Формула проекция перемещения при равноускоренном движении: Равноускоренное движение — формулы, законы и примеры

Равноускоренное движение — формулы, законы и примеры

Основные определения

Ускорение — физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости тела. Иногда его определяют как скорость изменения скорости. Проще говоря, ускорение показывает, на какую величину изменяется скорость за 1 секунду.

Прямолинейное равноускоренное движение — это прямолинейное движение, при котором скорость тела изменяется на одну и ту же величину за равные промежутки времени. Под «изменяется» мы подразумеваем не только ускорение (т. е. увеличение скорости), но и замедление. Торможение также относится к движению с постоянным ускорением.

Несколько примеров равноускоренного движения:

разгон самолета перед взлетом;
торможение лыжника на горном склоне;
свободное падение в результате прыжка с парашютом;
велосипедист, спускающийся с горки;
мальчишки, играющие в догонялки.

Кстати, уже известное нам равномерное прямолинейное движение является частным случаем равноускоренного движения, при котором ускорение равно нулю.

Формула ускорения при равноускоренном движении

где a — ускорение тела [м/с²],
V — мгновенная скорость [м/с],
V₀ — начальная скорость [м/с],

t — время [с].

Во время движения тела ускорение остается постоянным. График зависимости ускорения от времени имеет следующий вид:

При прямолинейном равноускоренном движении скорость тела в момент времени t численно равна площади фигуры под графиком зависимости ускорения от времени.

Если из формулы ускорения выразить мгновенную скорость, т. е. скорость в момент времени t, то мы получим

уравнение скорости при равноускоренном движении:

V(t) = V₀ + at,
где V(t) — скорость в момент времени t [м/с],
V₀ — начальная скорость [м/с],
a — ускорение тела [м/с²],
t — время [с].

Задача 1

Арсений, двигавшийся на электросамокате со скоростью 6 м/с, начал разгоняться на горке. Чeму будeт paвнa его cкopocть чepeз 10 с, ecли уcкopeниe пpи разгоне paвнo 0,5 м/с

Решение.

По условию задачи Арсений ускоряется, следовательно, его скорость увеличивается. Подставим числа в закон изменения скорости при равноускоренном движении:

V(10) = 6 + 0,5 · 10 = 11 м/с.

Ответ: за 10 с Арсений разгонится до скорости 11 м/с.

Важно запомнить, что ускорение — это векторная величина. А взаимное расположение векторов ускорения и начальной скорости определяет характер движения. Рассмотрим анимацию.

Как мы видим, оранжевый автомобиль увеличивает свою скорость, т. е. совершает разгон. В то же время синий автомобиль уменьшает скорость и тормозит. В случае а движение называется равноускоренным. Вектор ускорения сонаправлен с вектором начальной скорости. Следовательно, мгновенная скорость растет с течением времени. В случае б движение называется равнозамедленным. Ускорение и начальная скорость имеют противоположные направления. Следовательно, мгновенная скорость со временем уменьшается.

Зачастую в задачах мы будем работать с проекцией ускорения на координатные оси. Если проекция ускорения на ось положительна, тело увеличивает свою скорость, а если отрицательна — уменьшает.

Полезные подарки для родителей

В колесе фортуны — гарантированные призы, которые помогут наладить учебный процесс и выстроить отношения с ребёнком!

График зависимости скорости от времени при равноускоренном движении

Из уравнения скорости следует, что зависимость скорости автомобиля от времени описывается линейной функцией, график которой — прямая.

На анимации мы видим разгон автомобиля с некоторой начальной скоростью. Проекция ускорения на ось Ox

положительна. На графике этому соответствует монотонно возрастающая прямая, выходящая из точки (0; V₀).

При равнозамедленном движении прямая на графике будет убывать.

С помощью графика скорости можно определить ускорение тела как тангенс угла наклона графика к оси времени:

Из графика скорости получим формулу пути при равноускоренном движении тела.

