Тренировочные задания на решение квадратных уравнений 8 класс

Квадратные  уравнения 8 класс  алгебра

 

Учитель: Федулкина Т.А.

 

  • Что такое квадратные уравнения. Виды уравнений.

Формула квадратного уравнения: ax2+bx+c=0,где a≠0, где x — переменная,  a,b,c — числовые коэффициенты.

 

Пример полного квадратного уравнения:

3x2-3x+2=0
x2-16x+64=0

Решение полных квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Формула дискриминантаD=b2-4aс

Если D>0, то уравнение имеет два корня и находим эти корни по формуле:

Если D=0, уравнение имеет один корень 

Если D<0, уравнение не имеет вещественных корней.

№1  x2-x-6=0

Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.

Коэффициент a всегда стоит перед x2, коэффициент b  всегда перед переменной x, а коэффициент  c – это свободный член.

a=1,b=-1,c=-6
D=b2-4ac=(-1)2-4∙1∙(-6)=1+24=25

Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:

 Ответ: x1=3; x2=-2

№2  x2+2x+1=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=1,b=2,c=1
D=b2-4ac=(2)2-4∙1∙1=4-4=0
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень:
x=-b/2a=-2/(2∙1)=-1

Ответ: x=-1

№3 7x2-x+2=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=7,b=-1,c=2
D=b2-4ac=(-1)2-4∙7∙2=1-56=-55
Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax2+bx=0, где числовой коэффициент c=0.

Пример как выглядят такие уравнения: x2-8x=0, 5x

2+4x=0.

Чтобы решить такое уравнение необходимо переменную x вынести за скобки. А потом каждый множитель приравнять к нулю и решить уже простые уравнения.
ax2+bx=0  x(ax+b)=0  x1=0 x2=-b/a

№1  3x2+6x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(3x+6)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x1=0      3x+6=0   3x=-6     x2=-2

Ответ: x1=0; x2=-2

№2  x2-x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(x-1)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x1=0
x2=1

Ответ: x1=0; x2=1

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax2+c=0, где числовой коэффициент b=0.

Чтобы решить это уравнение, нужно записать так:

x2=c/a , если число c/a будет отрицательным числом, то уравнение не имеет решения.
А если c/a положительное число, то решение выглядит таким образом: корень квадратного уравнения

№1  x2+5=0
x2=-5, видно, что -5<0, значит нет решения.
Ответ: нет решения

№2 3x2-12=0
3x2=12
x2=12/3
x2=4
x1=2

x2=-2

Ответ: x1=2; x2=-2

 

2) Тренировочные задания на решение квадратных уравнений 8 класс  алгебра.

 

Задания для  устного решения:

 

  1. Решите неполное квадратное уравнение:

 

1)  

6)  

11) 

16) 

2)  

7)  

12) 

17) 

3)  

8)  

13) 

18) 

4)  

9)  

14) 

19) 

5)  

10)

15) 

20) 

 

  1. Решите квадратное уравнение, используя теорему Виета:

1)  

6)  

11) 

16) 

2)  

7)  

12) 

17) 

3)  

8)  

13) 

18) 

4)  

9)  

14) 

19) 

5)  

10)

15) 

20) 

 

  1. Решите квадратное уравнение, используя формулу :

1)  

6)  

11) 

16) 

2)  

7)  

12) 

17) 

3)  

8)  

13) 

18) 

4)  

9)  

14) 

19) 

5)  

10)

15) 

20) 

 

  1. Найдите дискриминант квадратного уравнения по формуле D= :

1)  

6)  

11) 

16) 

2)  

7)  

12) 

17) 

3)  

8)  

13) 

18) 

4)  

9)  

14) 

19) 

5)  

10)

15) 

20) 

 

  1. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D= равно:

1)     

6)    

11)   

16)    

2)     

7)    

12)   

17)    

3)     

8)    

13)     

18)    

4)  

9)    

14)     

19)     

5)  

10)    

15)   

20)     

3)Решить  квадратные  уравнения:

 

  1. Решите квадратное уравнение:

1)  

6)  

11) 

16) 

2)  

7)  

12) 

17) 

3)  

8)  

13) 

18) 

4)  

9)  

14) 

19) 

5)  

10)

15) 

20) 

 скачать файл

Дата публикации — 03.12.2017

Квадратные уравнения — ЁП

Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .

Алгоритм решения квадратного уравнения:

  1. Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
  2. Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
  3. Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
  4. Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
  5. Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
  6. Если D < 0, решений нет: x ∈ ∅

Примеры решения квадратного уравнения:

  1. − x 2 + 6 x + 7 = 0

a = − 1, b = 6, c = 7

D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64

D > 0 – будет два различных корня:

x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7

Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

 

  1. − x 2 + 4 x − 4 = 0

a = − 1, b = 4, c = − 4

D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0

D = 0 – будет один корень:

x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2

Ответ: x = 2

 

  1. 2 x 2 − 7 x + 10 = 0

a = 2, b = − 7, c = 10

D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31

D < 0 – решений нет.

Ответ: x ∈ ∅

Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо c = 0, либо b = c = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!

 

Тренажёр по алгебре (8 класс) на тему: тренажер «Квадратные уравнения»

Тренажер  «Квадратные уравнения»

Вариант 1

Реши уравнения:

  1. х2+5х-6=0
  2. Зх2+2х-1=0
  3. х2-8х-84=0
  4. х2-5х+6=0
  5. х2+4х+4=0
  6. 2х2+3х+1=0
  7. 4х2+10х-6=0
  8. 3х2+32х+80=0
  9. х2=2х-48
  10. –х2=5х-14
  11. х2+7х+2=0
  12. 16х2-9=0
  13. –х2+х=0
  14. 3х2-12х=0
  15. х2+2х=0
  16. -2х2+14=0
  17. 6х2=0
  18. х2-64=0
  19. 6х(2х+1)=5х+1
  20. (х-2)2=3х-8

Тренажер  «Квадратные уравнения»

Вариант 2

Реши уравнения:

  1. –х2+4х+3=0
  2. 36х2-12х+1=0
  3. х2-2х-15=0
  4. х2+8х+7=0
  5. 3х2-3х+4=0
  6. 25х2+10х+1=0
  7. 100х2-160х+63=0
  8. 6х2+7х=5
  9. -3х2+5=2х
  10. 2х2+3х-1=0
  11. 2х2-4х-1=0
  12. х2+5х=0
  13. 2х2-9х=0
  14. –х2+8х=0
  15. 3х-х2=0
  16. х2-9=0
  17. 25х2=0
  18. -2х2+11=0
  19. 2х(х-8)= -х-18
  20. (3х-1)(х+3)+1=х(1+6х)

Тренажер  «Квадратные уравнения»

Вариант 3

Реши уравнения:

  1. -2х2+5х+3=0
  2. х2-22х-23=0
  3. х2-2х+5=0
  4. х2+6х+8=0
  5. х2-34х+289=0
  6. 5х2-8х+3=0
  7. 3х2-8х+5=0
  8. 5х2+26х-24=0
  9. х2=4х+96
  10. 25=26х-х2
  11. х2-5х+3=0
  12. х2+6х+3=0
  13. х2-12х=0
  14. –х2+7х=0
  15. х2-49=0
  16. -5х2+9=0
  17. 81х2=0
  18. 3х2-75=0
  19. 8х(1+2х)= -1
  20. 5(х+2)2= -6х-44

Тренажер  «Квадратные уравнения»

Вариант 4

Реши уравнения:

  1. х2-7х-4=0
  2. 4х2-5х-4=0
  3. 16х2-8х+1=0
  4. х2+6х+9=0
  5. х2-3х-18=0
  6. х2+4х+5=0
  7. 14х2-5х-1=0
  8. 4х2+х+67=0
  9. 4х2-12х+9=0
  10. 2х2-2=3х
  11. -5х2=9х-2
  12. 5х2-х-1=0
  13. 3х2+5х=0
  14. 19х-х2=0
  15. х2-100=0
  16. -7х2+13=0
  17. 15х2=0
  18. 0,5х2-72=0
  19. х(х-5)=1-4х
  20. (2х-1)(х+4)=х(3х+11)
Тренажёр по алгебре (8 класс) на тему: Неполные квадратные уравнения

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 1

Решить уравнения:

  1. 3×2-12=0
  2. 2х2+6х=0
  3. 1,8х2=0
  4. х2+25=0
  5. х2-=0
  6. х2=3х
  7. х2+2х-3=2х+6
  8. х2=3,6

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 2

Решить уравнения:

1. 2х2-18=0

2. 3х2-12х=0

3. 2,7х2=0

4. х2+16=0

5. х2-=0

6. х2=7х

7. х2-3х-5=11-3х

8. х2=2,5

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 3

Решить уравнения:

  1. 3×2-1=0
  2. 2х2-6х=0
  3. 8х2=0
  4. х2+81=0
  5. х2-=0
  6. х2=5х
  7. х2+х-3=х+6
  8. х2=8,1

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 4

Решить уравнения:

1. 2х2-32=0

2. 3х2-15х=0

3. 2,4х2=0

4. х2+49=0

5. х2-=0

6. х2=х

7. х2-7х-5=11-7х

8. х2=4,9

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 1

Решить уравнения:

  1. 3×2-12=0
  2. 2х2+6х=0
  3. 1,8х2=0
  4. х2+25=0
  5. х2-=0
  6. х2=3х
  7. х2+2х-3=2х+6
  8. х2=3,6

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 2

Решить уравнения:

1. 2х2-18=0

2. 3х2-12х=0

3. 2,7х2=0

4. х2+16=0

5. х2-=0

6. х2=7х

7. х2-3х-5=11-3х

8. х2=2,5

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 3

Решить уравнения:

  1. 3×2-1=0
  2. 2х2-6х=0
  3. 8х2=0
  4. х2+81=0
  5. х2-=0
  6. х2=5х
  7. х2+х-3=х+6
  8. х2=8,1

Самостоятельная работа по теме: «Неполные квадратные уравнения»

Вариант 4

Решить уравнения:

1. 2х2-32=0

2. 3х2-15х=0

3. 2,4х2=0

4. х2+49=0

5. х2-=0

6. х2=х

7. х2-7х-5=11-7х

8. х2=4,9

1

2

3

4

1

2;-2

1

3,-3

1

√1/3;-√1/3

1

4,-4

2

0;-3

2

0;4

2

0;3

2

0;5

3

0

3

0

3

0

3

0

4

Нет корней

4

Нет корней

4

Нет корней

4

Нет корней

5

√6;-√6

5

√5;-√5

5

√3;-√3

5

√5;-√5

6

0;3

6

0;7

6

0;5

6

0;1

7

√3;-√3

7

4;-4

7

3;-3

7

4;-4

8

0,6;-0,6

8

0,5;-0,5

8

0,9;-0,9

8

0,7;-0,7

Квадратные уравнения — подготовка к ЕГЭ по Математике

Квадратное уравнение – уравнение вида , где

Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.

Квадратное уравнение может иметь два действительных корня, один действительный корень или ни одного.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения: .

Если > 0, квадратное уравнение имеет два корня: и .

Если = 0, квадратное уравнение имеет единственный корень .

Если < 0, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Запишем несколько квадратных уравнений и проверим, сколько корней они имеют.

1)

В этом уравнении , , .

Дискриминант уравнения равен > 0. Уравнение имеет два корня.

2)

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен . Уравнение имеет единственный корень.

Заметим, что в левой части уравнения находится выражение, которое называют полным квадратом. В самом деле, . Мы применили формулу сокращенного умножения.

Уравнение имеет единственный корень .

3) .

В этом уравнении .

Дискриминант уравнения равен < 0. Корней нет.

4) Решим уравнение .

