Тригонометрические формулы

© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

(1) Основное тригонометрическое тождествоsin2(α) + cos2(α) = 1
(2) Основное тождество через тангенс и косинус 1 + tg2(α) = 1/cos2(α)
(3) Основное тождество через котангенс и синус 1 + ctg2(α) = 1/sin2(α)
(4) Соотношение между тангенсом и котангенсомtg(α)ctg(α) = 1
(5) Синус двойного углаsin(2α) = 2sin(α)cos(α)
(6) Косинус двойного углаcos(2α) = cos2(α) – sin2(α) = 2cos2(α) – 1 = 1 – 2sin2(α)
(7)
 Тангенс двойного угла
tg(2α) =   2tg(α)
1 – tg2(α)
(8) Котангенс двойного угла
ctg(2α) = ctg2(α) – 1
  2ctg(α)
(9) Синус тройного углаsin(3α) = 3sin(α)cos2(α) – sin3(α)
(10) Косинус тройного углаcos(3α) = cos3(α) – 3cos(α)sin2(α)
(11) Косинус суммы/разностиcos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)
(12) Синус суммы/разностиsin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)
(13) Тангенс суммы/разности tg(α±β) = (tg(α) ± tg(β))/(1 ∓ tg(α)tg(β))
(14) Котангенс суммы/разности ctg(α±β) = (-1 ± ctg(α)ctg(β))/(ctg(&alpha) ± ctg(β))
(15) Произведение синусовsin(α)sin(β) = ½(cos(α–β) – cos(α+β))
(16) Произведение косинусовcos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α–β))
(17) Произведение синуса на косинусsin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α–β))
(18) Сумма/разность синусовsin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β))
(19) Сумма косинусовcos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α–β))
(20) Разность косинусовcos(α) – cos(β) = –2sin(½(α+β))sin(½(α–β))
(21) Сумма/разность тангенсов tg(α) ± tg(β) = sin(α±β)/cos(α)cos(β)
(22) Формула понижения степени синусаsin2(α) = ½(1 – cos(2α))
(23) Формула понижения степени косинусаcos2(α) = ½(1 + cos(2α))
(24)  Сумма/разность синуса и косинуса sin(α) ± cos(α) = &sqrt;2sin(α±π/4)
(25) Сумма/разность синуса и косинуса с коэффициентами Asin(α) ± Bcos(α) = Корень(A²+B²)(sin(α ± arccos(A/Корень(A²+B²)))
(26) Основное соотношение арксинуса и арккосинусаarcsin(x) + arccos(x) = π/2
(27) Основное соотношение арктангенса и арккотангенсаarctg(x) + arcctg(x) = π/2

Тригонометрические тождества и преобразования

Для решения некоторых задач будет полезной таблица тригонометрических тождеств, которая позволит гораздо проще совершать преобразования функций:

Простейшие тригонометрические тождества

Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств. 
Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2)
Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3)

Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса.
Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5)
Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6)
Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.


Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс — нечетные функции.

Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа).
Косинус «минус альфа» даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа.
Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:


Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла

равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.

Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой — квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

Формулы универсальной тригонометрической подстановки

Указанные ниже формулы преобразования могут пригодиться, когда нужно аргумент тригонометрической функции ( sin α, cos α, tg α) разделить на два и привести выражение к значению половины угла. Из значения α получаем  α/2 .

Данные формулы называются

формулами универсальной тригонометрической подстановки. Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.

Тригонометрические тождества преобразования половины угла

Указанные ниже формулы тригонометрического преобразования половинной величины угла к его целому значению.
Значение аргумента тригонометрической функции α/2 приводится к значению аргумента тригонометрической функции α.

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α — β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α 

sin (α — β) = sin α · cos β — sin β · cos α 
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β 

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой — сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель — единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель — единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой — произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

Выражения, представляющие собой сумму вида sin α + sin β можно преобразовать с помощью следующих формул:

Формулы тройного угла — преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Иногда необходимо преобразовать тройную величину угла так, чтобы аргументом тригонометрической функции вместо 3α стал угол α.
В этом случае можно воспользоваться формулами (тождествами) преобразования тройного угла:

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

Если возникает необходимость преобразовать произведение синусов разных углов косинусов разных углов или даже произведения синуса на косинус, то можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

В этом случае произведение функций синуса, косинуса или тангенса разных углов будет преобразовано в сумму или разность.