Пройденный телом путь при равноускоренном движении численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени. Вычислим площадь трапеции как сумму площадей прямоугольника

V₀t и треугольника .

Формула пути при равноускоренном движении

,
где S — путь, пройденный за время t [м],
V₀ — начальная скорость [м/с],
a — ускорение тела [м/с²],
t — время [с].

В случае равноускоренного движения с неизвестным временем движения, но с заданными начальной и конечной скоростями пройденный путь можно найти с помощью следующей формулы:

,
где S — путь, пройденный за время t [м],
V₀ — начальная скорость [м/с],
V — скорость в момент времени t [м/с],
a — ускорение тела [м/с²].

Задача 2

Таксист Роман получил заказ и начал движение с ускорением 0,1 м/с² после долгой остановки. Ha кaкoм paccтoянии oт нaчaлa движeния его cкopocть cтaнeт paвнoй 15 м/с?

Решение.

По условию задачи таксист начал движение из состояния покоя, следовательно, начальная скорость равна нулю.
Поскольку время движения неизвестно, то определим путь по второй формуле:
Подставим числа и выполним расчет:
м.

Ответ: на расстоянии 1 125 м от начала движения скорость такси станет равной 15 м/с.

Перемещение при равноускоренном движении

Важно напомнить разницу между путем и перемещением тела.

Путь — длина траектории. Если тело движется в любом направлении, то его путь увеличивается. Шагомер в вашем телефоне или смарт-часах измеряет именно путь. Для расчета пути по графику скорости необходимо найти площади отдельных фигур и сложить их, как было показано выше.

Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Чтобы по графику скорости найти перемещение, необходимо взять площади над осью времени со знаком «+», под осью — со знаком «−», а затем найти их сумму.

Например, на этом графике путь тела равен S₁ + S₂, а перемещение — S₁ − S₂.

Уравнение перемещения при равноускоренном движении

,
где S — перемещение за время t [м],
V₀ — начальная скорость [м/с],
a — ускорение тела [м/с²],
t — время [с].

Вы, скорее всего, заметили удивительное сходство формул расстояния при равноускоренном движении. Так и есть, только помните, что проекция перемещения может принимать отрицательное значение, а путь — нет. В некоторых задачах путь и перемещение могут совпадать, но далеко не всегда.

Важнейшая задача кинематики — определение положения тела относительно других тел с течением времени. Для ее решения вам понадобится знать зависимость координаты от времени (уравнение движения).

Уравнение равноускоренного движения

,
где x(t) — координата в момент времени t [м],
x₀ — начальная координата [м],
V₀ — начальная скорость [м/с],
a — ускорение тела [м/с²],
t — время [с].

Задача 3

Лыжник подъехал со скоростью 3 м/с к спуску длиной 36 м и съехал с него за несколько секунд, при этом его конечная скорость составила 15 м/с. Определите местонахождение лыжника спустя 2 с после начала движения из начала координат.

Решение.

Поскольку скорость лыжника увеличивается, он движется с положительным ускорением. Начальная скорость V₀ = 3 м/с. Начальная координата равна нулю.
Найдем ускорение из формулы пути при равноускоренном движении:
м/с².
Составим уравнение движения лыжника:
.
По уравнению определим координату лыжника в момент времени t = 2 с:
м.

Ответ: через 2 с после начала движения координата лыжника будет равна 12 м.

Графики равноускоренного движения

Математически зависимость координаты от времени при равноускоренном движении представляет собой квадратичную функцию, ее график — парабола.

Обратите внимание, что, когда проекция скорости меняет знак, автомобиль совершает разворот и движется в противоположном направлении.

Вся наша жизнь — в движении, а онлайн-уроки физики в Skysmart помогут вам ускориться на пути к освоению теории и покорению самых разнообразных задач!

