1 | Найти точное значение | sin(30) | |
2 | Найти точное значение | cos((5pi)/12) | |
3 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
4 | Найти точное значение | sin(75) | |
5 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
6 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
7 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
8 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
9 | Найти точное значение | cos(pi/3) | |
10 | Найти точное значение | sin(0) | |
11 | Найти точное значение | cos(pi/12) | |
12 | Найти точное значение | sin(30 град. |
|
27 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
28 | Найти точное значение | cos(45) | |
29 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
30 | Найти точное значение | tan(30) | |
31 | Найти точное значение | arcsin(1) | |
32 | Найти точное значение | arctan( квадратный корень 3) | |
33 | Найти точное значение | sin(45) | |
34 | Найти точное значение | cos(0) | |
35 | Найти точное значение | tan(45 град. |
|
44 | Вычислить | логарифм по основанию 3 от 81 | |
45 | Вычислить | логарифм по основанию 2 от 8 | |
46 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень 2)/2) | |
47 | Найти точное значение | cos(75) | |
48 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
49 | Упростить | (1/( квадратный корень x+h)-1/( квадратный корень x))/h | |
50 | Упростить | кубический корень x^3 | |
51 | Найти точное значение | sin((5pi)/12) | |
52 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
53 | Найти точное значение | sin(30) | |
54 | Найти точное значение | sin(105) | |
55 | Найти точное значение | tan((3pi)/4) | |
56 | Упростить | квадратный корень s квадратный корень s^7 | |
57 | Упростить | корень четвертой степени x^4y^2z^2 | |
58 | Найти точное значение | sin(60) | |
59 | Найти точное значение | arccos(-( квадратный корень 2)/2) | |
60 | Найти точное значение | tan(0) | |
61 | Найти точное значение | sin((3pi)/2) | |
62 | Вычислить | логарифм по основанию 4 от 64 | |
63 | Упростить | корень шестой степени 64a^6b^7 | |
64 | Вычислить | квадратный корень 2 | |
65 | Найти точное значение | arccos(1) | |
66 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 3)/2) | |
67 | График | f(x)=2^x | |
68 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
69 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
70 | Вычислить | логарифм по основанию 5 от 25 | |
71 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
72 | Найти точное значение | cos((7pi)/12) | |
73 | Упростить | 1/( кубический корень от x^4) | |
74 | Найти точное значение | sin((5pi)/6) | |
75 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
76 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
77 | Множитель | x^3-8 | |
78 | Упростить | корень пятой степени 1/(x^3) | |
79 | Упростить | корень пятой степени 1/(x^3) | |
80 | Найти точное значение | sin(135) | |
81 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
82 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
83 | Найти точное значение | sin(120) | |
84 | Найти точное значение | tan((2pi)/3) | |
85 | Вычислить | -2^2 | |
86 | Найти точное значение | tan(15) | |
87 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
88 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 3)/2) | |
89 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
90 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
91 | Упростить | кубический корень 8x^7y^9z^3 | |
92 | Упростить | arccos(( квадратный корень 3)/2) | |
93 | Упростить | i^2 | |
94 | Вычислить | кубический корень 24 кубический корень 18 | |
95 | Упростить | квадратный корень 4x^2 | |
96 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
97 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
98 | Найти точное значение | tan((3pi)/4) | |
99 | Найти точное значение | arccos(-1/2) | |
100 | Упростить | корень четвертой степени x^4 |
Логарифм.
{-5}=\)\(\frac{1}{32}\)Аргумент и основание логарифма
Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:
Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание — подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».
Как вычислить логарифм?
Чтобы вычислить логарифм — нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?
Например, вычислите логарифм: а) \(\log_{4}{16}\) б) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\) в) \(\log_{\sqrt{5}}{1}\) г) \(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\) д) \(\log_{3}{\sqrt{3}}\)
а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому:
\(\log_{4}{16}=2\)
б) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\frac{1}{3}\)? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).
\(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(=-1\)
в) В какую степень надо возвести \(\sqrt{5}\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!
\(\log_{\sqrt{5}}{1}=0\)
г) В какую степень надо возвести \(\sqrt{7}\), чтобы получить \(\sqrt{7}\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.
\(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=1\)
д) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\sqrt{3}\)? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень — это степень \(\frac{1}{2}\).
\(\log_{3}{\sqrt{3}}=\)\(\frac{1}{2}\)
Пример: Вычислить логарифм \(\log_{4\sqrt{2}}{8}\)
Решение:
\(\log_{4\sqrt{2}}{8}=x\) |
Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. {b}=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_{a}{c}=b\) |
|
\(\log_{4}{10}=5x-4\) |
Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева |
|
\(5x-4=\log_{4}{10}\) |
Перед нами линейное уравнение. Перенесем \(4\) вправо.
И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу. |
|
\(5x=\log_{4}{10}+4\) |
Поделим уравнение на 5 |
|
\(x=\)\(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\) |
|
Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают. |
Ответ: \(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)
Десятичный и натуральный логарифмы
Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:
Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание — число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln{a}\).
То есть, \(\ln{a}\) это то же самое, что и \(\log_{e}{a}\), где \(a\) — некоторое число.
Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg{a}\).
То есть, \(\lg{a}\) это то же самое, что и \(\log_{10}{a}\), где \(a\) — некоторое число. {2}=25\)
Ответ готов.
Ответ: \(25\)
Как число записать в виде логарифма?
Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_{2}{4}\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_{2}{4}\).
Но \(\log_{3}{9}\) тоже равен \(2\), значит, также можно записать \(2=\log_{3}{9}\) . Аналогично и с \(\log_{5}{25}\), и с \(\log_{9}{81}\), и т.д. То есть, получается
\(2=\log_{2}{4}=\log_{3}{9}=\log_{4}{16}=\log_{5}{25}=\log_{6}{36}=\log_{7}{49}…\)
Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.
Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_{2}{8}\), или как \(\log_{3}{27}\), или как \(\log_{4}{64}\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:
\(3=\log_{2}{8}=\log_{3}{27}=\log_{4}{64}=\log_{5}{125}=\log_{6}{216}=\log_{7}{343}…\)
И с четверкой:
\(4=\log_{2}{16}=\log_{3}{81}=\log_{4}{256}=\log_{5}{625}=\log_{6}{1296}=\log_{7}{2401}…\)
И с минус единицей:
\(-1=\) \(\log_{2}\)\(\frac{1}{2}\)\(=\) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(=\) \(\log_{4}\)\(\frac{1}{4}\)\(=\) \(\log_{5}\)\(\frac{1}{5}\)\(=\) \(\log_{6}\)\(\frac{1}{6}\)\(=\) \(\log_{7}\)\(\frac{1}{7}\)\(…\)
И с одной третьей:
\(\frac{1}{3}\)\(=\log_{2}{\sqrt[3]{2}}=\log_{3}{\sqrt[3]{3}}=\log_{4}{\sqrt[3]{4}}=\log_{5}{\sqrt[3]{5}}=\log_{6}{\sqrt[3]{6}}=\log_{7}{\sqrt[3]{7}}…\)
И так далее.
Любое число \(a\) может быть представлено как логарифм с основанием \(b\): \(a=\log_{b}{b^{a}}\)
Пример: Найдите значение выражения \(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)
Решение:
\(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)\(=\) |
Превращаем единицу в логарифм с основанием \(2\): \(1=\log_{2}{2}\) |
|
\(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{2}+\log_{2}{7}}\)\(=\) |
Теперь пользуемся свойством логарифмов \(\log_{a}{b}+\log_{a}{c}=\log_{a}{(bc)}\) |
|
\(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{(2\cdot7)}}\)\(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{14}}\)\(=\) |
В числителе и знаменателе одинаковые числа – их можно сократить. |
|
\(=1\) |
Ответ готов. |
Ответ: \(1\)
Смотрите также:
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства
11.4.9.6. Формула представления любого числа в виде логарифма.
p=logaap Любое число можно представить в виде логарифма по любому основанию.
Под знаком логарифма могут находиться только положительные числа, причем, основание логарифма не равно единице.
Примеры.
I. Представить число 2 в виде логарифма по основанию: 1) 3; 2) 5; 3) 10.
Решение.
1) 2=log
2) 2=log55²=log525;
3) 2=lg10²=lg100.
II. Представить в виде десятичного логарифма числа: 1) -1; 2) -2; 3) -3.
Решение.
1) -1=lg10—1=lg0,1;
2) -2=lg10-2=lg0,01;
3) -3=lg10-3=lg0,001.
Решить уравнение:
1) lg (x-9)+lg (2x-1)=2.
Решение.
lg (2x2-18x-x+9)=lg100; упростили выражения под знаками логарифмов.
2x2-19x+9=100; получили после потенцирования.
2x2-19x-91=0. Получили квадратное уравнение вида: ax2+bx+c=0.
a=2, b=-19, c=-91. Решим квадратное уравнение по общей формуле.
D=b2-4ac=(-19)2-4∙2∙(-91)=361+728=1089=332>0; два действительных корня:
Проверка.
Проверяем данное равенство при х=13.
lg (13-9)+lg (2∙13-1)=2;
lg4+lg25=2;
lg (4∙25)=2;
lg100=2;
2=2.
Ответ: 13.
2) log3(x+1)+log3(x+3)=1.
Решение.
Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения, единицу в правой части представим в виде логарифма с основанием 3:
log ((x+1)(x+3))=log33;
log (x2+x+3x+3)=log33. Потенцируем:
x2+4x+3=3;
x2+4x=0;
x (x+4)=0;
x=0 или x+4=0, отсюда x=-4.
Анализируем результаты:
х=-4 не подойдет, так как при этом значении под знаком логарифма окажутся отрицательные числа, что недопустимо.
Проверим значение х=0.
Проверка.
log3(0+1)+log3(0+3)=1;
log31+log33=1;
0+1=1;
1=1.
Ответ: 0.
Формулы и свойства логарифмов, основные формулы логарифмов с примерами
Содержание:
Определение
Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ ( $\log _{a} b$ ) называется такое число $c$, что $b=a^{c}$, то есть записи $\log _{a} b$ и $b=a^{c}$ равносильны. {k}} b=\frac{1}{k} \cdot \log _{a} b$
8 $\log _{a} b=\frac{1}{\log _{b} a}$
9 $\log _{a} b=\frac{\log _{c} b}{\log _{c} a}$ — переход к новому основанию.
Примеры решения задач
Пример
Задание. Вычислить $\log _{a} \sqrt{a b}$, если $\log _{a} b=7$
Решение. Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма степени и логарифма произведения:
$\log _{a} \sqrt{a b}=\frac{1}{2} \log _{a}(a b)=\frac{1}{2}\left(\log _{a} a+\log _{a} b\right)=\frac{1}{2}(1+7)=4$
Ответ. $\log _{a} \sqrt{a b}=4$
Больше примеров решенийЧитать дальше: основное логарифмическое тождество.
Слишком сложно?
Формулы и свойства логарифмов не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Функция LOG — Служба поддержки Office
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции LOG в Microsoft Excel.
Описание
Возвращает логарифм числа по заданному основанию.
Синтаксис
LOG(число;[основание])
Аргументы функции LOG описаны ниже.
-
Число Обязательный. Положительное вещественное число, для которого вычисляется логарифм.
-
Основание Необязательный. Основание логарифма. Если аргумент «основание» опущен, предполагается, что он равен 10.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
Формула | Описание | Результат |
---|---|---|
=LOG(10) |
Логарифм числа 10. Так как второй аргумент (основание) опущен, предполагается, что он равен 10. Результат (1) — степень, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить число 10. |
1 |
=LOG(8; 2) |
Логарифм числа 8 по основанию 2. Результат (3) — степень, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить число 8. |
3 |
=LOG(86; 2,7182818) |
Логарифм числа 86 по основанию e (приблизительно 2,718). Результат (4,454) — степень, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить число 86. |
4,4543473 |
Логарифмические неравенства — подготовка к ЕГЭ по Математике
Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.
Давайте повторим, что такое логарифмы:
Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .
При этом
Основное логарифмическое тождество:
Основные формулы для логарифмов:
(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)
(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)
Формула перехода к новому основанию:
Алгоритм решения логарифмических неравенств
Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду Знак здесь может быть любой: Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.
И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что знак неравенства меняется на противоположный.
Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения .
Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение
Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.
Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.
1. Рассмотрим неравенство log3x > log35.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.
Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»
Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?
Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.
Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?
Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log3x1 > log3x2 следует, что x1 > x2.
Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.
Итак, x > 5.
Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.
2. log5(15 + 3x) > log52x
Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому
Решая эту систему, получим: x > 0.
Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.
15 + 3x > 2x.
Получаем: x > −15.
Итак,
Ответ: x > 0.
А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.
Приведем пример.
3.
Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть
Решая эту систему, получим: x > 4,5.
Поскольку , логарифмическая функция с основанием монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:
И если , то
2x − 9 ≤ x.
Получим, что x ≤ 9.
Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:
x ∈ (4,5; 9].
В следующей задаче показательное неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.
