Квадратные уравнения примеры для тренировки: Упражнения. Квадратные уравнения.

Три полезных лайфхака, как решать квадратные уравнения быстрее, чем через дискриминант

Я им такую классную теорему придумал,
а они решают через дискриминант :-(((
(с) Франсуа Виет “Несуществующие высказывания”

Формула корней, или длинный способ

Всем, кто хотя бы мало-мальски присутствовал на уроках математики в 8 классе, известна формула корней квадратного уравнения. Решение по формуле корней часто называют в простонародье “решением через дискриминант”. Напомним вкратце формулу корней.

---

[Вы можете также просмотреть содержание этой статьи в видеоформате]

---

Квадратное уравнение имеет вид ax²+bx+c = 0, где a, b, c – некоторые числа. Например, в уравнении 2x² + 3x – 5 = 0 эти числа равны: a = 2, b = 3. c = -5. Прежде, чем решать любое квадратное уравнение, нужно “увидеть” эти числа и понять, чему они равны.

Далее считают так называемый дискриминант по формуле D=b^2-4ac. В нашем случае D = 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49. Затем из дискриминанта извлекают корень: \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7.

После того, как вычислили дискриминант, применяют формулу корней: x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}; x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} :

x_1=\frac{-3-7}{2 \cdot 2}=\frac{-10}{4}=-2,5
x_2= \frac{-3+7}{2 \cdot 2}=\frac{4}{4}=1

И таким образом, уравнение решено. Оно имеет два корня: 1 и -2,5.

Но это уравнение, как и множество других предлагаемых в школьных учебниках/задачниках, можно было решить гораздо более быстрым способом, если знать пару-тройку лайфхаков. И речь не только о теореме Виета, хотя и она является полезным инструментом.

Лайфхак первый. Если a + b + c = 0, то x_1=1, x_2=\frac{c}{a}.

Он применяется только в том случае, если в квадратном уравнении все три коэффициента a, b, c при сложении дают 0. Например, у нас было уравнение 2x² + 3x – 5 = 0. Сложив все три коэффициента, получим 2 + 3 – 5, что равно 0. В этом случае можно не считать дискриминант и не применять формулу корней. Вместо этого можно сразу написать, что

x_1=1,
x_2=\frac{c}{a}=\frac{-5}{2}=-2,5

(заметьте, что тот же результат мы получили в формуле корней).

Часто спрашивают, всегда ли будет получаться x_1=1? Да, всегда, когда a + b + c = 0.

Лайфхак второй. Если a + c = b, то x_1=-1, x_2=-\frac{c}{a}.

Пусть дано уравнение 5x² + 6x + 1 = 0. В нём a = 5, b = 6, c = 1. Если сложить “крайние” коэффициенты a и c, получим 5+1 = 6, что как раз равно “среднему” коэффициенту b. Значит, можем обойтись без дискриминанта! Сразу же записываем:

x_1=-1,
x_2=-\frac{c}{a}=\frac{-1}{5}=-0,2

Лайфхак третий (теорема, обратная теореме Виета). Если a = 1, то \begin{cases} x_1+x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end{cases}

Рассмотрим уравнение x² – 12x + 35 = 0. В нём a = 1, b = -12, c = 35. Ни под первый, ни под второй лайфхак оно не подходит – условия не соблюдаются. Если бы оно подходило под первый или под второй, то мы бы обошлись без теоремы Виета.

Само использование теоремы Виета подразумевает понимание некоторых полезных приёмов.

Первый приём. Не стоит стесняться записывать саму систему вида \begin{cases} x_1+x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end{cases} , которая получается при использовании теоремы Виета. Не нужно пытаться во что бы ты ни стало решить уравнение абсолютно устно, без письменных пометок, как это делают “продвинутые пользователи”.

Для нашего уравнения x² – 12x + 35 = 0 эта система имеет вид

\begin{cases} x_1+x_2 = 12 \\ x_1 \cdot x_2 = 35 \end{cases}

Теперь нам нужно устно подобрать числа x_1 и x_2 , которые удовлетворяют нашей системе, т.е. в сумме дают 12, а при умножении 35.

