1.2. Корень n-й степени
1.2. Корень n-й степениВ 8-м классе изучались квадратные корни из действительных чисел (их называют также корнями 2-й степени).
Перейдем к изучению корней степени n для произвольного натурального числа n≥2.
Определение. Пусть n≥2 и n∈N. Корнем n-й степени из числа a называется такое число t, n-я степень которого равна a .
Таким образом, утверждение «t — корень n-й степени из a» означает, что tn=a.
Корень 3-й степени называется также кубическим.
Например, кубический корень из числа 125 — это число 5, так как 53=125. Кубический корень из числа −125 — это число −5, так как (−5)3=−125.
Корень 7-й степени из числа 128 — это число 2, так как 27=128. Корень 7-й степени из числа −128 — это число −2, так как (−2)7=−128. Корень 7-й степени из числа 0 — это 0, так как 07=0.
Во множестве действительных чисел существует единственный корень нечетной степени n из любого числа a. Этот корень обозначается
Например, 1253=5,−1287=−2,07=0.
Стр. 11Утверждение о существовании корня нечетной степени из любого числа мы принимаем без доказательства.
Согласно определению, когда n нечетное, то при любом значении а верно равенство
(an)n=a.
Например, ⎛⎝927⎞⎠7=92,⎛⎝1237⎞⎠7=123,⎛⎝−1237⎞⎠7=−123.
Заметим, что 0 — это единственное число, n-я степень которого равна 0. Поэтому
при любом натуральном n≥2 существует единственный корень n-й степени из 0 — это число 0, т. е. 0n=0.
Во множестве действительных чисел существует ровно два корня четной степени n из любого положительного числа а, их модули равны, а знаки противоположны. Положительный корень обозначается
Например, 814=3,646=2.
Утверждение о существовании корня четной степени из любого положительного
числа мы принимаем без доказательства.
(an)n=a.
Например, ⎛⎝514⎞⎠4=51,⎛⎝874⎞⎠4=87.
Не существует такого числа, 4-я степень которого равна −81. Поэтому корня 4-й степени из числа −81 не существует. И вообще, поскольку не существует такого числа, четная степень которого была бы отрицательной, то
Стр. 12Определение. Неотрицательный корень n-й степени из числа a называется арифметическим корнем n-й степени из a .
При четном n символом an обозначается только арифметический корень n-й степени из числа a (при чтении
записи an слово «арифметический» обычно пропускают).
Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением.
Извлечь корень n-й степени из числа a — это значит найти значение выражения an.
Так как корня четной степени из отрицательного числа не существует, то выражение an при четном n и отрицательном а не имеет смысла.
Например, не имеют смысла выражения −814 и −646.
Как мы установили, при любом значении а, при котором выражение an имеет смысл, верно равенство
1
1 (an)n=a.
1
Поэтому равенство (1) является тождеством.
В конце XV в. бакалавр Парижского университета Н. Шюке внес усовершенствования
в алгебраическую символику. В частности, знаком корня служил символ Rx (от латинского слова radix — корень).
Так,
выражение 24+374 в символике Шюке имело вид R¯x424p¯R¯x237.
Знак корня в современном виде был предложен в 1525 г. чешским математиком К. Рудольфом. Его учебник алгебры переиздавался до 1615 г., и по нему учился знаменитый математик Л. Эйлер.
Знак еще называют радикалом.
Стр. 13Пример 1. Верно ли, что:
а) (−2)44=−2;
б) (−2)77=−2?
Решение. а) По определению арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a (n — четное число) является неотрицательным числом, n-я степень которого равна подкоренному выражению a.
Поскольку −2<0, то равенство (−2)44=−2 неверное. Верно равенство (−2)44=2.
б) По определению корень n-й степени из числа
а (n — нечетное
число) является числом, n-я степень которого равна
подкоренному выражению а.
Поскольку (−2)7=−27 — верное равенство, то равенство (−2)77=−2 − верное.
Пример 2. Решить уравнение:
а) x3=7;
б) x4=5.