Перемещение тела при равноускоренном движении

Прямолинейным равноускоренным движением называется движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменялась на одинаковую величину. И основной характеристикой такого движения являлось ускорение — это физическая векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости.

Как определить координату тела, пройденный путь и перемещение при прямолинейном равноускоренном движении?

Это можно сделать, если рассмотреть прямолинейное равноускоренное движение как набор большого количества очень малых равномерных перемещений тела.

Первым решил задачу местоположения тела в определённый момент времени при ускоренном движении итальянский учёный Галилео Галилей. Галилей использовал наклонную плоскость с гладкой канавкой посередине, по которой скатывались латунные шары. По водным часам он засекал определённый интервал времени и фиксировал расстояния, которые за это время преодолевали шары. Галилей выяснил, что если время увеличить в два раза, то шары прокатятся в четыре раза дальше (т.е. зависимость квадратичная). Это опровергало мнение Аристотеля, что скорость шаров будет постоянной.

Получим формулу для определения перемещения при равноускоренном движении графическим методом.

Известно, что при равноускоренном движении тела, происходящем вдоль координатной оси X, скорость с течением времени не остается постоянной, а меняется со временем согласно формуле

Т. е. скорость является линейной функцией, и поэтому графики скорости имеют вид прямой.

Прямая 1 соответствует движению с положительным ускорением (скорость увеличивается), прямая 2 — движению с отрицательным ускорением (скорость убывает).

График скорости разобьем на маленькие прямоугольные участки. Каждый участок будет соответствовать определённой постоянной скорости.

Необходимо определить пройденный путь за первый промежуток времени. Запишем формулу

Теперь посчитаем суммарную площадь всех имеющихся у нас фигур. А сумма площадей при равномерном движении – это полный пройденный путь.

Обратите внимание, от точки к точке скорость будет изменяться, тем самым можно получить путь, пройденный телом именно при прямолинейном равноускоренном движении.

Заметим, что при прямолинейном равноускоренном движении тела, когда скорость и ускорение направлены в одну сторону, модуль перемещения равен пройденному пути, поэтому, когда определяется модуль перемещения, то определяется и пройденный путь.

В данном случае можно говорить, что модуль перемещения будет равен площади фигуры, ограниченной графиком скорости и осью времени.

Фигура, ограниченная графиком скорости и осью времени есть не что иное, как прямоугольная трапеция. Из математики известна формула для нахождения площади трапеции. Площадь трапеции равна произведению половины суммы её оснований на высоту.

Следовательно, перемещение за все время tчисленно равно площади трапеции ОАВС. В нашем случае длина одного из оснований численно равна υ_o_х, длина другого — υ_х. Высота же ее численно равна t. Отсюда следует, что перемещение равно:

Подставим в эту формулу вместо υ равную ей величину υ₀ + at.Тогда

Разделив почленно числитель на знаменатель, получим

Это есть уравнение перемещения в проекциях на ось координат.

При пользовании этой формулой нужно помнить, что s, υ₀и а могут быть как положительными, так и отрицательными — ведь это проекции векторов пути, начальной скорости и ускорения на ось X.

Теперь вспомним, что пройденный путь, равный в нашем случае модулю перемещения, выражается разностью: s = x – x₀

Если в уравнение подставить полученное нами выражение для S, то запишем закон, по которому движется тело при прямолинейном равноускоренном движении:

Это уравнение называется основным кинематическим уравнением равноускоренного движения.

Если тело движется из состояния покоя, график проходит через начало координат, фигура под графиком – прямоугольный треугольник, площадь которого равна половине произведения катетов.

Тогда формула для определения перемещения принимает вид:

Это уравнение перемещения при равноускоренном движении без начальной скорости.

Тогда

x = x₀ + at²/2

Это кинематическое уравнение равноускоренного движения , без начальной скорости.