Так вот, второй приём заключается в том, что начинать подбор нужно не с суммы, а с произведения. Посмотрим на второе уравнение системы и зададимся вопросом: какие числа при умножении дают 35? Если всё в порядке с таблицей умножения, то сразу приходит на ум ответ: 7 и 5. И только теперь подставим эти числа в первое уравнение: будем иметь 7 + 5 = 12, что является верным равенством. Итак, числа 7 и 5 удовлетворяют обоим уравнениям, поэтому мы сразу пишем:

x_1 = 7, x_2 = 5

Третий приём заключается в том, что если числа не удаётся подобрать быстро (в течение 15-20 секунд), то вне зависимости от причины нужно считать дискриминант и использовать формулу корней. Почему? Потому что корни могут не подбираться, если уравнение их вообще не имеет (дискриминант отрицательный), или же корни представляют собой числа, не являющиеся целыми.

Тренировочные упражнения по решению квадратных уравнений

Попрактикуйтесь! Попробуйте решить следующие уравнения. На каждое уравнение смотрите в следующей последовательности:

• если уравнение подходит под первый лайфхак (когда a + b + c = 0), то решаем с его помощью;
• если уравнение подходит под второй лайфхак (когда a + c = b), то решаем с его помощью;
• если уравнение подходит под третий лайфхак (теорему Виета), решаем с его помощью;
• и только в самом крайнем случае – если ничего не подошло и/или с помощью теоремы Виета решить не получилось – считаем дискриминант. Еще раз: дискриминант – в самую последнюю очередь!

1. Решите уравнение x² + 3x + 2 = 0

   Просмотреть решение и ответ

   См. лайфхак второй
   В данном уравнении a = 1, b = 3, c = 2. Таким образом, a + c = b, откуда x_1=-1, x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{2}{1}=-2.
   Ответ: -1, -2.

2. Решите уравнение x² + 8x – 9 = 0

   Просмотреть решение и ответ

   См. лайфхак первый
   В данном уравнении a = 1, b = 8, c = -9. Таким образом, a + b + c = 0, откуда x_1=1, x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-9}{1}=-9.
   Ответ: 1, -9.

3. Решите уравнение 15x² – 11x + 2 = 0

   Просмотреть решение и ответ

   Данное уравнение (единственное из всего списка) не попадает ни под один из лайфхаков, поэтому решать его будем по формуле корней:
   D=b^2-4ac = (-11)^2 – 4 \cdot 15 \cdot 2 = 121 – 120 = 1.x_1=\frac{11-1}{2 \cdot 15}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}x_2= \frac{11+1}{2 \cdot 15}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}Ответ: \frac{1}{3}, \frac{2}{5}.
   

4. Решите уравнение x² + 9x + 20 = 0

   Просмотреть решение и ответ

   См. лайфхак третий (теорема Виета)
   В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = -9 \\ x_1 \cdot x_2 = 20 \end{cases}
   Подбором устанавливаем, что x_1 = -4, x_2 = -5.
   Ответ: -4, -5.
   

5. Решите уравнение x² – 7x – 30 = 0

   Просмотреть решение и ответ

   См. лайфхак третий (теорема Виета)
   В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 7 \\ x_1 \cdot x_2 = -30 \end{cases}
   Подбором устанавливаем, что x_1 = 10, x_2 = -3.
   Ответ: 10, -3.

6. Решите уравнение x² – 19x + 18 = 0

   Просмотреть решение и ответ

   См. лайфхак первый
   В данном уравнении a = 1, b = -19, c = 18. Таким образом, a + b + c = 0, откуда x_1=1, x_2 = \frac{c}{a} = \frac{18}{1}=18.
   Ответ: 1, 18.

7. Решите уравнение x² + 7x + 6 = 0

   Просмотреть решение и ответ

   См. лайфхак второй
   В данном уравнении a = 1, b = 7, c = 6. Таким образом, a + c = b, откуда x_1=-1, x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{6}{1}=-6.
   Ответ: -1, -6.

8. Решите уравнение x² – 8x + 12 = 0

   Просмотреть решение и ответ

   См. лайфхак третий (теорема Виета)
   В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = 12 \end{cases}
   Подбором устанавливаем, что x_1 = 6, x_2 = 2.
   Ответ: 6, 2.