Теперь более сложные неравенства:
4. Решите неравенство
Ответ:
5. Решите неравенство
ОДЗ:
Если , то . Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.
Сделаем замену
Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!
Ответ:
6.
Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:
Упростим эту систему:
Это область допустимых значений неравенства.
Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что
В данном случае удобно перейти к основанию 4.
Сделаем замену
Упростим неравенство и решим его методом интервалов:
Итак,
Вернемся к переменной x:
Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).
Ответ:
7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов
Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае
Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:
Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:
Видим, что условие (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.
Решаем неравенство методом интервалов:
Ответ:
Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:
8. Решите неравенство:
Неравенство равносильно системе:
Ответ:
9. Решите неравенство:
Выражение 5—x2навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:
Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда
Неравенство примет вид:
Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, (t − 3) (59 · t − 1) > 0
Если это условие выполнено, то и частное будет положительным.
А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625t − 2)2.
Это означает, что 625t − 2 ≠ 0, то есть
Аккуратно запишем ОДЗ
и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.
Итак,
Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:
«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.
Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:
Вспомним, что (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.
Получим, что
Вернемся к переменной x
Поскольку
Ответ:
10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.
Запишем ОДЗ:
Воспользуемся формулой и перейдем к основанию 10:
Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию
Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.
Выражение lg |x − 3| равно нулю, если |x − 3| = 1, то есть x = 4 или x = 2.
Выражение lg (|x| − 2) равно нулю, если |x| = 3, то есть в точках 3 и −3.
Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.
Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.
Ответ:
11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.
Запишем ОДЗ:
Итак, Это ОДЗ.
Обратите внимание, что .
Это пригодится вам при решении неравенства.
Упростим исходное неравенство:
Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки. В первую вы попадете, если напишете, что Ведь выражение в данном случае не имеет смысла, поскольку x < 18.
Как же быть? Вспомним, что (x — 18)2=(18 — x)2. Тогда:
Вторая ловушка – попроще. Запись означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:
Дальше – всё просто. Сделаем замену
Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому t = 2. Тогда
— не удовлетворяет ОДЗ;
Ответ: 2.
Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.
Читайте также: Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)
Логарифмические неравенства повышенной сложности
Изучение логарифмов в старшей школе
Понятие логарифма
При решении показательных уравнений удается представить обе части уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями и рациональными показателями. Так, например, при решении уравнения мы заменяем степенью и из равенства степеней с одинаковыми основаниями делаем вывод о равенстве показателей: х = −5/6. Однако, чтобы решить, казалось бы, более простое уравнение 2х = 3, стандартных знаний оказывается недостаточно. Дело в том, что число 3 нельзя представить в виде степени с основанием 2 и рациональным показателем.
Действительно, если бы равенство , где m и n — натуральные числа, было верным, то, возведя его в степень n, мы должны были бы получить верное равенство 2m = 3n. Но последнее равенство неверно, так как левая его часть является четным числом, а правая — нечетным. Значит, не может быть верным и равенство .
С другой стороны, график непрерывной функции y = 2x пересекается с прямой y = 3, и, значит, уравнение 2x = 3 имеет корень. Таким образом, перед нами стоят два вопроса: «Как записать этот корень?» и «Как его вычислить?».
Показатель степени, в которую нужно возвести число a (a > 0, a ≠ 1), чтобы получить число b, называется логарифмом b по основанию a и обозначается logab.
Теперь мы можем записать корень уравнения 2х = 3:
х = loga3
Равенства ax = b и x = logab, в которых число a положительно и не равно единице, число b положительно, а число x может быть любым, выражают одно и то же соотношение между числами a, b и x. Подставив в первое равенство выражение x из второго, получим основное логарифмическое тождество.
Понятие логарифма в методическом пособии
Задание
Решите уравнение: а) 2x = 64; б) ; в) ; г) 4x = 0; д) 7x = −12.
После проверки ученикам предлагается ответить на вопрос, какое из заданий показалось им наиболее трудным. Вероятный ответ: 2 (в), так как в нем нужно было приводить дробь к степени числа 5. Затем школьникам предлагается высказать мнение о сравнительной с заданием 2 (в) трудности уравнения 2x = 3. На первый взгляд кажется, что это уравнение проще, однако представить 3 в виде степени числа 2 школьникам не удается.
Дальше изучение нового материала проводится в соответствии с учебником. При этом в зависимости от уровня класса рассматривается или не рассматривается дополнительный материал о невозможности представления 3 в виде 2r , где r = m/n.
После этого диалог с классом можно строить примерно так:
— Как вы думаете, имеет ли уравнение 2x = 3 корень? Ответ обоснуйте. [Если построить график функции у = 2x и провести прямую у = 3, то они пересекутся в одной точке, значит, уравнение имеет один корень.]— Что можно сказать о корне уравнения ax = b, где а > 0 и а ≠ 1? При всех ли значениях b оно имеет корни?
Затем вводится определение логарифма числа b по основанию а и записывается основное логарифмическое тождество . При этом выписывание равенства происходит синхронно с повторным чтением определения теперь уже в обратном, по сравнению с учебником, порядке. Теперь можно записать корень уравнения 2х = 3: х = loga3 и предложить школьникам серию самостоятельных работ.
Логарифмическая функция
Выразим x из равенства y = logax, получим x = ay. Последнее равенство задает функцию x = ay, график которой симметричен графику показательной функции y = ax относительно прямой y = x.
Показательная функция x = ay является монотонной, и, значит, разные значения y соответствуют разным значениям x, но это говорит о том, что y = logax, в свою очередь, является функцией x.
Показательная функция y = ax и логарифмическая функция y = logax являются взаимно обратными. Сравнивая их графики, можно отметить некоторые основные свойства логарифмической функции.
Свойства функции y = logax, a > 0, a ≠ 11:
- Функция y = logax определена и непрерывна на множестве положительных чисел.
- Область значений функции y = logax — множество действительных чисел.
- При 0 < a < 1 функция y = logax является убывающей; при a > 1 функция y = logax является возрастающей.
- График функции y = logax проходит через точку (1; 0).
- Ось ординат — вертикальная асимптота графика функции y = loga.
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 10 класс. Учебник
Учебник входит в учебно-методический комплекс по математике для 10–11 классов, изучающих предмет на углубленном уровне. Теоретический материал в нем разделен на обязательный и дополнительный. Каждая глава завершается домашней контрольной работой, а каждый пункт главы — контрольными вопросами и заданиями. Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту среднего (полного) общего образования, имеет гриф «Рекомендовано» и включен в Федеральный перечень учебников.
КупитьРешение логарифмических уравнений и неравенств на основе свойств логарифмической функции
Освобождаясь от внешнего логарифма, имеющего основание 3, мы ссылаемся на возрастание соответствующей логарифмической функции, то есть на то, что большему значению логарифма соответствует большее значение выражения, стоящего под его знаком. Однако следует иметь в виду, что если функцию y = log3 log0,5(2x + 1) считать логарифмической, то ее аргумент не переменная x, а все выражение log0,5(2x + 1). Если же все-таки рассматривать x как аргумент функции y = log3 log0,5(2x + 1), то эта функция окажется убывающей, так как при увеличении значения x увеличивается значение выражения 2x + 1, уменьшается значение выражения log0,5(2x + 1) и, соответственно, уменьшается значение самой функции.
Свойства логарифмов
Связь двух форм записи соотношения между числами a, b и x (речь о ax = b и x = logab) позволяет получить свойства логарифмов, основываясь на известных свойствах степеней.
Рассмотрим, например, произведение степеней с одинаковым основанием: axay. Пусть a x = b и a y = c. Перейдем к логарифмической форме: x = logab и y = logac, тогда bc = a logab × a logac = a logab + logac. От показательной формы равенства bc = a logab + logac перейдем к логарифмической форме:
loga(bc) = logab + logac
Заметим, что в левой части формулы числа a и b могут быть отрицательными. Тогда формула будет выглядеть так:
loga(bc) = loga|b| + loga|c|
Аналогично можно получить еще два свойства для логарифмов частного и степени.
- логарифм произведения loga (bc) = loga |b| + loga |c|
- логарифм частного
- логарифм степени logabp = p loga|b|
Последнее свойство дает возможность вывести важную формулу, с помощью которой можно выразить логарифм с одним основанием через логарифм с другим основанием.
Пусть logab = x. Перейдем к показательной форме ax = b. Прологарифмируем это равенство по основанию c, т.е. найдем логарифмы с основанием c обеих частей этого равенства: logcax = logcb. Применяя к левой части свойство логарифма степени, получим x logca = logcb или , откуда .
Формула перехода от одного основания логарифма к другому
Полезно запомнить частный случай формулы перехода, когда одно из оснований является степенью другого:
Рассмотренные свойства и формула перехода «работают», конечно, только когда все входящие в них выражения имеют смысл.
Что ещё почитать?
Логарифмы на ЕГЭ
Логарифмы встречаются на ЕГЭ: как во второй части (обычно, это задание 15), так и, реже, в первой части. Задания из аттестации — одно из средств мотивации детей на уроках. Зная, что упражнение на доске аналогично заданию ЕГЭ, ученик будет внимательнее следить за его решением.
Разберем несколько таких заданий.
Из первой части (определение логарифма на ЕГЭ профильного уровня)
Решите уравнение log3(x+1)2 + log3|x+1| = 6 . Если корней несколько, укажите наименьший из них.
Решение. Решаем квадратное относительно log3|x+1| уравнение. Его корни 2 и −3.
log3|x+1| = 2, |x+1| = 9, x = −10 — это наименьший из корней.
Ответ: −10.
Из второй части (логарифмическое неравенство на ЕГЭ профильного уровня)
Решите неравенство .
Решение. ОДЗ: x > 0, x ≠ 1. Перейдем к логарифмам по основанию 10:
;
;
Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы уйти от радикала:
;
Нули числителя: 2/3, 3, с учетом положительности x, нуль заменяется на 1.
Ответ:
Алгебра в таблицах. 7-11 классы. Справочное пособие
Пособие содержит таблицы по всем наиболее важным разделам школьного курса арифметики, алгебры, начал анализа. В таблицах кратко изложена теория по каждой теме, приведены основные формулы, графики и примеры решения типовых задач. В конце книги помещен предметный указатель. Пособие будет полезно учащимся 7-11 классов, абитуриентам, студентам, учителям и родителям.
КупитьИз второй части (логарифмическое уравнение с параметром на ЕГЭ профильного уровня)
Найдите все значения a, для которых при любом положительном значении b уравнение имеет хотя бы одно решение, меньше 1/3.
Решение. Найдем ОДЗ:
Стандартно приводим логарифмы к одному основанию
,
.
Получили квадратное уравнение относительно .
Оно должно иметь корень при
Обозначим, что и рассмотрим квадратичную функцию y = t2 — bt — 2a.
Ветви ее графика направлены вверх, а вершина, поскольку b > 0, расположена в левой координатной полуплоскости. Первая ветвь параболы пересекает ось абсцисс правее t = 0, значит при t = 0 y < 0. Получаем −2a < 0 a > 0.
Ответ: a > 0.
Учебник «Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 10 класс» схож по структуре с учебником базового уровня, однако предполагает больше часов на изучение сложных задач. Эти и другие издания линейки вы можете апробировать прямо сейчас, воспользовавшись акцией «5 учебников бесплатно». Методическое пособие представлено в свободном доступе. Приглашаем познакомиться с другими вебинарами экспертов и порекомендовать нам интересующую вас тему для последующих трансляций.
#ADVERTISING_INSERT#
Калькулятор логарифмов log (x)
Калькулятор логарифмов находит результат логарифмической функции (можно назвать экспонентой) из заданного основного числа и действительного числа.
Логарифм
Логарифм считается одним из основных понятий в математике. Есть множество определений, начиная от действительно сложных и заканчивая довольно простыми. Чтобы ответить на вопрос, что такое логарифм, давайте взглянем на таблицу ниже:
Это таблица, в которой мы можем видеть значения двух квадратов, двух кубов и так далее.Это операция в математике, известная как возведение в степень . Если мы посмотрим на числа в нижней строке, мы можем попытаться найти значение степени, до которого нужно возвести 2, чтобы получить это число. Например, чтобы получить 16, нужно возвести два в четвертую степень. А чтобы получить 64, нужно возвести двойку в шестую степень.
Следовательно, логарифм — это показатель степени, до которого необходимо возвести фиксированное число (которое называется основанием), чтобы получить число y. Другими словами, логарифм можно представить в следующем виде:
журнал b x = y
, где b — основание, x — действительное число, а y — показатель степени.
Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм 8 по основанию 2 равен 3, потому что 2 3 = 8).
Аналогично, log 2 64 = 6, потому что 2 6 = 64.
Следовательно, очевидно, что операция логарифмирования является обратной по отношению к возведению в степень .
