Как решать графы по информатике: Задача №15. Графы. Поиск количества путей

Решение задач с помощью графа

Теория графов применяется при решении задач из многих предметных областей: математика, биология, информатика

1736 год, г.Кёнигсберг. Через город протекает река Прегеля. В городе — семь мостов, расположенных так, как показано на рисунке выше. С давних времен жители Кенигсберга бились над загадкой: можно ли пройти по всем мостам, пройдя по каждому только один раз? Эту задачу решали и теоретически, на бумаге, и на практике, на прогулках — проходя по этим самым мостам. Никому не удавалось доказать, что это неосуществимо, но и совершить такую «загадочную» прогулку по мостам никто не мог.

Разрешить проблему удалось знаменитому математику Леонарду Эйлеру. Причем, он решил не только эту конкретную задачу, но придумал общий метод решения подобных задач. При решении задачи о Кенигсбергских мостах Эйлер поступил следующим образом: он «сжал» сушу в точки, а мосты «вытянул» в линии. Такую фигуру, состоящую из точек и линий, связывающих эти точки, называют ГРАФОМ

Граф – это совокупность непустого множества вершин и связей между вершинами. Кружки называются вершинами графа, линии со стрелками – дугами, без стрелок – ребрами.

Виды графов:

1. Ориентированный граф (кратко орграф) — рёбрам которого присвоено направление.

2. Неориентированный граф — это граф, в котором нет направления линий.

3. Взвешенный граф – дуги или ребра имеют вес (дополнительная информация).

Решение задач с помощью графов:

Задача 1.

Решение: Обозначим ученых вершинами графа и проведем от каждой вершины линии к четырем другим вершинам. Получаем 10 линий, которые и будут считаться рукопожатиями.

Задача 2.

На пришкольном участке растут 8 деревьев: яблоня, тополь, береза, рябина, дуб, клен, лиственница и сосна. Рябина выше лиственницы, яблоня выше клена, дуб ниже березы, но выше сосны, сосна выше рябины, береза ниже тополя, а лиственница выше яблони. Расположите деревья от самого низкого к самому высокому.

Решение:

Вершины графа — это деревья, обозначенный первой буквой названия дерева. В данной задача два отношения: “быть ниже” и “быть выше”. Рассмотрим отношение “быть ниже” и проведем стрелки от более низкого дерева к более высокому. Если в задаче сказано, что рябина выше лиственницы, то стрелку ставим от лиственницы к рябине и т.д. Получаем граф, на котором видно, что самое низкое дерево – клен, затем идут яблоня, лиственница, рябина, сосна, дуб, береза и тополь.

Задача 3.

У Наташи есть 2 конверта: обычный и авиа, и 3 марки: прямоугольная, квадратная и треугольная. Сколькими способами Наташа может выбрать конверт и марку, чтобы отправить письмо?

Решение:

Ниже представлен разбор задач.

Теория графов при решении задач

Введение

Теория графов — раздел математики и информатики, нашедший широкое применение в современных прикладных задачах. В первую очередь, это задачи поиска маршрута на картах, но её применение не ограничивается навигационными приложениями. Графы возникают там, где между данными существуют какие-либо нелинейные связи. Например, это могут быть компьютеры, соединённые в сеть. Или же это могут быть задачи, которые надо выполнить в каком-то порядке, причём некоторые задачи надо выполнять строго после каких-то других. Существуют алгоритмы, позволяющие вычислить оптимальный порядок выполнения таких задач.

История возникновения теории графов. Леонард Эйлер и задача о Кёнигсберских мостах

Родоначальником теории графов считается Леонард Эйлер. В 1736 году в одном из своих писем он формулирует и предлагает решение задачи о семи кёнигсбергских мостах, ставшей впоследствии одной из классических задач теории графов.

Издавна среди жителей Кёнигсберга (теперь Калининграда) была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды? Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу как теоретически, так и практически, во время прогулок.

Но никому это не удавалось, однако не удавалось и доказать, что это даже теоретически невозможно.

В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них (в случае семи мостов Кёнигсберга это невозможно).

Для того, чтобы решить эту задачу, Эйлер сделал специальные обозначения. Каждую часть суши (остров или берег реки) он обозначил кружком на бумаге, а затем соединил линиями те кружки, между которыми существуют мосты. Такие обозначения подчеркивают, что в этой задаче фактическое расположение, форма, длина и другие свойства объектов не представляют интереса, важны только связи между ними. Такая картинка на бумаге или на экране компьютера называется

графом.

