Если уравнение имеет более одного корня в ответе запишите меньший из корней: ЕГЭ Профиль №5. Рациональные уравнения — math100.ru

Объяснение:

В приведенном выше уравнении a = 1, b = 5 и c = 4. Следовательно:

b ²  — 4ac = (5) ²  — 4(1)(4) = 25 — 16 = 9. 

Когда дискриминант больше 0, существуют два различных действительных корня. Когда дискриминант равен 0, существует ровно один действительный корень. Когда дискриминант меньше нуля, действительных корней нет, но есть ровно два различных мнимых корня. В этом случае у нас есть два действительных корня.

Наконец, мы используем квадратичную функцию, чтобы найти эти точные корни. Квадратичная функция:

Подставляя наши значения a, b и c, мы получаем:

Это упрощает до:

, что упрощает до

90:50, что дает нам два ответа

x = -1 или x = -4

Эти значения x являются двумя различными действительными корнями данного уравнения.

Сообщить об ошибке

Используйте формулу b ²  — 4ac, чтобы найти дискриминант следующего уравнения: -x ²  + 3x — 3 = 0.

Затем укажите, сколько у него корней и являются ли они действительными или мнимыми. Наконец, используйте квадратичную функцию, чтобы найти точные корни уравнения.

Возможные ответы:

Дискриминант: -8

Два мнимых корня:

Дискриминант: -21

Два мнимых корня:

Два мнимых корня: 9000 9 Дискриминант0005

Дискриминант: -8

Два мнимых корня: .

Дискриминант: 0

Один действительный корень: 

Правильный ответ:

Дискриминант: -8

Два мнимых корня: .

Объяснение:

В приведенном выше уравнении a = -1, b = 3 и c = -3. Следовательно:

b ²  — 4ac = (3) ²  — 4(-1)(-3) = 9 — 12 = -3.

Когда дискриминант больше 0, существуют два различных действительных корня. Когда дискриминант равен 0, существует ровно один действительный корень. Когда дискриминант меньше нуля, действительных корней нет, но есть ровно два различных мнимых корня. В этом случае у нас есть два различных мнимых корня.

Наконец, мы используем квадратичную функцию, чтобы найти эти точные корни. Квадратичная функция:

Подставляя наши значения a, b и c, мы получаем:

Это упрощает до:

Потому что   , это упрощает до . Другими словами, наши два различных мнимых корня равны  и 

Сообщить об ошибке

Используйте формулу b ²  — 4ac, чтобы найти дискриминант следующего уравнения: x ²  + 2x + 10 = 0,

Затем укажите, сколько у него корней и являются ли они реальными или мнимыми. Наконец, используйте квадратичную функцию, чтобы найти точные корни уравнения.

Возможные ответы:

Дискриминант: 36

Два действительных корня: x = -5 или x = 7

Дискриминант: 36

Два действительных корня: x = 5 или x = -7

4 Дискриминант

Один действительный корень: x = -1

Дискриминант: -36

Два мнимых корня: 

Дискриминант: -36

Два мнимых корня: 

Правильный ответ:

Дискриминант: -36

Два мнимых корня: 

Объяснение:

В приведенном выше уравнении a = 1, b = 2 и c = 10. Следовательно:

b ²  — 4ac = (2) ²  — 4(1)(10) = 4 — 40 = -36.

Когда дискриминант больше 0, существуют два различных действительных корня. Когда дискриминант равен 0, существует ровно один действительный корень. Когда дискриминант меньше нуля, действительных корней нет, но есть ровно два различных мнимых корня. В этом случае у нас есть два различных мнимых корня.

Наконец, мы используем квадратичную функцию, чтобы найти эти точные корни. Квадратичная функция:

Подставляя наши значения a, b и c, мы получаем:

Это упрощает до:

Потому что , это упрощает до . Мы можем упростить это до . Другими словами, наши два различных воображаемых корня — это  и .

Сообщить об ошибке

Используйте формулу b ²  — 4ac, чтобы найти дискриминант следующего уравнения: x ²  + 8x + 16 = 0.

Затем укажите, сколько у него корней и являются ли они действительными или мнимыми. Наконец, используйте квадратичную функцию, чтобы найти точные корни уравнения.

Возможные ответы:

Дискриминант: 72

Два различных реальных корня:

Дискриминантный: 0

Один реальный корень: x = 4

Дискриминант: 0

один реальный корень: x = -4

44. Дискриминант: 128

Два различных действительных корня:

Дискриминант: 0

Один действительный корень: x = 0

Правильный ответ:

Дискриминант: 0

Один действительный корень: x = -4

Объяснение:

В приведенном выше уравнении a = 1, b = 8 и c = 16. Следовательно:

b ²  — 4ac = (8) ²  — 4(1)(16) = 64 — 64 = 0. 