Рассмотрим некоторые важные зависимости между величинами равноускоренного движения. Для равноускоренного движения без начальной скорости путь, пройденный телом, пропорционален квадрату времени. Значит, пути, пройденные телом за 1 с, 2 с, 3 с, 4 с будут относиться как квадраты последовательных натуральных чисел.

Для любого равноускоренного движения, пути, пройденные телом за любые равные промежутки времени, будут относиться как последовательный ряд нечетных чисел.

Основные выводы:

– Перемещение тела за все время t численно равно площади трапеции, ограниченной графиком скорости и осью времени.

— уравнениеперемещения

— кинематическое уравнение равноускоренного движения

– Для равноускоренного движения без начальной скорости путь, пройденный телом, пропорционален квадрату времени.

– Для любого равноускоренного движения, пути, пройденныетеломза любые равные промежутки времени, будутотноситьсякакпоследовательный ряд нечетных чисел.

Равноускоренное движение: определение | StudySmarter

Все мы знакомы со знаменитой сказкой о яблоке, падающем с дерева, которая легла в основу ранней фундаментальной работы Исаака Ньютона по теории гравитации. Любознательность и стремление Ньютона понять это, казалось бы, неинтересное падающее движение изменили большую часть нашего нынешнего понимания движущегося мира и Вселенной вокруг нас, включая явление равномерного ускорения из-за гравитации, постоянно происходящее вокруг нас.

В этой статье мы углубимся в определение равноускоренного движения, в соответствующие формулы, которые нужно знать, как идентифицировать и исследовать связанные графики, а также в пару примеров. Давайте начнем!

Равномерно ускоренное движение Определение

Пока мы знакомились с кинематикой, мы столкнулись с несколькими новыми переменными и уравнениями для решения задач движения в одном измерении. Мы уделили пристальное внимание смещению и скорости, а также изменениям этих величин и тому, как различные начальные условия влияют на общее движение и результат системы. Но как насчет ускорения?

Наблюдение и понимание ускорения движущихся объектов так же важно в нашем начальном изучении механики. Возможно, вы заметили, что до сих пор мы в основном изучали системы, в которых ускорение равно нулю, а также системы, в которых ускорение остается постоянным в течение некоторого периода времени. Мы называем это равноускоренным движением.

Равноускоренное движение — движение объекта с постоянным ускорением, которое не меняется со временем.

Сила притяжения приводит к падению парашютиста с равномерным ускорением, Creative Commons CC0

Другими словами, скорость движущегося объекта равномерно изменяется со временем, а ускорение остается постоянной величиной. Ускорение под действием силы тяжести, которое наблюдается при падении парашютиста, яблока с дерева или упавшего на пол телефона, является одной из наиболее распространенных форм равномерного ускорения, которые мы наблюдаем в нашей повседневной жизни. Математически мы можем выразить равномерное ускорение как:

\begin{align*}a=\mathrm{const.}\end{align*}

Вычисление определения ускорения

Напомним, что мы можем вычислить ускорение \(a\) движущегося объекта, если мы знаем начало и конечные значения как для скорости, так и для времени:

\begin{align*}a_{avg}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_1-v_0}{t_1-t_0}\end {align*}

где \(\Delta v\) — изменение скорости, а \(\Delta t\) — изменение времени. Однако это уравнение дает нам среднее ускорение 92}\end{align*}

То есть ускорение математически определяется как первая производная скорости и вторая производная положения по времени.

Формулы равномерно ускоренного движения

Оказывается, вы уже знаете формулы равноускоренного движения — это уравнения кинематики, которые мы выучили для движения в одном измерении! Когда мы ввели основные уравнения кинематики, мы предполагали, что все эти формулы точно описывают движение объекта, движущегося в одном измерении , пока ускорение остается постоянным . Раньше это был в значительной степени аспект, который мы подразумевали и не углублялись в него.

Давайте изменим наши уравнения кинематики и выделим переменную ускорения. Таким образом, мы можем легко использовать любую из наших формул для определения значения ускорения при различных начальных условиях для запуска. Начнем с формулы \(v=v_0+at\).