2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
журнал 2 2 = 1 | журнал 2 4 = 2 | журнал 2 8 = 3 | журнал 2 16 = 4 | журнал 2 32 = 5 | журнал 2 64 = 6 |
К сожалению, не все логарифмы можно так легко вычислить.Например, найти журнал 2 5 вряд ли возможно, просто используя наши простые вычислительные возможности. После использования калькулятора логарифмов мы можем узнать, что
журнал 2 5 = 2,321
Есть несколько особых типов логарифмов. Например, логарифм с основанием 2 известен как двоичный логарифм, и он широко используется в информатике и языках программирования. Логарифм с основанием 10 обычно называют десятичным логарифмом, и имеет огромное количество приложений в инженерии, научных исследованиях, технологиях и т. д.Наконец, так называемый натуральный логарифм использует число e (которое приблизительно равно 2,71828) в качестве основания, и этот вид логарифма имеет большое значение в математике, физике, и другие точные науки.
Логарифм log b (x) = y читается как , логарифм по основанию b x равен y .
Обратите внимание, что основание журнала номер b должно быть больше 0 и не должно равняться 1.
И число (x), которое мы вычисляем log base of (b), должно быть положительным действительным числом.
Например, журнал 2 из 8 равен 3.
журнал 2 (8) = 3 (лог по основанию 2 из 8) Экспонента 2 3 = 8
Общие значения для базы журнала
Логарифмические тождества
Список логарифмических отождествлений, формул и примеров логарифмов в логарифмической форме.
Логарифм произведения
журнал b (x · y) = журнал b (x) + журнал b (y) лог 2 (5 · 7) = лог 2 (5) + лог 2 (7)
Логарифм частного
журнал b (x / y) = журнал b (x) - журнал b (y) лог 2 (5/7) = лог 2 (5) - лог 2 (7)
Логарифм степени
журнал b (x y ) = y · log b (x) журнал 2 (5 7 ) = 7 · журнал 2 (5)
Изменение базы
журнал b (x) = (журнал k (x)) / (журнал k (b))
Примеры натурального логарифма
- ln (2) = log e (2) = 0. 6931
- ln (3) = log e (3) = 1,0986
- ln (4) = лог e (4) = 1,3862
- ln (5) = log e (5) = 1,609
- ln (6) = log e (6) = 1,7917
- ln (10) = лог e (10) = 2.3025
Таблицы логарифмических значений
Список таблиц значений функций журнала в общих базовых числах.
журнал 2 (x) | Обозначение | Значение |
---|---|---|
журнал 2 (1) | фунтов (1) | 0 |
журнал 2 (2) | фунтов (2) | 1 |
log 2 (3) | фунтов (3) | 1.584963 |
log 2 (4) | фунтов (4) | 2 |
log 2 (5) | фунтов (5) | 2.321928 |
log 2 ( 6) | фунтов (6) | 2,584963 |
log 2 (7) | фунтов (7) | 2,807355 |
log 2 (8) | фунтов (8) | 3 |
бревно 2 (9) | фунтов (9) | 3. 169925 |
log 2 (10) | фунтов (10) | 3,321928 |
log 2 (11) | фунтов (11) | 3,459432 |
log 2 ( 12) | фунтов (12) | 3,584963 |
log 2 (13) | фунтов (13) | 3,70044 |
log 2 (14) | фунтов (14) | 3.807355 |
лог 2 (15) | фунтов (15) | 3. | 1
log 2 (16) | фунтов (16) | 4 |
log 2 (17) | фунтов (17) | 4,087463 |
log 2 ( 18) | фунтов (18) | 4,169925 |
log 2 (19) | фунтов (19) | 4,247928 |
log 2 (20) | фунтов (20) | 4.321928 |
лог 2 (21) | фунтов (21) | 4. 3 |
log 2 (22) | фунтов (22) | 4,459432 |
log 2 (23) | фунтов (23) | 4.523562 |
log 2 ( 24) | фунтов (24) | 4,584963 |
журнал 10 (x) | Обозначение | Значение | |
---|---|---|---|
журнал 10 (1) | журнал (1) | 0 | |
журнал 10 (2) | журнал (2) | 0.30103 | |
журнал 10 (3) | журнал (3) | 0,477121 | |
журнал 10 (4) | журнал (4) | 0,60206 | |
журнал 10 ( 5) | журнал (5) | 0,69897 | |
журнал 10 (6) | журнал (6) | 0,778151 | |
журнал 10 (7) | журнал (7) | 0,845098 | |
журнал 10 (8) | журнал (8) | 0. | |
журнал 10 (9) | журнал (9) | 0, | 3 |
журнал 10 (10) | журнал (10) | 1 | |
журнал 10 ( 11) | журнал (11) | 1.041393 | |
журнал 10 (12) | журнал (12) | 1.079181 | |
журнал 10 (13) | журнал (13) | 1,113943 | |
журнал 10 (14) | журнал (14) | 1.146128 | |
журнал 10 (15) | журнал (15) | 1,176091 | |
журнал 10 (16) | журнал (16) | 1,20412 | |
журнал 10 ( 17) | журнал (17) | 1,230449 | |
журнал 10 (18) | журнал (18) | 1,255273 | |
журнал 10 (19) | журнал (19) | 1,278754 | |
лог 10 (20) | лог (20) | 1. 30103 | |
журнал 10 (21) | журнал (21) | 1,322219 | |
журнал 10 (22) | журнал (22) | 1,342423 | |
журнал 10 ( 23) | журнал (23) | 1,361728 | |
журнал 10 (24) | журнал (24) | 1,380211 |
log e (x) | Обозначение | Значение | |
---|---|---|---|
log e (1) | ln (1) | 0 | |
log e (2) | ln (2) | 0.6 | |
log e (3) | ln (3) | 1.0 | |
log e (4) | ln (4) | 1.386294 | |
log e ( 5) | ln (5) | 1.609438 | |
log e (6) | ln (6) | 1.7 | |
log e (7) | ln (7) | 1. | |
лог e (8) | ln (8) | 2.079442 | |
log e (9) | ln (9) | 2,1 | |
log e (10) | ln (10) | 2.302585 | |
log e ( 11) | ln (11) | 2.3 | |
log e (12) | ln (12) | 2.484907 | |
log e (13) | ln (13) | 2,564949 | |
лог e (14) | ln (14) | 2.639057 | |
log e (15) | ln (15) | 2,70805 | |
log e (16) | ln (16) | 2,772589 | |
log e ( 17) | ln (17) | 2,833213 | |
log e (18) | ln (18) | 2,8 | |
log e (19) | ln (19) | 2. | 9|
log e (20) | ln (20) | 2.9 | |
log e (21) | ln (21) | 3.044522 | |
log e (22) | ln (22) | 3.0 | |
log e ( 23) | ln (23) | 3.135494 | |
log e (24) | ln (24) | 3.178054 |
Калькуляторы базы связанных журналов
Калькулятор общего журнала log (x) base 10 Log10 Calculator
Common Log Calculator log (x) base 10 Log10 CalculatorКалькулятор десятичного логарифма находит результат функции логарифма по основанию 10.Вычислите по основанию 10 числа.
Примеры десятичных логарифмов
Используя логарифм идентификатора продукта, найдите общий журнал из 120:
журнал (120) = журнал (100 × 1,2) журнал (120) = журнал (100) + журнал (1,2) журнал (120) = 2 + 0746 = 2,07 46 9Используя логарифм степенного тождества, найдите общий журнал из 10 6 :
журнал (10 6 ) = 6 × журнал (10) журнал (10 6 ) = 6 × 1 = 6Общий логарифм по основанию 10 Таблицы значений
Список таблиц значений функций общего журнала, логическая основа 10 чисел.
журнал 10 (x) Обозначение Значение журнал 10 (1) журнал (1) 0 журнал 10 (2) журнал (2) 0,30103 журнал 10 (3) журнал (3) 0,477121 журнал 10 (4) журнал (4) 0,60206 журнал 10 (5) журнал (5) 0.69897 журнал 10 (6) журнал (6) 0,778151 журнал 10 (7) журнал (7) 0,845098 журнал 10 ( 8) журнал (8) 0, журнал 10 (9) журнал (9) 0, 3 журнал 10 (10) журнал (10) 1 лог 10 (11) лог (11) 1. 041393 журнал 10 (12) журнал (12) 1.079181 журнал 10 (13) журнал (13) 1,113943 журнал 10 ( 14) журнал (14) 1,146128 журнал 10 (15) журнал (15) 1,176091 журнал 10 (16) журнал (16) 1.20412 лог 10 (17) лог (17) 1.230449 журнал 10 (18) журнал (18) 1,255273 журнал 10 (19) журнал (19) 1,278754 журнал 10 ( 20) журнал (20) 1,30103 журнал 10 (21) журнал (21) 1,322219 журнал 10 (22) журнал (22) 1. 342423 лог 10 (23) лог (23) 1.361728 журнал 10 (24) журнал (24) 1,380211 журнал 10 (25) журнал (25) 1,39794 журнал 10 ( 26) журнал (26) 1,414973 журнал 10 (27) журнал (27) 1.431364 журнал 10 (28) журнал (28) 1.447158 лог 10 (29) лог (29) 1.462398 журнал 10 (30) журнал (30) 1,477121 журнал 10 (31) журнал (31) 1.4 журнал 10 ( 32) журнал (32) 1,50515 журнал 10 (33) журнал (33) 1,518514 журнал 10 (34) журнал (34) 1,531479 журнал 10 (35) журнал (35) 1. 544068 журнал 10 (36) журнал (36) 1,556303 журнал 10 (37) журнал (37) 1,568202 журнал 10 ( 38) журнал (38) 1,579784 журнал 10 (39) журнал (39) 1,5 журнал 10 (40) журнал (40) 1.60206 лог 10 (41) лог (41) 1.612784 журнал 10 (42) журнал (42) 1,623249 журнал 10 (43) журнал (43) 1,633468 журнал 10 ( 44) журнал (44) 1.643453 журнал 10 (45) журнал (45) 1,653213 журнал 10 (46) журнал (46) 1. 662758 лог 10 (47) лог (47) 1.672098 журнал 10 (48) журнал (48) 1,68 1241 журнал 10 (49) журнал (49) 1,6 журнал 10 ( 50) журнал (50) 1,69897 журнал 10 (51) журнал (51) 1,70757 журнал 10 (52) журнал (52) 1,716003 лог 10 (53) лог (53) 1.724276 журнал 10 (54) журнал (54) 1,732394 журнал 10 (55) журнал (55) 1,740363 журнал 10 ( 56) журнал (56) 1,748188 журнал 10 (57) журнал (57) 1,755875 журнал 10 (58) журнал (58) 1. 763428 лог 10 (59) лог (59) 1.770852 журнал 10 (60) журнал (60) 1.778151 журнал 10 (61) журнал (61) 1,78533 журнал 10 ( 62) журнал (62) 1.7 журнал 10 (63) журнал (63) 1,7 журнал 10 (64) журнал (64) 1.80618 лог 10 (65) лог (65) 1.812913 журнал 10 (66) журнал (66) 1,819544 журнал 10 (67) журнал (67) 1.826075 журнал 10 ( 68) журнал (68) 1,832509 журнал 10 (69) журнал (69) 1,838849 журнал 10 (70) журнал (70) 1. 845098 лог 10 (71) лог (71) 1.851258 журнал 10 (72) журнал (72) 1.857332 журнал 10 (73) журнал (73) 1,863323 журнал 10 ( 74) журнал (74) 1,869232 журнал 10 (75) журнал (75) 1.875061 журнал 10 (76) журнал (76) 1,880814 журнал 10 (77) журнал (77) 1.886491 журнал 10 (78) журнал (78) 1.8 журнал 10 (79) журнал (79) 1,8 журнал 10 ( 80) журнал (80) 1. журнал 10 (81) журнал (81) 1. 5 журнал 10 (82) журнал (82) 1. 4 журнал 10 (83) журнал (83) 1. 8журнал 10 (84) журнал (84) 1, 9журнал 10 (85) журнал (85) 1. 9журнал 10 ( 86) журнал (86) 1, 8журнал 10 (87) журнал (87) 1. 9журнал 10 (88) журнал (88) 1,3 журнал 10 (89) журнал (89) 1. журнал 10 (90) журнал (90) 1. 3 журнал 10 (91) журнал (91) 1. 1 8 журнал 10 ( 92) журнал (92) 1. 3 журнал 10 (93) журнал (93) 1, журнал 10 (94) журнал (94) 1. 8журнал 10 (95) журнал (95) 1. 4журнал 10 (96) журнал (96) 1. 1 журнал 10 (97) журнал (97) 1. 2 журнал 10 ( 98) журнал (98) 1.9 журнал 10 (99) журнал (99) 1.9
