ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

Β© Школяр. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° (ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΊΠ΅ «ВСтвистого Π΄Ρ€Π΅Π²Π°Β») 2009β€”2016

(1) ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ тригономСтричСскоС тоТдСствоsin2(Ξ±) + cos2(Ξ±) = 1
(2) ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ тоТдСство Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· тангСнс ΠΈ косинус 1 + tg2(Ξ±) = 1/cos2(Ξ±)
(3) ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ тоТдСство Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· котангСнс ΠΈ синус 1 + ctg2(Ξ±) = 1/sin2(Ξ±)
(4) Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ тангСнсом ΠΈ котангСнсомtg(Ξ±)ctg(Ξ±) = 1
(5) Π‘инус Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°sin(2Ξ±) = 2sin(Ξ±)cos(Ξ±)
(6) ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°cos(2Ξ±) = cos2(Ξ±) – sin2(Ξ±) = 2cos2(Ξ±) – 1 = 1 – 2sin2(Ξ±)
(7)
 Π’ангСнс Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
tg(2Ξ±) =   2tg(Ξ±)
1 – tg2(Ξ±)
(8) ΠšΠΎΡ‚ангСнс Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
ctg(2Ξ±) =ctg2(Ξ±) – 1
  2ctg(Ξ±)
(9) Π‘инус Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°sin(3Ξ±) = 3sin(Ξ±)cos2(Ξ±) – sin3(Ξ±)
(10) ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°cos(3Ξ±) = cos3(Ξ±) – 3cos(Ξ±)sin2(Ξ±)
(11) ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ суммы/разностиcos(Ξ±Β±Ξ²) = cos(Ξ±)cos(Ξ²) βˆ“ sin(Ξ±)sin(Ξ²)
(12) Π‘инус суммы/разностиsin(Ξ±Β±Ξ²) = sin(Ξ±)cos(Ξ²) Β± cos(Ξ±)sin(Ξ²)
(13) Π’ангСнс суммы/разности tg(Ξ±Β±Ξ²) = (tg(Ξ±) Β± tg(Ξ²))/(1 βˆ“ tg(Ξ±)tg(Ξ²))
(14) ΠšΠΎΡ‚ангСнс суммы/разности ctg(Ξ±Β±Ξ²) = (-1 Β± ctg(Ξ±)ctg(Ξ²))/(ctg(&alpha) Β± ctg(Ξ²))
(15) ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ синусовsin(Ξ±)sin(Ξ²) = Β½(cos(α–β) – cos(Ξ±+Ξ²))
(16) ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ косинусовcos(Ξ±)cos(Ξ²) = Β½(cos(Ξ±+Ξ²) + cos(α–β))
(17) ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ синуса Π½Π° косинусsin(Ξ±)cos(Ξ²) = Β½(sin(Ξ±+Ξ²) + sin(α–β))
(18) Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°/Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ синусовsin(Ξ±) Β± sin(Ξ²) = 2sin(Β½(Ξ±Β±Ξ²))cos(Β½(Ξ±βˆ“Ξ²))
(19) Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° косинусовcos(Ξ±) + cos(Ξ²) = 2cos(Β½(Ξ±+Ξ²))cos(Β½(α–β))
(20) Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ косинусовcos(Ξ±) – cos(Ξ²) = –2sin(Β½(Ξ±+Ξ²))sin(Β½(α–β))
(21) Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°/Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тангСнсов tg(Ξ±) Β± tg(Ξ²) = sin(Ξ±Β±Ξ²)/cos(Ξ±)cos(Ξ²)
(22) Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° пониТСния стСпСни синусаsin2(Ξ±) = Β½(1 – cos(2Ξ±))
(23) Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° пониТСния стСпСни косинусаcos2(Ξ±) = Β½(1 + cos(2Ξ±))
(24) Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°/Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ синуса ΠΈ косинуса sin(Ξ±) Β± cos(Ξ±) = &sqrt;2sin(Ξ±Β±Ο€/4)
(25) Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ°/Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ синуса ΠΈ косинуса с коэффициСнтами Asin(Ξ±) Β± Bcos(Ξ±) = ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ(AΒ²+BΒ²)(sin(Ξ± Β± arccos(A/ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ(AΒ²+BΒ²)))
(26) ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ арксинуса ΠΈ арккосинусаarcsin(x) + arccos(x) = Ο€/2
(27) ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ арктангСнса ΠΈ арккотангСнсаarctg(x) + arcctg(x) = Ο€/2

ВригономСтричСскиС тоТдСства ΠΈ прСобразования

Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° тригономСтричСских тоТдСств, которая ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ прСобразования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ тригономСтричСскиС тоТдСства

ЧастноС ΠΎΡ‚ дСлСния синуса ΡƒΠ³Π»Π° Π°Π»ΡŒΡ„Π° Π½Π° косинус Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ тангСнсу этого ΡƒΠ³Π»Π° (Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° 1). Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ прСобразования ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… тригономСтричСских тоТдСств. 
ЧастноС ΠΎΡ‚ дСлСния косинуса ΡƒΠ³Π»Π° Π°Π»ΡŒΡ„Π° Π½Π° синус Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ котангСнсу этого ΠΆΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° (Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° 2)
БСканс ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° косинус этого ΠΆΠ΅ самого ΡƒΠ³Π»Π° (Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° 3)

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² синуса ΠΈ косинуса ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ (Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° 4). см. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ суммы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² косинуса ΠΈ синуса.
Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ тангСнса ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ косинуса этого ΡƒΠ³Π»Π° (Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° 5)
Π•Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° плюс котангСнс ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° частному ΠΎΡ‚ дСлСния Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π° синус ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ этого ΡƒΠ³Π»Π° (Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° 6)
ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ тангСнса Π½Π° котангСнс ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ (Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° 7).

