Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

Определение.

Ромб — это параллелограмм, который имеет равные стороны. Если у ромба все углы прямые, тогда он называется квадратом.

Ромбы отличаются между собой размером стороны и размером углов.

Рис.1 Рис.2

Признаки ромба

Параллелограмм ABCD будет ромбом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны):

АВ = ВС = СD = AD

2. Его диагонали пересекаются под прямым углом:

AC┴BD

3. Одна из диагоналей (бисектрисса) делит содержащие её углы пополам:

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

4. Если все высоты равны:

BN = DL = BM = DK

5. Если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника:

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

6. Если в параллелограмм можно вписать круг.


Основные свойства ромба

2. Диагонали перпендикулярны:

AC┴BD

3. Диагонали являются биссектрисами его углов:

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны умноженному на четыре:

AC2 + BD2 = 4AB2

5. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии ромба.

6. В любой ромб можно вписать окружность.

7. Центром окружности вписанной в ромб будет точка пересечения его диагоналей.


Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:
2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:
3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:
4. Формула стороны ромба через две диагонали:
5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла (cos α) или косинус тупого угла (cos β):
6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:
7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:
8. Формула стороны ромба через периметр:

Диагонали ромба

Определение.

Диагональю ромба называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов ромба.

Ромб имеет две диагонали — длинную d1, и короткую — d2

Формулы определения длины диагонали ромба:

1. Формулы большой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d1 = a√2 + 2 · cosα

d1 = a√2 — 2 · cosβ

2. Формулы малой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d2 = a√2 + 2 · cosβ

d2 = a√2 — 2 · cosα

3. Формулы большой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d1 = 2a · cos(α/2)

d1 = 2a · sin(β/2)

4. Формулы малой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d2 = 2a · sin(α/2)

d2 = 2a · cos(β/2)

5. Формулы диагоналей ромба через сторону и другую диагональ:

d1 = √4a2 — d22

d2 = √4a2 — d12

6. Формулы диагоналей через тангенс острого tgα или тупого tgβ угла и другую диагональ:

d1 = d2 · tg(β/2)

d2 = d1 · tg(α/2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ: 8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

Периметр ромба

Определение.

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можна найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Формула периметра ромба через сторону ромба:

P = 4a


Площадь ромба

Определение.

Площадью ромба называется пространство ограниченное сторонами ромба, т.е. в пределах периметра ромба.

Формулы определения площади ромба:

1. Формула площади ромба через сторону и высоту:

S = a · ha

2. Формула площади ромба через сторону и синус любого угла:

S = a2 · sinα

3. Формула площади ромба через сторону и радиус:

S = 2a · r

4. Формула площади ромба через две диагонали: 5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности: 6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла (tgα) или малую диагональ и тангенс тупого угла (tgβ):

Окружность вписанная в ромб

Определение.

Кругом вписанным в ромб называется круг, который примыкает ко всем сторонам ромба и имеет центр на пересечении диагоналей ромба.

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба: 2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба: 3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла: 4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла: 5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла: 6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:
r = d1 · d2
2√d12 + d22
7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

      В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

S = ab,

которая позволяет найти площадь прямоугольникапрямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникS = ab

a и b – смежные стороны

Посмотреть вывод формулы

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

S = 2R2 sin φ

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Параллелограмм

S = a ha

Посмотреть вывод формулы

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

S = absin φ

Посмотреть вывод формулы

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратS = a2

a – сторона квадрата

S = 4r2

r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

d – диагональ квадрата

S = 2R2

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

R – радиус описанной окружности

Ромб

S = a ha

Посмотреть вывод формулы

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

S = a2 sin φ

Посмотреть вывод формулы

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

d1, d2 – диагонали

S = 2ar

Посмотреть вывод формулы

a – сторона,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Трапеция

Посмотреть вывод формулы

a и b – основания,
h – высота

S = m h

m – средняя линия,
h – высота

Посмотреть вывод формулы

d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

a и b – основания,
c и d  – боковые стороны

ДельтоидS = ab sin φ

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b.

S = (a + b) r

Посмотреть вывод формулы

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

d1, d2 – диагонали

Произвольный выпуклый четырёхугольник

Посмотреть вывод формулы

d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольник

,

Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник

S = ab

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Посмотреть вывод формулы

S = 2R2 sin φ

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

S = a ha

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

S = absin φ

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Квадрат
S = a2

где
a – сторона квадрата

S = 4r2

где
r – радиус вписанной окружности

где
d – диагональ квадрата

Посмотреть вывод формулы

S = 2R2

где
R – радиус описанной окружности

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

S = a ha

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

S = a2 sin φ

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

где
d1, d2 – диагонали

Посмотреть вывод формулы

S = 2ar

где
a – сторона,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

Трапеция

где
a и b – основания,
h – высота

Посмотреть вывод формулы

S = m h

где
m – средняя линия,
h – высота

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

где
a и b – основания,
c и d  – боковые стороны

Посмотреть вывод формулы

Дельтоид

S = ab sin φ

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b.

S = (a + b) r

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

где
d1, d2 – диагонали

Посмотреть вывод формулы

Произвольный выпуклый четырёхугольник

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Вписанный четырёхугольник

,

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

Прямоугольник

S = ab

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Посмотреть вывод формулы

S = 2R2 sin φ

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

S = a ha

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

S = absin φ

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Квадрат

S = a2

где
a – сторона квадрата

S = 4r2

где
r – радиус вписанной окружности

где
d – диагональ квадрата

Посмотреть вывод формулы

S = 2R2

где
R – радиус описанной окружности

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

S = a ha

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

S = a2 sin φ

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

где
d1, d2 – диагонали

Посмотреть вывод формулы

S = 2ar

где
a – сторона,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

Трапеция

где
a и b – основания,
h – высота

Посмотреть вывод формулы

S = m h

где
m – средняя линия,
h – высота

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

где
a и b – основания,
c и d  – боковые стороны,

Посмотреть вывод формулы

Дельтоид

S = ab sin φ

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b.

S = (a + b) r

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

где
d1, d2 – диагонали

Посмотреть вывод формулы

Произвольный выпуклый четырёхугольник

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Вписанный четырёхугольник

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

Вывод формул для площадей четырехугольников

      Утверждение 1. Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

где  d1 и d2 – диагонали четырёхугольника, а φ – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).

Рис. 1

      Доказательство. В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь параллелограммапараллелограмма можно найти по формуле

S = a ha ,

где a – сторона параллелограмма, а ha – высотавысотавысота, опущенная на эту сторону (рис. 2).

Рис. 2

      Доказательство. Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

SABCD = SAEFD = a ha ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3.Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

S = ab sin φ,

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Рис. 3

      Доказательство. Поскольку

ha = b sin φ,

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

S = a ha = ab sin φ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь ромбаромба можно найти по формуле

,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Рис. 4

      Доказательство. Поскольку каждая из диагоналей ромба является биссектрисой угла, а каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, то точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной в ромб окружности. Отсюда следует, в частности, что высота ромба в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (рис.4). Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания трапеции, а h  – высотавысотавысота (рис.5).

Рис. 5

      Доказательство. Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD. Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF. Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции,

(рис. 6).

Рис. 6

      Доказательство. Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

      Следовательно,

где

,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 7. Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

S = (a + b) r,

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Рис. 7

      Доказательство. Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD. Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

      Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

что и требовалось доказать.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

формулы и факты. Формула для вычисления площади параллелограмма

Несмотря на то, что математика – царица наук, а арифметика – царица математики, самую большую сложность в изучении у школьников вызывает геометрия. Планиметрия – раздел геометрии, который изучает плоские фигуры. Одной из таких фигур является ромб. Большинство задач по решению четырехугольников сводятся к нахождению их площадей. Систематизируем известные формулы и различные способы расчета площади ромба.

Ромб – это параллелограмм, все четыре стороны которого равны. Напомним, что у параллелограмма есть четыре угла и четыре попарно параллельные равные стороны. Как любой четырехугольник, ромб имеет ряд свойств, которые сводятся к следующим: при пересечении диагонали образуют угол, равный 90 градусов (AC ⊥ BD), точка пересечения делит каждую на два равных отрезка. Диагонали ромба также являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.). Отсюда следует, что они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Сумма длин диагоналей, возведенных во вторую степень, равна длине стороны во второй степени, умноженной на 4, т.е. BD 2 + AC 2 = 4AB 2 . Существует множество методов, используемых в планиметрии для расчета площади ромба, применение которых зависит от исходных данных. Если известны длина стороны и любой угол, можно воспользоваться следующей формулой: площадь ромба равна квадрату стороны, умноженному на синус угла. Из курса тригонометрии известно, что sin (π – α) = sin α, а значит, в расчетах можно использовать синус любого угла – как острого, так и тупого. Частным случаем является ромб, у которого все углы прямые. Это квадрат. Известно, что синус прямого угла равен единице, поэтому площадь квадрата равна длине его стороны, возведенной во вторую степень.

Если величина сторон неизвестна, воспользуемся длиной диагоналей. В этом случае площадь ромба равна половине произведения большой и малой диагоналей.

При известной длине диагоналей и величине любого угла площадь ромба определяется двумя способами. Первый: площадь – это половина квадрата большей диагонали, умноженная на тангенс половины градусной меры острого угла, т.е. S = 1/2*D 2 *tg(α/2), где D – большая диагональ, α – острый угол. Если вам известен размер меньшей диагонали, воспользуемся формулой 1/2*d 2 *tg(β/2), где d – меньшая диагональ, β – тупой угол. Напомним, что мера острого угла меньше 90 градусов (меры прямого угла), а тупой угол соответственно – больше 90 0 .

