синус квадрат альфа минус три косинус квадрат альфа деленое на два синус квадрат альфа плюс косинус квадрат альфа где тангенс альфа равно 3 — вопрос №2900720 — Учеба и наука

Ответы
08. 06.18

Михаил Александров
Читать ответы

Андрей Андреевич
Читать ответы

Eleonora Gabrielyan
Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Похожие вопросы

Осевое сечение цилиндра –квадрат, диагональ которого равна 4 см. 3 -152

Пользуйтесь нашим приложением

Основное Тригонометрическое Тождество — Доказательство

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

109.8K

Там, где заканчиваются границы привычной и давно знакомой алгебры, начинаются владения тригонометрии. Давайте вооружимся всеми необходимыми формулами, чтобы в полном обмундировании преодолеть любые тригонометрические испытания.

Связь между sin и cos одного угла

Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный. 

Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.

 

Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:

sin2α + cos2α = 1

Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.

Равенство tg2α + 1 = 1/cos2α и равенство 1 + сtg2α + 1 = 1/sin2α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin2α и cos2α.

В результате деления получаем:


Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая. 

sin2α + cos2α = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности. 

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.


Докажем тождество sin2α + cos2α = 1


  1. Итак, нам известны координаты точки A (1; 0).

    Произвольный угол α, тогда cos α = x0 = ОB.


  2. Если развернуть точку A на угол α, то точка A становится на место точки A1.

  3. По определениям:
    • Синус угла (sin α) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. 
    • Косинус угла (cos α) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
    Это значит, что точка A1 получает координаты cos α, sin α.

  4. Опускаем перпендикулярную прямую A1B на x0 из точки A1.

    Образовался прямоугольный треугольник OA1B.

    |A1

    B| = |у|

    |OB| = |x|.


  5. Гипотенуза OA1 имеет значение, равное радиусу единичной окружности.

    |OA1| = 1.


  6. Применяя полученное выражение, записываем равенство по теореме Пифагора, поскольку получившийся угол — прямой:

    |A1B|2 + |OB|2 = |OA1|2.


  7. Записываем в виде: |y|2 + |x|2 = 12.

    Это значит, что y2 + x2 = 1.
    sin угла α = y
    cos угла α = x


  8. Вставляем данные угла вместо координат точек:

    OB = cos α
    A1B = sin α
    A1O = 1


  9. Получаем основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1.
    Что и требовалось доказать. 

Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:

  • sin α = ±
  • cos α = ±

Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.

Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.

 

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Немного вводных:

  • Синус угла  — это ордината y.
  • Косинус угла  — это абсцисса x.
  • Тангенс угла  — это отношение ординаты к абсциссе.  
  • Котангенс угла — это отношение абсциссы к ординате.

Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

  • tg α =
  • ctg α =

Исходя из определений:

  • tg α = =
  • ctg α = =

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества 



задаются sin и cos углов.

Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества



верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.  

  • Например,  выражение применимо для любого угла α, не равного + π + z, где z — это любое целое число. В противном случае, в знаменателе будет стоять 0.

Выражение


применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число. 

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Связь между тангенсом и котангенсом

Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.
 

  • Тождество записывается в следующем виде:
    tg α * ctg α = 1.

Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

tg α * ctg α = 1.

 

  1. По определению:

    tg α = y/x

    ctg α = x/y


  2. Отсюда следует, что tg α * ctg α = y/x * x/y = 1

  3. Преобразовываем выражение, подставляем  и ,
    получаем:

Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

Какие, какие числа?🤯

Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно 1.

 

 

Тангенс и косинус, котангенс и синус

Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла  — с синусом.

Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:
 

  • tg2α + 1 =

Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

  • 1 + ctg2α =

Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
sin2α + cos2α = 1.
 

 

  1. Для этого нужно поделить обе части тождества на cos2α, где косинус не равен нулю.

  2. В результате деления получаем формулу tg2α + 1 =

  3. Если обе части основного тригонометрического  тождества sin2α + cos2α = 1 разделить на  sin2α, где синус не равен нулю, то получим тождество:
    1 + ctg2α = . 

