Как найти площадь поверхности прямой призмы – Найдите площадь поверхности прямой призмы

www.wiki.eduvdom.com

Площадь поверхности прямой призмы: формулы и пример задачи

Объем и площадь поверхности — это две важные характеристики любого тела, имеющего конечные размеры в трехмерном пространстве. В данной статье рассмотрим известный класс многогранников — призмы. В частности, будет раскрыт вопрос, как найти площадь поверхности прямой призмы.

Что собой представляет призма?

Призмой называется любой многогранник, который ограничен несколькими параллелограммами и двумя одинаковыми многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях. Эти многоугольники считают основаниями фигуры, а ее параллелограммы — это боковые стороны. Количество сторон (углов) основания определяет название фигуры. Например, на рисунке ниже изображена пятиугольная призма.

Расстояние между основаниями называется высотой фигуры. Если высота равна длине любого бокового ребра, то такая призма будет прямой. Вторым достаточным признаком для прямой призмы является то, что у нее все боковые стороны представляют собой прямоугольники или квадраты. Если же хотя бы одна боковая сторона является параллелограммом общего вида, то фигура будет наклонной. Ниже можно посмотреть, как визуально отличаются прямая и наклонная призмы на примере четырехугольных фигур.

Площадь поверхности прямой призмы

Если геометрическая фигура имеет n-угольное основание, тогда она состоит из n+2 граней, n из которых являются прямоугольниками. Обозначим длины сторон основания символом a_i, где i = 1,2,…,n, а высоту фигуры, которая равна длине бокового ребра, обозначим h. Чтобы определить площадь (S) поверхности всех граней, необходимо сложить площадь S_o каждого из оснований и все площади боковых сторон (прямоугольников). Таким образом, формулу для S в общем виде можно записать так:

S = 2*S_o + S_b

Где S_b — площадь боковой поверхности.

Поскольку основанием прямой призмы может быть совершенно любой плоский многоугольник, то единой формулы для вычисления S_o привести нельзя, и для определения этой величины в общем случае следует проводить геометрический анализ. Например, если основание представляет собой правильный n-угольник со стороной a, тогда его площадь вычисляется по формуле:

S_o = n/4*ctg(pi/n)*a²

Что касается величины S_b, то выражение для ее вычисления привести можно. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна:

S_b = h*∑_i=1ⁿ(a_i)

То есть величина S_b вычисляется как произведение высоты фигуры на периметр ее основания.

Пример решения задачи

Применим полученные знания для решения следующей геометрической задачи. Дана призма, основание которой представляет собой прямоугольный треугольник со сторонами при прямом угле 5 см и 7 см. Высота фигуры составляет 10 см. Необходимо найти площадь поверхности прямой призмы треугольной.

Для начала вычислим гипотенузу треугольника. Она будет равна:

c = √(5² + 7²) = 8,6 см

Теперь сделаем еще одну подготовительную математическую операцию — рассчитаем периметр основания. Он составит:

P = 5 + 7 + 8,6 = 20,6 см

Площадь боковой поверхности фигуры вычисляется как произведение величины P на высоту h=10 см, то есть S_b = 206 см².

Чтобы найти площадь всей поверхности, к найденной величине следует добавить две площади основания. Поскольку площадь прямоугольного треугольника определяется половиной произведения катетов, то получаем:

2*S_o = 2*5*7/2 = 35 см²

Тогда получаем, что площадь поверхности прямой призмы треугольной составляет 35 + 206 = 241 см².

fb.ru

Призма. Формулы и свойства призмы

Определение.

Рис.1		Рис.2

Определение. Основы призмы — две грани, которые являются равными параллельными плоскими многоугольниками (ABCEF, GMNJK).

Определение. Боковые грани призмы — все остальные грани за исключением основ.

Определение. Боковая поверхность призмы — совокупность всех боковых граней призмы.

Определение. Поверхность призмы — это совокупность поверхностей двух оснований и боковой поверхности.

Определение. Боковое ребро призмы — общая сторона двух боковых граней.

Определение. Высота — это перпендикуляр, который соединяет две основы призмы под прямым углом.

Определение. Диагональ основания призмы — это отрезок, соединяющий две не соседние вершины, принадлежащие этой же основе.

Определение. Диагональ боковой грани призмы — это отрезок, соединяющий две противоположные вершины, лежащие на одной боковой грани однако принадлежат различным основам.

Определение. Диагональ призмы (AN) — это отрезок, соединяющий две вершины, лежащие на разных основаниях, но не лежат на одной боковой стороне.

Определение. Диагональное сечение — это пересечение призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания призмы и боковое ребро. Треугольная призма (в основе призмы треугольники) не имеет диагональных сечений.

Определение. Перпендикулярное сечение — это пересечение призмы плоскостью, пересекающей боковые ребра призмы под прямым углом.

Определение. Прямая призма — это призма, в которой все боковые грани перпендикулярны к основанию. Высота равна длине бокового ребра.

Определение.

Определение. Правильная призма — это призма, в которой основы являются правильными многоугольниками. Правильная призма может быть, как прямой, так и наклонной.

Определение. Усечённая призма — это призма, в которой две основы не параллельны (рис. 2). Усечённая призма может быть, как прямой, так наклонной.

Объём призмы

V = S_оснH

V = S_пL

Площадь поверхности призмы

S_b = P·h

S = 2S_oсн + P·h

Основные свойства призмы

Основы призмы — равные многоугольники.