журнал 10 (x) Обозначение Значение журнал 10 (100) журнал (100) 2 журнал 10 (200) журнал (200) 2.30103 журнал 10 (300) журнал (300) 2,477121 журнал 10 (400) журнал (400) 2,60206 журнал 10 ( 500) журнал (500) 2. 69897 журнал 10 (600) журнал (600) 2,778151 журнал 10 (700) журнал (700) 2.845098 лог 10 (800) лог (800) 2. журнал 10 (900) журнал (900) 2. 3 журнал 10 (1000) журнал (1000) 3 журнал 10 ( 1100) журнал (1100) 3,041393 журнал 10 (1200) журнал (1200) 3,079181 журнал 10 (1300) журнал (1300) 3,113943 журнал 10 (1400) журнал (1400) 3.146128 журнал 10 (1500) журнал (1500) 3,176091 журнал 10 (1600) журнал (1600) 3,20412 журнал 10 ( 1700) журнал (1700) 3,230449 журнал 10 (1800) журнал (1800) 3,255273 журнал 10 (1900) журнал (1900) 3,278754 лог 10 (2000) лог (2000) 3. 30103 журнал 10 (2100) журнал (2100) 3,322219 журнал 10 (2200) журнал (2200) 3.342423 журнал 10 ( 2300) журнал (2300) 3,361728 журнал 10 (2400) журнал (2400) 3.380211 журнал 10 (2500) журнал (2500) 3,39794 лог 10 (2600) лог (2600) 3.414973 журнал 10 (2700) журнал (2700) 3,431364 журнал 10 (2800) журнал (2800) 3.447158 журнал 10 ( 2900) журнал (2900) 3,462398 журнал 10 (3000) журнал (3000) 3,477121 журнал 10 (3100) журнал (3100) 3. 4 лог 10 (3200) лог (3200) 3.50515 log 10 (3300) log (3300) 3.518514 log 10 (3400) log (3400) 3.531479 log 10 ( 3500) журнал (3500) 3,544068 журнал 10 (3600) журнал (3600) 3,556303 журнал 10 (3700) журнал (3700) 3,568202 лог 10 (3800) лог (3800) 3.579784 журнал 10 (3900) журнал (3900) 3,5 журнал 10 (4000) журнал (4000) 3.60206 журнал 10 ( 4100) журнал (4100) 3,612784 журнал 10 (4200) журнал (4200) 3,623249 журнал 10 (4300) журнал (4300) 3. 633468 лог 10 (4400) лог (4400) 3.643453 журнал 10 (4500) журнал (4500) 3.653213 журнал 10 (4600) журнал (4600) 3.662758 журнал 10 ( 4700) журнал (4700) 3.672098 журнал 10 (4800) журнал (4800) 3.681241 журнал 10 (4900) журнал (4900) 3,6 журнал 10 (5000) журнал (5000) 3.69897 журнал 10 (5100) журнал (5100) 3,70757 журнал 10 (5200) журнал (5200) 3,716003 журнал 10 ( 5300) журнал (5300) 3,724276 журнал 10 (5400) журнал (5400) 3,732394 журнал 10 (5500) журнал (5500) 3,740363 журнал 10 (5600) журнал (5600) 3. 748188 log 10 (5700) log (5700) 3,755875 log 10 (5800) log (5800) 3,763428 log 10 ( 5900) журнал (5900) 3,770852 журнал 10 (6000) журнал (6000) 3,778151 журнал 10 (6100) журнал (6100) 3,78533 журнал 10 (6200) журнал (6200) 3.7 журнал 10 (6300) журнал (6300) 3,7 журнал 10 (6400) журнал (6400) 3.80618 журнал 10 ( 6500) журнал (6500) 3.812913 журнал 10 (6600) журнал (6600) 3.819544 журнал 10 (6700) журнал (6700) 3. 826075 лог 10 (6800) лог (6800) 3.832509 журнал 10 (6900) журнал (6900) 3.838849 журнал 10 (7000) журнал (7000) 3.845098 журнал 10 ( 7100) журнал (7100) 3.851258 журнал 10 (7200) журнал (7200) 3.857332 журнал 10 (7300) журнал (7300) 3.863323 лог 10 (7400) лог (7400) 3.869232 журнал 10 (7500) журнал (7500) 3.875061 журнал 10 (7600) журнал (7600) 3.880814 журнал 10 ( 7700) журнал (7700) 3.886491 журнал 10 (7800) журнал (7800) 3. 8 журнал 10 (7900) журнал (7900) 3.8 лог 10 (8000) лог (8000) 3. журнал 10 (8100) журнал (8100) 3.5 журнал 10 (8200) журнал (8200) 3. 4 журнал 10 ( 8300) журнал (8300) 3. 8журнал 10 (8400) журнал (8400) 3. 9журнал 10 (8500) журнал (8500) 3. 9лог 10 (8600) лог (8600) 3. 8log 10 (8700) log (8700) 3. 9log 10 (8800) log (8800) 3.3 log 10 ( 8900) журнал (8900) 3. журнал 10 (9000) журнал (9000) 3. 3 журнал 10 (9100) журнал (9100) 3. 1 8 лог 10 (9200) лог (9200) 3. 3 журнал 10 (9300) журнал (9300) 3. журнал 10 (9400) журнал (9400) 3. 8журнал 10 ( 9500) журнал (9500) 3. 4журнал 10 (9600) журнал (9600) 3. 1 журнал 10 (9700) журнал (9700) 3. 2 лог 10 (9800) лог (9800) 3.9 журнал 10 (9900) журнал (9900) 3.9
журнал 10 (x) Обозначение Значение журнал 10 (1000) журнал (1000) 3 журнал 10 (2000) журнал (2000) 3,30103 журнал 10 (3000) журнал (3000) 3,477121 журнал 10 (4000) журнал (4000) 3. 60206 журнал 10 (5000) журнал (5000) 3.69897 журнал 10 (6000) журнал (6000) 3.778151 журнал 10 ( 7000) журнал (7000) 3.845098 журнал 10 (8000) журнал (8000) 3. журнал 10 (9000) журнал (9000) 3. 3 журнал 10 (10000) журнал (10000) 4 журнал 10 (11000) журнал (11000) 4.041393 log 10 (12000) log (12000) 4.079181 log 10 (13000) log (13000) 4.113943 log 10 ( 14000) журнал (14000) 4.146128 журнал 10 (15000) журнал (15000) 4. 176091 журнал 10 (16000) журнал (16000) 4.20412 журнал 10 (17000) журнал (17000) 4.230449 журнал 10 (18000) журнал (18000) 4,255273 журнал 10 (19000) журнал (19000) 4.278754 журнал 10 ( 20000) журнал (20000) 4,30103 журнал 10 (21000) журнал (21000) 4.322219 журнал 10 (22000) журнал (22000) 4.342423 журнал 10 (23000) журнал (23000) 4.361728 журнал 10 (24000) журнал (24000) 4.380211 журнал 10 (25000) журнал (25000) 4.39794 журнал 10 ( 26000) журнал (26000) 4,414973 журнал 10 (27000) журнал (27000) 4,431364 журнал 10 (28000) журнал (28000) 4. 447158 журнал 10 (29000) журнал (29000) 4.462398 журнал 10 (30000) журнал (30000) 4,477121 журнал 10 (31000) журнал (31000) 4.4 журнал 10 ( 32000) журнал (32000) 4,50515 журнал 10 (33000) журнал (33000) 4,518514 журнал 10 (34000) журнал (34000) 4.531479 журнал 10 (35000) журнал (35000) 4.544068 журнал 10 (36000) журнал (36000) 4.556303 журнал 10 (37000) журнал (37000) 4.568202 журнал 10 ( 38000) журнал (38000) 4,579784 журнал 10 (39000) журнал (39000) 4. 5 журнал 10 (40000) журнал (40000) 4.60206 лог 10 (41000) лог (41000) 4.612784 журнал 10 (42000) журнал (42000) 4,623249 журнал 10 (43000) журнал (43000) 4.633468 журнал 10 ( 44000) журнал (44000) 4.643453 журнал 10 (45000) журнал (45000) 4.653213 журнал 10 (46000) журнал (46000) 4.662758 журнал 10 (47000) журнал (47000) 4.672098 журнал 10 (48000) журнал (48000) 4,681241 журнал 10 (49000) журнал (49000) 4.6 журнал 10 ( 50000) журнал (50000) 4. 69897 журнал 10 (51000) журнал (51000) 4.70757 журнал 10 (52000) журнал (52000) 4,716003 журнал 10 (53000) журнал (53000) 4.724276 журнал 10 (54000) журнал (54000) 4,732394 журнал 10 (55000) журнал (55000) 4.740363 журнал 10 ( 56000) журнал (56000) 4,748188 журнал 10 (57000) журнал (57000) 4,755875 журнал 10 (58000) журнал (58000) 4,763428 журнал 10 (59000) журнал (59000) 4.770852 журнал 10 (60000) журнал (60000) 4,778151 журнал 10 (61000) журнал (61000) 4,78533 журнал 10 ( 62000) журнал (62000) 4,7 журнал 10 (63000) журнал (63000) 4,7 журнал 10 (64000) журнал (64000) 4. 80618 журнал 10 (65000) журнал (65000) 4.812913 журнал 10 (66000) журнал (66000) 4,819544 журнал 10 (67000) журнал (67000) 4.826075 журнал 10 ( 68000) журнал (68000) 4.832509 журнал 10 (69000) журнал (69000) 4.838849 журнал 10 (70000) журнал (70000) 4.845098 журнал 10 (71000) журнал (71000) 4.851258 журнал 10 (72000) журнал (72000) 4,857332 журнал 10 (73000) журнал (73000) 4.863323 журнал 10 ( 74000) журнал (74000) 4.869232 журнал 10 (75000) журнал (75000) 4. 875061 журнал 10 (76000) журнал (76000) 4.880814 журнал 10 (77000) журнал (77000) 4.886491 журнал 10 (78000) журнал (78000) 4,8 журнал 10 (79000) журнал (79000) 4.8 журнал 10 ( 80000) журнал (80000) 4, журнал 10 (81000) журнал (81000) 4,5 журнал 10 (82000) журнал (82000) 4. 4 журнал 10 (83000) журнал (83000) 4. 8журнал 10 (84000) журнал (84000) 4, 9журнал 10 (85000) журнал (85000) 4. 9журнал 10 ( 86000) журнал (86000) 4, 8журнал 10 (87000) журнал (87000) 4, 9журнал 10 (88000) журнал (88000) 4. 3 журнал 10 (89000) журнал (89000) 4. журнал 10 ( )
журнал ( )
4, 3 журнал 10 ( )
журнал ( )
4. 1 ) журнал 10 ( журнал () 4.8 3 журнал 10 ( ) журнал ( ) 4, журнал 10 ( ) журнал ( ) 4. 8журнал 10 ( ) журнал ( ) 4. 4журнал 10 () журнал () 4, 1 журнал 10 ( ) журнал ( ) 4. 2 журнал 10 ( ) журнал ( ) 4,9 журнал 10 ( )журнал ( )4. 9 © 2019-2021 www.logcalculator.net
База логарифма 2 Калькулятор Log2
База логарифма 2 Калькулятор Log2Калькулятор логарифма 2 находит результат функции логарифма по основанию 2.Вычислите по основанию 2 числа.
Калькулятор бревна 2 журнал 2 Рассчитатьжурнал 2 (x) = y
x: — действительное число, x> 0
журнал 2 (x) = y и x = 2 y
База логарифмов 2 Таблицы значений
Список журналов 2 таблицы значений функций, база 2 чисел.