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ)

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ значСния градусной ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈ вычислСнии синуса, косинуса ΠΈΠ»ΠΈ тангСнса, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ тригономСтричСскими прСобразованиями (тоТдСствами), основанными Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ°Ρ… чСтности ΠΈΠ»ΠΈ нСчСтности тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.


Как Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, косинус ΠΈ сСканс являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, синус, тангСнс ΠΈ котангСнс β€” Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Бинус ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ синуса этого ΠΆΠ΅ самого ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° (минус синус Π°Π»ΡŒΡ„Π°).
ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ «минус Π°Π»ΡŒΡ„Π°Β» даст Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ самоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ косинус ΡƒΠ³Π»Π° Π°Π»ΡŒΡ„Π°.
ВангСнс минус Π°Π»ΡŒΡ„Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ минус тангСнс Π°Π»ΡŒΡ„Π°.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° (синус, косинус, тангСнс ΠΈ котангСнс Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°)

Если Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ, ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΊ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠΌΡƒ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ тригономСтричСскими тоТдСствами:


ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° (синуса Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, косинуса Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ тангСнса Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°) Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ происходит ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ:

Бинус Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ синуса Π½Π° косинус ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° косинуса ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° синуса этого ΡƒΠ³Π»Π°

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ косинуса ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° минус Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ минус Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ синус ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

ВангСнс Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ β€” ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ тангСнс ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ минус тангСнс ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°.

ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ β€” ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ котангСнса ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° минус Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°, Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ котангСнсу ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ тригономСтричСской подстановки

Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ прСобразования ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ³ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ( sin Ξ±, cos Ξ±, tg Ξ±) Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Π²Π° ΠΈ привСсти Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Π°. Из значСния Ξ± ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ  Ξ±/2 .

Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ

Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ тригономСтричСской подстановки. Π˜Ρ… Ρ†Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ тригономСтричСскоС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ сводится ΠΊ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ тангСнса ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Π°, Π²Π½Π΅ зависимости ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (sin cos tg ctg) Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ. ПослС этого ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ с тангСнсом ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Π° Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅.

ВригономСтричСскиС тоТдСства прСобразования ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Π°

Π£ΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ тригономСтричСского прСобразования ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΊ Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ.
Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ξ±/2 приводится ΠΊ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ξ±.

ВригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слоТСния ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²

cos (Ξ± β€” Ξ²) = cos Ξ± Β· cos Ξ² + sin Ξ± Β· sin Ξ²

sin (Ξ± + Ξ²) = sin Ξ± Β· cos Ξ² + sin Ξ² Β· cos Ξ± 

sin (Ξ± β€” Ξ²) = sin Ξ± Β· cos Ξ² β€” sin Ξ² Β· cos Ξ± 
cos (Ξ± + Ξ²) = cos Ξ± Β· cos Ξ² β€” sin Ξ± Β· sin Ξ² 

ВангСнс ΠΈ котангСнс суммы ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π°Π»ΡŒΡ„Π° ΠΈ Π±Π΅Ρ‚Π° ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ прСобразования тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

ВангСнс суммы ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ β€” сумма тангСнса ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ тангСнса Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ β€” Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π° минус ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ тангСнса ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π° тангСнс Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°.

ВангСнс разности ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ разности тангСнса ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ тангСнса Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°, Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ β€” Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ плюс ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ тангСнсов этих ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².

ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ суммы ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ котангСнсов этих ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² плюс Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°, Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ разности котангСнса Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ котангСнса ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°.

ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ разности ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ β€” ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ котангСнсов этих ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² минус Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°, Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ суммС котангСнсов этих ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².

Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС тоТдСства ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, тангСнс 105 градусов (tg 105). Если Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ tg (45 + 60), Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ тоТдСствСнными прСобразованиями тангСнса суммы ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², послС Ρ‡Π΅Π³ΠΎ просто ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ значСния Ρ‚ангСнса 45 ΠΈ Ρ‚ангСнса 60 Π³Ρ€Π°Π΄ΡƒΡΠΎΠ².

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ прСобразования суммы ΠΈΠ»ΠΈ разности тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ВыраТСния, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ собой сумму Π²ΠΈΠ΄Π° sin Ξ± + sin Ξ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° β€” ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ sin3Ξ± cos3Ξ± tg3Ξ± Π² sinΞ± cosΞ± tgΞ±

Иногда Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΡƒΠ³Π»Π° Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ тригономСтричСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ вмСсто 3Ξ± стал ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ξ±.
Π’ этом случаС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ (тоТдСствами) прСобразования Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°:

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ прСобразования произвСдСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Если Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ синусов Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² косинусов Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ произвСдСния синуса Π½Π° косинус, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ тригономСтричСскими тоТдСствами:

Π’ этом случаС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ синуса, косинуса ΠΈΠ»ΠΈ тангСнса Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π² сумму ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ привСдСния Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ. Π’ строкС Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, которая нас интСрСсуСт. Π’ столбцС β€” ΡƒΠ³ΠΎΠ». НапримСр, синус ΡƒΠ³Π»Π° (Ξ±+90) Π½Π° пСрСсСчСнии ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ строки ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ столбца выясняСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ sin (Ξ±+90)  = cos Ξ± .

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠŸΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ список Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» привСдСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.