Площадь ромба можно отыскать, используя длину стороны (напомним, все стороны у ромба равны) и высоты. Высота – это перпендикуляр, опущенный на противоположную углу сторону или на ее продолжение. Чтобы основание высоты располагалось внутри ромба, ее следует опускать из тупого угла.

Иногда в задаче требуется отыскать площадь ромба, исходя из данных, относящихся к вписанной окружности. В этом случае необходимо знать ее радиус. Существуют две формулы, которыми можно воспользоваться для расчета. Итак, чтобы ответить на поставленный вопрос, можно удвоить произведение стороны ромба и радиуса вписанной окружности. Другими словами, необходимо умножить диаметр вписанной окружности на сторону ромба. Если в условии задачи представлена величина угла, то площадь находится через частное между квадратом радиуса, умноженном на четыре, и синусом угла.

Как видите, существует множество способов для нахождения площади ромба. Конечно, чтобы запомнить каждый из них, потребуется терпение, внимательность и, конечно же, время. Но в дальнейшем вы сможете легко выбрать метод, подходящий для вашей задачи, и убедитесь, что геометрия – это несложно.

Определение ромба

Ромб — это параллелограмм, в котором все стороны равны друг другу.

Онлайн-калькулятор

Если стороны ромба образуют прямой угол, то получим квадрат .

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Площадь ромба, как и площади большинства геометрических фигур, можно найти несколькими способами. Разберемся в их сути и рассмотрим примеры решений.

Формула площади ромба по стороне и высоте

Пусть нам дан ромб со стороной a a a и высотой h h h , проведенной к этой стороне. Так как ромб это параллелограмм, то его площадь мы находим так же, как и площадь параллелограмма.

S = a ⋅ h S=a\cdot h S = a ⋅ h

A a a — сторона;
h h h — высота, опущенная на сторону a a a .

Решим простой пример.

Пример

Сторона ромба равна 5 (см.). Высота, опущенная к этой стороне, имеет длину 2 (см.). Найти площадь ромба S S S .

Решение

A = 5 a=5 a = 5
h = 2 h=2 h = 2

Пользуемся нашей формулой и вычисляем:
S = a ⋅ h = 5 ⋅ 2 = 10 S=a\cdot h=5\cdot 2=10 S = a ⋅ h = 5 ⋅ 2 = 1 0 (см. {\circ})}\approx73.9 S = sin (α ) 4 ⋅ r 2 ​ = sin (6 0 ∘ ) 4 ⋅ 1 6 ​ ≈ 7 3 . 9 (см. кв.)

Ответ: 73.9 см. кв.

Формула площади ромба по радиусу вписанной окружности и стороне

S = 2 ⋅ a ⋅ r S=2\cdot a\cdot r S = 2 ⋅ a ⋅ r

A a a -сторона ромба;
r r r — радиус вписанной окружности в ромб.

Пример

Возьмем условие из предыдущей задачи, но пусть вместо угла нам известна сторона ромба, равная 5 см.

Решение

A = 5 a=5 a = 5
r = 4 r=4 r = 4

S = 2 ⋅ a ⋅ r = 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 40 S=2\cdot a\cdot r=2\cdot5\cdot4=40 S = 2 ⋅ a ⋅ r = 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 4 0 (см. кв.)

Ответ: 40 см. кв.

– это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Ромб с прямыми углами называется квадратом и считается частным случаем ромба. Найти площадь ромба можно различными способами, используя все его элементы – стороны, диагонали, высоту. Классической формулой площади ромба считается расчет значения через высоту.

Пример расчета площади ромба по этой формуле очень прост. Необходимо только подставить данные и высчитать площадь.

Площадь ромба через диагонали


Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

Формула площади ромба через диагонали представляет собой произведение его диагоналей, разделенное на 2.

Рассмотрим пример расчета площади ромба через диагонали. Пусть дан ромб с диагоналями
d1 =5 см и d2 =4. Найдем площадь.

Формула площади ромба через стороны подразумевает и применение других элементов. Если в ромб вписана окружность, то площадь фигуры можно просчитать по сторонам и ее радиусу:

Пример расчета площади ромба через стороны также весьма прост. Требуется только просчитать радиус вписанной окружности. Его можно вывести из теоремы Пифагора и по формуле .

Площади ромба через сторону и угол


Формула площади ромба через сторону и угол используется очень часто.

Рассмотрим пример расчета площади ромба через сторону и угол.

Задача: Дан ромб, диагонали которого равны d1 =4 см,d2 =6 см. Острый угол равен α = 30°. Найдите площадь фигуры через сторону и угол.
Для начала найдем сторону ромба. Используем для этого теорему Пифагора. Мы знаем, что в точке пересечения диагонали делятся пополам и образуют прямой угол. Следовательно:
Подставим значения:
Теперь мы знаем сторону и угол. Найдем площадь:

В статье рассмотрим формулу площади ромба и не одну! На картинках покажем, как легко находиться площадь ромба по простым формулам .

Существует большое количество заданий на нахождение той или иной величины в ромбе и в этом нам помогут формулы, о которых и пойдет речь.
Ромб относится к отдельному виду четырехугольников, так как у него все стороны равны. Так же представляет частный случай параллелограмма в котором стороны АВ=ВС=СD=АD равны.

Заметка: Если Вам нужна курсовая, контрольная или дипломная работа, тогда вам на webmath.ru. или просто перейдите по ссылке заказать курсовую работу (http://www.webmath.ru/zakaz_kursovye.php).

Ромб обладает следующими свойствами:

У ромба параллельные углы равные,
— сложение двух соседних углов равно 180 градусам,
— Пересечение диагоналей под углом в 90 градусов,
— Биссектрисами ромба, приходятся его же диагонали,
— Диагональ при пересечении делится на равные части.

Ромб обладает следующими признаками:

Если у параллелограмма в котором диагонали встречаются под углом 90 градусов, то он называется ромбом.
— Если у параллелограмма в котором биссектриса это диагональ, то он называется ромбом.
— Если у параллелограмма равные стороны — это ромб.
— Если у четырехугольника равные стороны — это ромб.
— Если у четырехугольника в котором биссектриса это диагональ и диагонали встречаются под углом 90 градусов, то это ромб.
— Если у параллелограмма одинаковые высоты — это ромб.

Из вышеперечисленных признаков можно сделать вывод, что они нужны для того чтобы научиться отделять ромб от других схожих с ним фигур.

Так как в ромбе все стороны одинаковы периметр находится по следующей формуле:
Р=4а
Площадь ромба формула

Данных формул несколько. Самая простая решается как сложение площадь 2 треугольников, которые получились в результате деления диагоналей.

С помощью второй формулы можно решать задачи с известными диагоналями ромба. В этом случае площадью ромба будет: сумма диагоналей деленная на два.

Очень просто в решении и не забудется.

Третью формулу можно использовать когда знаешь угол между сторон. Зная его можно найти площадь ромба, она будет равна квадрату сторон на синус угла. При чем нет разницы какой угол. так как синус угла имеет единое значение.

Важно помнить что измерение площади происходит в квадратах, а периметра в единицах. Данные формулы очень легко применяются на практике.

Так же могут встретиться задачи на поиск радиуса по вписанной в ромб окружности.

Для этого так же существует несколько формул:

В помощью первой формулы радиус находится как произведение диагоналей поделенное на число полученное от сложения всех сторон. либо равняется половине высоты (r=h/2).

Во второй формуле взят принцип из первой, применяется мы знаем диагонали и стороны ромба.

В третьей формуле радиус выходит из высоты меньшего из треугольников, получившегося в результате пересечения.

Ромб — это особая фигура в геометрии. Благодаря его особым свойствам, существует не одна, а несколько формул, с помощью которых вычисляется площадь ромба. Что это за свойства и какие наиболее распространенные формулы для поиска площади этой фигуры существуют? Давайте разберемся.

Какая геометрическая фигура называется ромбом

Прежде чем выяснить, чему равна площадь ромба, стоит узнать, что же это за фигура.

Ромбом со времен Евклидовой геометрии называется симметричный четырехугольник, все четыре стороны коего являются равными между собою по длине и попарно параллельными.

Происхождение термина

Название этой фигуры пришло в большинство современных языков из греческого, через посредничество латыни. «Прародителем» слова «ромб», стало греческое существительное ῥόμβος (бубен). Хотя жителям двадцатого века, привыкшим к круглым бубнам, тяжело представить их другой формы, но у эллинов эти музыкальные инструменты традиционно изготавливались не круглой, а ромбовидной формы.

В большинстве современных языков данный математический термин употребляется, как и в латыни: rombus. Однако в английском языке иногда ромбы называют diamond (алмаз или диамант). Такое прозвище данная фигура получила из-за своей особой формы, напоминающей драгоценный камень. Как правило, подобный термин используют не для всех ромбов, а только для тех, у которых угол пересечения его двух сторон равен шестидесяти или сорока пяти градусам.

Впервые эта фигура была упомянута в трудах греческого математика, жившего в первом веке новой эры — Герона Александрийского.

Какими свойствами обладает эта геометрическая фигура

Чтобы найти площадь ромба, в первую очередь нужно знать, какими особенностями обладает данная геометрическая фигура.

При каких условиях параллелограмм является ромбом

Как известно, каждый ромб является параллелограммом, но при этом не всякий параллелограмм — это ромб. Чтобы точно утверждать, что представленная фигура действительно является ромбом, а не простым параллелограммом, она должна соответствовать одному из трех основных признаков, выделяющих ромб. Или всем трем сразу.

  1. Диагонали параллелограмма пересекаются под углом девяносто градусов.
  2. Диагонали разделяют углы надвое, выступая в качестве их биссектрис.
  3. Не только параллельные, но и смежные стороны имеют одинаковую длину. В этом, кстати, одно из основных различий между ромбом и параллелограммом, поскольку у второй фигуры одинаковы по длине лишь параллельные стороны, но не смежные.

