Логарифм 3 по основанию 1 3: Mathway | Популярные задачи

Читать дальше: основное логарифмическое тождество.

Слишком сложно?

Формулы и свойства логарифмов не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Функция LOG — Служба поддержки Office

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции LOG в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает логарифм числа по заданному основанию.

Синтаксис

LOG(число;[основание])

Аргументы функции LOG описаны ниже.

• Число    Обязательный. Положительное вещественное число, для которого вычисляется логарифм.

• Основание    Необязательный. Основание логарифма. Если аргумент «основание» опущен, предполагается, что он равен 10.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Логарифмические неравенства — подготовка к ЕГЭ по Математике

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Давайте повторим, что такое логарифмы:

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

При этом

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)

(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду Знак здесь может быть любой: Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения .

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log₃x > log₃5.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что делать дальше? Стандартный ответ, который дают школьники, — «Отбросить логарифмы!»

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log₃x₁ > log₃x₂ следует, что x₁ > x₂.

Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом — сохраняется.

Итак, x > 5.

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

2. log₅(15 + 3x) > log₅2x

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

15 + 3x > 2x.

Получаем: x > −15.

Итак,

Ответ: x > 0.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

Приведем пример.

3.

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку , логарифмическая функция с основанием монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:

И если , то
2x − 9 ≤ x.

Получим, что x ≤ 9.

Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:

x ∈ (4,5; 9].

В следующей задаче показательное неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

Теперь более сложные неравенства:

4. Решите неравенство

Ответ:

5. Решите неравенство

ОДЗ:

Если , то . Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.

Сделаем замену

Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!

Ответ:

6.

Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы — решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:

Упростим эту систему:

Это область допустимых значений неравенства.

Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что

В данном случае удобно перейти к основанию 4.

Сделаем замену

Упростим неравенство и решим его методом интервалов:

Итак,

Вернемся к переменной x:

Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).

Ответ:

7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов

Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае

Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:

Видим, что условие (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.

Решаем неравенство методом интервалов:

Ответ:

Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:

8. Решите неравенство:

Неравенство равносильно системе:

Ответ:

9. Решите неравенство:

Выражение 5^—x2навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:

Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда

Неравенство примет вид:

Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, (t − 3) (5⁹ · t − 1) > 0

Если это условие выполнено, то и частное будет положительным.

А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625t − 2)².

Это означает, что 625t − 2 ≠ 0, то есть

Аккуратно запишем ОДЗ

и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.

Итак,

Ну что ж, полдела сделано — разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения:

«Отбросим» логарифмы. Знак неравенства сохраняется.

Перенесем все в левую часть и разложим по известной формуле разности квадратов:

Вспомним, что (это ОДЗ неравенства) и найдем пересечение полученных промежутков.

Получим, что

Вернемся к переменной x

Поскольку

Ответ:

10. Еще один прием, упрощающий решение логарифмических неравенств, — переход к постоянному основанию. Покажем, как использовать переход к другому основанию и обобщенный метод интервалов.

Запишем ОДЗ:

Воспользуемся формулой и перейдем к основанию 10:

Применим обобщенный метод интервалов. Выражение в левой части неравенства можно записать как функцию

Эта функция может менять знак в точках, где она равна нулю или не существует.

Выражение lg |x − 3| равно нулю, если |x − 3| = 1, то есть x = 4 или x = 2.

Выражение lg (|x| − 2) равно нулю, если |x| = 3, то есть в точках 3 и −3.

Отметим эти точки на числовой прямой, с учетом ОДЗ неравенства.

Найдем знак функции g(x) на каждом из промежутков, на которые эти точки разбивают область допустимых значений. Точно так же мы решали методом интервалов обычные рациональные неравенства.

Ответ:

11. А в следующей задаче спрятаны целых две ловушки для невнимательных абитуриентов.

Запишем ОДЗ:

Итак, Это ОДЗ.

Обратите внимание, что .

Это пригодится вам при решении неравенства.

Упростим исходное неравенство:

Теперь главное – не спешить. Мы уже говорили, что задача непростая – в ней расставлены ловушки. В первую вы попадете, если напишете, что Ведь выражение в данном случае не имеет смысла, поскольку x < 18.

Как же быть? Вспомним, что (x — 18)²=(18 — x)². Тогда:

Вторая ловушка – попроще. Запись означает, что сначала надо вычислить логарифм, а потом возвести полученное выражение в квадрат. Поэтому:

Дальше – всё просто. Сделаем замену

Выражение в левой части этого неравенства не может быть отрицательным, поэтому t = 2. Тогда

— не удовлетворяет ОДЗ;

Ответ: 2.

Мы рассмотрели основные приемы решения логарифмических неравенств — от простейших до сложных, которые решаются с помощью обобщенного метода интервалов. Однако есть еще один интересный метод, помогающий справиться и показательными, и с логарифмическими, и с многими другими видами неравенств. Это метод рационализации (замены множителя). О нем — в следующей статье.

Читайте также: Неравенства. Метод замены множителя (метод рационализации)

Логарифмические неравенства повышенной сложности

Изучение логарифмов в старшей школе

Понятие логарифма

При решении показательных уравнений удается представить обе части уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями и рациональными показателями. Так, например, при решении уравнения мы заменяем степенью и из равенства степеней с одинаковыми основаниями делаем вывод о равенстве показателей: х = −5/6. Однако, чтобы решить, казалось бы, более простое уравнение 2^х = 3, стандартных знаний оказывается недостаточно. Дело в том, что число 3 нельзя представить в виде степени с основанием 2 и рациональным показателем.

Действительно, если бы равенство , где m и n — натуральные числа, было верным, то, возведя его в степень n, мы должны были бы получить верное равенство 2^m = 3ⁿ. Но последнее равенство неверно, так как левая его часть является четным числом, а правая — нечетным. Значит, не может быть верным и равенство .

С другой стороны, график непрерывной функции y = 2^x пересекается с прямой y = 3, и, значит, уравнение 2^x = 3 имеет корень. Таким образом, перед нами стоят два вопроса: «Как записать этот корень?» и «Как его вычислить?».

Показатель степени, в которую нужно возвести число a (a > 0, a ≠ 1), чтобы получить число b, называется логарифмом b по основанию a и обозначается log_ab.

Теперь мы можем записать корень уравнения 2^х = 3:

х = log_a3

Равенства a^x = b и x = log_ab, в которых число a положительно и не равно единице, число b положительно, а число x может быть любым, выражают одно и то же соотношение между числами a, b и x. Подставив в первое равенство выражение x из второго, получим основное логарифмическое тождество.

Понятие логарифма в методическом пособии

Задание

Решите уравнение: а) 2^x = 64; б) ; в) ; г) 4^x = 0; д) 7^x = −12.

После проверки ученикам предлагается ответить на вопрос, какое из заданий показалось им наиболее трудным. Вероятный ответ: 2 (в), так как в нем нужно было приводить дробь к степени числа 5. Затем школьникам предлагается высказать мнение о сравнительной с заданием 2 (в) трудности уравнения 2^x = 3. На первый взгляд кажется, что это уравнение проще, однако представить 3 в виде степени числа 2 школьникам не удается.

Дальше изучение нового материала проводится в соответствии с учебником. При этом в зависимости от уровня класса рассматривается или не рассматривается дополнительный материал о невозможности представления 3 в виде 2^r , где r = m/n.

После этого диалог с классом можно строить примерно так:

Затем вводится определение логарифма числа b по основанию а и записывается основное логарифмическое тождество . При этом выписывание равенства происходит синхронно с повторным чтением определения теперь уже в обратном, по сравнению с учебником, порядке. Теперь можно записать корень уравнения 2^х = 3: х = log_a3 и предложить школьникам серию самостоятельных работ.

Логарифмическая функция

Выразим x из равенства y = log_ax, получим x = a^y. Последнее равенство задает функцию x = a^y, график которой симметричен графику показательной функции y = a^x относительно прямой y = x.

Показательная функция x = a^y является монотонной, и, значит, разные значения y соответствуют разным значениям x, но это говорит о том, что y = log_ax, в свою очередь, является функцией x.

Показательная функция y = a^x и логарифмическая функция y = log_ax являются взаимно обратными. Сравнивая их графики, можно отметить некоторые основные свойства логарифмической функции.

Свойства функции y = log_ax, a > 0, a ≠ 11:

1. Функция y = log_ax определена и непрерывна на множестве положительных чисел.
2. Область значений функции y = log_ax — множество действительных чисел.
3. При 0 < a < 1 функция y = log_ax является убывающей; при a > 1 функция y = log_ax является возрастающей.
4. График функции y = log_ax проходит через точку (1; 0).
5. Ось ординат — вертикальная асимптота графика функции y = log_a.

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 10 класс. Учебник

Учебник входит в учебно-методический комплекс по математике для 10–11 классов, изучающих предмет на углубленном уровне. Теоретический материал в нем разделен на обязательный и дополнительный. Каждая глава завершается домашней контрольной работой, а каждый пункт главы — контрольными вопросами и заданиями. Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту среднего (полного) общего образования, имеет гриф «Рекомендовано» и включен в Федеральный перечень учебников.

Решение логарифмических уравнений и неравенств на основе свойств логарифмической функции

Освобождаясь от внешнего логарифма, имеющего основание 3, мы ссылаемся на возрастание соответствующей логарифмической функции, то есть на то, что большему значению логарифма соответствует большее значение выражения, стоящего под его знаком. Однако следует иметь в виду, что если функцию y = log₃ log_0,5(2x + 1) считать логарифмической, то ее аргумент не переменная x, а все выражение log_0,5(2x + 1). Если же все-таки рассматривать x как аргумент функции y = log₃ log_0,5(2x + 1), то эта функция окажется убывающей, так как при увеличении значения x увеличивается значение выражения 2x + 1, уменьшается значение выражения log_0,5(2x + 1) и, соответственно, уменьшается значение самой функции.

Свойства логарифмов

Связь двух форм записи соотношения между числами a, b и x (речь о a^x = b и x = log_ab) позволяет получить свойства логарифмов, основываясь на известных свойствах степеней.

Рассмотрим, например, произведение степеней с одинаковым основанием: a^xa^y. Пусть a ^x = b и a ^y = c. Перейдем к логарифмической форме: x = log_ab и y = log_ac, тогда bc = a ^log_a^b × a ^log_a^c = a ^log_a^{b + log}_a^c. От показательной формы равенства bc = a ^log_a^{b + log}_a^c перейдем к логарифмической форме:

log_a(bc) = log_ab + log_ac

Заметим, что в левой части формулы числа a и b могут быть отрицательными. Тогда формула будет выглядеть так:

log_a(bc) = log_a|b| + log_a|c|

Аналогично можно получить еще два свойства для логарифмов частного и степени.

• логарифм произведения log_a (bc) = log_a |b| + log_a |c|
• логарифм частного
• логарифм степени log_ab^p = p log_a|b|

Последнее свойство дает возможность вывести важную формулу, с помощью которой можно выразить логарифм с одним основанием через логарифм с другим основанием.

Пусть log_ab = x. Перейдем к показательной форме a^x = b. Прологарифмируем это равенство по основанию c, т.е. найдем логарифмы с основанием c обеих частей этого равенства: log_ca^x = log_cb. Применяя к левой части свойство логарифма степени, получим x log_ca = log_cb или , откуда .

Формула перехода от одного основания логарифма к другому

Полезно запомнить частный случай формулы перехода, когда одно из оснований является степенью другого:

Рассмотренные свойства и формула перехода «работают», конечно, только когда все входящие в них выражения имеют смысл.

Что ещё почитать?