Формулы приведения тригонометрических функций

Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце — угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90)  = cos α .

См. также Полный список формул приведения тригонометрических функций.


Угол α + 90
α + π/2
α + 180
α + π
α + 270
α + 3π/2
90 — α
π/2- α
180 — α
π- α
270 — α
3π/2- α
360 — α
2π- α
sin cos α -sin α -cos α cos α sin α -cos α -sin α
cos -sin α -cos α sin α sin α -cos α -sin α cos α
tg -ctg α tg α -ctg α ctg α -tg α ctg α -tg α
ctg -tg α ctg α -tg α tg α -ctg α tg α -ctg α
 Начать курс обучения

Тригонометрия за 5 минут! Тригонометрические функции и тригонометрический круг простыми словами | Клуб любителей математики

Официальное объяснение тригонометрии вы можете почитать в учебниках или на других интернет сайтах, а в этой статье мы хотим объяснить суть тригонометрии «на пальцах».

Тригонометрические функции связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике:

  • Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе;
  • Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе;
  • Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему;
  • Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Или в виде формул:

Для удобства работы с тригонометрическими функциями был придуман тригонометрический круг, который представляет собой окружность с единичным радиусом (r = 1).

Тогда проекции радиуса на оси X и Y (OB и OA’) равны катетам построенного треугольника ОАВ, которые в свою очередь равны значениям синуса и косинуса данного угла.

Тангенс и котангенс получаются соответстсвенно из треугольников OCD и OC’D’, построенных подобно исходному треугольнику OAB.

Для упрощения обучения тригонометрическим функциям в школе используют только некоторые удобные углы в 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Значения тригонометрических функций повторяются каждые 90° и в некоторых случаях меняя знак на отрицательный.

Достаточно запомнить значения некоторых важных углов и понять принцип повтора значений для бОльших углов.

Значения тригонометрических функций
для первой четверти круга (0° – 90°)

  30° 45° 60° 90°
sin 0 1 cos 1 0 tg 0 1 √3 ctg √3 1 0

Принцип повтора знаков тригонометрических функций

Угол может быть как положительный, так и отрицательный. Отрицательный угол считается угол, откладываемый в противоположную сторону.

В виду того, что полная окружность составляет 360°, значения тригонометрических функций углов, описывающих одинаковое положение радиуса, РАВНЫ.

Например, значения тригонометрических функций для углов 270° и -90° равны.

Для лучшего понимания и запоминания значений тригонометрических функций воспользуйтесь динамическим макетом тригонометрического круга ниже. Нажимая кнопки «+» и «–» значения угла будут увеличиваться или уменьшаться соответственно.

Тригонометрический круг

Углы в радианах

Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2πr. Следовательно 360° в радианах равно 2π, а 180° равно π радиан.

Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π.

Например, для угла 90° будет · π = π

Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.

Онлайн тренажер для запоминания значений тригонометрических функций для разных углов

Онлайн тренажер
для запоминания значений тригонометрических функций для разных углов


Простые тригонометрические тождества

Используя вышеописанные формулы:

тангенс угла выражается через отношение синуса к косинусу:

Соответственно котангенс выражается аналогично:

Также можно заметить, что произведение тангенса на котангес равно единице:

tg(a) · ctg(a) = · =
  • sin(a) · cos(a)
  • cos(a) · sin(a)
= 1

Иными словами, тангенс угла обратно пропорционален котангенсу угла и наоборот:

tg(a) · ctg(a) = 1 ; tg(a) = ; сtg(a) =

Используя теорему Пифагора в треугольнике, что сумма квадратов катетов равно квадрату гипотенузы

r2 = s2 + c2 = (sin(a) · r)2 + (cos(a) · r)2;
r2 · (sin(a)2 + cos(a)2) = r2

Сократим обе части на r2, получим:

sin2a + cos2a = 1

Разделив обе части на квадрат синуса или квадрат косинуса, получим еще два основных тригонометрических тождества:

Решите неравенство -sin(x)^2+cos(x)^2>0 (минус синус от (х) в квадрате плюс косинус от (х) в квадрате больше 0)

Дано неравенство:
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
преобразуем
$$\cos{\left (2 x \right )} = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = -2$$
$$b = 0$$
$$c = 1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c = 
(0)^2 - 4 * (-2) * (1) = 8