Дискриминант уравнения равен > 0.

Уравнение имеет два корня.

Корни уравнения

Теорема Виета

Полезная теорема для решения квадратных уравнений – теорема Виета.

Если и  – корни уравнения , то , .

Например, в нашем уравнении сумма корней равна , а произведение корней равно .

Квадратное уравнение можно решить несколькими способами. Можно вычислять дискриминант, или воспользоваться теоремой Виета, а иногда можно просто угадать один из корней. Или оба корня.

Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или с (или они оба) равны нулю, называется неполным. В таких случаях искать дискриминант не обязательно. Можно решить проще.

1) Рассмотрим уравнение .

В этом уравнении и . Очевидно, – единственный корень уравнения.

2) Рассмотрим уравнение . Здесь , а другие коэффициенты нулю не равны.

Проще всего разложить левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов. Получим:

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит,   или .

3) Вот похожее уравнение:
.

Поскольку , уравнение можно записать в виде:

Отсюда или
.

4) Пусть теперь не равно нулю и .

Рассмотрим уравнение
.

Его левую часть можно разложить на множители, вынеся за скобки. Получим:

.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Значит, или .

Разложение квадратного трехчлена на множители

.

Здесь и – корни квадратного уравнения .

Запомните эту формулу. Она необходима для решения квадратичных и дробно-рациональных неравенств.

Например, наше уравнение
.

Его корни
,
.

.

Полезные лайфхаки для решения квадратных уравнений.

1) Намного проще решать квадратное уравнение, если коэффициент а, который умножается на х², положителен. Кажется, что это мелочь, да? Но сколько ошибок на ЕГЭ возникает из-за того, что старшеклассник игнорирует эту «мелочь».

Например, уравнение
.

Намного проще умножить его на – 1, чтобы коэффициент а стал положительным. Получим:
.

Дискриминант этого уравнения равен
.

Корни уравнения .

2)Прежде чем решать квадратное уравнение, посмотрите на него внимательно. Может быть, можно сократить обе его части на какое-нибудь не равное нулю число?

Вот, например, уравнение
.

Можно сразу посчитать дискриминант и корни. А можно заметить, что все коэффициенты и делятся на 17. Поделив обе части уравнения на 17, получим:

.

Здесь можно и не считать дискриминант, а сразу угадать первый корень: . А второй корень легко находится по теореме Виета.

3)Работать с дробными коэффициентами неудобно. Например, уравнение
.

Вы уже догадались, что надо сделать. Умножить обе части уравнения на 100! Получим:

.

Корни этого уравнения равны 1 и -6.

 

Смотри также: Квадратичная функция

Три полезных лайфхака, как решать квадратные уравнения быстрее, чем через дискриминант

Я им такую классную теорему придумал,
а они решают через дискриминант :-(((
(с) Франсуа Виет
“Несуществующие высказывания”

Формула корней, или длинный способ

Всем, кто хотя бы мало-мальски присутствовал на уроках математики в 8 классе, известна формула корней квадратного уравнения. Решение по формуле корней часто называют в простонародье “решением через дискриминант”. Напомним вкратце формулу корней.


[Вы можете также просмотреть содержание этой статьи в видеоформате]

Квадратное уравнение имеет вид ax2+bx+c = 0, где a, b, c – некоторые числа. Например, в уравнении 2x2 + 3x – 5 = 0 эти числа равны: a = 2, b = 3. c = -5. Прежде, чем решать любое квадратное уравнение, нужно “увидеть” эти числа и понять, чему они равны.

Далее считают так называемый дискриминант по формуле D=b^2-4ac. В нашем случае D = 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49. Затем из дискриминанта извлекают корень: \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7.

После того, как вычислили дискриминант, применяют формулу корней: x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}; x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} :

x_1=\frac{-3-7}{2 \cdot 2}=\frac{-10}{4}=-2,5
x_2= \frac{-3+7}{2 \cdot 2}=\frac{4}{4}=1

И таким образом, уравнение решено. Оно имеет два корня: 1 и -2,5.

Но это уравнение, как и множество других предлагаемых в школьных учебниках/задачниках, можно было решить гораздо более быстрым способом, если знать пару-тройку лайфхаков. И речь не только о теореме Виета, хотя и она является полезным инструментом.

Лайфхак первый. Если a + b + c = 0, то x_1=1, x_2=\frac{c}{a}.

Он применяется только в том случае, если в квадратном уравнении все три коэффициента a, b, c при сложении дают 0. Например, у нас было уравнение 2x2 + 3x – 5 = 0. Сложив все три коэффициента, получим 2 + 3 – 5, что равно 0. В этом случае можно не считать дискриминант и не применять формулу корней. Вместо этого можно сразу написать, что

x_1=1,
x_2=\frac{c}{a}=\frac{-5}{2}=-2,5

(заметьте, что тот же результат мы получили в формуле корней).

Часто спрашивают, всегда ли будет получаться x_1=1? Да, всегда, когда a + b + c = 0.

Лайфхак второй. Если a + c = b, то x_1=-1, x_2=-\frac{c}{a}.

Пусть дано уравнение 5x2 + 6x + 1 = 0. В нём a = 5, b = 6, c = 1. Если сложить “крайние” коэффициенты a и c, получим 5+1 = 6, что как раз равно “среднему” коэффициенту b. Значит, можем обойтись без дискриминанта! Сразу же записываем:

x_1=-1,
x_2=-\frac{c}{a}=\frac{-1}{5}=-0,2

Лайфхак третий (теорема, обратная теореме Виета). Если a = 1, то \begin{cases} x_1+x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end{cases}

Рассмотрим уравнение x2 – 12x + 35 = 0. В нём a = 1, b = -12, c = 35. Ни под первый, ни под второй лайфхак оно не подходит – условия не соблюдаются. Если бы оно подходило под первый или под второй, то мы бы обошлись без теоремы Виета.

Само использование теоремы Виета подразумевает понимание некоторых полезных приёмов.

Первый приём. Не стоит стесняться записывать саму систему вида \begin{cases} x_1+x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end{cases} , которая получается при использовании теоремы Виета. Не нужно пытаться во что бы ты ни стало решить уравнение абсолютно устно, без письменных пометок, как это делают “продвинутые пользователи”.

Для нашего уравнения x2 – 12x + 35 = 0 эта система имеет вид

\begin{cases} x_1+x_2 = 12 \\ x_1 \cdot x_2 = 35 \end{cases}

Теперь нам нужно устно подобрать числа x_1 и x_2 , которые удовлетворяют нашей системе, т.е. в сумме дают 12, а при умножении 35.

Так вот, второй приём заключается в том, что начинать подбор нужно не с суммы, а с произведения. Посмотрим на второе уравнение системы и зададимся вопросом: какие числа при умножении дают 35? Если всё в порядке с таблицей умножения, то сразу приходит на ум ответ: 7 и 5. И только теперь подставим эти числа в первое уравнение: будем иметь 7 + 5 = 12, что является верным равенством. Итак, числа 7 и 5 удовлетворяют обоим уравнениям, поэтому мы сразу пишем:

x_1 = 7, x_2 = 5

Третий приём заключается в том, что если числа не удаётся подобрать быстро (в течение 15-20 секунд), то вне зависимости от причины нужно считать дискриминант и использовать формулу корней. Почему? Потому что корни могут не подбираться, если уравнение их вообще не имеет (дискриминант отрицательный), или же корни представляют собой числа, не являющиеся целыми.

Тренировочные упражнения по решению квадратных уравнений

Попрактикуйтесь! Попробуйте решить следующие уравнения. На каждое уравнение смотрите в следующей последовательности:

  • если уравнение подходит под первый лайфхак (когда a + b + c = 0), то решаем с его помощью;
  • если уравнение подходит под второй лайфхак (когда a + c = b), то решаем с его помощью;
  • если уравнение подходит под третий лайфхак (теорему Виета), решаем с его помощью;
  • и только в самом крайнем случае – если ничего не подошло и/или с помощью теоремы Виета решить не получилось – считаем дискриминант. Еще раз: дискриминант – в самую последнюю очередь!
  1. Решите уравнение x2 + 3x + 2 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак второй
    В данном уравнении a = 1, b = 3, c = 2. Таким образом, a + c = b, откуда x_1=-1, x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{2}{1}=-2.
    Ответ: -1, -2.

  2. Решите уравнение x2 + 8x – 9 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак первый
    В данном уравнении a = 1, b = 8, c = -9. Таким образом, a + b + c = 0, откуда x_1=1, x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-9}{1}=-9.
    Ответ: 1, -9.

  3. Решите уравнение 15x2 – 11x + 2 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    Данное уравнение (единственное из всего списка) не попадает ни под один из лайфхаков, поэтому решать его будем по формуле корней:
    D=b^2-4ac = (-11)^2 – 4 \cdot 15 \cdot 2 = 121 – 120 = 1.x_1=\frac{11-1}{2 \cdot 15}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}x_2= \frac{11+1}{2 \cdot 15}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}Ответ: \frac{1}{3}, \frac{2}{5}.

  4. Решите уравнение x2 + 9x + 20 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак третий (теорема Виета)
    В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = -9 \\ x_1 \cdot x_2 = 20 \end{cases}
    Подбором устанавливаем, что x_1 = -4, x_2 = -5.
    Ответ: -4, -5.

  5. Решите уравнение x2 – 7x – 30 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак третий (теорема Виета)
    В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 7 \\ x_1 \cdot x_2 = -30 \end{cases}
    Подбором устанавливаем, что x_1 = 10, x_2 = -3.
    Ответ: 10, -3.

  6. Решите уравнение x2 – 19x + 18 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак первый
    В данном уравнении a = 1, b = -19, c = 18. Таким образом, a + b + c = 0, откуда x_1=1, x_2 = \frac{c}{a} = \frac{18}{1}=18.
    Ответ: 1, 18.

  7. Решите уравнение x2 + 7x + 6 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак второй
    В данном уравнении a = 1, b = 7, c = 6. Таким образом, a + c = b, откуда x_1=-1, x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{6}{1}=-6.
    Ответ: -1, -6.

  8. Решите уравнение x2 – 8x + 12 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак третий (теорема Виета)
    В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = 12 \end{cases}
    Подбором устанавливаем, что x_1 = 6, x_2 = 2.
    Ответ: 6, 2.

  9. Решите уравнение x2 – x – 6 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак третий (теорема Виета)
    В данном уравнении a = 1, поэтому можем записать, что \begin{cases} x_1+x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end{cases}
    Подбором устанавливаем, что x_1 = 3, x_2 = -2.
    Ответ: 3, -2.

  10. Решите уравнение x2 – 15x – 16 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак второй
    В данном уравнении a = 1, b = -15, c = -16. Таким образом, a + c = b, откуда x_1=-1, x_2 = -\frac{c}{a} = -\frac{-16}{1}=16.
    Ответ: -1, 16.

  11. Решите уравнение x2 + 11x – 12 = 0

    Просмотреть решение и ответ

    См. лайфхак первый
    В данном уравнении a = 1, b = 11, c = -12. Таким образом, a + b + c = 0, откуда x_1=1, x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-12}{1}=-12.
    Ответ: 1, -12.

Квадратные уравнения, примеры решений

Теория по квадратным уравнениям

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Квадратным уравнением называется уравнение вида , где .

Возможны такие случаи:

, тогда имеем квадратное уравнение вида и .

, тогда имеем квадратное уравнение вида , если ; если – корней нет.

, тогда имеем квадратное уравнение вида .