журнал 2 (x) Обозначение Значение журнал 2 (1) фунтов (1) 0 журнал 2 (2) фунтов (2) 1 log 2 (3) фунтов (3) 1. 584963 log 2 (4) фунтов (4) 2 log 2 (5) фунтов (5) 2.321928 log 2 ( 6) фунтов (6) 2,584963 log 2 (7) фунтов (7) 2,807355 log 2 (8) фунтов (8) 3 бревно 2 (9) фунтов (9) 3.169925 log 2 (10) фунтов (10) 3,321928 log 2 (11) фунтов (11) 3,459432 log 2 ( 12) фунтов (12) 3,584963 log 2 (13) фунтов (13) 3,70044 log 2 (14) фунтов (14) 3.807355 лог 2 (15) фунтов (15) 3. 1log 2 (16) фунтов (16) 4 log 2 (17) фунтов (17) 4,087463 log 2 ( 18) фунтов (18) 4,169925 log 2 (19) фунтов (19) 4,247928 log 2 (20) фунтов (20) 4.321928 лог 2 (21) фунтов (21) 4.3 log 2 (22) фунтов (22) 4,459432 log 2 (23) фунтов (23) 4.523562 log 2 ( 24) фунтов (24) 4.584963 log 2 (25) фунтов (25) 4.643856 log 2 (26) фунтов (26) 4,70044 бревно 2 (27) фунтов (27) 4. 754888 log 2 (28) фунтов (28) 4,807355 log 2 (29) фунтов (29) 4.857981 log 2 ( 30) фунтов (30) 4, 1log 2 (31) фунтов (31) 4,6 log 2 (32) фунтов (32) 5 бревно 2 (33) фунтов (33) 5.044394 log 2 (34) фунтов (34) 5,0 87463 log 2 (35) фунтов (35) 5,129283 log 2 ( 36) фунтов (36) 5,169925 log 2 (37) фунтов (37) 5,209453 log 2 (38) фунтов (38) 5.247928 Лог 2 (39) фунтов (39) 5. 285402 log 2 (40) фунтов (40) 5,321928 log 2 (41) фунтов (41) 5,357552 log 2 ( 42) фунтов (42) 5,3 log 2 (43) фунтов (43) 5,426265 log 2 (44) фунтов (44) 5,459432 лог 2 (45) фунтов (45) 5.4 log 2 (46) фунтов (46) 5.523562 log 2 (47) фунтов (47) 5.554589 log 2 ( 48) фунтов (48) 5,584963 лог 2 (49) фунтов (49) 5,61471 лог 2 (50) фунтов (50) 5,643856 лог 2 (51) фунтов (51) 5. 672425 log 2 (52) фунтов (52) 5.70044 log 2 (53) фунтов (53) 5,72792 log 2 ( 54) фунтов (54) 5,754888 log 2 (55) фунтов (55) 5,78136 log 2 (56) фунтов (56) 5.807355 лог 2 (57) фунтов (57) 5.83289 log 2 (58) фунтов (58) 5,857981 log 2 (59) фунтов (59) 5,882643 log 2 ( 60) фунтов (60) 5. 1log 2 (61) фунтов (61) 5. 7log 2 (62) фунтов (62) 5.6 лог 2 (63) фунтов (63) 5. log 2 (64) фунтов (64) 6 log 2 (65) фунтов (65) 6.022368 log 2 ( 66) фунтов (66) 6.044394 log 2 (67) фунтов (67) 6.066089 log 2 (68) фунтов (68) 6.087463 лог 2 (69) фунтов (69) 6.108524 log 2 (70) фунтов (70) 6,129283 log 2 (71) фунтов (71) 6.149747 log 2 ( 72) фунтов (72) 6,169925 log 2 (73) фунтов (73) 6,189825 log 2 (74) фунтов (74) 6.209453 Лог 2 (75) фунтов (75) 6. 228819 log 2 (76) фунтов (76) 6,247928 log 2 (77) фунтов (77) 6.266787 log 2 ( 78) фунтов (78) 6,285402 log 2 (79) фунтов (79) 6,303781 log 2 (80) фунтов (80) 6.321928 лог 2 (81) фунтов (81) 6.33985 log 2 (82) фунтов (82) 6,357552 log 2 (83) фунтов (83) 6,375039 log 2 ( 84) фунтов (84) 6,3 log 2 (85) фунтов (85) 6,409391 log 2 (86) фунтов (86) 6.426265 лог 2 (87) фунтов (87) 6. 442943 log 2 (88) фунтов (88) 6.459432 log 2 (89) фунтов (89) 6.475733 log 2 ( 90) фунтов (90) 6.4 log 2 (91) фунтов (91) 6.507795 log 2 (92) фунтов (92) 6.523562 лог 2 (93) фунтов (93) 6.539159 log 2 (94) фунтов (94) 6.554589 log 2 (95) фунтов (95) 6.569856 log 2 ( 96) фунтов (96) 6.584963 log 2 (97) фунтов (97) 6.5 log 2 (98) фунтов (98) 6,61471 лог 2 (99) фунтов (99) 6. 629357 лог 2 (100) фунтов (100) 6,643856
log 2 (x) Обозначение Значение log 2 (101) фунтов (101) 6,658211 log 2 (102) фунтов (102) 6,672425 log 2 (103) фунтов (103) 6,686501 log 2 (104) фунтов (104) 6.70044 log 2 (105) фунтов (105) 6,714246 log 2 (106) фунтов (106) 6,72792 log 2 ( 107) фунтов (107) 6,741467 log 2 (108) фунтов (108) 6,754888 log 2 (109) фунтов (109) 6,768184 лог 2 (110) фунтов (110) 6. 78136 log 2 (111) фунтов (111) 6,7 log 2 (112) фунтов (112) 6,807355 log 2 ( 113) фунтов (113) 6,820179 log 2 (114) фунтов (114) 6,83289 log 2 (115) фунтов (115) 6,84549 лог 2 (116) фунтов (116) 6.857981 log 2 (117) фунтов (117) 6,870365 log 2 (118) фунтов (118) 6,882643 log 2 ( 119) фунтов (119) 6,8 log 2 (120) фунтов (120) 6, 1log 2 (121) фунтов (121) 6. 3 лог 2 (122) фунтов (122) 6. 7log 2 (123) фунтов (123) 6. 5log 2 (124) фунтов (124) 6.6 4 log 2 ( 125) фунтов (125) 6. log 2 (126) фунтов (126) 6. log 2 (127) фунтов (127) 6. 5log 2 (128) фунтов (128) 7 log 2 (129) фунтов (129) 7.011227 log 2 (130) фунтов (130) 7,022368 log 2 (131) фунтов (131) 7.033423 log 2 ( 132) фунтов (132) 7,044394 log 2 (133) фунтов (133) 7,055282 log 2 (134) фунтов (134) 7. 066089 лог 2 (135) фунтов (135) 7.076816 log 2 (136) фунтов (136) 7,087463 log 2 (137) фунтов (137) 7.0 log 2 ( 138) фунтов (138) 7,108524 log 2 (139) фунтов (139) 7.118941 log 2 (140) фунтов (140) 7,129283 лог 2 (141) фунтов (141) 7.139551 log 2 (142) фунтов (142) 7.149747 log 2 (143) фунтов (143) 7.159871 log 2 ( 144) фунтов (144) 7,169925 log 2 (145) фунтов (145) 7,179909 log 2 (146) фунтов (146) 7. 189825 лог 2 (147) фунтов (147) 7.1 log 2 (148) фунтов (148) 7.209453 log 2 (149) фунтов (149) 7.219169 log 2 ( 150) фунтов (150) 7.228819 log 2 (151) фунтов (151) 7.238405 log 2 (152) фунтов (152) 7.247928 лог 2 (153) фунтов (153) 7.257388 log 2 (154) фунтов (154) 7,266787 log 2 (155) фунтов (155) 7.276124 log 2 ( 156) фунтов (156) 7.285402 log 2 (157) фунтов (157) 7. 2 log 2 (158) фунтов (158) 7.303781 Лог 2 (159) фунтов (159) 7.312883 log 2 (160) фунтов (160) 7,321928 log 2 (161) фунтов (161) 7.330917 log 2 ( 162) фунтов (162) 7,33985 log 2 (163) фунтов (163) 7,348728 log 2 (164) фунтов (164) 7.357552 лог 2 (165) фунтов (165) 7.366322 log 2 (166) фунтов (166) 7.375039 log 2 (167) фунтов (167) 7.383704 log 2 ( 168) фунтов (168) 7,3 log 2 (169) фунтов (169) 7,400879 log 2 (170) фунтов (170) 7,409391 log 2 (171) фунтов (171) 7. 417853 log 2 (172) фунтов (172) 7,426265 log 2 (173) фунтов (173) 7,434628 log 2 ( 174) фунтов (174) 7,442943 log 2 (175) фунтов (175) 7,451211 log 2 (176) фунтов (176) 7,459432 лог 2 (177) фунтов (177) 7.467606 log 2 (178) фунтов (178) 7,475733 log 2 (179) фунтов (179) 7,483816 log 2 ( 180) фунтов (180) 7,4 log 2 (181) фунтов (181) 7,4 log 2 (182) фунтов (182) 7,507795 лог 2 (183) фунтов (183) 7. 5157 log 2 (184) фунтов (184) 7,523562 log 2 (185) фунтов (185) 7,531381 log 2 ( 186) фунтов (186) 7,539159 log 2 (187) фунтов (187) 7,546894 log 2 (188) фунтов (188) 7,554589 лог 2 (189) фунтов (189) 7.562242 log 2 (190) фунтов (190) 7,569856 log 2 (191) фунтов (191) 7,577429 log 2 ( 192) фунтов (192) 7,584963 log 2 (193) фунтов (193) 7,5 log 2 (194) фунтов (194) 7,5 лог 2 (195) фунтов (195) 7. 60733 log 2 (196) фунтов (196) 7,61471 log 2 (197) фунтов (197) 7,622052 log 2 ( 198) фунтов (198) 7,629357 log 2 (199) фунтов (199) 7,636625 log 2 (200) фунтов (200) 7.643856
log 2 (x) Обозначение Значение log 2 (201) фунтов (201) 7.651052 log 2 (202) фунтов (202) 7,658211 log 2 (203) фунтов (203) 7,665336 log 2 ( 204) фунтов (204) 7,672425 log 2 (205) фунтов (205) 7,67948 log 2 (206) фунтов (206) 7. 686501 лог 2 (207) фунтов (207) 7.6 log 2 (208) фунтов (208) 7.70044 log 2 (209) фунтов (209) 7.707359 log 2 ( 210) фунтов (210) 7,714246 log 2 (211) фунтов (211) 7,721099 log 2 (212) фунтов (212) 7,72792 лог 2 (213) фунтов (213) 7.73471 log 2 (214) фунтов (214) 7,741467 log 2 (215) фунтов (215) 7,748193 log 2 ( 216) фунтов (216) 7,754888 log 2 (217) фунтов (217) 7,761551 log 2 (218) фунтов (218) 7,768184 лог 2 (219) фунтов (219) 7. 774787 log 2 (220) фунтов (220) 7,78136 log 2 (221) фунтов (221) 7.787903 log 2 ( 222) фунтов (222) 7,7 log 2 (223) фунтов (223) 7,8009 log 2 (224) фунтов (224) 7.807355 лог 2 (225) фунтов (225) 7.813781 log 2 (226) фунтов (226) 7,820179 log 2 (227) фунтов (227) 7,826548 log 2 ( 228) фунтов (228) 7,83289 log 2 (229) фунтов (229) 7,839204 log 2 (230) фунтов (230) 7,84549 лог 2 (231) фунтов (231) 7. 851749 log 2 (232) фунтов (232) 7,857981 log 2 (233) фунтов (233) 7,864186 log 2 ( 234) фунтов (234) 7,870365 log 2 (235) фунтов (235) 7,876517 log 2 (236) фунтов (236) 7,882643 лог 2 (237) фунтов (237) 7.888743 log 2 (238) фунтов (238) 7,8 log 2 (239) фунтов (239) 7.7 log 2 ( 240) фунтов (240) 7. 1log 2 (241) фунтов (241) 7, 9 log 2 (242) фунтов (242) 7. 3 log 2 (243) фунтов (243) 7. 3log 2 (244) фунтов (244) 7. 7log 2 (245) фунтов (245) 7. 8log 2 ( 246) фунтов (246) 7. 5log 2 (247) фунтов (247) 7, 7 log 2 (248) фунтов (248) 7.6 лог 2 (249) фунтов (249) 7.2 4 log 2 (250) фунтов (250) 7. log 2 (251) фунтов (251) 7.4 log 2 ( 252) фунтов (252) 7, 4 log 2 (253) фунтов (253) 7, log 2 (254) фунтов (254) 7. 5лог 2 (255) фунтов (255) 7.9 log 2 (256) фунтов (256) 8 log 2 (257) фунтов (257) 8.005625 log 2 ( 258) фунтов (258) 8.011227 log 2 (259) фунтов (259) 8.016808 log 2 (260) фунтов (260) 8,022368 лог 2 (261) фунтов (261) 8.027906 log 2 (262) фунтов (262) 8.033423 log 2 (263) фунтов (263) 8.038919 log 2 ( 264) фунтов (264) 8,044394 log 2 (265) фунтов (265) 8,049849 log 2 (266) фунтов (266) 8. 055282 лог 2 (267) фунтов (267) 8.060696 log 2 (268) фунтов (268) 8.066089 log 2 (269) фунтов (269) 8.071462 log 2 ( 270) фунтов (270) 8.076816 log 2 (271) фунтов (271) 8.082149 log 2 (272) фунтов (272) 8.087463 log 2 (273) фунтов (273) 8.0 log 2 (274) фунтов (274) 8.0 log 2 (275) фунтов (275) 8.103288 log 2 ( 276) фунтов (276) 8,108524 log 2 (277) фунтов (277) 8,113742 log 2 (278) фунтов (278) 8. 118941 лог 2 (279) фунтов (279) 8.124121 log 2 (280) фунтов (280) 8,129283 log 2 (281) фунтов (281) 8.134426 log 2 ( 282) фунтов (282) 8.139551 log 2 (283) фунтов (283) 8.144658 log 2 (284) фунтов (284) 8.149747 журнал 2 (285) фунтов (285) 8.154818 log 2 (286) фунтов (286) 8.159871 log 2 (287) фунтов (287) 8.164907 log 2 ( 288) фунтов (288) 8.169925 log 2 (289) фунтов (289) 8,174926 log 2 (290) фунтов (290) 8. 179909 лог 2 (291) фунтов (291) 8.184875 log 2 (292) фунтов (292) 8.189825 log 2 (293) фунтов (293) 8.1 log 2 ( 294) фунтов (294) 8.1 log 2 (295) фунтов (295) 8.204571 log 2 (296) фунтов (296) 8.209453 log 2 (297) фунтов (297) 8.214319 log 2 (298) фунтов (298) 8,219169 log 2 (299) фунтов (299) 8.224002 log 2 ( 300) фунтов (300) 8,228819 © 2019-2021 www.logcalculator.net
Калькулятор натурального логарифмаln (x) Калькулятор натурального логарифма
ln (x)Натуральный логарифм Калькулятор ln (x) находит результат функции логарифма по основанию e , что приблизительно равно 2. 718 .