Кружки — это его вершины, а линии — рёбра. Размышляя над этой и другими картинками из кружков и линий, Эйлер пришел к следующим выводам о графах:

Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа должно всегда быть чётно. То есть, просто не может существовать графа, который имел бы нечётное число нечётных вершин.

Если все вершины графа чётные, то его можно начертить не отрывая карандаша от бумаги, при этом начинать можно с любой вершины графа и завершить его в ней же.
Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.
(такой граф называют уникурсальным)

Доказательство. Вначале заметим, что если все вершины графа имеют степень не меньше двух, то в нем существует хотя бы один цикл.

Рассмотрим случай, когда все вершины четны. Применим «метод стирания». Выберем некоторую точку и начнем строить путь. Так как степени всех вершин четны, то они не меньше двух.

Поэтому, войдя по некоторому ребру в данную точку, мы всегда можем выйти из нее по второму ребру. Будем отмечать пройденные вершины. Так как число вершин конечно, то на каком-то шаге мы перейдем в одну из уже отмеченных вершин и таким образом замкнем цикл. Теперь сотрем этот цикл (естественно, запомнив его где-то) и рассмотрим получившийся граф. Он может оказаться несвязным, но, тем не менее, все его вершины будут иметь четную степень. Применим к этому графу ту же процедуру, и будем это делать до тех пор, пока остается хотя бы один нетривиальный подграф. В результате мы получим несколько циклов, которые не имеют общих ребер, а все вместе образуют исходный граф. Нам остается только склеить эти циклы в один. Возьмем два цикла (… ВАС…) и (…НАМ…), имеющие общую вершину А, разрежем их в этой вершине и склеим по такому правилу: сначала выписываем вершины первого цикла, потом, дойдя до точки А, записываем все вершины второго цикла, а затем продолжаем выписывать оставшиеся вершины первого цикла.

Очевидно, что в итоге у нас получится один цикл, который содержит все ребра исходного графа.

Предположим теперь, что в исходном графе ровно две нечетных вершины А и В. Соединим их дополнительных ребром АВ, и получим граф, все вершины которого четны. Построим для него эйлеров цикл по указанному выше алгоритму. Перепишем его так, чтобы вершина А была начальной, а ребро АВ — последним. Удалив из этого цикла ребро АВ получим цикл, начинающийся в А и заканчивающийся в В. Этот путь проходит через все ребра исходного графа.

Предположим теперь, что граф уникурсален. Докажем, что в нем не более двух нечетных вершин. Очевидно, что рисовать такой граф нужно, начиная с нечетной вершины. Причем завершить маршрут нужно в другой нечетной вершине. Если же имеется еще одна нечетная вершина, то она не может быть ни начальной, ни конечной. Поэтому, когда мы в нее заходим, то должны обязательно выйти. Каждый проход через вершину уменьшает число не пройденных ребер, связанных с этой вершиной, ровно на два.

В итоге, на каком то шаге в нечетной вершине останется только одно не пройденное ребро, зайдя по которому в вершину мы уже не сможем из нее выйти. Теорема доказана полностью.

Граф кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины (т.е. все), следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.

Определения теории графов

Граф — конечное множество вершин, природа которых не важна, и конечно множество рёбер, соединяющих между собой какие-либо вершины.

Графы могут быть ориентированными и неориентированными. Если в рамках задачи по рёбрам можно перемещаться в обоих направлениях, то граф называется неориентированным. Если же по каждому ребру можно пройти только в одну сторону, то граф ориентированный. В таком случае рёбра обычно обозначаются стрелками, а не просто линиями.

Пример ориентированного графа

Иногда бывает полезно связать с ребрами графа какие-то числа. Это могут быть длины дорог или плата за проезд, если граф моделирует карту какой-то местности. В таком случае граф называется взвешенным, а сами числа — весами.

Пример: граф с шестью вершинами и семью рёбрами

Граф, в котором каждая пара вершин соединена ребром, называется полным. Обозначение: Kn — граф, состоящий из n вершин и ребер, соединяющих всевозможные пары этих вершин. Такой граф можно представить как n-угольник, в котором проведены все диагонали.

Ниже приведены полные графы с числом вершин от 1 до 8 и количества их рёбер.

