Раскрытие логарифмических уравнений

На предыдущем уроке из курса ВНО подготовки Вы познакомились с формулой раскрытия логарифмов
logaf(x)=c⇔f(x)=ac.
{x>0, x≠1, f(x)>0}
и ее частичными случаями:
логарифм основания равен единице
c=1⇔logaa=1⇔f(x)=a.
логарифм единицы равен нулю
c=1⇔loga1=0⇔f(x)=1.
Мы настолько часто пользуемся этими свойствами логарифмов, что после прочтения всех примеров Вы точно будете знать, где и для чего нужны эти формулы.

Курс подготовки ВНО состоит из 40 примеров от простых до сложных, так что по номеру примера Вы можете следить, какой класс задач решается. По мере углубления Вы будете знакомиться с новыми формулами и свойствами логарифмов, без которых уравнение невозможно решить.

Пример 16.7 Решить уравнение log2(x+1)-log2(x-1)=1 и указать промежуток, которому принадлежит его корень.

Решение: Выписываем ОДЗ:

По правилу, разницу логарифмов выражений заменяем логарифмом частки + логарифм основания равен единице, в результате опускаем логарифмы и приравниваем выражения:

x=3 – корень заданного уравнения, принадлежащий промежутку (2,9;3,1). 2 в результате логарифмирования обеих его частей.

Решение: ОДЗ: {x>0, x≠1}.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10.
При этом помните, что десятичный логарифм 10 равен 1

таким образом нашли уравнение, которое равносильно начальному.
(x1=1000 или x2=0,1).
Ответ: lg2(x)-2•lg(x)-3=0 – Д.

Пример 16.13 Указать уравнение, равносильное уравнению 2lgx2-lg2(-x)=4.

Решение: ОДЗ: -x>0, x<0.
Вынесем из под логарифма степень =2 и перегруппируем слагаемые

Это и есть все манипуляции, чтобы найти уравнение, которое равносильно заданному
2lgx2-lg2(-x)=4.
С помощью других преобразований Вы бы его не получили.
(x=-100).
Ответ: lg2(-x)-4•lg(-x)+4=0 – Г.

 

Пример 16.14 Решить уравнения
logalogblogcx=0.

Решение: ОДЗ: x>0.
Имеем три вложенные логарифмы, поэтому по свойствам добиваемся равных основ логарифмов справа и слева от знака равенства, и раскрываем уравнение за схемой

Такого плана задания в свое время были популярны на олимпиадах.
Ответ: cb – А.

 

Пример 16.15 Указать количество корней уравнения

А

Б

В

Г

Д

Четыре

три

два

один

ни одного

Решение: ОДЗ: x≠0.
Путем введения замены переменных уравнение сводим к квадратному, после вычисления которого решаем 2 простых логарифмических уравнения.
Подробные объяснения хода преобразований приведены в таблице

Все найденные значения (-8; -4; 4; 8) принадлежат ОДЗ, уравнение имеет четыре решения.
Ответ: Четыре – А.

 

Пример 16.24 Установить соответствие между уравнениями (1-4) и произведениями их корней (А–Д).

Решение: Все 4 варианта логарифмических уравнений сводим путем замены переменных к квадратным, после нахождения корней последних возвращаемся к замене и вычисляем простые уравнения с логарифмами. Так как в ответе нужно найти произведение корней, то условие ОДЗ допускает все значения.

Решение уравнений с логарифмами невозможно без знания их свойств. Обращайте внимание на подчеркивания в формулах, они даются не просто так, эти две формулы к концу занятий Вы должны выучить на память и поверьте, что у Вас это получится.
А сейчас переходите к новым готовым ответам с ВНО подготовки на логарифмические уравнения.

Логарифмические уравнения

Определение. Логарифмические уравнения — это уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

Например: log3 (3x — 2) = 4.

Решение логарифмических уравнений основывается на определении логарифма, свойствах логарифмической функции и свойствах логарифма

Основные методы решения логарифмических уравнений

  1. log a f(x) = b            f(x) = ab     a > 0, a ≠ 1.