Логарифмы на ЕГЭ

Логарифмы встречаются на ЕГЭ: как во второй части (обычно, это задание 15), так и, реже, в первой части. Задания из аттестации — одно из средств мотивации детей на уроках. Зная, что упражнение на доске аналогично заданию ЕГЭ, ученик будет внимательнее следить за его решением.

Разберем несколько таких заданий.

Из первой части (определение логарифма на ЕГЭ профильного уровня)

Решите уравнение log₃(x+1)² + log₃|x+1| = 6 . Если корней несколько, укажите наименьший из них.

Решение. Решаем квадратное относительно log₃|x+1| уравнение. Его корни 2 и −3.

log₃|x+1| = 2, |x+1| = 9, x = −10 — это наименьший из корней.

Ответ: −10.

Из второй части (логарифмическое неравенство на ЕГЭ профильного уровня)

Решите неравенство .

Решение. ОДЗ: x > 0, x ≠ 1. Перейдем к логарифмам по основанию 10:

;

;

Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы уйти от радикала:

;

Нули числителя: 2/3, 3, с учетом положительности x, нуль заменяется на 1.

Ответ:

Алгебра в таблицах. 7-11 классы. Справочное пособие

Пособие содержит таблицы по всем наиболее важным разделам школьного курса арифметики, алгебры, начал анализа. В таблицах кратко изложена теория по каждой теме, приведены основные формулы, графики и примеры решения типовых задач. В конце книги помещен предметный указатель. Пособие будет полезно учащимся 7-11 классов, абитуриентам, студентам, учителям и родителям.

Из второй части (логарифмическое уравнение с параметром на ЕГЭ профильного уровня)

Найдите все значения a, для которых при любом положительном значении b уравнение имеет хотя бы одно решение, меньше 1/3.

Решение. Найдем ОДЗ:

Стандартно приводим логарифмы к одному основанию

,

.

Получили квадратное уравнение относительно .

Оно должно иметь корень при

Обозначим, что и рассмотрим квадратичную функцию y = t² — bt — 2a.

Ветви ее графика направлены вверх, а вершина, поскольку b > 0, расположена в левой координатной полуплоскости. Первая ветвь параболы пересекает ось абсцисс правее t = 0, значит при t = 0 y < 0. Получаем −2a < 0 a > 0.

Ответ: a > 0.

Учебник «Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 10 класс» схож по структуре с учебником базового уровня, однако предполагает больше часов на изучение сложных задач. Эти и другие издания линейки вы можете апробировать прямо сейчас, воспользовавшись акцией «5 учебников бесплатно». Методическое пособие представлено в свободном доступе. Приглашаем познакомиться с другими вебинарами экспертов и порекомендовать нам интересующую вас тему для последующих трансляций.

Калькулятор логарифмов log (x)

Калькулятор логарифмов находит результат логарифмической функции (можно назвать экспонентой) из заданного основного числа и действительного числа.

Логарифм

Логарифм считается одним из основных понятий в математике. Есть множество определений, начиная от действительно сложных и заканчивая довольно простыми. Чтобы ответить на вопрос, что такое логарифм, давайте взглянем на таблицу ниже:

Это таблица, в которой мы можем видеть значения двух квадратов, двух кубов и так далее.Это операция в математике, известная как возведение в степень . Если мы посмотрим на числа в нижней строке, мы можем попытаться найти значение степени, до которого нужно возвести 2, чтобы получить это число. Например, чтобы получить 16, нужно возвести два в четвертую степень. А чтобы получить 64, нужно возвести двойку в шестую степень.

Следовательно, логарифм — это показатель степени, до которого необходимо возвести фиксированное число (которое называется основанием), чтобы получить число y. Другими словами, логарифм можно представить в следующем виде:

журнал _b x = y

, где b — основание, x — действительное число, а y — показатель степени.

Например, 2 ³ = 8 ⇒ log ₂ 8 = 3 (логарифм 8 по основанию 2 равен 3, потому что 2 ³ = 8).
Аналогично, log ₂ 64 = 6, потому что 2 ⁶ = 64.

Следовательно, очевидно, что операция логарифмирования является обратной по отношению к возведению в степень .

К сожалению, не все логарифмы можно так легко вычислить.Например, найти журнал ₂ 5 вряд ли возможно, просто используя наши простые вычислительные возможности. После использования калькулятора логарифмов мы можем узнать, что

журнал ₂ 5 = 2,321

Есть несколько особых типов логарифмов. Например, логарифм с основанием 2 известен как двоичный логарифм, и он широко используется в информатике и языках программирования. Логарифм с основанием 10 обычно называют десятичным логарифмом, и имеет огромное количество приложений в инженерии, научных исследованиях, технологиях и т. д.Наконец, так называемый натуральный логарифм использует число e (которое приблизительно равно 2,71828) в качестве основания, и этот вид логарифма имеет большое значение в математике, физике, и другие точные науки.

Логарифм log _b (x) = y читается как , логарифм по основанию b x равен y .
Обратите внимание, что основание журнала номер b должно быть больше 0 и не должно равняться 1. И число (x), которое мы вычисляем log base of (b), должно быть положительным действительным числом.

Например, журнал 2 из 8 равен 3.

 журнал  2  (8) = 3 (лог по основанию 2 из 8)
Экспонента 2  3  = 8
 

Общие значения для базы журнала

Логарифмические тождества

Список логарифмических отождествлений, формул и примеров логарифмов в логарифмической форме.

Логарифм произведения

 журнал  b  (x · y) = журнал  b  (x) + журнал  b  (y)
лог  2  (5 · 7) = лог  2  (5) + лог  2  (7) 

Логарифм частного

 журнал  b  (x / y) = журнал  b  (x) - журнал  b  (y)
лог  2  (5/7) = лог  2  (5) - лог  2  (7) 

Логарифм степени

 журнал  b  (x  y ) = y · log  b  (x)
журнал  2  (5  7 ) = 7 · журнал  2  (5) 

Изменение базы

 журнал  b  (x) = (журнал  k  (x)) / (журнал  k  (b))
 

Примеры натурального логарифма

• ln (2) = log _e (2) = 0. 6931
• ln (3) = log _e (3) = 1,0986
• ln (4) = лог _e (4) = 1,3862
• ln (5) = log _e (5) = 1,609
• ln (6) = log _e (6) = 1,7917
• ln (10) = лог _e (10) = 2.3025

Таблицы логарифмических значений

Список таблиц значений функций журнала в общих базовых числах.

журнал 2 (x)	Обозначение	Значение
журнал 2 (1)	фунтов (1)	0
журнал 2 (2)	фунтов (2)	1
log 2 (3)	фунтов (3)	1.584963
log 2 (4)	фунтов (4)	2
log 2 (5)	фунтов (5)	2.321928
log 2 ( 6)	фунтов (6)	2,584963
log 2 (7)	фунтов (7)	2,807355
log 2 (8)	фунтов (8)	3
бревно 2 (9)	фунтов (9)	3. 169925
log 2 (10)	фунтов (10)	3,321928
log 2 (11)	фунтов (11)	3,459432
log 2 ( 12)	фунтов (12)	3,584963
log 2 (13)	фунтов (13)	3,70044
log 2 (14)	фунтов (14)	3.807355
лог 2 (15)	фунтов (15)	3.
log 2 (16)	фунтов (16)	4
log 2 (17)	фунтов (17)	4,087463
log 2 ( 18)	фунтов (18)	4,169925
log 2 (19)	фунтов (19)	4,247928
log 2 (20)	фунтов (20)	4.321928
лог 2 (21)	фунтов (21)	4. 3
log 2 (22)	фунтов (22)	4,459432
log 2 (23)	фунтов (23)	4.523562
log 2 ( 24)	фунтов (24)	4,584963

журнал 10 (x)	Обозначение	Значение
журнал 10 (1)	журнал (1)	0
журнал 10 (2)	журнал (2)	0.30103
журнал 10 (3)	журнал (3)	0,477121
журнал 10 (4)	журнал (4)	0,60206
журнал 10 ( 5)	журнал (5)	0,69897
журнал 10 (6)	журнал (6)	0,778151
журнал 10 (7)	журнал (7)	0,845098
журнал 10 (8)	журнал (8)	0.
журнал 10 (9)	журнал (9)	0,	3
журнал 10 (10)	журнал (10)	1
журнал 10 ( 11)	журнал (11)	1.041393
журнал 10 (12)	журнал (12)	1.079181
журнал 10 (13)	журнал (13)	1,113943
журнал 10 (14)	журнал (14)	1.146128
журнал 10 (15)	журнал (15)	1,176091
журнал 10 (16)	журнал (16)	1,20412
журнал 10 ( 17)	журнал (17)	1,230449
журнал 10 (18)	журнал (18)	1,255273
журнал 10 (19)	журнал (19)	1,278754
лог 10 (20)	лог (20)	1. 30103
журнал 10 (21)	журнал (21)	1,322219
журнал 10 (22)	журнал (22)	1,342423
журнал 10 ( 23)	журнал (23)	1,361728
журнал 10 (24)	журнал (24)	1,380211

log e (x)	Обозначение	Значение
log e (1)	ln (1)	0
log e (2)	ln (2)	0.6
log e (3)	ln (3)	1.0
log e (4)	ln (4)	1.386294
log e ( 5)	ln (5)	1.609438
log e (6)	ln (6)	1.7
log e (7)	ln (7)	1.
лог e (8)	ln (8)	2.079442
log e (9)	ln (9)	2,1
log e (10)	ln (10)	2.302585
log e ( 11)	ln (11)	2.3
log e (12)	ln (12)	2.484907
log e (13)	ln (13)	2,564949
лог e (14)	ln (14)	2.639057
log e (15)	ln (15)	2,70805
log e (16)	ln (16)	2,772589
log e ( 17)	ln (17)	2,833213
log e (18)	ln (18)	2,8
log e (19)	ln (19)	2.
log e (20)	ln (20)	2.9
log e (21)	ln (21)	3.044522
log e (22)	ln (22)	3.0
log e ( 23)	ln (23)	3.135494
log e (24)	ln (24)	3.178054

Калькуляторы базы связанных журналов

Калькулятор общего журнала log (x) base 10 Log10 Calculator

Калькулятор десятичного логарифма находит результат функции логарифма по основанию 10.Вычислите по основанию 10 числа.

Примеры десятичных логарифмов

Используя логарифм идентификатора продукта, найдите общий журнал из 120:

журнал (120) = журнал (100 × 1,2)
журнал (120) = журнал (100) + журнал (1,2)
журнал (120) = 2 + 0746 = 2,0746
 

Используя логарифм степенного тождества, найдите общий журнал из 10 ⁶ :

журнал (10  6 ) = 6 × журнал (10)
журнал (10  6 ) = 6 × 1 = 6
 

Общий логарифм по основанию 10 Таблицы значений

Список таблиц значений функций общего журнала, логическая основа 10 чисел.