9. Решите уравнение x² – x – 6 = 0

   Просмотреть решение и ответ

   См. лайфхак третий (теорема Виета)
   В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases}
   Подбором устанавливаем, что x_1 = 3, x_2 = -2.
   Ответ: 3, -2.

10. Решите уравнение x² – 15x – 16 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак второй
    В данном уравнении a = 1, b = -15, c = -16. Таким образом, a + c = b, откуда x_1=-1, x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{-16}{1}=16.
    Ответ: -1, 16.

11. Решите уравнение x² + 11x – 12 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак первый
    В данном уравнении a = 1, b = 11, c = -12. Таким образом, a + b + c = 0, откуда x_1=1, x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-12}{1}=-12.
    Ответ: 1, -12.

Квадратные уравнения, примеры решений

Теория по квадратным уравнениям

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Квадратным уравнением называется уравнение вида , где .

Возможны такие случаи:

, тогда имеем квадратное уравнение вида и .

, тогда имеем квадратное уравнение вида , если ; если – корней нет.

, тогда имеем квадратное уравнение вида .

, тогда имеем полное квадратное уравнение , которое решается или с помощью дискриминанта:

   

Или по теореме Виета:

   

Примеры

ПРИМЕР 1

Задание	Решить следующие неполные квадратные уравнения
Решение	1) В уравнении вынесем за скобки . Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю, следовательно:     или     2) В уравнении перенесем свободный член вправо и раздели его на коэффициент при :     3) В уравнении перенесем свободный член вправо и раздели его на коэффициент при :     У данного квадратного уравнения нет корней. 4) уравнение равносильно уравнению , которое имеет два совпадающих корня .
Ответ	Корней нет

ПРИМЕР 2

Задание	Решить квадратное уравнение
Решение	Подсчитаем для заданного уравнения, чему равен дискриминант:     Так как , то уравнение имеет два совпадающих корня:
Ответ

ПРИМЕР 3

Задание	Решить уравнение
Решение	Вычислим дискриминант для исходного уравнения, получим:     Так как , данное уравнение решений не имеет.
Ответ	Корней нет.

ПРИМЕР 4

Задание	Решить квадратное уравнение
Решение	Дискриминант заданного уравнения, равен     Следовательно, уравнение имеет два различных корня
Ответ

ПРИМЕР 5

Задание	Решить уравнение, используя теорему Виета:
Решение	Пусть и – корни квадратного уравнения, по следствию из теоремы Виета     Проанализируем полученные равенства. Произведение корней отрицательно, следовательно, корни имеют разные знаки. Разложим –12 на множители, учитывая, что они должны быть числами разного знака. Возможны такие варианты: –12 и 1; 12 и –1; –6 и 2; 6 и –2; –4 и 3; 4 и –3. Так как сумма корней равна 1, то корнями будут числа и .
Ответ

квадратичных уравнений

Пример квадратного уравнения :

Квадратные уравнения создают хорошие кривые, как этот:

Имя

Название Quadratic происходит от «квад», означающего квадрат, потому что переменная получает квадрат (например, x ² ).

Это также называется «уравнение степени 2» (из-за «2» на x )

Стандартная форма

Стандартная форма квадратного уравнения выглядит следующим образом:

• a , b и c являются известными значениями. a не может быть 0.

• « x » — это переменная , или неизвестно (мы пока не знаем).

Вот несколько примеров:

2x 2 + 5x + 3 = 0		В этом a = 2 , b = 5 и c = 3
x 2 — 3x = 0		Это немного сложнее: Где ? Ну a = 1 , так как мы обычно не пишем «1x 2 » b = −3 А где с ? Скважина c = 0 , поэтому не показана.
5x — 3 = 0		Ой! Это , а не квадратное уравнение: оно отсутствует x 2 (другими словами a = 0 , что означает, что оно не может быть квадратичным)

поиграй с ним

Поиграйте в «Исследователь квадратичных уравнений», чтобы увидеть:

• график, который он делает, и
• решений (называемых «корнями»).

Скрытые квадратные уравнения!

Как мы видели ранее, стандартная форма квадратного уравнения равна

Но иногда квадратное уравнение выглядит не так!

