График функции производной: Графики функции, производной, первообразной — Умскул Учебник

Графики функции, производной, первообразной — Умскул Учебник

На этой странице вы узнаете

• Где проходит граница между теплом и холодом? 
• Почему успех фильма не всегда зависит от наличия экшн-сцен?
• Чем кофе похож на функцию, ее первообразную и производную?  

Многие из нас чем-то похожи на родителей. Не являясь их точной копией, мы перенимаем определенные черты. То же самое происходит и с графиками. О том, какие особенности “наследуют” друг у друга графики функции, производной и первообразной, поговорим в статье. 

Связь графика функции и производной

Подготовим карандаши и линейки, мы начинаем погружение в мир графиков. Почему графики — это круто? Они дают нам наглядное представление о функции. Мы можем проанализировать ее, не прибегая к сложным формулам и трудоемким вычислениям. 

Воспринимать визуальную информацию всегда легче. А графики — это как раз визуальное описание функции.  

Возьмем график произвольной функции. 

Прежде чем приступать к дальнейшему изучению материала, рекомендуем ознакомиться с «Определением и графиком функции», а также «Производной».

Мы точно видим, на каких промежутках график будет возрастать, а на каких убывать. Если представить, что мы пойдем по направлению оси х, то график будет возрастать на подъемах в горку и убывать на спусках с нее. Отметим промежутки возрастания зеленым фоном, а промежутки убывания красным. 

В зеленых промежутках производная будет положительна, а в красных отрицательна. Пока что просто запомним этот факт. 

Обратим внимание на границы между зелеными и красными зонами. В этих точках функция будет менять свой знак с положительного на отрицательный или обратно. Такие точки называются точками экстремума. 

Экстремум — это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на заданном отрезке. 

Точки экстремума — точки, в которых достигается экстремум.  

В точках экстремума производная равна 0.

Теперь попробуем построить примерный график производной. Для начала опустим точки экстремума. Где они будут лежать на графике производной? На оси х. 

Вспомним, что в точках экстремума производная функции будет равна 0. Пусть график будет задан 

y = f'(x), тогда в точках экстремума получаем y = 0. Это и есть ось х. 

Так мы получили целых 9 точек, через которые пройдет производная. Осталось провести через них примерный график. 

Вспомним, что:

• производная положительна на промежутках возрастания функции;
• производная отрицательна на промежутках убывания функции. 

Как понять, что все точки на графике производной будут положительны или отрицательны? Достаточно посмотреть на то, с какой стороны от оси х они располагаются. 

Положительные значения всегда будут лежать выше оси х. Это связано со значением y: значения функции будут положительны при положительных значениях у, и отрицательны при отрицательных значениях у.  

Где проходит граница между теплом и холодом?  Можно представить, что ось х — это полюс, который разделяет тропики и льды. Над осью х всегда будет светить солнце, а температура будет положительной. А вот под осью х всегда будут льды и снега, и температура — отрицательной.  Следовательно, знак производной на ее графике будет совпадать со знаком температуры в тропиках или льдах.

Итак, как нам нарисовать график производной? На зеленых участках ее график будет лежать над осью х, а на красных участках — под ней. 

Подведем итоги:

• В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
• На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
• На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х.  

Эти зависимости можно отследить на любых графиках функции и ее производной. 

Если провести обратные рассуждения, то по графику производной можно восстановить примерный график функции. В этом случае:

• В точках, где график производной пересекает ось х, будут лежать точки экстремума. При этом если в точке производная меняет значение с положительного на отрицательное, то это точка максимума, а если с отрицательного на положительное, то это точка минимума. 
• На промежутках, где график производной будет лежать выше оси х, функция будет возрастать. 
• На промежутках, где график производной будет лежать ниже оси х, функция будет убывать. 

Разберем несколько примеров, где можно применить эти знания. 

Пример 1. На рисунке изображен график функции f(x) и отмечены пять точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение. Производная отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим такие промежутки. 

В точках, которые попали в эти промежутки, производная отрицательная. Всего таких точек 2.

Ответ: 2

Пример 2. На рисунке изображен график функции y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-5; 3). Найдите точку максимума функции f(x).

Решение. Точки экстремума на графике производной лежат на оси х. На данном графике таких точки две: x = -2, x = 2. 

Точка максимума — это точка, в которой производная меняет знак с положительного на отрицательный. По графику определяем, что это точка x = -2.