Решение. а) Решением этого уравнения является такое значение х, 3-я степень которого равна 7, т. е. по определению кубического корня имеем:
б) Решением этого уравнения является такое значение х, 4-я степень которого равна 5, т. е. (по определению) х — это корень 4-й степени из числа 5. Но из положительного числа 5 существуют два корня четвертой степени, которые равны по модулю и имеют противоположные знаки. Поскольку положительный корень обозначают 54, то второй корень равен −54, т. е. x=±54.
Ответ: а) 73; б) ±54.
В тетради решение уравнения б) (аналогично и а)) можно записать так:
Решение: x4=5 ⇔ x=±54.
Ответ: ±54.
Пример 3. Решить уравнение:
а) (x8)8=x;
б) (x13)13=x.
Стр. 14Решение. а) Число 8 — четное, значит, данное равенство является тождеством при x≥0, поэтому каждое неотрицательное значение х является решением (корнем) уравнения (x8)8=x.
б) Число 13 — нечетное, значит, данное равенство является тождеством при любом значении х, поэтому решением уравнения (x13)13=x является любое действительное число, а R — множество всех его корней.
Ответ: а) [0;+∞); б) R.
Пример 4. Решить уравнение
x12−63×6−64=0.
Решение. Обозначим x6=t, тогда получим уравнение
t2−63t−64=0.
Корни этого уравнения
t1=64,t2=−1.
Таким образом, имеем
x6=64 или x6=−1,
откуда x=±2 (поясните, почему уравнение x6=−1 не имеет корней).
Ответ: ±2.
1
1Какое число называется корнем n-й степени из числа а?
1
2
2Сколько существует корней четной степени n из положительного числа а?
2
3
3Корень какой степени существует из любого числа а?
3
4
4Какой корень n-й степени из числа а называется арифметическим?
4
5
5При каких значениях а верно равенство (an)n=a, если:
а) n — нечетное число;
б) n — четное число?
5
Упражнения
1.24°
1.24°Используя определение арифметического корня n-й степени, докажите, что:
1) 2564=4;
2) 102410=2;
3) 7296=3;
4) 65618=3;
5) 409612=2;
6) 14 6414=11.
1.24°
Стр. 151.25°
1.25°Верно ли, что:
1) число −4 является корнем четвертой степени из числа 256;
2) число −0,3 является корнем четвертой степени из числа −0,0081?
1.25°
1.26°
1.26°Верно ли, что:
1) −17283=−12;
2) −33753=15;
3) −16 8075=7;
4) −77765=−6?
1.26°
1.27°
1.27°Найдите арифметический квадратный корень из числа:
1) 16;
2) 49;
3) 0;
4) 1;
5) 0,81;
6) 0,25;
7) 2,25;
8) 1,21;
9) 36169;
10) 144289;
11) 169100;
12) 81256.
1.27°
1.28°
1.28°Найдите кубический корень из числа:
1) 1;
2) 0;
3) 343;
4) 8;
5) 127;
6) 0,027;
7) 0,001;
8) 64125.
1.28°
1.29°
1.29°Найдите арифметический корень четвертой степени из числа:
1) 0;
2) 1;
3) 16;
4) 0,0016;
5) 1681;
6) 256625;
7) 0,0001;
8) 0,1296.
1.29°
Вычислите (1.30—1.42).
1.30°
1.30°1) 9,16,25,49,81,100;
2) 0,16,0,09,0,01,0,04,0,0025,0,0001;
3) 273,643,−1253,0,0083,0,0002163,−1 000 0003;
4) 164,6254,10 0004,0,00814,0,000000164,24014;
5) 325,10245,2435,0,031255,100 0005,0,000015;
6) 646,7296,15 6256,40966,0,0466566,1 000 0006.
1.30°
1.31°
1.31°1) −10003;
2) −115;
3) −643;
4) −10245;
5) −1273;
6) −3433;
7) −272163;
8) −31255;
9) −0,000325.
1.31°
Стр. 161.32
1.321) ⎛⎝−33⎞⎠3;
2) ⎛⎝−145⎞⎠5;
3) ⎛⎝−307⎞⎠7;
4) ⎛⎝−1511⎞⎠11;
5) ⎛⎝−69⎞⎠9;
6) ⎛⎝−9915⎞⎠15.