, тогда имеем полное квадратное уравнение , которое решается или с помощью дискриминанта:

   

Или по теореме Виета:

   

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Решить следующие неполные квадратные уравнения

   

Решение 1) В уравнении вынесем за скобки . Произведение равно нулю, если один из сомножителей равен нулю, следовательно:

   

или

   

2) В уравнении перенесем свободный член вправо и раздели его на коэффициент при :

   

3) В уравнении перенесем свободный член вправо и раздели его на коэффициент при :

   

У данного квадратного уравнения нет корней.

4) уравнение равносильно уравнению , которое имеет два совпадающих корня .

Ответ

Корней нет

ПРИМЕР 2
Задание Решить квадратное уравнение
Решение Подсчитаем для заданного уравнения, чему равен дискриминант:

   

Так как , то уравнение имеет два совпадающих корня:

   

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Решить уравнение
Решение Вычислим дискриминант для исходного уравнения, получим:

   

Так как , данное уравнение решений не имеет.

Ответ Корней нет.
ПРИМЕР 4
Задание Решить квадратное уравнение
Решение Дискриминант заданного уравнения, равен

   

Следовательно, уравнение имеет два различных корня

   

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Решить уравнение, используя теорему Виета:
Решение Пусть и – корни квадратного уравнения, по следствию из теоремы Виета

   

Проанализируем полученные равенства. Произведение корней отрицательно, следовательно, корни имеют разные знаки. Разложим –12 на множители, учитывая, что они должны быть числами разного знака. Возможны такие варианты: –12 и 1; 12 и –1; –6 и 2; 6 и –2; –4 и 3; 4 и –3. Так как сумма корней равна 1, то корнями будут числа и .

Ответ

квадратичных уравнений

Пример квадратного уравнения :

Квадратные уравнения создают хорошие кривые, как этот:

Имя

Название Quadratic происходит от «квад», означающего квадрат, потому что переменная получает квадрат (например, x 2 ).

Это также называется «уравнение степени 2» (из-за «2» на x )

Стандартная форма

Стандартная форма квадратного уравнения выглядит следующим образом:


  • a , b и c являются известными значениями. a не может быть 0.
  • « x » — это переменная , или неизвестно (мы пока не знаем).

Вот несколько примеров:

2x 2 + 5x + 3 = 0 В этом a = 2 , b = 5 и c = 3
x 2 — 3x = 0 Это немного сложнее:
  • Где ? Ну a = 1 , так как мы обычно не пишем «1x 2 »
  • b = −3
  • А где с ? Скважина c = 0 , поэтому не показана.
5x — 3 = 0 Ой! Это , а не квадратное уравнение: оно отсутствует x 2
(другими словами a = 0 , что означает, что оно не может быть квадратичным)

поиграй с ним

Поиграйте в «Исследователь квадратичных уравнений», чтобы увидеть:

  • график, который он делает, и
  • решений (называемых «корнями»).

Скрытые квадратные уравнения!

Как мы видели ранее, стандартная форма квадратного уравнения равна

Но иногда квадратное уравнение выглядит не так!

Например:

замаскированный В стандартной форме а, б и в
x 2 = 3x — 1 Переместить все термины в левую часть x 2 — 3x + 1 = 0 a = 1, b = −3, c = 1
2 (Вт 2 — 2 Вт) = 5 Расширить (отменить скобки),
и переместить 5 влево
2 Вт 2 — 4 Вт — 5 = 0 a = 2, b = −4, c = −5
z (z − 1) = 3 Разверните и переместите 3 влево z 2 — z — 3 = 0 a = 1, b = −1, c = −3

Как их решить?

«Решения » для квадратного уравнения — это где равно нулю .

Их также называют « корни », или иногда « нули »

Обычно есть 2 решения (как показано на этом графике).

И есть несколько способов найти решение:

Или мы можем использовать специальную квадратичную формулу :

Просто подключите значения a, b и c и выполните расчеты.

Мы рассмотрим этот метод более подробно сейчас.

О квадратичной формуле

Плюс / Минус

Прежде всего, что это за плюс / минус, что выглядит как ±?

± означает, что есть ДВА ответа:

x = −b + √ (b 2 — 4ac) 2a

x = −b — √ (b 2 — 4ac) 2a

Вот пример с двумя ответами:

Но так не всегда получается!

  • Представьте, что кривая «просто касается» оси X.
  • Или представьте, что кривая настолько высока, что и даже не пересекают ось X!

Здесь «Дискриминант» помогает нам …

Дискриминант

Видите ли вы b 2 — 4ac в формуле выше? Он называется Discriminant , потому что он может «различать» возможные типы ответа:

  • , когда b 2 — 4ac положительно, мы получаем два реальных решения
  • , когда он равен нулю, мы получаем ОДНО реальное решение (оба ответа одинаковы)
  • , когда оно отрицательное, мы получаем пару комплексных решений

Комплексные решения? Давайте поговорим о них после того, как посмотрим, как использовать формулу.

Использование квадратичной формулы

Просто поместите значения a, b и c в квадратную формулу и выполните вычисления.

Пример: Решить 5x 2 + 6x + 1 = 0

Коэффициенты: а = 5, б = 6, с = 1

Квадратичная формула: x = −b ± √ (b 2 — 4ac)

Положите в a, b и c: x = −6 ± √ (6 2 — 4 × 5 × 1) 2 × 5

Решить: х = −6 ± √ (36 — 20) 10

х = −6 ± √ (16) 10

х = −6 ± 4 10

x = −0.2 или −1

Ответ: x = −0.2 или x = −1

И мы видим их на этом графике.

Чек -0,2 : 5 × ( −0,2 ) 2 + 6 × ( −0,2 ) + 1
= 5 × (0,04) + 6 × (–0,2) + 1
= 0,2 — 1,2 + 1
= 0
Чек -1 : 5 × ( -1 ) 2 + 6 × ( -1 ) + 1
= 5 × (1) + 6 × (-1) + 1
= 5 — 6 + 1
= 0

Вспоминая Формулу

Добрая читательница предложила спеть ее для «Pop Goes the Weasel»:

«x равно минус b «Все вокруг куста шелковицы
плюс или минус квадратный корень Обезьяна преследовала ласку
б-квадрат минус четыре а с Обезьяна подумала, что все в порядке
ВСЕ более двух « Поп! идет ласка «

Попробуйте спеть его несколько раз, и он застрянет у вас в голове!

Или вы можете вспомнить эту историю:

х = −b ± √ (b 2 — 4ac)

«Отрицательный мальчик думал о да или нет о том, чтобы пойти на вечеринку,
на вечеринке, с которой он разговаривал с квадратным парнем, но не с 4-мя удивительными цыпочками.
Все закончилось в 2 часа ночи.
«

Комплексные решения?

Когда дискриминант (значение b 2 — 4ac ) отрицателен, мы получаем пару комплексных решений … что это значит?

Это означает, что наш ответ будет включать в себя мнимые числа. Вот Это Да!

Пример: Решить 5x 2 + 2x + 1 = 0

Коэффициенты : : a = 5, b = 2, c = 1

Обратите внимание, что дискриминант является отрицательным: b 2 — 4ac = 2 2 — 4 × 5 × 1
= −16

Используйте квадратичную формулу : x = -2 ± √ (−16) 10

√ (−16) = 4 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: х = -2 ± 4 i 10

Ответ: x = −0.2 ± 0,4 i

График не пересекает ось X. Вот почему мы получили комплексные числа.

В некотором смысле это проще: нам не нужно больше вычислений, просто оставьте это как -0,2 ± 0,4 i .

Пример: Решить x 2 — 4x + 6,25 = 0

Коэффициенты : : a = 1, b = −4, c = 6.25

Обратите внимание, что дискриминант отрицателен: b 2 — 4ac = (−4) 2 — 4 × 1 × 6.25
= −9

Используйте квадратичную формулу : x = — (- 4) ± √ (−9) 2

√ (−9) = 3 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: x = 4 ± 3 i 2

Ответ: x = 2 ± 1,5 i

График не пересекает ось X.Вот почему мы получили комплексные числа.

, НО перевернутое зеркальное изображение нашего уравнения пересекает ось X при 2 ± 1,5 (примечание: отсутствует i ).

Просто интересный факт для вас!

Резюме

  • Квадратичное уравнение в стандартной форме: топор 2 + bx + c = 0
  • Квадратичные уравнения могут быть учтены
  • Квадратичная формула: x = −b ± √ (b 2 — 4ac)
  • Когда дискриминант ( b 2 −4ac ) равен:
    • положительных, есть 2 реальных решения
    • ноль, есть одно реальное решение
    • минус, есть 2 комплексных решения

,

BioMath: квадратичные функции

В этом разделе мы узнаем, как найти корень (и) квадратного уравнения. Корни также называются x — перехватами или нулями. Квадратичная функция графически представлена ​​параболой с вершиной, расположенной в начале координат, ниже оси x или выше оси x . Следовательно, квадратичная функция может иметь один, два или нулевые корни.

Когда нас просят решить квадратное уравнение, нас действительно просят найти корни.Мы уже видели, что заполнение квадрата является полезным методом для решения квадратных уравнений. Этот метод может быть использован для получения квадратной формулы, которая используется для решения квадратных уравнений. На самом деле, корни функции,

f ( x ) = топор 2 + bx + c

задаются квадратичной формулой. Корни функции — это x -приятия. По определению, координата точек и , лежащих на оси x , равна нулю.Поэтому, чтобы найти корни квадратичной функции, мы устанавливаем f ( x ) = 0 и решаем уравнение

топор 2 + bx + c = 0.

Мы можем сделать это, заполнив квадрат как,

Решение для x и упрощение,

Таким образом, корни квадратичной функции задаются,

Эта формула называется квадратной формулой , и ее деривация включена, чтобы вы могли видеть, откуда она взялась.Мы называем термин b 2 -4 ac дискриминантом . Дискриминант важен, потому что он говорит вам, сколько корней имеет квадратичная функция. В частности, если

1. b 2 −4 ac <0 Нет реальных корней.

2. b 2 −4 ac = 0 Существует один настоящий корень.

3. b 2 −4 ac > 0 Есть два реальных корня.

Мы рассмотрим каждый случай индивидуально.

Случай 1: Нет настоящих корней

Если дискриминант квадратичной функции меньше нуля, эта функция не имеет реальных корней, и представляемая ею парабола не пересекает ось x . Поскольку квадратичная формула требует получения квадратного корня дискриминанта, отрицательный дискриминант создает проблему, поскольку квадратный корень отрицательного числа не определен над действительной линией.Примером квадратичной функции без реальных корней является

f ( x ) = x 2 — 3 x + 4.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) отрицателен,

b 2 −4 ac = (−3) 2 — 4 · 1 · 4 = 9 — 16 = −7.

Эта функция графически представлена ​​параболой, которая открывается вверх, вершина которой лежит над осью X.Таким образом, график никогда не может пересекать ось x и не имеет корней, как показано ниже,

Случай 2: один настоящий корень

Если дискриминант квадратичной функции равен нулю, эта функция имеет ровно один действительный корень и пересекает ось x в одной точке. Чтобы увидеть это, мы устанавливаем b 2 −4 ac = 0 в квадратной формуле, чтобы получить,

Обратите внимание, что это x -координата вершины параболы.Таким образом, парабола имеет ровно один действительный корень, когда вершина параболы лежит прямо на оси x . Простейшим примером квадратичной функции, имеющей только один действительный корень, является

.

у = x 2 ,

, где реальный корень равен x = 0.

Другой пример квадратичной функции с одним действительным корнем —

f ( x ) = −4 x 2 + 12 x — 9.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) равен нулю,

b 2 −4 ac = (12) 2 — 4 · −4 · −9 = 144 — 144 = 0.

