=f(x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0, Ссли сущСствуСт такая ΠΎΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x0, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для всСх xβ‰ x0, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… этой окрСстности, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто нСравСнство f(x)>f(x0.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция достигаСт максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ экстрСмума, Π° значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этих Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… экстрСмумами Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция, опрСдСлСнная Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ рассматриваСмого ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ максимум, Ρ‚ΠΎ это Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎ всСй области опрСдСлСния. На рисункС, рассмотрСнном Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, функция Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x1 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум, хотя Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ большС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x1. Π’ частности, f(x1) < f(x4) Ρ‚.Π΅. ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ большС максимума. Из опрСдСлСния максимума слСдуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это самоС большоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, достаточно Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΡ…ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ максимума.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 1. (НСобходимоС условиС сущСствования экстрСмума.) Если диффСрСнцируСмая функция y=f(x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x= x0 экстрСмум, Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ производная Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ обращаСтся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ для опрСдСлСнности Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0 функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΈ достаточно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… приращСниях Ξ”x ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ f(x0+ Ξ”x)<f(x0), Ρ‚.Π΅. Но Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Ρ Π² этих нСравСнствах ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈ Ξ”xβ†’ 0 ΠΈ учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная f β€˜(x0) сущСствуСт, Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π», стоящий слСва, Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Ξ”x β†’ 0, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ: ΠΏΡ€ΠΈ Ξ”x β†’ 0 – 0 f’(x0) β‰₯ 0 Π° ΠΏΡ€ΠΈ Ξ”x β†’ 0 + 0 f’(x0) ≀ 0. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ f β€˜(x0) опрСдСляСт число, Ρ‚ΠΎ эти Π΄Π²Π° нСравСнства совмСстны Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° f β€˜(x0) = 0.

Доказанная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ срСди Ρ‚Π΅Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… производная обращаСтся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ.

ΠœΡ‹ рассмотрСли случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° функция Π²ΠΎ всСх Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ. Как ΠΆΠ΅ обстоит Π΄Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚Π΅Ρ… случаях, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° производная Π½Π΅ сущСствуСт? Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

  1. y=|x|.

    Ѐункция Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x=0 (Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ), Π½ΠΎ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ y(0)=0, Π° ΠΏΡ€ΠΈ всСх xβ‰  0y > 0.

  2.  

    Ѐункция Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ x=0, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ обращаСтся Π² Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈx=0. Но Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум.

  3.  

    Ѐункция Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ x=0, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ xβ†’0. Π’ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½ΠΈ максимума, Π½ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, f(x)=0 ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ x<0f(x)<0, Π° ΠΏΡ€ΠΈ x>0f(x)>0.

    Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ сформулированной Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ экстрСмум лишь Π² Π΄Π²ΡƒΡ… случаях: 1) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Π³Π΄Π΅ производная сущСствуСт ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ; 2) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π³Π΄Π΅ производная Π½Π΅ сущСствуСт.

    Однако, Ссли Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0 ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f β€˜(x0)=0, Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° нСльзя Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0 функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ экстрСмум.

    НапримСр. .

    Но Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° x=0 Π½Π΅ являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ экстрСмума, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ слСва ΠΎΡ‚ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ располоТСны Π½ΠΈΠΆΠ΅ оси Ox, Π° справа Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

    ЗначСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ· области опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ обращаСтся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ сущСствуСт, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ критичСскими Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ.

    Из всСго Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ находятся срСди критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΈ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π½Π΅ всякая критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ экстрСмума. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ всС критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ ΠΈΠ· этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π° максимум ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ. Для этого слуТит ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°.

    Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 2. (ДостаточноС условиС сущСствования экстрСмума.) ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ функция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅, содСрТащСм ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ x0, ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ° Π²ΠΎ всСх Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… этого ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° (ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅, Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚, самой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x0). Если ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эту Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с плюса Π½Π° минус, Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x = x0 функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум. Если ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· x0 слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с минуса Π½Π° плюс, Ρ‚ΠΎ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ.

    Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ссли

    1. f β€˜(x)>0 ΠΏΡ€ΠΈ x<x0 ΠΈ f β€˜(x)<0 ΠΏΡ€ΠΈ x> x0, Ρ‚ΠΎ x0 – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума;
    2. ΠΏΡ€ΠΈ x<x0 ΠΈ f β€˜(x)>0 ΠΏΡ€ΠΈ x> x0, Ρ‚ΠΎ x0 – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.

    Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ сначала, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· x0 производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с плюса Π½Π° минус, Ρ‚.Π΅. ΠΏΡ€ΠΈ всСх x, Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΡ… ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0f β€˜(x)>0 для x< x0, f β€˜(x)<0 для x> x0. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ Π›Π°Π³Ρ€Π°Π½ΠΆΠ° ΠΊ разности f(x) β€” f(x0) = f β€˜(c)(x- x0), Π³Π΄Π΅ c Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ x ΠΈ x0.

    1. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ x < x0. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° c< x0 ΠΈ f β€˜(c)>0. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒf β€˜(c)(x- x0)<0ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

      f(x) β€” f(x0)<0,Ρ‚.Π΅. f(x)< f(x0).

    2. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ x > x0. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° c> x0 ΠΈ f β€˜(c)<0. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚f β€˜(c)(x- x0)<0. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ f(x) β€” f(x0)<0,Ρ‚.Π΅.f(x) < f(x0).

    Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, для всСх Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x достаточно Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΡ… ΠΊ x0f(x) < f(x0). А это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x0 функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум.

    Аналогично доказываСтся вторая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ΅.

    ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ смысл этой Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π½Π° рисункС. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ f β€˜(x1)=0 ΠΈ для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… x, достаточно Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΡ… ΠΊ x1, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ нСравСнства

    f β€˜(x)<0 ΠΏΡ€ΠΈ x< x1, f β€˜(x)>0 ΠΏΡ€ΠΈ x> x1.

    Π’ΠΎΠ³Π΄Π° слСва ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x1 функция возрастаСт, Π° справа ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ x = x1 функция ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ возрастания ΠΊ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΡŽ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум.

    Аналогично ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x2 ΠΈ x3.


    БхСматичСски всС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠ΅:

    ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ исслСдования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=f(x) Π½Π° экстрСмум

    1. Найти ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x).
    2. Найти ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f β€˜(x).
    3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, для этого:
      1. Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния f β€˜(x)=0;
      2. Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ всС значСния x ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… производная f β€˜(x) Π½Π΅ сущСствуСт.
    4. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ слСва ΠΈ справа ΠΎΡ‚ критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ остаСтся постоянным ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя критичСскими Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎ достаточно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ слСва ΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ справа ΠΎΡ‚ критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.
    5. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… экстрСмума.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈ максимум.

    1. . ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ D(y)=R.

      НайдСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

      ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ . ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π΅ сущСствуСт ΠΏΡ€ΠΈ Ρ…2= 0. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: 0 ΠΈ 2/5. НанСсСм ΠΈΡ… Π½Π° Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ось ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ².

    2.  

      ΠšΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ x =3. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° x= –1 Π½Π΅ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

    ΠΠΠ˜Π‘ΠžΠ›Π¬Π¨Π•Π• И ΠΠΠ˜ΠœΠ•ΠΠ¬Π¨Π•Π• Π—ΠΠΠ§Π•ΠΠ˜Π― ЀУНКЦИИ НА ΠžΠ’Π Π•Π—ΠšΠ•

    Наибольшим Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ называСтся самоС большоС ΠΈΠ· всСх Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° этом ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅, Π° наимСньшим – самоС малСнькоС ΠΈΠ· всСх Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

    Рассмотрим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ y=f(x) Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΡƒΡŽ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [a, b]. Как извСстно, такая функция достигаСт своСго наибольшСго ΠΈ наимСньшСго Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π° Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Π½Π΅Π³ΠΎ. Если наибольшСС ΠΈΠ»ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ достигаСтся Π²ΠΎ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Ρ‚ΠΎ это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся максимумом ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ достигаСтся Π² критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ….

    Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ нахоТдСния наибольшСго ΠΈ наимСньшСго Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅[a, b]:

    1. Найти всС критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ (a, b) ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этих Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ….
    2. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈ x = a, x = b.
    3. Из всСх ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

    1. Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [–2; –0,5].

      НайдСм критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

      Вычислим значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.

      Π˜Ρ‚Π°ΠΊ,

    2. Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈy=x-2Β·ln x Π½Π° [1; e].

    3. Π§Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Π° наимСньшая ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности прямого ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ конуса объСма 3Ο€?

      По Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°

      .

      Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, .

      .

      НайдСм критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ S: Sβ€˜ = 0, Ρ‚.Π΅.

      ПокаТСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ h функция SΠ±ΠΎΠΊ достигаСт ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.

      .

    4. Найти радиус основания ΠΈ высоту Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° наибольшСго объСма, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² ΡˆΠ°Ρ€ радиусом R.

      ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ r – радиус основания Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, h – высота. 2

      Поиск ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈ экстрСмумов Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

      Поиск ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈ экстрСмумов Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

      Π—Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅: ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния f(x)=0, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ρ….  Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρƒ Поиск Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ: Π) всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Π‘) всС ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ экстрСмумы Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.  ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅.

       Ρ…3+Ρ…2+3=0

       

      РСшСниС:

      ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (-∞;+∞)
      Боставим Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), полагая x Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ:
      a) критичСским значСниям Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (корням ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ) ΠΈΠ»ΠΈ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠΌ ΠΊ Π½ΠΈΠΌ;
      b) Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ значСниям (исходя ΠΈΠ· области допустимых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ нСизвСстного).
      ИмССм: 3Ρ…2+2Ρ…
      ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 2 корня: x1=0; x2=-2/3

      x

      β€” ∞

      -2/3

      0

      + βˆž

      Π·Π½Π°ΠΊ f(x)

      β€”

      +

      +

      +

      Из Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция 1 Ρ€Π°Π· мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚  ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 1 ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.
      УмСньшим ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ находится ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ:

      x

      β€” 2

      -2/3

      Π·Π½Π°ΠΊ f(x)

      β€”

      +

      Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, x1  ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΡƒ ( -2; -2/3 ) . 2+3. Π­Ρ‚Ρƒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ вставим Π² ячСйку Π’1
      Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π‘Π΅Ρ€Π²ΠΈΡβ†’ΠŸΠΎΠΈΡΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Установим ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹:

       

       

      ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ  ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ уравнСния x1=-1.864 y=0

       

       

       

      Π±) всС экстрСмумы Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
      НайдСм экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Ρ‹ Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅β†’ΠŸΠΎΠΈΡΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Установим ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ для поиска максимума:

       

       

       ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ максимум Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ…=-0.667, y=3.148:

      НайдСм ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρ‹ Поиск Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹:


      ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ…=0, y=3.

      Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ [-2;1] с шагом 0,2. На основании Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ построим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x). Для этого Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Ρƒ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ мСню Вставка→Диаграмма.
      ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

      Π­ΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ЭкстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ сущСствования, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

      Ѐункцияy = f(x) называСтся Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ (ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ) Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅, Ссли ΠΏΡ€ΠΈ x 1 f(x 2)).

      Если диффСрСнцируСмая функцияy = f(x) Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ возрастаСт (ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚), Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ производная Π½Π° этом ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ f Β» (x) > 0 , (f Β» (x)

      Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ°x ΠΎ называСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ локального максимума (ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), Ссли сущСствуСт ΠΎΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x ΠΎ , для всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ нСравСнство f(x) ≀ f(x ΠΎ), (f(x) β‰₯f(x ΠΎ)).

      Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ экстрСмума , Π° значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² этих Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… β€” Π΅Π΅ экстрСмумами.

      Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума

      НСобходимыС условия экстрСмума . Если Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° x ΠΎ являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x), Ρ‚ΠΎ Π»ΠΈΠ±ΠΎ f Β» (x ΠΎ) = 0, Π»ΠΈΠ±ΠΎ f (x ΠΎ) Π½Π΅ сущСствуСт. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ критичСскими, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ сама функция Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°. ЭкстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ слСдуСт ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ срСди Π΅Π΅ критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

      ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ достаточноС условиС. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ x ΠΎ β€” критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°. Если f Β» (x) ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ x ΠΎ мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ плюс Π½Π° минус, Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x ΠΎ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум, Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС β€” ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ. Если ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ производная Π½Π΅ мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ, Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x ΠΎ экстрСмума Π½Π΅Ρ‚.

      Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ достаточноС условиС. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ функция f(x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ f Β» (x) Π² окрСстности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x ΠΎ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ f «» (x 0) Π² самой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x ΠΎ . Если f Β» (x ΠΎ) = 0, f «» (x 0)>0, (f «» (x 0) x ΠΎ являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ локального ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° (максимума) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x). Если ΠΆΠ΅ f «» (x 0)=0, Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ достаточным условиСм, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΠ΅ .

      На ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ функция y =f(x) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒ наимСньшСго ΠΈΠ»ΠΈ наибольшСго значСния Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π² критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° .

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.22. Найти экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) = 2x 3 β€” 15x 2 + 36x β€” 14.

      РСшСниС. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ f Β» (x) = 6x 2 β€” 30x +36 = 6(x -2)(x β€” 3), Ρ‚ΠΎ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ x 1 = 2 ΠΈ x 2 = 3. ЭкстрСмумы ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² этих Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ x 1 = 2 производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ плюс Π½Π° минус, Ρ‚ΠΎ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ x 2 = 3 производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ минус Π½Π° плюс, поэтому Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x 2 = 3 Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ. Вычислив значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… x 1 = 2 ΠΈ x 2 = 3, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: максимум f(2) = 14 ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ f(3) = 13.

      Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° нахоТдСния экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.23. a

      РСшСниС. x ΠΈ y . ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° S =xy. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ y β€” это Π΄Π»ΠΈΠ½Π° стороны, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΡ‹ΠΊΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΊ стСнС. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ равСнство 2x +y =a. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ y = a β€” 2x ΠΈ S =x(a β€” 2x), Π³Π΄Π΅ 0 ≀x ≀a/2 (Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΊΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ). S Β» = a β€” 4x, a β€” 4x = 0 ΠΏΡ€ΠΈ x = a/4, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° y = a β€” 2Γ—a/4 = a/2. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ x = a/4 β€” СдинствСнная критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ, мСняСтся Π»ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эту Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. ΠŸΡ€ΠΈ x 0, Π° ΠΏΡ€ΠΈ x > a/4, S Β»

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.24.

      РСшСниС.
      R = 2, Н = 16/4 = 4.

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.22. Найти экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈf(x) = 2x 3 β€” 15x 2 + 36x β€” 14.

      РСшСниС. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ f Β» (x) = 6x 2 β€” 30x +36 = 6(x -2)(x β€” 3), Ρ‚ΠΎ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ x 1 = 2 ΠΈ x 2 = 3. ЭкстрСмумы ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² этих Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ x 1 = 2 производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ плюс Π½Π° минус, Ρ‚ΠΎ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ x 2 = 3 производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ минус Π½Π° плюс, поэтому Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x 2 = 3 Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ. Вычислив значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… x 1 = 2 ΠΈ x 2 = 3, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: максимумf(2) = 14 ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌf(3) = 13.

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.23. НуТно ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΊΡƒ Π²ΠΎΠ·Π»Π΅ ΠΊΠ°ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ стСны Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ с Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… сторон ΠΎΠ½Π° Π±Ρ‹Π»Π° ΠΎΡ‚Π³ΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ сСткой, Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стороной ΠΏΡ€ΠΈΠΌΡ‹ΠΊΠ°Π»Π° ΠΊ стСнС. Для этого имССтсяa ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ½Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² сСтки. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ сторон ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΊΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ?

      РСшСниС. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ стороны ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΊΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π·x ΠΈy . ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° S = xy. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ y β€” это Π΄Π»ΠΈΠ½Π° стороны, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΡ‹ΠΊΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΊ стСнС. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ равСнство 2x +y =a. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ y = a β€” 2x ΠΈ S = x(a β€” 2x), Π³Π΄Π΅
      0 ≀x ≀a/2 (Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΊΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ). S Β» = a β€” 4x, a β€” 4x = 0 ΠΏΡ€ΠΈ x = a/4, ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π°
      y = a β€” 2a/4 = a/2. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ x = a/4 β€” СдинствСнная критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ, мСняСтся Π»ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· эту Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. ΠŸΡ€ΠΈx 0, Π° ΠΏΡ€ΠΈ x >a/4 S Β»

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.24. ВрСбуСтся ΠΈΠ·Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹ΠΉ цилиндричСский Π±Π°ΠΊ Π²ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ V=16p β‰ˆ 50 ΠΌ 3 . ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π±Π°ΠΊΠ° (радиус R ΠΈ высота Н), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ·Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ пошло наимСньшСС количСство ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°?

      РСшСниС. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ повСрхности Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° S = 2pR(R+Н). ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ объСм Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° V = pR 2 Н Þ Н = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, S(R) = 2p(R 2 +16/R). Находим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
      S Β» (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S Β» (R) = 0 ΠΏΡ€ΠΈ R 3 = 8, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,
      R = 2, Н = 16/4 = 4.

      ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ экстрСмум. Π‘Π°ΠΌΠΎΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ экстрСмума гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это употрСбляСмоС Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ наимСньшСС ΠΈΠ»ΠΈ наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ мноТСствС числовой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. Π’ Ρ‚ΠΎΠΌ мСстС, Π³Π΄Π΅ находится ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, появляСтся экстрСмум ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, Π° Ρ‚Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ максимум – экстрСмум максимума. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ дисциплинС, ΠΊΠ°ΠΊ матСматичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·, Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ экстрСмумы.

      ЭкстрСмумы Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ относятся ΠΊ ваТнСйшим характСристикам Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π΅Ρ‘ самоС большоС ΠΈ самоС малСнькоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. Находятся экстрСмумы прСимущСствСнно Π² критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π‘Ρ‚ΠΎΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ экстрСмума функция ΠΊΠ°Ρ€Π΄ΠΈΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ мСняСт своё Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Если ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π°, согласно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ вовсС Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ:

      • Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ для Ρ‚ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ;
      • Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния.

      ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ нахоТдСния экстрСмума

      1. ΠžΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ‚Π΅ Π² письмСнном Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ f(x), которая Π·Π°Π΄Π°Π½Π°. НайдитС Π΅Ρ‘ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка f Β«(x). Π’ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ получится, приравняйтС ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.
      2. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Π°ΠΌ прСдстоит Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ корнями уравнСния, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ критичСскими Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ опрСдСляСмой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
      3. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ опрСдСляСм, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ критичСскими Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ (максимума ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°) ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ этапом, послС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π»ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, являСтся Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚ искомой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f Β» (x). НСобходимо Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ нСравСнство значСния Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ получится. Если ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вторая производная окаТСтся большС нуля Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ‚ΠΎ Сю ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, Π° Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС – это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума.
      4. ΠžΡΡ‚Π°Ρ‘Ρ‚ΡΡ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, подставляСм ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ рассчитываСм. Однако стоит ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, Ссли критичСская Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° оказалась максимумом, Ρ‚ΠΎ ΠΈ экстрСмум Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Π° Ссли ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ.

      Алгоритм нахоТдСния экстрСмума

      Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ знания, составим ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠΉ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума.

      1. Находим ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π΅Ρ‘ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚, Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ… функция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π°.
      2. Находим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f Β«(x).
      3. ВычисляСм критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ уравнСния y = f (x).
      4. АнализируСм измСнСния направлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x), Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ f Β«(x) Ρ‚Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
      5. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ опрСдСляСм, являСтся Π»ΠΈ каТдая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ максимумом ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ.
      6. Находим значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚Π΅Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ экстрСмумами.
      7. ЀиксируСм Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ исслСдования – экстрСмумы ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ монотонности. Π’ΠΎΡ‚ ΠΈ всС. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ рассмотрСли, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ экстрСмум Π½Π° любом ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅. Если Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ экстрСмум Π½Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ дСлаСтся это Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ исслСдования.

      Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ рассмотрСли, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ нСслоТных вычислСний, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΎ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ любой экстрСмум ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ графичСски Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ. НахоТдСниС экстрСмумов являСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· Π²Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ Π² школС, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π² Π’Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΌ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠΌ Π·Π°Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ, поэтому, Ссли Π²Ρ‹ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΡ… ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ станСт Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ ΠΈ интСрСснСС.

      Π­Ρ‚ΠΎ довольно-Ρ‚Π°ΠΊΠΈ занятный Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΡΡ‚Π°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ всС ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠΈ выпускных классов ΠΈ студСнты. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π½Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ нравится ΠΌΠ°Ρ‚Π°Π½. НСкоторыС Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°ΠΆΠ΅ элСмСнтарных Π²Π΅Ρ‰Π΅ΠΉ Π½Π°ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΠ΅, казалось Π±Ρ‹, стандартного исслСдования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Данная ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π²Π°Π½Π° ΠΈΡΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΏΠ»ΠΎΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π₯ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ± Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ? Π–Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡ… Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ? Π’ΠΎΠ³Π΄Π° данная ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ для вас.

      ИсслСдованиС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

      Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° стоит ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ простыС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½Π°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ составит Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π°. Π―Ρ€ΠΊΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠ»ΡƒΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°. ΠΠ°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π΅ составит Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π°. ВсС Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ это с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ простого прСобразования Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ числа, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 0. И Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ΅ это всС Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹.

      Но Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли функция, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ слоТнСС? ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ свойства слоТных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ довольно-Ρ‚Π°ΠΊΠΈ Π½Π΅ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·. Волько послС этого ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ графичСски. Как ΠΆΠ΅ это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ? ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° этот вопрос Π²Ρ‹ смоТСтС Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅.

      План Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

      ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‚Π°ΠΊ это провСсти повСрхностноС исслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π² Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ порядку. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния β€” это ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ функция задаСтся. ΠŸΡ€ΠΎΡ‰Π΅ говоря, это Ρ‚Π΅ числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ вмСсто Ρ…. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ просто Π²Π·Π³Π»ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π° запись. К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ (Ρ…) = Ρ… 3 + Ρ… 2 β€” Ρ… + 43 ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния β€” мноТСство Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Ну Π° с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π°ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΠ΅ (Ρ… 2 β€” 2Ρ…)/Ρ… всС Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ число Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ 0, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, ΠΏΠΎΠΌΠΈΠΌΠΎ нуля.

      Π”Π°Π»Π΅Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Π½ΡƒΠ»ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ значСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… вся функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ значСния ноль. Для этого Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π΅Π΅ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ прСобразования. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΡ‘ΠΌ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡƒΡŽ Π½Π°ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρƒ(Ρ…) = (Ρ… 2 β€” 2Ρ…)/Ρ…. Из школьного курса ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° 0 Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΡ‹ отбрасываСм ΠΈ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с числитСлСм, приравнивая Π΅Π³ΠΎ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ… 2 β€” 2Ρ… = 0 ΠΈ выносим Ρ… Π·Π° скобочки. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Ρ… (Ρ… β€” 2) = 0. Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наша функция Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ… равняСтся 0 ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ 2.

      Π’ΠΎ врСмя исслСдования Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΡΡ‚Π°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ с ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ экстрСмума. И это странно. Π’Π΅Π΄ΡŒ экстрСмумы β€” это довольно-Ρ‚Π°ΠΊΠΈ простая Ρ‚Π΅ΠΌΠ°. НС Π²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅? Π£Π±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ сами, ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Π² Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΠΈ максимума.

      Для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° стоит Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ собой прСдставляСт экстрСмум. ЭкстрСмум β€” это ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ достигаСт функция Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° получаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт Π΄Π²Π° ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΡ… значСния β€” максимум ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ. Для наглядности ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ располоТСна Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. На исслСдованной области Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° -1 являСтся максимумом Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ (Ρ…) = Ρ… 5 β€” 5Ρ…, Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° 1, соотвСтствСнно, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ.

      Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ стоит ΠΏΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой понятия. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” это Ρ‚Π΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… заданная функция ΠΏΡ€ΠΈΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΠ΅ значСния. Π’ свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, экстрСмумом Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠ² ΠΈ максимумов Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, вновь рассмотрим рисунок Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. -1 ΠΈ 1 β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π° 4 ΠΈ -4 β€” это сами экстрСмумы.

      НахоТдСниС Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ экстрСмума

      Но ΠΊΠ°ΠΊ всС-Ρ‚Π°ΠΊΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ? ВсС довольно-Ρ‚Π°ΠΊΠΈ просто. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ β€” Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ уравнСния. Допустим, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅: «НайдитС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y (x), x β€” Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚. Для наглядности возьмСм Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρƒ (Ρ…) = Ρ… 3 + 2Ρ… 2 + Ρ… + 54. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: 3Ρ… 2 + 4Ρ… + 1. Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ стандартноС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ВсС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ дальшС β€” ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ дискриминант большС нуля (D = 16 β€” 12 = 4), Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ опрСдСляСтся двумя корнями. Находим ΠΈΡ… ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° значСния: 1/3 ΠΈ -1. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Однако ΠΊΠ°ΠΊ всС-Ρ‚Π°ΠΊΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΡ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡ‚ΠΎ? Какая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° являСтся максимумом, Π° какая ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ? Для этого Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ сосСднюю Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, возьмСм число -2, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ находится слСва ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ прямой ΠΎΡ‚ -1. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² нашС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρƒ(-2) = 12 β€” 8 + 1 = 5. Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚ 1/3 Π΄ΠΎ -1 функция возрастаСт. Π­Ρ‚ΠΎ, Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ… ΠΎΡ‚ минус бСсконСчности Π΄ΠΎ 1/3 ΠΈ ΠΎΡ‚ -1 Π΄ΠΎ плюс бСсконСчности функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ число 1/3 β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° исслСдованном ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅, Π° -1 β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума.

      Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ стоит ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° Π•Π“Π­ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ Π½Π΅ просто Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума, Но ΠΈ провСсти с Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ-Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ (ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Ρ‚.Π΄.). ИмСнно ΠΏΠΎ этой ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ стоит ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ особоС Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° условия Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. Π’Π΅Π΄ΡŒ ΠΈΠ·-Π·Π° Π½Π΅Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€ΡΡ‚ΡŒ Π±Π°Π»Π»Ρ‹.

      Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ сСрвиса ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ f(x) с ΠΎΡ„ΠΎΡ€ΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Word . Если ΠΆΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° функция f(x,y) , ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… . Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ возрастания ΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

      ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π²Π²ΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ :

      НСобходимоС условиС экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ

      Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ fΒ» 0 (x *) = 0 β€” это Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ условиС экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚.Π΅. Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x * пСрвая производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ. Оно выдСляСт стационарныС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x с, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция Π½Π΅ возрастаСт ΠΈ Π½Π΅ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚.

      ДостаточноС условиС экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ

      ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ f 0 (x) Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ диффСрСнцируСмая ΠΏΠΎ x , ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ мноТСству D . Если Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x * выполняСтся условиС:

      FΒ» 0 (x *) = 0
      f»» 0 (x *) > 0

      Π’ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° x * являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ локального (глобального) ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

      Если Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x * выполняСтся условиС:

      FΒ» 0 (x *) = 0
      f»» 0 (x *)

      Π’ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° x * β€” Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ (Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ) максимум.

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ β„–1 . Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ .
      РСшСниС.

      ΠšΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΎΠ΄Π½Π° x 1 = 2 (f’(x)=0). Π­Ρ‚Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ . (Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° x=0 Π½Π΅ являСтся критичСской, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 0βˆ‰).
      ВычисляСм значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΈ Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.
      f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
      ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: f min = 5 / 2 ΠΏΡ€ΠΈ x=2; f max =9 ΠΏΡ€ΠΈ x=1

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ β„–2 . Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=x-2sin(x) .
      РСшСниС.
      Находим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: y’=1-2cos(x) . НайдСм критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: 1-cos(x)=2, cos(x)=Β½, x=Β± Ο€ / 3 +2Ο€k, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляСм , Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ x= Ο€ / 3 +2Ο€k, k∈Z – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ; , Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ x=- Ο€ / 3 +2Ο€k, k∈Z – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ β„–3 . Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° экстрСмум Ρ„Ρ†Π½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² окрСстностях Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x=0.
      РСшСниС. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Если экстрСмум x=0 , Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏ (ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ максимум). Если срСди Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π΅Ρ‚ x = 0, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x=0).
      Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° производная с ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ стороны ΠΎΡ‚ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π΅ мСняСт своСго Π·Π½Π°ΠΊΠ°, Π½Π΅ ΠΈΡΡ‡Π΅Ρ€ΠΏΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ситуации Π΄Π°ΠΆΠ΅ для Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ окрСстности ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· сторон ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ x 0 ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Π΅ стороны производная мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ. Π’ этих Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… приходится ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ для исслСдования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° экстрСмум.

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ β„–4 . Π Π°Π·Π±ΠΈΡ‚ΡŒ число 49 Π½Π° Π΄Π²Π° слагаСмых, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ наибольшим.
      РСшСниС. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ x β€” ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ слагаСмоС. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° (49-x) β€” Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ слагаСмоС.
      ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ: xΒ·(49-x) β†’ max
      ΠΈΠ»ΠΈ
      49x β€” x 2

      Наибольший объСм Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°

      Найти Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° наибольшСго объСма, ΠΈΠ·Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π·Π°Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ ΡˆΠ°Ρ€Π° радиуса R .
      РСшСниС:

      ОбъСм Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½: V = Ο€r 2 H
      Π³Π΄Π΅ H = 2h,
      ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ эти значСния Π² Ρ†Π΅Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

      V β†’ max
      НайдСм экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ функция объСма V(h) зависит Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ сСрвиса

      Из Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ значСния, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ± особСнностях Π΅Π³ΠΎ использования Π² практичСской Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ. Π˜Π·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ‚Π° ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ для понимания основ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. Π­Ρ‚Π° Ρ‚Π΅ΠΌΠ° являСтся ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ для Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ изучСния курса.