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = — \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$w_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n — \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{1} = — \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{1} = — \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
Данные корни
$$x_{1} = — \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = — \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
  3*pi   1 
- ---- - --
   4     10

=
$$- \frac{3 \pi}{4} — \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} > 0$$
     2/  3*pi   1 \      2/  3*pi   1 \    
- sin |- ---- - --| + cos |- ---- - --| > 0
      \   4     10/       \   4     10/    
   2/1    pi\      2/1    pi\    
sin |-- + --| - cos |-- + --| > 0
    \10   4 /       \10   4 /    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3      x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > — \frac{\pi}{4} \wedge x $$x > \frac{3 \pi}{4}$$

cos(x)^4+cos(x)^2*sin(x)^2 если x=1/2 (упростите выражение)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

   4         2       2   
cos (x) + cos (x)*sin (x)

$$\sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos^{4}{\left (x \right )}$$

Подстановка условия

[TeX]

[pretty]

[text]

cos(x)^4 + cos(x)^2*sin(x)^2 при x = 1/2
cos(x)^4 + cos(x)^2*sin(x)^2

$$\sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos^{4}{\left (x \right )}$$

cos((1/2))^4 + cos((1/2))^2*sin((1/2))^2

$$\sin^{2}{\left ((1/2) \right )} \cos^{2}{\left ((1/2) \right )} + \cos^{4}{\left ((1/2) \right )}$$

cos(1/2)^4 + cos(1/2)^2*sin(1/2)^2

$$\sin^{2}{\left (\frac{1}{2} \right )} \cos^{2}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \cos^{4}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$

cos(1/2)^4 + cos(1/2)^2*sin(1/2)^2

$$\sin^{2}{\left (\frac{1}{2} \right )} \cos^{2}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \cos^{4}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$

Объединение рациональных выражений

[TeX]

[pretty]

[text]

   2    /   2         2   \
cos (x)*\cos (x) + sin (x)/

$$\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cos^{2}{\left (x \right )}$$

Комбинаторика

[TeX]

[pretty]

[text]

   2    /   2         2   \
cos (x)*\cos (x) + sin (x)/

$$\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cos^{2}{\left (x \right )}$$

Синус, косинус, тангенс

Три функции, но та же идея.

Прямой треугольник

Синус, косинус и тангенс — основные функции, используемые в тригонометрии, они основаны на прямоугольном треугольнике.

Прежде чем углубляться в функции, полезно присвоить имя каждой стороне прямоугольного треугольника:

  • «Противоположно» противоположно углу θ
  • «Соседний» примыкает (рядом) к углу θ
  • «Гипотенуза» — длинная

Соседний всегда находится рядом с углом

И Напротив находится напротив угла

Синус, косинус и тангенс

Синус , Косинус и Касательная (часто сокращается до sin , cos и tan ), каждый является отношением сторон прямоугольного треугольника :

Для заданного угла θ каждое отношение остается неизменным
независимо от того, насколько велик или мал треугольник

Для их расчета:

Разделите длину одной стороны на другую

Пример: Что такое синус 35 °?

Используя этот треугольник (длины до одного десятичного знака):

sin (35 °) = Напротив Гипотенуза
= 2.8 4,9
= 0,57 …
cos (35 °) = Соседний Гипотенуза
= 4,0 4,9
= 0,82 …
загар (35 °) = Напротив Соседний
= 2,8 4,0
= 0,70 …

Размер не имеет значения

Треугольник может быть большим или маленьким, и соотношение сторон остается неизменным .

Только угол меняет соотношение.

Попробуйте перетащить точку «A», чтобы изменить угол, и точку «B», чтобы изменить размер:

На хороших калькуляторах есть sin, cos и tan, чтобы вам было проще. Просто вставьте угол и нажмите кнопку.

Но все же нужно помнить , что они означают !

В форме изображения:

Практика здесь:

Sohcahtoa

Как запомнить? Подумайте о «Sohcahtoa» !

Работает так:

Soh…

S ine = O pposite / H ypotenuse

… ка …

C osine = A djacent / H ypotenuse

… toa

T angent = O pposite / A djacent

Вы можете узнать больше о Sohcahtoa… запомните, это может помочь на экзамене!

Углы от 0 ° до 360 °

Перемещайте мышь, чтобы увидеть, как разные углы (в радианах или градусах) влияют на синус, косинус и тангенс.

В этой анимации гипотенуза равна 1, образуя единичную окружность.