Значение постоянного ускорения с учетом начальной скорости, конечной скорости и времени: 92}{2 \Delta x}, \\ \Delta x \neq 0.\end{align*}

Возможно, вы помните, что существует уравнение, не зависящее от ускорения, связанное с кинематикой, но это уравнение здесь не имеет значения, поскольку переменная ускорения не включено.

Хотя здесь мы изолировали переменную ускорения в каждом кинематическом уравнении, помните, что вы всегда можете перестроить свое уравнение для решения с другим неизвестным — вы часто будете использовать известное значение ускорения вместо его решения!

Равномерное движение и равномерное ускорение

Равномерное движение, равномерное ускорение — есть ли разница между ними? Ответ, как ни странно, да! Поясним, что мы понимаем под равномерным движением.

Равномерное движение — объект, совершающий движение с постоянной или неизменной скоростью.

Хотя определения равномерного движения и равномерно ускоренного движения звучат похоже, здесь есть тонкая разница! Напомним, что для объекта, движущегося с постоянной скоростью, ускорение должно быть равно нулю согласно определению скорости. Следовательно, равномерное движение , а не также подразумевает равномерное ускорение, поскольку ускорение равно нулю. С другой стороны, равноускоренное движение означает, что скорость не постоянна, а само ускорение.

Графики равномерно ускоренного движения

Ранее мы рассмотрели несколько графиков движения в одном измерении — теперь вернемся к графикам равномерно ускоренного движения более подробно.

Равномерное движение

Мы только что обсудили разницу между равномерным движением и равноускоренным движением . Здесь у нас есть набор из трех графиков, которые визуализируют три различных кинематических переменных для объекта, совершающего равномерное движение в течение некоторого периода времени \(\Delta t\):

Мы можем визуализировать равномерное движение с помощью трех графиков: перемещение, скорость и ускорение , MikeRun через Wikimedia Commons CC BY-SA 4. 0

На первом графике мы видим, что смещение или изменение положения относительно начальной точки линейно увеличивается со временем. Это движение имеет постоянную скорость во времени. Кривая скорости на втором графике имеет нулевой наклон, поддерживаемый постоянным значением \(v\) в \(t_0\). Что касается ускорения, то это значение остается равным нулю в течение того же периода времени, как и следовало ожидать. 9{t_2} v(t)\,\mathrm{d}t\end{align*}

Другими словами, мы можем проинтегрировать функцию скорости между нижним и верхним пределом времени, чтобы найти изменение смещения, которое произошло в течение этого временной период.

Равномерное ускорение

Мы можем изобразить те же три типа графиков для исследования равномерно ускоренного движения. Давайте посмотрим на график зависимости скорости от времени:

Линейное увеличение скорости со временем в соответствии с функцией скорости v(t)=2t, с площадью под кривой, равной смещению, StudySmarter Originals

Здесь у нас есть простая функция скорости \(v(t)=2t\), построенная от \(t_0=0\,\mathrm{s}\) до \(t_1=5\,\mathrm{s} \). 2}} \end{align* }

Теперь давайте посмотрим на график ускорение-время:

Графики ускорение-время для равноускоренного движения имеют нулевой наклон. Площадь под этой кривой равна изменению скорости во временном интервале, StudySmarter Originals

На этот раз график зависимости ускорения от времени показывает постоянное, ненулевое значение ускорения \(2\,\mathrm{\frac{m} {с}}\). Вы могли заметить, что площадь под кривой зависимости ускорения от времени равна изменению скорости 9{5}2\,\mathrm{d}t = 2t \\\Delta v = 2(5)-2(0) \\ \Delta v = 10\, \mathrm{\frac{m}{s}} \end{align*}