  4. Отсюда можно сделать вывод, что тригонометрическое тождество tg2α + 1 = применимо для любого угла α, не равного + π + z, где z — это любое целое число.

  5. А тригонометрическое тождество 1 + ctg2α = применимо для любого угла, не равного π * z, где z — это любое целое число. 

Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами. 

Основные тригонометрические тождества

1

sin2α + cos2α = 1

2

3

4

tgα * ctgα = 1

5

tg2α + 1 =

6

1 + ctg2α =

Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.


Примеры решения задач

Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

Как решаем:

 

  1. Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества:


  2. Выражаем cos α из тригонометрической единицы:


  3. Далее подставляем значения sin α:


  4. Вычисляем:


  5. Нам известны значения sin α и cos α, поэтому можно легко найти тангенс, используя формулу:


  6. Таким же образом, используя формулу, вычисляем значение котангенса:

Ответ:


Задачка 2. Найдите значение cos α,
если:

Как решаем: 

 

  1. Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества:


  2. Выражаем cos α из тригонометрической единицы:


  3. Далее подставляем значения sin α:


  4. Вычисляем:

  5. То же самое проделываем со вторым значение sin α

    Подставляем значения sin α:


  6. Вычисляем:

Ответ:


Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Анастасия Белова

К предыдущей статье

Числовые и буквенные выражения

К следующей статье

204. 4K

Сравнение дробей: как правильно

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

  1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

  2. Расскажем, как проходят занятия

  3. Подберём курс

Краткое изложение тригонометрических тождеств

На последних страницах вы видели довольно много тригонометрических тождеств. Удобно иметь их сводку для справки. Эти тождества в основном относятся к одному углу, обозначенному θ , но есть и такие, которые включают два угла, и для них два угла обозначаются α и β .
 
Более важные тождества.
Вам не нужно знать все личности наизусть. Но это вы должны.
 
Определяющие отношения для тангенса, котангенса, секанса и косеканса через синус и косинус.
Формула Пифагора для синусов и косинусов. Это, вероятно, самая важная триггерная идентичность.
Тождества, выражающие триггерные функции через их дополнения. В этом нет ничего особенного. Каждая из шести триггерных функций равна своей кофункции, оцениваемой под дополнительным углом.
Периодичность триггерных функций. Синус, косинус, секанс и косеканс имеют период 2 π , а тангенс и котангенс имеют период π .
Тождества для отрицательных углов. Синус, тангенс, котангенс и косеканс — нечетные функции, а косинус и секанс — четные функции.
Тождества Птолемея, формулы суммы и разности для синуса и косинуса.
Формулы двойного угла для синуса и косинуса. Обратите внимание, что существует три формы формулы двойного угла для косинуса. Вам нужно знать только одно, но уметь вывести два других из формулы Пифагора.
Менее важные тождества.
Вы должны знать, что эти личности есть, но они не так важны, как упомянутые выше. Все они могут быть получены из приведенных выше, но иногда для этого требуется некоторая работа.
 
Формула Пифагора для тангенсов и секансов. Есть также один для котангенсов и косекансов, но, поскольку котангенсы и косекансы нужны редко, он не нужен.
Тождества, выражающие триггерные функции через их дополнения.
Формулы суммы, разности и двойного угла для тангенса.
Формулы половинного угла. Синус и косинус принимают положительный или отрицательный квадратный корень в зависимости от квадранта угла θ /2. Например, если θ /2 — острый угол, то будет использоваться положительный корень.
 
Совершенно неясные личности.
Они просто здесь для извращенности. Нет, не совсем. У них есть несколько приложений, но обычно это узкие приложения, и о них можно просто забыть, пока они не понадобятся.
 