При каких условиях ромб является квадратом

По своим свойствам в отдельных случаях ромб одновременно может становиться квадратом. Чтобы наглядно подтвердить это утверждение, достаточно просто повернуть квадрат в любую сторону на сорок пять градусов. Получившаяся фигура окажется ромбом, каждый из углов которого равен девяноста градусам.

Также, чтобы подтвердить, что квадрат является ромбом, можно сопоставить признаки этих фигур: в обоих случаях все стороны равны, а диагонали являются биссектрисами и пересекаются под углом в девяносто градусов.

Как узнать площадь ромба с помощью его диагоналей

В современном мире в интернете можно найти практически все материалы для выполнения необходимых расчетов. Так, существует масса ресурсов, оснащенных программами для автоматического вычисления площади той или иной фигуры. Причем, если (как в случае с ромбом) есть несколько формул для этого, то есть возможность выбирать, какой из них удобнее всего будет воспользоваться. Однако, прежде всего, необходимо самим уметь вычислять площадь ромба без помощи компьютера и ориентироваться в формулах. Для ромба их существует немало, но самые известные из них четыре.

Одним из самых простых и распространенных способов узнать площадь этой фигуры, если есть информация о длине его диагоналей. Если в задаче есть эти данные, в таком случаем можно применить следующую формулу для нахождения площади: S = КМ x LN/2 (КМ и LN — это диагонали ромба KLMN).

Можно проверить достоверность этой формулы на практике. Допустим, у ромба KLMN длина одной его диагонали КМ — 10 см, а второй LN — 8 см. Тогда подставляем эти данные в указанную выше формулу, и получаем следующий результат: S = 10 х 8/ 2= 40 см 2 .

Формула для вычисления площади параллелограмма

Существует и другая формула. Как было указано выше в определении ромба, он является не просто четырехугольником, но и параллелограммом, и обладает всеми особенностями данной фигуры. В таком случае для нахождения ее площади вполне целесообразно использовать формулу, применяемую для параллелограмма: S = KL х Z. В данной случае KL — это длинна стороны параллелограмма (ромба), а Z — это длинна высоты, проведенной к данной стороне.

В отдельных задачах длина стороны не предоставлена, зато известен периметр ромба. Поскольку выше была указана формула его нахождения, с ее помощью можно узнать и длину стороны. Итак, периметр фигуры — 10 см. Длину стороны можно узнать, инвертировав формулу периметра и разделив 10 на 4. Результатом окажется 2,5 см — это и есть искомая длина стороны ромба.

Теперь стоит попробовать подставить это число в формулу, зная, что длинна высоты, проведенной к стороне, также равна 2,5 см. Теперь попробуем поставить эти значения в вышеупомянутую формулу площади параллелограмма. Получается, что площадь ромба равна S = 2,5 х 2,5 = 6,25 см 2 .

Другие способы вычисления площади ромба

Те, кто уже освоили синусы и косинусы, могут использовать для нахождения площади ромба формулы, содержащие их. Классическим примером служит следующая формула: S = КМ 2 х Sin KLM. В данном случае площадь фигуры равна произведению двух сторон ромба, умноженному на синус угла между ними. А поскольку в ромбе все стороны одинаковы, то проще сразу произвести одну сторону в квадрат, как и было показано в формуле.

Проверяем на практике данную схему, причем не просто к ромбу, а к квадрату, у которого, как известно, все углы прямые, а значит, равны девяносто градусам. Допустим, одна из сторон равна 15 см. Также известно, что синус угла в 90° равен единице. Тогда, согласно формуле, S = 15 х 15 х Sin 90°= 255х1=255 см 2.

Помимо вышеперечисленных, в отдельных случаях используется еще одна формула, с использованием синуса для определения площади ромба: S = 4 х R 2 /Sin KLM. В данном варианте используется радиус вписанной в ромб окружности. Он возносится в степень квадрата и умножается на четыре. А весь результат делиться на синус угла, близлежащего к вписанной фигуре.

В качестве примера для простоты вычислений возьмем опять квадрат (синус его угла будет всегда равен единице). Радиус вписанного в него круга — 4,4 см. Тогда площадь ромба будет вычисляться так: S= 4 х 4,4 2 / Sin 90 °= 77,44 см 2

Приведенные выше формулы нахождения радиуса ромба — далеко не единственные в своем роде, однако они являются наиболее простыми для понимания и проведения вычислений.

Площадь ромба по диагоналям формула. Площадь ромба: формулы и факты

– это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Ромб с прямыми углами называется квадратом и считается частным случаем ромба. Найти площадь ромба можно различными способами, используя все его элементы – стороны, диагонали, высоту. Классической формулой площади ромба считается расчет значения через высоту.

Пример расчета площади ромба по этой формуле очень прост. Необходимо только подставить данные и высчитать площадь.

Площадь ромба через диагонали


Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

Формула площади ромба через диагонали представляет собой произведение его диагоналей, разделенное на 2.

Рассмотрим пример расчета площади ромба через диагонали. Пусть дан ромб с диагоналями
d1 =5 см и d2 =4. Найдем площадь.

Формула площади ромба через стороны подразумевает и применение других элементов. Если в ромб вписана окружность, то площадь фигуры можно просчитать по сторонам и ее радиусу:

Пример расчета площади ромба через стороны также весьма прост. Требуется только просчитать радиус вписанной окружности. Его можно вывести из теоремы Пифагора и по формуле .

Площади ромба через сторону и угол


Формула площади ромба через сторону и угол используется очень часто.

Рассмотрим пример расчета площади ромба через сторону и угол.

Задача: Дан ромб, диагонали которого равны d1 =4 см,d2 =6 см. Острый угол равен α = 30°. Найдите площадь фигуры через сторону и угол.
Для начала найдем сторону ромба. Используем для этого теорему Пифагора. Мы знаем, что в точке пересечения диагонали делятся пополам и образуют прямой угол. Следовательно:
Подставим значения:
Теперь мы знаем сторону и угол. Найдем площадь:

– это параллелограмм , у которого все стороны равны, то для него действуют все те же формулы, как и для параллелограмма, включая формулу нахождения площади через произведение высоты и стороны .

Площадь ромба можно найти, также зная его диагонали . Диагонали делят ромб на четыре абсолютно одинаковых прямоугольных треугольника . Если мы их рассортируем, так чтобы получить прямоугольник , то его длина и ширина будут равны одной целой диагонали и половине второй диагонали. Поэтому площадь ромба находится умножением диагоналей ромба, сокращенных на два (как площади получившегося прямоугольника).

Если в распоряжении только угол и сторона , то можно вооружиться диагональю в качестве помощника и начертить ее напротив известного угла. Тогда она разделит ромб на два конгруэнтных треугольника, площади которых в сумме дадут нам площадь ромба. Площадь каждого из треугольников будет равна половине произведения квадрата стороны на синус известного угла, как площадь равнобедренного треугольника . Поскольку таких треугольников два, то коэффициенты сокращаются, оставив только сторону во второй степени и синус:

Если внутри ромба вписать окружность , то его радиус будет относиться к стороне под углом 90° , что значит, что удвоенный радиус будет равен высоте ромба . Подставив вместо высоты h=2r в предыдущую формулу, получим площадь S=ha=2ra

Если же вместе с радиусом вписанной окружности, дана не сторона, а угол, то следует сначала найти сторону, проведя высоту таким образом, чтобы получить прямоугольный треугольник с заданным углом. Тогда сторона a может быть найдена из тригонометрических отношений по формуле . Подставляя это выражение в ту же стандартную формулу площади ромба, выходит

Ромб — это частный случай параллелограмма. Он представляет собой плоскую четырехугольную фигуру, в которой все стороны равны. Данное свойство определяет то, что у ромбов параллельны противоположные стороны и равны противолежащие углы. Диагонали ромба пресекаются под прямым углом, точке их пересечения приходится на середину каждой диагонали, а углы из который они выходят делятся пополам. То есть они диагонали ромба являются биссектрисами углов. Исходя из приведенных определений и перечисленных свойств ромбов их площадь может быть определена различными способами.

1. Если известны обе диагонали ромба AC и BD, то площадь ромба может быть определена как половина произведения диагоналей.

S = ½ ∙ AC ∙ BD

где AC, BD — длина диагоналей ромба.

Чтобы понять почему это так, можно мысленно вписать в ромб прямоугольник таким образом, чтобы стороны последнего были перпендикулярны диагоналям ромба. Становится очевидным, что площадь ромба будет равна половине площади вписанного данным образом в ромб прямоугольника, длина и ширина которого будут соответствовать величине диагоналей ромба.

2. По аналогии с параллелепипедом площадь ромба может быть на найдена как произведение его стороны, на высоту перпендикуляра с опущенного к данной стороне с противолежащей стороны.

S = а ∙ h

где а — сторона ромба;
h — высота перпендикуляра, опущенного на данную сторону.

3. Площадь ромба также равна квадрату его стороны, умноженному на синус угла α .

S = a 2 ∙ sinα

где, a — сторона ромба;
α — угол между сторонами.

4. Также площадь ромба может быть найдена через его сторону и радиус вписанной в него окружности.

S = 2 ∙ a ∙ r

где, a — сторона ромба;
r — радиус вписанной в ромб окружности.

Интересные факты
Слово ромб произошло от древнегреческого rombus, что в переводе означает «бубен». В те времена бубны действительно имели ромбовидную форму, а не круглую, как мы привыкли видеть их в настоящее время. С тех же времен произошло и название карточной масти «бубны». Очень широко ромбы различных видов используются в геральдике.