Когда дискриминант больше 0, существуют два различных действительных корня. Когда дискриминант равен 0, существует ровно один действительный корень. Когда дискриминант меньше нуля, действительных корней нет, но есть ровно два различных мнимых корня. В этом случае существует ровно один действительный корень.

Наконец, мы используем квадратичную функцию, чтобы найти эти точные корни. Квадратичная формула:

Подставляя наши значения a, b и c, мы получаем:

Это упрощает до:

, что упрощает до

x 9 Это значение равно 9 различные действительные корни данного уравнения.

Сообщить об ошибке

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы Precalculus

12 Диагностические тесты 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

Алгебраическое решение уравнений

Содержание: Эта страница соответствует § 2. 4 (стр. 200) текста.

Предполагаемые проблемы из текста:

р. 212 #7, 8, 11, 15, 17, 18, 23, 26, 35, 38, 41, 43, 46, 47, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 71, 72, 75, 76, 81, 87, 88, 95, 97

Квадратные уравнения

Уравнения с радикалами

Полиномиальные уравнения высшей степени

Уравнения, содержащие дробные выражения или абсолютные значения

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет форму ax ² + bx + c = 0, где a, b и c — числа, а a — не равно 0,

Факторинг

Такой подход к решению уравнений основан на том, что если произведение двух величин равно нулю, то хотя бы одна из величин должна быть равна нулю. Другими словами, если a*b = 0, то либо a = 0, либо b = 0, либо и то, и другое. Подробнее о факторинговых полиномах см. в обзорном разделе P.3 (стр. 26) текста.

Пример 1.

2x ² — 5x — 12 = 0.

(2x + 3)(x — 4) = 0,

2x + 3 = 0 или x — 4 = 0.

х = -3/2 или х = 4.

Принцип квадратного корня

Если x ² = k, то x = ± sqrt(k).

Пример 2.

х ² — 9 = 0,

х ² = 9.

х = 3 или х = -3.

---

Пример 3.

Пример 4.

х ² + 7 = 0,

х ² = -7.

х = ± .

Обратите внимание, что = = , поэтому решений

x = ± , два комплексных числа.

Завершение квадрата

Идея завершения квадрата состоит в том, чтобы переписать уравнение в форме, позволяющей применить квадрат принцип корня.

Пример 5.

х ² +6х — 1 = 0,

х ² +6х = 1.

х ² +6х + 9 = 1 + 9.

9, добавленное к обеим сторонам, получено в результате возведения в квадрат половины коэффициента x, (6/2) ² = 9. Причина выбор этого значения заключается в том, что теперь левая часть уравнения представляет собой квадрат бинома (многочлена с двумя членами). Вот почему эта процедура называется , дополняющей квадрат . [Заинтересованный читатель может видеть, что это верно, если учесть (x + a) ² = x ² + 2ax + a ² . Чтобы получить «а», нужно всего лишь разделить x-коэффициент на 2. Таким образом, чтобы составить квадрат x ² + 2ax, нужно добавить ² .]

(х + 3) ² = 10.

Теперь мы можем применить принцип квадратного корня и найти x.

х = -3 ± кв.(10).

---

Пример 6.

2x ² + 6x — 5 = 0.

2x ² + 6x = 5.

Метод заполнения квадрата, продемонстрированный в предыдущем примере, работает, только если старший коэффициент (коэффициент х ² ) равен 1. В этом примере старший коэффициент равен 2, но мы можем изменить это, разделив обе части уравнения на 2.

х ² + 3х = 5/2.

Теперь, когда старший коэффициент равен 1, мы берем коэффициент x, который теперь равен 3, делим его на 2 и возводим в квадрат, (3/2) ² = 9/4. Это константа, которую мы добавляем к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.

х ² + 3х + 9/4 = 5/2 + 9/4.

Левая часть — это квадрат (x + 3/2). [Проверьте это!]

(х + 3/2) ² = 19/4.

Теперь мы используем принцип квадратного корня и находим x.

x + 3/2 = ± кв. м (19/4) = ± кв. кв. (19)/2.

x = -3/2 ± sqrt(19)/2 = (-3 ± sqrt(19))/2

До сих пор мы обсуждали три метода решения квадратных уравнений. Что лучше? Это зависит от проблема и ваши личные предпочтения. Уравнение, имеющее правильную форму для применения принципа квадратного корня можно переставить и решить с помощью факторизации, как мы видим в следующем примере.

Пример 7.

х ² = 16.

х ² — 16 = 0,

(х + 4)(х — 4) = 0,

х = -4 или х = 4.

В некоторых случаях уравнение может быть решено с помощью факторизации, но факторизация не очевидна.

Метод заполнения квадрата будет работать всегда, даже если решения представляют собой комплексные числа, и в этом случае мы возьмем квадратный корень из отрицательного числа. Кроме того, шаги, необходимые для завершения квадрата, всегда одинаковы, поэтому их можно применить к общему квадратному уравнению

ах ² + Ьх + с = 0.

Результатом заполнения квадрата этого общего уравнения является формула решений уравнения называется квадратичной формулой.