Обратите внимание, что соседняя сторона и противоположная сторона могут быть положительными или отрицательными, что также приводит к изменению синуса, косинуса и тангенса между положительными и отрицательными значениями.

«Почему sin и
tan не пошли на вечеринку?»
«… только cos ! »

Примеры

Пример: каковы синус, косинус и тангенс 30 °?

Классический треугольник 30 ° имеет гипотенузу длины 2, противоположную сторону длины 1 и смежную сторону √3:

Теперь мы знаем длины, можем вычислить функции:

Синус

sin (30 °) = 1/2 = 0.5

Косинус

cos (30 °) = 1,732 / 2 = 0,866 …

Касательная

тангенс угла (30 °) = 1 / 1,732 = 0,577 …

(возьмите калькулятор и проверьте его!)

Пример: каковы синус, косинус и тангенс угла 45 °?

Классический треугольник 45 ° имеет две стороны 1 и гипотенузу √2:

Синус

sin (45 °) = 1/1.414 = 0,707 …

Косинус

cos (45 °) = 1 / 1,414 = 0,707 …

Касательная

тангенс угла (45 °) = 1/1 = 1

Почему?

Почему эти функции важны?

  • Потому что они позволяют нам вычислять углы, когда мы знаем стороны
  • И они позволяют нам определять стороны, когда мы знаем углы

Пример: используйте синусоидальную функцию , чтобы найти «d»

Мы знаем:

  • Кабель образует угол 39 ° с дном
  • Кабель длиной 30 метров .

И мы хотим знать «d» (расстояние вниз).

Начать с: sin 39 ° = противоположно / гипотенуза

sin 39 ° = d / 30

Поменять местами стороны: d / 30 = sin 39 °

С помощью калькулятора найдите sin 39 °: d / 30 = 0,6293 …

Умножить обе стороны на 30: d = 0,6293… x 30

d = 18,88 с точностью до 2 знаков после запятой.

Глубина «d» 18,88 м

Упражнение

Попробуйте это бумажное упражнение, в котором вы можете вычислить синусоидальную функцию. для всех углов от 0 ° до 360 °, а затем нарисуйте результат.Это поможет вам понять эти относительно простые функции.

Вы также можете увидеть графики синуса, косинуса и тангенса.

И поиграйте с пружиной, создающей синусоидальную волну.

Менее распространенные функции

Чтобы завершить картину, есть еще 3 функции, в которых мы разделяем одну сторону на другую, но они не так часто используются.

Они равны 1, деленному на cos , 1, деленному на sin , и 1, деленному на tan :

Секущая функция:

сек ( θ ) = Гипотенуза Соседний (= 1 / cos)

Косеканс, функция:

csc ( θ ) = Гипотенуза Напротив (= 1 / sin)

Функция котангенса:

детская кроватка ( θ ) = Соседний Напротив (= 1 / tan)

.Диаграмма касательного синуса и косинуса

. Каждый градус со специальными углами

В этой таблице приведены десятичные значения для каждого угла от 0 ° до 90 °.

Уголок Синус Косинус Касательная
0 ° 0 1 0
1 ° 0,01745 0,99985 0,01746
2 ° 0.03490 0,99939 0,03492
3 ° 0,05234 0,99863 0,05241
4 ° 0,06976 0,99756 0,06993
5 ° 0,08716 0,99619 0,08749
6 ° 0,10453 0,99452 0,10510
7 ° 0,12187 0.99255 0,12278
8 ° 0,13917 0,99027 0,14054
9 ° 0,15643 0,98769 0,15838
10 ° 0,17365 0,98481 0,17633
11 ° 0,19081 0,98163 0,19438
12 ° 0.20791 0,97815 0.21256
13 ° 0,22495 0,97437 0,23087
14 ° 0,24192 0,97030 0,24933
15 ° 0,25882 0,96593 0,26795
Уголок Синус Косинус Касательная
31 ° 0.51504 0,85717 0,60086
32 ° 0,52992 0,84805 0,62487
33 ° 0,54464 0,83867 0,64941
34 ° 0,55919 0,82904 0,67451
35 ° 0,57358 0,81915 0,70021
36 ° 0,58779 0.80902 0,72654
37 ° 0.60182 0,79864 0,75355
38 ° 0,61566 0,78801 0,78129
39 ° 0,62932 0,77715 0.80978
40 ° 0,64279 0,76604 0,83910
41 ° 0,65606 0,75471 0.86929
42 ° 0,66913 0,74314 0,
43 ° 0,68200 0,73135 0,93252
44 ° 0,69466 0,71934 0,96569
45 ° 0,70711 или 0,70711 или 1
Уголок Синус Косинус Касательная
61 ° 0.87462 0,48481 1.80405
62 ° 0,88295 0,46947 1,88073
63 ° 0,89101 0,45399 1.96261
64 ° 0,89879 0,43837 2.05030
65 ° 0,90631 0,42262 2.14451
66 ° 0,91355 0.40674 2.24604
67 ° 0,92050 0,39073 2.35585
68 ° 0,92718 0,37461 2.47509
69 ° 0,93358 0,35837 2.60509
70 ° 0,93969 0,34202 2,74748
71 °
.