журнал 10 (x)	Обозначение	Значение
журнал 10 (1)	журнал (1)	0
журнал 10 (2)	журнал (2)	0,30103
журнал 10 (3)	журнал (3)	0,477121
журнал 10 (4)	журнал (4)	0,60206
журнал 10 (5)	журнал (5)	0.69897
журнал 10 (6)	журнал (6)	0,778151
журнал 10 (7)	журнал (7)	0,845098
журнал 10 ( 8)	журнал (8)	0,
журнал 10 (9)	журнал (9)	0,	3
журнал 10 (10)	журнал (10)	1
лог 10 (11)	лог (11)	1. 041393
журнал 10 (12)	журнал (12)	1.079181
журнал 10 (13)	журнал (13)	1,113943
журнал 10 ( 14)	журнал (14)	1,146128
журнал 10 (15)	журнал (15)	1,176091
журнал 10 (16)	журнал (16)	1.20412
лог 10 (17)	лог (17)	1.230449
журнал 10 (18)	журнал (18)	1,255273
журнал 10 (19)	журнал (19)	1,278754
журнал 10 ( 20)	журнал (20)	1,30103
журнал 10 (21)	журнал (21)	1,322219
журнал 10 (22)	журнал (22)	1. 342423
лог 10 (23)	лог (23)	1.361728
журнал 10 (24)	журнал (24)	1,380211
журнал 10 (25)	журнал (25)	1,39794
журнал 10 ( 26)	журнал (26)	1,414973
журнал 10 (27)	журнал (27)	1.431364
журнал 10 (28)	журнал (28)	1.447158
лог 10 (29)	лог (29)	1.462398
журнал 10 (30)	журнал (30)	1,477121
журнал 10 (31)	журнал (31)	1.4
журнал 10 ( 32)	журнал (32)	1,50515
журнал 10 (33)	журнал (33)	1,518514
журнал 10 (34)	журнал (34)	1,531479
журнал 10 (35)	журнал (35)	1. 544068
журнал 10 (36)	журнал (36)	1,556303
журнал 10 (37)	журнал (37)	1,568202
журнал 10 ( 38)	журнал (38)	1,579784
журнал 10 (39)	журнал (39)	1,5
журнал 10 (40)	журнал (40)	1.60206
лог 10 (41)	лог (41)	1.612784
журнал 10 (42)	журнал (42)	1,623249
журнал 10 (43)	журнал (43)	1,633468
журнал 10 ( 44)	журнал (44)	1.643453
журнал 10 (45)	журнал (45)	1,653213
журнал 10 (46)	журнал (46)	1. 662758
лог 10 (47)	лог (47)	1.672098
журнал 10 (48)	журнал (48)	1,68 1241
журнал 10 (49)	журнал (49)	1,6
журнал 10 ( 50)	журнал (50)	1,69897
журнал 10 (51)	журнал (51)	1,70757
журнал 10 (52)	журнал (52)	1,716003
лог 10 (53)	лог (53)	1.724276
журнал 10 (54)	журнал (54)	1,732394
журнал 10 (55)	журнал (55)	1,740363
журнал 10 ( 56)	журнал (56)	1,748188
журнал 10 (57)	журнал (57)	1,755875
журнал 10 (58)	журнал (58)	1. 763428
лог 10 (59)	лог (59)	1.770852
журнал 10 (60)	журнал (60)	1.778151
журнал 10 (61)	журнал (61)	1,78533
журнал 10 ( 62)	журнал (62)	1.7
журнал 10 (63)	журнал (63)	1,7
журнал 10 (64)	журнал (64)	1.80618
лог 10 (65)	лог (65)	1.812913
журнал 10 (66)	журнал (66)	1,819544
журнал 10 (67)	журнал (67)	1.826075
журнал 10 ( 68)	журнал (68)	1,832509
журнал 10 (69)	журнал (69)	1,838849
журнал 10 (70)	журнал (70)	1. 845098
лог 10 (71)	лог (71)	1.851258
журнал 10 (72)	журнал (72)	1.857332
журнал 10 (73)	журнал (73)	1,863323
журнал 10 ( 74)	журнал (74)	1,869232
журнал 10 (75)	журнал (75)	1.875061
журнал 10 (76)	журнал (76)	1,880814
журнал 10 (77)	журнал (77)	1.886491
журнал 10 (78)	журнал (78)	1.8
журнал 10 (79)	журнал (79)	1,8
журнал 10 ( 80)	журнал (80)	1.
журнал 10 (81)	журнал (81)	1. 5
журнал 10 (82)	журнал (82)	1.
журнал 10 (83)	журнал (83)	1.
журнал 10 (84)	журнал (84)	1,
журнал 10 (85)	журнал (85)	1.
журнал 10 ( 86)	журнал (86)	1,
журнал 10 (87)	журнал (87)	1.
журнал 10 (88)	журнал (88)	1,3
журнал 10 (89)	журнал (89)	1.
журнал 10 (90)	журнал (90)	1.	3
журнал 10 (91)	журнал (91)	1.	1
журнал 10 ( 92)	журнал (92)	1.
журнал 10 (93)	журнал (93)	1,
журнал 10 (94)	журнал (94)	1.
журнал 10 (95)	журнал (95)	1.
журнал 10 (96)	журнал (96)	1.	1
журнал 10 (97)	журнал (97)	1.	2
журнал 10 ( 98)	журнал (98)	1.9
журнал 10 (99)	журнал (99)	1.9

журнал 10 (x)	Обозначение	Значение
журнал 10 (100)	журнал (100)	2
журнал 10 (200)	журнал (200)	2.30103
журнал 10 (300)	журнал (300)	2,477121
журнал 10 (400)	журнал (400)	2,60206
журнал 10 ( 500)	журнал (500)	2. 69897
журнал 10 (600)	журнал (600)	2,778151
журнал 10 (700)	журнал (700)	2.845098
лог 10 (800)	лог (800)	2.
журнал 10 (900)	журнал (900)	2.	3
журнал 10 (1000)	журнал (1000)	3
журнал 10 ( 1100)	журнал (1100)	3,041393
журнал 10 (1200)	журнал (1200)	3,079181
журнал 10 (1300)	журнал (1300)	3,113943
журнал 10 (1400)	журнал (1400)	3.146128
журнал 10 (1500)	журнал (1500)	3,176091
журнал 10 (1600)	журнал (1600)	3,20412
журнал 10 ( 1700)	журнал (1700)	3,230449
журнал 10 (1800)	журнал (1800)	3,255273
журнал 10 (1900)	журнал (1900)	3,278754
лог 10 (2000)	лог (2000)	3. 30103
журнал 10 (2100)	журнал (2100)	3,322219
журнал 10 (2200)	журнал (2200)	3.342423
журнал 10 ( 2300)	журнал (2300)	3,361728
журнал 10 (2400)	журнал (2400)	3.380211
журнал 10 (2500)	журнал (2500)	3,39794
лог 10 (2600)	лог (2600)	3.414973
журнал 10 (2700)	журнал (2700)	3,431364
журнал 10 (2800)	журнал (2800)	3.447158
журнал 10 ( 2900)	журнал (2900)	3,462398
журнал 10 (3000)	журнал (3000)	3,477121
журнал 10 (3100)	журнал (3100)	3. 4
лог 10 (3200)	лог (3200)	3.50515
log 10 (3300)	log (3300)	3.518514
log 10 (3400)	log (3400)	3.531479
log 10 ( 3500)	журнал (3500)	3,544068
журнал 10 (3600)	журнал (3600)	3,556303
журнал 10 (3700)	журнал (3700)	3,568202
лог 10 (3800)	лог (3800)	3.579784
журнал 10 (3900)	журнал (3900)	3,5
журнал 10 (4000)	журнал (4000)	3.60206
журнал 10 ( 4100)	журнал (4100)	3,612784
журнал 10 (4200)	журнал (4200)	3,623249
журнал 10 (4300)	журнал (4300)	3. 633468
лог 10 (4400)	лог (4400)	3.643453
журнал 10 (4500)	журнал (4500)	3.653213
журнал 10 (4600)	журнал (4600)	3.662758
журнал 10 ( 4700)	журнал (4700)	3.672098
журнал 10 (4800)	журнал (4800)	3.681241
журнал 10 (4900)	журнал (4900)	3,6
журнал 10 (5000)	журнал (5000)	3.69897
журнал 10 (5100)	журнал (5100)	3,70757
журнал 10 (5200)	журнал (5200)	3,716003
журнал 10 ( 5300)	журнал (5300)	3,724276
журнал 10 (5400)	журнал (5400)	3,732394
журнал 10 (5500)	журнал (5500)	3,740363
журнал 10 (5600)	журнал (5600)	3. 748188
log 10 (5700)	log (5700)	3,755875
log 10 (5800)	log (5800)	3,763428
log 10 ( 5900)	журнал (5900)	3,770852
журнал 10 (6000)	журнал (6000)	3,778151
журнал 10 (6100)	журнал (6100)	3,78533
журнал 10 (6200)	журнал (6200)	3.7
журнал 10 (6300)	журнал (6300)	3,7
журнал 10 (6400)	журнал (6400)	3.80618
журнал 10 ( 6500)	журнал (6500)	3.812913
журнал 10 (6600)	журнал (6600)	3.819544
журнал 10 (6700)	журнал (6700)	3. 826075
лог 10 (6800)	лог (6800)	3.832509
журнал 10 (6900)	журнал (6900)	3.838849
журнал 10 (7000)	журнал (7000)	3.845098
журнал 10 ( 7100)	журнал (7100)	3.851258
журнал 10 (7200)	журнал (7200)	3.857332
журнал 10 (7300)	журнал (7300)	3.863323
лог 10 (7400)	лог (7400)	3.869232
журнал 10 (7500)	журнал (7500)	3.875061
журнал 10 (7600)	журнал (7600)	3.880814
журнал 10 ( 7700)	журнал (7700)	3.886491
журнал 10 (7800)	журнал (7800)	3. 8
журнал 10 (7900)	журнал (7900)	3.8
лог 10 (8000)	лог (8000)	3.
журнал 10 (8100)	журнал (8100)	3.5
журнал 10 (8200)	журнал (8200)	3.
журнал 10 ( 8300)	журнал (8300)	3.
журнал 10 (8400)	журнал (8400)	3.
журнал 10 (8500)	журнал (8500)	3.
лог 10 (8600)	лог (8600)	3.
log 10 (8700)	log (8700)	3.
log 10 (8800)	log (8800)	3.3
log 10 ( 8900)	журнал (8900)	3.
журнал 10 (9000)	журнал (9000)	3.	3
журнал 10 (9100)	журнал (9100)	3.	1
лог 10 (9200)	лог (9200)	3.
журнал 10 (9300)	журнал (9300)	3.
журнал 10 (9400)	журнал (9400)	3.
журнал 10 ( 9500)	журнал (9500)	3.
журнал 10 (9600)	журнал (9600)	3.	1
журнал 10 (9700)	журнал (9700)	3.	2
лог 10 (9800)	лог (9800)	3.9
журнал 10 (9900)	журнал (9900)	3.9