Наконец, мы можем продолжить работу в обратном направлении, чтобы вычислить изменение смещения в метрах, даже если перед нами нет графика для этой переменной. Вспомним следующее соотношение между смещением, скоростью и ускорением:

\begin{align*} \Delta s = \int v(t)\,\mathrm{d}t = \iint a(t)\,\mathrm{ d}t \end{align*}

Хотя мы знаем функции как для скорости, так и для ускорения, интегрировать функцию скорости здесь проще всего: 92 \\ \Delta s = 25\, \mathrm{m} \end{align*}

Помните, что этот расчет дает нам чистое смещение за пятисекундный период времени, в отличие от общей функции смещения. Графики могут многое рассказать нам о движущемся объекте, особенно если нам дают минимум информации в начале задачи!

Примеры равномерно ускоренного движения

Теперь, когда мы знакомы с определением и формулами равноускоренного движения, давайте рассмотрим пример задачи.

Ребенок роняет мяч из окна на расстоянии \(11,5\, \mathrm{м}\) от земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха, через сколько секунд мяч падает до удара о землю?

Может показаться, что здесь нам дали недостаточно информации, но мы подразумеваем значения некоторых переменных в контексте задачи. Нам нужно вывести некоторые начальные условия на основе рассматриваемого сценария:

Мы можем предположить, что ребенок не задал начальную скорость при отпускании мяча (например, при броске его вниз), поэтому начальная скорость должна быть \(v_0= 0 \, \ mathrm {\ frac {m} {s}} \). 92}}}} \\ t=1.53\, \mathrm{s} \end{align*}
Путь мяча до земли длится \(1.53 \, \mathrm{s}\), равномерно ускоряясь при этом падении .
Прежде чем мы завершим наше обсуждение, давайте рассмотрим еще один пример равномерно ускоренного движения, на этот раз применяя уравнения кинематики, которые мы рассмотрели ранее.
Частица движется согласно функции скорости \(v(t)=4,2t-8\). Каково чистое смещение частицы после перемещения в течение \(5,0\, \mathrm{s}\)? Каково ускорение частицы в этот период времени? 92}{10}-8(5)-0\\ \Delta x= 12,5\, \mathrm{m} \end{align*}
С исчислением нам не нужно строить график нашей функции скорости, чтобы найти смещение, но визуализация проблемы может помочь нам проверить, имеют ли наши ответы смысл. Построим график \(v(t)\) от (\(t_0=0\, \mathrm{s}\) до (\(t_1=5\, \mathrm{s}\).
Функция скорости частицы с изменением направления непосредственно перед t = 2 секунды Эта отрицательная площадь приводит к меньшему чистому смещению за временной интервал, StudySmarter Originals
Мы можем наблюдать некую «отрицательную область» во время первой части его движения. Другими словами, частица в это время имела отрицательную скорость и направление движения. Поскольку чистое смещение учитывает направление движения, мы вычитаем эту площадь, а не прибавляем. Скорость точно равна нулю при:
\begin{align*}0=4.2t-8 \\ t=1.9\, \mathrm{s} \end{align*}
или точнее, \(\frac{ 40}{21}\, \mathrm{s} \). Мы можем быстро перепроверить нашу интеграцию выше, вычислив площадь каждого треугольника вручную:
\begin{align*}\mathrm{A_1=\frac{1}{2}\cdot \frac{40}{21}\, s \cdot -8\, \frac{m}{s} = \ frac{-160}{21}\, м} \\ \mathrm{A_2=\frac{1}{2} \cdot (5\, с-\frac{40}{21}\, с) \cdot 13 \, \frac{m}{s} = \frac{845}{42} m} \\ \mathrm{A_{net}= \Delta x= \frac{845}{42}\, m-\frac{ 160}{21}\, m =12.5\, m} \end{align*}
Получим то же смещение, что и ожидалось. Наконец, мы можем рассчитать значение ускорения, используя наше уравнение кинематики с начальной скоростью, конечной скоростью и временем: 92}} \end{align*}
Равномерно ускоренное движение является важным компонентом наших ранних исследований в области кинематики и механики, физики движения, которая определяет большую часть нашего повседневного опыта. Знание того, как распознать равномерное ускорение, а также как подходить к этим проблемам, — это первый шаг к лучшему пониманию Вселенной в целом!
Равномерно ускоренное движение — ключевые выводы
Ускорение математически определяется как первая производная скорости по времени и вторая производная положения по времени.
Равномерное движение — это движение объекта, скорость которого постоянна, а ускорение равно нулю.
Равноускоренное движение — это движение объекта, ускорение которого не меняется с течением времени.
Ускорение вниз под действием силы тяжести падающих предметов является наиболее распространенным примером равномерно ускоренного движения.
Площадь под графиком скорость-время дает нам изменение смещения, а площадь под графиком ускорение-время дает нам изменение скорости.
Горизонтальное и вертикальное смещение снаряда
Предыдущие диаграммы, таблицы и обсуждение относятся к тому, как горизонтальная и вертикальная составляющие вектора скорости изменяются во времени по ходу траектории снаряда. Теперь мы исследуем, как изменяются со временем горизонтальная и вертикальная составляющие смещения снаряда. Как уже говорилось, вертикальное смещение (обозначается символом y в обсуждении ниже) снаряда зависит только от ускорения свободного падения и не зависит от горизонтальной скорости. Таким образом, вертикальное смещение ( y ) снаряда можно предсказать, используя то же уравнение, которое используется для нахождения смещения свободно падающего объекта, совершающего одномерное движение. Это уравнение обсуждалось в Разделе 1 физического класса. Уравнение можно записать следующим образом.