      Π’ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Π°ΠΊΡ‚Π΅

      Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ экстрСмум?

      Π’ школьном курсС даСтся мноТСство ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ понятия «экстрСмум». Данная ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π²Π°Π½Π° Π΄Π°Ρ‚ΡŒ самоС Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΎΠ΅ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎΠ΅ прСдставлСниС ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π΅ для нСсвСдущих Π² вопросС Π»ΠΈΡ†. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΠΎΠ΄ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚, насколько Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π°Π΅Ρ‚ минимальноС Π»ΠΈΠ±ΠΎ максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΌ мноТСствС.

      ЭкстрСмум – это ΠΈ минимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈ максимальноС ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ. Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ максимума, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΠ΅ значСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ‚:

      • статистика;
      • машинноС ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅;
      • экономСтрика.

      Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума ΠΈΠ³Ρ€Π°ΡŽΡ‚ Π²Π°ΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. БистСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π² Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ полоТСния Π² зависимости ΠΎΡ‚ измСнСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.

      ЭкстрСмумы ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

      Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ мСсто Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ явлСниС, ΠΊΠ°ΠΊ «производная». Она Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠ° для опрСдСлСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума. Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Π»ΠΈΠ±ΠΎ максимума с наибольшим ΠΈ наимСньшим Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ понятия, хотя ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠΌΠΈ.

      Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся основным Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ для опрСдСлСния Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ максимума. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π΅ образуСтся ΠΎΡ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅Π³ΠΎ Π΅Π΅ полоТСния Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΌ Π΅Π³ΠΎ порядкС.

      Π‘Π°ΠΌΠ° ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎ сСбС производная опрСдСляСтся Π½Π° основС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ экстрСмума, Π° Π½Π΅ наибольшСго ΠΈΠ»ΠΈ наимСньшСго значСния. Π’ российских ΡˆΠΊΠΎΠ»Π°Ρ… нСдостаточно Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎ проводят Π³Ρ€Π°Π½ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими двумя ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ‚Π°ΠΌΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ влияСт Π½Π° ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅.

      Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ рассмотрим Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ понятиС ΠΊΠ°ΠΊ «острый экстрСмум». На сСгодняшний дСнь Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ острый ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ значСния ΠΈ острый максимум значСния. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π½ΠΎ Π² соотвСтствии с российской классификациСй критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² основС нахоТдСния критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.

      Для опрСдСлСния Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ понятия ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π΅Π³Π°ΡŽΡ‚ ΠΊ использованию Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π€Π΅Ρ€ΠΌΠ°. Она являСтся ваТнСйшСй Π² Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ изучСния ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎΠ΅ прСдставлСниС ΠΎΠ± ΠΈΡ… сущСствовании Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΈΡ… Π²ΠΈΠ΄Π΅. Для обСспСчСния ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ условия для убывания Π»ΠΈΠ±ΠΎ возрастания Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.

      Для Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° вопрос Β«ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ максимума», Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ полоТСниям:

      1. НахоТдСниС Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ области опрСдСлСния Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.
      2. Поиск ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума.
      3. Π Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ стандартныС нСравСнства Π½Π° ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ нахоТдСния Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.
      4. Π£ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… функциях Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π°.

      Π’Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅! Поиск критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ΅Π½ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² случаС сущСствования ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка, Ρ‡Ρ‚ΠΎ обСспСчиваСтся высокой Π΄ΠΎΠ»Π΅ΠΉ наличия Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума.

      НСобходимоС условиС экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

      Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ сущСствовал экстрСмум, Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума. Π’ случаС Ссли это ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ соблюдСно лишь частично, Ρ‚ΠΎ условиС сущСствованиС экстрСмума Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ.

      КаТдая функция Π² любом ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π° с Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ выявлСния Π΅Π΅ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ случай обращСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² ноль Π½Π΅ являСтся основным ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΎΠΌ нахоТдСния Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

      ΠžΡΡ‚Ρ€Ρ‹ΠΉ экстрСмум, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – это ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ аспСкт Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ матСматичСской Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с использованиСм ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΡƒΡŽ, Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ значСниям ΠΏΠΎ заданию Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π°.

      ПолноС исслСдованиС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° значСния
      1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ возрастания ΠΈ убывания Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

      2. НахоТдСниС Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π°, экстрСмума ΠΈ пСрСсСчСниС с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ осями.

      3. ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ опрСдСлСния ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ полоТСния Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.

      4. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ показатСля ΠΈ направлСния выпуклости ΠΈ выгнутости с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ наличия асимптот.

      5. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ сводной Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ исслСдования с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния опрСдСлСния Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

      6. НахоТдСниС ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ² возрастания ΠΈ убывания ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΡ… ΠΈ острых Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

      7. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ выпуклости ΠΈ вогнутости ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ.

      8. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ исслСдования позволяСт Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π»ΠΈΠ±ΠΎ максимум.

      ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹ΠΌ элСмСнтом ΠΏΡ€ΠΈ нСобходимости Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с экстрСмумами являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ построСниС Π΅Π³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.

      Π¨ΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ учитСля Π½Π΅ часто ΡƒΠ΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠΌΡƒ аспСкту максимум внимания, Ρ‡Ρ‚ΠΎ являСтся Π³Ρ€ΡƒΠ±Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΌ Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ³ΠΎ процСсса.

      ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° происходит Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π°ΠΌ исслСдования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…, опрСдСлСния острых экстрСмумов, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.

      ΠžΡΡ‚Ρ€Ρ‹Π΅ экстрСмумы ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, с использованиСм стандартной ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρ‹ опрСдСлСния асимптот.

      Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТными построСниями Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π­Ρ‚ΠΎ обусловлСно Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΡ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ острого экстрСмума.

      НСобходимо Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ слоТной ΠΈ простой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ это ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· самых Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… понятий ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ экстрСмума.

      ЭкстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π°

      Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ‹ΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»:

      • ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ условиС ΡΠΊΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ;
      • ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ достаточноС условиС ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅;
      • ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ расчСт острого экстрСмума.

      Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ понятия, ΠΊΠ°ΠΊ слабый ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈ ΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ. Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ экстрСмума ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΅Π³ΠΎ расчСта. ΠŸΡ€ΠΈ этом острый Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π» – это поиск ΠΈ созданиС всСх Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… условий для Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

      ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°

      Поиск инструмСнта

      ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

      Π˜Π½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ для опрСдСлСния минимального значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: минимального значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ функция. Π­Ρ‚ΠΎ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Π° Π½Π΅ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ.

      Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹

      ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” dCode

      Π’Π΅Π³ (ΠΈ): Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

      ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ

      dCode ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅

      dCode являСтся бСсплатным, Π° Π΅Π³ΠΎ инструмСнты ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ†Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΏΠΎΡ€ΡŒΠ΅ΠΌ Π² ΠΈΠ³Ρ€Π°Ρ…, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, гСокСшингС, Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΊΠ°Ρ… ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ дСнь!
      ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅? обратная связь? Π–ΡƒΠΊ ? идСя ? Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ Π² dCode !

      ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠ²

      ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ максимума

      Π˜Π½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ для опрСдСлСния минимального значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: минимального значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ функция.Π­Ρ‚ΠΎ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Π° Π½Π΅ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ.

      ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π½Π° вопросы (FAQ)

      Каково ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ?

      Для любой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $ f $, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ $ I $ ΠΈ $ m $ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π΅ $ I $, Ссли $ f (x) минимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, достигнутоС ΠΏΡ€ΠΈ $ x = m $.

      ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ всСгда опрСдСляСтся с ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠΌ (ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ).

      Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ?

      НахоТдСниС ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $ f $ эквивалСнтно Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ $ f (m) $.2 $ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ Π½Π°Π΄ $ \ mathbb {R} $, Π΅Π³ΠΎ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° $ f β€˜(x) = 2x $, которая Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π² $ x = 0 $, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ $ f’ (x) = 0 \ iff 2x = 0 \ iff x = 0 $. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ измСняСтся ΠΎΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π² $ x = 0 $, поэтому функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² $ x = 0 $, $ f (x = 0) = 0 $ ΠΈ $ f (x)> = 0 $ Π½Π°Π΄ $ \ mathbb {R} $. 2 + 4 a c) / (4 a) $, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $ x = β€” \ frac {b} {2a} $

      β€” Если $

      Π—Π°Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ вопрос

      Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠ΄

      dCode сохраняСт Π·Π° собой ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ собствСнности Π½Π° исходный ΠΊΠΎΠ΄ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-инструмСнта Β«ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ».Π—Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ явной Π»ΠΈΡ†Π΅Π½Π·ΠΈΠΈ с ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹ΠΌ исходным ΠΊΠΎΠ΄ΠΎΠΌ (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ CC / Creative Commons / free), любой Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ, Π°ΠΏΠΏΠ»Π΅Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„Ρ€Π°Π³ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ (ΠΊΠΎΠ½Π²Π΅Ρ€Ρ‚Π΅Ρ€, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ / Π΄Π΅ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ / Π΄Π΅ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ / Π΄Π΅ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠΊ) ΠΈΠ»ΠΈ любая функция (ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π΅ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ / encrypt, decipher / cipher, decode / encode, translate), написанныС Π½Π° любом информатичСском языкС (PHP, Java, C #, Python, Javascript, Matlab ΠΈ Ρ‚. Π΄.), доступ ΠΊ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ, скриптам, ΠΊΠΎΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ ΠΈ API Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ бСсплатным. , Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС для минимальной Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ использования Π½Π° ПК, ΠΏΠ»Π°Π½ΡˆΠ΅Ρ‚Π΅, iPhone ΠΈΠ»ΠΈ Android!

      НуТна ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ?

      ΠŸΠΎΠΆΠ°Π»ΡƒΠΉΡΡ‚Π°, Π·Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π² нашС сообщСство Discord, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ! Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ для Π·Π°ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… сообщСний ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ наш автоматичСский ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€ ΡˆΠΈΡ„Ρ€Π°!