Математика — школьный предмет, который изучается всеми, независимо от профиля класса. Однако она не всеми любима. Порой незаслуженно. Эта наука постоянно подбрасывает ученикам задачи, которые позволяют их мозгу развиваться. Математика отлично справляется с тем, чтобы не дать мыслительным возможностям детей угаснуть. Особенно хорошо с этим справляется один из ее разделов — геометрия.

Любая из тем, которые в ней изучаются, достойна внимания и уважения. Геометрия — это способ развить пространственное воображение. Примером может служить тема о площадях фигур, в частности ромбов. Эти задачки могут завести в тупик, если не разобраться в деталях. Потому что возможны разные подходы к поиску ответа. Кому-то проще запомнить разные варианты формул, которые написаны ниже, а кто-то способен сам их получить из ранее усвоенного материала. В любом случае безвыходных ситуаций не бывает. Если немного подумать, то решение обязательно найдется.

Ответить на этот вопрос нужно, чтобы понять принципы получения формул и ход рассуждения в задачах. Ведь чтобы разобраться в том, как найти площадь ромба, нужно отчетливо понимать, что это за фигура и каковы ее свойства.

Для удобства рассмотрения параллелограмм, который является четырехугольником с попарно параллельными сторонами, примем за «родителя». У него есть двое «детей»: прямоугольник и ромб. Оба они являются параллелограммами. Если продолжать параллели, то это — «фамилия». Значит, для того чтобы найти площадь ромба, можно воспользоваться уже изученной формулой для параллелограмма.

Но, как и все дети, ромб имеет и нечто свое. Это немного отличает его от «родителя» и позволяет рассматривать как отдельную фигуру. Ведь прямоугольник не ромб. Возвращаясь к параллелям — они как брат и сестра. В них много общего, но они все же различаются. Эти отличия — их особенные свойства, которыми нужно пользоваться. Было бы странно знать о них и не применять в решении задач.

Если продолжить аналогии и вспомнить еще одну фигуру — квадрат, то она будет продолжением ромба и прямоугольника. В этой фигуре объединены все свойства и одного, и другого.

Свойства ромба

Их пять и они перечислены ниже. Причем некоторые из них повторяют свойства параллелограмма, а какие-то присущи только рассматриваемой фигуре.

  • Ромб — это параллелограмм, который принял особую форму. Из этого следует, что его стороны являются попарно параллельными и равными. Причем равны они непросто попарно, а все. Как это было бы у квадрата.
  • Диагонали этого четырехугольника пересекаются под углом, который равен 90º. Это удобно и во многом упрощает ход рассуждений при решении задач.
  • Другое свойство диагоналей: каждая из них делится точкой пересечения на равные отрезки.
  • Лежащие друг напротив друга углы у этой фигуры равны.
  • И последнее свойство: диагонали ромба совпадают с биссектрисами углов.

Обозначения, которые приняты в рассмотренных формулах

В математике полагается решать задачи с использованием общих буквенных выражений, которые называются формулами. Тема про площади не является исключением.

Для того чтобы перейти к записям, которые расскажут, как найти площадь ромба, нужно договориться о буквах, которыми заменены все числовые значения элементов фигуры.

Теперь пришла пора написания формул.

Среди данных задачи — только диагонали ромба

Правило утверждает, что для нахождения неизвестной величины нужно перемножить длины диагоналей, а потом произведение разделить пополам. Результат деления — это и есть площадь ромба через диагонали.

Формула для этого случая будет выглядеть так:

Пусть эта формула будет идти под номером 1.

В задаче даны сторона ромба и его высота

Чтобы вычислить площадь, потребуется найти произведение этих двух величин. Пожалуй, это самая простая формула. Причем она известна еще из темы про площадь параллелограмма. Там такая формула уже изучалась.

Математическая запись:

Номер этой формулы — 2.

Известны сторона и острый угол

В этом случае нужно возвести в квадрат величину стороны ромба. Потом найти синус угла. И третьим действием вычислить произведение двух образовавшихся величин. Ответом будет площадь ромба.

Буквенное выражение:

Его порядковый номер — 3.

Данные величины: радиус вписанной окружности и острый угол

Для вычисления площади ромба нужно найти квадрат радиуса и умножить его на 4. Определить значение синуса угла. Потом разделить произведение на вторую величину.

Формула принимает такой вид:

Она будет пронумерована цифрой 4.

В задаче фигурируют сторона и радиус вписанной окружности

Чтобы определить, как найти площадь ромба, потребуется вычислить произведение данных величин и числа 2.

Формула для этой задачи будет выглядеть так:

Ее номер по порядку — 5.

Примеры возможных заданий

Задача 1

Одна из диагоналей ромба равна 8, а другая — 14 см. Требуется найти площадь фигуры и длину ее стороны.

Решение

Для нахождения первой величины потребуется формула 1, в которой Д 1 = 8, Д 2 = 14. Тогда площадь вычисляется так: (8 * 14) / 2 = 56 (см 2).

Диагонали делят ромб на 4 треугольника. Каждый из них обязательно будет прямоугольным. Этим нужно воспользоваться, чтобы определить значение второй неизвестной. Сторона ромба станет гипотенузой треугольника, а катетами будут половины диагоналей.

Тогда а 2 = (Д 1 /2) 2 + (Д 2 /2) 2 . После подстановки всех значений получается: а 2 = (8 / 2) 2 + (14 / 2) 2 = 16 + 49 = 65. Но это квадрат стороны. Значит, нужно извлечь квадратный корень из 65. Тогда длина стороны будет приблизительно равна 8,06 см.

Ответ: площадь 56 см 2 , а сторона 8,06 см.

Задача 2

Сторона ромба имеет значение, равное 5,5 дм, а его высота — 3,5 дм. Найти площадь фигуры.

Решение

Для того чтобы найти ответ нужна будет формула 2. В ней а = 5,5, Н = 3,5. Тогда, заменив в формуле буквы на числа, получим, что искомая величина равна 5,5 * 3,5 = 19,25 (дм 2).

Ответ: площадь ромба равна 19,25 дм 2 .

Задача 3

Острый угол у некоторого ромба равен 60º, а его меньшая диагональ — 12 см. Требуется вычислить его площадь.

Решение

Чтобы получить результат, нужна будет формула под номером 3. В ней вместо А будет 60, а значение а неизвестно.

Для нахождения стороны ромба потребуется вспомнить теорему синусов. В прямоугольном треугольнике а будет гипотенузой, меньший катет равен половине диагонали, а угол делится пополам (известно из свойства, где упоминается биссектриса).

Тогда сторона а будет равна произведению катета на синус угла.

Катет нужно вычислить как Д/2 = 12/2 = 6 (см). Синус(А/2) будет равен его значению для угла 30º, то есть 1/2.

Выполнив несложные вычисления, получим такое значение стороны ромба: а = 3 (см).

Теперь площадь — это произведение 3 2 и синуса 60º, то есть 9 * (√3)/2 = (9√3)/2 (см 2).

Ответ: искомая величина равна (9√3)/2 см 2 .

Итоги: все возможно

Здесь были рассмотрены некоторые варианты того, как найти площадь ромба. Если в задаче напрямую непонятно, какую формулу использовать, то нужно немного подумать и попробовать связать ранее изученные темы. В других темах обязательно найдется подсказка, которая поможет связать известные величины с теми, что есть в формулах. И задача решится. Главное — помнить, что все раньше изученное можно и нужно использовать.

Кроме предложенных заданий, возможны и обратные задачи, когда по площади фигуры нужно вычислить значение какого-либо элемента ромба. Тогда нужно воспользоваться тем уравнением, которое ближе всего к условию. А потом преобразовать формулу, оставив в левой части равенства неизвестную величину.

Что такое Ромб? Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

РОМБ, фигура на плоскости, четырехугольник с равными сторонами. {2} \cdot sin(\alpha) \]

3. Площадь ромба также равна полупроизведению диагоналей, то есть:

\[ S = \dfrac{d_{1} \cdot d_{2} }{2} \]

4. Если известен радиус r окружности, вписанной в ромб, и сторона ромба a , то его площадь вычисляется по формуле:

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Свойства ромба

На рисунке выше \(ABCD \) — ромб, \(AC = DB = CD = AD \) . Так как ромб — это параллелограмм, то он обладает всеми свойствами параллелограмма, но так же есть свойства присущие только ромбу.

В любой ромб можно вписать окружность. Центр окружности, вписанной в ромб, является точкой пересечения его диагоналей. Радиус окружности равен половине высоты ромба:

\[ r = \frac{ AH }{2} \]

Свойства ромба

Диагонали ромба перпендикулярны;

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

Параллелограмм, диагонали которого пересекаются под прямым углом, есть ромб;

Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, есть ромб.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

 

Как находится площадь ромба формула. Площадь ромба: формулы и факты

Ромб — это особая фигура в геометрии. Благодаря его особым свойствам, существует не одна, а несколько формул, с помощью которых вычисляется площадь ромба. Что это за свойства и какие наиболее распространенные формулы для поиска площади этой фигуры существуют? Давайте разберемся.

Какая геометрическая фигура называется ромбом

Прежде чем выяснить, чему равна площадь ромба, стоит узнать, что же это за фигура.

Ромбом со времен Евклидовой геометрии называется симметричный четырехугольник, все четыре стороны коего являются равными между собою по длине и попарно параллельными.

Происхождение термина

Название этой фигуры пришло в большинство современных языков из греческого, через посредничество латыни. «Прародителем» слова «ромб», стало греческое существительное ῥόμβος (бубен). Хотя жителям двадцатого века, привыкшим к круглым бубнам, тяжело представить их другой формы, но у эллинов эти музыкальные инструменты традиционно изготавливались не круглой, а ромбовидной формы.