Эта функция графически представлена ​​параболой, которая открывается вниз и имеет вершину (3/2, 0), лежащую на оси x . Таким образом, график пересекает ось x ровно в одной точке (то есть имеет один корень), как показано ниже,

Случай 3: Два настоящих корня

Если дискриминант квадратичной функции больше нуля, эта функция имеет два действительных корня ( x -интекреты).Взятие квадратного корня из положительного действительного числа хорошо определено, и два корня задаются как

Пример квадратичной функции с двумя действительными корнями дает

f ( x ) = 2 x 2 — 11 x + 5.

Обратите внимание, что дискриминант f ( x ) больше нуля,

b 2 — 4 ac = (−11) 2 — 4 · 2 · 5 = 121 — 40 = 81.

Эта функция графически представлена ​​параболой, которая открывается вверх, вершина которой лежит ниже оси x . Таким образом, график должен пересекать ось x в двух местах (т.е. имеет два корня), как показано ниже,

*****

В следующем разделе мы будем использовать квадратную формулу для решения квадратных уравнений.

Решение квадратичных уравнений

,

Что такое квадратные уравнения? | Живая наука

В математике квадратичный тип представляет собой тип задачи, которая касается умноженной на себя переменной — операции, известной как возведение в квадрат. Этот язык происходит от площади квадрата, умноженного на его длину стороны. Слово «квадратичный» происходит от квадрата , латинского слова для квадрата.

Квадратичные уравнения характеризуют множество явлений в реальном мире, таких как, когда приземлится ракетный корабль, сколько стоит зарядить продукт или сколько времени потребуется человеку, чтобы грести вверх и вниз по реке.Из-за их широкого разнообразия применений квадратики имеют глубокое историческое значение и были основополагающими для истории алгебры.

Потоки воды из фонтана образуют параболы. (Фото предоставлено Matej Kastelic Shutterstock)

Парабола

Математика квадратиков неразрывно связана с U-образной кривой, известной как парабола. Возможно, самый знакомый пример — поток воды, который стреляет из питьевого фонтана. Есть много других примеров, таких как поперечное сечение спутниковой антенны или кабели на подвесном мосту.

Парабола была важной формой для многих математиков древней Греции, таких как Евклид Александрийский (~ 300 до н.э.), Архимед Сиракузский (287-212 до н.э.), Аполлоний Пергский (262-190 до н.э.) и Паппус Александрийский ( 290-350 гг. Н.э.) Эти ученые отметили ряд математических свойств, присущих параболам:

1. Парабола — это набор точек, одинаково удаленных от точки (фокус ) и линии (директория ). Правильно названный фокус важен в ряде современных инженерных приложений, так как это точка на параболической антенне, где отражаются входящие волны, будь то радиоволны (как в спутниковой антенне), свет (как в концентрирующейся солнечной решетке) или звук (как в параболическом микрофоне).

Каждая точка на параболе равноудалена от определенной точки и линии. Все входящие волны отражаются в фокусе. (Фото предоставлено: Robert Coolman)

2. Параболу также создают путем разрезания конуса параллельно наклону боковых сторон конуса. Из-за этого параболы находятся в наборе математических кривых, называемых конических сечений . Спустя почти 2000 лет после этого открытия Леонардо да Винчи (A.D. 1452-1519) в своем исследовании параболических «горящих зеркал» понял это свойство и разработал компас, который мог рисовать параболы.

Плоскость, пересекающая конус, образует параболу. (Фото предоставлено: Robert Coolman)

3. Изменения высоты параболы пропорциональны изменениям квадрата ширины этой параболы. Например, если парабола имеет высоту в одну единицу, когда она имеет ширину в одну единицу, она будет иметь высоту в девять (три квадрата), когда ее ширина составляет три единицы. Именно из этого свойства Аполлоний получил слово «парабола» из параболы, — греческого слова «применение», в том смысле, что ширина «применяется к» (умножается на) сама.Это свойство, которое связывает форму параболы с математическим понятием квадратичной.

Хотя параболы вездесущи, важно отметить, что они отличаются от других U-образных кривых, таких как подвесная цепь (цепная), путь ребенка на качелях (круговая дуга), дуга от вертикального фонарика, падающего на стену (гипербола) или гребень вида сбоку пружины (синусоида). Эти другие кривые не имеют ранее упомянутых свойств парабол.

Для параболы высотой в одну единицу, где она имеет ширину в одну единицу, она будет иметь высоту в девять (три квадрата), а в ширину — три единицы. Эта парабола была повернута вправо, чтобы она поместилась на странице. (Фото предоставлено: Robert Coolman)

Движение снаряда

Связь между параболами и математикой квадратиков имела большое значение в 16 веке н.э., когда ученые европейского Ренессанса заметили, что такие снаряды, как пушечные ядра и минометы, движутся по параболическим траекториям.Многие известные ученые той эпохи, в том числе Леонардо да Винчи и Галилео Галилей (1564-1642), изучали движение снарядов. По словам Джозефа У. Даубена, профессора истории в Городском университете Нью-Йорка (CUNY), поскольку художники эпохи Возрождения стали одержимы точным изображением реальности в искусстве , Галилей также увлекся точным изображением реальности с использованием математика . В 1638 году Галилей опубликовал первое доказательство того, что равномерное ускорение от силы тяжести Земли заставит снаряды двигаться по параболическим траекториям.То, что математика может быть использована для описания движения, было ключом к прогрессу научной революции.

Графики квадратиков

Примерно в то же время, когда Галилей, французский философ и математик Рене Декарт (1596-1650) опубликовал «La Géométrie» (1637), в которой описан метод построения алгебраических уравнений в области, называемой аналитической геометрией. Разновидность его методов все еще используется сегодня. Как показано ниже, график квадратного уравнения является параболой.

График квадратного уравнения образует параболу.Техника построения графиков, применяемая сегодня, основана на работах Рене Декарта. (Фото предоставлено: Robert Coolman)

Древний квадратик: золотое сечение

Чтобы понять метод квадратичного решения, который сегодня используют математики, ученые и инженеры, давайте рассмотрим древнюю математическую проблему: золотое сечение. Кроме того, в «Заблуждениях о золотом сечении» (1992) Джордж Марковский, профессор математики в университете штата Мэн, указал, что историческое значение золотого сечения и эстетическая привлекательность часто преувеличиваются, хотя это правда, что соотношение появляется часто в теории чисел (параллельно с последовательностью & Fibonacci), геометрии (например, в икосаэдре) и биологии (например, угол между листьями растения).

Один метод определения золотого сечения сформулирован таким образом:

Найти прямоугольник с длиной и шириной, чтобы при отрезании квадрата от одного конца прямоугольника оставшийся прямоугольник с ломом имел ту же форму или «соотношение сторон». «как исходный прямоугольник (но повернутый под прямым углом).

В то время как древние греки решили эту проблему с помощью геометрии, мы будем использовать алгебру, как ее учат сегодня.

Использование алгебры для определения значения золотого сечения.(Фото предоставлено Робертом Кулманом).

Чтобы определить, какая длина и ширина создадут золотое сечение, мы даем короткой стороне длину 1, а длинной стороне длину х. Поскольку соотношение сторон определяется как длинная сторона, разделенная на короткую сторону, соотношение сторон для этого прямоугольника равно x / 1 или просто x. Если мы отрежем квадрат от этого прямоугольника, оставшийся лом будет иметь длину длинной стороны 1 и длину короткой стороны x — 1. Таким образом, соотношение сторон равно 1 / (x — 1). Понимая, что соотношение сторон для всего прямоугольника и меньшего прямоугольника лома должно быть одинаковым, наше уравнение равно x = 1 / (x — 1).

Квадратичная формула

Вот как ученики получают инструкции для решения этого уравнения сегодня. Начните с уравнения:

x = 1 / (x — 1)

Умножьте каждую часть уравнения на выражение x — 1:

x · (x — 1) = 1

Распределите x по выражению x — 1:

x · x — x · 1 = 1

Переменная x, умноженная на себя, записывается как x². Этот квадрат является тем, что делает уравнение квадратичным:

x² — x = 1

Теперь мы вычитаем 1 из каждой стороны уравнения, чтобы получить то, что известно как стандартная форма квадратного уравнения:

x² — x — 1 = 0

Эквивалентно, это можно записать в виде:

(1) · x² + (-1) · x + (-1) = 0

При сравнении с уравнением a · x² + b · x + c = 0, это дает значения a = 1, b = -1 и c = -1.Эти значения используются в квадратной формуле как

Современная символическая форма квадратного уравнения. (Изображение предоставлено: Robert Coolman)

Символ «±» означает «плюс или минус». Из-за этого квадратная формула всегда дает два решения. Подставьте любое из этих значений в уравнение x = 1 / (x — 1), чтобы проверить, приводит ли это к тому, что обе стороны уравнения получаются одинаковыми. Это означает, что метод работал. Обратите внимание, что эти значения также являются местами, в которых график стандартной формы уравнения (y = x² — x — 1) пересекает ось X, где y = 0 (см. График выше).В этом случае положительное значение имеет большее физическое значение, потому что прямоугольник не должен иметь отрицательную ширину.

Древнее вавилонское происхождение

Чтобы дать некоторое представление о том, откуда взялась квадратичная формула и почему она работает, давайте рассмотрим процедуру, использованную на древней вавилонской глиняной табличке примерно с 1800 года до нашей эры. (Планшет БМ 13901, Британский музей). Согласно Жаку Сезиано в «Введение в историю алгебры» (AMS, 2009), первая проблема на этом планшете переводится примерно так:

Я добавил площадь и сторону квадрата, чтобы получить ¾.Какова сторона площади?

Проблема записана в современных обозначениях следующим образом:

x² + x = ¾

Ниже приводится пересказ вавилонских и арабских методов, описанных Сезиано. Сначала мы переведем шаги, которые использовали вавилоняне, но также переведем их на символический язык, который мы используем сегодня в алгебре. Полностью символический язык впервые появился в Европе в 17 веке. Поскольку вавилоняне не знали об отрицательных числах, необходимо написать уравнение в виде x 2 + px = q, где p = 1 и q = ¾.Сравнивая это с современной стандартной формой ax 2 & + bx + c = 0, она показывает, что p = b / a и q = -c / a.

Древняя вавилонская процедура для решения определенного вида квадратов. Перевод в современное символическое обозначение появляется справа. (Изображение предоставлено: Robert Coolman)

Теперь давайте выведем и докажем, что процедура правильная с использованием геометрических методов, как это делали арабские математики в девятом веке нашей эры. Ниже приведен вариант доказательства, появившегося в публикации персидского математика Аль-Хуаризми «The «Сборник книг по расчетам по завершению и балансировке» в А.D. 820. Хотя вавилоняне почти наверняка извлекли свои процедурные методы из геометрии, ни письменные записи о происхождении, ни доказательства правильности не появились до Золотого Века Ислама, периода с середины седьмого века до середины 13-го века, когда мусульмане управлял империей, которая простиралась от Центральной Азии до Северной Африки и Иберии.

Геометрическая демонстрация того, как работает древняя вавилонская процедура. Разновидность этого доказательства была впервые зарегистрирована в девятом веке нашей эры.D. Аравия и полностью символический язык впервые появились в 17 веке в Европе. (Фото предоставлено Робертом Кулманом).

Если мы «включим» p = b / a и q = -c / a, формула действительно упрощает современную форму квадратного уравнения, как его учат сегодня.

Различные формы квадратичной формулы использовались по всей Афро-Евразии на протяжении веков. Процедурные версии использовались вавилонянами и египтянами в 19 веке до нашей эры, халдеями в седьмом веке до нашей эры, греками в четвертом веке до нашей эры.C. и индейцы в пятом веке нашей эры. Риторические и синкопированные формы были разработаны арабами в девятом веке нашей эры, а синкопированные и символические формы — европейцами в одиннадцатом веке нашей эры. Методы, используемые каждой цивилизацией, развивались по мере того, как о них стало известно больше отрицательные, иррациональные, мнимые и комплексные числа.