Степенью вершины называется число ребер, которым принадлежит вершина (число рёбер с концом в данной вершине).

Дополнением данного графа называется граф, состоящий из всех ребер и их концов, которые необходимо добавить к исходному графу, чтобы получить полный граф.

Граф, который можно представить на плоскости в таком виде, когда его ребра пересекаются только в вершинах, называется плоским.

Многоугольник плоского графа, не содержащий внутри себя никаких вершин или ребер графа, называют его гранью.

Понятия плоского графа и грани графа применяется при решении задач на «правильное» раскрашивание различных карт.

Путем от вершины A до вершины X называется последовательность ребер, ведущая от A к X, такая, что каждые два соседних ребра имеют общую вершину, и никакое ребро не встречается более одного раза.

Циклом называется путь, в котором совпадают начальная и конечная точка (т.е. можно «ходить по циклу» — «ходить по кругу»).

Простым циклом называется цикл, не проходящий ни через одну из вершин графа более одного раза.

Длиной пути, проложенного на цикле, называется число ребер этого пути.

Две вершины A и B в графе называются связными (несвязными), если в нем существует (не существует) путь, ведущий из A в B.

Граф называется связным, если каждые две его вершины связны; если же в графе найдется хотя бы одна пара несвязных вершин, то граф называется несвязным.

https://habr.com/ru/company/otus/blog/568026/

Специальным типом графов является дерево. В дереве выделяется особая вершина — корень, которая соединена рёбрами с другими вершинами — своими потомками, которые в свою очередь могут иметь своих потомков. Вершина, не имеющая потомков, называется листом. Наглядный пример дерева — иерархия файлов и папок в файловой системе компьютера или систематика живых организмов

Если не выделять особым образом корень, то дерево — это просто любой связный граф, не имеющий циклов.

Представление графов в памяти

Чтобы решать задачи, связанные с графами, нужно сначала научиться сохранять его в памяти, а ещё лучше — сохранять оптимально. Существует несколько способов сделать это, и для каждой конкретной задачи оптимальным будет свой способ.

Матрица смежности

Самый простой способ сохранить граф в памяти — матрица смежности. Нарисуем таблицу, которая чем-то напоминает таблицу умножения: в первой строчке и в первом столбце будут стоять номера (или любые названия) вершин, а на пересечении столбца и строки будем ставить, например, 1 если между этими вершинами есть ребро и 0 если нет. Кроме 1 и 0 можно ставить, например, вес ребра, а для обозначения отсутствия ребра — просто очень большое число. Какой именно вариант использовать, зависит от каждой конкретной задачи. Также задача определяет, что ставить на диагонали получившейся матрицы.

Граф и его матрица смежности.

Матрица смежности элементарно реализуется в большинстве языков программирования, достаточно лишь объявить двумерный массив.

Другие способы

Существуют и другие способы хранения графа в памяти, например, матрица инцидентости, которая удобна при использовании методов линейной алгебры в задачах на графах, или списки рёбер, но практическое применение в задачах обычно находят описанные выше два способа.

Основные задачи теории графов

Обходы графа

Часто требуется обойти все вершины графа в определённом порядке, например, для проверки его на связность или упорядочения задач при планировании (топологическая сортировка графа). Существует два стандартных метода обхода графа — обход в глубину и обход в ширину.

Обход в глубину (DFS)

Обход в глубину можно описать так: представьте, что вы в лабиринте. Идите всегда прямо, а на всех развилках выбирайте самый левый путь. Упёршись в тупик, возвращайтесь обратно до последней развилки и выбирайте следующий путь слева. Продолжайте, пока не обойдёте весь лабиринт.

Обход в ширину (BFS)

Обход в ширину можно наглядно представить себе так: в какой-то стартовой точке лабиринта разливается жидкость, и она начинает равномерно заполнять все его помещения, продвигаясь все дальше. При этом в каждый момент времени все точки края разливающейся воды находятся на одном расстоянии от начала.

Этот обход, как и обход DFS, можно применять для поиска путей в графах. Основное его отличие в том, что поиск не уходит сразу далеко от начала, а продвигается вглубь графа постепенно, неким «фронтом».

