Системы счисления (часть 2): Продвинутый уровень — Статьи

Дата публикации: 2012-09-05 19:16:00
Темы: ЕГЭ по информатике,Часть А, Знания о системах счисления и двоичном представлении информации в памяти компьютера, Решения

 

В этой статье я постараюсь описать вам некоторые закономерности, которые помогут вам быстрее решать определенные задания, связанные с двоичной системой счисления в ЕГЭ по информатике. Кроме того, мы разберем несколько типичных заданий, встречающихся в ЕГЭ.

В прошлой статье («Системы счисления: Первое знакомство») я познакомил вас с основными правилами работы с системами счисления, а также правилами «быстрого» перевода. В случае, если вы не читали предыдущую статью, то вам сюда: http://egedb.ru/article/41.

1. Числа, в двоичной системе счисления, которые делятся на 2n, оканчиваются на n нулей.

Пример 1: Четное число в двоичной системе счисления оканчивается на 0, нечетное – на 1.

Пример 2: Число, делящееся на 8 (23), оканчивается на «000» (три нуля).

Следствие 1: Числа вида 2n записываются как 1 (единица) и n нулей. (Пример: 12810=100000002)

Следствие 2: Числа вида 2n-1 записываются как n единиц. (Пример: 6310 = 1111112)

Следствие 3: Запись числа 2*N – это запись числа N с нулем в конце. (Пример: N=5210=111002 => 2*N=10410=1110002)

 

2. Число

k в двоичной системе счисления содержит ровно n цифр, если оно находится в промежутке от 2n-1 до 2n (2n-1 <= k <= 2n).

Пример 1: Число 11001112 содержит 7 цифр, следовательно его десятичное значение находится в пределах от 64 (26) до 128 (27).

 

3. Отрицательные числа записываются в виде дополнительного кода.

Алгоритм перевода отрицательного числа (-x, x>0) в дополнительный код:

1.      Вычесть из числа единицу (x = x – 1).

2.      Перевести получившееся число в двоичную систему счисления.

3.      Инвертировать биты – это означает, что каждую цифру «1» в числе нужно заменить на «0», а «0» соответственно на «1».

  1. Дано: a=7010, b=4016. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству b<C<a?

1) 10000002            2)  10001102            3)  10001012     4) 10001112

Решение: Переведем числа a и b в двоичную систему счисления: a = 7010 = 6410 + 410 + 210 = 1000000

2 + 1002 + 102 = 10001102 (пользуясь следствием 1 первой закономерности), b = 4016 = 10000002 (пользуюясь «быстрым» переводом при помощи тетрад). Теперь сравним каждый из возможных вариантов и выберем нужный. Если C=10000002, то C=b. Если C=10001102, то C=a. Если C=10001012, то b < C < a – то, что нужно, следовательно ответ: 3.

  1. Как представлено число 8310 в двоичной системе счисления?

1)  10010112     2) 1100101

2       3) 10100112      4) 1010012

Решение: Здесь достаточно просто перевести число. Можно просто столбиком, как я описывал в предыдущей статье, но проще конечно пользуясь следствием 1: 8310 = 6410 + 1610 + 210 + 110 = 10000002 + 100002 + 102 + 12 = 10100112. Отсюда ответ: 3.

  1. Сколько единиц в двоичной записи числа 173?

            1)  7                   2) 5                    3) 6                   4) 4

Решение: По большому счету, здесь не обязательно даже переводить число, достаточно разложить на степени двойки и подсчитать количество слагаемых (следствие 1 вам в помощь).

17310 = 12810 + 3210 + 810 + 410 + 110. Всего 5 слагаемых (128, 32, 8, 4 и 1), значит и единиц будет 5. Ответ: 2.

  1. Как записывается число A8716 в восьмеричной системе счисления?

1)  4358             2) 15778             3) 52078                        4) 64008

Решение: Вместо того, чтобы идти напролом и переводить число в десятичную систему счисления, а из нее в восьмиричную предлагаю воспользоваться «быстрыми» переводами и перевести, пользуясь тетрадами в двоичную систему счисления, а из нее уже, пользуясь триадами в восьмиричную. Итак, A87

16 = 1010100001112 = 52078. Ответ: 3.