В большинстве современных языков данный математический термин употребляется, как и в латыни: rombus. Однако в английском языке иногда ромбы называют diamond (алмаз или диамант). Такое прозвище данная фигура получила из-за своей особой формы, напоминающей драгоценный камень. Как правило, подобный термин используют не для всех ромбов, а только для тех, у которых угол пересечения его двух сторон равен шестидесяти или сорока пяти градусам.

Впервые эта фигура была упомянута в трудах греческого математика, жившего в первом веке новой эры — Герона Александрийского.

Какими свойствами обладает эта геометрическая фигура

Чтобы найти площадь ромба, в первую очередь нужно знать, какими особенностями обладает данная геометрическая фигура.

При каких условиях параллелограмм является ромбом

Как известно, каждый ромб является параллелограммом, но при этом не всякий параллелограмм — это ромб. Чтобы точно утверждать, что представленная фигура действительно является ромбом, а не простым параллелограммом, она должна соответствовать одному из трех основных признаков, выделяющих ромб. Или всем трем сразу.

  1. Диагонали параллелограмма пересекаются под углом девяносто градусов.
  2. Диагонали разделяют углы надвое, выступая в качестве их биссектрис.
  3. Не только параллельные, но и смежные стороны имеют одинаковую длину. В этом, кстати, одно из основных различий между ромбом и параллелограммом, поскольку у второй фигуры одинаковы по длине лишь параллельные стороны, но не смежные.

При каких условиях ромб является квадратом

По своим свойствам в отдельных случаях ромб одновременно может становиться квадратом. Чтобы наглядно подтвердить это утверждение, достаточно просто повернуть квадрат в любую сторону на сорок пять градусов. Получившаяся фигура окажется ромбом, каждый из углов которого равен девяноста градусам.

Также, чтобы подтвердить, что квадрат является ромбом, можно сопоставить признаки этих фигур: в обоих случаях все стороны равны, а диагонали являются биссектрисами и пересекаются под углом в девяносто градусов.

Как узнать площадь ромба с помощью его диагоналей

В современном мире в интернете можно найти практически все материалы для выполнения необходимых расчетов. Так, существует масса ресурсов, оснащенных программами для автоматического вычисления площади той или иной фигуры. Причем, если (как в случае с ромбом) есть несколько формул для этого, то есть возможность выбирать, какой из них удобнее всего будет воспользоваться. Однако, прежде всего, необходимо самим уметь вычислять площадь ромба без помощи компьютера и ориентироваться в формулах. Для ромба их существует немало, но самые известные из них четыре.

Одним из самых простых и распространенных способов узнать площадь этой фигуры, если есть информация о длине его диагоналей. Если в задаче есть эти данные, в таком случаем можно применить следующую формулу для нахождения площади: S = КМ x LN/2 (КМ и LN — это диагонали ромба KLMN).

Можно проверить достоверность этой формулы на практике. Допустим, у ромба KLMN длина одной его диагонали КМ — 10 см, а второй LN — 8 см. Тогда подставляем эти данные в указанную выше формулу, и получаем следующий результат: S = 10 х 8/ 2= 40 см 2 .

Формула для вычисления площади параллелограмма

Существует и другая формула. Как было указано выше в определении ромба, он является не просто четырехугольником, но и параллелограммом, и обладает всеми особенностями данной фигуры. В таком случае для нахождения ее площади вполне целесообразно использовать формулу, применяемую для параллелограмма: S = KL х Z. В данной случае KL — это длинна стороны параллелограмма (ромба), а Z — это длинна высоты, проведенной к данной стороне.

В отдельных задачах длина стороны не предоставлена, зато известен периметр ромба. Поскольку выше была указана формула его нахождения, с ее помощью можно узнать и длину стороны. Итак, периметр фигуры — 10 см. Длину стороны можно узнать, инвертировав формулу периметра и разделив 10 на 4. Результатом окажется 2,5 см — это и есть искомая длина стороны ромба.

Теперь стоит попробовать подставить это число в формулу, зная, что длинна высоты, проведенной к стороне, также равна 2,5 см. Теперь попробуем поставить эти значения в вышеупомянутую формулу площади параллелограмма. Получается, что площадь ромба равна S = 2,5 х 2,5 = 6,25 см 2 .

Другие способы вычисления площади ромба

Те, кто уже освоили синусы и косинусы, могут использовать для нахождения площади ромба формулы, содержащие их. Классическим примером служит следующая формула: S = КМ 2 х Sin KLM. В данном случае площадь фигуры равна произведению двух сторон ромба, умноженному на синус угла между ними. А поскольку в ромбе все стороны одинаковы, то проще сразу произвести одну сторону в квадрат, как и было показано в формуле.

Проверяем на практике данную схему, причем не просто к ромбу, а к квадрату, у которого, как известно, все углы прямые, а значит, равны девяносто градусам. Допустим, одна из сторон равна 15 см. Также известно, что синус угла в 90° равен единице. Тогда, согласно формуле, S = 15 х 15 х Sin 90°= 255х1=255 см 2.

Помимо вышеперечисленных, в отдельных случаях используется еще одна формула, с использованием синуса для определения площади ромба: S = 4 х R 2 /Sin KLM. В данном варианте используется радиус вписанной в ромб окружности. Он возносится в степень квадрата и умножается на четыре. А весь результат делиться на синус угла, близлежащего к вписанной фигуре.

В качестве примера для простоты вычислений возьмем опять квадрат (синус его угла будет всегда равен единице). Радиус вписанного в него круга — 4,4 см. Тогда площадь ромба будет вычисляться так: S= 4 х 4,4 2 / Sin 90 °= 77,44 см 2

Приведенные выше формулы нахождения радиуса ромба — далеко не единственные в своем роде, однако они являются наиболее простыми для понимания и проведения вычислений.

– это параллелограмм , у которого все стороны равны, то для него действуют все те же формулы, как и для параллелограмма, включая формулу нахождения площади через произведение высоты и стороны .

Площадь ромба можно найти, также зная его диагонали . Диагонали делят ромб на четыре абсолютно одинаковых прямоугольных треугольника . Если мы их рассортируем, так чтобы получить прямоугольник , то его длина и ширина будут равны одной целой диагонали и половине второй диагонали. Поэтому площадь ромба находится умножением диагоналей ромба, сокращенных на два (как площади получившегося прямоугольника).

Если в распоряжении только угол и сторона , то можно вооружиться диагональю в качестве помощника и начертить ее напротив известного угла. Тогда она разделит ромб на два конгруэнтных треугольника, площади которых в сумме дадут нам площадь ромба. Площадь каждого из треугольников будет равна половине произведения квадрата стороны на синус известного угла, как площадь равнобедренного треугольника . Поскольку таких треугольников два, то коэффициенты сокращаются, оставив только сторону во второй степени и синус:

Если внутри ромба вписать окружность , то его радиус будет относиться к стороне под углом 90° , что значит, что удвоенный радиус будет равен высоте ромба . Подставив вместо высоты h=2r в предыдущую формулу, получим площадь S=ha=2ra

Если же вместе с радиусом вписанной окружности, дана не сторона, а угол, то следует сначала найти сторону, проведя высоту таким образом, чтобы получить прямоугольный треугольник с заданным углом. Тогда сторона a может быть найдена из тригонометрических отношений по формуле . Подставляя это выражение в ту же стандартную формулу площади ромба, выходит

Ромб (с древнегреческого ῥόμβος и с латинского rombus «бубен») является параллелограммом, для которого характерно наличие одинаковых по длине сторон. В случае, когда углы составляют 90 градусов (или прямой угол), такую геометрическую фигуру называют квадратом. Ромб — геометрическая фигура, разновидность четырехугольников. Может быть и квадратом, и параллелограммом.

Происхождение данного термина

Поговорим немного об истории данной фигуры, что поможет немного раскрыть для себя загадочные тайны древнего мира. Привычное для нас слово, часто встречающееся в школьной литературе, «ромб», берет свое начало от древнегреческого слова «бубен». В Древней Греции эти музыкальные инструменты производились в форме ромба или квадрата (в отличие от современных приспособлений). Наверняка вы заметили, что карточная масть — бубна — обладает ромбической формой. Формирование этой масти восходит к тем временам, когда круглые бубны не использовались в обиходе. Следовательно, ромб — древнейшая историческая фигура, которая была изобретена человечеством задолго до появления колеса.

Впервые такое слово, как «ромб» было употреблено столь известными личностями, как Герон и Папа Александрийский.

Свойства ромба

  1. Так как стороны ромба противолежат друг другу и являются попарно параллельными, то ромб, несомненно, параллелограмм (АВ || CD, AD || ВС).
  2. Ромбические диагонали имеют пересечение под прямым углом (AC ⊥ BD), а, значит, перпендикулярны. Следовательно, пересечение делит диагонали пополам.
  3. Биссектрисами ромбических углов являются диагонали ромба(∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).
  4. Из тождества параллелограммов следует, что сумма всех квадратов диагоналей ромба составляет число квадрата стороны, которое умножили на 4.

Признаки ромба

Ромб в тех случаях является параллелограммом, когда отвечает следующим условиям:

  1. Все стороны параллелограмма равны.
  2. Диагонали ромба пересекает прямой угол, то есть они перпендикулярны по отношению друг к другу (AC⊥BD). Это доказывает правило трех сторон (стороны равны и находятся под углом в 90 градусов).
  3. Диагонали параллелограмма разделяют углы поровну, так как стороны являются равными.