Боковые грани призмы — параллелограммы.

Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.

Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.

Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.

Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.

В прямой призме гранями могут быть прямоугольниками или квадратами.

ru.onlinemschool.com

Основанием прямой треугольной призмы

Для вас ещё несколько несложных задачек на решение призмы. Рассмотрим прямую призму с прямоугольным треугольником в основании. Ставится вопрос о нахождении объёма или площади поверхности. Формула объёма призмы:

Формула площади поверхности призмы (общая):

*У прямой призмы боковая поверхность состоит из прямоугольников и равна она произведению периметра основания и высоты призмы. Необходимо помнить формулу площади треугольника. В данном случае, имеем прямоугольный треугольник – его площадь равна половине произведения катетов. Рассмотрим задачи:

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 15, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Площадь основания это площадь прямоугольного треугольника. Она равна половине площади прямоугольника со сторонами 10 и 15).

Таким образом,  искомый объём равен:

Ответ: 375

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 20 и 8. Объем призмы равен 400. Найдите ее боковое ребро.

Задача обратная предыдущей.

Объем  призмы:

Площадь основания это площадь прямоугольного треугольника:

Таким образом

Ответ: 5

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12, высота призмы равна 8. Найдите площадь ее поверхности.

Площадь поверхности призмы складывается из площадей всех граней – это два равных по площади основания и боковая поверхность.

Для того, чтобы найти площади всех граней необходимо найти третью сторону основания призмы (гипотенузу прямоугольного треугольника).

По теореме Пифагора:

Теперь мы можем найти площадь основания и площадь боковой поверхности. Площадь основания равна:

Площадь боковой поверхности призмы с периметром основания  равна:

*Можно обойтись без формулы и просто сложить площади трёх прямоугольников:

Полная площадь поверхности призмы:

Ответ: 300

27082.  Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Посмотреть решение

27132. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Посмотреть решение

27151. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту призмы.

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Формулы площади поверхности тел

Площадь поверхности геометрической фигуры измеряется в квадратных единицах.  Очень часто используется в повседневной жизни, в строительстве, на производствах.  Например, нужно вам покрасить комнату, зная сколько краски используется на кв. метр,  и площади стен комнаты легко можно вычислить, сколько всего вам нужно купить краски.

Различают два вида площадей поверхности тел: S_бок — площадь боковой поверхности тела, и Р — площадь полной поверхности тела, которая равна сумме площадей боковой поверхности и основания тела.

Содержание статьи:

Формула площади поверхности призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна периметру основания умноженному на высоту призмы (высота=боковому ребру).

S_бок = ph=pl

р — периметр основания;

h — высота;

l — боковое ребро.

Формула площади поверхности куба

Площадь боковой поверхности куба равна числу боковых граней умноженному на квадрат ребра.

S_бок = 4a²

Площадь полной поверхности куба равна числу всех граней куба умноженному на квадрат ребра.

P = 6a²

а — ребро куба.

Формула площади поверхности пирамиды

1) Правильная пирамида:

S_бок = 1/2pA

p — периметр основания;

A — апофема.

S_бок = S/cos φ

S — площадь основания;

φ — угол между боковой гранью и основанием пирамиды.

S_бок = S_гр n

S_гр — площадь одной боковой грани;
n — количество боковых граней пирамиды.

2) Правильная усеченная пирамида:

S_бок = 1/2(p₁ + p₂)A

p₁ ,p₂— периметры оснований;

A — апофема.

Р = S_бок + S₁ + S₂

Р — площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды;

S_бок— площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды;

S₁ + S₂ — площади оснований.

Формула площади поверхности цилиндра

S_бок = 2πrh = πdh

P = 2πr²+2πrh = 2π(r+h)

P — площадь полной поверхности цилиндра;

r — радиус цилиндра;

d — диаметр цилиндра;

h — высота цилиндра.

Формула площади поверхности конуса

1) Прямой круговой конус:

S_бок = πrl = 1/2 πdl

P = πr² + πrl= πr(r+l)

P — площадь полной поверхности конуса;

r -радиус конуса;

d -диаметр конуса;

l — образующая конуса.

2) Усеченный прямой круговой конус:

S_бок = πl(r₁ + r₂) = 1/2πl(d₁ + d₂)

P = πl(r₁ + r₂) + π(r₁ + r₂)

P — площадь полной поверхности усеченного конуса;

r₁, r₂— радиусы оснований усеченного конуса;

d₁, d₂— диаметры оснований усеченного конуса;

l — образующая усеченного конуса.

Формула площади поверхности шара (сферы)

Шар — тело, созданное вращением полукруга вокруг диаметра.

Сфера — поверхность шара.

P = 4πR² = πD²

Формула площади поверхности сферического сегмента

Сферический сегмент — часть сферы, что отсекается от сферы плоскостью.

S_{сф. сегм.} = 2πRh = π(a² + h²)

Формула площади поверхности шарового сегмента

Шаровой сегмент — часть шара, что отсекается от шара плоскостью, и ограничивается кругом (основание шарового сегмента) и сферическим сегментом.

S_{шар. сегм.} = π(2Rh+a²)=π(h²+2a²)

R — радиус шара;

D — диаметр шара;

h — высота сегмента;

a — радиус основания сегмента.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

matemonline.com