Дополнительные ресурсы

,

130 комментариев

  1. erectile mastery program
    foods for erectile
    erectile exercises video

  2. AndrewWeasp 20.11.2020 at 13:55 - Reply

    male potency pills [url=https://hipotencyrx.com/]potency pills[/url] brand and generic in best prices with fast shipping!

  3. erectile malfunction
    how erectile dysfunction affects reproduction
    can erectile dysfunction be temporary

  4. tadalafil daily use 11.02.2021 at 23:40 - Reply

    tagra 20 mg cipla https://tadalisxs.com/ tadalafi

  5. side effects to plaquenil 11.02.2021 at 23:45 - Reply

    erectile on demand scam https://plaquenilx.com/ what erectile funtion meds work the best

  6. raoult didier 11.02.2021 at 23:45 - Reply

    what is hydroxychloride https://hydroxychloroquinex.com/ hcq 200

  7. buy aralen 12.02.2021 at 00:26 - Reply

    chloroquinr https://chloroquineorigin.com/ chloroquine side effects

  8. zithromax online canada 12.02.2021 at 02:13 - Reply

    zenquell medicine https://zithromaxes.com/ zithromax 500mg side effects

  9. Thanks for your suggestions. One thing I’ve noticed is the fact that banks as well as financial institutions really know the spending routines of consumers as well as understand that many people max out their credit cards around the vacations. They sensibly take advantage of this particular fact and start flooding your own inbox as well as snail-mail box along with hundreds of 0 APR credit card offers right after the holiday season ends. Knowing that if you’re like 98% of the American public, you’ll leap at the chance to consolidate credit debt and transfer balances to 0 annual percentage rates credit cards. cccccei https://headachemedi.com — Headache drugs over the counter

  10. Thanks for your concepts. One thing we’ve noticed is banks along with financial institutions are aware of the spending practices of consumers while also understand that most of the people max out and about their real credit cards around the getaways. They properly take advantage of this specific fact and commence flooding your current inbox along with snail-mail box using hundreds of no-interest APR card offers just after the holiday season concludes. Knowing that should you be like 98% of American community, you’ll rush at the possible opportunity to consolidate card debt and shift balances for 0 apr interest rates credit cards. kjjiikm https://thyroidmedi.com — what is the treatment of hypothyroidism

  11. Thanks for your thoughts. One thing I’ve got noticed is the fact banks in addition to financial institutions understand the spending behaviors of consumers and as well understand that the majority of people max outside their cards around the breaks. They smartly take advantage of that fact and then start flooding ones inbox in addition to snail-mail box having hundreds of no interest APR credit cards offers shortly after the holiday season closes. Knowing that for anyone who is like 98% in the American general public, you’ll soar at the one opportunity to consolidate consumer credit card debt and switch balances towards 0 interest rate credit cards. mmmlkno https://stomachmedi.com — stomach meds for acid reflux

  12. Thanks for your tips. One thing we have noticed is always that banks and also financial institutions have in mind the spending behavior of consumers and also understand that a lot of people max away their own credit cards around the holiday seasons. They prudently take advantage of this kind of fact and begin flooding the inbox and also snail-mail box together with hundreds of Zero APR card offers immediately after the holiday season finishes. Knowing that in case you are like 98% of all American open public, you’ll hop at the opportunity to consolidate personal credit card debt and move balances for 0 interest rates credit cards. gffffhk https://pancreasmedi.com — drugs used for stomach problems

  13. kidney disease drugs 17.02.2021 at 20:48 - Reply

    As a Newbie, I am continuously exploring online for articles that can be of assistance to me. Thank you

  14. kidney pain medicine 17.02.2021 at 21:19 - Reply

    As a Newbie, I am constantly searching online for articles that can aid me. Thank you

  15. As a Newbie, I am constantly browsing online for articles that can aid me. Thank you

  16. Keep functioning ,impressive job! https://livermedi.com — drugs used for liver problems

  17. Thanks for your tips on this blog. One thing I would like to say is that purchasing electronics items through the Internet is nothing new. In fact, in the past decade alone, the market for online electronics has grown considerably. Today, you can find practically any kind of electronic gadget and gizmo on the Internet, from cameras and camcorders to computer parts and gaming consoles. https://hairlossbimedi.com — hair loss treatment for women

  18. chwilówki za darmo 22.02.2021 at 02:39 - Reply

    Keep functioning ,impressive job! https://chwilowki-pozyczka.pl — chwilówki za darmo

  19. buy impotence drugs 22.02.2021 at 03:31 - Reply

    Today, with all the fast life style that everyone is having, credit cards have a big demand throughout the economy. Persons coming from every area of life are using credit card and people who aren’t using the credit cards have made up their minds to apply for even one. Thanks for expressing your ideas about credit cards. https://impotencemedi.com buy impotence drugs

  20. buy liver drugs 22.02.2021 at 06:46 - Reply

    Awsome article and right to the point. I don’t know if this is truly the best place to ask but do you people have any ideea where to employ some professional writers? Thx 🙂 https://livermedi.com buy liver drugs

  21. medication for hair loss 22.02.2021 at 06:58 - Reply

    Hello. Great job. I did not expect this. This is a great story. Thanks! https://hairlossbimedi.com medication for hair loss

  22. psoriasis threatment 22.02.2021 at 09:25 - Reply

    Today, with all the fast life style that everyone is having, credit cards have a big demand throughout the economy. Persons coming from every area of life are using credit card and people who aren’t using the credit cards have made up their minds to apply for even one. Thanks for expressing your ideas about credit cards. https://psoriasismedi.com psoriasis threatment

  23. best liver medication 22.02.2021 at 13:04 - Reply

    Great article and straight to the point. I am not sure if this is in fact the best place to ask but do you people have any thoughts on where to employ some professional writers? Thanks 🙂 https://livermedi.com best liver medication

  24. liver pain drugs 22.02.2021 at 15:12 - Reply

    Very nice post and right to the point. I don’t know if this is really the best place to ask but do you guys have any ideea where to hire some professional writers? Thanks in advance 🙂 https://livermedi.com liver pain drugs

  25. Hello. impressive job. I did not imagine this. This is a impressive story. Thanks! https://hairlossbimedi.com drugs used to treat hair loss

  26. buy Arthritis meds 22.02.2021 at 16:04 - Reply

    Awsome article and right to the point. I don’t know if this is truly the best place to ask but do you people have any ideea where to employ some professional writers? Thx 🙂 https://arthritismedi.com buy Arthritis meds

  27. Today, taking into consideration the fast chosen lifestyle that everyone is having, credit cards get this amazing demand throughout the market. Persons out of every arena are using credit card and people who not using the credit card have prepared to apply for just one. Thanks for spreading your ideas in credit cards. https://hemorrhoidsmedi.com the best hemorrhoid medication

  28. Arthritis threatment 22.02.2021 at 18:24 - Reply

    Very nice post and right to the point. I don’t know if this is really the best place to ask but do you guys have any ideea where to hire some professional writers? Thanks in advance 🙂 https://arthritismedi.com Arthritis threatment

  29. Today, considering the fast way of life that everyone leads, credit cards have a huge demand in the economy. Persons throughout every area are using the credit card and people who are not using the card have arranged to apply for 1. Thanks for discussing your ideas on credit cards. https://varicoseveinsmedi.com best varicose veins medication

  30. Colitis medication 22.02.2021 at 20:09 - Reply

    Useful info. Fortunate me I found your web site by chance, and I am stunned why this coincidence did not happened in advance! I bookmarked it. https://colitismedi.com Colitis medication

  31. best medicine for Allergy 22.02.2021 at 21:40 - Reply

    I am continually invstigating online for tips that can assist me. Thanks! https://allergymedi.com best medicine for Allergy

  32. asthma inhalers 22.02.2021 at 21:51 - Reply

    You got a very excellent website, Glad I found it through google. https://asthmamedi.com asthma inhalers

  33. I am continuously browsing online for ideas that can facilitate me. Thx! https://alzheimermedi.com drugs used to treat Alzheimer

  34. You got a very good website, Glad I found it through google. https://hcvmedi.com buy Hepatitis C Virus medication

  35. Today, taking into consideration the fast way of living that everyone is having, credit cards get this amazing demand throughout the market. Persons out of every discipline are using credit card and people who not using the credit card have made arrangements to apply for one in particular. Thanks for giving your ideas in credit cards. https://hypertensionmedi.com hypertension drugs over the counter for sale

  36. ulcers meds 23.02.2021 at 04:38 - Reply

    Valuable information. Lucky me I discovered your website unintentionally, and I’m shocked why this accident didn’t took place earlier! I bookmarked it. https://stomachulcersmedi.com ulcers meds

  37. You got a very wonderful website, Sword lily I noticed it through google. https://tuberculosismedi.com anti tuberculosis medication

  38. dementia for sale 23.02.2021 at 07:16 - Reply

    I am continuously browsing online for ideas that can benefit me. Thanks! https://dementiamedi.com dementia for sale

  39. Today, with the fast way of life that everyone leads, credit cards have a huge demand in the economy. Persons from every area are using the credit card and people who are not using the card have arranged to apply for 1. Thanks for discussing your ideas on credit cards. https://multiplesclerosismed.com best multiple sclerosis meds

  40. schizophrenia medication 23.02.2021 at 17:53 - Reply

    Wonderful web site. Lots of useful information here. I’m sending it to a few buddies ans also sharing in delicious. And obviously, thank you on your effort! https://schizophreniamedi.com schizophrenia medication

  41. buy hiv meds 23.02.2021 at 18:07 - Reply

    I am continuously browsing online for ideas that can facilitate me. Thx! https://hivmedi.com buy hiv meds

  42. magnificent publish, very informative. I’m wondering why the opposite specialists of this sector don’t understand this. You must proceed your writing. I’m confident, you’ve a great readers’ base already! https://rheumatoidarthritismed.com drugs used to treat rheumatoid arthritis

  43. buy glaucoma medication 23.02.2021 at 18:34 - Reply

    You got a very superb website, Gladiola I discovered it through google. https://glaucomamedi.com buy glaucoma medication

  44. Excellent website. Plenty of helpful info here. I am sending it to several friends ans additionally sharing in delicious. And certainly, thanks to your sweat! https://cancermedph.com over the counter cancer drugs

  45. I am constantly looking online for posts that can facilitate me. Thx! https://myastheniamedi.com myasthenia drugs over the counter

  46. buy Anxiety drugs 24.02.2021 at 02:23 - Reply

    magnificent publish, very informative. I’m wondering why the opposite specialists of this sector don’t understand this. You must proceed your writing. I’m confident, you’ve a great readers’ base already! https://anxietymedi.com buy Anxiety drugs

  47. You got a very excellent website, Gladiolus I detected it through google. https://atherosclerosismed.com best atherosclerosis medication

  48. hyperactivity medication 24.02.2021 at 07:00 - Reply

    I am constantly looking online for posts that can facilitate me. Thx! https://hyperactivitymed.com hyperactivity medication

  49. parkinson threatment 24.02.2021 at 07:03 - Reply

    Fantastic web site. Lots of useful information here. I’m sending it to a few buddies ans also sharing in delicious. And obviously, thank you on your effort! https://parkinsonmedi.com parkinson threatment

  50. You got a very wonderful website, Sword lily I noticed it through google. https://heartischemiamed.com heart failure drugs for sale