Тождества произведения-суммы. Эта группа тождеств позволяет преобразовать сумму или разность синусов или косинусов в произведение синусов и косинусов.
Идентификаторы продуктов. В стороне: как ни странно, эти тождества произведений использовались до того, как были изобретены логарифмы для выполнения умножения. Вот как можно использовать второй. Если вы хотите умножить x x y, используйте таблицу, чтобы найти угол α , косинус которого равен x , и угол β , косинус которого равен y . Найдите косинусы суммы α  +  β . а разница α – β . Усредните эти два косинуса. Вы получаете товар xy ! Три поиска в таблице и вычисление суммы, разности и среднего, а не одного умножения. Тихо Браге (1546–1601), среди прочих, использовал этот алгоритм, известный как простафаэрез.
Формулы тройного угла. Вы можете легко восстановить их по формулам сложения и двойного угла.
Больше формул половинного угла. Они описывают основные триггерные функции в терминах тангенса половины угла. Они используются в исчислении для особого вида замены в интегралах, иногда называемых Вейерштрассом t -замена.

различные взгляды на тригонометрическое тождество

Introduction
Triangles
Unit Circle
Root Mean Square
Rotation Matrix
Determinant
Orthonormal Basis
Combinatorial Identities
Exponential Function
Algebra
Factorization
Parametrized Curve Derivatives
Integral
Conservation Of Energy
Hyperbolic Analogues
Feedback

We will explore various interpretations вышеуказанного тождества. Более поздние части это эссе не часто зависит от предыдущих частей, поэтому, пожалуйста, не стесняйтесь просматривать пропустите непонятный текст, пока не найдете то, что вам удобно.

Обычный способ понимания идентичности — через Пифагора. теорема. В прямоугольном треугольнике со сторонами a , b , c и угол t при вершине где a и c встречаются, cos(t) по определению a/c , sin(t) по определению b/c , и поэтому cos 2 (t) + sin 2 (t) is (а/к) 2 +(б/к) 2 , который простым алгебраическая манипуляция (а 2 +б 2 )/с 2 . Пифагор’ Теорема утверждает, что a 2 +b 2 есть c 2 , поэтому это упрощается до 1.

Традиционно (т.е. как я это выучил) следующим шагом будет поймите, что единичный круг с центром в (0,0) в (x,y) плоскость определяется x 2 +y 2 =1 . Вышеприведенное тождество может быть тогда интерпретируется как говорящая о том, что точка (cos(t), sin(t)) находится на единичный круг. Кроме того, этот подход приводит к определению cos(t) и sin(t) для всех реальных t .

Другой способ понять это тождество — использовать тригонометрические тождества.

   cos 2 (х) = 1/2 + (1/2) cos(2x)
грех 2 (х) = 1/2 — (1/2) cos(2x)

Между прочим, эти тождества буквально выпрыгивают из головы. глядя на графики y = cos 2 (x) и г = грех 2 (х) .

Другой способ взглянуть на это — вспомнить, что среднеквадратичное значение потому что равно 1/√2 , как среднеквадратичное значение грех . Это означает, что потому что 2 равно 1/2 + вариация, и sin 2 это 1/2 + вариация , и удивительно вариация потому что 2 есть точно отрицательная вариация грех 2 . На самом деле, это согласуется с фактом что sin и cos просто версии со сдвигом по фазе друг от друга, так что sin 2 и cos 2 являются сдвинутыми по фазе версиями друг друга, поэтому их вариации должны быть как-то связаны.
Во всяком случае, теперь у нас есть это cos 2 (t)+sin 2 (t) имеет форму (1/2 + отклонение) + (1/2 — отклонение) , так что это 1 .

Еще один способ понять идентичность — использовать матрицы 2 на 2. линейная матрица, представляющая поворот против часовой стрелки на угол т есть

кос(т) -грех(т)
sin(t) кос(т)

Матрица

и    б
в д
имеет определитель ad-bc , поэтому матрица вращения имеет определитель cos(t)cos(t)-(-sin(t))sin(t) , то есть cos(t)cos(t)+sin(t)sin(t) , т.е. cos 2 (t)+sin 2 (t) . Определитель квадратная матрица имеет простую геометрическую интерпретацию. это площадь коэффициент масштабирования. При вращении площадь не меняется, поэтому определитель должно быть 1 . Итак, личность cos 2 (t)+sin 2 (t)=1 можно интерпретировать как выражение довольно очевидного факта, что вращение объекта в (x,y) плоскость не меняет своей площади.