Например:

замаскированный		В стандартной форме	а, б и в
x 2 = 3x — 1	Переместить все термины в левую часть	x 2 — 3x + 1 = 0	a = 1, b = −3, c = 1
2 (Вт 2 — 2 Вт) = 5	Расширить (отменить скобки), и переместить 5 влево	2 Вт 2 — 4 Вт — 5 = 0	a = 2, b = −4, c = −5
z (z − 1) = 3	Разверните и переместите 3 влево	z 2 — z — 3 = 0	a = 1, b = −1, c = −3

Как их решить?

«Решения » для квадратного уравнения — это где равно нулю .

Их также называют « корни », или иногда « нули »

Обычно есть 2 решения (как показано на этом графике).

И есть несколько способов найти решение:

Или мы можем использовать специальную квадратичную формулу :

Просто подключите значения a, b и c и выполните расчеты.

Мы рассмотрим этот метод более подробно сейчас.

О квадратичной формуле

Плюс / Минус

Прежде всего, что это за плюс / минус, что выглядит как ±?

± означает, что есть ДВА ответа:

x = −b + √ (b ² — 4ac) 2a

x = −b — √ (b ² — 4ac) 2a

Вот пример с двумя ответами:

Но так не всегда получается!

• Представьте, что кривая «просто касается» оси X.
• Или представьте, что кривая настолько высока, что и даже не пересекают ось X!

Здесь «Дискриминант» помогает нам …

Дискриминант

Видите ли вы b ² — 4ac в формуле выше? Он называется Discriminant , потому что он может «различать» возможные типы ответа:

• , когда b ² — 4ac положительно, мы получаем два реальных решения
• , когда он равен нулю, мы получаем ОДНО реальное решение (оба ответа одинаковы)
• , когда оно отрицательное, мы получаем пару комплексных решений

Комплексные решения? Давайте поговорим о них после того, как посмотрим, как использовать формулу.

Использование квадратичной формулы

Просто поместите значения a, b и c в квадратную формулу и выполните вычисления.

Пример: Решить 5x ² + 6x + 1 = 0

Коэффициенты: а = 5, б = 6, с = 1

Квадратичная формула: x = −b ± √ (b ² — 4ac) 2а

Положите в a, b и c: x = −6 ± √ (6 ² — 4 × 5 × 1) 2 × 5

Решить: х = −6 ± √ (36 — 20) 10

х = −6 ± √ (16) 10

х = −6 ± 4 10

x = −0.2 или −1

Ответ: x = −0.2 или x = −1

И мы видим их на этом графике.

Чек -0,2 :		5 × ( −0,2 ) 2 + 6 × ( −0,2 ) + 1 = 5 × (0,04) + 6 × (–0,2) + 1 = 0,2 — 1,2 + 1 = 0
Чек -1 :		5 × ( -1 ) 2 + 6 × ( -1 ) + 1 = 5 × (1) + 6 × (-1) + 1 = 5 — 6 + 1 = 0

Вспоминая Формулу

Добрая читательница предложила спеть ее для «Pop Goes the Weasel»:

♫	«x равно минус b		♫	«Все вокруг куста шелковицы
	плюс или минус квадратный корень			Обезьяна преследовала ласку
	б-квадрат минус четыре а с			Обезьяна подумала, что все в порядке
	ВСЕ более двух «			Поп! идет ласка «

Попробуйте спеть его несколько раз, и он застрянет у вас в голове!

Или вы можете вспомнить эту историю:

х = −b ± √ (b ² — 4ac) 2а

«Отрицательный мальчик думал о да или нет о том, чтобы пойти на вечеринку,
на вечеринке, с которой он разговаривал с квадратным парнем, но не с 4-мя удивительными цыпочками.
Все закончилось в 2 часа ночи. «

Комплексные решения?

Когда дискриминант (значение b ² — 4ac ) отрицателен, мы получаем пару комплексных решений … что это значит?

Это означает, что наш ответ будет включать в себя мнимые числа. Вот Это Да!

Пример: Решить 5x ² + 2x + 1 = 0

Коэффициенты : : a = 5, b = 2, c = 1

Обратите внимание, что дискриминант является отрицательным: b ² — 4ac = 2 ² — 4 × 5 × 1
= −16

Используйте квадратичную формулу : x = -2 ± √ (−16) 10

√ (−16) = 4 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: х = -2 ± 4 i 10

Ответ: x = −0.2 ± 0,4 i

График не пересекает ось X. Вот почему мы получили комплексные числа.