1.32
1.33
1.331) ⎛⎝−22113⎞⎠3·⎛⎝−6195⎞⎠5·⎛⎝−9513⎞⎠13·⎛⎝−1134017⎞⎠17;
2) ⎛⎝−34159⎞⎠9·⎛⎝−1587⎞⎠7·⎛⎝−11145⎞⎠5·⎛⎝−125393⎞⎠3.
1.33
1.34
1.341) ⎛⎝53⎞⎠6;
2) ⎛⎝0,14⎞⎠12;
3) ⎛⎝1125⎞⎠10;
4) ⎛⎝2136⎞⎠18;
5) ⎛⎝567⎞⎠21;
6) ⎛⎝239⎞⎠36.
1.34
1.35
1.351) ⎛⎝35⎞⎠10;
2) ⎛⎝534⎞⎠48;
3) ⎛⎝7610⎞⎠120;
4) ⎛⎝643⎞⎠12;
5) ⎛⎝108⎞⎠16;
6) ⎛⎝1294⎞⎠36.
1.35
1.36°
1.36°1) ⎛⎝10⎞⎠2;
2) ⎛⎝53⎞⎠3;
3) ⎛⎝−124⎞⎠4;
4) −1244;
5) ⎛⎝−35⎞⎠5;
6) ⎛⎝323⎞⎠3;
7) ⎛⎝−444⎞⎠4;
8) ⎛⎝−157⎞⎠7;
9) −5555;
10) ⎛⎝−36⎞⎠6;
11) ⎛⎝−229⎞⎠9;
12) −488.
1.36°
1.37°
1.37°1) 325+−83;
2) 6254−−1253;
3) 12−60,1253;
4) 1+100,00814;
5) 3164−4273;
6) −3383+2,25;
7) 83−643;
8) 164−643.
1.37°
1.38°
1.38°1) 9+4;
2) 36−164;
3) 0,81+0,0013;
4) 0,0273−0,04;
5) 5−2564;
6) 7+83;
7) −325+164;
8) −273+814.
1.38°
1.39°
1.39°1) (1−2)⎛⎝1+2⎞⎠;
2) ⎛⎝3−2⎞⎠⎛⎝3+2⎞⎠;
3) ⎛⎝23+4⎞⎠⎛⎝23−4⎞⎠;
4) ⎛⎝35−2⎞⎠⎛⎝35+2⎞⎠;
5) ⎛⎝10−6⎞⎠⎛⎝6+10⎞⎠;
6) ⎛⎝7+3⎞⎠⎛⎝3−7⎞⎠.
1.
39°
1.40
1.401) 1225244⋅15−1382−2323;
2) 58+442−26235;
3) 90+31⎛⎝572−262⎞⎠83;
4) 2364+⎛⎝482−3225⎞⎠−13.
1.40
1.41
1.411) ⎛⎝⎜⎛⎝⎛⎝23⎞⎠33⎞⎠−3−⎛⎝⎛⎝43⎞⎠−55⎞⎠5⎞⎠⎟−1·⎛⎝−277⎞⎠7;
2) ⎛⎝⎜⎛⎝175⎞⎠−10+⎛⎝−409⎞⎠9·⎛⎝537⎞⎠0⎞⎠⎟−1:⎛⎝95⎞⎠−10;
3) ⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝34⎞⎠23⎞⎠⎟6+⎛⎝−4−27⎞⎠7⎞⎠⎟:⎛⎝⎜⎛⎝⎜⎛⎝56⎞⎠05⎞⎠⎟10−⎛⎝−⎛⎝32⎞⎠−19⎞⎠9⎞⎠⎟;
4) ((((−45)3)3)0−(−0,111)−22):(((38)−15)5·((32)37)7+(−129)−9).
1.41
1.42
1.421) ⎛⎝a77⎞⎠7⎛⎝a55⎞⎠5;
2) ⎛⎝a33⎞⎠3⎛⎝a99⎞⎠9;
3) ⎛⎝⎜213⎛⎝a33⎞⎠3·⎛⎝b77⎞⎠7⎞⎠⎟2·⎛⎝⎜−127⎛⎝a55⎞⎠5·⎛⎝b1111⎞⎠11⎞⎠⎟;
4) 337⎛⎝a55⎞⎠5·⎛⎝b99⎞⎠9·⎛⎝⎜−213⎛⎝a77⎞⎠7·⎛⎝b1313⎞⎠13⎞⎠⎟2.