Ответ: -2

Почему успех фильма не всегда зависит от наличия экшн-сцен? Представим, что мы составили графики “Заинтересованность зрителей фильмом” и “Наличие в фильме экшн-сцен”. Совпадут ли эти графики? Скорее всего, нет.  Экшн-сцены могут вызывать интерес у зрителей, равно как и романтические сцены или смешные повороты сюжета. Получается, что наличие экшн-сцен и заинтересованность фильмом — это разные величины в кинематографе, хотя и связаны между собой.  Также и графики производной и функции: они зависят друг от друга, но иллюстрируют совсем разные свойства функции, поэтому сильно отличаются.

Связь графика функции и первообразной

Мы разобрались, как связаны графики функции и ее производной. Есть ли связь между графиком функции и «Первообразной»?

Вспомним один важный факт: если взять производную от первообразной, то получим функцию. 

F'(x) = f(x)

Похоже на функцию и ее производную, верно? На самом деле, ситуации ничем не отличаются. 

В этом случае изначальной функцией будет первообразная, а ее производной — функция. Для наглядности составим таблицу. 

	Было	Взяли производную	Стало
Функция и производная	f(x)	f'(x)	f'(x)
Функция и первообразная	F(x)	F'(x)	f(x)

Получается, для функции и первообразной будут действовать почти те же правила, что и для функции и ее производной.  

При решении заданий с графиками первообразной достаточно проанализировать уравнение F'(x) = f(x). Рассмотрим несколько примеров. 

Пример 3. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x) и отмечены шесть точек на оси абсцисс x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна? 

Решение. Поскольку F'(x) = f(x), то функция f(x) будет отрицательна в тех же точках, в которых будет отрицательна F'(x). 

Поскольку на графике изображена функция y = F(x), то ее производная будет отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим их красным. 

В эти промежутки попадают 3 из 6 точек.  

Ответ: 3. 

Пример 4. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определенной на интервале (-6; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-5; 4].  

Решение. Вспомним, что F'(x) = f(x). Тогда если f(x) = 0, то и F'(x) = 0. Следовательно, на заданном промежутке нужно найти точки экстремума. 

Отметим заданный промежуток красными линиями. На промежутке всего 9 точек экстремума, значит, в 9 точках f(x) будет равна 0. 

Ответ: 9

Чем кофе похож на функцию, ее первообразную и производную?  Представим, что в качестве функции у нас выступают кофейные зерна. Тогда производная — то, что мы получаем в результате их переработки — это вкусный напиток.  Из чего получаются сами кофейные зерна? Их собирают с кофейного дерева. То есть зерна будут производной от кофейного дерева, а кофейное дерево — это первообразная.  Так мы можем отследить следующую цепочку: кофейное дерево → кофейные зерна → кофе. И эта цепочка наглядно иллюстрирует связь первообразной, функции и ее производной.

Фактчек

• Графики функции, производной и первообразной связаны между собой.  
• В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
• На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
• На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х. 
• Для решения задач с первообразной необходимо вспомнить, что F'(x) = f(x). Любой график можно проанализировать с помощью этого уравнения также, как анализируются графики функции и ее производной. 

Проверь себя

Задание 1. 
На каких промежутках будет производная функции будет положительна?

1. На промежутках убывания функции.
2. На промежутках возрастания функции.
3. В точках экстремума.
4. Невозможно определить по графику. 

Задание 2. 
На каких промежутках производная функции будет отрицательна?

1. На промежутках возрастания функции.
2. На промежутках убывания функции.
3. В точках экстремума.
4. Невозможно определить по графику. 

Задание 3. 
На рисунке изображен график производной функции f(x), на котором отмечена точка. Чем будет являться эта точка для функции f(x)? 

1. Точка максимума функции.
2. Точка минимума функции.
3. Любая произвольная точка на функции.
4. Невозможно определить по графику. 

Задание 4. 
Выберите верный вариант:

1. F(x) = f'(x)
2. F(x) = f(x)
3. F'(x) = f'(x)
4. F'(x) = f(x)

Ответы: 1. — 2 2. — 2 3. — 1 4. — 4

Построение графика функции с помощью производной, сопутствующие задачи 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей |

Введение

 

Методика исследования функции, построение ее графика, включает в себя 2 этапа:

 

1. исследование без производной;

2. исследование с помощью производной.

 

Построение графика и исследование функции  без производной

 

 

При исследовании функции  без производной нахождение интервалов знакопостоянства и определение знаков функции на них выполнить очень затруднительно. Однако некоторые свойства данной функции можно узнать:

 

1. Область определения функции – это множество всех действительных чисел.

 

2. Если x стремится к , то и данная функция стремится к . Следовательно, множество значений функции – это вся числовая ось.

             

3. График этой функции симметричен относительно точки .

Пояснение

Рассмотрим функцию

Эта функция позволяет найти интервалы знакопостоянства и построить эскиз графика (см. Рис. 1).

