Лучший ответ по мнению автора |
| ||||||||||||||||
Другие ответы
| ||||||||||||||||
|
|
|
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
Похожие вопросы |
Решено
на трёх полках стояли книги . 2 — 2x — 3. Найдите: а)наименьшее значение функции; б) значения x, при которых значение функции равно 5; в) значение… Пользуйтесь нашим приложениемвектор длина
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает.
Решить задачу вектор длина вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
MathScene — Векторы — Урок 3
MathScene — Векторы — Урок 32008 Расмус Эф и Джанн Сак |
Урок 3
Векторы в системе координат
Пример 1
точка А имеет координаты (2, 2), а точка В — координаты (6, 5) (см. схему). Координаты вектора
Мы
можно использовать формулу расстояния между двумя точками, чтобы найти расстояние
между A и B, то есть длина вектора
(см. Правило Пифагора в уроке 2). Формула выглядит следующим образом:
Подставляя заданные координаты в формулу получаем:
Мы видим, что числа под квадратным корнем — это просто координаты вектор. Это, конечно, потому, что длина вектора — это просто гипотенуза в прямоугольном треугольнике с более короткими сторонами 3 и 4.
Формула длины вектора, начинающегося в точке
A = (x 1 , y 1 ) и заканчивается на B = (x 2 ,
у 2 ) равно:
Если координаты вектора то имеем следующее правило:
Пример 2
Найдите вектор что параллельно и который имеет длину 2 единицы (видеть диаграмму).
Два треугольника на диаграмме подобны, поэтому соответствующие
стороны находятся в одинаковом соотношении.
||
= т∙||. Число t есть отношение между соответствующими сторонами. Отношение такое.
Мы можем найти координаты как
следует:
Если векторы и являются параллельно, то существует число t такое, что:
= т∙ |
Пример 3
Какие из следующих векторов параллельны и .
Если векторы и являются параллельно, то существует число t такое, что = т∙. Если векторы и являются параллельно существует число r такое, что «=» р∙.
Мы можно найти числа t и r, используя координаты x, а затем проверить, чтобы увидеть найдены ли те же значения, когда мы используем координаты y.
= т∙
3 = t∙13 дает t = 3/13 = 2/9
4 = t∙18 также дает t = 4/18 = 2/9
векторы и есть параллель .
= р∙
3 = r∙6 дает r =
4 = r∙9 дает r = 4/9
векторы и есть не параллельно (Это значит, что и являются тоже не параллельно).
Вектор на диаграмме имеет координаты . вектор начинается в точке (0, 0) и заканчивается в (3, 2), поэтому координаты конечная точка совпадает с координатами самого вектора. Это относится к все векторы, которые начинаются в начале системы координат, то есть в точка (0, 0).
Вектор, который начинается в точке (0, 0), имеет те же координаты, что и его конечная точка. Этот вектор называется вектором положения для A. |
Каждая точка в системе координат может быть представлена своим вектором положения. Координаты точки и вектор ее положения совпадают. Это может быть очень полезно при просмотре переводов в системе координат.
Пример 4
Треугольник, показанный на диаграмме, должен быть переведен вектором .
Мы используем векторы положения вершинных точек (−3, 0),
(2, −2) и (3, 1) и добавляем вектор
каждому из них.
Это дает нам новый вектор положения каждой вершины. Диаграмма ниже показывает перевод.
Пример 5
Теперь мы будем использовать векторы положения, чтобы найти середину отрезка AB, если А = (1, 2) и В = (4, 3).
Как обычно, точка O является началом системы координат. Если M середина AB тогда:
«=» + ∙
Вектор является вектор положения точки M и, следовательно, имеет те же координаты, что и точку М, которую мы хотим вычислить. Вектор – это вектор положения A. Чтобы достичь середины M, нам нужно добавить половину вектор . Нарисуйте схему, чтобы увидеть это.
Сначала нам нужно найти вектор .
Теперь мы можем найти .
«=» + ∙
Координаты M такие же, как у вектора положения или (2, 2) .
Легко найти формулу, по которой можно найти координаты точки. середина отрезка АВ.
Из диаграммы видно, что в середину М можно попасть из двух направлениях, от O через A до M и от O через B до M. Таким образом, мы можем написать два векторных уравнения для . «=» + ∙ «=» — ∙ Складывая эти два уравнения вместе, мы получаем |
2 = + ∙ + — ∙
Мы видим, что вектор положения середины отрезка представляет собой своего рода
среднее значение векторов положения конечных точек. Поэтому мы можем найти
координаты средней точки, найдя среднее значение координат x и y
координаты соответственно.
Это приводит нас к правилу, которое мы называем правилом средней точки.
Середина M отрезка AB задается правилом: При использовании координат правило: |
Пример 6
Вершинами треугольника ABC являются A = (1, 2), B = (4, 3) и C = (3, 0).
Найдите длину прямой, проведенной от А до середины стороны ВС (медиану стороны ВС). треугольник АВС).
Мы начнем с нахождения середины BC, используя приведенное выше правило.
Назовем середину M и найдем ее вектор положения (видеть схему).
= ∙ + ∙ |
Следовательно, M, середина ВС, имеет координаты
М = (3, 1).
Далее находим координаты вектора .
Наконец, мы можем найти длину вектора как необходимый.