Синус, косинус, касательная, объяснение, примеры и практика определения противоположных, смежных сторон и гипотенузы

На этой странице объясняются синус, косинус и коэффициент тангенса, дается обзор их диапазона значений и предлагаются практические задачи по определению сторон, которые являются противоположными и смежными с заданным углом.

Функции синуса, косинуса и тангенса выражают отношения сторон прямоугольного треугольника.

К каким нижеприведенным треугольникам относится SOHCAHTOA?

Покажи ответ

Интерактивные уголки SOHCAHTOA

Попробуйте активировать $$ \ angle A $$ или $$ \ angle B $$, чтобы изучить способ изменения соседней и противоположной сторон в зависимости от угла.

Статус: Угол активирован: $$ \ red {none} \ text {, ждем, пока вы выберете угол.} $$

Ответ: синус угла всегда является отношением $$ \ frac {противоположная сторона} {гипотенуза} $$.

$ синус (угол) = \ frac {\ text {противоположная сторона}} {\ text {гипотенуза}} $

Пример 1

$$ грех (\ угол \ красный L) = \ гидроразрыв {противоположный} {гипотенуза} \\ sin (\ angle \ red L) = \ frac {9} {15} $$

Пример 2

$$ грех (\ угол \ красный К) = \ гидроразрыв {противоположный} {гипотенуза} \\ sin (\ angle \ red K) = \ frac {12} {15} $$

Помните: Когда мы используем слова «противоположный» и «смежный», мы всегда должны иметь в виду определенный угол.

Диапазон значений синуса

Для тех, кто знаком с «Math Speak», домен и диапазон синуса следующие.

  • Домен синуса = все действительные числа
  • Диапазон синуса = {-1 ≤ y ≤ 1}

Синус угла имеет диапазон значений от -1 до 1 включительно. Ниже приведена таблица значений, иллюстрирующая некоторые ключевые значения синуса, охватывающие весь диапазон значений.

Уголок Синус угла
270 ° sin (270 °) = -1 (наименьшее значение, которое может иметь синус)
330 ° sin (330 °) = -½
0 ° грех (0 °) = 0
30 ° sin (30 °) = ½
90 ° sin (90 °) = 1 (максимальное значение, которое может иметь синус)

Косинус угла всегда является отношением (смежная сторона / гипотенуза).

$ косинус (угол) = \ frac {\ text {прилегающая сторона}} {\ text {гипотенуза}} $

Пример 1

$$ cos (\ angle \ red L) = \ frac {смежный} {гипотенуза} \\ cos (\ angle \ red L) = \ frac {12} {15} $$

Пример 2

$$ cos (\ angle \ red K) = \ frac {смежный} {гипотенуза} \\ cos (\ angle \ red K) = \ frac {9} {15} $$

Диапазон значений косинуса

Для тех, кто знаком с «Math Speak», домен и диапазон косинуса следующие.

  • Область косинуса = все действительные числа
  • Диапазон косинуса = {-1 ≤ y ≤ 1}

Косинус угла имеет диапазон значений от -1 до 1 включительно. Ниже приведена таблица значений, иллюстрирующая некоторые ключевые значения косинуса, охватывающие весь диапазон значений.

Уголок Косинус угла
0 ° cos (0 °) = 1 (наибольшее значение, которое может иметь косинус)
60 ° cos (60 °) = ½
90 ° cos (90 °) = 0
120 ° cos (120 °) = -½
180 ° cos (180 °) = -1 (наименьшее значение, которое может иметь косинус)

Касательная угла всегда является отношением (противоположная сторона / смежная сторона).