журнал 10 (x)	Обозначение	Значение
журнал 10 (1000)	журнал (1000)	3
журнал 10 (2000)	журнал (2000)	3,30103
журнал 10 (3000)	журнал (3000)	3,477121
журнал 10 (4000)	журнал (4000)	3. 60206
журнал 10 (5000)	журнал (5000)	3.69897
журнал 10 (6000)	журнал (6000)	3.778151
журнал 10 ( 7000)	журнал (7000)	3.845098
журнал 10 (8000)	журнал (8000)	3.
журнал 10 (9000)	журнал (9000)	3.	3
журнал 10 (10000)	журнал (10000)	4
журнал 10 (11000)	журнал (11000)	4.041393
log 10 (12000)	log (12000)	4.079181
log 10 (13000)	log (13000)	4.113943
log 10 ( 14000)	журнал (14000)	4.146128
журнал 10 (15000)	журнал (15000)	4. 176091
журнал 10 (16000)	журнал (16000)	4.20412
журнал 10 (17000)	журнал (17000)	4.230449
журнал 10 (18000)	журнал (18000)	4,255273
журнал 10 (19000)	журнал (19000)	4.278754
журнал 10 ( 20000)	журнал (20000)	4,30103
журнал 10 (21000)	журнал (21000)	4.322219
журнал 10 (22000)	журнал (22000)	4.342423
журнал 10 (23000)	журнал (23000)	4.361728
журнал 10 (24000)	журнал (24000)	4.380211
журнал 10 (25000)	журнал (25000)	4.39794
журнал 10 ( 26000)	журнал (26000)	4,414973
журнал 10 (27000)	журнал (27000)	4,431364
журнал 10 (28000)	журнал (28000)	4. 447158
журнал 10 (29000)	журнал (29000)	4.462398
журнал 10 (30000)	журнал (30000)	4,477121
журнал 10 (31000)	журнал (31000)	4.4
журнал 10 ( 32000)	журнал (32000)	4,50515
журнал 10 (33000)	журнал (33000)	4,518514
журнал 10 (34000)	журнал (34000)	4.531479
журнал 10 (35000)	журнал (35000)	4.544068
журнал 10 (36000)	журнал (36000)	4.556303
журнал 10 (37000)	журнал (37000)	4.568202
журнал 10 ( 38000)	журнал (38000)	4,579784
журнал 10 (39000)	журнал (39000)	4. 5
журнал 10 (40000)	журнал (40000)	4.60206
лог 10 (41000)	лог (41000)	4.612784
журнал 10 (42000)	журнал (42000)	4,623249
журнал 10 (43000)	журнал (43000)	4.633468
журнал 10 ( 44000)	журнал (44000)	4.643453
журнал 10 (45000)	журнал (45000)	4.653213
журнал 10 (46000)	журнал (46000)	4.662758
журнал 10 (47000)	журнал (47000)	4.672098
журнал 10 (48000)	журнал (48000)	4,681241
журнал 10 (49000)	журнал (49000)	4.6
журнал 10 ( 50000)	журнал (50000)	4. 69897
журнал 10 (51000)	журнал (51000)	4.70757
журнал 10 (52000)	журнал (52000)	4,716003
журнал 10 (53000)	журнал (53000)	4.724276
журнал 10 (54000)	журнал (54000)	4,732394
журнал 10 (55000)	журнал (55000)	4.740363
журнал 10 ( 56000)	журнал (56000)	4,748188
журнал 10 (57000)	журнал (57000)	4,755875
журнал 10 (58000)	журнал (58000)	4,763428
журнал 10 (59000)	журнал (59000)	4.770852
журнал 10 (60000)	журнал (60000)	4,778151
журнал 10 (61000)	журнал (61000)	4,78533
журнал 10 ( 62000)	журнал (62000)	4,7
журнал 10 (63000)	журнал (63000)	4,7
журнал 10 (64000)	журнал (64000)	4. 80618
журнал 10 (65000)	журнал (65000)	4.812913
журнал 10 (66000)	журнал (66000)	4,819544
журнал 10 (67000)	журнал (67000)	4.826075
журнал 10 ( 68000)	журнал (68000)	4.832509
журнал 10 (69000)	журнал (69000)	4.838849
журнал 10 (70000)	журнал (70000)	4.845098
журнал 10 (71000)	журнал (71000)	4.851258
журнал 10 (72000)	журнал (72000)	4,857332
журнал 10 (73000)	журнал (73000)	4.863323
журнал 10 ( 74000)	журнал (74000)	4.869232
журнал 10 (75000)	журнал (75000)	4. 875061
журнал 10 (76000)	журнал (76000)	4.880814
журнал 10 (77000)	журнал (77000)	4.886491
журнал 10 (78000)	журнал (78000)	4,8
журнал 10 (79000)	журнал (79000)	4.8
журнал 10 ( 80000)	журнал (80000)	4,
журнал 10 (81000)	журнал (81000)	4,5
журнал 10 (82000)	журнал (82000)	4.
журнал 10 (83000)	журнал (83000)	4.
журнал 10 (84000)	журнал (84000)	4,
журнал 10 (85000)	журнал (85000)	4.
журнал 10 ( 86000)	журнал (86000)	4,
журнал 10 (87000)	журнал (87000)	4,
журнал 10 (88000)	журнал (88000)	4. 3
журнал 10 (89000)	журнал (89000)	4.
журнал 10 ( )	журнал ( )	4,	3
журнал 10 ( )	журнал ( )	4.	1
журнал 10 (
журнал (
4.
журнал 10 (	)	журнал (	)	4,
журнал 10 (	)	журнал (	)	4.
журнал 10 (	)	журнал (	)	4.
журнал 10 ()	журнал ()	4,	1
журнал 10 (	)	журнал (	)	4.	2
журнал 10 (
журнал (
4,9
журнал 10 (	журнал (	4. 9

© 2019-2021 www.logcalculator.net

База логарифма 2 Калькулятор Log2

Калькулятор логарифма 2 находит результат функции логарифма по основанию 2.Вычислите по основанию 2 числа.

журнал ₂ (x) = y

x: — действительное число, x> 0

журнал ₂ (x) = y и x = 2 ^y

База логарифмов 2 Таблицы значений

Список журналов ₂ таблицы значений функций, база 2 чисел.

журнал 2 (x)	Обозначение	Значение
журнал 2 (1)	фунтов (1)	0
журнал 2 (2)	фунтов (2)	1
log 2 (3)	фунтов (3)	1. 584963
log 2 (4)	фунтов (4)	2
log 2 (5)	фунтов (5)	2.321928
log 2 ( 6)	фунтов (6)	2,584963
log 2 (7)	фунтов (7)	2,807355
log 2 (8)	фунтов (8)	3
бревно 2 (9)	фунтов (9)	3.169925
log 2 (10)	фунтов (10)	3,321928
log 2 (11)	фунтов (11)	3,459432
log 2 ( 12)	фунтов (12)	3,584963
log 2 (13)	фунтов (13)	3,70044
log 2 (14)	фунтов (14)	3.807355
лог 2 (15)	фунтов (15)	3.
log 2 (16)	фунтов (16)	4
log 2 (17)	фунтов (17)	4,087463
log 2 ( 18)	фунтов (18)	4,169925
log 2 (19)	фунтов (19)	4,247928
log 2 (20)	фунтов (20)	4.321928
лог 2 (21)	фунтов (21)	4.3
log 2 (22)	фунтов (22)	4,459432
log 2 (23)	фунтов (23)	4.523562
log 2 ( 24)	фунтов (24)	4.584963
log 2 (25)	фунтов (25)	4.643856
log 2 (26)	фунтов (26)	4,70044
бревно 2 (27)	фунтов (27)	4. 754888
log 2 (28)	фунтов (28)	4,807355
log 2 (29)	фунтов (29)	4.857981
log 2 ( 30)	фунтов (30)	4,
log 2 (31)	фунтов (31)	4,6
log 2 (32)	фунтов (32)	5
бревно 2 (33)	фунтов (33)	5.044394
log 2 (34)	фунтов (34)	5,0 87463
log 2 (35)	фунтов (35)	5,129283
log 2 ( 36)	фунтов (36)	5,169925
log 2 (37)	фунтов (37)	5,209453
log 2 (38)	фунтов (38)	5.247928
Лог 2 (39)	фунтов (39)	5. 285402
log 2 (40)	фунтов (40)	5,321928
log 2 (41)	фунтов (41)	5,357552
log 2 ( 42)	фунтов (42)	5,3
log 2 (43)	фунтов (43)	5,426265
log 2 (44)	фунтов (44)	5,459432
лог 2 (45)	фунтов (45)	5.4
log 2 (46)	фунтов (46)	5.523562
log 2 (47)	фунтов (47)	5.554589
log 2 ( 48)	фунтов (48)	5,584963
лог 2 (49)	фунтов (49)	5,61471
лог 2 (50)	фунтов (50)	5,643856
лог 2 (51)	фунтов (51)	5. 672425
log 2 (52)	фунтов (52)	5.70044
log 2 (53)	фунтов (53)	5,72792
log 2 ( 54)	фунтов (54)	5,754888
log 2 (55)	фунтов (55)	5,78136
log 2 (56)	фунтов (56)	5.807355
лог 2 (57)	фунтов (57)	5.83289
log 2 (58)	фунтов (58)	5,857981
log 2 (59)	фунтов (59)	5,882643
log 2 ( 60)	фунтов (60)	5.
log 2 (61)	фунтов (61)	5.
log 2 (62)	фунтов (62)	5.6
лог 2 (63)	фунтов (63)	5.
log 2 (64)	фунтов (64)	6
log 2 (65)	фунтов (65)	6.022368
log 2 ( 66)	фунтов (66)	6.044394
log 2 (67)	фунтов (67)	6.066089
log 2 (68)	фунтов (68)	6.087463
лог 2 (69)	фунтов (69)	6.108524
log 2 (70)	фунтов (70)	6,129283
log 2 (71)	фунтов (71)	6.149747
log 2 ( 72)	фунтов (72)	6,169925
log 2 (73)	фунтов (73)	6,189825
log 2 (74)	фунтов (74)	6.209453
Лог 2 (75)	фунтов (75)	6. 228819
log 2 (76)	фунтов (76)	6,247928
log 2 (77)	фунтов (77)	6.266787
log 2 ( 78)	фунтов (78)	6,285402
log 2 (79)	фунтов (79)	6,303781
log 2 (80)	фунтов (80)	6.321928
лог 2 (81)	фунтов (81)	6.33985
log 2 (82)	фунтов (82)	6,357552
log 2 (83)	фунтов (83)	6,375039
log 2 ( 84)	фунтов (84)	6,3
log 2 (85)	фунтов (85)	6,409391
log 2 (86)	фунтов (86)	6.426265
лог 2 (87)	фунтов (87)	6. 442943
log 2 (88)	фунтов (88)	6.459432
log 2 (89)	фунтов (89)	6.475733
log 2 ( 90)	фунтов (90)	6.4
log 2 (91)	фунтов (91)	6.507795
log 2 (92)	фунтов (92)	6.523562
лог 2 (93)	фунтов (93)	6.539159
log 2 (94)	фунтов (94)	6.554589
log 2 (95)	фунтов (95)	6.569856
log 2 ( 96)	фунтов (96)	6.584963
log 2 (97)	фунтов (97)	6.5
log 2 (98)	фунтов (98)	6,61471
лог 2 (99)	фунтов (99)	6. 629357
лог 2 (100)	фунтов (100)	6,643856