≈ 2,55
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, называемой центр треугольника (обозначен Т на диаграмме). Если мы знаем координаты вершин треугольника можно найти координаты T по простой формуле. Эта формула находится аналогично Правило средней точки. Мы можем достичь T через все три вершины треугольника, тогда мы добавляем три векторных выражения вместе. |
В уроке 2 о треугольниках мы видели, что все медианы пересекаются в одной точке. точки, делящие друг друга в соотношении 2:1 или 2/1. Отсюда мы знаем, что длина вектора в два раза больше, чем и поэтому
«=» ∙ и «=» −∙. Используя это, мы можем написать три уравнения:
= + ∙
= + ∙ — ∙
= — ∙ — ∙
Когда мы сложим их вместе, выходит и мы получаем:
3= + +
Чтобы найти координаты T, мы берем среднее значение x и y координаты вершин соответственно. |
Таким образом, мы находим точку пересечения T медиан треугольника путем нахождения своего рода среднего векторов положения вершины. Таким образом, это правило является расширением правила средней точки.
Пример 7
Найдите точку пересечения Т медиан треугольника АВС ( центр ) при условии, что A = (1, 2), B = (4, 3) и C = (3, 0) (см. схему). |
Центр Т = (2, 1) .
Попробуйте Викторина
3
на Векторы.
Не забывайте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.
Точечный продукт
Вектор имеет величины (длина) и направления :
Вот два вектора:
Они могут быть умножены на с использованием » Скалярного произведения » (см. также Перекрестное произведение).
Расчет
Скалярный продукт записывается с использованием центральной точки:
a · b
Это означает скалярное произведение a и б
Мы можем вычислить скалярное произведение двух векторов следующим образом:
а · б = | и | × | б | × cos(θ)
Где:
| и | величина (длина) вектора a
| б | модуль (длина) вектора b
θ угол между a и b
Итак, мы умножаем длину на a умножить на длину b , затем умножить на косинус угла между a и b
ИЛИ мы можем рассчитать это так:
a · b = a x x b x + a y x b y
Итак, мы умножаем x, умножаем y, а затем складываем.
Оба метода работают!
И результат номер (называемый «скаляром», чтобы показать, что это не вектор).
Пример: вычислить скалярное произведение векторов
a и b :a · b = | и | × | б | × cos(θ)
a · b = 10 × 13 × cos(59,5°)
a · b = 10 × 13 × 0,5075…
a · b 9035 3 = 65,98… = 66 (округлено)
ИЛИ мы можем вычислить это так:
a · b = a x × b x + a y × b y
a · b = -6 × 5 + 8 × 12
90 352 а · б = -30 + 96
a · b = 66
Оба метода дали одинаковый результат (после округления)
Также обратите внимание, что мы использовали минус 6 для x (оно движется в отрицательном направлении x)
Примечание: вы можете использовать векторный калькулятор чтобы помочь вам.
Почему cos(θ) ?
Хорошо, чтобы умножить два вектора, имеет смысл перемножить их длины вместе , но только тогда, когда они указывают в одном направлении .
Итак, мы делаем одну «точку в том же направлении», что и другая, умножая на cos(θ):
Возьмем компонент a , лежащий рядом с b | Как пролить свет, чтобы увидеть где лежит тень |
ТОГДА умножаем!
Это работает точно так же, если мы «проецируем» b рядом с a , а затем умножаем: Потому что не имеет значения, в каком порядке мы делаем умножение: | и | × | б | × потому что (θ) = | и | × соз (θ) × | б | |
Прямоугольные
Когда два вектора расположены под прямым углом друг к другу, скалярное произведение равно нулю .
Пример: рассчитать скалярный продукт для:
a · b = | и | × | б | × cos(θ)
а · б = | и | × | б | × cos(90°)
а · б = | и | × | б | × 0
a · b = 0
или можно вычислить так:
a · b = a x x b x + a y x b y
a · b = -12 x 1 2 + 16 × 9
а · б = -144 + 144
а · б = 0
Это может быть удобным способом узнать, находятся ли два вектора под прямым углом.
Три или более размеров
Все это прекрасно работает и в 3-х (или более) измерениях.
И действительно может быть очень полезным!
Пример: Сэм измерил концы двух полюсов и хочет узнать
угол между ними :У нас есть 3 измерения, поэтому не забудьте z-компоненты:
a · b = a x x b x + a 90 042 г × б y + a z × b z
a · b = 9 × 4 + 2 × 8 + 7 × 10
a · b = 3 6 + 16 + 70
а · b = 122
Теперь другая формула:
a · b = | и | × | б | × cos(θ)
Но что такое | и | ? Это величина или длина вектора a . Мы можем использовать Pythagoras:
- | и | = √(4 2 + 8 2 + 10 2 )
- | и | = √(16 + 64 + 100)
- | и | = √180
Аналогично для | б |:
- | б | = √(9 2 + 2 2 + 7 2 )
- | б | = √(81 + 4 + 49)
- | б | = √134
И мы знаем из вычислений выше, что a · b = 122, поэтому:
a · b = | и | × | б | × cos(θ)
122 = √180 × √134 × cos(θ)
cos(θ) = 122 / (√180 × √134)
cos(θ) = 0,7855.
Leave A Comment