      Вопросы / ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ

      Π‘Π²ΠΎΠ΄ΠΊΠ°

      Π˜Π½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅

      ΠŸΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΊΠ°

      Π€ΠΎΡ€ΡƒΠΌ / Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΊΠ°

      ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ слова

      ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, функция, производная, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, максимум, экстрСмум

      Бсылки


      Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ: https: // www.dcode.fr/minimum-function

      Β© 2021 dCode β€” Π˜Π΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ «инструмСнтарий» для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… ΠΈΠ³Ρ€ / Π·Π°Π³Π°Π΄ΠΎΠΊ / гСокэшинга / CTF.

      ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°

      Поиск инструмСнта

      ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

      Π˜Π½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ для опрСдСлСния минимального значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: минимального значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ функция. Π­Ρ‚ΠΎ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Π° Π½Π΅ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ.

      Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹

      ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ β€” dCode

      Π’Π΅Π³ (ΠΈ): Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

      ΠŸΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ

      dCode ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅

      dCode являСтся бСсплатным, Π° Π΅Π³ΠΎ инструмСнты ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ†Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΏΠΎΡ€ΡŒΠ΅ΠΌ Π² ΠΈΠ³Ρ€Π°Ρ…, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, гСокСшингС, Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΊΠ°Ρ… ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ дСнь!
      ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅? обратная связь? Π–ΡƒΠΊ ? идСя ? Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ Π² dCode !

      ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠ²

      ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ максимума

      Π˜Π½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ для опрСдСлСния минимального значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: минимального значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ функция. Π­Ρ‚ΠΎ Π³Π»ΠΎΠ±Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, Π° Π½Π΅ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ.

      ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π½Π° вопросы (FAQ)

      Каково ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ?

      Для любой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $ f $, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ $ I $ ΠΈ $ m $ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π΅ $ I $, Ссли $ f (x) минимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, достигнутоС ΠΏΡ€ΠΈ $ x = m $.

      ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ всСгда опрСдСляСтся с ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠΌ (ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ).

      Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ?

      НахоТдСниС ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $ f $ эквивалСнтно Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ $ f (m) $.2 $ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ Π½Π°Π΄ $ \ mathbb {R} $, Π΅Π³ΠΎ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° $ f β€˜(x) = 2x $, которая Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ Π² $ x = 0 $, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ $ f’ (x) = 0 \ iff 2x = 0 \ iff x = 0 $. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ измСняСтся ΠΎΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π² $ x = 0 $, поэтому функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² $ x = 0 $, $ f (x = 0) = 0 $ ΠΈ $ f (x)> = 0 $ Π½Π°Π΄ $ \ mathbb {R} $.

      Как Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π½Π° ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅?

      Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ нСсколько условий, ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ограничСния ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π° для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: НайдитС ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ $ \ sin {x} $ для $ 0

      Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ нСсколько ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π° логичСского И &&, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ уравнСния

      Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΡ€Π°Π½Ρ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ?

      ΠœΠΈΠ½ΠΎΡ€Π°Π½Ρ‚ β€” это любоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, мСньшСС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ, достигаСмому Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ.

      Каков ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ постоянной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ?

      ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½Π°Ρ функция $ f (x) = c $ β€” это линия, которая всСгда Ρ€Π°Π²Π½Π° $ c $, поэтому Π΅Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ $ c $, достигаСтся ΠΏΡ€ΠΈ любом Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ $ x $.

      Каков ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π°Ρ„Ρ„ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ?

      ЛинСйная / аффинная функция $ f (x) = ax + b $ всСгда ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ $ β€” \ infty $

      β€” Если $ a

      β€” Если $ a> 0 $, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ $ f $ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ $ β€” \ infty $, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $ x $ стрСмится ΠΊ $ β€” \ infty $

      Каков ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ 2-ΠΉ стСпСни?

      ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ полиномиальная функция Π²ΠΈΠ΄Π° $ f (x) = ax ^ 2 + bx + c $, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°

      β€” Если $ a> 0 $, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ $ f $ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ $ (-b ^ 2 + 4 a c) / (4 a) $, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $ x = β€” \ frac {b} {2a} $

      β€” Если $

      Π—Π°Π΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ вопрос

      Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠ΄

      dCode сохраняСт Π·Π° собой ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ собствСнности Π½Π° исходный ΠΊΠΎΠ΄ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-инструмСнта Β«ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ». Π—Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ явной Π»ΠΈΡ†Π΅Π½Π·ΠΈΠΈ с ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹ΠΌ исходным ΠΊΠΎΠ΄ΠΎΠΌ (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ CC / Creative Commons / free), любой Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ, Π°ΠΏΠΏΠ»Π΅Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„Ρ€Π°Π³ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ (ΠΊΠΎΠ½Π²Π΅Ρ€Ρ‚Π΅Ρ€, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ / Π΄Π΅ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ / Π΄Π΅ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ / Π΄Π΅ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠΊ) ΠΈΠ»ΠΈ любая функция (ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π΄Π΅ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ / encrypt, decipher / cipher, decode / encode, translate), написанныС Π½Π° любом информатичСском языкС (PHP, Java, C #, Python, Javascript, Matlab ΠΈ Ρ‚. Π΄.), доступ ΠΊ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ, скриптам, ΠΊΠΎΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ ΠΈ API Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ бСсплатным. , Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС для минимальной Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ для Π°Π²Ρ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ использования Π½Π° ПК, ΠΏΠ»Π°Π½ΡˆΠ΅Ρ‚Π΅, iPhone ΠΈΠ»ΠΈ Android!

      НуТна ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ?

      ΠŸΠΎΠΆΠ°Π»ΡƒΠΉΡΡ‚Π°, Π·Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π² нашС сообщСство Discord, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ! Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ для Π·Π°ΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… сообщСний ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ наш автоматичСский ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΠΎΡ€ ΡˆΠΈΡ„Ρ€Π°!

      Вопросы / ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ

      Π‘Π²ΠΎΠ΄ΠΊΠ°

      Π˜Π½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅

      ΠŸΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΊΠ°

      Π€ΠΎΡ€ΡƒΠΌ / Π‘ΠΏΡ€Π°Π²ΠΊΠ°

      ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ слова

      ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, функция, производная, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, максимум, экстрСмум

      Бсылки


      Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΠΊ: https: // www.dcode.fr/minimum-function

      Β© 2021 dCode β€” Π˜Π΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ «инструмСнтарий» для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… ΠΈΠ³Ρ€ / Π·Π°Π³Π°Π΄ΠΎΠΊ / гСокэшинга / CTF.

      ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠ² ΠΈ максимумов

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: использованиС ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠ² ΠΈ максимумов

      Π‘ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π½Π΅Π΄Π°Π²Π½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΈ ΠΊΠ°Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° вСлосипСдС ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ расстояния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Π°ΠΌ ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ΄ΠΎΠ»Π΅Ρ‚ΡŒ. Π‘ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΅Π·Π΄ΠΊΠΎΠΉ Π²Ρ‹ чувствуСтС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ становится всС ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΠΈ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΡƒΡ‚ΠΎΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Π° соТТСнныС ΠΊΠ°Π»ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΡƒΠΊΡ€Π΅ΠΏΠ»ΡΡŽΡ‚ ΠΌΡ‹ΡˆΡ†Ρ‹ Π±Π΅Π΄Π΅Ρ€.

      Но, ΠΏΠΎΠΌΠΈΠΌΠΎ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… эффСктов, Π²Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ Π²Π·Π³Π»ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π° числа . Π’ частности, Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, насколько Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Π²Ρ‹ ΡΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π² свой Ρ…ΡƒΠ΄ΡˆΠΈΠΉ ΠΈ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠΉ дСнь, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ , ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΈ самоС ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈ самоС Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ΅ расстояниС соотвСтствСнно. Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆ, ΠΏΠΎΠΏΡ€Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ нас, Ссли ΠΌΡ‹ ошибаСмся, Π½ΠΎ это выглядит ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° для нашСго ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠ² ΠΈ максимумов ! (Π‘ΠΏΠΎΠΉΠ»Π΅Ρ€: нас Π½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ; ΠΌΡ‹ оказались ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹.)

      Π’Ρ‹ просматриваСтС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅, собранныС ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, ΠΈ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ послСдних Π΄Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π°ΠΌΠΈ расстояний .Π˜Ρ…:

      4,5 миль , 5,2 миль , 3,9 миль , 6,1 миль , 7,5 миль , 4,2 миль , 6,3 миль , 6,3 миль , 5,9 миль , 8,9 миль , 9,2 миль , 11,2 миль , 6,4 миль , 7 миль , 7,2 миль , 5,9 миль , 11,4 миль , 4,8 миль , 9,8 миль , 10,5 миль .

      (Для Π½Π°ΡˆΠΈΡ… Π΄Ρ€ΡƒΠ·Π΅ΠΉ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ½Π²Π΅Ρ€Ρ‚Π΅Ρ€ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ значСния Π² Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π°ΠΌΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°Ρ… измСрСния.)

      Π’ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΠΈ максимума ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ½ΡƒΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… , ΠΊΡƒΠ΄Π° ΠΌΡ‹ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ наши Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅. По ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΈ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ инструмСнт ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ восСмь Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ, Π½ΠΎ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹, каТСтся, достигли ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° (фактичСски, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ввСсти ΠΎΡ‚ Π΄ΠΎ пятидСсяти чисСл ). Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° ΠΈ максимума ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΡƒΠΆΠ΅ для Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ записи. Как Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΌΡ‹ Π²Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ послСдний, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ просто ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ .

      Однако для Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π° ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ нСобходимости, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅Ρ‚ Wi-Fi ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ , Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈ максимум Π±Π΅Π· ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° Omni max ΠΈ min.

      ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ наш Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ наимСньшСго ΠΊ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ использовании ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° инструмСнт ΡƒΠΆΠ΅ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ это Π·Π° нас ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ наимСньшСС количСство упорядочСнных элСмСнтов Π²Π½ΠΈΠ·Ρƒ.