Эта функция нечетная:

График нечетной функции симметричен относительно точки с координатами .

Рис. 1. График функции

При прибавлении 4 к функции  график сдвинется на 4 единицы вверх по оси  (см. Рис. 2): корни  и  пропадают, а корень  сдвигается влево. Следовательно, график функции  будет симметричен относительно точки .

Рис. 2. Схематичное изображение графиков функции  и

Нам удалось установить, что функция  имеет как минимум один корень, который меньше чем .

 

 

Построение графика и исследование функции  с помощью производной

 

 

 

 

Приравниваем производную к 0 и находим критические точки:

 

 – критические точки

Выделим интервалы знакопостоянства производной, которые определяют интервалы монотонности самой функции (см. Рис. 3).

До точки  функция возрастала (производная была положительна), после этой точки функция убывает (производная отрицательная), следовательно,  – это точка максимума.

До точки  функция убывала, после этой точки функция возрастает, следовательно,  – это точка минимума.

Рис. 3. График производной функции

Найдем значения функции в точках минимума и максимума:

 

 

Можно сделать вывод, что функция возрастает от  до 6 и от 2 до ; функция убывает от 6 до 2.

На рисунке 4 показан график функции . Этот график читается следующим образом:

Если аргумент возрастает от  до , то функция возрастает от  до 6; если аргумент от  до 1, то функция убывает от 6 до 2; если аргумент возрастает от 1 до , то функция возрастает от 2 до .

Рис. 4. График функции

Результаты исследования функции

1.  при  и при

2.  при

3.  – т. max

 

 – т. min

 

3. . Наибольшего и наименьшего значения функции не существует.

 

Задача

 

 

Найти число корней уравнения  в зависимости от параметра .

 

Решение

1. Перенесем  в правую часть уравнения:

 

2. Построим график функции  (см. Рис. 5) (как построить график этой функции см. выше).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

3. Рассечем этот график семейством прямых , при разных . Найдем точки пересечения этих прямых с графиком функции  (см. Рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Уравнение  имеет один корень при каждом  из множества , а также из множества .

Уравнение  имеет два корня при  и при .

Уравнение имеет три корня при всех  из множества .

Ответ: 1 корень:  

2 корня: ; ;

3 корня: .

 

Частные случаи для задачи

 

 

1. Найти все значения параметра , при каждом из которых данное уравнение имеет ровно два различных корня.

 

Ответ: уравнение  имеет два корня при  и при .

2. Найти наибольшее натуральное значение параметра a, при котором уравнение имеет три различных корня.

Решение

Уравнение имеет три корня при всех  из множества . В это множество входят такие натуральные числа: 3, 4, 5. Наибольшее из них – это 5.

Ответ: .

---

Общий план построения графика и исследования функции  

Общий план состоит из двух этапов:

1. Этап А: исследование без производной.

2. Этап Б: исследование с производной.

Этап А

1. Найти область определения функции .

2. Выделить интервалы знакопостоянства функции и определить знаки функции на них (для этого нужно приблизительно оценить расположение корней или точно найти их).

3. Найти точку пересечения графика с осью , для этого приравнять  и вычислить .

4. Выяснить специфику функции:

— четность, нечетность, периодичность;

— наличие центра или оси симметрии.

5. Построить эскиз графика в окрестностях каждого корня (в окрестностях корня функция может возрастать, убывать, иметь точку максимума или минимума (см. Рис. 7)).

Рис. 7. Эскиз графиков в окрестностях корня

6. Построить эскиз графика функции в окрестностях точек разрыва области определения . Точки разрыва – это, как правило, корни знаменателя. Они могут определять вертикальные асимптоты.

7. Построить график функции в окрестностях бесконечно удаленных точек: .

Этап Б

1. Найти производную функции .

2. Найти интервалы знакопостоянства производной и определить знаки производной на них. Эти интервалы определяют интервалы монотонности самой функции.

3. Найти критические точки, исследовать их на экстремум.

4. Построить и описать график функции .

Предложенная схема работает особенно хорошо для функций вида: , где  и  – многочлены.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г., Семенов П. В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.

4. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова М.В., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «ЯКласс» (Источник)

2. Интернет-сайт «Вся элементарная математика» (Источник)

3. Интернет-сайт YouTube (Источник)

 

Домашнее задание

1. Задание 45.13, 45.15(а), 45.3 (б) (стр. 265) – Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник (Источник)

2. Исследуйте функцию и постройте ее график .

 

Как построить график производной функции – mathsathome.com

Видеоурок: Рисование графика производной функции

Что такое график производной функции?

