Формула знаменателя геометрической прогрессии — онлайн справочник для студентов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Геометрическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, каждая из которых, начиная со второй, получается из предыдущей, умножая на то же число q, которое называется знаменателем прогрессии.

Пусть \(\ B=\left\{b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}, \ldots\right\} \) — геометрическая прогрессия, \(\ b_{n} \) — n-й член прогрессии, тогда знаменатель этой прогрессии может быть рассчитан по формуле:

\(\ q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}} \)

Если разность геометрической прогрессии \(\ \mathrm{q}>1 \), то прогрессия будет возрастать, если \(\ |q|Примеры решения проблем

ПРИМЕР 1

  • Задача

    Найти знаменатель геометрической прогрессии \(\ \left(b_{n}\right) \) , если \(\ b_{5}=-6, b_{7}=-54 \)

  • Решение

    Express \(\ b_{7}-b_{5} \) с использованием знаменателя прогрессии q:

    \(\ b_{7}=b_{6} \cdot q=\left(b_{5} \cdot q\right) \cdot q=b_{5} \cdot q^{2} \)

    отсюда

    \(\ q^{2}=\frac{b_{7}}{b_{5}}=\frac{-54}{-6}=9 \Rightarrow q=\pm 3 \)

  • Ответ \(\ q=\pm 3 \)

    ПРИМЕР 2

  • Задача

    состоит в том, чтобы найти знаменатель прогрессии. {2}\right)}=\frac{1}{3} \Rightarrow q=3 \)

  • Ответ \(\ q=3 \)
  • Физика

    166

    Реклама и PR

    31

    Педагогика

    80

    Психология

    72

    Социология

    7

    Астрономия

    9

    Биология

    30

    Культурология

    86

    Экология

    8

    Право и юриспруденция

    36

    Политология

    13

    Экономика

    49

    Финансы

    9

    История

    16

    Философия

    8

    Информатика

    20

    Право

    35

    Информационные технологии

    6

    Экономическая теория

    7

    Менеджент

    719

    Математика

    338

    Химия

    20

    Микро- и макроэкономика

    1

    Медицина

    5

    Государственное и муниципальное управление

    2

    География

    542

    Информационная безопасность

    2

    Аудит

    11

    Безопасность жизнедеятельности

    3

    Архитектура и строительство

    1

    Банковское дело

    1

    Рынок ценных бумаг

    6

    Менеджмент организации

    2

    Маркетинг

    238

    Кредит

    3

    Инвестиции

    2

    Журналистика

    1

    Конфликтология

    15

    Этика

    9

    Формулы дифференцирования Формула разности арифметической прогрессии Формулы прогрессий Формула суммы геометрической прогрессии Формула суммы арифметической прогрессии

    Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы

    Имя

    Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

    Принимаю  Политику  конфиденциальности

    Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

    Формулы геометрической прогрессии, геометрические последовательности, бесконечные геометрические прогрессии

    В математике геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается умножением предыдущего на определённое число (знаменатель прогрессии).

    {n-1}$

    Знаменатель прогрессии тогда равен:

    $q = \frac{a_k}{a_{k-1}}$

    Если знаменатель прогресии:

    • Отрицательный, члены прогрессии будут чередоваться между позитивными и отрицатесльными.
      Пример:
      1, -2, 4, -8, 16, -32… — знаменатель -2 и первы член 1.
    • Больше, чем 1, тогда прогрессия будет иметь экспоненциальный рост до бесконечности (позитивной).
      Пример:
      1, 5, 25, 125, 625 … — знаменатель 5.
    • Меньше чем -1, тогда прогрессия будет иметь экспоненциальный рост до бесконечности (отрицательную и позитивную сторону).

      Пример:
      1, -5, 25, -125, 625, -3125, 15625, -78125, 390625, -1953125 … — знаменатель -5.
    • Между 1 и -1, тогда прогрессия будет экспоненциально приближаться к 0.
      Пример:
      4; 2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625 … — знаменатель $\frac{1}{2}$
      4; -2; 1; -0,5; 0,25; -0,125; 0,0625 . 3 + \cdots = a\frac{1}{1-q}$

      что верно только для |q| < 1

      Калькулятор геометрической прогрессии
      Задачи с геометрической прогрессией

      Задача 1) Является ли последовательность 2, 4, 6, 8… геометрической прогрессией?
      Решение: Нет. (2, 4, 8 есть геометрической прогрессией )


      Задача 2) Если есть геометрическая прогрессия 2, 4, 8… Чему равен ее 10-й член?