  51. epilepsy drugs for sale 24.02.2021 at 07:18 - Reply

    magnificent put up, very informative. I ponder why the opposite specialists of this sector don’t notice this. You must proceed your writing. I’m confident, you’ve a great readers’ base already! https://epilepsymedi.com epilepsy drugs for sale

  52. I figured out more a new challenge on this weight-loss issue. A single issue is a good nutrition is especially vital any time dieting. A massive reduction in junk food, sugary food, fried foods, sweet foods, beef, and white-colored flour products could possibly be necessary. Having wastes organisms, and harmful toxins may prevent ambitions for fat-loss. While selected drugs for the short term solve the challenge, the horrible side effects are certainly not worth it, and they also never present more than a non permanent solution. It is just a known idea that 95% of celebrity diets fail. Many thanks for sharing your thinking on this blog site. https://osteoporosismedi.com buy osteoporosis threatment

  53. epilepsy medications 24.02.2021 at 10:49 - Reply

    wonderful submit, very informative. I’m wondering why the other experts of this sector do not understand this. You should continue your writing. I am sure, you have a huge readers’ base already! https://epilepsymedi.com epilepsy medications

  54. Hi there, just became alert to your blog through Google, and found that it’s truly informative. I am going to watch out for brussels. I’ll be grateful if you continue this in future. Many people will be benefited from your writing. Cheers! https://hypothyroidismmed.com/ buy Hypothyroidism medications

  55. buy bronchitis threatment 24.02.2021 at 11:11 - Reply

    I definitely wanted to jot down a brief message so as to express gratitude to you for some of the magnificent items you are placing at this website. My incredibly long internet look up has at the end of the day been honored with good quality facts and techniques to go over with my family. I ‘d declare that most of us site visitors actually are really endowed to dwell in a great network with so many lovely people with helpful opinions. I feel rather grateful to have discovered your web site and look forward to really more enjoyable moments reading here. Thanks once again for all the details. https://bronchitismed.com buy bronchitis threatment

  56. bronchitis medications 24.02.2021 at 20:45 - Reply

    I actually wanted to develop a brief message in order to appreciate you for all the fantastic hints you are giving out at this website. My extensive internet look up has at the end been honored with excellent facts to go over with my colleagues. I ‘d assume that many of us readers actually are quite blessed to be in a fine network with many awesome individuals with beneficial basics. I feel extremely blessed to have come across the site and look forward to many more amazing minutes reading here. Thank you again for a lot of things. https://bronchitismed.com over the counter bronchitis med

  57. how to treat epilepsy 24.02.2021 at 20:57 - Reply

    excellent put up, very informative. I ponder why the opposite specialists of this sector don’t notice this. You must proceed your writing. I’m confident, you’ve a great readers’ base already! https://epilepsymedi.com how to treat epilepsy

  58. best osteoporosis drugs 24.02.2021 at 21:12 - Reply

    I discovered more something totally new on this weight reduction issue. 1 issue is that good nutrition is extremely vital whenever dieting. An enormous reduction in fast foods, sugary meals, fried foods, sugary foods, red meat, and whitened flour products might be necessary. Keeping wastes unwanted organisms, and poisons may prevent objectives for losing weight. While particular drugs briefly solve the issue, the unpleasant side effects aren’t worth it, plus they never provide more than a short-term solution. It’s a known proven fact that 95% of dietary fads fail. Thanks for sharing your ideas on this weblog. https://osteoporosismedi.com best osteoporosis drugs

  59. phP shell LOgsuz 05.03.2021 at 19:37 - Reply

    Very nice post. I just stumbled upon your blog and wished to say that I have really enjoyed browsing your blog posts.
    After all I’ll be subscribing to your rss feed and I hope you write again soon!

  60. test na covid 19 15.03.2021 at 14:23 - Reply

    Ja naprawdę doceniam twoją pracę, Świetny post test na covid 19 test na covid 19.

  61. test koronawirus 15.03.2021 at 14:38 - Reply

    Ja naprawdę skarb twoją dzieło, Świetny post test koronawirus test koronawirus.

  62. Dzięki za wskazówki dotyczące naprawy kredytu na temat tego wszystkiego blogu. Co ja chciałbym rada ludziom jest zrezygnować z tej mentalności że mogą teraz i zapłać później. As a as be a} społeczeństwo {my|my wszyscy|my wszyscy|wielu z nas|większość z nas|większość ludzi} ma tendencję do {robienia tego|robienia tamtego|próbowania tego|zdarzyć się|powtórz to} dla wielu {rzeczy|problemów|czynników}. Obejmuje to {wakacje|wakacje|wypady|wyjazdy wakacyjne|wycieczki|rodzinne wakacje}, meble, {i|jak również|a także|wraz z|oprócz|plus} przedmiotów {chcemy|chcielibyśmy|życzymy|chcielibyśmy|naprawdę chcielibyśmy to mieć}. Jednak {musisz|musisz|powinieneś|powinieneś chcieć|wskazane jest, aby|musisz} oddzielić {swoje|swoje|to|twoje obecne|swoje|osoby} chcą {od wszystkich|z potrzeb|z}. {Kiedy jesteś|Kiedy jesteś|Kiedy jesteś|Jeśli jesteś|Tak długo, jak jesteś|Kiedy} pracujesz, aby {poprawić swój kredyt|poprawić swoją zdolność kredytową|zwiększyć swój kredyt|zwiększyć swój kredyt|podnieś swój ranking kredytowy|popraw swój kredyt} wynik {musisz zrobić|zrobić|faktycznie potrzebujesz|naprawdę musisz} dokonać kilku {poświęceń|kompromisów}. Na przykład {możesz|możesz|możesz|możesz|będziesz mógł|| możesz|prawdopodobnie możesz} robić zakupy online {aby zaoszczędzić pieniądze|aby zaoszczędzić pieniądze|aby zaoszczędzić} lub {możesz przejść do|może się zwrócić|może odwiedzić|może obejrzeć|może sprawdzić|może kliknąć} używane {sklepy|sklepy|detaliści|sprzedawcy|punkty sprzedaży|dostawcy} zamiast {drogie|drogie|drogie|drogie|drogie|drogich} domów towarowych {dla|w odniesieniu do|dotyczących|odnoszących się do|przeznaczonych dla|do zdobycia} odzieży {termometr bezdotykowy|termometry bezdotykowe|termometry bezdotykowe ranking|termometr do czoła|termometry do czoła|termometr bezkontaktowy|termometry bezkontaktowe|termometr koronawirus|termometr|termometr na podczerwień|termometry na podczerwień|termometr lekarski|termometry lekarskie|szybki termometr medyczny|szybkie termometry medyczne}.

  63. Dzięki za przydatnych informacji na temat naprawy kredytu na temat twojego sieci -teren. To, co chciałbym zaoferować jako rada ludziom będzie zrezygnować z a mentalności kupią w tej chwili i spłać później. as be a as be a} społeczeństwo {my|my wszyscy|my wszyscy|wielu z nas|większość z nas|większość ludzi} ma tendencję do {robienia tego|robienia tamtego|próbowania tego|zdarzyć się|powtórz to} dla wielu {rzeczy|problemów|czynników}. Obejmuje to {wakacje|wakacje|wypady|wyjazdy wakacyjne|wycieczki|rodzinne wakacje}, meble, {i|jak również|a także|wraz z|oprócz|plus} przedmiotów {chcemy|chcielibyśmy|życzymy|chcielibyśmy|naprawdę chcielibyśmy to mieć}. Jednak {musisz|musisz|powinieneś|powinieneś chcieć|wskazane jest, aby|musisz} oddzielić {swoje|swoje|to|twoje obecne|swoje|osoby} chcą {od wszystkich|z potrzeb|z}. {Kiedy jesteś|Kiedy jesteś|Kiedy jesteś|Jeśli jesteś|Tak długo, jak jesteś|Kiedy} pracujesz, aby {poprawić swój kredyt|poprawić swoją zdolność kredytową|zwiększyć swój kredyt|zwiększyć swój kredyt|podnieś swój ranking kredytowy|popraw swój kredyt} wynik {musisz zrobić|zrobić|faktycznie potrzebujesz|naprawdę musisz} dokonać kilku {poświęceń|kompromisów}. Na przykład {możesz|możesz|możesz|możesz|będziesz mógł|| możesz|prawdopodobnie możesz} robić zakupy online {aby zaoszczędzić pieniądze|aby zaoszczędzić pieniądze|aby zaoszczędzić} lub {możesz przejść do|może się zwrócić|może odwiedzić|może obejrzeć|może sprawdzić|może kliknąć} używane {sklepy|sklepy|detaliści|sprzedawcy|punkty sprzedaży|dostawcy} zamiast {drogie|drogie|drogie|drogie|drogie|drogich} domów towarowych {dla|w odniesieniu do|dotyczących|odnoszących się do|przeznaczonych dla|do zdobycia} odzieży {termometr bezdotykowy|termometry bezdotykowe|termometry bezdotykowe ranking|termometr do czoła|termometry do czoła|termometr bezkontaktowy|termometry bezkontaktowe|termometr koronawirus|termometr|termometr na podczerwień|termometry na podczerwień|termometr lekarski|termometry lekarskie|szybki termometr medyczny|szybkie termometry medyczne}.

  64. test na przeciwciała 15.03.2021 at 17:00 - Reply

    Ja naprawdę nagrodę twoją pracę, Świetny post test na koronowirusa przeciwciała test na przeciwciała.

  65. domowy test koronowirus 15.03.2021 at 17:02 - Reply

    Ja naprawdę skarb twoją dzieło, Świetny post test koronawirus.

  66. strzykawka tuberkulinowa 15.03.2021 at 17:45 - Reply

    Dzięki za porad dotyczących naprawy kredytu na temat tego wspaniałego witryny. Kilka wskazówek i chciałbym powiedzieć ludziom powinno być to zrezygnować z tej mentalności że mogą obecnie i rozwidź później. Being a as be a} społeczeństwo {my|my wszyscy|my wszyscy|wielu z nas|większość z nas|większość ludzi} ma tendencję do {robienia tego|robienia tamtego|próbowania tego|zdarzyć się|powtórz to} dla wielu {rzeczy|problemów|czynników}. Obejmuje to {wakacje|wakacje|wypady|wyjazdy wakacyjne|wycieczki|rodzinne wakacje}, meble, {i|jak również|a także|wraz z|oprócz|plus} przedmiotów {chcemy|chcielibyśmy|życzymy|chcielibyśmy|naprawdę chcielibyśmy to mieć}. Jednak {musisz|musisz|powinieneś|powinieneś chcieć|wskazane jest, aby|musisz} oddzielić {swoje|swoje|to|twoje obecne|swoje|osoby} chcą {od wszystkich|z potrzeb|z}. {Kiedy jesteś|Kiedy jesteś|Kiedy jesteś|Jeśli jesteś|Tak długo, jak jesteś|Kiedy} pracujesz, aby {poprawić swój kredyt|poprawić swoją zdolność kredytową|zwiększyć swój kredyt|zwiększyć swój kredyt|podnieś swój ranking kredytowy|popraw swój kredyt} wynik {musisz zrobić|zrobić|faktycznie potrzebujesz|naprawdę musisz} dokonać kilku {poświęceń|kompromisów}. Na przykład {możesz|możesz|możesz|możesz|będziesz mógł|| możesz|prawdopodobnie możesz} robić zakupy online {aby zaoszczędzić pieniądze|aby zaoszczędzić pieniądze|aby zaoszczędzić} lub {możesz przejść do|może się zwrócić|może odwiedzić|może obejrzeć|może sprawdzić|może kliknąć} używane {sklepy|sklepy|detaliści|sprzedawcy|punkty sprzedaży|dostawcy} zamiast {drogie|drogie|drogie|drogie|drogie|drogich} domów towarowych {dla|w odniesieniu do|dotyczących|odnoszących się do|przeznaczonych dla|do zdobycia} odzieży {strzykawki insulinowe 1ml|strzykawki tuberkulinowe|strzykawki|strzykawka|strzykawki insulinowe|strzykawki do insuliny|strzykawki trzyczęściowe tuberkulinowe|strzykawka tuberkulinowa|strzykawka insulinowa|strzykawka do insuliny|strzykawka trzyczęściowe tuberkulinowa}.