  1. Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-128)?

1) 1            2)  2                                    3)  3        4) 4

Решение: Внутреннее представление числа – двоичная система счисления + допонительный код для отрицательных чисел. Следовательно нам нужно узнать, как же будет выглядеть число -128 в допонительном коде. Действуем по алгоритму: 1. 128-1 = 127, 2. 127

10 = 11111112 (по следствию 2). Так как отводится 1 байт (=8 бит) значит инвертировать нужно не 1111111, а 01111111. После инвертирования получается: 100000002 – двоичное представление числа (-128). Ответ: 1.

  1. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 254?

1) 1                   2)  2                   3)  4                  4) 8

Решение: Значащие нули – дословно – нули, которые имеют значение. Ведь число 624 можно представить и в виде 0000000624 – значение то не изменится, то эти нули не значимые, значит считать их не нужно. 254

10 = 25510 – 110 = 111111112 – 12 = 111111102. Здесь я использовал другой прием «быстрого» перевода: я представлял не в виде суммы, а в виде разности числа 255 (256-1 = 28-1) и 1 (20). Оба эти числа очень просто переводятся и в уме, благодаря следствию 2.

Итак, в этих двух статьях мы рассмотрели основные правила для работы с системами счисления, правила «быстрого» перевода и основные типы задания А1.Считаю тему на этом закрытой. Если у вас есть предложения как улучшить эти статьи, или если вы считаете что данного материала не хватает для решения заданий ЕГЭ, связанных с системами счисления – пишите в комментариях к этой статье, буду рад услышать отзывы.

Также даю ссылку на первую статью с основами из этой серии, если кому интересно:

  • Системы счисления: Первое знакомство

 

Надеюсь, что тебе, читателю эта статья помогла, и ты узнал что-либо новое.

Если тебе ещё предстоит сдать ЕГЭ, то желаю тебе получить МАКСИМУМ баллов,

Никита Евстигнеев,

aka Hack.Nick.

 

Похожие статьи: Шкала для переводов первичных баллов в 100-бальную шкалу по информатике, Системы счисления: Первое знакомство, Системы счисления: Первое знакомство, Системы счисления: Первое знакомство

Задание 2

Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-78)?

1) 3 2) 4 3) 5 4) 6

Решение (вариант 1, классический):

  1. переводим число 78 в двоичную систему счисления:

78 = 64 + 8 + 4 + 2 = 26 + 23 + 22 + 21 = 10011102

  1. по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов

  2. чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:

78 = 010011102

  1. делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):

010011102 → 101100012

  1. добавляем к результату единицу

101100012 + 1 = 101100102

это и есть число (-78) в двоичном дополнительно коде

  1. в записи этого числа 4 единицы

  2. таким образом, верный ответ – 2 .

Возможные проблемы:

Решение (вариант 1, неклассический):

  1. переводим число 78 – 1=77 в двоичную систему счисления:

77 = 64 + 8 + 4 + 2 = 26 + 23 + 22 + 20 = 10011012

  1. по условию число занимает в памяти 1 байт = 8 бит, поэтому нужно представить число с помощью 8 разрядов

  2. чтобы получилось всего 8 разрядов (бит), добавляем впереди один ноль:

77 = 010011012

  1. делаем инверсию битов (заменяем везде 0 на 1 и 1 на 0):

010011012 → 101100102

это и есть число (-78) в двоичном дополнительно коде

  1. в записи этого числа 4 единицы

  2. таким образом, верный ответ – 2 .

Возможные проблемы:

  • нужно помнить, что в этом способе в двоичную систему переводится не число a, а число a-1; именно этот прием позволяет избежать добавления единицы в конце (легче вычесть в десятичной системе, чем добавить в двоичной)

  1. Как представлено число 8310 в двоичной системе счисления?

1) 10010112 2) 11001012 3) 10100112 4) 1010012

  1. Сколько единиц в двоичной записи числа 195?