log 2 (x)	Обозначение	Значение
log 2 (101)	фунтов (101)	6,658211
log 2 (102)	фунтов (102)	6,672425
log 2 (103)	фунтов (103)	6,686501
log 2 (104)	фунтов (104)	6.70044
log 2 (105)	фунтов (105)	6,714246
log 2 (106)	фунтов (106)	6,72792
log 2 ( 107)	фунтов (107)	6,741467
log 2 (108)	фунтов (108)	6,754888
log 2 (109)	фунтов (109)	6,768184
лог 2 (110)	фунтов (110)	6. 78136
log 2 (111)	фунтов (111)	6,7
log 2 (112)	фунтов (112)	6,807355
log 2 ( 113)	фунтов (113)	6,820179
log 2 (114)	фунтов (114)	6,83289
log 2 (115)	фунтов (115)	6,84549
лог 2 (116)	фунтов (116)	6.857981
log 2 (117)	фунтов (117)	6,870365
log 2 (118)	фунтов (118)	6,882643
log 2 ( 119)	фунтов (119)	6,8
log 2 (120)	фунтов (120)	6,
log 2 (121)	фунтов (121)	6.	3
лог 2 (122)	фунтов (122)	6.
log 2 (123)	фунтов (123)	6.
log 2 (124)	фунтов (124)	6.6
log 2 ( 125)	фунтов (125)	6.
log 2 (126)	фунтов (126)	6.
log 2 (127)	фунтов (127)	6.
log 2 (128)	фунтов (128)	7
log 2 (129)	фунтов (129)	7.011227
log 2 (130)	фунтов (130)	7,022368
log 2 (131)	фунтов (131)	7.033423
log 2 ( 132)	фунтов (132)	7,044394
log 2 (133)	фунтов (133)	7,055282
log 2 (134)	фунтов (134)	7. 066089
лог 2 (135)	фунтов (135)	7.076816
log 2 (136)	фунтов (136)	7,087463
log 2 (137)	фунтов (137)	7.0
log 2 ( 138)	фунтов (138)	7,108524
log 2 (139)	фунтов (139)	7.118941
log 2 (140)	фунтов (140)	7,129283
лог 2 (141)	фунтов (141)	7.139551
log 2 (142)	фунтов (142)	7.149747
log 2 (143)	фунтов (143)	7.159871
log 2 ( 144)	фунтов (144)	7,169925
log 2 (145)	фунтов (145)	7,179909
log 2 (146)	фунтов (146)	7. 189825
лог 2 (147)	фунтов (147)	7.1
log 2 (148)	фунтов (148)	7.209453
log 2 (149)	фунтов (149)	7.219169
log 2 ( 150)	фунтов (150)	7.228819
log 2 (151)	фунтов (151)	7.238405
log 2 (152)	фунтов (152)	7.247928
лог 2 (153)	фунтов (153)	7.257388
log 2 (154)	фунтов (154)	7,266787
log 2 (155)	фунтов (155)	7.276124
log 2 ( 156)	фунтов (156)	7.285402
log 2 (157)	фунтов (157)	7. 2
log 2 (158)	фунтов (158)	7.303781
Лог 2 (159)	фунтов (159)	7.312883
log 2 (160)	фунтов (160)	7,321928
log 2 (161)	фунтов (161)	7.330917
log 2 ( 162)	фунтов (162)	7,33985
log 2 (163)	фунтов (163)	7,348728
log 2 (164)	фунтов (164)	7.357552
лог 2 (165)	фунтов (165)	7.366322
log 2 (166)	фунтов (166)	7.375039
log 2 (167)	фунтов (167)	7.383704
log 2 ( 168)	фунтов (168)	7,3
log 2 (169)	фунтов (169)	7,400879
log 2 (170)	фунтов (170)	7,409391
log 2 (171)	фунтов (171)	7. 417853
log 2 (172)	фунтов (172)	7,426265
log 2 (173)	фунтов (173)	7,434628
log 2 ( 174)	фунтов (174)	7,442943
log 2 (175)	фунтов (175)	7,451211
log 2 (176)	фунтов (176)	7,459432
лог 2 (177)	фунтов (177)	7.467606
log 2 (178)	фунтов (178)	7,475733
log 2 (179)	фунтов (179)	7,483816
log 2 ( 180)	фунтов (180)	7,4
log 2 (181)	фунтов (181)	7,4
log 2 (182)	фунтов (182)	7,507795
лог 2 (183)	фунтов (183)	7. 5157
log 2 (184)	фунтов (184)	7,523562
log 2 (185)	фунтов (185)	7,531381
log 2 ( 186)	фунтов (186)	7,539159
log 2 (187)	фунтов (187)	7,546894
log 2 (188)	фунтов (188)	7,554589
лог 2 (189)	фунтов (189)	7.562242
log 2 (190)	фунтов (190)	7,569856
log 2 (191)	фунтов (191)	7,577429
log 2 ( 192)	фунтов (192)	7,584963
log 2 (193)	фунтов (193)	7,5
log 2 (194)	фунтов (194)	7,5
лог 2 (195)	фунтов (195)	7. 60733
log 2 (196)	фунтов (196)	7,61471
log 2 (197)	фунтов (197)	7,622052
log 2 ( 198)	фунтов (198)	7,629357
log 2 (199)	фунтов (199)	7,636625
log 2 (200)	фунтов (200)	7.643856

log 2 (x)	Обозначение	Значение
log 2 (201)	фунтов (201)	7.651052
log 2 (202)	фунтов (202)	7,658211
log 2 (203)	фунтов (203)	7,665336
log 2 ( 204)	фунтов (204)	7,672425
log 2 (205)	фунтов (205)	7,67948
log 2 (206)	фунтов (206)	7. 686501
лог 2 (207)	фунтов (207)	7.6
log 2 (208)	фунтов (208)	7.70044
log 2 (209)	фунтов (209)	7.707359
log 2 ( 210)	фунтов (210)	7,714246
log 2 (211)	фунтов (211)	7,721099
log 2 (212)	фунтов (212)	7,72792
лог 2 (213)	фунтов (213)	7.73471
log 2 (214)	фунтов (214)	7,741467
log 2 (215)	фунтов (215)	7,748193
log 2 ( 216)	фунтов (216)	7,754888
log 2 (217)	фунтов (217)	7,761551
log 2 (218)	фунтов (218)	7,768184
лог 2 (219)	фунтов (219)	7. 774787
log 2 (220)	фунтов (220)	7,78136
log 2 (221)	фунтов (221)	7.787903
log 2 ( 222)	фунтов (222)	7,7
log 2 (223)	фунтов (223)	7,8009
log 2 (224)	фунтов (224)	7.807355
лог 2 (225)	фунтов (225)	7.813781
log 2 (226)	фунтов (226)	7,820179
log 2 (227)	фунтов (227)	7,826548
log 2 ( 228)	фунтов (228)	7,83289
log 2 (229)	фунтов (229)	7,839204
log 2 (230)	фунтов (230)	7,84549
лог 2 (231)	фунтов (231)	7. 851749
log 2 (232)	фунтов (232)	7,857981
log 2 (233)	фунтов (233)	7,864186
log 2 ( 234)	фунтов (234)	7,870365
log 2 (235)	фунтов (235)	7,876517
log 2 (236)	фунтов (236)	7,882643
лог 2 (237)	фунтов (237)	7.888743
log 2 (238)	фунтов (238)	7,8
log 2 (239)	фунтов (239)	7.7
log 2 ( 240)	фунтов (240)	7.
log 2 (241)	фунтов (241)	7,	9
log 2 (242)	фунтов (242)	7.	3
log 2 (243)	фунтов (243)	7.
log 2 (244)	фунтов (244)	7.
log 2 (245)	фунтов (245)	7.
log 2 ( 246)	фунтов (246)	7.
log 2 (247)	фунтов (247)	7,	7
log 2 (248)	фунтов (248)	7.6
лог 2 (249)	фунтов (249)	7.2
log 2 (250)	фунтов (250)	7.
log 2 (251)	фунтов (251)	7.4
log 2 ( 252)	фунтов (252)	7,
log 2 (253)	фунтов (253)	7,
log 2 (254)	фунтов (254)	7.
лог 2 (255)	фунтов (255)	7.9
log 2 (256)	фунтов (256)	8
log 2 (257)	фунтов (257)	8.005625
log 2 ( 258)	фунтов (258)	8.011227
log 2 (259)	фунтов (259)	8.016808
log 2 (260)	фунтов (260)	8,022368
лог 2 (261)	фунтов (261)	8.027906
log 2 (262)	фунтов (262)	8.033423
log 2 (263)	фунтов (263)	8.038919
log 2 ( 264)	фунтов (264)	8,044394
log 2 (265)	фунтов (265)	8,049849
log 2 (266)	фунтов (266)	8. 055282
лог 2 (267)	фунтов (267)	8.060696
log 2 (268)	фунтов (268)	8.066089
log 2 (269)	фунтов (269)	8.071462
log 2 ( 270)	фунтов (270)	8.076816
log 2 (271)	фунтов (271)	8.082149
log 2 (272)	фунтов (272)	8.087463
log 2 (273)	фунтов (273)	8.0
log 2 (274)	фунтов (274)	8.0
log 2 (275)	фунтов (275)	8.103288
log 2 ( 276)	фунтов (276)	8,108524
log 2 (277)	фунтов (277)	8,113742
log 2 (278)	фунтов (278)	8. 118941
лог 2 (279)	фунтов (279)	8.124121
log 2 (280)	фунтов (280)	8,129283
log 2 (281)	фунтов (281)	8.134426
log 2 ( 282)	фунтов (282)	8.139551
log 2 (283)	фунтов (283)	8.144658
log 2 (284)	фунтов (284)	8.149747
журнал 2 (285)	фунтов (285)	8.154818
log 2 (286)	фунтов (286)	8.159871
log 2 (287)	фунтов (287)	8.164907
log 2 ( 288)	фунтов (288)	8.169925
log 2 (289)	фунтов (289)	8,174926
log 2 (290)	фунтов (290)	8. 179909
лог 2 (291)	фунтов (291)	8.184875
log 2 (292)	фунтов (292)	8.189825
log 2 (293)	фунтов (293)	8.1
log 2 ( 294)	фунтов (294)	8.1
log 2 (295)	фунтов (295)	8.204571
log 2 (296)	фунтов (296)	8.209453
log 2 (297)	фунтов (297)	8.214319
log 2 (298)	фунтов (298)	8,219169
log 2 (299)	фунтов (299)	8.224002
log 2 ( 300)	фунтов (300)	8,228819

© 2019-2021 www.logcalculator.net

ln (x) Калькулятор натурального логарифма

Натуральный логарифм Калькулятор ln (x) находит результат функции логарифма по основанию e , что приблизительно равно 2. 718 .

ln (x) = y

x: — действительное число, x> 0

Натуральный логарифм: ln
ln (x) = y

ln (x) эквивалентно log _e (x)

Примеры натурального логарифма

• ln (2) = log _e (2) = 0,6931
• ln (3) = log _e (3) = 1,0986
• ln (4) = log _e (4) = 1.3862
• ln (5) = log _e (5) = 1,609
• ln (6) = log _e (6) = 1,7917
• ln (10) = лог _e (10) = 2.3025

Таблицы значений натурального логарифма

Список таблиц значений функции журнала в экспоненциальных числах с основанием (e).

log e (x)	Обозначение	Значение
log e (1)	ln (1)	0
log e (2)	ln (2)	0. 6
log e (3)	ln (3)	1.0
log e (4)	ln (4)	1.386294
log e ( 5)	ln (5)	1.609438
log e (6)	ln (6)	1.7
log e (7)	ln (7)	1.
лог e (8)	ln (8)	2.079442
log e (9)	ln (9)	2,1
log e (10)	ln (10)	2.302585
log e ( 11)	ln (11)	2.3
log e (12)	ln (12)	2.484907
log e (13)	ln (13)	2,564949
лог e (14)	ln (14)	2. 639057
log e (15)	ln (15)	2,70805
log e (16)	ln (16)	2,772589
log e ( 17)	ln (17)	2,833213
log e (18)	ln (18)	2,8
log e (19)	ln (19)	2.
log e (20)	ln (20)	2.9
log e (21)	ln (21)	3.044522
log e (22)	ln (22)	3.0
log e ( 23)	ln (23)	3.135494
log e (24)	ln (24)	3.178054
log e (25)	ln (25)	3.218876
лог e (26)	ln (26)	3. 258097
log e (27)	ln (27)	3,2
log e (28)	ln (28)	3.332205
log e ( 29)	ln (29)	3.367296
log e (30)	ln (30)	3.401197
log e (31)	ln (31)	3.433987
лог e (32)	ln (32)	3.465736
log e (33)	ln (33)	3,4
log e (34)	ln (34)	3.526361
log e ( 35)	ln (35)	3.555348
log e (36)	ln (36)	3.583519
log e (37)	ln (37)	3,610918
лог e (38)	ln (38)	3. 637586
log e (39)	ln (39)	3.663562
log e (40)	ln (40)	3.688879
log e ( 41)	ln (41)	3,713572
log e (42)	ln (42)	3,73767
log e (43)	ln (43)	3.7612
лог e (44)	ln (44)	3.78419
log e (45)	ln (45)	3.806662
log e (46)	ln (46)	3,828641
log e ( 47)	ln (47)	3.850148
log e (48)	ln (48)	3.871201
log e (49)	ln (49)	3.89182
лог e (50)	ln (50)	3.	3
log e (51)	ln (51)	3.	6
log e (52)	ln (52)	3.	4
log e ( 53)	ln (53)	3.
log e (54)	ln (54)	3,
log e (55)	ln (55)	4.007333
log e (56)	ln (56)	4.025352
log e (57)	ln (57)	4.043051
log e (58)	ln (58)	4.060443
log e ( 59)	ln (59)	4.077537
log e (60)	ln (60)	4.0
log e (61)	ln (61)	4.110874
лог e (62)	ln (62)	4. 127134
log e (63)	ln (63)	4.143135
log e (64)	ln (64)	4.158883