      Π’ нашСм случаС сортировка чисСл ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ:

      4.5 миль , 5,2 миль , 3,9 миль , 6,1 миль , 7,5 миль , 4,2 миль , 6,3 миль , 6,3 миль , 5,9 миль , 8,9 миль , 9,2 миль , 11,2 миль , 6,4 миль , 7 миль , 7,2 миль , 5,9 миль , 11,4 миль , 4,8 миль , 9,8 миль , 10,5 миль ,

      Π²:

      3.9 миль , 4.2 миль , 4.5 миль , 4,8 миль , 5,2 миль , 5,9 миль , 5,9 миль , 6,1 миль , 6,3 миль , 6,3 миль , 6,4 миль , 7 миль , 7,2 миль , 7,5 миль , 8,9 миль , 9,2 миль , 9,8 миль , 10,5 миль , 11,2 миль , 11,4 миль .

      Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ? Π­Ρ‚ΠΎ , ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ число Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. А ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ максимум? Π­Ρ‚ΠΎ , послСдний .Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами,

      ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ = 3,9 миль ,

      максимум = 11,4 миль .

      Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° , Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ Π»ΠΈ? Или ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π½Π°Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ это прогрСсс ? Π’ любом случаС, это Π·Π²ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ ΠΎΠ±Π½Π°Π΄Π΅ΠΆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π΅, особСнно Ссли ΡƒΡ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ рСгулярныС упраТнСния ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π°ΡˆΡƒ Тизнь!

      И Ссли Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ свои Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ дальшС , ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡŒΡ‚Π΅ΡΡŒ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ инструмСнтами Omni, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ!

      Онлайн-справка β€” Быстрая справка

      Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ-ΠΌΠΈΠ½-макс

      ПослСднСС обновлСниС: 13.07.2018

      Из строки состояния

      Когда Π²Ρ‹ выдСляСтС столбСц, нСсколько столбцов ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° листС, основная статистика Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° отобраТаСтся Π² строкС состояния, располоТСнной Π² Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ части Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡Π΅Π³ΠΎ пространства Origin.

      По ΡƒΠΌΠΎΠ»Ρ‡Π°Π½ΠΈΡŽ Мин. И Макс. НС ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Ρ‰Π΅Π»ΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ Π½Π° строкС состояния ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Мин, Макс ΠΈ Ρ‚. Π”. Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Ρ‰Π΅Π»ΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ Π½Π° строкС состояния ΠΈ ΠšΠΎΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ статистику.

      Для получСния Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ см. Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΊΡƒ состояния.

      Π˜Π½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ «Бтатистика ΠΏΠΎ столбцам» / «Бтатистика ΠΏΠΎ строкам»

      Если Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… находится Π² столбцС ΠΈΠ»ΠΈ строкС, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡΠΎΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ статистику ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ минимальноС ΠΈΠ»ΠΈ максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ эти инструмСнты, Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Бтатистика: ΠžΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ статистика: Бтатистика ΠΏΠΎ столбцам / Бтатистика ΠΏΠΎ строкам .Π’ любом Π΄ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΎΠΊΠ½Π΅ Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ Ρ„Π»Π°ΠΆΠΊΠΈ для ΠœΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ ΠΈ ΠœΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² Π²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π° для вычислСния >> ΠšΠΎΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π° .

      Π‘ΠΌ .:

      * Π”ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΎΠΊΠ½ΠΎ «Бтатистика ΠΏΠΎ столбцам».
      * Π”ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΎΠΊΠ½ΠΎ «Бтатистика ΠΏΠΎ строкам».

      ИспользованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ LabTalk

      Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ LabTalk (max () ΠΈ min ()) ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ для поиска максимума ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°, функция list () Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ индСкса, Π° функция xvalue () Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ xvalue ΠΏΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ индСкса.Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°ΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ΅ сцСнарий LabTalk Π² ΠΎΠΊΠ½Π΅ сцСнария (Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· прСдоставлСнных сцСнариСв Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ , Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ):

       Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ максимум ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² столбцС B:
            bMax = max (столбСц (B));
            bMin = min (столбСц (B));
      
      Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ порядковый Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€:
            maxIndex = список (макс (столбСц (B)), столбСц (B));
            minIndex = список (min (col (B)), col (B));
      
      
      Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x:
        1) НайдитС ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² столбцС x:
            xvalue (список (макс (столбСц (B)), столбСц (B)), столбСц (B))
            xvalue (список (min (col (B)), col (B)), col (B))
         
        2) НайдитС ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ столбцС C:
            v1 = col (C) [список (max (col (B)), col (B))];
            v2 = col (C) [список (min (col (B)), col (B))];
            v3 = Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° (столбСц (B), столбСц (C), Макс (столбСц (B)))
            v4 = Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° (столбСц (B), столбСц (C), Min (столбСц (B))) 

      ИспользованиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ столбца

      Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ LabTalk Π² Π΄ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΎΠΊΠ½Π΅ F (x) = cell ΠΈΠ»ΠΈ Set Values), Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ минимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ , Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ индСкса , ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ xvalue ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² любом столбцС.

      Начиная с Origin 2017, Origin ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ Π½ΠΎΡ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ ячССк элСктронной Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ столбца, поэтому Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ B , Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ col (B) .

      НапримСр, Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ столбСц Π½Π° лист. Π’Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π² ячСйку F (x) ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π΅ Π΄ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΎΠΊΠ½ΠΎ Β«Π£ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ значСния» :

      • Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ максимум ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Π² столбцС B:
         макс (B)
        ΠΌΠΈΠ½ (B) 
      • Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ индСкса строки максимального ΠΈΠ»ΠΈ минимального значСния Π² столбцС B: Если Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ / ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния Π² столбцС B, ΠΎΠ½ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ индСкса строки ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ появлСния максимального / минимального значСния.Бписок
         (макс. (B), B)
        список (min (B), B) 
      • Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x максимального ΠΈΠ»ΠΈ минимального значСния Π² столбцС B, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ B β€” столбСц Y.
         xvalue (список (макс (B), B), B)
               xvalue (список (min (B), B), B) 
      • Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² столбцС C Π² Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ строкС, Π³Π΄Π΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ максимальноС ΠΈΠ»ΠΈ минимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ столбца B:
         C [список (макс. (B), B)]
        C [список (min (B), B)]
        Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° (B, C, Макс (B))
        Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° (B, C, Min (B)) 

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅. Π’Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ввСсти col (B), Π° Π½Π΅ B для Origin 2016 ΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅.


      ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ слова: ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ статистика, строка состояния, статистика ΠΏΠΎ столбцам, статистика ΠΏΠΎ строкам, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ индСкса, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

      Аппроксимация Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с рСгрСссионным Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠΌ

      ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° аппроксимации Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈΠ· Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ класса, которая Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎ соотвСтствуСт (Β«ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Π΅Ρ‚Β») Ρ†Π΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ нСизвСстной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

      Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ прСдоставлСнныС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ†Π΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ {x, f (x)} для построСния Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… рСгрСссионных ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»Π΅ΠΉ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ: линСйная рСгрСссия, квадратичная рСгрСссия, кубичСская рСгрСссия, стСпСнная рСгрСссия, логарифмичСская рСгрСссия, гипСрболичСская рСгрСссия, ab- ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ рСгрСссия ΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ рСгрСссия. Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ коэффициСнта коррСляции, коэффициСнта Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, срСднСй ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ошибки (стандартной ошибки рСгрСссии) ΠΈ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. ВСория ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ.

      Аппроксимация Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ с рСгрСссионным Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠΌ
      83 71 64 69 69 64 68 59 81 91 57 65 58 62

      ЗначСния X, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π»ΠΎΠΌ

      183 168 171 178 176 172 165 158 183 182 163 175 164 175

      ЗначСния Y, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π΅Π»ΠΎΠΌ

      ab-Π­ΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ рСгрСссия Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вычислСния

      Π¦ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹ послС дСсятичной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: 4

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ коррСляции

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ

      БрСдняя ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ,%

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции

      ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ коэффициСнта

      БрСдняя ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ,%

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ

      БрСдняя ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ,%

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚

      %

      ab-Π­ΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ рСгрСссия

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ

      БрСдняя ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ,%

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡˆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ

      %

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ

      БрСдняя ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ошибка,%

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ

      Π Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹

      Ρ„Π°ΠΉΠ» ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ большой.Π’ΠΎ врСмя Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠΈ ΠΈ создания ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π±Ρ€Π°ΡƒΠ·Π΅Ρ€Π°.

      Π‘ΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ

      content_copy Бсылка ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π‘ΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π’ΠΈΠ΄ΠΆΠ΅Ρ‚

      ЛинСйная рСгрСссия

      Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

      коэффициСнт

      b коэффициСнт

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ коррСляции

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ

      Бтандартная ошибка рСгрСссии

      ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ рСгрСссия

      Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

      БистСма ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ для поиска a, b ΠΈ c

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции
      ,
      Π³Π΄Π΅

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ

      Бтандартная ошибка рСгрСссии

      ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ рСгрСссия

      Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

      БистСма ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ для поиска a, b, c ΠΈ d

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции, коэффициСнт Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, стандартная ошибка рСгрСссии β€” Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π² случаС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ рСгрСссии.

      РСгрСссия мощности

      Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

      b коэффициСнт

      коэффициСнт

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции, коэффициСнт Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, стандартная ошибка рСгрСссии β€” Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

      ab-Π­ΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ рСгрСссия

      Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

      b коэффициСнт

      коэффициСнт

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции, коэффициСнт Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, стандартная ошибка рСгрСссии β€” Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅.

      ГипСрболичСская рСгрСссия

      Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

      b коэффициСнт

      коэффициСнт

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции, коэффициСнт Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, стандартная ошибка рСгрСссии β€” Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

      ЛогарифмичСская рСгрСссия

      Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

      b коэффициСнт

      коэффициСнт

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции, коэффициСнт Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, стандартная ошибка рСгрСссии β€” Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

      Π­ΠΊΡΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ рСгрСссия

      Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

      b коэффициСнт

      коэффициСнт

      ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ коррСляции, коэффициСнт Π΄Π΅Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ, стандартная ошибка рСгрСссии β€” Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

      Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»

      НачнСм с Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ:
      Π£ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ нСизвСстная функция y = f (x), заданная Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· экспСримСнтов).
      Нам Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ извСстного Ρ‚ΠΈΠΏΠ° (линСйная, квадратичная ΠΈ Ρ‚. Π”.).) y = F (x), эти значСния Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ значСниям Π² Ρ‚Π΅Ρ… ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…. На ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ Ρ‚ΠΈΠΏ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ опрСдСляСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ·ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ сравнСния Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ извСстных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

      Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ y = F (x), Π½Π°Π·Π²Π°Π½Π½ΡƒΡŽ эмпиричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ (ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ рСгрСссии, аппроксимация Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ), которая позволяСт Π½Π°ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ y для x, ΠΎΡ‚ΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, эмпиричСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° «сглаТиваСт» значСния y.

      ΠœΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ F для Π½Π°ΠΈΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π³ΠΎ соотвСтствия. ΠΠ°ΠΈΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π΅ соотвСтствиС Π² смыслС Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ сумму ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² остатков, ΠΏΡ€ΠΈ этом остаток прСдставляСт собой Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, прСдоставлСнным модСлью.

      Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ F, Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ ​​как сумму ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² остатков, S Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ

      ОпишСм Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ рСгрСссии F = ax + b.
      Нам Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π°ΠΈΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π΅ соотвСтствиС для коэффициСнтов a ΠΈ b, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, S являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ‚ a ΠΈ b. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ, ΠΌΡ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

      Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ комплСксной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ уравнСния:

      Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ частныС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅:
      ,

      Раскладывая ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ частными ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ уравнСния:

      ПослС снятия скобок ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

      Из этих ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для a ΠΈ b, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, пСрСчислСнныС Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

      Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΡƒ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для всСх ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ рСгрСссий.

      7. ΠŸΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΎ максимумС ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ΅

      М. Π‘ΠΎΡ€Π½Π°

      ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ поиска ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ называСтся ΠΎΠΏΡ‚ΠΈΠΌΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ . ΠœΡ‹ пытаСмся ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅Ρ‰ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ максимизация ΠΏΡ€ΠΈΠ±Ρ‹Π»ΠΈ Π² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°Π½ΠΈΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ минимизация Π·Π°Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚, ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ наимСньшСС количСство ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π° для изготовлСния ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°.

      Они ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ Π² ΠΌΠΈΡ€Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

      ДнСвная ΠΏΡ€ΠΈΠ±Ρ‹Π»ΡŒ, P , Π½Π΅Ρ„Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π·Π°Π²ΠΎΠ΄Π° даСтся

      P = 8 x β€” 0.2) = -0,04 <0` для всСх x, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ максимум.

      Когда x = 200, P = 800 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ².

      Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли компания ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ 200 Π±Π°Ρ€Ρ€Π΅Π»Π΅ΠΉ Π² дСнь, достигаСтся максимальная ΠΏΡ€ΠΈΠ±Ρ‹Π»ΡŒ Π² 800 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ΠΎΠ².

      Максимальная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° `(200, 800)` ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π° Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΡƒΡ€ΠΏΡƒΡ€Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ. 2) = β€” 4 <0 \" для всСх "\ x`

      Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это максимум.

      Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, максимальная ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ достигаСтся, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x = 200, `y = 400`, Π° эта ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π°:

      A = 200 Γ— 400 = 80000 ΠΌ 2 = 8 Π³Π°

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3

      [Π­Ρ‚Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° Π±Ρ‹Π»Π° прСдставлСны для обсуТдСния Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ Π²ΠΎ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ.]

      ΠšΠΎΡ€ΠΎΠ±ΠΊΠ° с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ основаниСм Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π°. Если ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ 64 см 2 ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ² максимально Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ объСм для ΠΊΠΎΡ€ΠΎΠ±ΠΊΠ°?

      ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚

      Π‘Π΅Ρ‚ΡŒ для этого ящика Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚:

      ОбъСм ΠΊΠΎΡ€ΠΎΠ±ΠΊΠΈ V = x 2 y

      Нам сказали, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ящика составляСт 64 см 2 .2) = β€” (3x) / 2`

      , ΠΈ это ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это МАКБ.

      Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΠ±ΠΊΠΈ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚:

      ОснованиС 4,62 см Γ— 4,62 см ΠΈ стороны 2,31 см.

      Максимально Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ объСм составляСт

      V = 4,62 Γ— 4,62 Γ— 2,31 β‰ˆ 49,3 см 3

      ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° : ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°:

      x 2 + 4 xy = 21,3 + 4 Γ— 4,62 Γ— 2.31 = 64

      ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΠ΅Ρ‚ ОК.

      ВстроСнныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

      β€” докумСнтация Python 3.9.2

      ΠžΡ‚ΠΊΡ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ Ρ„Π°ΠΉΠ» ΠΈ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ„Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚. Если Ρ„Π°ΠΉΠ» Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ошибка OSError . Π’ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π§Ρ‚Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ запись Ρ„Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ² для получСния Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² использования этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

      Ρ„Π°ΠΉΠ» β€” это ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚, ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠΉ Π½Π° ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ, Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ имя ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ (Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π°Π»ΠΎΠ³Π°) ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Ρ„Π°ΠΉΠ»Π° ΠΈΠ»ΠΈ цСлочислСнный Ρ„Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ дСскриптор Ρ„Π°ΠΉΠ»Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ.(Если дСскриптор Ρ„Π°ΠΉΠ»Π° Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ, ΠΎΠ½ закрываСтся, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ Π²Π²ΠΎΠ΄Π°-Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° закрываСтся, Ссли Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ closefd установлСно Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π›ΠΎΠΆΡŒ .)

      Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌ β€” Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ строка, ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ„Π°ΠΉΠ» ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚. По ΡƒΠΌΠΎΠ»Ρ‡Π°Π½ΠΈΡŽ это 'r' , Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅ для чтСния Π² тСкстовом Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ значСния: 'w' для записи (усСчСниС Ρ„Π°ΠΉΠ»Π°, Ссли ΠΎΠ½ ΡƒΠΆΠ΅ сущСствуСт), 'x' для ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ создания ΠΈ 'a' для добавлСния (Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… систСмах Unix ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС записи Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† Ρ„Π°ΠΉΠ» нСзависимо ΠΎΡ‚ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ поиска).Π’ тСкстовом Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅, Ссли ΠšΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π½Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠ°Ρ ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ° зависит ΠΎΡ‚ ΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹: locale.getpreferredencoding (False) ВызываСтся для получСния Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΠΈ ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅. (Для чтСния ΠΈ записи сырых Π±Π°ΠΉΡ‚ΠΎΠ² ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌ ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ° Π½Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π°.) ДоступныС Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΡ‹:

      Π—Π½Π°ΠΊ

      Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

      'r'

      ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎ для чтСния (ΠΏΠΎ ΡƒΠΌΠΎΠ»Ρ‡Π°Π½ΠΈΡŽ)

      ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Π°

      ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ для записи, сначала ΠΎΠ±Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Ρ„Π°ΠΉΠ»Π°

      'x'

      ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎ для монопольного создания, ошибка, Ссли Ρ„Π°ΠΉΠ» ΡƒΠΆΠ΅ сущСствуСт

      'Π°'

      ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎ для записи, добавляСтся Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† Ρ„Π°ΠΉΠ»Π°, Ссли ΠΎΠ½ сущСствуСт

      'b'

      Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌ

      'Ρ‚'

      тСкстовый Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌ (ΠΏΠΎ ΡƒΠΌΠΎΠ»Ρ‡Π°Π½ΠΈΡŽ)

      '+'

      ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ для обновлСния (Ρ‡Ρ‚Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ запись)

      Π Π΅ΠΆΠΈΠΌ ΠΏΠΎ ΡƒΠΌΠΎΠ»Ρ‡Π°Π½ΠΈΡŽ β€” 'r' (ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ для чтСния тСкста, синоним 'rt' ).Π Π΅ΠΆΠΈΠΌΡ‹ 'w +' ΠΈ 'w + b' ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π΅Π·Π°ΡŽΡ‚ Ρ„Π°ΠΉΠ». Π Π΅ΠΆΠΈΠΌΡ‹ 'r +' ΠΈ 'r + b' ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ„Π°ΠΉΠ» Π±Π΅Π· усСчСния.

      Как ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π² ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€Π΅, Python Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ тСкстовый Π²Π²ΠΎΠ΄ / Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄. Π€Π°ΠΉΠ»Ρ‹, ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹Π΅ Π² Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ (Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ 'b' Π² Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚) Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ содСрТимоС ΠΊΠ°ΠΊ Π±Π°ΠΉΡ‚ΠΎΠ² ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ² Π±Π΅Π· ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ дСкодирования. Π’ тСкстовый Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌ (ΠΏΠΎ ΡƒΠΌΠΎΠ»Ρ‡Π°Π½ΠΈΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° 't' Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ Π² Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ mode ), содСрТимоС Ρ„Π°ΠΉΠ»Π° возвращаСтся ΠΊΠ°ΠΊ str , Π±Π°ΠΉΡ‚Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ сначала дСкодируСтся с использованиСм ΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ-зависимого кодирования ΠΈΠ»ΠΈ с использованиСм ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ , Ссли ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ.

      Π Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ символ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ°, 'U' , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ большС Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ эффСкт ΠΈ считаСтся ΡƒΡΡ‚Π°Ρ€Π΅Π²ΡˆΠΈΠΌ. Π Π°Π½Π΅Π΅ ΠΎΠ½ Π±Ρ‹Π» Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ символы Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ строки Π² тСкстовом Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ стали ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎ ΡƒΠΌΠΎΠ»Ρ‡Π°Π½ΠΈΡŽ Π² Python 3.0. Π‘ΠΌ. Π”ΠΎΠΊΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ строки для получСния Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… свСдСний.

      ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅

      Python Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ прСдставлСния тСкста ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ систСмой. Ρ„Π°ΠΉΠ»Ρ‹; вся ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ° выполняСтся самим Python ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, нСзависимая ΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°.