Калькулятор натурального журнала пер Рассчитатьln (x) = y
x: — действительное число, x> 0
Натуральный логарифм: ln
ln (x) = yln (x) эквивалентно log e (x)
Примеры натурального логарифма
- ln (2) = log e (2) = 0,6931
- ln (3) = log e (3) = 1,0986
- ln (4) = log e (4) = 1.3862
- ln (5) = log e (5) = 1,609
- ln (6) = log e (6) = 1,7917
- ln (10) = лог e (10) = 2.3025
Таблицы значений натурального логарифма
Список таблиц значений функции журнала в экспоненциальных числах с основанием (e).
log e (x) Обозначение Значение log e (1) ln (1) 0 log e (2) ln (2) 0. 6 log e (3) ln (3) 1.0 log e (4) ln (4) 1.386294 log e ( 5) ln (5) 1.609438 log e (6) ln (6) 1.7 log e (7) ln (7) 1. лог e (8) ln (8) 2.079442 log e (9) ln (9) 2,1 log e (10) ln (10) 2.302585 log e ( 11) ln (11) 2.3 log e (12) ln (12) 2.484907 log e (13) ln (13) 2,564949 лог e (14) ln (14) 2. 639057 log e (15) ln (15) 2,70805 log e (16) ln (16) 2,772589 log e ( 17) ln (17) 2,833213 log e (18) ln (18) 2,8 log e (19) ln (19) 2. 9log e (20) ln (20) 2.9 log e (21) ln (21) 3.044522 log e (22) ln (22) 3.0 log e ( 23) ln (23) 3.135494 log e (24) ln (24) 3.178054 log e (25) ln (25) 3.218876 лог e (26) ln (26) 3. 258097 log e (27) ln (27) 3,2 log e (28) ln (28) 3.332205 log e ( 29) ln (29) 3.367296 log e (30) ln (30) 3.401197 log e (31) ln (31) 3.433987 лог e (32) ln (32) 3.465736 log e (33) ln (33) 3,4 log e (34) ln (34) 3.526361 log e ( 35) ln (35) 3.555348 log e (36) ln (36) 3.583519 log e (37) ln (37) 3,610918 лог e (38) ln (38) 3. 637586 log e (39) ln (39) 3.663562 log e (40) ln (40) 3.688879 log e ( 41) ln (41) 3,713572 log e (42) ln (42) 3,73767 log e (43) ln (43) 3.7612 лог e (44) ln (44) 3.78419 log e (45) ln (45) 3.806662 log e (46) ln (46) 3,828641 log e ( 47) ln (47) 3.850148 log e (48) ln (48) 3.871201 log e (49) ln (49) 3.89182 лог e (50) ln (50) 3. 3 log e (51) ln (51) 3. 6 log e (52) ln (52) 3. 4 log e ( 53) ln (53) 3. 2 log e (54) ln (54) 3, 4log e (55) ln (55) 4.007333 log e (56) ln (56) 4.025352 log e (57) ln (57) 4.043051 log e (58) ln (58) 4.060443 log e ( 59) ln (59) 4.077537 log e (60) ln (60) 4.0 log e (61) ln (61) 4.110874 лог e (62) ln (62) 4. 127134 log e (63) ln (63) 4.143135 log e (64) ln (64) 4.158883
log e (x) Обозначение Значение log e (65) ln (65) 4.174387 log e (66) ln (66) 4.189655 log e (67) ln (67) 4.204693 log e (68) ln (68) 4.219508 log e (69) ln (69) 4.234107 log e ( 70) ln (70) 4.248495 log e (71) ln (71) 4.26268 log e (72) ln (72) 4.276666 лог e (73) ln (73) 4. 2 log e (74) ln (74) 4.304065 log e (75) ln (75) 4.317488 log e ( 76) ln (76) 4.330733 log e (77) ln (77) 4.343805 log e (78) ln (78) 4.356709 log e (79) ln (79) 4.369448 log e (80) ln (80) 4.382027 log e (81) ln (81) 4.3 log e ( 82) ln (82) 4,406719 log e (83) ln (83) 4,418841 log e (84) ln (84) 4.430817 лог e (85) ln (85) 4. 442651 log e (86) ln (86) 4.454347 log e (87) ln (87) 4.465908 log e ( 88) ln (88) 4.477337 log e (89) ln (89) 4.488636 log e (90) ln (90) 4.49981 лог e (91) ln (91) 4.51086 log e (92) ln (92) 4.521789 log e (93) ln (93) 4.532599 log e ( 94) ln (94) 4.543295 log e (95) ln (95) 4.553877 log e (96) ln (96) 4.564348 лог e (97) ln (97) 4. 574711 log e (98) ln (98) 4.584967 log e (99) ln (99) 4.59512 log e ( 100) ln (100) 4.60517 log e (101) ln (101) 4.615121 log e (102) ln (102) 4.624973 лог e (103) ln (103) 4.634729 log e (104) ln (104) 4.644391 log e (105) ln (105) 4.65396 log e ( 106) ln (106) 4.663439 log e (107) ln (107) 4.672829 log e (108) ln (108) 4.682131 лог e (109) ln (109) 4. 6 log e (110) ln (110) 4.70048 log e (111) ln (111) 4.70953 log e ( 112) ln (112) 4.718499 log e (113) ln (113) 4.727388 log e (114) ln (114) 4,736198 лог e (115) ln (115) 4.744932 log e (116) ln (116) 4.75359 log e (117) ln (117) 4.762174 log e ( 118) ln (118) 4.770685 log e (119) ln (119) 4.779123 log e (120) ln (120) 4,787492 лог e (121) ln (121) 4. 7 log e (122) ln (122) 4.804021 log e (123) ln (123) 4.812184 log e ( 124) ln (124) 4.820282 log e (125) ln (125) 4.828314 log e (126) ln (126) 4.836282 log e (127) ln (127) 4.844187 лог e (128) ln (128) 4,85203
log e (x) Обозначение Значение log e (129) ln (129) 4.859812 log e (130) ln (130) 4,867534 log e (131) ln (131) 4,875197 log e (132) ln (132) 4. 882802 log e (133) ln (133) 4.8 log e (134) ln (134) 4.89784 log e ( 135) ln (135) 4. 5log e (136) ln (136) 4. 5log e (137) ln (137) 4. 1 лог e (138) ln (138) 4.4 log e (139) ln (139) 4.4 2 log e (140) ln (140) 4. log e ( 141) ln (141) 4. log e (142) ln (142) 4. 7 log e (143) ln (143) 4. 5 лог e (144) ln (144) 4. 3 log e (145) ln (145) 4. 4 log e (146) ln (146) 4. 7 log e ( 147) ln (147) 4.9 log e (148) ln (148) 4.9 log e (149) ln (149) 5.003946 log e (150) ln (150) 5.010635 log e (151) ln (151) 5.01728 log e (152) ln (152) 5.023881 log e ( 153) ln (153) 5.030438 ln e (154) ln (154) 5.036953 log e (155) ln (155) 5.043425 лог e (156) ln (156) 5. 049856 log e (157) ln (157) 5.056246 log e (158) ln (158) 5.062595 log e ( 159) ln (159) 5.068904 log e (160) ln (160) 5.075174 log e (161) ln (161) 5.081404 лог e (162) ln (162) 5.087596 log e (163) ln (163) 5.09375 log e (164) ln (164) 5.0 log e ( 165) ln (165) 5.105945 log e (166) ln (166) 5.111988 log e (167) ln (167) 5.117994 лог e (168) ln (168) 5. 123964 log e (169) ln (169) 5.129899 log e (170) ln (170) 5.135798 log e ( 171) ln (171) 5.141664 log e (172) ln (172) 5.147494 log e (173) ln (173) 5.153292 лог e (174) ln (174) 5.159055 log e (175) ln (175) 5.164786 log e (176) ln (176) 5.170484 log e ( 177) ln (177) 5.17615 log e (178) ln (178) 5.181784 log e (179) ln (179) 5.187386 лог e (180) ln (180) 5. 1 log e (181) ln (181) 5.1 log e (182) ln (182) 5.204007 log e ( 183) ln (183) 5.209486 ln e (184) ln (184) 5.214936 log e (185) ln (185) 5.220356 лог e (186) ln (186) 5.225747 log e (187) ln (187) 5.231109 log e (188) ln (188) 5.236442 log e ( 189) ln (189) 5.241747 log e (190) ln (190) 5.247024 log e (191) ln (191) 5.252273 лог e (192) ln (192) 5. 257495 © 2019-2021 www.logcalculator.net
Изменение базовой формулы или правила
Я обсуждал большинство правил журнала в отдельном уроке. Однако я намеренно оставил одну, чтобы обсудить это здесь подробно. Правило журнала называется Формула изменения базы .
Если вас интересует, почему работает замена формулы, щелкните следующую ссылку, чтобы увидеть доказательство: Доказательства свойств логарифма.
Логарифм с основанием 10 известен как десятичный логарифм , а логарифм с основанием e известен как натуральный логарифм .
Число \ large {\ color {red} {e}}
Примечание: Число e — математическая константа, имеющая числовое значение e \ приблизительно 2,71828. Это иррациональное число, потому что его нельзя выразить как отношение двух целых чисел или дробь. Более того, число e является основанием натурального логарифма.
Таким образом, десятичный и натуральный логарифмы используют стандартное основание 10 и e, соответственно.
- десятичный логарифм записывается как \ large {\ color {red} \ log x = {\ log _ {10}} x}
Натуральный логарифм
- записывается как \ large {\ color {blue} \ ln x = {\ log _e} x}
Прежде чем мы продолжим, я хотел бы указать на некоторые нюансы или тонкости, касающиеся математических выражений десятичного и натурального логарифмов.
Кнопки LOG и LN графического калькулятора
Большинство графических калькуляторов имеют функции или клавиши, которые непосредственно вычисляют логарифмы чисел по основанию 10 и основанию e. Таким образом, вы увидите только две кнопки: LOG для десятичного логарифма и LN для натурального логарифма.
Очевидно, что проблема возникает, когда мы хотим вычислить логарифм числа с использованием нестандартных оснований, таких как 2, 3, 7, 0,5 и 0,25.
В логарифмах выше используется НЕСТАНДАРТНОЕ основание, потому что они не являются ни \ large {\ color {green} 10}, ни числом \ large {\ color {green} e}.
Как начать вводить числа на графическом калькуляторе? Как я упоминал ранее, большинство калькуляторов ограничены вычислением логарифмов только с основанием 10 и основанием e.
Вот где на помощь приходит формула Change-of-Base Formula . Он может преобразовывать логарифм с нестандартным основанием как отношение двух логарифмических операций, в которых используется стандартное основание 10 или константа e.
Что такое формула изменения базы ?Формула изменения базы — это инструкция о том, как переписать или преобразовать данное логарифмическое выражение в виде отношения или доли двух логарифмических операций с использованием любого действительного основания.
Это означает, что если у нас есть логарифм с использованием определенного основания, то мы можем превратить его в эквивалентное отношение или долю двух логарифмических операций, чтобы мы могли выбрать любое основание, которое захотим. Мы можем буквально выбрать любую базу, если она положительна, но не равна \ color {red} 1.
Но если мы хотим вычислить или узнать значение логарифма, мы должны выбрать основание-10 или основание-е, так как большинство калькуляторов имеют эти функциональные клавиши. Ключ журнала [log] вычисляет общий (с использованием основания 10) логарифм, а ключ ln [ln] вычисляет натуральный (с использованием основания e) логарифм.
Давайте проанализируем, как формула преобразовала исходный логарифм в эквивалентное выражение как отношение двух операций журнала.
- Аргумент исходного логарифма становится аргументом логарифма числителя.
- Основание исходного логарифма становится аргументом логарифма знаменателя.
- Логарифмы в числителе и знаменателе имеют одинаковое основание. Значение base \ large \ color {green} c — это любая основа, которую мы выбрали.
Примеры формулы замены базы
Первые два примера (пример №1 и №2) — идеальные учебные задачи, потому что аргумент и основание логарифма могут быть выражены как степени общего числа ( положительное число, не равное 1), которое служит новой базой при применении правила изменения базы.
Пример 1: Вычислить \ large {\ log {} _48}.
Первое, что я понял, это то, что и аргумент, и его основание могут быть выражены как степень двойки.k}} \ right) = k \ cdot {\ log _b} \ left (x \ right)}
- \ large {\ color {red} {\ log _b} b = 1}
Вот полное решение.
Пример 2: Вычислить \ large {\ log {} _ {\ large {{1 \ over {27}}}} \ left (9 \ right)}.