log e (x)	Обозначение	Значение
log e (65)	ln (65)	4.174387
log e (66)	ln (66)	4.189655
log e (67)	ln (67)	4.204693
log e (68)	ln (68)	4.219508
log e (69)	ln (69)	4.234107
log e ( 70)	ln (70)	4.248495
log e (71)	ln (71)	4.26268
log e (72)	ln (72)	4.276666
лог e (73)	ln (73)	4. 2
log e (74)	ln (74)	4.304065
log e (75)	ln (75)	4.317488
log e ( 76)	ln (76)	4.330733
log e (77)	ln (77)	4.343805
log e (78)	ln (78)	4.356709
log e (79)	ln (79)	4.369448
log e (80)	ln (80)	4.382027
log e (81)	ln (81)	4.3
log e ( 82)	ln (82)	4,406719
log e (83)	ln (83)	4,418841
log e (84)	ln (84)	4.430817
лог e (85)	ln (85)	4. 442651
log e (86)	ln (86)	4.454347
log e (87)	ln (87)	4.465908
log e ( 88)	ln (88)	4.477337
log e (89)	ln (89)	4.488636
log e (90)	ln (90)	4.49981
лог e (91)	ln (91)	4.51086
log e (92)	ln (92)	4.521789
log e (93)	ln (93)	4.532599
log e ( 94)	ln (94)	4.543295
log e (95)	ln (95)	4.553877
log e (96)	ln (96)	4.564348
лог e (97)	ln (97)	4. 574711
log e (98)	ln (98)	4.584967
log e (99)	ln (99)	4.59512
log e ( 100)	ln (100)	4.60517
log e (101)	ln (101)	4.615121
log e (102)	ln (102)	4.624973
лог e (103)	ln (103)	4.634729
log e (104)	ln (104)	4.644391
log e (105)	ln (105)	4.65396
log e ( 106)	ln (106)	4.663439
log e (107)	ln (107)	4.672829
log e (108)	ln (108)	4.682131
лог e (109)	ln (109)	4. 6
log e (110)	ln (110)	4.70048
log e (111)	ln (111)	4.70953
log e ( 112)	ln (112)	4.718499
log e (113)	ln (113)	4.727388
log e (114)	ln (114)	4,736198
лог e (115)	ln (115)	4.744932
log e (116)	ln (116)	4.75359
log e (117)	ln (117)	4.762174
log e ( 118)	ln (118)	4.770685
log e (119)	ln (119)	4.779123
log e (120)	ln (120)	4,787492
лог e (121)	ln (121)	4. 7
log e (122)	ln (122)	4.804021
log e (123)	ln (123)	4.812184
log e ( 124)	ln (124)	4.820282
log e (125)	ln (125)	4.828314
log e (126)	ln (126)	4.836282
log e (127)	ln (127)	4.844187
лог e (128)	ln (128)	4,85203

log e (x)	Обозначение	Значение
log e (129)	ln (129)	4.859812
log e (130)	ln (130)	4,867534
log e (131)	ln (131)	4,875197
log e (132)	ln (132)	4. 882802
log e (133)	ln (133)	4.8
log e (134)	ln (134)	4.89784
log e ( 135)	ln (135)	4.
log e (136)	ln (136)	4.
log e (137)	ln (137)	4.	1
лог e (138)	ln (138)	4.4
log e (139)	ln (139)	4.4
log e (140)	ln (140)	4.
log e ( 141)	ln (141)	4.
log e (142)	ln (142)	4.	7
log e (143)	ln (143)	4.	5
лог e (144)	ln (144)	4. 3
log e (145)	ln (145)	4.	4
log e (146)	ln (146)	4.
log e ( 147)	ln (147)	4.9
log e (148)	ln (148)	4.9
log e (149)	ln (149)	5.003946
log e (150)	ln (150)	5.010635
log e (151)	ln (151)	5.01728
log e (152)	ln (152)	5.023881
log e ( 153)	ln (153)	5.030438
ln e (154)	ln (154)	5.036953
log e (155)	ln (155)	5.043425
лог e (156)	ln (156)	5. 049856
log e (157)	ln (157)	5.056246
log e (158)	ln (158)	5.062595
log e ( 159)	ln (159)	5.068904
log e (160)	ln (160)	5.075174
log e (161)	ln (161)	5.081404
лог e (162)	ln (162)	5.087596
log e (163)	ln (163)	5.09375
log e (164)	ln (164)	5.0
log e ( 165)	ln (165)	5.105945
log e (166)	ln (166)	5.111988
log e (167)	ln (167)	5.117994
лог e (168)	ln (168)	5. 123964
log e (169)	ln (169)	5.129899
log e (170)	ln (170)	5.135798
log e ( 171)	ln (171)	5.141664
log e (172)	ln (172)	5.147494
log e (173)	ln (173)	5.153292
лог e (174)	ln (174)	5.159055
log e (175)	ln (175)	5.164786
log e (176)	ln (176)	5.170484
log e ( 177)	ln (177)	5.17615
log e (178)	ln (178)	5.181784
log e (179)	ln (179)	5.187386
лог e (180)	ln (180)	5. 1
log e (181)	ln (181)	5.1
log e (182)	ln (182)	5.204007
log e ( 183)	ln (183)	5.209486
ln e (184)	ln (184)	5.214936
log e (185)	ln (185)	5.220356
лог e (186)	ln (186)	5.225747
log e (187)	ln (187)	5.231109
log e (188)	ln (188)	5.236442
log e ( 189)	ln (189)	5.241747
log e (190)	ln (190)	5.247024
log e (191)	ln (191)	5.252273
лог e (192)	ln (192)	5. 257495

© 2019-2021 www.logcalculator.net

Изменение базовой формулы или правила

Я обсуждал большинство правил журнала в отдельном уроке. Однако я намеренно оставил одну, чтобы обсудить это здесь подробно. Правило журнала называется Формула изменения базы .

Если вас интересует, почему работает замена формулы, щелкните следующую ссылку, чтобы увидеть доказательство: Доказательства свойств логарифма.

Логарифм с основанием 10 известен как десятичный логарифм , а логарифм с основанием e известен как натуральный логарифм .

Число \ large {\ color {red} {e}}

Примечание: Число e — математическая константа, имеющая числовое значение e \ приблизительно 2,71828. Это иррациональное число, потому что его нельзя выразить как отношение двух целых чисел или дробь. Более того, число e является основанием натурального логарифма.

Таким образом, десятичный и натуральный логарифмы используют стандартное основание 10 и e, соответственно.

• десятичный логарифм записывается как \ large {\ color {red} \ log x = {\ log _ {10}} x}

Натуральный логарифм
• записывается как \ large {\ color {blue} \ ln x = {\ log _e} x}

Прежде чем мы продолжим, я хотел бы указать на некоторые нюансы или тонкости, касающиеся математических выражений десятичного и натурального логарифмов.

Кнопки LOG и LN графического калькулятора

Большинство графических калькуляторов имеют функции или клавиши, которые непосредственно вычисляют логарифмы чисел по основанию 10 и основанию e. Таким образом, вы увидите только две кнопки: LOG для десятичного логарифма и LN для натурального логарифма.

Очевидно, что проблема возникает, когда мы хотим вычислить логарифм числа с использованием нестандартных оснований, таких как 2, 3, 7, 0,5 и 0,25.

В логарифмах выше используется НЕСТАНДАРТНОЕ основание, потому что они не являются ни \ large {\ color {green} 10}, ни числом \ large {\ color {green} e}.

Как начать вводить числа на графическом калькуляторе? Как я упоминал ранее, большинство калькуляторов ограничены вычислением логарифмов только с основанием 10 и основанием e.

Вот где на помощь приходит формула Change-of-Base Formula . Он может преобразовывать логарифм с нестандартным основанием как отношение двух логарифмических операций, в которых используется стандартное основание 10 или константа e.

Формула изменения базы — это инструкция о том, как переписать или преобразовать данное логарифмическое выражение в виде отношения или доли двух логарифмических операций с использованием любого действительного основания.

Это означает, что если у нас есть логарифм с использованием определенного основания, то мы можем превратить его в эквивалентное отношение или долю двух логарифмических операций, чтобы мы могли выбрать любое основание, которое захотим. Мы можем буквально выбрать любую базу, если она положительна, но не равна \ color {red} 1.

Но если мы хотим вычислить или узнать значение логарифма, мы должны выбрать основание-10 или основание-е, так как большинство калькуляторов имеют эти функциональные клавиши. Ключ журнала [log] вычисляет общий (с использованием основания 10) логарифм, а ключ ln [ln] вычисляет натуральный (с использованием основания e) логарифм.

Давайте проанализируем, как формула преобразовала исходный логарифм в эквивалентное выражение как отношение двух операций журнала.

• Аргумент исходного логарифма становится аргументом логарифма числителя.

• Основание исходного логарифма становится аргументом логарифма знаменателя.

• Логарифмы в числителе и знаменателе имеют одинаковое основание. Значение base \ large \ color {green} c — это любая основа, которую мы выбрали.

Примеры формулы замены базы

Первые два примера (пример №1 и №2) — идеальные учебные задачи, потому что аргумент и основание логарифма могут быть выражены как степени общего числа ( положительное число, не равное 1), которое служит новой базой при применении правила изменения базы.

Пример 1: Вычислить \ large {\ log {} _48}.

Первое, что я понял, это то, что и аргумент, и его основание могут быть выражены как степень двойки.k}} \ right) = k \ cdot {\ log _b} \ left (x \ right)}

• \ large {\ color {red} {\ log _b} b = 1}

Вот полное решение.

Пример 2: Вычислить \ large {\ log {} _ {\ large {{1 \ over {27}}}} \ left (9 \ right)}.

Вы можете подумать, что с вопросом возникла проблема, поскольку основание логарифма — дробь. Помните, что основание логарифма должно быть положительным, но не может равняться 1. Итак, основание \ large {1 \ over {27}} совершенно нормально.Очевидно, что это положительное число, и оно не равно 1.

Дробь \ large {1 \ over {27}} может быть переписана в степень 3. Здесь вам пригодится отрицательное правило экспоненты.

Правило отрицательной экспоненты позволяет нам инвертировать дробь (обратную), но мы должны переключить знак экспоненты. 2}.k}} \ right) = k \ cdot {\ log _b} \ left (x \ right)}

• \ large {\ color {red} {\ log _b} b = 1}

Теперь ниже это полное решение.

Пример 3: Вычислить значение \ large {\ log {} _ {\ large {5}} \ left ({12} \ right)}. Округлите ответ до ближайшей тысячной.

Это уже не «хорошая» проблема, потому что аргумент и основание логарифма не могут быть выражены как степени общего числа. Другими словами, не существует сценария, в котором мы могли бы выразить 5 и 12 как экспоненциальные числа с одинаковым основанием.

Чтобы решить эту проблему, мы можем использовать правило смены основания, чтобы переписать исходный логарифм как отношение двух логарифмов основания по нашему выбору. У нас есть два варианта: использовать base-10 или base-e. Неважно, какой из них мы выберем, потому что ответ будет таким же. Для этой задачи воспользуемся основанием 10.