      буфСризация β€” Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ для установки ΠΏΠΎΠ»ΠΈΡ‚ΠΈΠΊΠΈ Π±ΡƒΡ„Π΅Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ. ΠŸΡ€ΠΎΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ 0 для Π²Ρ‹ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Π±ΡƒΡ„Π΅Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ (Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅), 1 для Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° строки буфСризация (ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² тСкстовом Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅) ΠΈ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число> 1, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ Π² Π±Π°ΠΉΡ‚Π°Ρ… Π±ΡƒΡ„Π΅Ρ€Π° Ρ„Ρ€Π°Π³ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² фиксированного Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°. Если Π½Π΅Ρ‚ Π±ΡƒΡ„Π΅Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΡ‚ΠΈΠΊΠ° Π±ΡƒΡ„Π΅Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΡƒΠΌΠΎΠ»Ρ‡Π°Π½ΠΈΡŽ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

      • Π”Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°ΠΉΠ»Ρ‹ Π±ΡƒΡ„Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Ρ„Ρ€Π°Π³ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ фиксированного Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π°; Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ Π±ΡƒΡ„Π΅Ρ€Π° Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ эвристики, ΠΏΡ‹Ρ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Β«Π±Π»ΠΎΠΊΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΡƒΒ» основного устройства Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ Β»ΠΈ возвращаСтся ΠΊ io.Π ΠΠ—ΠœΠ•Π _БУЀЕРА_ДЕЀА . Π’ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… систСмах Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ Π±ΡƒΡ„Π΅Ρ€Π° ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ составляСт 4096 ΠΈΠ»ΠΈ 8192 Π±Π°ΠΉΡ‚Π°.

      • Β«Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅Β» тСкстовыС Ρ„Π°ΠΉΠ»Ρ‹ (Ρ„Π°ΠΉΠ»Ρ‹, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… isatty () Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Π˜ΡΡ‚ΠΈΠ½Π° ) ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π±ΡƒΡ„Π΅Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΡŽ строки. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ тСкстовыС Ρ„Π°ΠΉΠ»Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΡ‚ΠΈΠΊΡƒ описано Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ для Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ².

      ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ° β€” это имя ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ для дСкодирования ΠΈΠ»ΠΈ кодирования Ρ„Π°ΠΉΠ»Π°. Π­Ρ‚ΠΎ слСдуСт ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² тСкстовом Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅. ΠšΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ° ΠΏΠΎ ΡƒΠΌΠΎΠ»Ρ‡Π°Π½ΠΈΡŽ β€” ΠΏΠ»Π°Ρ‚Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°. зависимый (нСзависимо ΠΎΡ‚ locale.getpreferredencoding () Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚), Π½ΠΎ любой ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ° тСкста, поддСрТиваСмая Python ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ использован. Π‘ΠΌ. ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ ΠΊΠΎΠ΄Π΅ΠΊΠΎΠ² для список ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠΊ.

      ошибок β€” Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ строка, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ способ кодирования ΠΈ дСкодирования. ошибки Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ β€” это Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅. Доступны Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ стандартныС ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‡ΠΈΠΊΠΈ ошибок. (пСрСчислСны Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ Β«ΠžΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‡ΠΈΠΊΠΈ ошибок»), хотя Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ имя ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ ошибок, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ зарСгистрировано с codecs.register_error () Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ допустим.Π‘Ρ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚:

      • 'strict' , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ValueError , Ссли Π΅ΡΡ‚ΡŒ ошибка ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΡƒΠΌΠΎΠ»Ρ‡Π°Π½ΠΈΡŽ НСт ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС эффСкт.

      • 'ignore' ΠΈΠ³Π½ΠΎΡ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ошибки. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ³Π½ΠΎΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ошибок кодирования ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ привСсти ΠΊ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ….

      • 'replace' Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ вставку Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ€ΠΊΠ΅Ρ€Π° (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, '?' ) Π³Π΄Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ искаТСнныС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅.

      • 'surrogateescape' Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π±Π°ΠΉΡ‚Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠ΄ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π² области частного использования Unicode Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΎΡ‚ U + DC80 Π΄ΠΎ U + DCFF.Π­Ρ‚ΠΈ частныС ΠΊΠΎΠ΄ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ снова ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½Ρ‹ Π² Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ Π±Π°ΠΉΡ‚Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ использовании ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‡ΠΈΠΊΠ° ошибок surrogateescape ΠΏΡ€ΠΈ записи Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ для ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ Ρ„Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ² Π² нСизвСстная ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ°.

      • 'xmlcharrefreplace' поддСрТиваСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ записи Π² Ρ„Π°ΠΉΠ». Π‘ΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»Ρ‹, Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΊΠΎΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΎΠΉ, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ символами ссылка Π½Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ символ XML & # nnn; .

      • 'backslashreplace' замСняСт искаТСнныС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΡΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Ρƒ Python escape-ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.

      • 'namereplace' (Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ поддСрТиваСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ записи) замСняСт Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ символы ΡƒΠΏΡ€Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡΠΌΠΈ \ N {...} .

      новая строка управляСт Ρ‚Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ строки (Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ относится ΠΊ тСкстовому Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΡƒ). Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ НСт , '' , '\ n' , '\ r' ΠΈ '\ r \ n' . Он Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

      • ΠŸΡ€ΠΈ Ρ‡Ρ‚Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π²ΠΎΠ΄Π° ΠΈΠ· ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΊΠ°, Ссли ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ строки Ρ€Π°Π²Π΅Π½ НСт , ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π Π΅ΠΆΠΈΠΌ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ строки Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½.Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΊΠΈ Π½Π° Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π·Π°ΠΊΠ°Π½Ρ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° '\ n' , '\ r' ΠΈΠ»ΠΈ '\ r \ n' , ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ пСрСводятся Π² '\ n' ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ. Если это '' , ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ строки Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½, Π½ΠΎ окончания строк Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ Π°Π±ΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρƒ Π±Π΅Π· ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π°. Если ΠΎΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ любоС ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… допустимых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, строки Π²Π²ΠΎΠ΄Π° Π·Π°ΠΊΠ°Π½Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ заданная строка, ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† строки возвращаСтся Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ Π°Π±ΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρƒ Π±Π΅Π· ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π°.

      • ΠŸΡ€ΠΈ записи Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° Π² ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΊ, Ссли ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ строки Ρ€Π°Π²Π΅Π½ НСт , любой '\ n' написанныС символы пСрСводятся Π² систСмный Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ строк ΠΏΠΎ ΡƒΠΌΠΎΠ»Ρ‡Π°Π½ΠΈΡŽ, ос.linesep . Если новая строка β€” это '' ΠΈΠ»ΠΈ '\ n' , ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π° Π½Π΅Ρ‚ происходит. Если новая строка β€” любоС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ допустимоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, любоС '\ n' написанныС символы пСрСводятся Π² Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ строку.

      Если closefd β€” Π›ΠΎΠΆΡŒ ΠΈ Π±Ρ‹Π» ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ дСскриптор Ρ„Π°ΠΉΠ»Π°, Π° Π½Π΅ имя Ρ„Π°ΠΉΠ»Π°. Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΎ, Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ дСскриптор Ρ„Π°ΠΉΠ»Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹ΠΌ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ„Π°ΠΉΠ» Π·Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎ. Если ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ имя Ρ„Π°ΠΉΠ»Π° closefd Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ True (ΠΏΠΎ ΡƒΠΌΠΎΠ»Ρ‡Π°Π½ΠΈΡŽ) Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½Π΅Ρ‚ ошибка.

      МоТно ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ настраиваСмый ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Π² Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ . Π›Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ Π² основС Ρ„Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ дСскриптор для Ρ„Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π·ΠΎΠ²Π° открыватСля с ( Ρ„Π°ΠΉΠ» , Ρ„Π»Π°Π³ΠΈ ). ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ дСскриптор ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ„Π°ΠΉΠ»Π° (пСрСдавая os.open as ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Ρ‡Π΅ НСт ).

      Π’Π½ΠΎΠ²ΡŒ созданный Ρ„Π°ΠΉΠ» Π½Π΅ наслСдуСтся.

      Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ dir_fd ос.open () , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΉΠ», относящийся ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠ°Ρ‚Π°Π»ΠΎΠ³Ρƒ:

       >>> ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ ОБ
      >>> dir_fd = os.open ('somedir', os.O_RDONLY)
      >>> def opener (ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ, Ρ„Π»Π°Π³ΠΈ):
      ... Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ os.open (ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ, Ρ„Π»Π°Π³ΠΈ, dir_fd = dir_fd)
      ...
      >>> с open ('spamspam.txt', 'w', opener = opener) как f:
      ... print ('Π­Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ записано Π² somedir / spamspam.txt', file = f)
      ...
      >>> os.close (dir_fd) # Π½Π΅ Π΄ΠΎΠΏΡƒΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ‚Π΅Ρ‡ΠΊΠΈ Ρ„Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ дСскриптора
       

      Π’ΠΈΠΏ Ρ„Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°, Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ open () . зависит ΠΎΡ‚ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ°.Когда open () ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для открытия Ρ„Π°ΠΉΠ»Π° Π² тСкстС mode ( 'w' , 'r' , 'wt' , 'rt' ΠΈ Ρ‚. Π΄.), ΠΎΠ½ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ подкласс io.TextIOBase (Π² частности, io.TextIOWrapper ). ΠŸΡ€ΠΈ использовании Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΉΠ» Π² Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅ с Π±ΡƒΡ„Π΅Ρ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ, Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ класс β€” подкласс io.BufferedIOBase . Π’ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ класс Π²Π°Ρ€ΡŒΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ: Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Ρ‚Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌ, ΠΎΠ½ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ io.BufferedReader ; Π² записи Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ΄Π° ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΠΎΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΡ‹, ΠΎΠ½ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ io.BufferedWriter , Π° Π² Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌ чтСния / записи, ΠΎΠ½ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ io.BufferedRandom . Когда буфСризация ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΊ, подкласс io.RawIOBase , io.FileIO , возвращаСтся.

      Π‘ΠΌ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠΈ Ρ„Π°ΠΉΠ»ΠΎΠ², Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, fileinput , io (Π³Π΄Π΅ объявлСн open () ), os , os.path , tempfile , ΠΈ ΡˆΡƒΡ‚ΠΈΠ» .