Производная — это значение градиента исходной функции. Координаты y в каждой точке производной функции показывают значение градиента в соответствующей точке исходной функции.

Например, синяя стрелка показывает, где градиент исходной функции отрицательный. Здесь график идет сверху вниз слева направо.

Следовательно, здесь функция производной отрицательна, а функция производной показана под осью.

Красная стрелка показывает, где градиент положительный. Здесь график идет вверх слева направо.

Следовательно, производная функция здесь положительна, а производная функция показана над осью.

Фиолетовая точка указывает точку поворота исходной функции. Здесь градиент графика меняется с отрицательного на положительный. В этой точке градиент равен нулю.

Таким образом, соответствующая фиолетовая точка на производной функции находится на оси X, поскольку это показывает, что градиент равен нулю.

Краткий обзор первой производной

Первая производная – это градиент.

• Если градиент положительный и находится выше оси x
• Если градиент отрицательный и ниже оси x
• Если градиент равен нулю и находится на оси x

Как нарисовать производную функции

Чтобы нарисовать график производной функции:

1. Отметьте нулями точки поворота или стационарные точки перегиба.
2. Нарисуйте график производной над осью X, где функция возрастает.
3. Нарисуйте график производной под осью X, где функция убывает.
4. Нарисуйте точки поворота в местах любых точек перегиба.

Например, нарисуйте производную графика, показанного ниже.

Шаг 1. Отметьте нулями точки поворота или стационарные точки перегиба

Точки поворота — это места, где график разворачивается. На приведенном ниже графике есть две поворотные точки.

Мы отмечаем нули в тех же местах на нашем графике производной.

Нули — это точки на оси x.

Причина этого в том, что градиент графика равен нулю в точках поворота или стационарных точках перегиба. Поэтому значение производной равно нулю в этих точках. Поэтому график производной имеет нули в этих местах.

Шаг 2. Нарисуйте график производной над осью X, где функция возрастает

Функция возрастает, если она растет слева направо. Это место, где график имеет положительный градиент.

На приведенном графике функция возрастает слева от первой точки поворота.

Также увеличивается справа от второго поворотного пункта.

Таким образом, график производной будет располагаться над осью x слева от первого нуля и справа от второго нуля, как показано ниже.

Это связано с тем, что график производной описывает градиент исходной функции.

Когда функция возрастает, она имеет положительный градиент.

Если градиент функции положительный, то производная положительна. Следовательно, в этих областях производная находится выше оси абсцисс.

Шаг 3. Нарисуйте график производной под осью X, где функция убывает

Функция убывает, когда она идет вниз слева направо. Это место, где график имеет отрицательный градиент.

График уменьшается между двумя поворотными точками. Следовательно, график производной находится ниже оси x между двумя ее нулями.

Это связано с тем, что градиент между этими двумя точками отрицателен. Если градиент отрицательный, он должен быть ниже оси x.

Шаг 4. Нарисуйте точки перегиба в местах расположения любых точек перегиба

На исходном графике есть одна точка перегиба, как показано розовой точкой ниже. Это соответствует положению точки поворота на графике производной.

График производной теперь можно построить, соединив изогнутой линией показанные области в рамках, проходящей через нули и точку поворота.

Мы не знаем, насколько высока точка поворота, поэтому в эскизе сделано разумное предположение.

Исходная функция является кубической функцией с двумя точками поворота.

График производной представляет собой квадратичную функцию с одной точкой поворота.

Рисование производной по графику: примеры

Следующие функции имеют производные следующего вида:

8 91111 0115 Горизонтальная линия 006 График производной содержит столько же точек поворота, сколько точек перегиба на исходной функция.

В типичных полиномиальных функциях производная часто будет содержать на одну поворотную точку меньше, чем исходная функция.

Знание формы графика, который мы ожидаем, может быть полезно при создании эскиза производной функции.

Эскиз производной линейной функции

График производной линейной функции представляет собой просто горизонтальную линию на высоте, равной градиенту линейной функции. Если линейная функция имеет положительный градиент, график ее производной находится выше оси x. Если линейная функция имеет отрицательный градиент, график ее производной располагается ниже оси x.

Эскиз производной квадратичной функции

График производной квадратичной функции представляет собой прямую линию, пересекающую ось x в той же точке, что и точка поворота квадратичной функции. Если квадратичная функция вогнута, ее производная является линейной функцией с положительным градиентом. Если квадратичная функция вогнута вниз, ее производная является линейной функцией с отрицательным градиентом.

Слева на изображении показан вогнутый квадрат. Это форма параболы.