1) 5 2) 2 3) 3 4) 4

  1. Сколько единиц в двоичной записи числа 173?

1) 7 2) 5 3) 6 4) 4

  1. Как представлено число 25 в двоичной системе счисления?

1) 10012 2) 110012 3) 100112 4) 110102

  1. Как представлено число 82 в двоичной системе счисления?

1) 10100102 2) 10100112 3) 1001012 4) 10001002

  1. Как представлено число 263 в восьмеричной системе счисления?

1) 3018 2) 6508 3) 4078 4) 7778

  1. Как записывается число 5678 в двоичной системе счисления?

1) 10111012 2) 1001101112 3) 1011101112 4) 111101112

  1. Как записывается число A8716 в восьмеричной системе счисления?

1) 4358 2) 15778 3) 52078 4) 64008

  1. Как записывается число 7548 в шестнадцатеричной системе счисления?

1) 73816 2) 1A416 3) 1EC16 4) A5616

  1. Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-128)?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

  1. Для хранения целого числа со знаком используется один байт. Сколько единиц содержит внутреннее представление числа (-35)?

1) 3 2) 4 3) 5 4) 6

  1. Дано: ,. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству?

1) 10011010 2) 10011110 3) 10011111 4) 11011110

  1. Дано: ,. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству?

1) 11111001 2) 11011000 3) 11110111 4) 11111000

  1. Дано: ,. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству?

1) 11011010 2) 11111110 3) 11011110 4) 11011111

  1. Дано: ,. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству?

1) 11101010 2) 11101110 3) 11101011 4) 11101100

  1. Дано: ,. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству?

1) 11101010 2) 11101000 3) 11101011 4) 11101100

  1. Дано: ,. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству?

1) 11010011 2) 11001110 3) 11001010 4) 11001100

  1. Дано: ,. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству?

1) 10011010 2) 10011110 3) 10011111 4) 11011110

  1. Сколько единиц в двоичной записи числа 64?

1) 1 2) 2 3) 4 4) 6

  1. Сколько единиц в двоичной записи числа 127?

1) 1 2) 2 3) 6 4) 7

  1. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 48?

1) 1 2) 2 3) 4 4) 6

  1. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 254?

1) 1 2) 2 3) 4 4) 8

  1. Какое из чисел является наименьшим?

1) E616 2) 3478 3) 111001012 4) 232

  1. Какое из чисел является наибольшим?

1) 9B16 2) 2348 3) 100110102 4) 153

Ответы

A1

3

4

2

2

1

3

3

3

3

1

4

2

4

3

3

2

1

2

1

4

3

1

3

2

83 в двоичном формате — Как преобразовать 83 из десятичного в двоичный?

83 в двоичном формате равно 1010011. В отличие от десятичной системы счисления, где мы используем цифры от 0 до 9 для представления числа, в двоичной системе мы используем только 2 цифры, которые равны 0 и 1 (биты). Мы использовали 7 бит для представления 83 в двоичном виде. В этой статье давайте узнаем, как преобразовать десятичное число 83 в двоичное.

    Как преобразовать 83 в двоичный код?

    Шаг 1: Разделите 83 на 2. Используйте целое частное, полученное на этом шаге, в качестве делимого для следующего шага. Повторяйте процесс, пока частное не станет равным 0,9.0005

    Дивиденд Остаток
    83/2 = 41 1
    41/2 = 20 1
    20/2 = 10 0
    10/2 = 5 0
    5/2 = 2 1
    2/2 = 1 0
    1/2 = 0 1

    Шаг 2: Запишите остаток снизу вверх, т. е. в обратном хронологическом порядке. Это даст двоичный эквивалент 83.

    Следовательно, двоичный эквивалент десятичного числа 83 равен 1010011.

    Давайте посмотрим на значение десятичного числа 83 в различных системах счисления.