Не забудьте округлить ответ до трех десятичных знаков, потому что нас просят округлить его до ближайшей тысячной.

Наш калькулятор должен подтвердить, что наш ответ правильный.

Пример 4: Вычислить значение \ large {\ log {} _ {\ large {7}} \ left ({9} \ right)}. Округлите ответ до ближайшей сотой.

В предыдущем примере мы использовали основание 10 для вычисления логарифма. На этот раз мы будем использовать натуральное число \ color {red} e в качестве основы выбора при применении формулы изменения базы.

Обратите внимание, что нам не нужно записывать натуральный логарифм как \ large {{{\ log} _e} \ left (x \ right)}. Мы можем пропустить этот шаг и сразу записать его как \ large {\ ln \ left (x \ right)}.Я добавил это как один из шагов ниже для ясности и акцента.

Давайте продолжим и применим правило смены базы для преобразования \ large {\ log {} _7 \ left (9 \ right)} как отношение или долю двух операций натурального логарифма.

Также не забудьте округлить ответ до двух десятичных знаков, поскольку задача требует, чтобы окончательный ответ выражался с точностью до сотых.

Ваш калькулятор должен выдать результат, аналогичный приведенному ниже.

Пример 5: Изменить \ large {\ log {} _ {\ large {6}} \ left ({0.1} \ right)} как частное двух натуральных логарифмов. Вычислите его значение и округлите до ближайшей десятой.

Эта задача требует, чтобы мы изменили данный логарифм как частное от натуральных логарифмов. Это означает, что у нас нет другого выбора, кроме как использовать натуральное число \ large \ color {red} e в качестве основы, когда мы применяем формулу замены базы. Не забывайте также, что нам велят округлять наш ответ до ближайшей десятой (одного десятичного знака).

Вот наше решение:

Наш калькулятор согласен с нашим ответом.

Пример 6: Измените \ color {blue} \ large {\ log \ left (7 \ right)} как частное в натуральных логарифмах. Затем вычислите его значение. Округлите ответ до ближайшей десятитысячной.

Я допускаю, что, хотя мы можем напрямую решить значение \ color {red} \ log \ left (7 \ right) с помощью калькулятора, поскольку он имеет ключ LOG , эта проблема требует, чтобы мы пошли по длинному пути. Не потому, что это бесполезное занятие нашего времени, но, что более важно, это возможность для нас применить наше твердое понимание формулы смены основы.

Помните, что когда вы видите операцию журнала без базы, предполагается, что она имеет базу 10. Поэтому наш самый первый шаг — переписать \ log \ left (7 \ right) как {\ log _ {10} } \ left (7 \ right), чтобы было намного легче увидеть, с какими числами мы имеем дело на этапе смены базы.

Это прекрасное чувство, когда калькулятор выводит значение, подтверждающее наш ответ.

Пример 7: Измените \ color {blue} \ large \ ln \ left ({13} \ right) как отношение в виде десятичных логарифмов.Затем вычислите его стоимость. Округлите ответ до ближайшей десятитысячной.

Как и в примере №6, нет необходимости применять формулу изменения базы, потому что мы можем вычислить ее напрямую с помощью калькулятора. Однако цель этой задачи — продемонстрировать наше глубокое понимание десятичных и натуральных логарифмов, а также того, как правильно обращаться с формулой.

Итак, давайте преобразуем \ large \ ln \ left ({13} \ right) в LOG форму , где основание — \ large \ color {blue} e, таким образом, \ large {\ log _ {\ large {e }}} \ left ({13} \ right).Теперь мы используем формулу замены основания, чтобы выразить это как отношение двух десятичных логарифмов. Помните, что в десятичном логарифме используется основание 10.

Да! Калькулятор согласен с нашим ответом.

Это и закон, и законы логарифмов

Авторские права 20022020 Стэн Браун

Резюме: У вас проблемы с запоминанием законов логарифмов? Делать вы знаете, почему вы можете изменить log (x) + log (y) на другую форму, но не журнал (x + y)? Эта страница поможет вам разобраться в законах логарифмы.

См. Также: Все законы логарифмов текут прямо из законов экспонент . Если ты чувствуешь себя немного неустойчивый с законами экспонент, просмотрите их перед тем, как продолжить.

Логарифм? Что такое логарифм?

Логарифм — это просто показатель степени.

Чтобы быть конкретным, логарифм числа x с основанием b это просто показатель степени, который вы положили на b , чтобы получить результат равно x .Например, поскольку 5 = 25, мы знаем, что 2 ( степень) — это логарифм 25 с основанием 5. Символически, журнал ₅ (25) = 2.

В более общем смысле, если x = b ^y , то мы скажем, что y — это логарифм от x до основания b или логарифм по основанию b x . В символах y = log _b ( x ), часто пишется без скобок, y = журнал _b x .Каждое экспоненциальное уравнение можно переписать в виде логарифмического уравнения: и наоборот, просто поменяв местами x и y таким образом.

Вы нечасто видите это слово, но можете также говорят, что x — это антилогарифм из y для база b . Логарифм — это показатель степени, а антилогарифм — результат возведения основания в этот показатель.

Еще один способ взглянуть на это: журнал _b x функция определяется как обратная b ^x функция.Эти два утверждения выражают обратное соотношение, показывающее, как экспоненциальное уравнение эквивалентно логарифмическому уравнению:

x = b ^y такой же как y = журнал _b x

В любом уравнении x — антилогарифм и y — логарифм с основанием b .

Пример 1: 1000 = 10 ³ то же, что и 3 = журнал ₁₀ 1000.Логарифм равен 3, а антилогарифм равен 1000.

Пример 2: журнал ₃ 81 =? та же как 3 ^? = 81. Неизвестный ? — логарифм, а 81 — антилогарифм.

Нельзя сказать слишком часто: логарифм — это не более чем показатель степени. Вы можете написать приведенное выше определение компактно, и показать журнал как экспоненту, подставив второе уравнение в первое, чтобы исключить и :

Прочтите это как логарифм x по основанию b — это экспонента, которую вы положили на b , чтобы получить в результате x .

Откуда взялись журналы?

Раньше карманные калькуляторы несколько десятилетий назад, но в студенческие годы это возраст динозавровответ было просто. Вам нужны журналы для вычисления большинства мощностей и корней с честным точность; даже умножение и деление большинства чисел было проще с журналами. В каждой приличной книге по алгебре были страницы и страницы журнальных таблиц на спина.

Изобретение бревен в начале 1600-х годов послужило толчком для научных революция. Тогда ученые, особенно астрономы, тратили огромные суммы цифр на бумаге.Сокращая время, которое они тратили на арифметические, логарифмы давали им более продуктивную жизнь. Логарифмическая линейка, когда-то почти мультяшный товарный знак ученого, был не более чем устройством, созданным для выполнения различных вычислений быстро, используя логарифмы. См. Eli Maors e: The Story of a Number для получения дополнительной информации. это.

Сегодня журналы больше не используются в рутинной обработке чисел. Но все же есть веские причины для их изучения.

Почему мы заботимся?

Почему мы вообще используем логарифмы? Я мог бы написать целую статью о них может быть однажды.Но сейчас. …

• Чтобы узнать количество платежей на заем или время, чтобы получить инвестиционная цель.
• Для моделирования многих природных процессов, особенно в живых системах. Мы воспринимаем громкость звука как логарифм реального звука. интенсивность, а дБ (децибелы) — логарифмическая шкала. Мы также воспринимаем яркость света как логарифм действительной световой энергии, и звездные величины измеряются в логарифмической шкале.
• Для измерения pH или кислотности химического раствора.PH — это отрицательный логарифм концентрации свободных ионы водорода.
• Для измерения силы землетрясений по шкале Рихтера.
• Для анализа экспоненциальных процессов. Поскольку функция журнала является обратной экспоненциальной функции, мы часто анализируем экспоненциальную кривую с помощью логарифмы. Нанесение набора измеренных точек на бревенчатый или полубортовый лист может легко выявить такие отношения. Применения включают охлаждение мертвого тела, рост бактерий, и распад радиоактивных изотопов.Распространение эпидемии среди населения часто следует за измененным логарифмическая кривая называется логистической.
• Для решения некоторых форм задач с площадью в исчислении. (Площадь под кривой 1/ x , между x = 1 и x = A , равна ln A .)
• Также в расчетах дифференциация сложного продукта становится намного проще, если сначала взять логарифм.

(Исторически основная причина преподавания журналы в начальной школе был для упрощения вычислений, потому что журнал умножения понижает его до прибавления, а журнал мощности выражение понижает его до умножения.Конечно, с повсеместной доступностью персональных вычислительных устройств, сложность вычислений больше не вызывает беспокойства, но в журналах все еще есть многие приложения сами по себе.)

Основные факты

Из определения бревна как инверсии экспоненциально, можно сразу получить некоторые основные факты. Например, если вы построите график y = 10 ^x (или экспоненту с любым другим положительным основанием), вы увидеть, что его диапазон положительный реал; поэтому область y = log x (по любому основанию) — положительные числа.В другом слова, вы не можете взять журнал 0 или журнал отрицательного числа.

(На самом деле, если вы хотите выйти за рамки реалов, вы можете взять журнал отрицательного числа. Этой технике обучают на многих курсах тригонометрии.)

журнал 1, журнал равен 1

Пример 3: ln 1 = 0

Пример 4: журнал ₅ 5 = 1

Войти как обратный

Журнал — это показатель степени, потому что функция журнала — это обратная экспоненциальной функции. Обратная функция отменяет действие исходной функции. (Я не большой поклонник большинства случаев использования термина отмена в математике, но он вписываются в эту ситуацию.)

Пример 5: журнал ₅ 125 = журнал ₅ (5) = 3

Пример 6: журнал ₁₀ 10 ^3,16 = 3,16

Пример 7: ln e ^{— k t /2} = — k t /2

Whats ln?

В качестве основания логарифмов подходит любое положительное число, но две базы используются больше, чем любые другие:

основание из логарифмов	символ	имя
10	журнал (если основание не показано)	десятичный логарифм
e	пер.	натуральный логарифм, произносится как ell-enn или lahn

Почему base e? Что такого особенного в е? Большинство объяснений требует некоторого исчисления, например, что e ^x — единственная функция, которая является самостоятельной и его собственная производная, или что е имеет это красивое определение в условия факториалов:

е = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …

В числовом выражении e около 2.7182818284. Его иррациональное (десятичное расширение никогда не заканчивается и никогда не повторяется), и на самом деле, как и π, его трансцендентный (ни одно полиномиальное уравнение с целыми коэффициентами не имеет π или e как корень.)

e (например, π) встречается во всех маловероятные места, такие как вычисления сложных процентов. Для объяснения потребовалась бы книга, и к счастью, — это книга Эли Маорса e: История одного Номер . Он также занимается историей логарифмов, и книга стоит взять из вашей библиотеки.

Объединение бревен с одной и той же базой

Через минуту посмотрите на различные комбинации. Но сначала ты может захотеть узнать общий принцип: журналов сокращают количество операций на один уровень. Бревна превращают умножение в сложение, деление на вычитание, показатель степени на умножение и радикальное разделение. Теперь давайте разберемся, почему, и рассмотрим несколько примеров.

Умножение чисел, складывание их логарифмов

Умножение двух выражений соответствует сложению их логарифмов.Можем ли мы понять это?