Мы видим, что градиент отрицателен слева от точки минимума и положителен справа от точки минимума. Следовательно, функция производной отрицательна слева (ниже оси x), а затем положительна справа (над осью x). Точка минимума находится в том же месте, где функция производной пересекает ось x.

Справа на изображении показан вогнутый квадратик вниз. Это форма перевернутой параболы.

Мы видим, что градиент слева от точки максимума положительный, а справа от точки максимума отрицательный. Следовательно, производная функция положительна слева (над осью x), а затем отрицательна справа (под осью x). Точка максимума совпадает с пересечением производной функции с осью x.

Эскиз производной кубической функции

Производная кубической функции является квадратичной функцией. График производной представляет собой параболу с точкой поворота в месте точки перегиба куба. Нули параболы находятся в точке поворота кубической.

Кубические графы могут либо иметь сначала точку максимума, а затем точку минимума, либо сначала иметь точку минимума, а затем точку максимума.

Производные графики обоих типов кубических графов показаны ниже.

Точки пересечения оси X (нули) графиков производных находятся в том же месте, что и поворотные точки кубических графиков. Это показано фиолетовыми точками на изображении ниже.

В первом случае кубический график начинается как возрастающая функция, затем она уменьшается между точками максимума и минимума и, наконец, снова возрастает.

Следовательно, график ее производной начинается с положительного значения, затем становится отрицательным между нулями, после чего снова становится положительным. График производной представляет собой вогнутую вверх параболу с точкой минимума, совпадающей с положением точки перегиба исходной кубической функции.

Во втором случае кубический график начинается как убывающая функция, затем увеличивается между точками минимума и максимума, прежде чем, наконец, снова уменьшается.

График его производной начинается с отрицательного значения, становится положительным между двумя нулями, прежде чем снова становится отрицательным. Это вогнутая вниз парабола с точкой максимума, совпадающей с положением точки перегиба исходной кубической функции.

Эскиз производной экспоненциальной функции

График производной экспоненциальной функции — это еще одна экспоненциальная функция. График производной e ^x такой же, как график e ^x . Графики производных других экспоненциальных функций такие же, как у исходной функции, но растянуты в вертикальном направлении.

На изображении ниже показан график производной для функций вида .

Для функции график производной идентичен .

Это потому, что содержит свойство . Производная идентична исходной функции.

Для функций формы производная определяется как .

Следовательно, исходная функция растягивается по вертикали на значение ‘a’ .

Поэтому для значений ‘a’ больше 1 производная функция растягивается по вертикали и отображается над исходной функцией.

Для значений ‘a’ меньше 1 производная функция «сплющивается» по вертикали и отображается под исходной функцией.

Как начертить вторую производную

График второй производной имеет нули везде, где есть точка перегиба исходной функции. Вторая производная положительна, если исходная функция вогнута вверх, и отрицательна, если исходная функция вогнута вниз.

Вторая производная является мерой кривизны. Кривизна исходного графика определяет значения графика второй производной.

Если кривизна вогнута, .

Если кривизна вогнута вниз, .

В точках перегиба .

Чтобы начертить график второй производной от заданного графика, выполните следующие действия:

1. В местах любых точек перегиба отметьте нулями на эскизе второй производной
2. Везде, где кривизна вогнута, вторая производная выше ось x в этой области
3. Везде, где кривизна вогнута вниз, вторая производная находится ниже оси x в области

Вот пример построения графика второй производной при заданном графике исходной функции

Шаг 1. В местах расположения любых точек перегиба отметьте нули на эскизе второй производной

Точки перегиба найдено, где кривизна графика меняет направление.

Две точки перегиба показаны розовыми точками на изображении выше.

Эти две точки перегиба соответствуют двум точкам пересечения оси X (нулям) на графике второй производной.

Шаг 2. Везде, где кривизна выпуклая, вторая производная выше оси x в этой области

Области, где исходный график выпуклый, показаны внутри красных прямоугольников на изображении выше. То есть слева от первой точки перегиба и справа от второй точки перегиба.

График второй производной положителен в этих областях.

Следовательно, вторая производная находится выше оси x слева от первой точки перегиба и ниже оси x справа от второй точки перегиба.

Шаг 3. Везде, где кривизна вогнута вниз, вторая производная находится ниже оси x в области

Области, где исходный график вогнут вниз, показаны внутри синих прямоугольников на изображении выше. То есть между двумя точками перегиба.

График второй производной в этой области отрицательный. Здесь она находится ниже оси X.