Его реализация немного сложнее, чем DFS. Для этого нам понадобится такая структура данных, как очередь. Очередь, как видно из названия, моделирует обычную очередь в магазине. Обычно это список, в которой можно класть элементы с одной стороны, а забирать — с другой. Обход в ширину хранит в очереди вершины, которые еще предстоит просмотреть.

Другие задачи

Другими классическими задачами теории графов являются, например, задача топологической сортировки и задача поиска наименьшего остовного дерева.

Проблема четырёх красок

Проблема четырёх красок — математическая задача, предложенная Гутри в 1852 году.

Выяснить, можно ли всякую расположенную на сфере карту раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета.

Иначе говоря, показать что хроматическое число плоского графа не превосходит 4.

О доказательстве

К.Аппель и В.Хакен доказали в 1976 г., что так можно раскрасить любую карту. Это была первая крупная математическая теорема, для доказательства которой был применён компьютер. Несмотря на последующие упрощения, доказательство практически невозможно проверить, не используя компьютер. Поэтому некоторые математики отнеслись к этому доказательству с недоверием, что объяснялось не только использованием компьютера, но и громоздкостью описания алгоритма первых доказательств (741 страница), впоследствии были предложены более компактные алгоритмы и скорректирован ряд ошибок. Проблема четырех красок является одним из известнейших прецедентов неклассического доказательства в современной математике.

Исторически планарные графы связаны с одной знаменитой задачей.

Задача о домиках и колодцах. В некоторой деревне есть три колодца. Трое жителей, живущие в трех стоящих рядом домиках перессорились, и решили так протоптать тропинки от своих домов к каждому из трех колодцев, чтобы они не пересекались. Удастся ли им выполнить свой план?

Решим эту задачу. Проведем тропинки так, как это показано на рисунке 8. Как видно, нам удалось провести только восемь тропинок, а девятая должна пересечься хотя бы с одной. Можно доказать (мы не будем приводить строгое доказательство), что эта задача не имеет решения. Дело в том, что по мере проведения тропинок из двух первых домиков, будет получаться некоторый замкнутый контур, внутри которого будет стоять один из колодцев, при этом третий домик будет находиться снаружи от этого контура. Для того чтобы соединить этот домик с колодцем, обязательно потребуется пересечь новой тропинкой одну из уже проложенных.

Задача о четырех красках. На политической карте мира нарисовано несколько государств. Карту нужно раскрасить так, что бы две страны, имеющие общую границу, были покрашены в разные цвета.

В классическом варианте предполагалось, что карту можно раскрасить четырьмя цветами. Покажем, как эта задача связана с графами. Обозначим каждую страну на карте точкой, вершины, отвечающие странам, имеющим общую границу, соединим ребрами. Теперь задачу о раскрашивании можно сформулировать так: раскрасить вершины планарного графа так, чтобы любые две смежные были покрашены в разные цвета. Эта задача может быть решена для графов с малым количеством вершин. Если же число вершин достаточно велико, то гипотеза четырех красок оказывается неверной. (Этот факт установлен с помощью мощных компьютеров.)

Вместе с тем, довольно простыми средствами была доказана теорема о пяти красках.

Теорема. Планарный граф можно раскрасить пятью красками так, что любые смежные вершины будут окрашены в разные цвета.

Еще одна интересная проблема: сколькими способами можно раскрасить граф, если имеется n красок.

Оказывается, что число способов раскрашивания является многочленом от n, коэффициенты этого многочлена можно вычислить с помощью специального алгоритма.

Укажем еще одно обобщение задачи о раскрасках. Известно, что граф без самопересечений располагается на некоторой поверхности (на сфере, на торе, на бутылке Клейна и т.п.), какое минимальное количество красок нужно для его раскрашивания?

Ответ на этот вопрос был получен в разделе математики, называющемся «топологией». Оказалось, что для всех замкнутых двумерных поверхностей (кроме сферы), данное число выражается через Эйлерову характеристику этой поверхности.