Площадь ромба

  1. Площадь ромба равна числу, которое является половиной произведения всех его диагоналей.
  2. Так как ромб — это своеобразный параллелограмм, то площадь ромба (S) является числом произведения стороны параллелограмма на его высоту (h).
  3. Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле, являющейся произведением возведенной в квадрат стороны ромба на синус угла. Синус угла — альфа — угол, находящийся между сторонами исходного ромба.
  4. Вполне приемлемой для верного решения считается формула, которая является произведением удвоенного угла альфа и радиуса вписанной окружности (r).

Ромб — это частный случай параллелограмма. Он представляет собой плоскую четырехугольную фигуру, в которой все стороны равны. Данное свойство определяет то, что у ромбов параллельны противоположные стороны и равны противолежащие углы. Диагонали ромба пресекаются под прямым углом, точке их пересечения приходится на середину каждой диагонали, а углы из который они выходят делятся пополам. То есть они диагонали ромба являются биссектрисами углов. Исходя из приведенных определений и перечисленных свойств ромбов их площадь может быть определена различными способами.

1. Если известны обе диагонали ромба AC и BD, то площадь ромба может быть определена как половина произведения диагоналей.

S = ½ ∙ AC ∙ BD

где AC, BD — длина диагоналей ромба.

Чтобы понять почему это так, можно мысленно вписать в ромб прямоугольник таким образом, чтобы стороны последнего были перпендикулярны диагоналям ромба. Становится очевидным, что площадь ромба будет равна половине площади вписанного данным образом в ромб прямоугольника, длина и ширина которого будут соответствовать величине диагоналей ромба.

2. По аналогии с параллелепипедом площадь ромба может быть на найдена как произведение его стороны, на высоту перпендикуляра с опущенного к данной стороне с противолежащей стороны.

S = а ∙ h

где а — сторона ромба;
h — высота перпендикуляра, опущенного на данную сторону.

3. Площадь ромба также равна квадрату его стороны, умноженному на синус угла α . {2} \cdot sin(\alpha) \]

3. Площадь ромба также равна полупроизведению диагоналей, то есть:

\[ S = \dfrac{d_{1} \cdot d_{2} }{2} \]

4. Если известен радиус r окружности, вписанной в ромб, и сторона ромба a , то его площадь вычисляется по формуле:

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Свойства ромба

На рисунке выше \(ABCD \) — ромб, \(AC = DB = CD = AD \) . Так как ромб — это параллелограмм, то он обладает всеми свойствами параллелограмма, но так же есть свойства присущие только ромбу.

В любой ромб можно вписать окружность. Центр окружности, вписанной в ромб, является точкой пересечения его диагоналей. Радиус окружности равен половине высоты ромба:

\[ r = \frac{ AH }{2} \]

Свойства ромба

Диагонали ромба перпендикулярны;

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

Параллелограмм, диагонали которого пересекаются под прямым углом, есть ромб;

Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, есть ромб.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Площадь треугольника и ромба [wiki.eduVdom.com]

Теорема 1. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство. Треугольник ABC (рис.1) дополним до параллелограмма ABCD (как указано на рис.1), площадь которого равна AB•h.

Рис.1

Но площадь S треугольника ABC составляет половину площади параллелограмма ABCD (ибо треугольники ABC и CDA равны), следовательно,

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (так как один катет можно взять за основание, другой — за высоту).

Следствие 2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. 2 } } $$ , т.е. АЕ = 24 (м).


Пример 3. Вычислить площадь ромба, диагонали которого равны 6 см и 3,5 см.

Решение. Согласно следствию искомая площадь равна S = 6•3,5:2 = 10,5(см2).


Пример 4. Найти площадь ромба, если его высота 10 м, а острый угол 30°.

Решение. Пусть ABCD — ромб, где ∠ BAD = 30°, BE ⊥ AD и BE = 10 м (рис.3).

Рис.3

Из прямоугольного $\triangle АВЕ$ найдем АВ:
$BE = \frac{1}{2}АВ$ (как катет, лежащий против угла в 30°) и, значит, АВ = 2•ВЕ = 2 • 10 = 20 (м).

Так как АВ = AD, то площадь ромба S = BE•AD = 200 (м2).



Площадь ромба: онлайн калькулятор, формулы, примеры решений

Ромб — это четырехугольник, все стороны которого одинаковы. Ромб представляет собой частный случай параллелограмма, а квадрат — частный случай ромба. Следовательно, каждый квадрат — это ромб, а каждый ромб — параллелограмм.

Геометрия ромба

Термин «ромб» с греческого языка означает «бубен», который в древности выполняли в виде четырехугольника, а не круга. Ромб — равносторонний параллелограмм с неравными углами. Любой равносторонний четырехугольник, который имеет два острых и два тупых угла может называться ромбом. Таким образом, ромб в отличие от квадрата является косоугольником. Параллелограмм будет считаться ромбом, если фигура соответствует хотя бы одному из условий:

  • две смежные стороны равны, соответственно, равны все стороны;
  • диагонали фигуры пересекаются под прямым углом;
  • все высоты косоугольника равны;
  • диагонали делят четырехугольник на 4 одинаковых прямоугольных треугольника;
  • одна из диагоналей является биссектрисой для внутренних треугольников.

Данная фигура в своей классической форме не часто встречается в реальной жизни. Чаще всего ромбы можно найти в металлообработке: пластины резцов различных инструментов имеют именно ромбовидную форму. Кроме того, ромбические элементы встречаются в архитектуре и строительстве, а наиболее очевидным примером реального ромба является тротуарная плитка. Встречая ромбы в реальности, вам может понадобиться определить площадь данной фигуры для решения практических задач.

Площадь ромба

Площадь ромба — это плоскость, ограниченная периметром фигуры. Площадь такого четырехугольника можно найти шестью способами, используя для расчетов такие параметры как величины углов, длины сторон или диагоналей. Наиболее простая формула для определения площади ромбовидной фигуры оперирует диагоналями. Диагональ ромба — это отрезок, который соединяет вершины противоположных углов косоугольника. Зная длину диагоналей ромба, вы можете вычислить площадь по следующей формуле:

S = 0,5 d1 × d2

Для определения площади ромба вы можете использовать наш онлайн-сервис, который позволяет найти не только площадь или периметр фигуры, но и определяет ее углы, длину сторон и высоту. Для вычислений вам потребуется ввести в форму два параметра на выбор:

  • две диагонали;
  • высоту и сторону.

Зная эти два значения, программа рассчитает все остальные свойства ромба, которые могут вам понадобиться при решении практических задач. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Плитка

Ранее мы выяснили, что тротуарная плитка — это самый банальный пример ромбических фигур в реальной жизни. Допустим, есть участок, который вы хотите замостить такой плиткой. Для определения необходимого количества плитки, которое нужно закупить, вам потребуется узнать два параметра: площадь участка и площадь одного элемента тротуарного покрытия. Пусть площадь участка составляет 20 квадратных метров, а диагонали плитки равны 20 см и 10 см. Для правильного расчета необходимо выразить длину диагоналей в метрах (0,2 и 0,1 м) и ввести их в поля «Диагонали». Вы получите результат в виде:

S = 0,01

Следовательно, площадь одного элемента составляет 0,01 квадратных метров, и вам понадобится 2 000 маленьких ромбов для обустройства участка.

Геральдика

Большая часть гербов исполняется на ромбовидных геральдических щитах. Если вы захотите сделать собственный ромбовидный герб для фестиваля исторической реконструкции, то вам понадобится узнать, сколько ткани нужно для его создания. Вы можете прикинуть только длину стороны и высоту ромба. Пусть высота фигуры составляет 0,3 м, а сторона — 0,5 м. Тогда площадь герба будет равна:

S = 0,15

Таким образом, для создания герба вам понадобится 0,15 квадратных метров ткани.

Заключение

Ромб не занимает в реальной жизни человека значимое место: фигура встречается нечасто, в основном в машиностроении, архитектуре и дизайне. Для решения практических задач или школьных заданий вы можете воспользоваться онлайн-калькулятором, который мгновенно выдаст вам не только правильный результат, но и вычислит углы, стороны и высоту ромба.

Как найти площадь ромба

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса - изображению, ссылке, тексту и т. д. - относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Формула площади ромба с калькулятором

Формула площади ромба с калькулятором - Math Open Reference Три разных способа рассчитать площадь ромбы приведены ниже, с формулой для каждого. Попробуйте это Перетащите оранжевые точки на каждую вершину изменить форму ромба. Площадь будет постоянно рассчитываться с использованием метода «базисное умножение на высоту».

Ромб на самом деле это просто особый тип параллелограмма. К ним также можно применить многие расчеты площади. Выберите формулу на основе значений, которые вы знаете для начала.

1. Метод "базис, умноженный на высоту"

Сначала выберите одну сторону в качестве основы. Подойдет любой, все они одинаковой длины. Затем определите высоту - расстояние по перпендикуляру от выбранной базы до противоположной стороны.Площадь - это произведение этих двух или, как формула: где
b - длина основания
a - высота (высота).

Воспользуйтесь калькулятором ниже, чтобы вычислить площадь ромба с учетом длины основания (стороны) и высота (перпендикулярная высота).

Введите любые два значения, и будет вычислено недостающее. Например, введите площадь и базовую длину, и будет рассчитана высота, необходимая для получения этой площади.

2. Метод «диагоналей»

Еще одна простая формула для определения площади ромба, когда известны длины диагоналей. Площадь составляет половину произведения диагоналей. Как формула: где
d 1 - длина диагонали
d 2 - длина другой диагонали

3. Использование тригонометрии

Если вы знакомы с тригонометрией, есть удобная формула, когда вы знаете длину стороны и любой угол: где
s - длина любой стороны
a - любой внутренний угол
sin - синусоидальная функция
(см. Обзор тригонометрии)

Поначалу может показаться странным, что вы можете использовать любой угол, поскольку не все они равны.Но углы либо равны, либо дополнительный, и дополнительные углы имеют одинаковый синус.