  2. log f(x) g(x) = b   <=>   (f(x))b = g(x)f(x) > 0f(x) ≠ 1g(x) > 0

  3. log a f(x) = log a g(x)   <=>   f(x) = g(x)f(x) > 0   или   f(x) = g(x)g(x) > 0

  4. log f(x) g(x) = logf(x) h(x)   <=>   g(x) = h(x)f(x) > 0f(x) ≠ 1g(x) > 0   или   g(x) = h(x)f(x) > 0f(x) ≠ 1h(x) > 0

  5. loga f(x) + loga g(x) = loga h(x)   <=>   log a (f(x) g(x)) = log a h(x)f(x) > 0g(x) > 0h(x) > 0

  6. loga f(x) — loga g(x) = loga h(x)   <=>   log a f(x)g(x) = log a h(x)f(x) > 0g(x) > 0h(x) > 0

  7. n loga f(x) = loga h(x)   <=>   log a f(x)n = log a h(x)f(x) > 0h(x) > 0

  8. log a (f(x) g(x)) = log

    a |f(x)| + log a |g(x)|

    log af(x)g(x) = log a |f(x)| — log a |g(x)|

    log a (f(x))2n = 2n log a |f(x)|

Примеры решения логарифмических уравнений

1.

Использование определения логарифма

Пример 1.

Решить уравнение log27 x = 23.

Сначала найдем область допустимых значений уравнения (ОДЗ): x > 0

Преобразуем логарифмическое уравнение и выполним вычисления:

log27 x = 23   <=>   272/3 = x

x = 272/3 = (33)2/3 = 32 = 9

Ответ: x = 9.

Пример 2.

Решить уравнение log2 (x — 3) = 4.

Найдем ОДЗ уравнения: x — 3 > 0   =>   x > 3

Из определения логарифма получим:

x — 3 = 24 = 16

x = 16 + 3 = 19

Ответ: x = 19.

Пример 3.

Решить уравнение logx (2x2 — 3x — 4) = 2.

Найдем ОДЗ уравнения: x > 0x ≠ 12x2 — 3x — 4 > 0

Из определения логарифма получим:

x2 = 2x2 — 3x — 4   =>   x2 — 3x — 4 = 0

Используя теорему Виета легко найти корни уравнения x2 — 3x — 4 = 0

x1 = 4, x2

= -1

Выберем корни входящие в ОДЗ:

x1 = 4 — удовлетворяет всем условиям ОДЗ:

4 > 04 ≠ 12·42 — 3·4 — 4 = 32 — 12 — 4 = 16 > 0

x2 = -1 — не удовлетворяет первому условию из ОДЗ:

-1 < 0-1 ≠ 12·(-1)2 — 3·(-1) — 4 = 2 + 3 — 4 = 1 > 0

Ответ: x = 4.


2. Метод потенцирования

Пример 4.

Решить уравнение log3 (x2 — 4x — 5) = log3 (7 — 3x).

Найдем ОДЗ уравнения: x2 — 4x — 5 > 07 — 3x > 0

Заменим логарифмическое уравнение равносильным:

x2 — 4x — 5 = 7 — 3x

x2 — x — 12 = 0

Используя теорему Виета легко найти корни уравнения x2 — x — 12 = 0

x1 = 4, x2 = -3

Выберем корни входящие в ОДЗ:

x1 = 4 — не удовлетворяет условиям ОДЗ:

42 — 4·4 — 5 = -5 < 07 — 3·4 = -5 < 0

x2 = -3 — удовлетворяет условиям ОДЗ:

(-3)2 — 4·(-3) — 5 = 16 > 07 — 3·(-3) = 16 > 0

Ответ: x = -3.

Пример 5.

Решить уравнение lg (x — 9) + lg (2x — 1) = 2.

Найдем ОДЗ уравнения: x — 9 > 02x — 1 > 0   =>   x > 9x > 0.

5   =>   x ϵ (9; +∞)

Так как lg 100 = 2, то

lg (x — 9) + lg (2x — 1) = lg 100

Используем свойство, что сумма логарифмов равна логарифму произведения

lg (x — 9)(2x — 1) = lg 100

Заменим логарифмическое уравнение равносильным:

(x — 9)(2x — 1) = 100

2x2 — 19x + 9 = 100

2x2 — 19x — 91 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = 192 — 4·2·(-91) = 1089

x1 = 19 + √10892·2 = 19 + 334 = 13

x2 = 19 — √10892·2 = 19 — 334 = -3.5

ОДЗ удовлетворяет только один корень x = 13

Ответ: x = 13.


3. Метод замены переменной, сведение логарифмического уравнения к алгебраическому

Пример 6.

Решить уравнение 112lg2 x = 13 — 14lg x.

ОДЗ: x > 0.

Выполним замену переменной lg x = t:

112t2 = 13 — 14t

t2 = 4 — 3t

t2 + 3t — 4 = 0

Используя теорему Виета легко найти корни уравнения

t1 = -4

t2 = 1

Вернемся к переменной x

lg x = -4lg x = 1   =>   x = 10-4x = 10

Ответ: уравнение имеет два корня x1 = 0. 0001 и x2

= 10.


4. Сведение логарифмического уравнения к одной основе

Пример 7.