Π£Π³ΠΎΠ» Ξ± + 90
Ξ± + Ο€/2
Ξ± + 180
Ξ± + Ο€
Ξ± + 270
Ξ± + 3Ο€/2
90 β€” Ξ±
Ο€/2- Ξ±
180 β€” Ξ±
Ο€- Ξ±
270 β€” Ξ±
3Ο€/2- Ξ±
360 β€” Ξ±
2Ο€- Ξ±
sin cos Ξ± -sin Ξ± -cos Ξ± cos Ξ± sin Ξ± -cos Ξ± -sin Ξ±
cos -sin Ξ± -cos Ξ± sin Ξ± sin Ξ± -cos Ξ± -sin Ξ± cos Ξ±
tg -ctg Ξ± tg Ξ± -ctg Ξ± ctg Ξ± -tg Ξ± ctg Ξ± -tg Ξ±
ctg -tg Ξ± ctg Ξ± -tg Ξ± tg Ξ± -ctg Ξ± tg Ξ± -ctg Ξ±
 ΠΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ курс обучСния

ВригономСтрия Π·Π° 5 ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚! ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ тригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³ простыми словами | ΠšΠ»ΡƒΠ± Π»ΡŽΠ±ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ

ΠžΡ„ΠΈΡ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ объяснСниС Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚ сайтах, Π° Π² этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΡƒΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ Β«Π½Π° ΠΏΠ°Π»ΡŒΡ†Π°Ρ…Β».

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ связаны с ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ сторон Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅:

  • Бинус ΡƒΠ³Π»Π° – ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅;
  • ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ ΡƒΠ³Π»Π° – ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π΅;
  • ВангСнс ΡƒΠ³Π»Π° – ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ;
  • ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ ΡƒΠ³Π»Π° – ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ.

Или Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»:

Для удобства Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с тригономСтричСскими функциями Π±Ρ‹Π» ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π½ тригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ прСдставляСт собой ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ с Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ радиусом (r = 1).

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ радиуса Π½Π° оси X ΠΈ Y (OB ΠΈ OA’) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°ΠΌ построСнного Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠžΠΠ’, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ значСниям синуса ΠΈ косинуса Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°.

ВангСнс ΠΈ котангСнс ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ соотвСтстсвСнно ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² OCD ΠΈ OC’D’, построСнных ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ исходному Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ OAB.

Для упрощСния обучСния тригономСтричСским функциям Π² школС ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π² 0Β°, 30Β°, 45Β°, 60Β° ΠΈ 90Β°.

ЗначСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ 90Β° ΠΈ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… случаях мСняя Π·Π½Π°ΠΊ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.

Достаточно Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ значСния Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для Π±ΠžΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².

ЗначСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° (0Β° – 90Β°)

  0Β° 30Β° 45Β° 60Β° 90Β°
sin 0 1 cos 1 0 tg 0 1 √3 – ctg – √3 1 0

ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π° Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» считаСтся ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ сторону.

Π’ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ полная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ составляСт 360Β°, значСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ², ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ радиуса, РАВНЫ.

НапримСр, значСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² 270Β° ΠΈ -90Β° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹.

Для Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π³ΠΎ понимания ΠΈ запоминания Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ динамичСским ΠΌΠ°ΠΊΠ΅Ρ‚ΠΎΠΌ тригономСтричСского ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° Π½ΠΈΠΆΠ΅. НаТимая ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΈ Β«+Β» ΠΈ «–» значСния ΡƒΠ³Π»Π° Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ соотвСтствСнно.

ВригономСтричСский ΠΊΡ€ΡƒΠ³

Π£Π³Π»Ρ‹ Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…

Для матСматичСских вычислСний тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π½Π΅ Π² градусах, Π° Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…. Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½? Π£Π³ΠΎΠ» Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ окруТности ΠΊ радиусу. ΠŸΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π² 360Β° соотвСтствуСт Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ окруТности 2Ο€r. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ 360Β° Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ… Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2Ο€, Π° 180Β° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ο€ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½.

Как ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ градусы Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹? НуТно Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² градусах Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 180Β° ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Ο€.

НапримСр, для ΡƒΠ³Π»Π° 90Β° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Β· Ο€ = Ο€

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠΈΡ‚ΡŒ свои знания ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ сСбя, Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-Ρ‚Ρ€Π΅Π½Π°ΠΆΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ для запоминания Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Онлайн Ρ‚Ρ€Π΅Π½Π°ΠΆΠ΅Ρ€ для запоминания Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²

Онлайн Ρ‚Ρ€Π΅Π½Π°ΠΆΠ΅Ρ€
для запоминания Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ для Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²


ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС тоТдСства

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹:

тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° выраТаСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ синуса ΠΊ косинусу:

БоотвСтствСнно котангСнс выраТаСтся Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ:

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ тангСнса Π½Π° котангСс Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅:

tg(a) Β· ctg(a) = Β· =
  • sin(a) Β· cos(a)
  • cos(a) Β· sin(a)
= 1

Π˜Π½Ρ‹ΠΌΠΈ словами, тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½ котангСнсу ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚:

tg(a) · ctg(a) = 1 ; tg(a) = ; сtg(a) =

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹

r2 = s2 + c2 = (sin(a) Β· r)2 + (cos(a) Β· r)2;
r2 Β· (sin(a)2 + cos(a)2) = r2

Π‘ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π΅ части Π½Π° r2, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

sin2a + cos2a = 1

Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² ΠΎΠ±Π΅ части Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ синуса ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ косинуса, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ Π΄Π²Π° основных тригономСтричСских тоТдСства:

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ нСравСнство -sin(x)^2+cos(x)^2>0 (минус синус ΠΎΡ‚ (Ρ…) Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ плюс косинус ΠΎΡ‚ (Ρ…) Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ большС 0)

Π”Π°Π½ΠΎ нСравСнство:
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} > 0$$
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ это Π½Π΅Ρ€-Π²ΠΎ β€” Π½Π°Π΄ΠΎ сначала Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡƒΡ€-Π½ΠΈΠ΅:
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
РСшаСм:
Π”Π°Π½ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ
$$\cos{\left (2 x \right )} = 0$$
$$- 2 \sin^{2}{\left (x \right )} + 1 = 0$$
Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π°
a*w^2 + b*w + c = 0

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ
с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ дискриминанта.
ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} β€” b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} β€” b}{2 a}$$
Π³Π΄Π΅ D = b^2 β€” 4*a*c β€” это дискриминант.
Π’.ΠΊ.
$$a = -2$$
$$b = 0$$
$$c = 1$$
, Ρ‚ΠΎ
D = b^2 - 4 * a * c = 
(0)^2 - 4 * (-2) * (1) = 8

Π’.ΠΊ. D > 0, Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

ΠΈΠ»ΠΈ
$$w_{1} = β€” \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$w_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρƒ
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Π”Π°Π½ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
β€” это ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅Π΅ тригономСтричСскоС ΡƒΡ€-Π½ΠΈΠ΅
Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€-Π½ΠΈΠ΅ прСобразуСтся Π²
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n β€” \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n β€” \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, Π³Π΄Π΅ n β€” любоС Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число
подставляСм w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n β€” \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = 2 \pi n β€” \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n β€” \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{4}$$
$$x_{4} = 2 \pi n β€” \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n β€” \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{1} = β€” \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = β€” \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{1} = β€” \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = β€” \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
Π”Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ
$$x_{1} = β€” \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{2} = β€” \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{4} = \frac{3 \pi}{4}$$
ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ смСны Π·Π½Π°ΠΊΠ° нСравСнства Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ….
Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° опрСдСлимся со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π΄ΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ:
$$x_{0} Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΡ‘ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ
$$x_{0} = x_{1} β€” \frac{1}{10}$$
=
  3*pi   1 
- ---- - --
   4     10

=
$$- \frac{3 \pi}{4} β€” \frac{1}{10}$$
подставляСм Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅
$$- \sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )} > 0$$
     2/  3*pi   1 \      2/  3*pi   1 \    
- sin |- ---- - --| + cos |- ---- - --| > 0
      \   4     10/       \   4     10/    
   2/1    pi\      2/1    pi\    
sin |-- + --| - cos |-- + --| > 0
    \10   4 /       \10   4 /    

Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ нашСго нСравСнства Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈ:
$$x
 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------ΞΏ-------ΞΏ-------ΞΏ-------ΞΏ-------
       x1      x2      x3      x4

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ нСравСнства Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ полюс
ΠΈ Ρ‚.Π΄.
ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚:
$$x $$x > β€” \frac{\pi}{4} \wedge x $$x > \frac{3 \pi}{4}$$

cos(x)^4+cos(x)^2*sin(x)^2 Ссли x=1/2 (упроститС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅)

Π’Ρ‹ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ

[TeX]

[pretty]

[text]

   4         2       2   
cos (x) + cos (x)*sin (x)

$$\sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos^{4}{\left (x \right )}$$

ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° условия

[TeX]

[pretty]

[text]

cos(x)^4 + cos(x)^2*sin(x)^2 ΠΏΡ€ΠΈ x = 1/2
cos(x)^4 + cos(x)^2*sin(x)^2

$$\sin^{2}{\left (x \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} + \cos^{4}{\left (x \right )}$$

cos((1/2))^4 + cos((1/2))^2*sin((1/2))^2

$$\sin^{2}{\left ((1/2) \right )} \cos^{2}{\left ((1/2) \right )} + \cos^{4}{\left ((1/2) \right )}$$

cos(1/2)^4 + cos(1/2)^2*sin(1/2)^2

$$\sin^{2}{\left (\frac{1}{2} \right )} \cos^{2}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \cos^{4}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$

cos(1/2)^4 + cos(1/2)^2*sin(1/2)^2

$$\sin^{2}{\left (\frac{1}{2} \right )} \cos^{2}{\left (\frac{1}{2} \right )} + \cos^{4}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$

ОбъСдинСниС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

[TeX]

[pretty]

[text]

   2    /   2         2   \
cos (x)*\cos (x) + sin (x)/

$$\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cos^{2}{\left (x \right )}$$

ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ°

[TeX]

[pretty]

[text]

   2    /   2         2   \
cos (x)*\cos (x) + sin (x)/

$$\left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right) \cos^{2}{\left (x \right )}$$

Бинус, косинус, тангСнс

Π’Ρ€ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ идСя.

ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ

Бинус, косинус ΠΈ тангСнс β€” основныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Π² Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ, ΠΎΠ½ΠΈ основаны Π½Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅.

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡΠ²ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ имя ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ сторонС ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°:

  • Β«ΠŸΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΒ» ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ³Π»Ρƒ ΞΈ
  • «БосСдний» ΠΏΡ€ΠΈΠΌΡ‹ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ (рядом) ΠΊ ΡƒΠ³Π»Ρƒ ΞΈ
  • Β«Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°Β» β€” длинная

БосСдний всСгда находится рядом с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ

И Напротив находится Π½Π°ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² ΡƒΠ³Π»Π°

Бинус, косинус ΠΈ тангСнс

Бинус , ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ ΠΈ ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ (часто сокращаСтся Π΄ΠΎ sin , cos ΠΈ tan ), ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ являСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ сторон ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° :

Для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΞΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ остаСтся Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ
нСзависимо ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, насколько Π²Π΅Π»ΠΈΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ°Π» Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ

Для ΠΈΡ… расчСта:

Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стороны Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ синус 35 Β°?