Другие темы полигонов

Общие

Типы полигонов

Площадь различных типов полигонов

Периметр различных типов полигонов

Углы, связанные с многоугольниками

Именованные полигоны

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Площадь ромба

Площадь ромба - это пространство внутри его периметра.Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Серое пространство - это область ромба на диаграмме ниже.

Формула площади

Есть несколько формул, по которым можно найти площадь ромба в зависимости от известных параметров.

Использование диагоналей

Площадь A ромба равна половине произведения двух его диагоналей.

, где d 1 и d 2 - длины двух диагоналей.

Ссылка на ромб ABCD выше, Пусть AC = d 1 и BD = d 2 . Диагонали ромба перпендикулярны друг другу, поэтому AC⟂ DB. Ромб ABCD можно разложить на треугольники ABC и ADC. Площадь ABC =, где BE - высота ABC. Площадь ADC = где DE - высота △ ADC. Площадь ромба ABCD равна сумме площадей △ ABC и △ ADC.

Пример:

Если площадь ромба равна 230, а одна из его диагоналей равна 10, какова длина другой диагонали?

Пусть d 1 = 10.Поскольку A = 230, мы можем найти d 2 следующим образом:

230 = 5 × d 2

д 2 = 46

Использование стороны и высоты

Поскольку ромб также является параллелограммом, мы можем использовать формулу площади параллелограмма:

A = b × h

, где b - основание или длина стороны ромба, а h - соответствующая высота.

Использование стороны и угла

Если даны длина стороны и один из углов ромба, то площадь равна:

A = 2 × sin (θ)

, где a - длина стороны, а θ - один из углов.

Нахождение участка по сетке

Другой способ найти площадь ромба - определить, сколько единичных квадратов нужно, чтобы покрыть его поверхность. Ниже представлен единичный квадрат размером 1 см.

При определении площади ромба можно использовать сетку из единичных квадратов.

Сетка выше содержит единичные квадраты площадью 1 см 2 каждый. Ромб слева содержит 8 полных квадратов и 12 частичных квадратов, поэтому его площадь составляет примерно

.

Ромб справа содержит 25 полных квадратов, поэтому его площадь составляет примерно 25 см 2 .

С помощью этого метода можно найти площадь любой формы; ромбами он не ограничивается. Однако это лишь приблизительная стоимость площади. Чем меньше используемый единичный квадрат, тем выше точность приближения. Использование сетки из квадратов размером 1 мм в 10 раз точнее, чем использование сетки из квадратов размером 1 см.

Калькулятор ромбов

Ромб в форме


Эти два рисунка относятся к одному и тому же ромбу.

a = длина сторон
p = длинная диагональ
q = более короткая диагональ
h = высота
A, B, C, D = угловые уголки
K = площадь
P = периметр
π = пи = 3,1415926535898
√ = квадратный корень

Использование калькулятора

Рассчитайте некоторые переменные ромба в зависимости от предоставленных входных данных.Расчеты включают длину сторон, углы углов, диагонали, высоту, периметр и площадь ромба.

Ромб - это четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны, а все стороны равны по длине. Ромб, у которого все углы прямые, называется квадрат. Ромб (или ромб) - это параллелограмм со всеми четырьмя сторонами равной длины.

Единицы: Обратите внимание, что единицы длины показаны для удобства.На расчеты они не влияют. Единицы измерения указывают порядок результатов вычислений, например футы, футы 2 или футы 3 . Можно заменить любой другой базовый блок.

Формулы и ограничения ромба

Углы наклона: A, B, C, D

  • А = С
  • B = D
  • A + B = 180 ° = π радиан
  • для ромба, который не является квадратом,

Площадь: К

с A и B в радианах,

K = ah = a 2 sin (A) = a 2 sin (B) = pq / 2

Высота: h

  • h = h a = h b
  • h = грех (A) = грех (B)

Диагонали: p, q

  • p = a √ (2 + 2 cos (A)) = a √ (2-2 cos (B))
  • q = a √ (2 - 2 cos (A)) = a √ (2 + 2 cos (B))
  • p 2 + q 2 = 4a 2

Периметр: P

P = 4a

Rhombus Вычисления:

Следующие формулы, основанные на приведенных выше, используются в этом калькуляторе для выбранных вариантов расчета.

  • Вычислить B, C, D | Учитывая A
    Заданный угол A рассчитать углы B, C и D
    • B = 180 ° - A
    • С = А
    • D = B
  • Вычислить A, C, D | Учитывая B
    По заданному углу B рассчитать углы A, C и D
    • A = 180 ° - B
    • С = А
    • D = B
  • Рассчитать | Учитывая P
    С учетом периметра вычислить сторону a
  • Рассчитать P | Учитывая
    Заданная длина стороны a рассчитать периметр
  • Вычислить B, p, q, h, P, K | Учитывая a, A
    По заданной длине стороны a и углу A вычислить диагонали, периметр, высоту, площадь и углы B, C и D
    • p = √ (2a 2 + 2a 2 cos (A))
    • q = √ (2a 2 - 2a 2 cos (A))
    • P = 4a
    • h = грех (A)
    • К = ах
    • B = 180 ° - A
    • С = А
    • D = B
  • Вычислить A, B, q, h, P, K | Учитывая а, р
    По заданной длине стороны a и диагонали p вычислить диагональ q, периметр, высоту, площадь и углы A, B, C и D
    • A = arccos (1 - (p 2 /2 a 2 ))
    • q = √ (2a 2 - 2a 2 cos (A))
    • h = грех (A)
    • P = 4a
    • К = 2 грех (А)
    • B = 180 ° - A
    • С = А
    • D = B
  • Вычислить A, B, p, h, P, K | Учитывая a, q
    По заданной длине стороны и диагонали q вычислить диагональ p, периметр, высоту, площадь и углы A, B, C и D
    • A = arccos (1 + (q 2 / 2a 2 ))
    • p = √ (2a 2 + 2a 2 cos (A))
    • h = грех (A)
    • P = 4a
    • К = 2 грех (А)
    • B = 180 ° - A
    • С = А
    • D = B
  • Вычислить A, B, p, q, P, K | Учитывая a, h
    По заданной длине и высоте стороны вычислить диагонали, периметр, площадь и углы A, B, C и D
    • A = arcsin (h / a)
    • p = √ (2a 2 + 2a 2 cos (A))
    • q = √ (2a 2 - 2a 2 cos (A))
    • P = 4a
    • К = 2 грех (А)
    • B = 180 ° - A
    • С = А
    • D = B
  • Вычислить A, B, p, q, h, P | Учитывая a, K
    По заданной длине стороны и площади вычислить диагонали, периметр, высоту и углы A, B, C и D
    • A = arcsin (K / a 2 )
    • p = √ (2a 2 + 2a 2 cos (A))
    • q = √ (2a 2 - 2a 2 cos (A))
    • h = грех (A)
    • P = 4a
    • B = 180 ° - A
    • С = А
    • D = B
  • Вычислить a, A, B, p, q, P | Учитывая К, ч
    По заданной площади и высоте вычислить длину стороны, диагонали, периметр и углы A, B, C и D
    • a = К / ч
    • P = 4a
    • A = arcsin (K / a 2 )
    • p = √ (2a 2 + 2a 2 cos (A))
    • q = √ (2a 2 - 2a 2 cos (A))
    • B = 180 ° - A
    • С = А
    • D = B
  • Вычислить a, A, B, q, h, P | Учитывая K, p
    По диагонали p и площади вычислить периметр, высоту, длину стороны, диагональ q и углы A, B, C и D
    • q = 2К / п
    • а = √ (п 2 + q 2 ) / 2
    • P = 4a
    • A = arccos (1 - (п 2 /2 a 2 ))
    • h = грех (A)
    • B = 180 ° - A
    • С = А
    • D = B
  • Вычислить a, A, B, p, h, P | Учитывая K, q
    По диагонали q и площади вычислить периметр, высоту, длину стороны, диагональ p и углы A, B, C и D
    • p = 2K / q
    • а = √ (п 2 + q 2 ) / 2
    • P = 4a
    • A = arccos (1 + (q 2 / 2a 2 ))
    • h = грех (A)
    • B = 180 ° - A
    • С = А
    • D = B
  • Вычислить a, B, p, q, P, K | Учитывая A, h
    По заданному углу A и высоте вычислить сторону a, углы B, C и D, диагонали, периметр и площадь.
    • a = h / sin (A)
    • P = 4a
    • p = √ (2a 2 + 2a 2 cos (A))
    • q = √ (2a 2 - 2a 2 cos (A))
    • К = 2 грех (А)
    • B = 180 ° - A
    • С = А
    • D = B
  • Вычислить a, A, B, h, P, K | Учитывая p, q
    По диагонали p и диагонали q вычислить длину стороны, углы A, B, C и D, высоту, периметр и площадь.
    • a = √ (p 2 + q 2 ) / 2
    • P = 4a
    • К = (p * q) / 2
    • A = arcsin (K / a 2 )
    • B = 180 ° - A
    • С = А
    • D = B
    • h = грех (A)

Список литературы

Цвиллинджер, Даниэль (главный редактор). CRC Standard Mathematical Tables and Formulas, 31-е издание New York, NY: CRC Press, p. 323, 2003.

Математический форум: Спросите доктора математики FAQ: Четырехугольные формулы (http://mathforum.org/)

Вайсштейн, Эрик В. "Ромб". Из MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram. Ромб.

Area: Area of ​​Parallelogram and Rhombi Study Guide

Area of ​​Parallelogram and Rhombi

Параллелограммы сбивают с толку, в основном потому, что в самом слове слишком много слогов. Почему фигуре с четырьмя сторонами нужно пять слогов? Давай, геометрия.