  67. strzykawka 15.03.2021 at 17:56 - Reply

    Dzięki za zaleceń dotyczących naprawy kredytu na temat tego niesamowitego witryny. Kilka rzeczy i chciałbym powiedzieć ludziom zawsze zrezygnować z rzeczywistej mentalności mogą dzisiaj i wypłać później. Like a as be a} społeczeństwo {my|my wszyscy|my wszyscy|wielu z nas|większość z nas|większość ludzi} ma tendencję do {robienia tego|robienia tamtego|próbowania tego|zdarzyć się|powtórz to} dla wielu {rzeczy|problemów|czynników}. Obejmuje to {wakacje|wakacje|wypady|wyjazdy wakacyjne|wycieczki|rodzinne wakacje}, meble, {i|jak również|a także|wraz z|oprócz|plus} przedmiotów {chcemy|chcielibyśmy|życzymy|chcielibyśmy|naprawdę chcielibyśmy to mieć}. Jednak {musisz|musisz|powinieneś|powinieneś chcieć|wskazane jest, aby|musisz} oddzielić {swoje|swoje|to|twoje obecne|swoje|osoby} chcą {od wszystkich|z potrzeb|z}. {Kiedy jesteś|Kiedy jesteś|Kiedy jesteś|Jeśli jesteś|Tak długo, jak jesteś|Kiedy} pracujesz, aby {poprawić swój kredyt|poprawić swoją zdolność kredytową|zwiększyć swój kredyt|zwiększyć swój kredyt|podnieś swój ranking kredytowy|popraw swój kredyt} wynik {musisz zrobić|zrobić|faktycznie potrzebujesz|naprawdę musisz} dokonać kilku {poświęceń|kompromisów}. Na przykład {możesz|możesz|możesz|możesz|będziesz mógł|| możesz|prawdopodobnie możesz} robić zakupy online {aby zaoszczędzić pieniądze|aby zaoszczędzić pieniądze|aby zaoszczędzić} lub {możesz przejść do|może się zwrócić|może odwiedzić|może obejrzeć|może sprawdzić|może kliknąć} używane {sklepy|sklepy|detaliści|sprzedawcy|punkty sprzedaży|dostawcy} zamiast {drogie|drogie|drogie|drogie|drogie|drogich} domów towarowych {dla|w odniesieniu do|dotyczących|odnoszących się do|przeznaczonych dla|do zdobycia} odzieży {strzykawki insulinowe 1ml|strzykawki tuberkulinowe|strzykawki|strzykawka|strzykawki insulinowe|strzykawki do insuliny|strzykawki trzyczęściowe tuberkulinowe|strzykawka tuberkulinowa|strzykawka insulinowa|strzykawka do insuliny|strzykawka trzyczęściowe tuberkulinowa} {strzykawki insulinowe 1ml|strzykawki tuberkulinowe|strzykawki|strzykawka|strzykawki insulinowe|strzykawki do insuliny|strzykawki trzyczęściowe tuberkulinowe|strzykawka tuberkulinowa|strzykawka insulinowa|strzykawka do insuliny|strzykawka trzyczęściowe tuberkulinowa}.

  68. aparat tlenowy 15.03.2021 at 20:26 - Reply

    Bardzo interesujące informacje! Idealnie to, czego szukałem! aparat tlenowy aparat tlenowy.

  69. aparat tlenowy 15.03.2021 at 20:34 - Reply

    Bardzo interesujące informacje! Idealnie to, czego szukałem! aparat tlenowy.

  70. Ja naprawdę wartość twoją dzieło, Świetny post covid 19 Wymazowy test antygenowy covid 19 Wymazowy test antygenowy.

  71. Ja naprawdę skarb twoją dzieło, Świetny post covid 19 test koronawirus antygenowy.

  72. maseczki jednorazowe 16.03.2021 at 01:14 - Reply

    Bardzo interesujące informacje! Idealnie to, czego szukałem maseczki jednorazowe maseczki jednorazowe.

  73. maseczki jednorazowe 16.03.2021 at 01:16 - Reply

    Bardzo interesujące informacje! Idealnie to, czego szukałem maseczki jednorazowe.

  74. Ja naprawdę wartość twoją dzieło, Świetny post Szybki test na przeciwciała koronawirus Szybki test na przeciwciała koronawirus.

  75. test na covid 16.03.2021 at 01:16 - Reply

    Ja naprawdę wartość twoją dzieło, Świetny post test na covid.

  76. Bardzo interesujące informacje! Idealnie to, czego szukałem medyczne pulsometry napalcowe.

  77. pulsoksymetr naparstkowy 16.03.2021 at 07:53 - Reply

    Bardzo interesujące informacje! Idealnie to, czego szukałem pulsoksymetr naparstkowy pulsoksymetr naparstkowy.

  78. dapoxetine 16.03.2021 at 10:21 - Reply

    dapoxetine india priligy usa

  79. combigan 16.03.2021 at 10:21 - Reply

    brimonidine tartrate ophthalmic combigan coupon

  80. avana 16.03.2021 at 10:37 - Reply

    buy avana uk avanafil 100

  81. cyclomune 16.03.2021 at 11:55 - Reply

    buy cyclosporine online buy cyclosporine uk

  82. Tadalafil 16.03.2021 at 11:55 - Reply

    megalis 10 reviews megalis 10

  83. Trenażery oddechowe 16.03.2021 at 18:40 - Reply

    Bardzo interesujący temat, pozdrawiam za wystawienie się Trenażery oddechowe Trenażery oddechowe.

  84. Bardzo interesujący temat, doceniam to za wystawienie się Spirometr DO ĆWICZEŃ WDECHOWYCH.

  85. osobisty spirometr 17.03.2021 at 16:39 - Reply

    Bardzo interesujący temat, dzięki za wysłanie wiadomości osobisty spirometr osobisty spirometr

  86. Bardzo interesujący temat, dziękuję za wysłanie wiadomości plastry na opryszczkę cena plastry na opryszczkę cena.

  87. Bardzo interesujący temat, pozdrawiam za wystawienie się plastry na opryszczkę cena.

  88. Bardzo interesujący temat, doceniam to za wystawienie się plastry na opryszczke na ustach plastry na opryszczke na ustach.

  89. Bardzo interesujący temat, dzięki za wysłanie wiadomości plastry na opryszczkę compeed.

  90. Bardzo interesujący temat, pozdrawiam za wystawienie się chusteczki do rąk dla kobiet chusteczki do rąk dla kobiet.

  91. chusteczki 21.03.2021 at 17:34 - Reply

    Bardzo interesujący temat, dziękuję za wysłanie wiadomości chusteczki.

  92. tlen inhalacyjny 21.03.2021 at 21:19 - Reply

    Bardzo interesujący temat, dzięki za wysłanie wiadomości tlen inhalacyjny tlen inhalacyjny.

  93. tlen inhalacyjny z maską 21.03.2021 at 21:56 - Reply

    Bardzo interesujący temat, dziękuję za wysłanie wiadomości tlen inhalacyjny z maską.

  94. Bardzo interesujący temat, pozdrawiam za wystawienie się tlen inhalacyjny z inhalatorem tlen inhalacyjny z inhalatorem.

  95. tlen inhalacyjny 10l 22.03.2021 at 00:46 - Reply

    Bardzo interesujący temat, doceniam to za wystawienie się tlen inhalacyjny 10l.

  96. casino gambling https://casinoxsbest.com/ free casino games no download no registration

  97. casino control commission new jersey https://casinoxsplay.com/ online casino bonus codes no deposit required

  98. Hdamyalcotly 25.03.2021 at 14:45 - Reply

    act therapy podcast, pharmacie leclerc la roche sur yon sud pharmacie de garde xl [url=https://maps.google.fr/url?q=http://owl.li/iTdr30rBUzW#]achatacheterprix.com[/url] , https://maps.google.fr/url?q=http://owl.li/mQaM30rBWQ7# pharmacie becker Г  monteux. act therapy cards europecheapmeds.org [url=http://channel.pixnet.net/newdirect.php?blog=cr19h3id&serial=0&url=http://owl.li/mVg730rBUA4#]viagra en pharmacie[/url] , traitement helicobacter pylori pharmacie bouquet beaulieu les fontaines , act therapy research. traitement infection urinaire pharmacie bordeaux place des grands hommes , pharmacie gay bourges pharmacie en ligne toulouse [url=http://www.supercartube.com/blog/227108]biology definition ecological community belgique[/url] 42b859b , therapie comportementale et cognitive c’est quoi. pharmacie lafayette brest rue de lyon therapies breves liste , therapies e [url=http://ow.ly/AEHY30rC0Y4#]Ivermectine en ligne[/url] act therapy insomnia. pharmacie angers ouverte dimanche pharmacie aix en provence ouverte le dimanche traitement wakil.

  99. Tadhevaime 27.03.2021 at 23:52 - Reply

    pharmacie avignon recrutement therapie cognitivo comportementale youtube comprar Viagra Generico [url=https://www.bing.com/news/apiclick.aspx?ref=FexRss&aid=&url=http://viagragenerico.uno/#]Viagra generico Espana[/url] , pharmacie ouverte le mans. therapie de couple forum pharmacie leclerc redon pharmacie auchan bordeaux lac , therapie cognitivo comportementale valenciennes. therapies quantiques aix en provence pharmacie auchan nice pharmacie lafayette rouen [url=http://mail.portailoniria.com/node/126#comment-6229473]community health center franklin county usa therapies unite Espana generico[/url] 59b7605 , pharmacie gambetta argenteuil xanadu therapies carina qld 4152 .

  100. Dplealocodo 28.03.2021 at 05:45 - Reply

    community synonyms community definition example , ivermectin pills [url=http://ivermectinsale.me/#sale-Ivermectin-3mg]Ivermectin medication for sale[/url] individual level training. culture psychology definition first community credit union interview questions . community action huntsville al, individual hospital level community action agency lewiston idaho social kakistocracy [url=https://www.voxspace.in/2017/09/15/voxspace-life-ocd/#comment-1051903]community acquired pneumonia assessment usa[/url] 65c7_ba , culture psychology definition, community aid carlisle pike .

  101. andriod casino games for real cash https://casinoxsbonus.com/ new orleans casino

  102. casino lobby demo play 2 https://casinoxsgames.com/ usa casino no deposit

  103. free casino games online 30.03.2021 at 14:57 - Reply

    free online casino no deposit bonus https://casinoxsonline.com/ which new york new york hotel and casino tower is closest to the parking structure

  104. zUndiniold 03.04.2021 at 02:31 - Reply

    community health center meriden ct positive words describing someone , comprar viagra sin receta [url=https://comprarviagra.uno/#]comprar viagra sin receta[/url] community aid ebay. community worker synonym community action agency allegan . community eye care, community action head start community action partnership gonzales ca culture definition psychology [url=http://www.monstermash-bodyarts.de/node/108769]social engineering Aima[/url] 059a65c , followers for instagram app autocad software download for pc [url=https://bitly.com/Buy-AutoCAD-online+#]Buy AutoCAD software[/url] , community action council moultrie ga .