Решить уравнение log4 x + log1/16 x + log8 x3 = 5.

ОДЗ: x > 0.

Используя свойства логарифмов сведем логарифмы в уравнении к основе 2:

12log2 x — 14log2 x + log2 x = 5

(12 — 14 + 1)log2 x = 5

54log2 x = 5

log2 x = 4

x = 24 = 16

Ответ: x = 16.


5. Логарифмирование обоих частей уравнения

Пример 8.

Решить уравнение xlg x = 100x.

ОДЗ: x > 0.

Прологарифмируем обе части уравнения по основе 10, и используем свойства логарифма степени и частного:

lg xlg x = lg 100x

lg x · lg x = lg 100 — lg x

lg2 x + lg x — 2 = 0

Выполним замену переменной lg x = t:

t2 + x — 2 = 0

Используя теорему Виета легко найти корни уравнения

t1 = -2

t2 = 1

Вернемся к переменной x

lg x = -2lg x = 1   =>   x = 10-2x = 10

Ответ: уравнение имеет два корня x1 = 0. 01 и x2 = 10.


6. Использование монотонности при решении логарифмических уравнений

Пример 9.

Решить уравнение log5 (x + 3) = 3 — x.

ОДЗ: x > 0.

y = log5 (x + 3) — монотонно возрастающая функция;

y = 3 — x — монотонно убывающая функция;

Так как первая функция монотонно возрастающая, а вторая монотонно убывающая, то они имеют одну точку пересечения, которая будет решением исходного уравнения.

Подбором найдем решение:

При x = 2   =>   log5 (2 + 3) = 1; 3 — 2 = 1

Ответ: x = 2.

Логарифмы Логарифм числа, основное логарифмическое тождество Формулы и свойства логарифмов Логарифм произведения. Сумма логарифмов Логарифм частного. Разность логарифмов Логарифм степени Логарифм корня Логарифмирование Потенцирование Десятичный логарифм Натуральный логарифм Число е Логарифмическая функция Логарифмические уравнения Логарифмические неравенства

Решение логарифмических уравнений с помощью экспонент

Использование DefinitionCalculators и т. д.

Purplemath

Второй тип логарифмического уравнения требует использования Отношения:

—Отношения—

900 02 г = б х

……….. эквивалентно …………
(означает то же самое, что и)

log b ( y ) = x

В анимированной форме два уравнения связаны, как показано ниже:

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Решение логарифмических уравнений

Обратите внимание, что основание как в экспоненциальной форме уравнения, так и в логарифмической форме уравнения равно «b», но что x и y поменяйте сторону, когда вы переключаетесь между двумя уравнениями. Если вы помните, что независимо от того, что было аргументом журнала, оно становится «равным», а любое , если было «равным», становится показателем экспоненты, и наоборот, — тогда у вас не должно быть слишком много проблемы с решением логарифмических уравнений.

  • Журнал решения
    2 ( x ) = 4

Поскольку это уравнение имеет форму «логарифм (чего-то) равен числу», а не «логарифм (чего-то) равен журналу (чего-то другого)», я могу решить уравнение, используя отношение:

log 2 ( х ) = 4

2 4 = х

16 = х

  • Журнал решения
    2 (8) = x .

Я могу решить это, преобразовав логарифмическое выражение в его эквивалентную экспоненциальную форму, используя соотношение: = 8

Но 8 = 2 3 , поэтому я могу приравнять степени двойки:

2 x = 2 3

x = 3

Обратите внимание, что это также можно было решить, работая непосредственно с определением логарифма.

Какая мощность при значении «2» даст вам 8? Мощность 3, конечно!

Если вы хотите уделить себе много работы, вы также можете сделать это в своем калькуляторе, используя формулу изменения основания:

log 2 (8) = ln(8) / ln(2 )

Вставьте это в свой калькулятор, и вы получите «3» в качестве ответа. Хотя этот метод смены базы не особенно полезен в данном случае, вы можете видеть, что он работает. (Попробуйте это на своем калькуляторе, если вы еще этого не сделали, чтобы быть уверенным, что знаете, какие клавиши нажимать и в каком порядке.) Эта техника понадобится вам в последующих задачах.

Я не говорю, что вы обязательно захотите, чтобы решала уравнения, используя формулу замены основания, всегда используя определение бревен или любой другой конкретный метод. Но я предлагаю вам убедиться, что вы знакомы с различными методами, и что вы не должны паниковать, если вы и ваш друг использовали совершенно различных методов для решения одного и того же уравнения.