$ касательная (угол) = \ frac {\ text {противоположная сторона}} {\ text {смежная сторона}} $

Пример 1

$$ загар (\ угол \ красный L) = \ гидроразрыв {противоположный} {смежный} \\ загар (\ angle \ red L) = \ frac {9} {12} $$

Пример 2

$$ загар (\ угол \ красный K) = \ гидроразрыв {противоположный} {смежный} \\ загар (\ angle \ red K) = \ frac {12} {9} $$

.

Тригонометрия: основные триггерные тождества — Magoosh Math

Какие основные триггерные тождества вам необходимо знать? Посмотрите видео и узнайте!

Основные триггерные идентичности. До сих пор мы говорили о трех основных триггерных функциях: синусе, косинусе и тангенсе. Эти три отношения. Но технически из трех сторон треугольника SOHCAHTOA на самом деле возможно создать шесть соотношений. Таким образом, каждая из шести функций является отдельной триггерной функцией, и действительно важно знать все шесть.Итак, мы уже знаем троих из них.

Итак, давайте посмотрим на треугольник SOHCAHTOA. Вот наш знакомый треугольник SOHCAHTOA, который имеет угол 41 градус, есть противоположная смежная сторона гипотенузы. Итак, несомненно, три из отношений, которые мы можем создать, являются знакомыми отношениями SOHCAHTOA. Но есть еще три соотношения, которые мы можем создать, и вот они.

Основные триггерные тождества: еще три соотношения

Котангенс смежный напротив противоположного, секущий — гипотенуза над смежным, а косеканс — гипотенуза над противоположным.И это шесть соотношений вместе. Итак, подождите секунду, что это за имена? Давайте внимательно посмотрим на эти имена, вот полные имена. Итак, мы уже говорили о синусе, косинусе и тангенсе, а теперь мы говорим о котангенсе, секансе и косекансе.

И обратите внимание на то, как они здесь перечислены. Если вы помните троих слева, то тройка справа — это одно и то же имя с буквой «Со» перед ним. Так что, по крайней мере, некоторые из этих имен возникли в геометрических отношениях.Поговорим об этом минутку. А теперь давайте посмотрим на круг. Это может быть единичный круг, радиус которого равен 1, центр в начале координат, поэтому AB и CD параллельны оси y.

Итак, у нас есть два вертикальных сегмента, AB и CD. И похоже, что B — это точка, где эта радиусная линия пересекает круг, она продолжается. А D выглядит так, как будто он касается круга, где он пересекает ось x. Хорошо, обратите внимание на несколько вещей. Что в треугольнике OAB, треугольник внутри круга, OB, радиус равен 1, и, конечно, OA — это косинус, а AB — синус, хорошо?

Итак, это знакомое соотношение SOHCAHTOA.Теперь посмотрите на треугольник, треугольник чуть побольше, ОКР. Итак, этот — тот, который начинается в точке O, проходит через B до самого C, спускается вниз до D и возвращается по оси x. В этом треугольнике OD равно 1. И это будет означать, что противоположный CD над 1 равен касательной, поэтому касательная равна CD.

А это значит, что гипотенуза над соседним ОС над единицей секущая. Итак, OC равно секущей. Но вот что действительно здорово в этой диаграмме. Обратите внимание, что сегмент CD, длина которого равна касательной, на самом деле касается окружности.Он проходит по кругу и касается его в одной точке.

Это касательная линия. Обратите внимание, что OC, секущая, на самом деле пересекает круг. Это то, что в геометрии называется секущей линией. Вот почему эти две функции имеют такие имена, потому что одна представляет длину касательного сегмента, а другая — длину секущего сегмента. Итак, если вы очень наглядный человек, это может помочь вам немного запомнить эти вещи.

Все начинается с синуса и косинуса

Хорошо, синус и косинус — самые элементарные триггерные функции, и мы можем выразить остальные четыре через них.И это действительно важные формулы, которые нужно знать.

Касательную мы можем записать как синус над косинусом. Котангенс, мы можем записать как косинус по синусу, поэтому обратите внимание, что эти два являются обратными, тангенс и котангенс являются обратными.

Секанс — величина, обратная косинусу. А косеканс — это величина, обратная синусу. Обратите внимание: люди иногда путаются, потому что думают, что буквы S и S должны идти вместе. C и C должны идти вместе. Они этого не делают.