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ этот Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ (Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π΄ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ дСсятичного Π·Π½Π°ΠΊΠ°):

sin (35 Β°) = Напротив Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°
= 2.8 4,9
= 0,57 …
cos (35 Β°) = БосСдний Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°
= 4,0 4,9
= 0,82 …
Π·Π°Π³Π°Ρ€ (35 Β°) = Напротив БосСдний
= 2,8 4,0
= 0,70 …

Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ значСния

Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ большим ΠΈΠ»ΠΈ малСньким, ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ сторон остаСтся Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ .

Волько ΡƒΠ³ΠΎΠ» мСняСт ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‚Π°Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Β«AΒ», Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Β«BΒ», Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€:

На Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΡ… ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… Π΅ΡΡ‚ΡŒ sin, cos ΠΈ tan, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Π°ΠΌ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π²ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ.

Но всС ΠΆΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ , Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ !

Π’ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ изобраТСния:

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ° здСсь:

Sohcahtoa

Как Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ? ΠŸΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎ Β«SohcahtoaΒ» !

Π Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊ:

Soh…

S ine = O pposite / H ypotenuse

… ΠΊΠ° …

C osine = A djacent / H ypotenuse

… toa

T angent = O pposite / A djacent

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ большС ΠΎ Sohcahtoa… Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, это ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ Π½Π° экзамСнС!

Π£Π³Π»Ρ‹ ΠΎΡ‚ 0 Β° Π΄ΠΎ 360 Β°

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΌΡ‹ΡˆΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ (Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ градусах) Π²Π»ΠΈΡΡŽΡ‚ Π½Π° синус, косинус ΠΈ тангСнс.

Π’ этой Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 1, образуя Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сосСдняя сторона ΠΈ противополоТная сторона ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ измСнСнию синуса, косинуса ΠΈ тангСнса ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ значСниями.

Β«ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ sin ΠΈ
tan Π½Π΅ пошли Π½Π° Π²Π΅Ρ‡Π΅Ρ€ΠΈΠ½ΠΊΡƒ?Β»
«… Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ cos ! Β»

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ синус, косинус ΠΈ тангСнс 30 Β°?

ΠšΠ»Π°ΡΡΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ 30 Β° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ 2, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ сторону Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ 1 ΠΈ ΡΠΌΠ΅ΠΆΠ½ΡƒΡŽ сторону √3:

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Бинус

sin (30 Β°) = 1/2 = 0.5

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ

cos (30 Β°) = 1,732 / 2 = 0,866 …

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ

тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° (30 Β°) = 1 / 1,732 = 0,577 …

(Π²ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ!)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ синус, косинус ΠΈ тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° 45 Β°?

ΠšΠ»Π°ΡΡΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ 45 Β° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π΅ стороны 1 ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ √2:

Бинус

sin (45 Β°) = 1/1.414 = 0,707 …

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ

cos (45 Β°) = 1 / 1,414 = 0,707 …

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ

тангСнс ΡƒΠ³Π»Π° (45 Β°) = 1/1 = 1

ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ?

ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ эти Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹?

  • ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»Ρ‹, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ стороны
  • И ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ стороны, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ ΡƒΠ³Π»Ρ‹

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Β«dΒ»

ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ:

  • КабСль ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 39 Β° с Π΄Π½ΠΎΠΌ
  • КабСль Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 30 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² .

И ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Β«dΒ» (расстояниС Π²Π½ΠΈΠ·).

ΠΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ с: sin 39 Β° = ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ / Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°

sin 39 Β° = d / 30

ΠŸΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ мСстами стороны: d / 30 = sin 39 Β°

Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ sin 39 Β°: d / 30 = 0,6293 …

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π΅ стороны Π½Π° 30: d = 0,6293… x 30

d = 18,88 с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ 2 Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой.

Π“Π»ΡƒΠ±ΠΈΠ½Π° Β«dΒ» 18,88 ΠΌ

Π£ΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ это Π±ΡƒΠΌΠ°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ. для всСх ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ 0 Β° Π΄ΠΎ 360 Β°, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ нарисуйтС Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚.Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ эти ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ простыС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ синуса, косинуса ΠΈ тангСнса.

И ΠΏΠΎΠΈΠ³Ρ€Π°ΠΉΡ‚Π΅ с ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½ΠΎΠΉ, ΡΠΎΠ·Π΄Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΡΠΈΠ½ΡƒΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π²ΠΎΠ»Π½Ρƒ.

МСнСС распространСнныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½Ρƒ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ 3 Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΡ‹ раздСляСм ΠΎΠ΄Π½Ρƒ сторону Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ.

Они Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 1, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° cos , 1, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° sin , ΠΈ 1, Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° tan :

БСкущая функция:

сСк ( ΞΈ ) = Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° БосСдний (= 1 / cos)

КосСканс, функция:

csc ( ΞΈ ) = Π“ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Напротив (= 1 / sin)

Ѐункция котангСнса:

дСтская ΠΊΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΠΊΠ° ( ΞΈ ) = БосСдний Напротив (= 1 / tan)

.Π”ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ синуса ΠΈ косинуса

. ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ градус со ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ

Π’ этой Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ дСсятичныС значСния для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΎΡ‚ 0 Β° Π΄ΠΎ 90 Β°.