Матрица вращения отправляет точку (1,0) в (cos(x),sin(x)) и точка (0,1) от до (-sin(x), cos(x)) . Стандартный базис e 1 =(1,0) , e 2 = (0,1) является ортонормированным базисом, что означает, что
e 1 .e 1 =1 (проверьте: 1,1+0,0=1 )
e 1 .e 2 =0 (проверить: 0,1+1,0=0 )
e 2 .e 2 =1 (проверить: 0,0+1,1=1 )

Поскольку вращение — это «жесткое движение», оно преобразует ортонормированный базис в другой ортонормированный базис. Это означает, что приведенные выше три уравнения будут верно, когда e 1 равно (cos(t), sin(t)) и е 2 есть (-sin(t), cos(t)) . Два уравнения е 1 .е 1 = 1 и e 2 .e 2 = 1 являются переформулировкой cos 2 (t) + sin 2 (t) = 1 , а e 1 .e 2 = 0 является заявлением об идентичности cos(t)(-sin(t))+sin(t)cos(t) = 0 . Как ни странно, даже е 1 .е 2 заявление является проявление личности, как показано ниже.

Другой способ взглянуть на идентичность — через разложение степенных рядов соз (х) и грех (х).

кос(х) = 1 — x 2 /2! + x 4 /4! — х 6 /6! + x 8 /8! — …
грех(х) = х — x 3 /3! + x 5 /5! — х 7 /7! + …

Это означает, что
cos 2 (х) = 1 — (1/2! + 1/2!) x 2 + (1/4! + 1/2!2! + 1/4!) x 4 /4! — …
грех 2 (х) = x 2 — (1/3! + 1/3!) x 4 /4! + …

В этом контексте тождество cos 2 (t)+sin 2 (t)=1 действительно кодирует бесконечное число тождеств с факториалами, а именно
1/2! + 1/2! = 1
1/4! + 1/2!2! + 1/4! = 1/3! + 1/3!
1/6! + 1/4!2! + 1/2!4! + 1/6! = 1/5! + 1/3!3! + 1/5!
…

Эти тождества могут быть перевыражены в терминах комбинаторных коэффициенты ( n C r = n!/(n-r)!r! )
2 С 0 + 2 С 2 = 2 С 1
4 С 0 + 4 С 2 + 4 С 4 = 4 С 1 + 4 С 3
6 С 0 + 6 С 2 + 6 С 4 + 6 С 6 = 6 С 1 + 6 С 3 + 6 С 5
…

Они говорят, что сумма четных комбинаторных коэффициентов равна тот же результат, что и нечетные комбинаторные коэффициенты. Этот результат может доказываться непосредственно. Это легче всего увидеть, взглянув на Паскаля. треугольник, и сложение терминов подряд в двух разных способы. Кроме того, использование расширений степенных рядов для расширения определение cos и sin в комплексные числа, мы теперь известно, что тождество верно для комплекса т . Благодаря Боб Ува за указание на это.

Продолжая в том же духе, тот факт, что
      е х = 1 + х + х 2 /2! + х 3 /3! + х 4 /4! + …
сразу говорит нам, что
      е ix = 1 + ix — x 2 /2! — икс 3 /3! + х 4 /4! + …
то есть, расщепление на четную и нечетную степени
е ix = cos(x) + isin(x)
На данный момент есть два способа добраться до личности.

Во-первых, нужно понять, что единственное уравнение e ix = cos(x)+isin(x) дает нам уравнение e -ix = cos(x)-isin(x) и из этих двух уравнений мы можем решить для cos(x) и sin(x) , чтобы получить
cos(x) = (e ix +e -ix )/2
sin(x) = (e ix -e -ix )/2i .
Пусть w представляют e ix , так что 1/w это e -ix , у нас есть это cos 2 (x)+sin 2 (x) is (вес+1/вес) 2 /4 — (вес-1/вес) 2 /4 . Этот упрощается до 1 . Таким образом, тригонометрическое тождество можно рассматривать как алгебраическое тождество (w+1/w) 2 — (вес-1/вес) 2 = 4 .