AC Производная функция

Мотивирующие вопросы

• Каким образом предельное определение производной функции \(f\) приводит к совершенно новой (но родственной) функции \(f’\text{?}\)

• В чем разница между написанием \(f'(a)\) и \(f'(x)\text{?}\)

• Как график производной функции \(f'(x)\) связан с графиком \(f(x)\text{?}\)

• Приведите примеры функций \(f\), для которых \(f’\) не определена в одной или нескольких точках?

Теперь мы знаем, что мгновенная скорость изменения функции \(f(x)\) в точке \(x = a\text{,}\) или, что то же самое, наклон касательной к графику \(y = f(x)\) at \(x = a\text{,}\) задается значением \(f'(a)\text{.}\) Во всех наших примерах до сих пор мы идентифицировали конкретное значение \(a\) в качестве нашего интереса: \(a = 1\text{,}\) \(a = 3\text{,}\) и т. д. Но нетрудно представить, что мы часто будет интересоваться значением производной для более чем одного \(a\)-значения и, возможно, для многих из них. В этом разделе мы исследуем, как мы можем перейти от вычисления производной в одной точке к вычислению формулы для \(f'(a)\) в любой точке \(a\text{.}\). Действительно, процесс «взятие производной» порождает новую функцию, обозначаемую \(f'(x)\text{,}\), производную от исходной функции \(f(x)\text{.}\) 92\текст{.}\)

1. Используйте определение предела для вычисления производных значений: \(f'(0)\text{,}\) \(f'(1)\text{,}\) \(f'(2)\text {,}\) и \(f'(3)\text{.}\)

2. Обратите внимание, что работа по нахождению \(f'(a)\) одинакова, независимо от значения \(a\text{.}\) Основываясь на вашей работе в (a), что вы предполагаете значение \(f'(4)\text{?}\) Как насчет \(f'(5)\text{?}\) (Примечание: вы должны , а не использовать предельное определение производной, чтобы найти любое значение.) 92\text{,}\) возможно, вы нашли несколько шаблонов.

   Один исходит из наблюдения, что \(f'(0) = 4\text{,}\) \(f'(1) = 2\text{,}\) \(f'(2) = 0\text{, }\) и \(f'(3) = -2\text{.}\). Эта последовательность значений естественным образом приводит нас к предположению, что \(f'(4) = -4\) и \(f'(5 ) = -6\text{.}\) Мы также замечаем, что конкретное значение \(a\) очень мало влияет на процесс вычисления значения производной через определение предела. Чтобы увидеть это более ясно, мы вычисляем \(f'(a)\text{,}\), где \(a\) представляет собой число, которое будет названо позже. Следуя теперь уже стандартному процессу использования предельного определения производной, 92}{ч}\\ =\mathstrut \amp \lim_{h \to 0} \frac{h(4 — 2a — h)}{h} = \lim_{h \to 0} (4 — 2a — h)\text{.} \конец{выравнивание*}

   Здесь мы видим, что ни \(4\), ни \(2a\) не зависят от значения \(h\text{,}\), так что \(h \to 0\text{,}\) \(( 4 — 2a — h) \to (4 — 2a)\text{.}\) Таким образом, \(f'(a) = 4 — 2a\text{.}\)

   Этот результат согласуется с конкретными значениями, которые мы нашли выше: например, \(f'(3) = 4 — 2(3) = -2\text{. 2\text{,}\) следует, что \(f'(x) = 4 — 2x\text{.}\) 92\) вместе с набором касательных в точках, которые мы рассмотрели выше. Справа мы показываем график \(f'(x) = 4 — 2x\) с акцентом на высотах графика производной при том же выборе точек. Обратите внимание на связь между цветами на левом и правом графиках: зеленая касательная на исходном графике связана с зеленой точкой на правом графике следующим образом:

   наклон касательной в точке на левом графике такой же, как высота в соответствующей точке на правом графике. То есть при каждом соответствующем значении \(x\text{,}\) наклон касательной к исходной функции равен высоте производной функции. Обратите внимание, однако, что единицы измерения на вертикальных осях разные: на левом графике вертикальные единицы — это просто выходные единицы \(f\text{.}\). На правом графике \(y = f’ (x)\text{,}\) единицы измерения по вертикальной оси представляют собой единицы \(f\) на единицу \(x\text{.}\)

   Отличный способ изучить, как график \(f(x)\) порождает график \(f'(x)\), — это использовать апплет. См., например, апплеты по адресу gvsu.edu/s/5C или gvsu.edu/s/5D на сайтах Дэвида Остина ¹ и Марка Рено ² .

   В разделе 1.3, когда мы впервые определили производную, мы записали определение в терминах значения \(a\), чтобы найти \(f'(a)\text{.}\) Как мы видели выше, буква \ (a\) — это просто заполнитель, и часто имеет смысл использовать вместо него \(x\). Для справки, здесь мы повторяем определение производной.