Π£Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΊ Бинус ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ
0 Β° 0 1 0
1 Β° 0,01745 0,99985 0,01746
2 Β° 0.03490 0,99939 0,03492
3 Β° 0,05234 0,99863 0,05241
4 Β° 0,06976 0,99756 0,06993
5 Β° 0,08716 0,99619 0,08749
6 Β° 0,10453 0,99452 0,10510
7 Β° 0,12187 0.99255 0,12278
8 Β° 0,13917 0,99027 0,14054
9 Β° 0,15643 0,98769 0,15838
10 Β° 0,17365 0,98481 0,17633
11 Β° 0,19081 0,98163 0,19438
12 Β° 0.20791 0,97815 0.21256
13 Β° 0,22495 0,97437 0,23087
14 Β° 0,24192 0,97030 0,24933
15 Β° 0,25882 0,96593 0,26795
Π£Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΊ Бинус ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ
31 Β° 0.51504 0,85717 0,60086
32 Β° 0,52992 0,84805 0,62487
33 Β° 0,54464 0,83867 0,64941
34 Β° 0,55919 0,82904 0,67451
35 Β° 0,57358 0,81915 0,70021
36 Β° 0,58779 0.80902 0,72654
37 Β° 0.60182 0,79864 0,75355
38 Β° 0,61566 0,78801 0,78129
39 Β° 0,62932 0,77715 0.80978
40 Β° 0,64279 0,76604 0,83910
41 Β° 0,65606 0,75471 0.86929
42 Β° 0,66913 0,74314 0,
43 Β° 0,68200 0,73135 0,93252
44 Β° 0,69466 0,71934 0,96569
45 Β° 0,70711 ΠΈΠ»ΠΈ 0,70711 ΠΈΠ»ΠΈ 1
Π£Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΊ Бинус ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ
61 Β° 0.87462 0,48481 1.80405
62 Β° 0,88295 0,46947 1,88073
63 Β° 0,89101 0,45399 1.96261
64 Β° 0,89879 0,43837 2.05030
65 Β° 0,90631 0,42262 2.14451
66 Β° 0,91355 0.40674 2.24604
67 Β° 0,92050 0,39073 2.35585
68 Β° 0,92718 0,37461 2.47509
69 Β° 0,93358 0,35837 2.60509
70 Β° 0,93969 0,34202 2,74748
71 Β°
.

Бинус, косинус, ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ, объяснСниС, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ° опрСдСлСния ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ…, смСТных сторон ΠΈ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹

На этой страницС ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ синус, косинус ΠΈ коэффициСнт тангСнса, даСтся ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€ ΠΈΡ… Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ практичСскиС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ сторон, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ смСТными с Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ.

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса, косинуса ΠΈ тангСнса Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ сторон ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

К ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ относится SOHCAHTOA?

ПокаТи ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚

Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΠΊΠΈ SOHCAHTOA

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ $$ \ angle A $$ ΠΈΠ»ΠΈ $$ \ angle B $$, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ способ измСнСния сосСднСй ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ сторон Π² зависимости ΠΎΡ‚ ΡƒΠ³Π»Π°.

Бтатус: Π£Π³ΠΎΠ» Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½: $$ \ red {none} \ text {, ΠΆΠ΄Π΅ΠΌ, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π²Ρ‹ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅Ρ‚Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ».} $$

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: синус ΡƒΠ³Π»Π° всСгда являСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ $$ \ frac {противополоТная сторона} {Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°} $$.

$ синус (ΡƒΠ³ΠΎΠ») = \ frac {\ text {противополоТная сторона}} {\ text {Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°}} $

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

$$ Π³Ρ€Π΅Ρ… (\ ΡƒΠ³ΠΎΠ» \ красный L) = \ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² {ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ} {Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°} \\ sin (\ angle \ red L) = \ frac {9} {15} $$

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2

$$ Π³Ρ€Π΅Ρ… (\ ΡƒΠ³ΠΎΠ» \ красный К) = \ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² {ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ} {Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°} \\ sin (\ angle \ red K) = \ frac {12} {15} $$

ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅: Когда ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ слова Β«ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉΒ» ΠΈ «смСТный», ΠΌΡ‹ всСгда Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ».

Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ синуса

Для Ρ‚Π΅Ρ…, ΠΊΡ‚ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ с Β«Math SpeakΒ», Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ синуса ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅.

  • Π”ΠΎΠΌΠ΅Π½ синуса = всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа
  • Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ синуса = {-1 ≀ y ≀ 1}

Бинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚ -1 Π΄ΠΎ 1 Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ значСния синуса, ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ вСсь Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Π£Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΊ Бинус ΡƒΠ³Π»Π°
270 Β° sin (270 Β°) = -1 (наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ синус)
330 Β° sin (330 Β°) = -Β½
0 Β° Π³Ρ€Π΅Ρ… (0 Β°) = 0
30 Β° sin (30 Β°) = Β½
90 Β° sin (90 Β°) = 1 (максимальноС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ синус)

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ ΡƒΠ³Π»Π° всСгда являСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (смСТная сторона / Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°).

$ косинус (ΡƒΠ³ΠΎΠ») = \ frac {\ text {ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅Π³Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ сторона}} {\ text {Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°}} $

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

$$ cos (\ angle \ red L) = \ frac {смСТный} {Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°} \\ cos (\ angle \ red L) = \ frac {12} {15} $$

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2

$$ cos (\ angle \ red K) = \ frac {смСТный} {Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°} \\ cos (\ angle \ red K) = \ frac {9} {15} $$

Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ косинуса

Для Ρ‚Π΅Ρ…, ΠΊΡ‚ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ с Β«Math SpeakΒ», Π΄ΠΎΠΌΠ΅Π½ ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ косинуса ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅.