Секанс — величина, обратная косинусу.Косеканс — это величина, обратная синусу. Таким образом, тест может дать вам один из них, если он вам понадобится в задаче, но он может ожидать, что вы также его запомните. Так что это действительно хорошо. Запомнить эти четыре.

Фундаментальная пифагорейская идентичность

В первом уроке триггерной теории мы упомянули фундаментальную пифагорейскую идентичность. Косинус в квадрате + синус в квадрате = 1. Теперь, когда у нас есть еще две функции, мы также можем выразить другие тождества Пифагора. Один из них — квадрат касательного + 1 = квадрат секущей, один — квадрат котангенса + 1 = квадрат косеканса.

Итак, тест, скорее всего, даст вам эти уравнения, если проблема потребует их. Но они могут служить ярлыком или способом подтвердить ответ. Еще я скажу, что если вы планируете заниматься математическим анализом, я гарантирую, я абсолютно гарантирую, что вам нужно знать все три этих уравнения, когда вы приступите к математическому анализу.

для запоминания? Или понять?

Я скажу несколько слов об этом. Конечно, вы можете запоминать их вслепую, но мы не рекомендуем этого делать.Мы действительно рекомендуем их понять.

Итак, если вы начнете с одного наверху, косинус в квадрате плюс синус в квадрате = 1. Вы можете разделить все элементы с обеих сторон на квадрат косинуса, и вы получите вершину пифагорейской идентичности по нижней касательной и секущей.

Или вы можете разделить все в квадрате косинуса плюс квадрат синуса = 1 на квадрат синуса. И тогда вы получите нижний — квадрат котангенса и косеканс. В качестве альтернативы вы можете вернуться к исходному треугольнику SOHCAHTOA с помощью ABC и начать с теоремы Пифагора, A в квадрате + B в квадрате = C в квадрате.Возможно, вы помните, что мы получили эту высшую пифагорейскую идентичность, косинус в квадрате + синус в квадрате = 1.

Мы получили это, взяв в квадрат плюс b в квадрате плюс c в квадрате и разделив все, все три члена, на c в квадрате. Итак, вместо деления на c в квадрате, мы можем разделить все три члена либо на квадрат, либо на b в квадрате. И если вы сделаете это, а затем подставите триггерные функции из соотношений, вы получите эти две пифагорейские тождества.

И поэтому я настоятельно рекомендую сделать это самостоятельно, показать парой разных способов, что вы можете придумать все эти уравнения, потому что тогда вы действительно их поймете.

Практическая задача

Хорошо, теперь мы можем перейти к практической задаче. Поставьте видео на паузу, и мы поговорим об этом.

Изображение ONYXprj

Хорошо, в треугольнике справа, в терминах b и c, какое из следующего является значением касательной теты?

Хорошо, давайте подумаем об этом. У нас там две стороны, нам даны b и c. И, конечно же, c — гипотенуза, b — противоположность, а касательная противоположна смежным.У нас наоборот, у нас нет соседней, поэтому нам понадобится третья сторона.

Снова использование Пифагора!

Что ж, мы можем использовать теорему Пифагора. Итак, теорема Пифагора говорит нам, что квадрат b плюс любой квадрат соседней стороны равняется c в квадрате. И мы можем решить это со смежной стороной. Соседний квадрат равен c в квадрате минус b в квадрате, получим квадратный корень из обеих сторон. Обратите внимание, что извлекая квадратный корень, мы не можем извлекать квадратный корень из c и b по отдельности.

Мы должны оставить это выражение: c в квадрате минус b в квадрате. Но это выражение для длины смежных сторон: c в квадрате минус b в квадрате. Что ж, теперь мы золотые, потому что касательная противоположна смежной. У нас наоборот у нас есть смежные. Так противоположно по соседству, и это будет равно b по квадратному корню из c в квадрате минус b в квадрате.

Фактически, это ответ C. Мы вернулись к задаче и выбрали ответ C. Подводя итог, мы представили три другие триггерные функции.Котангенс, секанс и косеканс. Мы обсудили, как выразить остальные четыре через синус и косинус. Так что очень хорошо понять, как они вписываются в треугольник SOHCAHTOA.

Очень хорошо понять, как они связаны с синусом и косинусом. И, наконец, мы обсуждаем три пифагорейских тождества.

.