Во-вторых, быть умным (в другом смысле) и понять, что мы можем разложить на 2 + б 2 как (а-иб)(а+иб) . Если вы еще этого не видели, то это пересчет a 2 -b 2 = (a-b)(a+b) . Используя комплексные числа, мы получаем, что -b 2 равно (ib) 2 , что приводит к а 2 +b 2 = а 2 -(-b 2 ) = a 2 — (ib) 2 = (a-ib)(a+ib) . Кстати, конечно также верно, что 2 +б 2 = (b-ia)(b+ia) . В любом случае, применяя факторизацию к cos 2 (x)+sin 2 (x) , получаем (cos(x)+isin(x))(cos(x)-isin(x)) , то есть e ix e -ix . Использование w для представления e ix , тот факт, что cos 2 (x)+sin 2 (x)=1 просто запутанный способ сказать w(1/w)=1 .

Рассмотрим параметризованную кривую c(t) = (cos(t), sin(t)) . тождество говорит нам, что эта параметризованная кривая всегда находится на единице круг о происхождении. Дифференцируя, имеем c'(t) = (-sin(t), cos(t)) . с'(т) . c'(t) равно (-sin(t))(-sin(t)) + cos(t)cos(t) , что просто cos 2 (t)+sin 2 (t) . Тот факт, что это 1 говорит нам, что параметризованная кривая на самом деле параметризуется длиной дуги. Таким образом, тригонометрическое тождество может быть рассматривается как просто констатация того факта, что радианы пересекают единицу круг с единичной скоростью. Наконец, снова дифференцируя, получаем c»(t) = (-cos(t), -sin(t)) . Очевидно, c»(t).c»(t) = cos 2 (t) + sin 2 (t) , так что тождество говорит нам о том, что равномерное движение по окружности приводит к ускорение постоянной величины.

Наконец, еще один подход к установлению этого cos 2 (x)+sin 2 (x) равно 1 равно осознать, что на самом деле речь идет о двух отдельных свойствах, а именно о том, что cos 2 (x)+sin 2 (x) — константа, и что константа оказывается равной 1, т. е. для некоторого значения x , cos 2 (x)+sin 2 (x) равно 1 . последнее свойство быстро устанавливается: беря x = 0 , cos(x)=1 и sin(x)= 0 . Четко 1 2 +0 2 =1 .

Учитывая функцию f , чтобы установить, что f является постоянная функция, достаточно установить, что производная от f равно нулю. Применение этой техники к f=cos 2 +sin 2 , на первом этапе используется цепное правило, чтобы получить, что производная от cos 2 (x)+sin 2 (x) равно 2cos(x)cos’x + 2sin(x)sin'(x) . Через производные тождества cos'(x) = -sin(x) и sin'(x) = cos(x) , мы имеем это 2cos(x)cos’x + 2sin(x)sin'(x) упрощается до 2cos(x)(-sin(x)) + 2sin(x)cos(x) , что равно нулю. Итак идентичность можно рассматривать как интегрированную версию тривиального личность
cos(x)(-sin(x)) + sin(x)(cos(x)) = 0 , что мы видели ранее в совсем другой контекст.

Еще один способ увидеть, что cos 2 + sin 2 постоянна, состоит в том, чтобы понять, что она представляет собой сумму потенциальных и кинетические энергии решения x=cos(t) уравнения для простого гармонического движения x»(t)+x(t)=0 .

Для частицы массой 1 кинетическая энергия равна (1/2)x'(t) 2 , а потенциальная энергия равна (1/2)x(t) 2 (с точностью до аддитивной константы). Закон сохранения энергии говорит нам, что (1/2)x'(t) 2 +(1/2)x(t) 2 является константой, и поэтому х'(т) 2 +х(т) 2 также является константой. Взяв решение x(t)=cos(t) (или x(t)=sin(t) ) получаем тождество.

Я должен упомянуть, что ни одна из вышеперечисленных математических функций не зависит от лежащая в основе физика. Если x(t) — решение второго порядка уравнение x»(t)+F(x(t)) = 0 , тогда (1/2)x'(t) 2 + V(x(t)) , где V является производной F , является константой.

Related Posts

Leave A Comment