Вы можете подумать, что с вопросом возникла проблема, поскольку основание логарифма — дробь. Помните, что основание логарифма должно быть положительным, но не может равняться 1. Итак, основание \ large {1 \ over {27}} совершенно нормально.Очевидно, что это положительное число, и оно не равно 1.
Дробь \ large {1 \ over {27}} может быть переписана в степень 3. Здесь вам пригодится отрицательное правило экспоненты.
Правило отрицательной экспоненты позволяет нам инвертировать дробь (обратную), но мы должны переключить знак экспоненты. 2}.k}} \ right) = k \ cdot {\ log _b} \ left (x \ right)}
- \ large {\ color {red} {\ log _b} b = 1}
Теперь ниже это полное решение.
Пример 3: Вычислить значение \ large {\ log {} _ {\ large {5}} \ left ({12} \ right)}. Округлите ответ до ближайшей тысячной.
Это уже не «хорошая» проблема, потому что аргумент и основание логарифма не могут быть выражены как степени общего числа. Другими словами, не существует сценария, в котором мы могли бы выразить 5 и 12 как экспоненциальные числа с одинаковым основанием.
Чтобы решить эту проблему, мы можем использовать правило смены основания, чтобы переписать исходный логарифм как отношение двух логарифмов основания по нашему выбору. У нас есть два варианта: использовать base-10 или base-e. Неважно, какой из них мы выберем, потому что ответ будет таким же. Для этой задачи воспользуемся основанием 10.
Не забудьте округлить ответ до трех десятичных знаков, потому что нас просят округлить его до ближайшей тысячной.
Наш калькулятор должен подтвердить, что наш ответ правильный.
Пример 4: Вычислить значение \ large {\ log {} _ {\ large {7}} \ left ({9} \ right)}. Округлите ответ до ближайшей сотой.
В предыдущем примере мы использовали основание 10 для вычисления логарифма. На этот раз мы будем использовать натуральное число \ color {red} e в качестве основы выбора при применении формулы изменения базы.
Обратите внимание, что нам не нужно записывать натуральный логарифм как \ large {{{\ log} _e} \ left (x \ right)}. Мы можем пропустить этот шаг и сразу записать его как \ large {\ ln \ left (x \ right)}.Я добавил это как один из шагов ниже для ясности и акцента.
Давайте продолжим и применим правило смены базы для преобразования \ large {\ log {} _7 \ left (9 \ right)} как отношение или долю двух операций натурального логарифма.
Также не забудьте округлить ответ до двух десятичных знаков, поскольку задача требует, чтобы окончательный ответ выражался с точностью до сотых.
Ваш калькулятор должен выдать результат, аналогичный приведенному ниже.
Пример 5: Изменить \ large {\ log {} _ {\ large {6}} \ left ({0.1} \ right)} как частное двух натуральных логарифмов. Вычислите его значение и округлите до ближайшей десятой.
Эта задача требует, чтобы мы изменили данный логарифм как частное от натуральных логарифмов. Это означает, что у нас нет другого выбора, кроме как использовать натуральное число \ large \ color {red} e в качестве основы, когда мы применяем формулу замены базы. Не забывайте также, что нам велят округлять наш ответ до ближайшей десятой (одного десятичного знака).
Вот наше решение:
Наш калькулятор согласен с нашим ответом.
Пример 6: Измените \ color {blue} \ large {\ log \ left (7 \ right)} как частное в натуральных логарифмах. Затем вычислите его значение. Округлите ответ до ближайшей десятитысячной.
Я допускаю, что, хотя мы можем напрямую решить значение \ color {red} \ log \ left (7 \ right) с помощью калькулятора, поскольку он имеет ключ LOG , эта проблема требует, чтобы мы пошли по длинному пути. Не потому, что это бесполезное занятие нашего времени, но, что более важно, это возможность для нас применить наше твердое понимание формулы смены основы.
Помните, что когда вы видите операцию журнала без базы, предполагается, что она имеет базу 10. Поэтому наш самый первый шаг — переписать \ log \ left (7 \ right) как {\ log _ {10} } \ left (7 \ right), чтобы было намного легче увидеть, с какими числами мы имеем дело на этапе смены базы.
Это прекрасное чувство, когда калькулятор выводит значение, подтверждающее наш ответ.
Пример 7: Измените \ color {blue} \ large \ ln \ left ({13} \ right) как отношение в виде десятичных логарифмов.Затем вычислите его стоимость. Округлите ответ до ближайшей десятитысячной.
Как и в примере №6, нет необходимости применять формулу изменения базы, потому что мы можем вычислить ее напрямую с помощью калькулятора. Однако цель этой задачи — продемонстрировать наше глубокое понимание десятичных и натуральных логарифмов, а также того, как правильно обращаться с формулой.
Итак, давайте преобразуем \ large \ ln \ left ({13} \ right) в LOG форму , где основание — \ large \ color {blue} e, таким образом, \ large {\ log _ {\ large {e }}} \ left ({13} \ right).Теперь мы используем формулу замены основания, чтобы выразить это как отношение двух десятичных логарифмов. Помните, что в десятичном логарифме используется основание 10.
Да! Калькулятор согласен с нашим ответом.
Это и закон, и законы логарифмов
Его закон, так и законы логарифмовАвторские права 20022020 Стэн Браун
Резюме: У вас проблемы с запоминанием законов логарифмов? Делать вы знаете, почему вы можете изменить log (x) + log (y) на другую форму, но не журнал (x + y)? Эта страница поможет вам разобраться в законах логарифмы.
См. Также: Все законы логарифмов текут прямо из законов экспонент . Если ты чувствуешь себя немного неустойчивый с законами экспонент, просмотрите их перед тем, как продолжить.
Логарифм? Что такое логарифм?
Логарифм — это просто показатель степени.
Чтобы быть конкретным, логарифм числа x с основанием b это просто показатель степени, который вы положили на b , чтобы получить результат равно x .Например, поскольку 5 = 25, мы знаем, что 2 ( степень) — это логарифм 25 с основанием 5. Символически, журнал 5 (25) = 2.
В более общем смысле, если x = b y , то мы скажем, что y — это логарифм от x до основания b или логарифм по основанию b x . В символах y = log b ( x ), часто пишется без скобок, y = журнал b x .Каждое экспоненциальное уравнение можно переписать в виде логарифмического уравнения: и наоборот, просто поменяв местами x и y таким образом.
Вы нечасто видите это слово, но можете также говорят, что x — это антилогарифм из y для база b . Логарифм — это показатель степени, а антилогарифм — результат возведения основания в этот показатель.
Еще один способ взглянуть на это: журнал b x функция определяется как обратная b x функция.Эти два утверждения выражают обратное соотношение, показывающее, как экспоненциальное уравнение эквивалентно логарифмическому уравнению:
x = b y такой же как y = журнал b x
В любом уравнении x — антилогарифм и y — логарифм с основанием b .
Пример 1: 1000 = 10 3 то же, что и 3 = журнал 10 1000.Логарифм равен 3, а антилогарифм равен 1000.
Пример 2: журнал 3 81 =? та же как 3 ? = 81. Неизвестный ? — логарифм, а 81 — антилогарифм.
Нельзя сказать слишком часто: логарифм — это не более чем показатель степени. Вы можете написать приведенное выше определение компактно, и показать журнал как экспоненту, подставив второе уравнение в первое, чтобы исключить и :
Прочтите это как логарифм x по основанию b — это экспонента, которую вы положили на b , чтобы получить в результате x .
Откуда взялись журналы?
Раньше карманные калькуляторы несколько десятилетий назад, но в студенческие годы это возраст динозавровответ было просто. Вам нужны журналы для вычисления большинства мощностей и корней с честным точность; даже умножение и деление большинства чисел было проще с журналами. В каждой приличной книге по алгебре были страницы и страницы журнальных таблиц на спина.
Изобретение бревен в начале 1600-х годов послужило толчком для научных революция. Тогда ученые, особенно астрономы, тратили огромные суммы цифр на бумаге.Сокращая время, которое они тратили на арифметические, логарифмы давали им более продуктивную жизнь. Логарифмическая линейка, когда-то почти мультяшный товарный знак ученого, был не более чем устройством, созданным для выполнения различных вычислений быстро, используя логарифмы. См. Eli Maors e: The Story of a Number для получения дополнительной информации. это.
Сегодня журналы больше не используются в рутинной обработке чисел. Но все же есть веские причины для их изучения.
Почему мы заботимся?
Почему мы вообще используем логарифмы? Я мог бы написать целую статью о них может быть однажды.Но сейчас. …
- Чтобы узнать количество платежей на заем или время, чтобы получить инвестиционная цель.
- Для моделирования многих природных процессов, особенно в живых системах. Мы воспринимаем громкость звука как логарифм реального звука. интенсивность, а дБ (децибелы) — логарифмическая шкала. Мы также воспринимаем яркость света как логарифм действительной световой энергии, и звездные величины измеряются в логарифмической шкале.
- Для измерения pH или кислотности химического раствора.PH — это отрицательный логарифм концентрации свободных ионы водорода.
- Для измерения силы землетрясений по шкале Рихтера.
- Для анализа экспоненциальных процессов. Поскольку функция журнала является обратной экспоненциальной функции, мы часто анализируем экспоненциальную кривую с помощью логарифмы. Нанесение набора измеренных точек на бревенчатый или полубортовый лист может легко выявить такие отношения. Применения включают охлаждение мертвого тела, рост бактерий, и распад радиоактивных изотопов.Распространение эпидемии среди населения часто следует за измененным логарифмическая кривая называется логистической.
- Для решения некоторых форм задач с площадью в исчислении. (Площадь под кривой 1/ x , между x = 1 и x = A , равна ln A .)
- Также в расчетах дифференциация сложного продукта становится намного проще, если сначала взять логарифм.
(Исторически основная причина преподавания журналы в начальной школе был для упрощения вычислений, потому что журнал умножения понижает его до прибавления, а журнал мощности выражение понижает его до умножения.Конечно, с повсеместной доступностью персональных вычислительных устройств, сложность вычислений больше не вызывает беспокойства, но в журналах все еще есть многие приложения сами по себе.)
Основные факты
Из определения бревна как инверсии экспоненциально, можно сразу получить некоторые основные факты. Например, если вы построите график y = 10 x (или экспоненту с любым другим положительным основанием), вы увидеть, что его диапазон положительный реал; поэтому область y = log x (по любому основанию) — положительные числа.В другом слова, вы не можете взять журнал 0 или журнал отрицательного числа.
(На самом деле, если вы хотите выйти за рамки реалов, вы можете взять журнал отрицательного числа. Этой технике обучают на многих курсах тригонометрии.)
журнал 1, журнал равен 1
Вы знаете, что все, что находится в нулевой степени, равно 1: b 0 = 1. Измените это на логарифмическую форму с определением журналов, и вы получите log b 1 = 0 для любого основания b Точно так же вы знаете, что первая степень любого числа — это именно это число: b 1 = b .Опять же, переведите это в логарифмическую форму, и вы получите log b b = 1 для любой базы b Пример 3: ln 1 = 0
Пример 4: журнал 5 5 = 1
Войти как обратный
Журнал — это показатель степени, потому что функция журнала — это обратная экспоненциальной функции. Обратная функция отменяет действие исходной функции. (Я не большой поклонник большинства случаев использования термина отмена в математике, но он вписываются в эту ситуацию.)
Это означает, что если вы возьмете логарифм экспоненты (разумеется, с той же базой), вы вернетесь туда, откуда начали: log b b x = x для любой базы b Этот факт позволяет вам оценивать многие логарифмы без калькулятора. Пример 5: журнал 5 125 = журнал 5 (5) = 3
Пример 6: журнал 10 10 3,16 = 3,16
Пример 7: ln e — k t /2 = — k t /2
Whats ln?
В качестве основания логарифмов подходит любое положительное число, но две базы используются больше, чем любые другие:
основание из
логарифмовсимвол имя 10 журнал
(если основание не показано)десятичный логарифм e пер. натуральный логарифм,
произносится как ell-enn или lahn
Натуральные журналы являются журналами и подчиняются тем же правилам, что и любой другой логарифм.Просто помните: ln x означает журнал e x Почему base e? Что такого особенного в е? Большинство объяснений требует некоторого исчисления, например, что e x — единственная функция, которая является самостоятельной и его собственная производная, или что е имеет это красивое определение в условия факториалов:
е = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …
В числовом выражении e около 2.7182818284. Его иррациональное (десятичное расширение никогда не заканчивается и никогда не повторяется), и на самом деле, как и π, его трансцендентный (ни одно полиномиальное уравнение с целыми коэффициентами не имеет π или e как корень.)
e (например, π) встречается во всех маловероятные места, такие как вычисления сложных процентов. Для объяснения потребовалась бы книга, и к счастью, — это книга Эли Маорса e: История одного Номер . Он также занимается историей логарифмов, и книга стоит взять из вашей библиотеки.
Объединение бревен с одной и той же базой
Через минуту посмотрите на различные комбинации. Но сначала ты может захотеть узнать общий принцип: журналов сокращают количество операций на один уровень. Бревна превращают умножение в сложение, деление на вычитание, показатель степени на умножение и радикальное разделение. Теперь давайте разберемся, почему, и рассмотрим несколько примеров.