В некотором смысле это проще: нам не нужно больше вычислений, просто оставьте это как -0,2 ± 0,4 i .

Пример: Решить x ² — 4x + 6,25 = 0

Коэффициенты : : a = 1, b = −4, c = 6.25

Обратите внимание, что дискриминант отрицателен: b ² — 4ac = (−4) ² — 4 × 1 × 6.25
= −9

Используйте квадратичную формулу : x = — (- 4) ± √ (−9) 2

√ (−9) = 3 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: x = 4 ± 3 i 2

Ответ: x = 2 ± 1,5 i

График не пересекает ось X.Вот почему мы получили комплексные числа.

, НО перевернутое зеркальное изображение нашего уравнения пересекает ось X при 2 ± 1,5 (примечание: отсутствует i ).

Просто интересный факт для вас!

Резюме

• Квадратичное уравнение в стандартной форме: топор ² + bx + c = 0
• Квадратичные уравнения могут быть учтены
• Квадратичная формула: x = −b ± √ (b ² — 4ac) 2а
• Когда дискриминант ( b ² −4ac ) равен:
  • положительных, есть 2 реальных решения
  • ноль, есть одно реальное решение
  • минус, есть 2 комплексных решения

,

BioMath: квадратичные функции

В этом разделе мы узнаем, как найти корень (и) квадратного уравнения. Корни также называются x — перехватами или нулями. Квадратичная функция графически представлена ​​параболой с вершиной, расположенной в начале координат, ниже оси x или выше оси x . Следовательно, квадратичная функция может иметь один, два или нулевые корни.

Когда нас просят решить квадратное уравнение, нас действительно просят найти корни.Мы уже видели, что заполнение квадрата является полезным методом для решения квадратных уравнений. Этот метод может быть использован для получения квадратной формулы, которая используется для решения квадратных уравнений. На самом деле, корни функции,

f ( x ) = топор ² + bx + c

задаются квадратичной формулой. Корни функции — это x -приятия. По определению, координата точек и , лежащих на оси x , равна нулю.Поэтому, чтобы найти корни квадратичной функции, мы устанавливаем f ( x ) = 0 и решаем уравнение

топор ² + bx + c = 0.

Мы можем сделать это, заполнив квадрат как,

Решение для x и упрощение,

Таким образом, корни квадратичной функции задаются,

Эта формула называется квадратной формулой , и ее деривация включена, чтобы вы могли видеть, откуда она взялась.Мы называем термин b ² -4 ac дискриминантом . Дискриминант важен, потому что он говорит вам, сколько корней имеет квадратичная функция. В частности, если

1. b 2 −4 ac <0 Нет реальных корней. 2. b 2 −4 ac = 0 Существует один настоящий корень. 3. b 2 −4 ac > 0 Есть два реальных корня.

Мы рассмотрим каждый случай индивидуально.

Случай 1: Нет настоящих корней

Если дискриминант квадратичной функции меньше нуля, эта функция не имеет реальных корней, и представляемая ею парабола не пересекает ось x . Поскольку квадратичная формула требует получения квадратного корня дискриминанта, отрицательный дискриминант создает проблему, поскольку квадратный корень отрицательного числа не определен над действительной линией.Примером квадратичной функции без реальных корней является

f ( x ) = x ² — 3 x + 4.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) отрицателен,

b ² −4 ac = (−3) ² — 4 · 1 · 4 = 9 — 16 = −7.

Эта функция графически представлена ​​параболой, которая открывается вверх, вершина которой лежит над осью X.Таким образом, график никогда не может пересекать ось x и не имеет корней, как показано ниже,

Случай 2: один настоящий корень

Если дискриминант квадратичной функции равен нулю, эта функция имеет ровно один действительный корень и пересекает ось x в одной точке. Чтобы увидеть это, мы устанавливаем b ² −4 ac = 0 в квадратной формуле, чтобы получить,

Обратите внимание, что это x -координата вершины параболы.Таким образом, парабола имеет ровно один действительный корень, когда вершина параболы лежит прямо на оси x . Простейшим примером квадратичной функции, имеющей только один действительный корень, является

.