   Определение 1.4.2.

   Пусть \(f\) — функция, а \(x\) — значение в области определения функции. Мы определяем производную \(f\) , новую функцию, называемую \(f’\text{,}\) по формуле \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ f(x+h)-f(x)}{h}\text{,}\) при условии, что этот предел существует.

   Теперь у нас есть два разных взгляда на производную функцию:

   1. задан график \(y = f(x)\text{,}\) как этот график приводит к графику производной функции \(y = f'(x)\text{?}\) и

   2. учитывая формулу для \(y = f(x)\text{,}\) как предельное определение производной порождает формулу для \(y = f'(x)\text{?}\)

   Оба этих вопроса исследуются в ходе следующих занятий.

   Мероприятие 1.4.2.

   Для каждого заданного графика \(y = f(x)\text{,}\) начертите приблизительный график его производной функции \(y = f'(x)\text{,}\) на осях непосредственно ниже. Масштаб сетки для графика \(f\) равен \(1 \times 1\text{;}\) предположим, что горизонтальный масштаб сетки для графика \(f’\) идентичен масштабу для \(f\text{.}\) При необходимости отрегулируйте и обозначьте вертикальный масштаб на осях для \(f’\text{.}\)

   Когда вы закончите со всеми 8 графиками, напишите несколько предложений, описывающих общий процесс построения графика производной функции, учитывая, что график исходной функции. Какие значения производной функции вы обычно идентифицируете в первую очередь? Что вы делаете после этого? Как ключевые черты графика производной функции иллюстрируют свойства графика исходной функции?

   Для динамического исследования, которое позволяет вам экспериментировать с графическим отображением \(f’\) при заданном графике \(f\text{,}\), см. это приложение Марка Рено 92\) и использовал предельное определение производной, чтобы показать, что \(f'(a) = 4 — 2a\text{,}\) или, что то же самое, что \(f'(x) = 4 — 2x\text{. }\) Впоследствии мы построили графики функций \(f\) и \(f’\), как показано на рисунке 1.4.1. Следуя Упражнению 1.4.2, мы теперь понимаем, что могли бы построить довольно точный график \(f'(x)\) без знания формулы для \(f\) или \(f’\text{. }\) В то же время полезно знать формулу производной функции всякий раз, когда ее можно найти.

   В следующем упражнении мы дополнительно исследуем более алгебраический подход к нахождению \(f'(x)\text{:}\) по формуле для \(y = f(x)\text{,}\) предела определение производной будет использовано для разработки формулы для \(f'(x)\text{.}\)

   Мероприятие 1.4.3.

   Для каждой из перечисленных функций определите формулу производной функции. Для первых двух определите формулу производной, размышляя о характере данной функции и ее наклоне в различных точках; не используйте определение предела. Для последних четырех используйте определение предела. Обратите особое внимание на имена функций и независимых переменных. Важно уметь использовать буквы, отличные от \(f\) и \(x\text{.}\). Например, для данной функции \(p(z)\text{,}\) мы называем ее производной \(p'(z)\text{.}\) 93\)

3. \(\displaystyle F(t) = \frac{1}{t}\)

4. \(\displaystyle G(y) = \sqrt{y}\)

Подраздел 1.4.2 Резюме

• Предельное определение производной, \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\text{,}\ ) дает значение для каждого \(x\), при котором определяется производная, и это приводит к новой функции \(y = f'(x)\text{.}\). Особенно важно отметить, что взятие производная — это процесс, который начинается с заданной функции (\(f\)) и производит новую связанную функцию (\(f’\)).

• По существу нет разницы между записью \(f'(a)\) (как мы регулярно делали в разделе 1.3) и записью \(f'(x)\text{.}\). В любом случае переменная просто заполнитель, который используется для определения правила для производной функции.

• Имея график функции \(y = f(x)\text{,}\), мы можем начертить приближенный график ее производной \(y = f'(x)\), заметив, что высота на график производной соответствует уклонам на графике исходной функции.

• В упражнении 1.4.2 мы столкнулись с некоторыми функциями, у которых на графиках были острые углы, например, функция сдвинутого абсолютного значения. В таких точках производная не существует, и мы говорим, что \(f\) там не дифференцируема. Пока достаточно понимать это как следствие скачка, который должен произойти в производной функции на остром углу графика исходной функции.

Упражнения 1.4.3 Упражнения

1. Производная функция графически.

Рассмотрим функцию \(f(x)\), показанную на графике ниже.