К счастью, параллелограммов определяются только тем, что они четырехугольники (даже не давайте начинать о количестве слогов в этом слове ), состоящих из двух наборов параллельных линий. Благодаря этому простому факту противоположные стороны параллелограмма совпадают. Но ты это знал.

Каким бы замечательным это ни было, это не совсем помогает нам найти местность.Когда мы находим площадь, нам нужна длина основания и высота , которые должны быть перпендикулярны основанию. Все, что нам нужно сделать, это перемножить их вместе, и мы получим формулу площади параллелограмма. Итак, наша формула:

A = bh

Получение дежавю? Выглядит как площадь прямоугольника или как удвоенная площадь треугольника, не так ли? Что ж, для этого есть причина.


Итак, на самом деле параллелограмм - это всего лишь два треугольника, одетых в один большой плащ, которые притворяются тем, кем они не являются.Поскольку площадь каждого дается как ½ bh , площадь их обоих вместе равна 2 (½ bh ) = bh . Мы можем увидеть их уловки насквозь.

Если мы также разделим параллелограмм от верхней вершины до основания под прямым углом, мы можем взять отрезанный треугольник и заполнить разрыв с другой стороны. Это даст нам параллелограмм с четырьмя правыми углы. Или, знаете, прямоугольник. Примерно так:

Поскольку площадь прямоугольника задается как A = lw , мы можем использовать эту формулу.Только теперь мы знаем, что l = b и w = h . Замена этих значений дает нам площадь параллелограмма: A = bh . Вам действительно нужны еще доказательства?

Пример задачи

Если основание галактики Центавр A составляет 16 500 световых лет, а высота галактики 10 000 световых лет, то какова площадь этой галактики в форме параллелограмма?

Параллелограмм - это параллелограмм, независимо от его размера. Даже у параллелограмма размером с галактику есть площадь.

A = bh
A
= 16 500 световых лет × 10 000 световых лет
A = 165 000 000 световых лет 2

Пример задачи

Какова площадь этого параллелограмма?

Ну мы знаем, что основа 10 см, но высота не сразу понятно. Если рисовать по высоте, получается треугольник 30-60-90. Как удобно.

Мы можем использовать отношения сторон треугольника, чтобы найти высоту параллелограмма (который в нашем случае является длинной стороной треугольника 30-60-90).Поскольку мы знаем, что гипотенуза и длинный отрезок имеют отношение, мы можем вычислить высоту, создав пропорцию.


Теперь, когда у нас есть высота, мы можем найти площадь параллелограмма.

A = bh

Хотя квадрат и прямоугольник заплатили достаточно, чтобы получить свои собственные секции, существует еще один тип параллелограмма, площадь которого мы еще не обсуждали. А еще это любимый автомобиль четырехугольника: ромб .

Мы шутим. Они предпочитают Феррари.

Мы можем представить себе ромб как особый параллелограмм, точно так же, как квадрат - это особый тип прямоугольника. У ромба четыре равные стороны и диагонали, перпендикулярные друг другу. В основном они похожи на бриллианты. Итак, если задуматься, ромбов - лучший друг девушки.

Поскольку ромбы - это особые типы параллелограммов, мы можем использовать формулу A = bh , чтобы найти их площади, точно так же, как мы использовали A = lw , чтобы найти площадь квадрата.Однако углы формы не одинаковы. Это означает, что основание и высота ромба будут равны , а не , поэтому мы не можем волей-неволей обходить стороной квадраты. Нам еще предстоит найти основание и высоту ромба.

Что такого особенного в ромбах, если мы должны использовать ту же самую формулу? Ну и диагонали, конечно. Особенность ромбов в том, что половина произведения их диагоналей - это их площадь.

A = ½ d 1 d 2

Пример задачи

Ромб имеет длину стороны 4 м и высоту 3 м.Какая площадь у ромба?

Иногда проблемы пытаются обмануть вас, используя взаимозаменяемые термины «сторона» и «основание». В случае ромбов длина всех сторон одинакова, поэтому они взаимозаменяемы. Просто помните, что у ромба основание и сторона одинаковы, но высота не та.

Итак, в этом случае b = 4 м и h = 3 м, и это все, что нам нужно. Площадь, вот и мы.

A = bh
A
= 4 м × 3 м
A = 12 м 2

Пример задачи

Тот же ромб ( b = 4 м и h = 3 м ) имеет диагональ 8 м.Какова длина другой диагонали?

Для области ромба мы уже решили. Если бы мы этого не сделали, мы могли бы легко сделать это, используя A = bh = 4 м × 3 м = 12 м 2 . Теперь мы можем использовать формулу с диагоналями и найти длину диагонали, измерения которой у нас нет. Неважно, какая диагональ d 1 , а какая d 2 .

A = ½ d 1 d 2
12 м 2 = ½ × 8 м × d 2
3 м = d 2

другая диагональ - 3 метра.

Измерение площади ромба: формула и примеры - видео и стенограмма урока

Использование высоты и стороны

Один из способов найти площадь ромба - использовать высоту и сторону. Если мы знаем эти два измерения, мы можем использовать этот метод. Формула для этого метода:

Площадь = Высота * с

Выглядит довольно просто, не так ли? Все, что вам нужно сделать, это умножить высоту на одну из сторон. Неважно, с какой стороны, все они одинаковые.

Итак, если у вас есть ромб высотой 3 дюйма со сторонами 2 дюйма, то площадь этого ромба составляет 3 дюйма * 2 дюйма = 6 дюймов в квадрате. 2 sin (B)

Формула одинаково независимо от того, какой угол вам дан.Все, что вам нужно, это измерение одного из углов и стороны. Здесь вы также умножаете, но сначала вы должны найти синус угла, а также возвести в квадрат свою сторону. Эту формулу запомнить немного сложнее, чем формулу с использованием высоты и стороны, но все же рекомендуется сохранить ее в памяти. Если нужно, запишите его на карточке.

Если наш ромб говорит нам, что наша сторона имеет размер 2 дюйма, а один из наших углов - 60 градусов, то, чтобы найти площадь этого ромба, мы должны подставить это в нашу формулу для площади, используя сторону и угол.2 sin (60)

Возводим нашу сторону в квадрат и находим синус 60 градусов. Итак:

Площадь = 4 * 0,866

Затем мы умножаем эти два числа вместе, чтобы получить ответ.

Площадь = 3,46 дюйма в квадрате

Я хочу, чтобы вы помнили, что для этого метода угол, который вы выбираете, не имеет значения. Формула одинакова для обоих углов; вам просто нужно выбрать один из них, чтобы использовать.

Использование диагоналей

Последний способ определения площади ромба использует только две диагонали.Формула выглядит так:

Площадь = ( p * q ) / 2

Мы умножаем две диагонали вместе и получаем половину от них. Опять же, для этой формулы не имеет значения, как вы обозначаете диагонали, если одно является одним измерением, а другое - другим измерением. Конечно, если уже указаны p и q , придерживайтесь этого. Но, если их не было, вы можете обозначить либо один p , а другой будет q .

Если бы нам дали ромб с размерами только диагоналей, мы бы использовали эту формулу. Если бы наш ромб имел диагонали размером 3 дюйма и 4 дюйма соответственно, то, чтобы найти площадь этого ромба, мы сделали бы то же самое, что и с другими формулами, и подставили бы числа.

Площадь = (3 * 4 ) / 2

Мы умножаем две диагонали, и:

Площадь = 12/2

Затем мы находим половину этой суммы, так что:

Площадь = 6 дюймов в квадрате

И это наш ответ.

Резюме урока

В этом видео-уроке мы узнали, что найти площадь ромба , четырехгранной формы, все стороны которой равны, а противоположные стороны параллельны, довольно просто, если следовать формулам. Пять измерений, которые следует учитывать, - это высота , высота или высота ромба, две диагонали, длина стороны и измерение двух пар противоположных углов.

Постарайтесь запомнить следующие три формулы:

Формула для высоты и стороны: Площадь = Высота * с .2 грех (В).

Формула с диагоналями: Площадь = ( p * q ) / 2.

Используйте то уравнение, для которого у вас есть информация. Формулы можно использовать по принципу «подключи и работай», когда вы знаете все числа, которые нужно подключить, так что это довольно просто. Просто запомните, как выглядят формулы.

Результаты обучения

После этого урока вы сможете:

  • Определить, что представляет собой ромб
  • Обозначьте пять размеров в ромбе
  • Перечислите три формулы для определения площади ромба

измерений: площадь ромба

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

За электронным обучением будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Здесь мы обсудим Area of ​​Rhombus.
Поскольку все стороны ромба равны, периметр ромба такой же, как и у квадрата. Диагонали ромба пересекают друг друга под прямым углом. Периметр ромба = 4 x сторона
Площадь ромба = ½ [произведение диагоналей]
Площадь = Основание x Высота Некоторые решенные примеры:

1) Сторона ромба составляет 18 см.Найдите его периметр.

Решение:
Периметр ромба = 4 x стороны
⇒ = 4 x 18
& rArr = 72 см
∴ Периметр ромба = 72 см.
_________________________________________________________________
2) Найдите площадь ромба, каждая сторона которого равна 13 см, а диагональ одной стороны равна 24 см.
Решение:
Пусть ABCD - ромб с диагоналями AC и BD, которые пересекаются друг с другом в точке О.
AC = 24 ⇒ AO = 12
Пусть BO = x и AB = 13 см (дано)
По теореме Пифагора
c 2 = a 2 + b 2
13 2 = 12 2 + x 2 169 = 144 + x 2
x 2 = 169-144
x 2 = 25
x = 5 см
BO = 5 см
Диагональ BD = 2 x 5 = 10 см.