См. продолжение статьи

типов графиков с примерами

График представляет собой нелинейную структуру данных, состоящую из узлов и ребер . Узлы иногда также называют вершинами, а ребра — линиями или дугами, соединяющими любые два узла в графе. Более формально граф можно определить как граф, состоящий из конечного набора вершин (или узлов) и набора ребер, соединяющих пару узлов

Неориентированные графы : Граф, в котором ребра не имеют направления, т. е. ребра не имеют стрелок, указывающих направление обхода. Пример: граф социальной сети, где дружеские отношения не являются направленными.
Направленные графы : Граф, в котором ребра имеют направление, т. е. ребра имеют стрелки, указывающие направление обхода. Пример: граф веб-страницы, где ссылки между страницами являются направленными.
Взвешенные графы: Граф, в котором ребра имеют веса или связанные с ними затраты. Пример: граф дорожной сети, где веса могут представлять расстояние между двумя городами.
Невзвешенный граф s: Граф, в котором ребра не имеют весов или связанных с ними затрат. Пример: граф социальной сети, где ребра представляют собой дружеские отношения.
Полные графы: Граф, в котором каждая вершина соединена с каждой другой вершиной. Пример: график турнира, где каждый игрок играет против каждого другого игрока.
Двудольные графы: Граф, в котором вершины можно разделить на два непересекающихся множества так, что каждое ребро соединяет вершину одного множества с вершиной другого множества. Пример: граф кандидатов на работу, вершины которого можно разделить на кандидатов на работу и вакансии.
Деревья : Связный граф без циклов. Пример: Генеалогическое древо, в котором каждый человек связан со своими родителями.
Циклы : Граф с хотя бы одним циклом. Пример: граф совместного использования велосипедов, где циклы представляют маршруты, по которым ездят велосипеды.
Разреженные графы: Граф с относительно небольшим количеством ребер по сравнению с количеством вершин. Пример: граф химической реакции, где каждая вершина представляет собой химическое соединение, а каждое ребро представляет собой реакцию между двумя соединениями.
Плотный граф s: граф с большим количеством ребер по сравнению с количеством вершин. Пример: Граф социальной сети, где каждая вершина представляет человека, а каждое ребро представляет дружбу.

1. Конечные графы

Граф называется конечным, если он имеет конечное число вершин и конечное число ребер. Конечный граф — это граф с конечным числом вершин и ребер. Другими словами, и количество вершин, и количество ребер в конечном графе ограничено и может быть подсчитано. Конечные графы часто используются для моделирования ситуаций реального мира, где имеется ограниченное количество объектов и отношений между 9 объектами.0012

2. Бесконечный граф:

Граф называется бесконечным, если он имеет бесконечное количество вершин, а также бесконечное количество ребер.

3. Тривиальный граф:

Граф называется тривиальным, если конечный граф содержит только одну вершину и не содержит ребер. Тривиальный граф — это граф, имеющий только одну вершину и не имеющий ребер. Он также известен как одноэлементный граф или граф с одной вершиной. Тривиальный граф — это простейший тип графа, который часто используется в качестве отправной точки для построения более сложных графов. В теории графов тривиальные графы считаются вырожденным случаем и обычно подробно не изучаются

4. Простой граф:

Простой граф — это граф, который не содержит более одного ребра между парой вершин. Простой железнодорожный путь, соединяющий разные города, является примером простого графа.

5. Мультиграф:

Любой граф, содержащий несколько параллельных ребер, но не содержащий ни одной петли, называется мультиграфом. Например, Дорожная карта.

Параллельные кромки: Если две вершины соединены более чем одним ребром, то такие ребра называются параллельными ребрами, у которых много маршрутов, но один пункт назначения.
Цикл: Ребро графа, которое начинается с вершины и заканчивается в той же вершине, называется петлей или самопетлей.

6. Нулевой граф:

Граф порядка n и нулевого размера — это граф, в котором есть только изолированные вершины без ребер, соединяющих любую пару вершин. Нулевой граф — это граф без ребер. Другими словами, это граф только с вершинами и без связей между ними. Нулевой граф также может называться графом без ребер, изолированным графом или дискретным графом 9.0012

7. Полный граф:

Простой граф с n вершинами называется полным графом, если степень каждой вершины равна n-1, то есть одна вершина соединена с n-1 ребрами или остальными вершин в графе. Полный граф также называется полным графом.

8. Псевдограф:

Граф G с петлей и несколькими кратными ребрами называется псевдографом. Псевдограф — это тип графа, который допускает существование петель (ребер, соединяющих вершину с самой собой) и множественных ребер (более одного ребра, соединяющих две вершины). Напротив, простой граф — это граф, который не допускает петель или множественных ребер.