(Обратите внимание, что вы можете нажать на график, чтобы получить его увеличенную версию, и что может быть полезно распечатать эту увеличенную версию, чтобы иметь возможность работать с ней вручную. )

Тщательно нарисуйте производную функцию данной функции (при этом вы захотите оценить значения производной функции при разных значениях \(x\)). Используйте график производной функции, чтобы оценить следующие значения производной функции. 9{2}-8\) с использованием коэффициентов разности:

\(g'(x) = \lim\limits_{h\to0}\, [(\) \() / h]\)

\(\qquad «=»

(В первом поле ответа укажите числитель разностного отношения, которое вы используете для оценки производной. Во втором поле введите производную, полученную после завершения расчета предела.)

3. Зарисовка производной.

Для функции \(f(x)\), показанной на графике ниже, нарисуйте график производной. Затем вы будете выбирать, какой из следующих графиков является правильным графиком производной, но обязательно сначала нарисуйте производную самостоятельно.

Какой из следующих графиков является производным от \(f(x)\text{?}\)

• 1

• 2

• 3

• 4

• 5

• 6

• 7

• 8

(Нажмите на график, чтобы увеличить его)

Функция	График производной 915
Квадратичная	Линейная
Кубическая	Квадратичная
Квартическая	Кубическая
Экспоненциальная	Экспоненциальная
Логарифмический	Рациональный
Синус	Косинус
Косинус 31715 Синус 3

1.	2.	3.	4.
5.	6.	7.	8.

4. Сравнение значений функции и производной.

График функции \(f\) показан ниже.

При каком из размеченных \(x\)-значений

\(f(x)\) наименьшее? \(х =\)

• x1

• x2

• x3

• x4

• x5

• x6

\(f(x)\) наибольший? \(х =\)

• x1

• x2

• x3

• x4

• x5

• x6

\(f'(x)\) меньше всего? \(х =\)

• x1

• x2

• x3

• x4

• x5

• x6

\(f'(x)\) наибольший? \(х =\)

• x1

• x2

• x3

• x4

• x5

• x6

5.

Предельное определение производной рациональной функции.

Пусть

\begin{equation*} е (х) = \ гидроразрыва {1} {х — 4} \end{уравнение*}

Найти

(i) \(f'(3)\)

(ii) \(f'(5)\)

(iii) \(f'(6)\)

(iv) \ (f'(8)\)

6.

Пусть \(f\) — функция со следующими свойствами: \(f\) дифференцируема при каждом значении \(x\) (то есть \(f\) имеет производную в каждой точке), \( f(-2) = 1\text{,}\) и \(f'(-2) = -2\text{,}\) \(f'(-1) = -1\text{,}\ ) \(f'(0) = 0\text{,}\) \(f'(1) = 1\text{,}\) и \(f'(2) = 2\text{.}\)

1. На осях слева на рисунке 1.4.3 нарисуйте возможный график \(y = f(x)\text{.}\) Объясните, почему ваш график соответствует установленным критериям. 92 — 4x + 12\текст{.}\)

2. Сравните найденные вами формулы для \(g'(x)\) и \(p'(x)\). Как константы 5, 4, 12 и 3 влияют на результаты?

8.

Пусть \(g\) — непрерывная функция (то есть функция без скачков и дыр в графике) и предположим, что график \(y = g'(x)\) задается графиком справа на рисунке 1. 4.4.

Рисунок 1.4.4. Оси для построения \(y = g(x)\) и, справа, графика \(y = g'(x)\text{.}\)

1. Обратите внимание, что для каждого значения \(x\), удовлетворяющего условию \(0 \lt x \lt 2\text{,}\), значение \(g'(x)\) является постоянным. Что это говорит вам о поведении графика \(y = g(x)\) на этом интервале?

2. На каких интервалах, кроме \(0 \lt x \lt 2\), вы ожидаете, что \(y = g(x)\) будет линейной функцией? Почему?

3. При каких значениях \(x\) \(g'(x)\) не определено? Какое поведение вы ожидаете увидеть на графике \(y=g(x)\text{?}\)

4. Предположим, что \(g(0) = 1\text{.}\) На осях, указанных слева на рис. 1.4.4, нарисуйте точный график \(y = g(x)\text{.}\ )

9.

Для каждого графика, представляющего исходную функцию \(y = f(x)\) на рис. 1.4.5, ваша задача состоит в том, чтобы начертить приближенный график ее производной функции, \(y = f'(x)\text{ ,}\) на осях непосредственно ниже. Просмотрите масштаб сетки для графика \(f\) как \(1 \times 1\text{,}\) и предположите, что горизонтальный масштаб сетки для графика \(f’\) идентичен к тому, что для \(f\text{.