§ Как избавиться от иррациональности
Квадратный корень Квадратный корень из произведения Квадратный корень из дроби Как избавиться от иррациональности Как вынести из-под корня Как внести под знак корня
Важно!Иррациональностью в знаменателе (нижней части дроби) называют наличие корней в знаменателе.
Что такое иррациональность в знаменателе дроби
Рассмотрим на примерах ниже, в каких дробях в знаменателе есть иррациональность, а в каких её нет.
- в знаменателе нет корней, значит иррациональности нет;
-
в знаменателе есть
корень «√6» — иррациональность в знаменателе есть.
в знаменателе есть корни «√7» и «√3» — иррациональность есть.4 √7 − √3
в знаменателе естьa + b √c − 3
корень «√c − 3» — иррациональность в знаменателе есть.
Избавиться от иррациональности в знаменателе означает убрать все корни из знаменателя.
Возникает логичный вопрос, как это можно сделать?
Чаще всего встречаются два вида примеров. Рассмотрим решение обоих видов.
Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе только один корень
На помощь приходит основное свойство дроби. Вспомним, что оно позволяет умножить и разделить дробь на одно и то же число, чтобы в конечном итоге дробь не изменилась.
Запомните!Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе с одним корнем, нужно умножить и числитель, и знаменатель на корень из знаменателя.
По традиции разберемся на практике.
Разбор примера
Исключить иррациональность из знаменателя:
Зададим себе вопрос, на что нужно умножить «√5» в знаменателе, чтобы избавиться от корня.
Ответ: на «√5».
В самом деле, если квадратный корень умножить сам на себя получится число под корнем.
Проверим.
Используем основное свойство дроби, умножим и числитель, и знаменатель на «√5», чтобы избавиться от корня в знаменателе.
=| 3 · √5 |
| √5 · √5 |
| 3 · √5 |
| √5 · 5 |
| 3 · √5 |
| √52 |
=
| 3 · √5 |
| 5 |
Как избавиться от иррациональности, когда в знаменателе несколько корней
Запомните!Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе c несколькими корнями, нужно использовать формулы сокращённого умножения.
Разберемся по традиции на примере.
Разбор примера
Исключить иррациональность из знаменателя:
| 1 |
| 2 − √3 |
На что нужно умножить знаменатель «2 − √3», чтобы убрать из него корень?
Теперь недостаточно умножить знаменатель на
«√3»,
ведь в таком
случае все равно остается квадратный корень.
= 2√3 − 3
Мы видим, что корень никуда не исчез. Нужно искать другие варианты решения.
Вспомним формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
Формула разности квадратов также работает в обратную сторону.
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Представим, что «2 − √3» — это часть формулы.
(a + b)(a − b) = a2 − b2
(? + ?)(2 − √3) = ?
Логично предположить, что в формуле «a» — это «2», «b» — «√3». Подставим вместо знаков «?» числа.
(a + b)(a − b) = a2 − b2(2 + √3)(2 − √3) = 22 − √32 = 4 − 3 = 1
То есть, чтобы избавиться от иррациональности в дроби
требуется умножить знаменатель
«2 − √3»
на
«2 + √3»
и через формулу «Разность квадратов» убрать квадратные корни.
Не забываем, что по основному свойству дроби мы обязаны также умножить числитель на «2 + √3».
| 1 |
| 2 − √3 |
| 1 · (2 + √3) |
| (2 − √3) · (2 + √3) |
=
| 2 + √3 |
| 22 − √32 |
| 2 + √3 |
| 4 − 3 |
| 2 + √3 |
| 1 |
Примеры
освобождения от иррациональности в знаменателеРазбор примера
Исключить иррациональность из знаменателя:
2)=
| 2 · √6 |
| √6 · √6 |
| 2 · √6 |
| √6 · 6 |
| 2· √6 |
| √62 |
=
| 2 · √6 |
| 6 |
Рассмотрим пример, когда в знаменателе несколько корней.
| √5 − √7 |
| √5 + √7 |
Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Умножим и числитель, и знаменатель на «(√5 − √7)», чтобы использовать формулу сокращённого умножения в знаменателе и избавиться от корней.
| √5 − √7 |
| (√5 − √7)(√5 − √7) |
| (√5 + √7)(√5 − √7) |
=
| (√5 − √7)2 |
| √52 − √72 |
Используем в числителе (наверху в дроби) формулу «Квадрат разности».
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2| √5 − √7 |
| √5 + √7 |
| (√5 − √7)(√5 − √7) |
| (√5 + √7)(√5 − √7) |
=
| (√5 − √7)2 |
| √52 − √72 |
=
| (√5)2 − 2 · √5 · √7 + (√7)2 |
| √52 − √72 |
=
| 5 − 2√5 · 7 + 7 |
| 5 − 7 |
| 12 − 2√35 |
| − 2 |
= −
| 12 − 2√35 |
| 2 |
Вынесем общий множитель в числителе и
сократим дробь.
| √5 − √7 |
| √5 + √7 |
| (√5 − √7)(√5 − √7) |
| (√5 + √7)(√5 − √7) |
=
| (√5 − √7)2 |
| √52 − √72 |
=
| (√5)2 − 2 · √5 · √7 + (√7)2 |
| √52 − √72 |
=
| 5 − 2√5 · 7 + 7 |
| 5 − 7 |
| 12 − 2√35 |
| − 2 |
= −
| 12 − 2√35 |
| 2 |
| 2 · (6 − √35) |
| 2 |
= −
| 2 (6 − √35) |
| 2 |
= − (6 − √35) = −6 + √35
Разбор примера
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
5)| 1 |
| √a − √b |
Используем формулу сокращенного умножения «Разность квадратов».
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Умножим и числитель, и знаменатель на «(√a + √b)», чтобы использовать формулу «Разность квадратов» в знаменателе и освободиться от корней.
5)| 1 |
| √a − √b |
| 1 · (√a + √b) |
| (√a − √b) · (√a + √b) |
=
| √a + √b |
| (√a)2 − (√b)2 |
| √a + √b |
| a − b |
Квадратный корень Квадратный корень из произведения Квадратный корень из дроби Как избавиться от иррациональности Как вынести из-под корня Как внести под знак корня
Ваши комментарии
Важно!Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».
Оставить комментарий:
| Отправить |
3-8
1.
Когда n – четное число и a>0, root(n,a)>0, называется главным корнем.
Когда n четное число и a<0, root(n,a) не является действительным числом.
2. Когда n нечетное число и а>0, root(n,a)>0.
Когда n нечетное число и a<0,root(n,a)<0
Число n в root(n,a) (всегда натуральное число больше 1) называется индексом или порядком радикала , а называется подкоренным числом. Когда нет указанного индекса, как в случае root(a), подразумевается индекс 2, и он читается как «квадратный корень из a». Когда индекс равен 3, как в root(3,a), он читается как кубический корень из а». 94).
Говорят, что подкоренное выражение имеет стандартную форму, если выполняются следующие условия:
1. Подкоренное выражение положительно.
2. Индекс радикала как можно меньше.
3. Показатель степени каждого множителя подкоренного числа на натуральное число меньше подкоренного индекса.
4. В подкоренном члене нет дробей.
5.
Leave A Comment