9. Регулярный граф:

Простой граф называется регулярным, если все вершины графа G имеют одинаковую степень. Все полные графы регулярны, но наоборот невозможно. Регулярный граф — это тип неориентированного графа, в котором каждая вершина имеет одинаковое количество ребер или соседей. Другими словами, если граф правильный, то все вершины имеют одинаковую степень.

10. Двудольный граф:

Граф G = (V, E) называется двудольным, если его множество вершин V(G) можно разбить на два непустых непересекающихся подмножества. V1(G) и V2(G) таким образом, что каждое ребро e ребра E(G) имеет один конец в V1(G), а другой конец в V2(G). Разбиение V1 U V2 = V называется двудольным G. Здесь на рисунке: V1(G)={V5, V4, V3} и V2(G)={V1, V2}

11. Размеченный граф:

Если вершины и ребра графа помечены именем, датой или весом, то он называется размеченным графом. Его также называют взвешенным графиком.

12. Граф орграфов:

Граф G = (V, E) с отображением f таким, что каждое ребро отображается на некоторую упорядоченную пару вершин (Vi, Vj), называется орграфом. Его также называют Directed Graph . Упорядоченная пара (Vi, Vj) означает ребро между Vi и Vj со стрелкой, направленной из Vi в Vj. Здесь на рисунке: e1 = (V1, V2) e2 = (V2, V3) e4 = (V2, V4)

13. Подграф:

Граф G1 = (V1, E1) называется подграфом графа G(V, E), если V1(G) является подмножеством V(G) и E1( G) является подмножеством E(G) таким, что каждое ребро G1 имеет те же конечные вершины, что и в G.

вершин (Vi, Vj) графа G достижимы друг из друга. Или граф называется связным, если существует хотя бы один путь между каждой и каждой парой вершин в графе G, в противном случае он несвязен. Нулевой граф с n вершинами — это несвязный граф, состоящий из n компонент. Каждый компонент состоит из одной вершины и не содержит ребер.
15. Циклический граф:
Граф G, состоящий из n вершин и n> = 3, то есть V1, V2, V3- – – – Vn и ребер (V1, V2), (V2, V3) , (V3, V4)- – – – (Vn, V1) называются циклическими графами.
16. Типы подграфов:
Вершинный непересекающийся подграф: Любые два графа G1 = (V1, E1) и G2 = (V2, E2) называются вершинно непересекающимися графа G = (V, E), если пересечение V1(G1) V2(G2) = null. На рисунке нет общей вершины между G1 и G2.
Реберно непересекающийся подграф: Подграф называется реберно непересекающимся, если E1(G1) пересечение E2(G2) = null. На рисунке нет общего ребра между G1 и G2.
Примечание: Реберный непересекающийся подграф может иметь общие вершины, но вершинный непересекающийся граф не может иметь общего ребра, поэтому вершинный непересекающийся подграф всегда будет реберно непересекающимся подграфом.
17. Связующий подграф
Рассмотрим граф G(V,E), как показано ниже. Остовный подграф — это подграф, содержащий все вершины исходного графа G, то есть G'(V’,E’) является остовным, если V’=V и E’ является подмножеством E.

Таким образом, один из связующих подграфов может быть таким, как показано ниже G'(V’,E’). Он имеет все вершины исходного графа G и некоторые ребра графа G.

Это всего лишь один из многих остовных подграфов графа G. Мы можем различать другие остовные подграфы с помощью различных комбинаций ребер. Заметим, что если мы рассмотрим граф G'(V’,E’), где V’=V и E’=E, то граф G’ является остовным подграфом графа G(V,E).
Преимущества графиков:
Графики можно использовать для моделирования и анализа сложных систем и взаимосвязей.
Они полезны для визуализации и понимания данных.
Графовые алгоритмы широко используются в компьютерных науках и других областях, таких как анализ социальных сетей, логистика и транспорт.
Графики можно использовать для представления широкого спектра типов данных, включая социальные сети, дорожные сети и Интернет.
Недостатки графиков:
Большие графики могут быть трудны для визуализации и анализа.
Алгоритмы графов могут требовать значительных вычислительных ресурсов, особенно для больших графов.
Интерпретация результатов графика может быть субъективной и может потребовать специальных знаний.
Графики могут быть чувствительны к шуму и выбросам, что может повлиять на точность результатов анализа.
Статья по теме: Применение, преимущества и недостатки графа