Умножение чисел, складывание их логарифмов
Умножение двух выражений соответствует сложению их логарифмов.Можем ли мы понять это?
По компактному определению x = b log b x и y = b log b y и, следовательно, вместо x и и , x y = b log b x b log b y Но если умножить две степени одной и той же базы , вы добавляете их показатели. Таким образом, правая сторона становится x y = b log b x + log b y Теперь примените компактное определение к левой стороне: b log b ( x y ) = x y Объедините это с предыдущим уравнением, чтобы получить b log b ( x y ) = b log b x + log b y Сейчас у нас есть две степени одной базы.Если степени равны, то и показатели должны быть равны. Следовательно, log b ( x y ) = log b x + log b y Так что же в итоге? Умножая два числа и беря log — это то же самое, что брать их логи и добавлять.
Пример 8: log 8 ( x ) + log 8 ( x ) совпадает с log 8 ( x x ) или просто журнал 8 ( x ).(Как вы увидите в следующем разделе, это может быть далее упрощено до 3log 8 x .)
Пример 9: журнал 10 (20) + журнал 10 (50) = лог 10 (2050) = лог 10 (1000) = 3.
Экспонента, умножить логарифм
Продолжая нашу тему логарифмов, снижая уровень операций, если у вас есть y -я степень числа и взять log, результат будет в y раз больше log числа.Вот почему, начиная с x y :
Начнем с компактного определения логарифма: x = b log b x и поднимите обе стороны до уровня y мощность: x y = ( b log b x ) y Степень эквивалентна простому умножению степеней. Упростите правую часть: x y = b ( y log b x ) Перепишите левую часть, используя компактное определение журнала: b log b ( x y ) = x y (шрифт может быть трудночитаемым: то есть x до степени y слева и справа.) и объедините последние два уравнения: b log b ( x y ) = b ( y log b x ) Если мощности равны равны и основания равны, экспоненты должны быть равны: журнал b ( x y ) = y журнал b x Пример 10: ln (2 6 ) = 6 ln 2 (где ln означает log e , естественное логарифм).
Пример 11: log 5 (5 x ) равно , а не равно 2 журнала 5 (5 x ). Будьте внимательны с порядком действий! 5 x равно 5 ( x ), а не (5 x ). log 5 (5 x ) необходимо сначала разложить как бревно товара: журнал 5 5 + журнал 5 ( x ). Тогда второй член может использовать правило мощности, журнал 5 ( x ) = 2 журнала 5 x .Первый член всего 1. Подводя итог, журнал 5 (5 x ) = 1 + 2 журнала 5 x .
Возведение чисел в любую степень
Уловка для вычисления таких выражений, как 6,7 4,4 , заключается в для использования правила экспоненты и определения логарифма как обратного:
х = 6,7 4,4
журнал x = 4,4 (журнал 6,7) = примерно 3,634729132
x = 10 3,63472 … = около 4312,5
Здесь нет ничего особенного в журналах base-10. В расчет с таким же успехом может быть
х = 6,7 4,4
ln x = 4,4 (ln 6,7) = примерно 8,369 273116
x = e 8,36927 … = около 4312,5
Это будет работать для любого положительного основания и любого реального показателя степени, поэтому например
х = π π
журнал x = π (журнал π) = примерно 1,561842388
x = 10 1,5618 … = около 36,46215961
Вы можете комбинировать это с умножение чисел = добавление правила логарифма к оцените возможности, которые слишком велики для вашего калькулятора.Например, что такое 671 217 ?
х = 671 217
журнал x = 217 (журнал 671) = около 613,3
Теперь разделите целую и дробную части логарифм.
журнал x = около 0,39 + 613
х = 10 0,39 + 613
х = 10 0,39 10 613
x = около 2,505 10 613
Для таких примеров вам действительно нужно использовать base-10 журналы.
Если основание отрицательное или показатель сложный, см. Силы и корни комплексного числа.
Разделите числа, вычтите их логарифмы
Поскольку деление противоположно умножению, вычитание противоположность сложения, неудивительно, что деление двух выражения соответствует вычитанию их журналов. Пока мы могли пойти вернемся к компактному определению, его вероятно, проще использовать два предыдущих свойства.
Начнем с того, что 1/ y = y −1 (см. Определение отрицательных показателей): | |
x / y = x (1/ y ) = x y −1 | |
и возьмите бревно с обеих сторон: | |
журнал b ( x / y ) = log b ( x y −1 ) | |
Правая часть — это журнал продукта , которая становится суммой журналов: | |
log b ( x / y ) = log b x + log b ( y −1 ) | |
и второй член — логарифм степени, которая становится (-1) умноженной на логарифм, или просто минус логарифм: | |
log b ( x / y ) = log b x — log b y |
Словами, если разделить и взять журнал , это то же самое, что и вычитая отдельные журналы.
Пример 12: 67515 = 45, поэтому журнал 10 675 — журнал 10 15 = log 10 45. (Попробуйте на своем калькуляторе!)
Пример 13: журнал ( x y ) — журнал ( x y ) = журнал ( x y / x y ) = журнал ( x / y ) = log ( x ) — журнал ( y ).
Замена базы
Теперь у вас есть все необходимое для изменения логарифмов с единицы база к другому.Посмотрите еще раз на компакт уравнение, определяющее журнал в базе b :
Чтобы изменить журнал с базы b на другую базу (назовите ее a ), вы хотите найти журнал a ( x ). Поскольку у вас уже есть x на одной стороне приведенного выше уравнения, кажется, что хорошее начало — взять базу — , логарифм для обеих сторон: | |
log a ( b log b x ) = log a x | |
Но левая часть этого уравнения — это просто журнал власти. Вы помните, что журнал ( x y ) — это просто log ( x ), умноженный на и . Таким образом, уравнение упрощается до | |
(журнал a b ) (журнал b x ) = журнал a x |
Обратите внимание, что журнал a b является постоянный. Этот означает, что журналы всех чисел в данной базе и являются пропорционально логам тех же чисел в другой базе b , а константа пропорциональности log a b равна журнал одной базы в другой базе.Если вы похожи на меня, у вас могут быть проблемы с запоминанием умножать или делить. Если да, просто выведите уравнение, как видите, занимает всего два шага.
В некоторых учебниках формула замены базы представлена в виде дроби. Чтобы получить дробную часть из приведенного выше уравнения, просто разделите на коэффициент пропорциональности log a b : | |
журнал b x = (журнал a x ) / (журнал a b ) |
Пример 14: журнал 4 16 = (журнал 16) / (журнал 4). (Вы можете проверить это на своем калькуляторе, так как вы знать журнал 4 16 должно быть равно 2.)
Пример 15: Большинство калькуляторов не могут построить график y = log 3 x напрямую. Но вы можете изменить базу на e и легко построить график y = (ln x ) (ln 3). (Вы могли одинаково хорошо используйте базу 10.)
Из приведенной выше формулы ведет интересный переулок. Замените x везде на a , это допустимо, поскольку формула верна для всех положительных значений a , b и x .Получаете | |
log b a = (log a a ) / (log a b ) | |
Но log a a = 1 (см. Журнал 1 выше), поэтому формула становится | |
журнал b a = 1 / (журнал a b ) |
Пример 16: журнал 10 e = 1 / (ln 10). (Вы можете проверить это на своем калькуляторе.)
Пример 17: журнал 125 5 = 1 / (журнал 5 125). В этом легко убедиться: 5 3 = 125, а 5 — кубический корень из 125. Следовательно, log 125 5 = 1/3 и log 5 125 = 3, и 1/3 действительно равно 1/3.
Сводка
Законы логарифмов были разбросаны по этому длинному
страницу, поэтому было бы полезно собрать их в одном месте. Сделать
этот еще более полезный,
Ради всего святого, не пытайтесь запомнить эту таблицу! Просто используйте это, чтобы по мере необходимости пробуждайте память. Еще лучше, поскольку журнал является экспонентой, используйте законы экспонентов, чтобы повторно получить любую собственность логарифмов, которые вы могли забыть. Таким образом, вы действительно получите владение этим материалом, и вы будете уверены в операции.
показателя степени | логарифма |
---|---|
(Все законы применяются для любых положительных значений a , b , x и y . ) | |
x = b y такой же как y = журнал b x | |
b 0 = 1 | журнал b 1 = 0 |
b 1 = b | журнал b b = 1 |
b (журнал b x ) = x | журнал b b x = x |
b x b y = b x + y | журнал b ( x y ) = журнал b x + журнал b y |
b x / b y = b x — y | журнал b ( x / y ) = журнал b x — журнал b y |
( b x ) y = b x y | журнал b ( x y ) = y log b x |
(журнал a b ) (журнал b x ) = журнал a x | |
журнал b x = (журнал a x ) / (журнал a b ) | |
журнал b a = 1 / (журнал a b ) |
Не изобретайте! Большинство вариантов выше не действительны.
Пример 18: журнал (5+ x ) не то же самое, что журнал 5 + журнал x . Как Вам известно, журнал 5 + журнал x = журнал (5 x ), а не журнал (5+ x ). Посмотрите внимательно на приведенную выше таблицу, и вы увидите что вы ничего не можете сделать, чтобы разделить журнал ( x + y ) или журнал ( x — y ).
Пример 19: (журнал x ) / (log y ) не то же самое, что log ( x / y ).В Фактически, когда вы делите два бревна на одну базу, вы обратная работа по формуле смены базы. Хотя это не часто полезно, (журнал x ) / (журнал y ) = журнал y x . Только не пишите журнал ( x / y )!
Пример 20: (журнал 5) (журнал x ) не является то же, что и журнал (5 x ). Вы знаете, что журнал (5 x ) журнал 5 + журнал x . Вы действительно не можете много делать с произведением двух бревен, когда они имеют одинаковую основу. (Вы можете переписать продукт как журнал ( x журнал 5 ), но это вряд ли попроще.)
См. Также: Объединение операций (распределительные законы)
Заключение
Ну вот и все: законы логарифмов демистифицировано! Общее правило состоит в том, что журналы просто отбрасывают операцию на один уровень вниз: показатели становятся множителями, деления становятся вычитания и так далее. Если вы не уверены в операции, например как сменить базу, работа это с помощью определения журнала и применяя законы экспонент, и вы не ошибетесь.
Что нового
- 7 декабря 2020 г. :
- 20/23 октября 2020 : страница преобразована из HTM 4.01 в HTML 5 и заменил устаревшие теги на CSS. К этому примеру добавлено небольшое предзнаменование.
- 17 августа 2015 г. : перемещено с OakRoadSystems.com на BrownMath.com.
- (промежуточные изменения подавлены)
- 11 января 1998 г . : адаптировать эту статью для Интернета
- 22 декабря 1997 г .: Опубликовать в alt.algebra.help.
Что такое логарифм?
МАТЕМАТИКА ОБЗОР: ПОЛЕЗНАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХРАЗДЕЛ 4.3. ЧТО ТАКОЕ ЛОГАРИФМ?
назад к Логарифмы, Страница 2
логарифмический Правила
Просто поскольку у экспонентов есть некоторые основные правила, которые упрощают манипулирование ими (см. Раздел 3: Показатели), как и логарифмы. Эти правила применяются со всеми логарифмами, включая логарифмы с основанием 10 и натуральные логарифмы. Для простоты в большинстве из них используются журналы с основанием десять. правила:
1.б г = a эквивалентно log b a = r (Это это определение логарифма. )
2. журнал 0 это неопределенный.
3. журнал 1 = 0
4. журнал (P * Q) = журнал P + журнал Q
5. журнал (P / Q) = журнал P — журнал Q
6.бревно (P t ) = t * log P
7. 10 (журнал а) = a (в случае натуральных логарифмов e (ln a) = а)
8. журнал (10 r ) = r (в случае натуральных логарифмов ln e r = р)
9. журнал (1 / a) = -log a
Рассмотрим подробнее каждый этих правил:
1. б г = — это эквивалент log b a = r . Мы уже посмотрели как это работает, но вот еще один пример:
журнал 14 ≈ 1,146
является эквивалентом
10 1,146 ≈ 14
2. журнал 0 не определено. Это ненастоящее число, потому что вы никогда не получите ноль, подняв что-нибудь во власти чего-либо еще. Вы никогда не сможете достичь нуля, вы можете подойти к нему, только используя бесконечно большой и отрицательный мощность.
3. журнал 1 = 0 означает, что логарифм 1 всегда равен нулю, независимо от основания логарифм есть.Это потому, что любое число, увеличенное до 0, равно 1. Следовательно, ln 1 = 0 также .
Все остальное логарифмическое правила полезны для решения сложных уравнений или уравнений с неизвестные.
в логарифмах, страница 4
Для подробнее об этом сайте свяжитесь с Distance Координатор по образованию.
Авторские права © 2004 г. Регентами Университета Миннесоты, равные возможности работодатель и педагог.
.
Leave A Comment