    • 83 в двоичном формате: 83₁₀ = 1010011₂
    • 83 в восьмеричном: 83₁₀ = 123₈
    • 83 в шестнадцатеричном формате: 83₁₀ = 53₁₆
    • 1010011₂ в десятичном формате: 83₁₀

    Формулировки задач:

    ☛Связанные темы

    • Калькулятор преобразования десятичных чисел в двоичные
    • Двоично-десятичный калькулятор
    • Двоичный код в десятичный
    • 113 в двоичном формате — 1110001
    • 101 в двоичном формате — 1100101
    • 141 в двоичном формате — 10001101
    • 157 в двоичном формате — 10011101
    • 175 в двоичном формате — 10101111
    • 31 в двоичном формате — 11111
    • 17 в двоичном формате — 10001

    Часто задаваемые вопросы о 83 в двоичном формате

    Что такое 83 в двоичном формате?

    83 в двоичном формате равно 1010011. Чтобы найти десятичный эквивалент в двоичном, разделите 83 последовательно на 2, пока частное не станет равным 0. Двоичный эквивалент можно получить, записывая остаток на каждом шаге деления снизу вверх.

    Найдите значение 6 × 83 в двоичной форме.

    Мы знаем, что 83 в двоичном формате равно 1010011, а 6 равно 110. Используя правила двоичного умножения (0 × 0 = 0; 0 × 1 = 0, 1 × 0 = 0 и 1 × 1 = 1), мы можем умножить 1010011 × 110 = 111110010, что равно 498 в десятичной системе счисления. [83 × 6 = 498]

    Как преобразовать 83 в двоичный эквивалент?

    Мы можем разделить 83 на 2 и продолжать деление, пока не получим 0. Записывайте остаток на каждом шаге.

    • 83 mod 2 = 1 — LSB (младший значащий бит)
    • 41 модуль 2 = 1
    • 20 мод 2 = 0
    • 10 мод 2 = 0
    • 5 мод 2 = 1
    • 2 мод 2 = 0
    • 1 mod 2 = 1 — MSB (старший бит)

    Записать остатки от MSB до LSB. Следовательно, десятичное число 83 в двоичном виде можно представить как 1010011.

    Что такое двоичный эквивалент числа 83 + 37?

    83 в двоичной системе счисления равно 1010011, а 37 равно 100101. Мы можем сложить двоичный эквивалент 83 и 37, используя правила двоичного сложения [0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 10, обратите внимание, что 1 равно перенос на следующий бит]. Следовательно, (1010011)₂ + (100101)₂ = (1111000)₂, что равно 120,9.0005

    Сколько бит имеет число 83 в двоичном формате?

    Мы можем подсчитать количество нулей и единиц, чтобы увидеть, сколько битов используется для представления 83 в двоичном формате, то есть 1010011. Таким образом, мы использовали 7 бит для представления 83 в двоичном формате.

    Рабочие листы по математике и визуальный учебный план

    Двоичная система счисления

    Двоичное число состоит только из 0 с и 1 с.

    110100

    Пример двоичного числа

    В двоичном формате нет 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9!

    Двоичные числа широко используются в математике и не только.


    На самом деле в цифровом мире используются двоичные числа.

    Как считать с помощью двоичного кода?

    Это похоже на десятичный счет, за исключением того, что мы достигаем 10 гораздо раньше.

    Двоичный    
    0   Начнем с 0
    1   Затем 1
    ???   Но тогда нет символа 2… что делать?

     

    Ну как считать в десятичной системе?
      0   Начать с 0
        Сосчитайте 1,2,3,4,5,6,7,8, а затем…
      9   Это последняя цифра в десятичном формате
      10   Итак, мы снова начинаем с 0, но добавляем 1 слева

    То же самое делается в двоичном коде. ..

      Двоичный    
      0   Начать с 0
    1   Затем 1
    •• 10   Теперь снова начните с 0, но добавьте 1 слева
    ••• 11   еще 1
    •••• ???   Но что СЕЙЧАС… ?

     

    Что происходит в Decimal?
      99   Когда у нас заканчиваются цифры, мы…
      100   … снова начать с 0, но добавить 1 слева

    И это то, что мы делаем в двоичном формате . ..