  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ косинуса = всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа
  • Π”ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ косинуса = {-1 ≀ y ≀ 1}

ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚ -1 Π΄ΠΎ 1 Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ значСния косинуса, ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ вСсь Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Π£Π³ΠΎΠ»ΠΎΠΊ ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ ΡƒΠ³Π»Π°
0 Β° cos (0 Β°) = 1 (наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ косинус)
60 Β° cos (60 Β°) = Β½
90 Β° cos (90 Β°) = 0
120 Β° cos (120 Β°) = -Β½
180 Β° cos (180 Β°) = -1 (наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ косинус)

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΡƒΠ³Π»Π° всСгда являСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (противополоТная сторона / смСТная сторона).

$ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ (ΡƒΠ³ΠΎΠ») = \ frac {\ text {противополоТная сторона}} {\ text {смСТная сторона}} $

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

$$ Π·Π°Π³Π°Ρ€ (\ ΡƒΠ³ΠΎΠ» \ красный L) = \ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² {ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ} {смСТный} \\ Π·Π°Π³Π°Ρ€ (\ angle \ red L) = \ frac {9} {12} $$

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2

$$ Π·Π°Π³Π°Ρ€ (\ ΡƒΠ³ΠΎΠ» \ красный K) = \ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π² {ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ} {смСТный} \\ Π·Π°Π³Π°Ρ€ (\ angle \ red K) = \ frac {12} {9} $$

.

ВригономСтрия: основныС Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ тоТдСства β€” Magoosh Math

КакиС основныС Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ тоТдСства Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ? ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅!

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ идСнтичности. Π”ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… основных Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… функциях: синусС, косинусС ΠΈ тангСнсС. Π­Ρ‚ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Но тСхничСски ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… сторон Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° SOHCAHTOA Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, каТдая ΠΈΠ· ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ являСтся ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ всС ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒ.Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ… ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ….

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим Π½Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ SOHCAHTOA. Π’ΠΎΡ‚ наш Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ SOHCAHTOA, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 41 градус, Π΅ΡΡ‚ΡŒ противополоТная смСТная сторона Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, нСсомнСнно, Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹ΠΌΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ SOHCAHTOA. Но Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΈ Π²ΠΎΡ‚ ΠΎΠ½ΠΈ.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ тоТдСства: Π΅Ρ‰Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ смСТный Π½Π°ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, сСкущий β€” Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Π½Π°Π΄ смСТным, Π° косСканс β€” Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Π½Π°Π΄ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ.И это ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ вмСстС. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠΆΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ сСкунду, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π·Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π°? Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ посмотрим Π½Π° эти ΠΈΠΌΠ΅Π½Π°, Π²ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π°. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎ синусС, косинусС ΠΈ тангСнсС, Π° Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎ котангСнсС, сСкансС ΠΈ косСкансС.

И ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ здСсь пСрСчислСны. Если Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ… слСва, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠ° справа β€” это ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ имя с Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ Β«Π‘ΠΎΒ» ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π½ΠΈΠΌ. Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅, Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· этих ΠΈΠΌΠ΅Π½ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»ΠΈ Π² гСомСтричСских ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΡ….ΠŸΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎΠ± этом ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚ΠΊΡƒ. А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ посмотрим Π½Π° ΠΊΡ€ΡƒΠ³. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€ΡƒΠ³, радиус ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1, Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, поэтому AB ΠΈ CD ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ оси y.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… сСгмСнта, AB ΠΈ CD. И ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ B β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π³Π΄Π΅ эта радиусная линия пСрСсСкаСт ΠΊΡ€ΡƒΠ³, ΠΎΠ½Π° продолТаСтся. А D выглядит Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ Π±ΡƒΠ΄Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ касаСтся ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½ пСрСсСкаСт ось x. Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° нСсколько Π²Π΅Ρ‰Π΅ΠΉ. Π§Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ OAB, Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°, OB, радиус Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1, ΠΈ, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, OA β€” это косинус, Π° AB β€” синус, Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ?

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, это Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ SOHCAHTOA.Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ посмотритС Π½Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ побольшС, ОКР. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, этот β€” Ρ‚ΠΎΡ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ начинаСтся Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ O, ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· B Π΄ΠΎ самого C, спускаСтся Π²Π½ΠΈΠ· Π΄ΠΎ D ΠΈ возвращаСтся ΠΏΠΎ оси x. Π’ этом Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ OD Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1. И это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ CD Π½Π°Π΄ 1 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, поэтому ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π²Π½Π° CD.

А это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Π½Π°Π΄ сосСдним ОБ Π½Π°Π΄ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ΠΉ сСкущая. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, OC Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ сСкущСй. Но Π²ΠΎΡ‚ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π·Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ²ΠΎ Π² этой Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сСгмСнт CD, Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ касаСтся окруТности.Он ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Ρƒ ΠΈ касаСтся Π΅Π³ΠΎ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ линия. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ OC, сСкущая, Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ пСрСсСкаСт ΠΊΡ€ΡƒΠ³. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ называСтся сСкущСй Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ. Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ эти Π΄Π²Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π°, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° прСдставляСт Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ сСгмСнта, Π° другая β€” Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ сСкущСго сСгмСнта. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли Π²Ρ‹ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ наглядный Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ, это ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ эти Π²Π΅Ρ‰ΠΈ.