      Решение: Мы можем использовать формулу an = a1 . qn-1
      a10 = 2 . 210-1 = 2 . 512 = 1024


      3) Найдите первый член и знаменатель геометрической прогресии, если
      a5 — a1 = 15
      a4 — a2 = 6
      Решение: Здесь две геометрические прогрессии; одна из с первым членом = 1 знаменателем = 2
      и вторая прогрессия с первым членом = -16 и знаменателем = 1/2 ,

      Геометрические прогрессии в темах нашего математического форума

      Для участия в математическом форуме регистрация не требуется!
      Форум о прогрессиях

      0 = 1$

      спросил

      2 года, 7 месяцев назад

      Изменено 2 года, 7 месяцев назад

      Просмотрено 248 раз

      $\begingroup$

      Мне было любопытно, как ограничения для формулы геометрического ряда возникают из ее доказательства, а именно что $|r|<1$. 0$ вполне естественно. 90 = 1$ при работе с сериями, и значение оказывается 0-м членом ряда, но это просто удобство записи (иначе вам пришлось бы выделять постоянные члены для бесконечных хлопот и никакого выигрыша).

      $\endgroup$

      3

      Арифметико-геометрическая прогрессия | Brilliant Math & Science Wiki

      Сандип Бхардвадж, Пранджал Джайн, Махиндра Джейн, и

      способствовал

      Содержимое
      • Определение
      • Сумма AGP
      • Сумма AGP до бесконечности
      • Приложения
      • Смотрите также 9{100}+2. 2}. \конец{выравнивание}\] 9{99}= \, ?\]

        Теперь, когда мы нашли сумму конечного числа членов, давайте рассмотрим случай бесконечного числа членов. Мы, конечно, не можем вручную суммировать бесконечные члены, поэтому нам придется найти общий подход. Мы начинаем с обсуждения проблемы, с которой вы столкнулись, вверху этой страницы:

        \[\ большой \dfrac{\color{blue}{1}}{\color{red}{2}}+\dfrac{\color{blue}{2}}{\color{red}{4}}+ \ dfrac {\ color {синий} {3}} {\ color {red} {8}} + \ dfrac {\ color {синий} {4}} {\ color {red} {16}} + \ dfrac {\ цвет{синий}{5}}{\цвет{красный}{32}}+\cdots=\, ?\]


        Предположим, что данный ряд равен \(S\), тогда

        \[S=\dfrac 12 +\dfrac 24 +\dfrac 38+\dfrac{4}{16}+\dfrac{5}{32}+\cdots.\]

        Умножив \(S\) на \(\frac 12\), мы получим

        \[ \dfrac S2=\dfrac 14 +\dfrac 28 +\dfrac{3}{16}+\dfrac{4}{32}+\dfrac{5}{64}+\cdots.\]

        Теперь, вычитая \(\frac S2\) из \(S\), мы получаем

        \[ \begin{массив} {rlllllllll} S&=\dfrac 12 &+\dfrac 24 &+\dfrac 38 &+\dfrac{4}{16} &+\dfrac{5}{32}+ \cdots \\ \dfrac S2&=0&+\dfrac 14 & +\dfrac 28 & +\dfrac{3}{16}&+\dfrac{4}{32}+\dfrac{5}{64}+\cdots \\ \hline S \left(1- \dfrac 12 \right)& =\dfrac 12& +\dfrac 14 & + \dfrac 18 & +\dfrac{1}{16} & +\dfrac{1}{32} +\cdots \ \ \Стрелка вправо \dfrac S2&=\dfrac 12 &+\dfrac 14 &+ \dfrac 18 &+\dfrac {1}{16} &+\dfrac {1}{32} +\cdots, \конец{массив}\] 92 } = 2 \).


        Второе суммирование представляет собой геометрическую прогрессию с суммой до бесконечности \( \frac { \frac{1}{4} } { 1 — \frac{1}{2} } = \frac{1}{2} \ ).
        Следовательно, сумма равна \( 2 — \frac{1}{2} = 1,5 \ _\square \).

        Решение 2:

        Данную серию можно записать как

        \[\dfrac 14+\dfrac 38 +\dfrac{5}{16}+\dfrac{7}{32}+\cdots .\]

        Умножив и разделив ряд на \(4\), получим

        \[ \dfrac{1}{4} \left( 1+\dfrac{3}{2}+ \dfrac{5}{4}+\dfrac{7}{8}+ \cdots \right) .\ ] 9п}=2. \ _\квадрат\)

        Давайте посмотрим, сможете ли вы решить следующую задачу.

        Если мы бросим один кубик, каково ожидаемое количество бросков, прежде чем мы получим первые 6?

        Примечание: бросок 6 включен в «количество бросков, прежде чем мы получим первые 6».

        \(\text{}\)

        2. Расширение метода суммирования

        \(\text{}\)

        Вычислить \(\displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^2} { 2^i } \). 92\). Мы будем использовать другой подход, чтобы свести это к «линейно-геометрической прогрессии», которая является AGP.