у = x ² ,

, где реальный корень равен x = 0.

Другой пример квадратичной функции с одним действительным корнем —

f ( x ) = −4 x ² + 12 x — 9.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) равен нулю,

b ² −4 ac = (12) ² — 4 · −4 · −9 = 144 — 144 = 0.

Эта функция графически представлена ​​параболой, которая открывается вниз и имеет вершину (3/2, 0), лежащую на оси x . Таким образом, график пересекает ось x ровно в одной точке (то есть имеет один корень), как показано ниже,

Случай 3: Два настоящих корня

Если дискриминант квадратичной функции больше нуля, эта функция имеет два действительных корня ( x -интекреты).Взятие квадратного корня из положительного действительного числа хорошо определено, и два корня задаются как

Пример квадратичной функции с двумя действительными корнями дает

f ( x ) = 2 x ² — 11 x + 5.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) больше нуля,

b ² — 4 ac = (−11) ² — 4 · 2 · 5 = 121 — 40 = 81.

Эта функция графически представлена ​​параболой, которая открывается вверх, вершина которой лежит ниже оси x . Таким образом, график должен пересекать ось x в двух местах (т.е. имеет два корня), как показано ниже,

*****

В следующем разделе мы будем использовать квадратную формулу для решения квадратных уравнений.

Решение квадратичных уравнений

,

Что такое квадратные уравнения? | Живая наука

В математике квадратичный тип представляет собой тип задачи, которая касается умноженной на себя переменной — операции, известной как возведение в квадрат. Этот язык происходит от площади квадрата, умноженного на его длину стороны. Слово «квадратичный» происходит от квадрата , латинского слова для квадрата.

Квадратичные уравнения характеризуют множество явлений в реальном мире, таких как, когда приземлится ракетный корабль, сколько стоит зарядить продукт или сколько времени потребуется человеку, чтобы грести вверх и вниз по реке.Из-за их широкого разнообразия применений квадратики имеют глубокое историческое значение и были основополагающими для истории алгебры.

Потоки воды из фонтана образуют параболы. (Фото предоставлено Matej Kastelic Shutterstock)

Парабола

Математика квадратиков неразрывно связана с U-образной кривой, известной как парабола. Возможно, самый знакомый пример — поток воды, который стреляет из питьевого фонтана. Есть много других примеров, таких как поперечное сечение спутниковой антенны или кабели на подвесном мосту.

Парабола была важной формой для многих математиков древней Греции, таких как Евклид Александрийский (~ 300 до н.э.), Архимед Сиракузский (287-212 до н.э.), Аполлоний Пергский (262-190 до н.э.) и Паппус Александрийский ( 290-350 гг. Н.э.) Эти ученые отметили ряд математических свойств, присущих параболам:

1. Парабола — это набор точек, одинаково удаленных от точки (фокус ) и линии (директория ). Правильно названный фокус важен в ряде современных инженерных приложений, так как это точка на параболической антенне, где отражаются входящие волны, будь то радиоволны (как в спутниковой антенне), свет (как в концентрирующейся солнечной решетке) или звук (как в параболическом микрофоне).

Каждая точка на параболе равноудалена от определенной точки и линии. Все входящие волны отражаются в фокусе. (Фото предоставлено: Robert Coolman)

2. Параболу также создают путем разрезания конуса параллельно наклону боковых сторон конуса. Из-за этого параболы находятся в наборе математических кривых, называемых конических сечений . Спустя почти 2000 лет после этого открытия Леонардо да Винчи (A.D. 1452-1519) в своем исследовании параболических «горящих зеркал» понял это свойство и разработал компас, который мог рисовать параболы.

Плоскость, пересекающая конус, образует параболу. (Фото предоставлено: Robert Coolman)

3. Изменения высоты параболы пропорциональны изменениям квадрата ширины этой параболы. Например, если парабола имеет высоту в одну единицу, когда она имеет ширину в одну единицу, она будет иметь высоту в девять (три квадрата), когда ее ширина составляет три единицы. Именно из этого свойства Аполлоний получил слово «парабола» из параболы, — греческого слова «применение», в том смысле, что ширина «применяется к» (умножается на) сама.Это свойство, которое связывает форму параболы с математическим понятием квадратичной.