ВсС начинаСтся с синуса ΠΈ косинуса

Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, синус ΠΈ косинус β€” самыС элСмСнтарныС Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½ΠΈΡ….И это Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ.

ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ синус Π½Π°Π΄ косинусом. ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ косинус ΠΏΠΎ синусу, поэтому ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти Π΄Π²Π° ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, тангСнс ΠΈ котангСнс ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.

БСканс β€” Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, обратная косинусу. А косСканс β€” это Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, обратная синусу. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅: люди ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡƒΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΡƒΠΌΠ°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ S ΠΈ S Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΠ΄Ρ‚ΠΈ вмСстС. C ΠΈ C Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΠ΄Ρ‚ΠΈ вмСстС. Они этого Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚.

БСканс β€” Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, обратная косинусу.КосСканс β€” это Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, обратная синусу. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, тСст ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…, Ссли ΠΎΠ½ Π²Π°ΠΌ понадобится Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅. Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ. Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ эти Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅.

Π€ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ пифагорСйская ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ упомянули Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π΅ΠΉΡΠΊΡƒΡŽ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ + синус Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ = 1. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ Π΄Π²Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ тоТдСства ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°. Один ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… β€” ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ + 1 = ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ сСкущСй, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ β€” ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ котангСнса + 1 = ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ косСканса.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, тСст, скорСС всСго, даст Π²Π°ΠΌ эти уравнСния, Ссли ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΡ…. Но ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠ»ΡƒΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ярлыком ΠΈΠ»ΠΈ способом ΠΏΠΎΠ΄Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Π•Ρ‰Π΅ я скаТу, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π²Ρ‹ ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ матСматичСским Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠΌ, я Π³Π°Ρ€Π°Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽ, я Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ Π³Π°Ρ€Π°Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ всС Ρ‚Ρ€ΠΈ этих уравнСния, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ приступитС ΠΊ матСматичСскому Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρƒ.

для запоминания? Или ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ?

Π― скаТу нСсколько слов ΠΎΠ± этом. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π²ΡΠ»Π΅ΠΏΡƒΡŽ, Π½ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ этого Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ.ΠœΡ‹ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли Π²Ρ‹ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅Ρ‚Π΅ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Π²Π΅Ρ€Ρ…Ρƒ, косинус Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ плюс синус Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ = 1. Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ всС элСмСнты с ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ косинуса, ΠΈ Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ пифагорСйской идСнтичности ΠΏΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ сСкущСй.

Или Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ всС Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ косинуса плюс ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ синуса = 1 Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ синуса. И Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΠΉ β€” ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ котангСнса ΠΈ косСканс. Π’ качСствС Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Ρ‹ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ исходному Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ SOHCAHTOA с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ABC ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ с Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°, A Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ + B Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ = C Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅.Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ эту Π²Ρ‹ΡΡˆΡƒΡŽ ΠΏΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π΅ΠΉΡΠΊΡƒΡŽ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, косинус Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ + синус Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ = 1.

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ это, взяв Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ плюс b Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ плюс c Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² всС, всС Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‡Π»Π΅Π½Π°, Π½Π° c Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, вмСсто дСлСния Π½Π° c Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ всС Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ‡Π»Π΅Π½Π° Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π° b Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅. И Ссли Π²Ρ‹ сдСлаСтС это, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ подставитС Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ· ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ эти Π΄Π²Π΅ пифагорСйскиС тоТдСства.

И поэтому я Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΡƒΡŽ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… способов, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ всС эти уравнСния, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠΉΠΌΠ΅Ρ‚Π΅.

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°

Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ практичСской Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅. ΠŸΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ Π½Π° ΠΏΠ°ΡƒΠ·Ρƒ, ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎΠ± этом.

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ONYXprj

Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ справа, Π² Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… b ΠΈ c, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ являСтся Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹?

Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π΅ΠΌ ΠΎΠ± этом. Π£ нас Ρ‚Π°ΠΌ Π΄Π²Π΅ стороны, Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π½Ρ‹ b ΠΈ c. И, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ ΠΆΠ΅, c β€” Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π°, b β€” ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π° ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Π° смСТным.Π£ нас Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Ρƒ нас Π½Π΅Ρ‚ сосСднСй, поэтому Π½Π°ΠΌ понадобится Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡ сторона.

Π‘Π½ΠΎΠ²Π° использованиС ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°!

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ b плюс любой ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ сосСднСй стороны равняСтся c Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅. И ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ это со смСТной стороной. БосСдний ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ c Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ минус b Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ извлСкая ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· c ΠΈ b ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.

ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: c Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ минус b Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅. Но это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ смСТных сторон: c Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ минус b Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅. Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆ, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Π·ΠΎΠ»ΠΎΡ‚Ρ‹Π΅, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Π° смСТной. Π£ нас Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ смСТныС. Π’Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ сосСдству, ΠΈ это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ b ΠΏΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΡŽ ΠΈΠ· c Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ минус b Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅.

ЀактичСски, это ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ C. ΠœΡ‹ Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ»ΠΈΡΡŒ ΠΊ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ ΠΈ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π»ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ C. Подводя ΠΈΡ‚ΠΎΠ³, ΠΌΡ‹ прСдставили Ρ‚Ρ€ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³Π³Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.ΠšΠΎΡ‚Π°Π½Π³Π΅Π½Ρ, сСканс ΠΈ косСканс. ΠœΡ‹ обсудили, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· синус ΠΈ косинус. Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ Π²ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ SOHCAHTOA.

ΠžΡ‡Π΅Π½ΡŒ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ связаны с синусом ΠΈ косинусом. И, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, ΠΌΡ‹ обсуТдаСм Ρ‚Ρ€ΠΈ пифагорСйских тоТдСства.

.