      Двоичный    
      0   Начать с 0
    1   Затем 1
    •• 10   Снова начать с 0, но добавить 1 слева
    ••• 11    
    •••• 100   снова начать с 0 и добавить единицу к числу слева…
    … но это число уже равно 1, поэтому оно также возвращается к 0…
    … и 1 добавляется к следующей позиции слева
    ••••• 101    
    •••••• 110    
    ••••••• 111    
    •••••••• 1000   Снова начать с 0 (для всех 3 цифр),
    добавить 1 слева
    ••••••••• 1001   И так далее!

     

    Посмотрите, как это делается в этой небольшой демонстрации (нажмите кнопку воспроизведения):

    Десятичный против двоичного

    Вот некоторые эквивалентные значения:

    Десятичный: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
    Двоичный: 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

    Симметрия

    Двоичные числа также имеют красивый и элегантный узор:

    Вот несколько больших значений:

    Десятичный: 20 25 30 40 50 100 200 500
    Двоичный: 10100 11001 11110 101000 110010 1100100 11001000 111110100

    «Двоичный код так же прост, как 1, 10, 11. »

    Теперь посмотрите, как использовать двоичный код, чтобы считать на пальцах больше 1000:

    Деятельность: Бинарные пальцы

     

    Позиция

    В десятичной системе есть единицы, десятки, сотни и т. д.

    В Двоичный есть Единицы, Двойки, Четверки и т. д., например:

    Это 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1 + 1×(1/2) + 0×(1/4) + 1×(1/8)
    = 13,625 в десятичной системе счисления

     

    Цифры можно размещать слева или справа от точки, чтобы показать значения больше единицы и меньше одного.

    10,1
    Число слева от точки целое число (например, 10)
       
    По мере того, как мы двигаемся дальше влево, каждый числовой разряд
    получает 2 раз больше .
       
    Первая цифра справа означает половинки (1/2).
       
      По мере того, как мы двигаемся дальше вправо, каждый числовой разряд
    получает в 2 раза меньше (в два раза больше).

    Пример: 10.1

    • «10» означает 2 в десятичной системе,
    • «.1» означает половину,
    • Таким образом, «10,1» в двоичном формате равно 2,5 в десятичном виде

    Вы можете выполнять преобразования в Конвертер двоичных и десятичных чисел в шестнадцатеричные.

    Слов

    Слово двоичное происходит от «Би-», что означает два. Мы видим «би-» в таких словах, как «велосипед» (два колеса) или «бинокль» (два глаза).

    Когда вы произносите двоичное число, произносите каждую цифру (например, двоичное число «101» произносится как «один ноль один» , или иногда «один-о-один» ). Таким образом, люди не путаются с десятичным числом.

    Одна двоичная цифра (например, «0» или «1») называется «бит».

    Например, 11010 имеет длину пять бит.

    Слово бит составлено из слов « b inary dig it »

    Как показать, что число является двоичным

    Чтобы показать, что число является двоичным числом , добавьте к нему маленькую двойку, например: 101 2

    Таким образом, люди не будут думать, что это десятичное число «101» (сто один).

    Примеры

    Пример: Что такое 1111

    2 в десятичном формате?
    • «1» слева находится в позиции «2×2×2», что означает 1×2×2×2 (=8)
    • Следующая «1» находится в позиции «2×2», так что это означает 1×2×2 (=4)
    • Следующая «1» находится в позиции «2», так что это означает 1×2 (=2)
    • Последняя «1» стоит в позиции единиц, значит 1
    • Ответ: 1111 = 8+4+2+1 = 15 в десятичной дроби

    Пример: Что такое 1001

    2 в десятичном формате?
    • «1» слева находится в позиции «2×2×2», что означает 1×2×2×2 (=8)
    • «0» стоит в позиции «2×2», значит, это означает 0×2×2 (=0)
    • Следующий «0» находится в позиции «2», что означает 0×2 (=0)
    • Последняя «1» стоит в позиции единиц, значит 1
    • Ответ: 1001 = 8+0+0+1 = 9 в десятичной системе счисления

    Пример: Что такое 1.