Хотя параболы вездесущи, важно отметить, что они отличаются от других U-образных кривых, таких как подвесная цепь (цепная), путь ребенка на качелях (круговая дуга), дуга от вертикального фонарика, падающего на стену (гипербола) или гребень вида сбоку пружины (синусоида). Эти другие кривые не имеют ранее упомянутых свойств парабол.

Для параболы высотой в одну единицу, где она имеет ширину в одну единицу, она будет иметь высоту в девять (три квадрата), а в ширину — три единицы. Эта парабола была повернута вправо, чтобы она поместилась на странице. (Фото предоставлено: Robert Coolman)

Движение снаряда

Связь между параболами и математикой квадратиков имела большое значение в 16 веке н.э., когда ученые европейского Ренессанса заметили, что такие снаряды, как пушечные ядра и минометы, движутся по параболическим траекториям.Многие известные ученые той эпохи, в том числе Леонардо да Винчи и Галилео Галилей (1564-1642), изучали движение снарядов. По словам Джозефа У. Даубена, профессора истории в Городском университете Нью-Йорка (CUNY), поскольку художники эпохи Возрождения стали одержимы точным изображением реальности в искусстве , Галилей также увлекся точным изображением реальности с использованием математика . В 1638 году Галилей опубликовал первое доказательство того, что равномерное ускорение от силы тяжести Земли заставит снаряды двигаться по параболическим траекториям.То, что математика может быть использована для описания движения, было ключом к прогрессу научной революции.

Графики квадратиков

Примерно в то же время, когда Галилей, французский философ и математик Рене Декарт (1596-1650) опубликовал «La Géométrie» (1637), в которой описан метод построения алгебраических уравнений в области, называемой аналитической геометрией. Разновидность его методов все еще используется сегодня. Как показано ниже, график квадратного уравнения является параболой.

График квадратного уравнения образует параболу.Техника построения графиков, применяемая сегодня, основана на работах Рене Декарта. (Фото предоставлено: Robert Coolman)

Древний квадратик: золотое сечение

Чтобы понять метод квадратичного решения, который сегодня используют математики, ученые и инженеры, давайте рассмотрим древнюю математическую проблему: золотое сечение. Кроме того, в «Заблуждениях о золотом сечении» (1992) Джордж Марковский, профессор математики в университете штата Мэн, указал, что историческое значение золотого сечения и эстетическая привлекательность часто преувеличиваются, хотя это правда, что соотношение появляется часто в теории чисел (параллельно с последовательностью & Fibonacci), геометрии (например, в икосаэдре) и биологии (например, угол между листьями растения).

Один метод определения золотого сечения сформулирован таким образом:

Найти прямоугольник с длиной и шириной, чтобы при отрезании квадрата от одного конца прямоугольника оставшийся прямоугольник с ломом имел ту же форму или «соотношение сторон». «как исходный прямоугольник (но повернутый под прямым углом).

В то время как древние греки решили эту проблему с помощью геометрии, мы будем использовать алгебру, как ее учат сегодня.

Использование алгебры для определения значения золотого сечения.(Фото предоставлено Робертом Кулманом).

Чтобы определить, какая длина и ширина создадут золотое сечение, мы даем короткой стороне длину 1, а длинной стороне длину х. Поскольку соотношение сторон определяется как длинная сторона, разделенная на короткую сторону, соотношение сторон для этого прямоугольника равно x / 1 или просто x. Если мы отрежем квадрат от этого прямоугольника, оставшийся лом будет иметь длину длинной стороны 1 и длину короткой стороны x — 1. Таким образом, соотношение сторон равно 1 / (x — 1). Понимая, что соотношение сторон для всего прямоугольника и меньшего прямоугольника лома должно быть одинаковым, наше уравнение равно x = 1 / (x — 1).