y = 0,5 • g • t ² (уравнение для вертикального смещения снаряда, запускаемого горизонтально)
где g равно -9,8 м/с/с и t время в секундах. Приведенное выше уравнение относится к снаряду без начальной вертикальной скорости и, таким образом, предсказывает расстояние по вертикали, на которое падает снаряд, если он падает из состояния покоя. Ранее также обсуждалось, что сила тяжести не влияет на горизонтальное движение снаряда. Горизонтальное смещение снаряда зависит только от скорости, с которой он движется горизонтально ( v _ix ) и количество времени ( t ), в течение которого он перемещался по горизонтали. Таким образом, если горизонтальное перемещение ( x ) снаряда было представлено уравнением, то это уравнение было бы записано как снаряд (красный), путь снаряда, выпущенного из состояния покоя без горизонтальной скорости (синий) и путь того же объекта при выключенной гравитации (зеленый). Положение объекта показано с интервалом в 1 секунду. В этом примере начальная горизонтальная скорость равна 20 м/с, а начальная вертикальная скорость отсутствует (т. е. случай горизонтально запущенного снаряда).
Как видно на диаграмме выше, вертикальное расстояние падения из состояния покоя в течение каждой последующей секунды увеличивается (т. е. имеет место вертикальное ускорение). Также можно увидеть, что вертикальное смещение подчиняется приведенному выше уравнению (y = 0,5 • g • t ² ). Кроме того, поскольку отсутствует горизонтальное ускорение, горизонтальное расстояние, проходимое снарядом за каждую секунду, является постоянной величиной — снаряд проходит горизонтальное расстояние 20 метров за каждую секунду. Это согласуется с начальной горизонтальной скоростью 20 м/с. Таким образом, горизонтальное смещение составляет 20 м за 1 секунду, 40 метров за 2 секунды, 60 метров за 3 секунды и т. д. Эта информация сведена в таблицу ниже.