        Пусть сумма будет \(S,\), тогда, поскольку обыкновенное отношение равно \( \frac{1}{2} \), мы умножим \(S\) на \( \frac{1}{2} . \) Вычитание \(\frac{1}{2}S\) из \(S\) дает

        \[ \begin{array} { r lllllll}
        S& =\frac 12 & +\frac {4}{4} & +\frac{9}{8} &+\frac{16}{16} &+ \frac{25}{32} &+\cdots \\ \frac{1}{2} S& = & + \frac 14 & +\frac {4}{8} & +\frac{9}{16} &+\frac{16}{32} &+\cdots \\ \hline \frac{1}{2} S & =\frac 12 & +\frac {3}{4} & +\frac{5}{8} &+\frac{7}{16} &+\frac{9 }{32} &+\cdots .\\ \конец{массив} \]

        Мы можем распознать здесь AGP, но пусть \(T=\frac{1}{2} S\) и продолжим эту процедуру определения разницы:

        \[ \begin{array} { r lllllll}
        T & =\frac 12 & +\frac {3}{4} & +\frac{5}{8} &+\frac{7}{16} & +\frac{9}{32} &+\cdots \\
        \frac{1}{2} T & = & + \frac 14 & +\frac {3}{8} & +\frac{5}{ 16} &+\frac{7}{32} &+\cdots \\
        \члайн \frac{1}{2} T & = \frac{1}{2} & + \frac{2}{4} & + \frac{2}{8} & + \frac{2}{16} & + \frac{2}{32} & + \cdots . \\ \конец{массив} \]

        Теперь обратите внимание, что, за исключением первого члена, мы получаем ГП с начальным членом \( \frac{2}{4} \) и знаменателем \( \frac{1}{2} \). Как оказалось, первый член часто не вписывался в шаблон последовательности, и нам просто повезло раньше. Таким образом, мы получаем

        \[ \frac{1}{2} T = \frac{1}{2} + \frac{ \frac{2}{4} } { 1 — \frac{1}{2} } = \frac{ 1}{2} + 1 = \frac{3}{2} . \]

        Следовательно, \( T = 3 ,\), откуда следует \( S = 2T = 6. \ _\квадрат \)

        Заметьте, что если мы возьмем разность членов квадратичной последовательности, мы получим линейную последовательность. Это справедливо и в более общем смысле: если мы возьмем разность терминов в последовательности степени \(n\), мы получим последовательность степени \(n-1 \). Это подробно рассмотрено в разделе «Метод различий». Мы будем неоднократно использовать эту идею для работы с такой «полиномиально-геометрической прогрессией».

        9я } \).


        Обратите внимание, что у нас есть «кубическая геометрическая прогрессия» со знаменателем \( \frac{1}{3} \). Умножим на \( \frac{1}{3} \) и возьмем разницу:

        \[ \begin{array} { r lllll}
        S & = \frac{1}{3} & + \frac{8}{9} & + \frac{ 27}{27} & + \frac{ 64 }{ 81} & + \frac{ 125}{243} & + \cdots \\ \frac{1}{3} S & = & + \frac{1}{9} & + \frac{8}{27} & + \frac{ 27}{81} & + \frac{ 64}{ 243 } & + \cdots \\ \hline \frac{2}{3} S & = \frac{1}{3} & + \frac{7}{9{i+1} } \), что является «квадратично-геометрической прогрессией». Установите это как \(T\). Затем умножение на \( \frac{1}{3} \) и получение разницы дает

        \[ \begin{array} { r lllll}
        T & = \frac{7}{9} & + \frac{ 19}{27} & + \frac{ 37}{ 81} & + \frac{ 61 }{243} & + \cdots\\ \frac{1}{3} T & = & + \frac{7}{27} & + \frac{ 19}{81} & + \frac{ 37}{ 243} & + \cdots \\ \hline \frac{2}{3} T & = \frac{7}{9} & + \frac{12}{27} & + \frac{ 18}{81} & + \frac{24}{243} & + \cdots. \\ \конец{массив} \] 9{i+2}} \), что является «линейно-геометрической прогрессией. Установите это как \( U \). Затем умножение на \( \frac{1}{3} \) и получение разницы дает

        \[ \begin{array} { r lllll}
        U & = \frac{12}{27} & + \frac{ 18}{81} & + \frac{24}{243} & + \cdots \\
        \frac{1}{3} U & = & + \frac{12}{81} & + \frac{ 18}{342} & + + \cdots \\
        \hline
        \frac{2}{3 } U & = \frac{12}{27} & + \frac{6}{81} & + \frac{6}{243} & + \cdots. \\ \конец{массив} \] 9{i+3} } ,\), которая представляет собой геометрическую прогрессию с бесконечной суммой \( \frac{ \frac{6}{81} } { 1 — \frac{1}{3} } = \frac{1 {9} \).

        Это дает нам

        \[\begin{выравнивание} \frac{2}{3} U &= \frac{12}{27} + \frac{1}{9} &&\Стрелка вправо U = \frac{5}{6} \\ \frac{2}{3} T &= \frac{7}{9} + \frac{5}{6} &&\Rightarrow T = \frac{29}{12} \\ \frac{2}{3} S &= \frac{1}{3} + \frac{29}{12} &&\Стрелка вправо S = \frac{33}{8}. \ _\квадрат \конец{выравнивание}\]

        9n} + \cdots \]

        Учитывая, что бесконечная сумма \( S\) может быть выражена как \( \frac ab\), где \(a\) и \(b\) взаимно простые натуральные числа, найти \ (а+б\).