Введение в графы. Структура данных и алгоритмы. Учебники
Введение:
Данные графа состоят из нелинейных структур и ребер. Вершины иногда также называют узлами, а ребра — линиями или дугами, соединяющими любые два узла в графе. Более формально граф состоит из набора вершин ( V ) и набор ребер ( E ). Граф обозначается G(V, E).
Графические структуры данных — это мощный инструмент для представления и анализа сложных отношений между объектами или сущностями. Они особенно полезны в таких областях, как анализ социальных сетей, системы рекомендаций и компьютерные сети. В области науки о спортивных данных графические структуры данных можно использовать для анализа и понимания динамики результатов команды и взаимодействия игроков на поле.
Представьте себе футбольную игру в виде паутины соединений, где игроки являются узлами, а их взаимодействия на поле — ребрами. Эта сеть связей — это именно то, что представляет структура графических данных, и это ключ к раскрытию информации о производительности команды и динамике игроков в спорте.
Компоненты графа
Вершины: Вершины являются основными единицами графа. Иногда вершины также известны как вершины или узлы. Каждый узел/вершина может быть помечен или не помечен.
Ребра: Ребра рисуются или используются для соединения двух узлов графа. Это может быть упорядоченная пара узлов в ориентированном графе. Ребра могут соединять любые два узла любым возможным способом. Правил нет. Иногда ребра также известны как дуги. Каждое ребро может быть помечено/не помечено.
Типы графов
1. Нулевой граф
Граф называется нулевым графом, если в нем нет ребер.
2. Тривиальный график
Граф, имеющий только одну вершину, это также самый маленький из возможных графов.

3. Неориентированный граф
Граф, ребра которого не имеют направления. То есть узлы представляют собой неупорядоченные пары в определении каждого ребра.
4. Ориентированный граф
Граф, в котором ребро имеет направление. То есть узлы являются упорядоченными парами в определении каждого ребра.
5. Связный граф
Граф, в котором из одного узла мы можем посетить любой другой узел в графе, называется связным графом.
6. Несвязный граф
Граф, в котором хотя бы один узел недоступен из узла, называется несвязным графом.
7.
Регулярный граф
Граф, в котором степень каждой вершины равна K, называется K-регулярным графом.
8. Полный граф
Граф, в котором из каждого узла идет ребро в каждый другой узел.
.
9. Граф циклов
Граф, в котором граф сам по себе является циклом, степень каждой вершины равна 2.
10. Циклический граф
Граф, содержащий хотя бы один цикл, называется циклическим графом.
11. Направленный ациклический граф
Направленный граф, не содержащий циклов.
12. Двудольный граф
Граф, вершины которого можно разделить на два множества так, что вершины в каждом множестве не содержат ни одного ребра между ними.
13. Взвешенный граф
Граф, в котором ребра уже определены с подходящим весом, называется взвешенным графом.
Взвешенные графы могут быть дополнительно классифицированы как ориентированные взвешенные графы и неориентированные взвешенные графы.

Дерево против графа
Деревья — это ограниченные типы графов, только с некоторыми дополнительными правилами. Каждое дерево всегда будет графом, но не все графы будут деревьями. Связанный список, деревья и кучи — все это частные случаи графов.
Представление графиков
Существует два способа хранения графика:
Матрица смежности
Список смежности
Матрица смежности
В этом методе граф сохраняется в виде двумерной матрицы, где строки и столбцы обозначают вершины. Каждая запись в матрице представляет собой вес ребра между этими вершинами.
Список смежности
Этот граф представлен в виде набора связанных списков. Существует массив указателей, указывающих на ребра, связанные с этой вершиной.
Сравнение матрицы смежности и списка смежности
Когда граф содержит большое количество ребер, его лучше хранить в виде матрицы, потому что только некоторые элементы в матрице будут пустыми. Алгоритм, такой как матрица смежности Прима и Дейкстры, используется для меньшей сложности.
Действие Матрица смежности Список смежности
Добавление ребра O(1) O(1)
Удаление ребра O(1) O(N)
Инициализация O(22N4) 909 00424 Н)
Основные операции с графами
Ниже приведены основные операции с графами:
Вставка узлов/ребер в граф – вставка узла в граф.
Удаление узлов/ребер в графе — удалить узел из графа.
Поиск на графиках — Поиск объекта на графике.
Обход графов — Обход всех узлов графа.
Использование графиков
Карты могут быть представлены с помощью графиков, а затем могут использоваться компьютерами для предоставления различных услуг, таких как кратчайший путь между двумя городами.
Когда различные задачи зависят друг от друга, эту ситуацию можно представить с помощью направленного ациклического графа, и мы можем найти порядок, в котором задачи могут выполняться, используя топологическую сортировку.
Диаграмма перехода состояний показывает, какие могут быть законные шаги из текущих состояний. В игре крестики-нолики это можно использовать.
Реальные приложения графа