1.42
Найдите естественную область определения выражения (1.43—1.44).
1.43
1.431) x+4;
2) −9+2×4;
3) 5×2−6×10;
4) 8x−4×212;
5) x+33;
6) x−75;
7) x2−47;
8) 2×2−329.
1.43
1.44
1.441) 34x−112;
2) −48x−314;
3) 2−59−5×8;
4) 3−1016−7×6;
5) 2+x4−2(8−6x)3;
6) 12−6×2−7x+(3x−1)·25;
7) −x22(x−2)−5⎛⎝1−3x)−24;
8) 3(x+4)−6(2−x)+9×428.
1.44
Стр. 181.45
1.45Найдите длину ребра куба, если его объем равен:
1) 27 см3;
2) 64 мм3;
3) 0,125 дм3;
4) 0,216 м3.
1.45
Решите уравнение (1.46—1.54).
1.46°
1.46°1) x2=0,49;
2) x2=121;
3) x3=0,008;
4) x3=1000;
5) x3=−64 000;
6) x3=216;
7) x4=0,0625;
8) x4=−16.
1.46°
1.47
1.471) x3=−27;
2) x5=−132;
3) x7=−1;
4) x9=−512;
5) x3=−0,027;
6) x11=0.
1.47
1.48°
1.48°1) x2=11;
2) x4=19;
3) x8=27;
4) x3=25;
5) x7=38;
6) x9=−2;
7) x15=−6;
8) x17=4;
9) x13=−13.
1.48°
1.49
1.491) x2=25 600;
2) x2=0,0196;
3) x2+1=1,0016;
4) 5×2−20=0;
5) x2+25=0;
6) x2+179=0;
7) x2·4=0;
8) −6×2=0;
9) 113×2−12=0;
10) 13×2−1=0.
1.49
1.50
1.501) 4×3+4125=0;
2) 8×3+27=0;
3) −0,1×4=−0,00001;
4) 16×4−81=0;
5) 12×5+16=0;
6) 132×6−2=0.
1.50
1.51
1.511) x4+2=7;
2) x5−3=30;
3) x6−7=19;
4) x3+5=5.
1.51
1.52
1.521) (x+1)4=16;
2) (x−2)6=64;
3) (2x+1)3=27;
4) (3x−1)5=32.
1.52
1.53
1.531) x10−31×5−32=0;
2) x8−15×4−16=0;
3) x4−12×2+27=0;
4) x6−7×3−8=0;
5) x8−82×4+81=0;
6) x4+2×2−15=0.
1.53
Стр. 191.54
1.541)° (x6)6=x;
2)° (x10)10=x;
3)° (x3)3=x;
4)° (x5)5=x;
5) ⎛⎝x−14⎞⎠4=x−1;
6) ⎛⎝x+212⎞⎠12=x+2;
7) ⎛⎝1×7⎞⎠7=1x;
8) ⎛⎝1x−211⎞⎠11=1x−2.
1.54
3-8Найдите квадратный корень из 9 -4sqrt5
ПРЕМЬЕРЫ ИЗДАТЕЛИ-БАЗОВАЯ АЛГЕБРА-ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ I(.
Ответьте на следующие вопросы видео бина киси ад ки рукаават ке!0907
Похожие видео
Найдите квадратный корень 9+40t
28848
04:37
Найдите квадратный корень из 9+40i.
2632327
01:58
Если a=9-4sqrt5 , то найти значение a-1/a
41776605
00:51
108639517
01:04
Разность корней равна 9, а сумма их квадратов равна 13. Найдите квадратное уравнение ?
116054194
Text Solution
9+40i का वर्गमूल निकालिए।
127319784
03:44
. 1×3]
318515666
07:50
Найти квадратный корень 9+ 40t
642531592
04:29
व vrotryings
04:29
व vrotress 10907
04:29
व vrots
04:29
.0907
03:51
Давайте найдем квадратный корень из следующего.
964
643105373
02:07
925
643346740
02:16
Find the square root of:
(i) 279
(ii) 4.
Leave A Comment