Я пока ничего не могу сделать с этим уравнением, потому что у меня еще нет его в форме «логарифм (чего-то) равен числу». Поэтому мне нужно использовать правила журнала, чтобы объединить два члена в левой части уравнения:

log 2 ( x ) + log 2 ( x − 2) = 3

log 2 [( x )( x — 2)] = 3

log 2 ( x 2 − 2 x ) = 3

Теперь уравнение удобно организовано. В этот момент я могу использовать Отношения, чтобы преобразовать логарифмическую форму уравнения в соответствующую экспоненциальную форму, а затем я могу решить результат:

log 2 ( х 2 — 2 х ) = 3

2 3 = х 2 — 2 х 90 003

8 = х 2 − 2 х

0 = x 2 — 2 x — 8

0 = ( x — 4)( x + 2)

x 9001 4 = 4, −2

Но если x = −2, то «log 2 ( x )» из исходного логарифмического уравнения будет иметь отрицательное число в качестве аргумента (как и термин «log 2 ( x − 2)»). Поскольку журналы не могут иметь нулевых или отрицательных аргументов, то решение исходного уравнения не может быть x  = −2.

Тогда мое решение:

x = 4

Имейте в виду, что вы всегда можете проверить свои ответы на любое «решающее» упражнение, подставив эти ответы обратно в исходное уравнение и проверив, что решение «работает». В этом случае я подставлю значение своего решения в любую часть исходного уравнения и убедитесь, что каждая сторона дает одно и то же число:

левая сторона:

log 2 ( x ) + log 2 ( x − 2)

= log 2 (4) + лог 2 (4 − 2 )3

= лог 2 (4) + лог 2 (2)

= лог 2 (2 2 ) + лог 2 (2 9001 5 1 )

= 2 + 1 = 3

Правая часть исходного уравнения уже была упрощена до «3», так что это решение соответствует действительности.

Это уравнение может показаться слишком сложным, но это просто еще одно логарифмическое уравнение. Чтобы решить эту проблему, мне нужно дважды применить Отношения. Я начинаю с исходного уравнения и работаю с «внешним» журналом:

log 2 (log 2 ( x )) = 1

Отношение преобразует приведенное выше в:

2 1 = log 2 ( x )

2 = log 2 ( x )

Теперь я применю соотношение во второй раз:

х = 2 2

х = 4

Тогда решение:

х = 4

9 0049

Во-первых, я расширю квадрат справа, чтобы он явный продукт двух журналов:

log 2 ( x 2 ) = [log 2 ( x )] 2

90 002 журнал 2 ( x 2 ) = [логарифм 2 ( x )] [логарифм 2 ( x )]

Затем я применю правило логарифма, чтобы переместить «квадрат» из бревна в левую часть уравнения, вынеся его перед этим бревном в качестве множителя:

2·log 2 ( x ) = [log 2 ( x )] [log 2 ( x )]

9 0002 Тогда я перенесу этот термин слева часть уравнения в правую часть:

0 = [log 2 ( x )] [log 2 ( x )] − 2·log 2 ( x )

Это уравнение может выглядеть плохо, но присмотритесь внимательно. На данный момент это не более чем упражнение по факторингу. Итак, я факторизую, а затем решу множители с помощью отношения:

0 = [log 2 ( x )] [log 2 ( x ) − 2]

log 2 ( x ) = 0 или log 2 ( x ) − 2 = 0

2 0 = x или log 2 ( x ) = 2

1 = x или 2 2 = x

1 = x или 4 = x

Тогда мое решение :

x = 1, 4

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении логарифмических уравнений (или пропустить виджет и продолжить урок). Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.

Пожалуйста, примите куки-файлы настроек, чтобы включить этот виджет.

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления. )

Страница 1Страница 3

Основная идея и правила для логарифмов

Основная идея

Логарифм противоположен степени. Другими словами, если мы возьмем логарифм числа, мы отменим возведение в степень. 9к=с$$ для любого заданного числа $c$. Другими словами, логарифм дает показатель степени в качестве вывода, если вы даете ему результат возведения в степень в качестве ввода. Чтобы получить все ответы на приведенные выше задачи, нам просто нужно логарифмировать результат возведения в степень $c$, и это даст правильный показатель степени $k$ от $2$. Решением вышеперечисленных проблем являются: \начать{выравнивать*} \log_2 8 &= 3\\ \log_2 4 &=2\\ \log_2 16 &= 4\\ \log_2 1 &=0 \конец{выравнивание*} 9к = с \label{натуральный логб} \конец{собрать} для любого числа $c$. Поскольку использование базы $e$ так естественно для математиков, они иногда просто используют обозначение $\log x$ вместо $\ln x$. Однако другие могут использовать обозначение $\log x$ для логарифма по основанию 10, т.