По компактному определению
	x = b log b x и y = b log b y
и, следовательно, вместо x и и ,
	x y = b log b x b log b y
Но если умножить две степени одной и той же базы , вы добавляете их показатели. Таким образом, правая сторона становится
	x y = b log b x + log b y
Теперь примените компактное определение к левой стороне:
	b log b ( x y ) = x y
Объедините это с предыдущим уравнением, чтобы получить
	b log b ( x y ) = b log b x + log b y
Сейчас у нас есть две степени одной базы.Если степени равны, то и показатели должны быть равны. Следовательно,
	log b ( x y ) = log b x + log b y

Так что же в итоге? Умножая два числа и беря log — это то же самое, что брать их логи и добавлять.

Пример 8: log ₈ ( x ) + log ₈ ( x ) совпадает с log ₈ ( x x ) или просто журнал ₈ ( x ).(Как вы увидите в следующем разделе, это может быть далее упрощено до 3log ₈ x .)

Пример 9: журнал ₁₀ (20) + журнал ₁₀ (50) = лог ₁₀ (2050) = лог ₁₀ (1000) = 3.

Экспонента, умножить логарифм

Продолжая нашу тему логарифмов, снижая уровень операций, если у вас есть y -я степень числа и взять log, результат будет в y раз больше log числа.Вот почему, начиная с x ^y :

Начнем с компактного определения логарифма:
	x = b log b x
и поднимите обе стороны до уровня y мощность:
	x y = ( b log b x ) y
Степень эквивалентна простому умножению степеней. Упростите правую часть:
	x y = b ( y log b x )
Перепишите левую часть, используя компактное определение журнала:
	b log b ( x y ) = x y
(шрифт может быть трудночитаемым: то есть x до степени y слева и справа.) и объедините последние два уравнения:
	b log b ( x y ) = b ( y log b x )
Если мощности равны равны и основания равны, экспоненты должны быть равны:
	журнал b ( x y ) = y журнал b x

Пример 10: ln (2 ⁶ ) = 6 ln 2 (где ln означает log _e , естественное логарифм).

Пример 11: log ₅ (5 x ) равно , а не равно 2 журнала ₅ (5 x ). Будьте внимательны с порядком действий! 5 x равно 5 ( x ), а не (5 x ). log ₅ (5 x ) необходимо сначала разложить как бревно товара: журнал ₅ 5 + журнал ₅ ( x ). Тогда второй член может использовать правило мощности, журнал ₅ ( x ) = 2 журнала ₅ x .Первый член всего 1. Подводя итог, журнал ₅ (5 x ) = 1 + 2 журнала ₅ x .

Возведение чисел в любую степень

Уловка для вычисления таких выражений, как 6,7 ^4,4 , заключается в для использования правила экспоненты и определения логарифма как обратного:

х = 6,7 ^4,4

журнал x = 4,4 (журнал 6,7) = примерно 3,634729132

x = 10 ^{3,63472 …} = около 4312,5

Здесь нет ничего особенного в журналах base-10. В расчет с таким же успехом может быть

х = 6,7 ^4,4

ln x = 4,4 (ln 6,7) = примерно 8,369 273116

x = e ^{8,36927 …} = около 4312,5

Это будет работать для любого положительного основания и любого реального показателя степени, поэтому например

х = π ^π

журнал x = π (журнал π) = примерно 1,561842388

x = 10 ^{1,5618 …} = около 36,46215961

Вы можете комбинировать это с умножение чисел = добавление правила логарифма к оцените возможности, которые слишком велики для вашего калькулятора.Например, что такое 671 ²¹⁷ ?

х = 671 ²¹⁷

журнал x = 217 (журнал 671) = около 613,39

Теперь разделите целую и дробную части логарифм.

журнал x = около 0,39 + 613

х = 10 ^{0,39 + 613}

х = 10 ^0,39 10 ⁶¹³

x = около 2,505 10 ⁶¹³

Для таких примеров вам действительно нужно использовать base-10 журналы.

Если основание отрицательное или показатель сложный, см. Силы и корни комплексного числа.

Разделите числа, вычтите их логарифмы

Поскольку деление противоположно умножению, вычитание противоположность сложения, неудивительно, что деление двух выражения соответствует вычитанию их журналов. Пока мы могли пойти вернемся к компактному определению, его вероятно, проще использовать два предыдущих свойства.

Словами, если разделить и взять журнал , это то же самое, что и вычитая отдельные журналы.

Пример 12: 67515 = 45, поэтому журнал ₁₀ 675 — журнал ₁₀ 15 = log ₁₀ 45. (Попробуйте на своем калькуляторе!)

Пример 13: журнал ( x y ) — журнал ( x y ) = журнал ( x y / x y ) = журнал ( x / y ) = log ( x ) — журнал ( y ).

Замена базы

Теперь у вас есть все необходимое для изменения логарифмов с единицы база к другому.Посмотрите еще раз на компакт уравнение, определяющее журнал в базе b :

Чтобы изменить журнал с базы b на другую базу (назовите ее a ), вы хотите найти журнал a ( x ). Поскольку у вас уже есть x на одной стороне приведенного выше уравнения, кажется, что хорошее начало — взять базу — , логарифм для обеих сторон:
	log a ( b log b x ) = log a x
Но левая часть этого уравнения — это просто журнал власти. Вы помните, что журнал ( x y ) — это просто log ( x ), умноженный на и . Таким образом, уравнение упрощается до
	(журнал a b ) (журнал b x ) = журнал a x

Обратите внимание, что журнал _a b является постоянный. Этот означает, что журналы всех чисел в данной базе и являются пропорционально логам тех же чисел в другой базе b , а константа пропорциональности log _a b равна журнал одной базы в другой базе.Если вы похожи на меня, у вас могут быть проблемы с запоминанием умножать или делить. Если да, просто выведите уравнение, как видите, занимает всего два шага.

Пример 14: журнал ₄ 16 = (журнал 16) / (журнал 4). (Вы можете проверить это на своем калькуляторе, так как вы знать журнал ₄ 16 должно быть равно 2.)

Пример 15: Большинство калькуляторов не могут построить график y = log ₃ x напрямую. Но вы можете изменить базу на e и легко построить график y = (ln x ) (ln 3). (Вы могли одинаково хорошо используйте базу 10.)

Пример 16: журнал ₁₀ e = 1 / (ln 10). (Вы можете проверить это на своем калькуляторе.)

Пример 17: журнал ₁₂₅ 5 = 1 / (журнал ₅ 125). В этом легко убедиться: 5 ³ = 125, а 5 — кубический корень из 125. Следовательно, log ₁₂₅ 5 = 1/3 и log ₅ 125 = 3, и 1/3 действительно равно 1/3.

Сводка

Законы логарифмов были разбросаны по этому длинному страницу, поэтому было бы полезно собрать их в одном месте. Сделать этот еще более полезный, , связанный здесь также показаны законы экспонент.

Ради всего святого, не пытайтесь запомнить эту таблицу! Просто используйте это, чтобы по мере необходимости пробуждайте память. Еще лучше, поскольку журнал является экспонентой, используйте законы экспонентов, чтобы повторно получить любую собственность логарифмов, которые вы могли забыть. Таким образом, вы действительно получите владение этим материалом, и вы будете уверены в операции.

показателя степени	логарифма
(Все законы применяются для любых положительных значений a , b , x и y . )
x = b y такой же как y = журнал b x
b 0 = 1	журнал b 1 = 0
b 1 = b	журнал b b = 1
b (журнал b x ) = x	журнал b b x = x
b x b y = b x + y	журнал b ( x y ) = журнал b x + журнал b y
b x / b y = b x — y	журнал b ( x / y ) = журнал b x — журнал b y
( b x ) y = b x y	журнал b ( x y ) = y log b x
	(журнал a b ) (журнал b x ) = журнал a x
	журнал b x = (журнал a x ) / (журнал a b )
	журнал b a = 1 / (журнал a b )

Не изобретайте! Большинство вариантов выше не действительны.

Пример 18: журнал (5+ x ) не то же самое, что журнал 5 + журнал x . Как Вам известно, журнал 5 + журнал x = журнал (5 x ), а не журнал (5+ x ). Посмотрите внимательно на приведенную выше таблицу, и вы увидите что вы ничего не можете сделать, чтобы разделить журнал ( x + y ) или журнал ( x — y ).

Пример 19: (журнал x ) / (log y ) не то же самое, что log ( x / y ).В Фактически, когда вы делите два бревна на одну базу, вы обратная работа по формуле смены базы. Хотя это не часто полезно, (журнал x ) / (журнал y ) = журнал _y x . Только не пишите журнал ( x / y )!

Пример 20: (журнал 5) (журнал x ) не является то же, что и журнал (5 x ). Вы знаете, что журнал (5 x ) журнал 5 + журнал x . Вы действительно не можете много делать с произведением двух бревен, когда они имеют одинаковую основу. (Вы можете переписать продукт как журнал ( x ^{журнал 5} ), но это вряд ли попроще.)

См. Также: Объединение операций (распределительные законы)

Заключение

Ну вот и все: законы логарифмов демистифицировано! Общее правило состоит в том, что журналы просто отбрасывают операцию на один уровень вниз: показатели становятся множителями, деления становятся вычитания и так далее. Если вы не уверены в операции, например как сменить базу, работа это с помощью определения журнала и применяя законы экспонент, и вы не ошибетесь.

Что нового

• 7 декабря 2020 г. :
• 20/23 октября 2020 : страница преобразована из HTM 4.01 в HTML 5 и заменил устаревшие теги на CSS. К этому примеру добавлено небольшое предзнаменование.
• 17 августа 2015 г. : перемещено с OakRoadSystems.com на BrownMath.com.
• (промежуточные изменения подавлены)
• 11 января 1998 г . : адаптировать эту статью для Интернета
• 22 декабря 1997 г .: Опубликовать в alt.algebra.help.

Что такое логарифм?

РАЗДЕЛ 4.3. ЧТО ТАКОЕ ЛОГАРИФМ?

назад к Логарифмы, Страница 2

логарифмический Правила

Просто поскольку у экспонентов есть некоторые основные правила, которые упрощают манипулирование ими (см. Раздел 3: Показатели), как и логарифмы. Эти правила применяются со всеми логарифмами, включая логарифмы с основанием 10 и натуральные логарифмы. Для простоты в большинстве из них используются журналы с основанием десять. правила:

1.б ^г = a эквивалентно log _b a = r (Это это определение логарифма. )

2. журнал 0 это неопределенный.

3. журнал 1 = 0

4. журнал (P * Q) = журнал P + журнал Q

5. журнал (P / Q) = журнал P — журнал Q

6.бревно (P ^t ) = t * log P

7. 10 ^{(журнал а)} = a (в случае натуральных логарифмов e ^{(ln a)} = а)

8. журнал (10 ^r ) = r (в случае натуральных логарифмов ln e ^r = р)

9. журнал (1 / a) = -log a

Рассмотрим подробнее каждый этих правил:

1. б ^г = — это эквивалент log _b a = r . Мы уже посмотрели как это работает, но вот еще один пример:

журнал 14 ≈ 1,146

является эквивалентом

10 ^1,146 ≈ 14

2. журнал 0 не определено. Это ненастоящее число, потому что вы никогда не получите ноль, подняв что-нибудь во власти чего-либо еще. Вы никогда не сможете достичь нуля, вы можете подойти к нему, только используя бесконечно большой и отрицательный мощность.

3. журнал 1 = 0 означает, что логарифм 1 всегда равен нулю, независимо от основания логарифм есть.Это потому, что любое число, увеличенное до 0, равно 1. Следовательно, ln 1 = 0 также .

Все остальное логарифмическое правила полезны для решения сложных уравнений или уравнений с неизвестные.

в логарифмах, страница 4

Для подробнее об этом сайте свяжитесь с Distance Координатор по образованию.

Авторские права © 2004 г. Регентами Университета Миннесоты, равные возможности работодатель и педагог.