Квадратичная формула

Вот как ученики получают инструкции для решения этого уравнения сегодня. Начните с уравнения:

x = 1 / (x — 1)

Умножьте каждую часть уравнения на выражение x — 1:

x · (x — 1) = 1

Распределите x по выражению x — 1:

x · x — x · 1 = 1

Переменная x, умноженная на себя, записывается как x². Этот квадрат является тем, что делает уравнение квадратичным:

x² — x = 1

Теперь мы вычитаем 1 из каждой стороны уравнения, чтобы получить то, что известно как стандартная форма квадратного уравнения:

x² — x — 1 = 0

Эквивалентно, это можно записать в виде:

(1) · x² + (-1) · x + (-1) = 0

При сравнении с уравнением a · x² + b · x + c = 0, это дает значения a = 1, b = -1 и c = -1.Эти значения используются в квадратной формуле как

Современная символическая форма квадратного уравнения. (Изображение предоставлено: Robert Coolman)

Символ «±» означает «плюс или минус». Из-за этого квадратная формула всегда дает два решения. Подставьте любое из этих значений в уравнение x = 1 / (x — 1), чтобы проверить, приводит ли это к тому, что обе стороны уравнения получаются одинаковыми. Это означает, что метод работал. Обратите внимание, что эти значения также являются местами, в которых график стандартной формы уравнения (y = x² — x — 1) пересекает ось X, где y = 0 (см. График выше).В этом случае положительное значение имеет большее физическое значение, потому что прямоугольник не должен иметь отрицательную ширину.

Древнее вавилонское происхождение

Чтобы дать некоторое представление о том, откуда взялась квадратичная формула и почему она работает, давайте рассмотрим процедуру, использованную на древней вавилонской глиняной табличке примерно с 1800 года до нашей эры. (Планшет БМ 13901, Британский музей). Согласно Жаку Сезиано в «Введение в историю алгебры» (AMS, 2009), первая проблема на этом планшете переводится примерно так:

Я добавил площадь и сторону квадрата, чтобы получить ¾.Какова сторона площади?

Проблема записана в современных обозначениях следующим образом:

x² + x = ¾

Ниже приводится пересказ вавилонских и арабских методов, описанных Сезиано. Сначала мы переведем шаги, которые использовали вавилоняне, но также переведем их на символический язык, который мы используем сегодня в алгебре. Полностью символический язык впервые появился в Европе в 17 веке. Поскольку вавилоняне не знали об отрицательных числах, необходимо написать уравнение в виде x ² + px = q, где p = 1 и q = ¾.Сравнивая это с современной стандартной формой ax ² & + bx + c = 0, она показывает, что p = b / a и q = -c / a.

Древняя вавилонская процедура для решения определенного вида квадратов. Перевод в современное символическое обозначение появляется справа. (Изображение предоставлено: Robert Coolman)

Теперь давайте выведем и докажем, что процедура правильная с использованием геометрических методов, как это делали арабские математики в девятом веке нашей эры. Ниже приведен вариант доказательства, появившегося в публикации персидского математика Аль-Хуаризми «The «Сборник книг по расчетам по завершению и балансировке» в А.D. 820. Хотя вавилоняне почти наверняка извлекли свои процедурные методы из геометрии, ни письменные записи о происхождении, ни доказательства правильности не появились до Золотого Века Ислама, периода с середины седьмого века до середины 13-го века, когда мусульмане управлял империей, которая простиралась от Центральной Азии до Северной Африки и Иберии.

Геометрическая демонстрация того, как работает древняя вавилонская процедура. Разновидность этого доказательства была впервые зарегистрирована в девятом веке нашей эры.D. Аравия и полностью символический язык впервые появились в 17 веке в Европе. (Фото предоставлено Робертом Кулманом).

Если мы «включим» p = b / a и q = -c / a, формула действительно упрощает современную форму квадратного уравнения, как его учат сегодня.

Различные формы квадратичной формулы использовались по всей Афро-Евразии на протяжении веков. Процедурные версии использовались вавилонянами и египтянами в 19 веке до нашей эры, халдеями в седьмом веке до нашей эры, греками в четвертом веке до нашей эры.C. и индейцы в пятом веке нашей эры. Риторические и синкопированные формы были разработаны арабами в девятом веке нашей эры, а синкопированные и символические формы — европейцами в одиннадцатом веке нашей эры. Методы, используемые каждой цивилизацией, развивались по мере того, как о них стало известно больше отрицательные, иррациональные, мнимые и комплексные числа.

Дополнительные ресурсы

,