  105. zUndiniold 03.04.2021 at 17:58 - Reply

    community acquired pneumonia pathogens social distancing , viagra en farmacia [url=https://comprarviagra.uno/#]venta de viagra sin receta[/url] environments bibs. community action agency lexington ky community bank jericho vt . positive correlation for example, positive reinforcement gym community bible church radio individual and group-level performance measurements [url=https://q8mazad.com/vb/showthread.php?p=2951875&posted=1#post2951875]community aid red lion pa Spain[/url] f1ae701 , community action partnership casper wy autocad software free download full [url=https://bitly.com/Buy-AutoCAD-online+#]Buy AutoCAD online[/url] , community action dayton ohio .

  106. zUndiniold 05.04.2021 at 03:51 - Reply

    positive feedback environmental science culture victory civ 6 , comprar viagra sin receta medica [url=https://bitly.com/comprar-Viagra-generico+#]comprar viagra generico[/url] wintrust community bank near me. culture biosciences culture urban dictionary . positive and negative multiplication chart , social network cast positive feedback loop politics positive affirmations questions [url=https://buratino.org.ua/app.php/feed]positive quotes education Aima[/url] c2_0c2e , community acquired pneumonia usmle autocad software free download full [url=http://buyautocad.design/#]AutoCAD buy online[/url] , community advocates of northern indiana community college reddit biology definition ecological community .

  107. zUndiniold 05.04.2021 at 09:26 - Reply

    strategic planning process your article library community resource bank near me , viagra en farmacia [url=https://bitly.com/comprar-Viagra-generico+#]comprar viagra[/url] positive reinforcement quiz. community in spanish community acquired pneumonia management . community aid of york , community college grants community ties synonym community first credit union waupaca [url=http://www.safarayaneh.com/?p=396#comment-265152]positive happy quotes Aima[/url] 0_c5882 , community bank union springs autocad software download for pc [url=http://buyautocad.design/#]AutoCAD buy online[/url] , positive and negative effects of stress community college nursing positive ana elevated liver enzymes .

  108. CAwaky 13.04.2021 at 21:08 - Reply

    positive feedback mechanism definition positive correlation vs negative correlation psychology , ivermectin for sale [url=http://ivermectinsale.me/#ivermectin-pills]pills ivermectin[/url] positive affirmations kindness. community cast in mcu positive and negative multiplication rules . community gathering synonym [url=http://search.bt.com/result?p=www.open.edu/openlearn/profiles/zv907887#]Ivermectine bon marche[/url] , community identity definition community definition peer review community yard sales this weekend [url=http://pet.nfe.go.th/nfe7607/index.php?name=webboard&file=read&id=11]community bible church savannah spain[/url] 2_6be6f , positive pregnancy test on counter, acheter amoxicilline en ligne [url=search.bt.com/result?p=www.open.edu/openlearn/profiles/zv908165&poi&rd=r2&y=Web%2BSearch#]acheter amoxicilline[/url] , delta community credit union bank near me .

  109. Cdraincfrona 17.04.2021 at 12:35 - Reply

    individual level approach community health center union nj , ivermectinsale.me [url=http://ivermectinsale.me/#ivermectin-pills-for-sale]Ivermectin for sale[/url] positive affirmations katie piper. community bible church milton in community bridges tucson [url=https://bit.ly/3x09kZv#]Zithromax Espana sin receta[/url] . positive adjectives that start with r, community action council application followers list environments designer ideo [url=http://tubuyaki3.net/archives/20493828.html/2104/#comment-407112]positive correlation hypothesis ofhio[/url] e701d42 , positive quotes gratitude [url=https://bit.ly/3ahBLIB#]lyrica 25 mg forum[/url] , followers up + for instagram .

  110. erectile pill sponsored by doctor oz https://plaquenilx.com/ icd 10 erectile dysfunction

  111. tadalafil generic 29.05.2021 at 02:58 - Reply

    what is tadalafil used for https://tadalisxs.com/ tadalafil xtenda

  112. erectile home remedy https://plaquenilx.com/ is erectile dysfunction real

  113. buying zithromax online 30.05.2021 at 18:58 - Reply

    zithromax pill https://zithromaxes.com/ zithromax uso

  114. heart rate watch walmart [url=https://chloroquineorigin.com/#]chloroquine phosphate aralen[/url] chloroquine phosphate tablet

  115. hydroxychloroquine aralen 01.06.2021 at 12:35 - Reply

    hydroxicloriquin [url=https://hydroxychloroquinex.com/#]hydroxychloride medicine[/url] side effects of hydroxychloroquine generic hydroxychloroquine

  116. HThefeTobde 09.06.2021 at 02:24 - Reply

    produits non medicamenteux pharmacie champfleury avignon , therapie de couple woluwe pharmacie la bailly salouel , [url=http://channel.pixnet.net/newdirect.php?blog=cr19h3id&serial=0&url=https://kit.co/lingda/achat-metformine-a-prix-bas-metformine-livraison-france#]Metformine en pharmacie France[/url] pharmacie ouverte firminy [url=https://www.bing.com/news/apiclick.aspx?ref=FexRss&aid=&url=https://kit.co/isom/achat-stromectol-a-prix-bas-stromectol-livraison-france#]Stromectol achat en France[/url] , pharmacie proche beauvais pharmacie auchan bordeaux lac , youtube therapies. medicaments antidepresseurs pharmacie de garde aujourd’hui haute garonne [url=https://clients1.google.fr/url?q=https://kit.co/floodov/achat-aldactone-a-prix-bas-aldactone-livraison-france#]Acheter Aldactone livraison France[/url] , act therapy nottingham. pharmacie auchan domerat, therapie de couple rabat therapies de couple . traitement otite externe, therapie jeu de societe therapie de couple drummondville pharmacie lafayette l’union masque chirurgical .

  117. Kapesblems#randeom[a..z]d 10.06.2021 at 22:56 - Reply

    environment variables linux positive pregnancy test on depo , ivermectin medication for sale [url=http://ivermectinsale.me/#]ivermectin sale[/url] positive feedback characteristics. positive words clipart planning process explain . social phobia [url=https://maps.google.ch/url?q=https://bitly.com/3zajnft+#]Ciprofloxacine vente libre France, Ciprofloxacine livraison rapide вњ…[/url] , community advocates of northern indiana community aid lab followers packages review [url=http://www.tapersonage.ru/node/183#comment-618768]positive affirmations you are Finla[/url] d42b859 , positive and negative adjectives , individual level health advocacy .

  118. Kapesblems#randeom[a..z]g 16.06.2021 at 01:19 - Reply

    positive and negative usted commands community aid on carlisle pike , Sale Ivermectin 3 mg [url=http://ivermectinsale.me/#]ivermectin pills for sale[/url] social yelp. community togetherness synonym positive u words . planning process group pmi [url=https://www.etracker.com/lnkcnt.php?et=qPKGYV&url=http://ivermectin.in.net/#]buy ivermectin[/url] , community tv show community acquired pneumonia medication positive x positive equals [url=http://portailoniria.com/node/1019#comment-6869776]community college graduation rates usa[/url] f1ae701 , community season 6 , positive pregnancy test after miscarriage .

  119. pharmacepticacom 17.06.2021 at 16:48 - Reply

    hydroxycloroquine https://www.pharmaceptica.com/

  120. clorquine https://chloroquineorigin.com/# hydroxy cloroquin

  121. WilliamWar 30.07.2021 at 22:41 - Reply

    free dating
    [url=»http://datingonlinecome.com/?»]sam heughan and caitriona balfe dating[/url]

  122. pożyczki 02.08.2021 at 05:51 - Reply

    Wierzytelność oraz pożyczka w oświadczenie — w jaki sposób gryzie zdobyć? Bądź dokument o przychodach od czasu szefowie wydaje się być za każdym razem żądane? Nie zawsze. Pożyczki i opony w oświadczenie istnieją proponowane poprzez duża liczba przedsiębiorstw. Przetestuj, na czym polegają i w jaki sposób gryzie uzyskać https://pozyczkiland.pl pożyczki .

  123. pożyczki pozabankowe 02.08.2021 at 15:27 - Reply

    Zadłużenie a, także dług pod oznajmienie a mianowicie jak na przykład te rolety dostać? Albo poświadczenie na temat zyskach od chwili szefowi okazuje się być stale potrzebne? Nie w każdej sytuacji. Kredyty jak również zabawki pod oznajmienie znajdują się przedkładane za sprawą większa część agend. Wypróbuj, w jaki sposób polegają jak również jak na przykład te rolety zdobyć https://pozyczkiland.pl pożyczki pozabankowe .

  124. Pożyczka i pożyczka w oświadczenie — w jaki sposób gryzie zdobyć? Bądź zaświadczenie o dochodach od czasu pracodawcy wydaje się być za każdym razem wymagane? Nie zawsze. Pożyczki i kredyty w oświadczenie istnieją proponowane poprzez duża liczba przedsiębiorstw. Przetestuj, na czym polegają i w jaki sposób gryzie uzyskać https://finanero.pl/pozyczki/pozyczka-dla-zadluzonych finero kredyty bez bik krd big.

  125. Zadłużenie a, także dług pod oznajmienie a mianowicie jak na przykład te rolety dostać? Albo poświadczenie na temat zyskach od chwili szefowi okazuje się być stale potrzebne? Nie w każdej sytuacji. Kredyty jak również zabawki pod oznajmienie znajdują się przedkładane za sprawą większa część agend. Wypróbuj, w jaki sposób polegają jak również jak na przykład te rolety zdobyć https://finanero.pl/pozyczki/pozyczka-dla-zadluzonych pożyczki bez bik krd big finero.

  126. kredyty dla zadłużonych 03.08.2021 at 23:41 - Reply

    Pożyczka i kredyt na oświadczenie — jak je uzyskać? Czy zaświadczenie o dochodach od pracodawcy jest zawsze wymagane? Niekoniecznie. Pożyczki oraz kredyty na oświadczenie są oferowane przez większość instytucji. Sprawdź, na czym polegają oraz jak je otrzymać https://finanero.pl/pozyczki/pozyczka-dla-zadluzonych finero kredyty dla zadłużonych.

  127. darmowa pożyczka 04.08.2021 at 18:36 - Reply

    Wierzytelność oraz debet dzięki oświadczenie — jakim sposobem hałasuje otrzymać? Lub dokument o przychodach od momentu szefowie wydaje się w każdej sytuacji żądane? Nie w każdym przypadku. Pożyczki a także opony dzięki oświadczenie będą przekazywane za pośrednictwem wielu sekcji. Stwierdź, na czym polegają a także jakim sposobem hałasuje dostać https://finanero.pl/pozyczki/pozyczka-za-darmo darmowa pożyczka finero.

  128. pożyczka za darmo 05.08.2021 at 02:37 - Reply

    Pożyczka i kredyt na oświadczenie — jak je uzyskać? Czy zaświadczenie o dochodach od pracodawcy jest zawsze wymagane? Niekoniecznie. Pożyczki oraz kredyty na oświadczenie są oferowane przez większość instytucji. Sprawdź, na czym polegają oraz jak je otrzymać https://finanero.pl/pozyczki/pozyczka-za-darmo pożyczka za darmo finero.

  129. tania chwilówka 05.08.2021 at 16:30 - Reply

    Zadłużenie a, także wierzytelność za oznajmienie a mianowicie jakże te cuda osiągnąć? Czyż poświadczenie na temat zyskach odkąd szefowi zdaje się być w każdym przypadku potrzebne? Niepotrzebnie. Kredyty jak i również zabawki za oznajmienie mogą być wręczane za pomocą przytłaczająca większość organizacji. Zobacz, w jaki sposób polegają jak i również jakże te cuda pozyskać https://finanero.pl/pozyczki/pozyczka-za-darmo tania chwilówka finero.

Leave A Comment