Время Горизонтальный Объем Вертикальный Объем
0 с 0 м 0 м
1 с 20 м -4,9 м
2 с 40 м -19,6 м
3 с 60 м -44,1 м
4 с 80 м -78,4 м
5 с 100 м -122,5 м

Теперь рассмотрим значения смещения для снаряда, запущенного под углом к горизонтали (т. е. снаряда, запущенного не горизонтально). Как повлияет на значения смещения наличие начальной вертикальной составляющей скорости? На приведенной ниже схеме показано положение снаряда, запущенного под углом к горизонтали. Снаряд по-прежнему падает на 4,9 м, 19,6 м, 44,1 м и 78,4 м ниже прямолинейного пути без гравитации. Эти расстояния указаны на схеме ниже. 92. Однако траектория без гравитации больше не является горизонтальной линией, поскольку снаряд не запускается горизонтально. В отсутствие силы тяжести снаряд поднялся бы на расстояние по вертикали, равное времени, умноженному на вертикальную составляющую начальной скорости (v _iy • t). При наличии силы тяжести он упадет на расстояние 0,5 • g • t ² . Объединение этих двух влияний на вертикальное смещение дает следующее уравнение .
y = v _iy • t + 0,5 • g • t ²
(уравнение для вертикального смещения снаряда, запускаемого под углом)
где v _iy — начальная вертикальная скорость в м/с, t — время в секундах, g = -9,8 м/с/с (приблизительное значение ускорения свободного падения) . Если снаряд запущен с начальной вертикальной скоростью 19,6 м/с и начальной горизонтальной скоростью 33,9м/с, то перемещения снаряда по осям x и y можно рассчитать с помощью приведенных выше уравнений. Пример расчета показан ниже.

Расчеты для t = 1 секунда
y = v _iy * t + 0,5*g*t ²
где v _iy = 19,6 м/с
y = (19,6 м/с) * (1 с) + 0,5*(-9,8 м/с/с)*(1 с) ²
г = 19,6 м + (-4,9 м)
г = 14,7 м (приблизительно)
х = v _ix * т
где v _ix = 33,9 м/с
х = (33,9 м/с) * (1 с)
х = 33,9 м

В следующей таблице приведены результаты таких расчетов для первых четырех секунд движения снаряда.

Время Горизонтальный Объем Вертикальный Рабочий объем
0 с 0 м 0 м
1 с 33,9 м 14,7 м
2 с 67,8 м 19,6 м
3 с 101,7 м 14,7 м
4 с 135,6 м 0 м
Данные в таблице выше показывают симметричный характер траектории снаряда. Вертикальное перемещение снаряда т за с до достижения пика равно вертикальному перемещению снаряда т за с после достижения пика. Например, снаряд достигает пика за 2 секунды; вертикальное смещение такое же через 1 секунду (1 с до достижения пика) такое же, как и через 3 секунды (1 с после достижения пика). Кроме того, время достижения пика (2 секунды) такое же, как и время падения с пика (2 секунды).

Мы хотели бы предложить…
Иногда недостаточно просто прочитать об этом. Вы должны взаимодействовать с ним! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего симулятора движения снарядов. Вы можете найти его в разделе Physics Interactives на нашем сайте. Симулятор позволяет исследовать концепции движения снаряда в интерактивном режиме. Измените высоту, измените угол, измените скорость и запустите снаряд.

Посетите: Симулятор движения снаряда

Проверьте свое понимание
Используйте свое понимание снарядов, чтобы ответить на следующие вопросы. Затем нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответы.
1. Анна Литикаль сбрасывает мяч с вершины скалы высотой 78,4 метра. Через какое время мяч достигнет земли и на какой высоте будет находиться мяч после каждой секунды движения?
Щелкните здесь, чтобы увидеть схему ситуации.

2. Пушечное ядро запускается горизонтально с вершины утеса высотой 78,4 метра. Через какое время мяч достигнет земли и на какой высоте он будет находиться после каждой секунды пути?
Щелкните здесь, чтобы увидеть схему ситуации.

3. Заполните приведенную ниже таблицу, указав значение горизонтальной и вертикальной составляющих скорости и ускорения снаряда.