Ниже приведены реальные приложения: и снасти. Анализ этих взаимодействий может дать представление о динамике команды и областях, требующих улучшения.
Обычно используется для представления социальных сетей, таких как сети друзей в социальных сетях.
Графики можно использовать для представления топологии компьютерных сетей, например соединений между маршрутизаторами и коммутаторами.
Графики используются для представления связей между различными местами в транспортной сети, такими как дороги и аэропорты. 15 синапсов.
Компиляторы: Графы широко используются в компиляторах. Их можно использовать для вывода типов, для так называемого анализа потока данных, распределения регистров и многих других целей. Они также используются в специализированных компиляторах, таких как оптимизация запросов в языках баз данных.
Планирование робота: Вершины представляют состояния, в которых может находиться робот, а ребра — возможные переходы между состояниями. Такие планы графов используются, например, при планировании путей для автономных транспортных средств.
Когда использовать графики:
Когда вам нужно представить и проанализировать отношения между различными объектами или сущностями.
Когда вам нужно выполнить сетевой анализ.
Когда вам нужно определить ключевых игроков, влиятельных лиц или узкие места в системе.
Когда вам нужно сделать прогноз или рекомендации.
Моделирование сетей: графы обычно используются для моделирования различных типов сетей, таких как социальные сети, транспортные сети и компьютерные сети. В этих случаях вершины представляют узлы в сети, а ребра представляют связи между ними.
Поиск путей. Графы часто используются в алгоритмах поиска путей между двумя вершинами графа, таких как алгоритмы поиска кратчайшего пути. Например, графики можно использовать для поиска кратчайшего маршрута между двумя городами на карте или наиболее эффективного способа перемещения между несколькими пунктами назначения.
Представление взаимосвязей данных: Графики можно использовать для представления взаимосвязей между объектами данных, например, в базе данных или структуре данных. В этих случаях вершины представляют объекты данных, а ребра представляют отношения между ними.
Анализ данных. Графики можно использовать для анализа и визуализации сложных данных, например, в алгоритмах кластеризации данных или моделях машинного обучения. В этих случаях вершины представляют точки данных, а ребра представляют сходства или различия между ними.
Однако в некоторых случаях использование графика может быть не лучшим подходом. Например, если представляемые данные очень просты или структурированы, граф может быть излишним, и может быть достаточно более простой структуры данных. Кроме того, если граф очень большой или сложный, его анализ или обход могут быть сложными или вычислительно затратными, что может сделать использование графа менее желательным.
Преимущества и недостатки:
Преимущества:
Графики представляют собой универсальную структуру данных, которую можно использовать для представления широкого спектра отношений и структур данных.
Их можно использовать для моделирования и решения широкого круга задач, включая поиск пути, кластеризацию данных, сетевой анализ и машинное обучение.
Алгоритмы графов часто очень эффективны и могут использоваться для быстрого и эффективного решения сложных задач.
Графики можно использовать для простого и интуитивно понятного представления сложных структур данных, что облегчает их понимание и анализ.
Недостатки:
Графики могут быть сложными и трудными для понимания, особенно для людей, не знакомых с теорией графов или связанными с ней алгоритмами.
Создание графиков и управление ими могут потребовать значительных вычислительных ресурсов, особенно для очень больших или сложных графиков.
Алгоритмы графов могут быть трудны для правильной разработки и реализации и могут быть подвержены ошибкам и ошибкам.
Графики могут быть трудны для визуализации и анализа, особенно для очень больших или сложных графиков, что может затруднить извлечение осмысленной информации из данных.
Резюме:
Графические структуры данных являются мощным инструментом для представления и анализа взаимосвязей между объектами или сущностями.
Графики можно использовать для представления взаимодействий между различными объектами или сущностями, а затем анализировать эти взаимодействия для выявления закономерностей, кластеров, сообществ, ключевых игроков, влиятельных лиц, узких мест и аномалий.