Квадратичная формула

Решения уравнения ax ² + bx + c = 0 равны

Мы говорим, что заполнение квадрата всегда работает, и мы заполнили квадрат в общем случае, где у нас есть a, b и c вместо чисел. Итак, чтобы найти решение любого квадратного уравнения, запишем его в стандартной форме, чтобы найти значения a, b и c, а затем подставить эти значения в квадратичную формулу.

Одним из следствий этого является то, что вам никогда не придется заполнять квадрат, чтобы найти решения квадратного уравнения. Однако процесс заполнения квадрата важен и по другим причинам, поэтому вам все же нужно знать, как сделай это!

Примеры использования квадратичной формулы:

Пример 8.

2x ² + 6x — 5 = 0.

В данном случае a = 2, b = 6, c = -5. Подстановка этих значений в квадратичную формулу дает

Обратите внимание, что ранее мы решили это уравнение, заполнив квадрат.

Примечание : Есть два реальных решения. С точки зрения графиков, есть два перехвата для графика функции f(x) = 2x ² + 6x — 5,

Пример 9.

4х ² + 4x + 1 = 0

В этом примере a = 4, b = 4 и c = 1.

В этом примере следует обратить внимание на две вещи.

• Есть только одно решение. С точки зрения графиков это означает, что существует только один x-пересечение.

• Решение упрощено таким образом, что в нем не используется квадратный корень. Это означает, что уравнение могло быть решается факторингом. (Все квадратные уравнения можно решить факторингом! Я имею в виду, что это могло быть решить легко с помощью факторинга.)

4x ² + 4x + 1 = 0.

(2x + 1) ² = 0,

х = -1/2.

---

Пример 10.

х ² + х + 1 = 0

а = 1, б = 1, с = 1

Примечание: Реальных решений нет. С точки зрения графиков, для графика нет перехватов функции f(x) = x ² + x + 1. Таким образом, решения комплексные, поскольку график y = x ² + x + 1 не имеет x-перехватов.

 

Выражение под радикалом в квадратной формуле, b ² — 4ac, называется дискриминантом уравнение. Последние три примера иллюстрируют три возможности для квадратных уравнений.

1. Дискриминант > 0. Два действительных решения.

2. Дискриминант = 0. Одно действительное решение.

3. Дискриминант < 0. Два комплексных решения.

Примечания по проверке растворов

Ни один из методов, представленных до сих пор в этом разделе, не может вводить посторонние решения. (см. пример 3 из раздела «Линейные уравнения и моделирование».) Тем не менее, рекомендуется проверить свои решения, потому что очень легко допустить ошибки по невнимательности при решении уравнений.

Алгебраический метод, заключающийся в подстановке числа обратно в уравнение и проверке того, что результирующее утверждение верно, хорошо работает, когда решение «простое», но не очень практично, когда решение включает радикал.

Например, в нашем предпоследнем примере 4x ² + 4x + 1 = 0 мы нашли одно решение x = -1/2.

Алгебраическая проверка выглядит как

4(-1/2) ² +4(-1/2) + 1 = 0,

4(1/4) — 2 + 1 = 0.

1 — 2 + 1 = 0.

0 = 0. Решение проверяется.

В предыдущем примере 2x ² + 6x — 5 = 0 мы нашли два действительных решения, x = (-3 ± sqrt(19))/2. Проверить это алгебраически, конечно, можно, но не очень просто. В этом случае либо графический проверить или использовать калькулятор для алгебраической проверки быстрее.

Сначала найдите десятичные приближения для двух предложенных решений.

(-3 + кв.(19))/2 = 0,679449.

(-3 — квадрат(19))/2 = -3,679449.

Теперь используйте графическую утилиту, чтобы построить график y = 2x ² + 6x — 5, и проследите график, чтобы примерно найти, где x-перехваты. Если они близки к приведенным выше значениям, вы можете быть уверены, что у вас есть правильные решения. Вы также можете вставить приближенное решение в уравнение, чтобы увидеть, дают ли обе части уравнения примерно одинаковые значения. Тем не менее, вам все равно нужно быть осторожным, заявляя, что ваше решение правильное, поскольку оно не точное решение.

Обратите внимание, что если вы начали с уравнения 2x ² + 6x — 5 = 0 и перешли непосредственно к графику утилиты для ее решения, то вы не получите точных решений, потому что они иррациональны. Однако, найдя (алгебраически) два числа, которые вы считаете решениями, если графическая утилита показывает, что перехваты очень рядом с найденными вами числами, то вы, вероятно, правы!

Упражнение 1:

Решите следующие квадратные уравнения.

(а) 3х ² -5х — 2 = 0. Ответ

(б) (х + 1) ² = 3. Ответ

(в) х ² = 3х + 2. Ответ

Вернуться к содержанию

Уравнения с радикалами

Уравнения с радикалами часто можно упростить, возведя в соответствующую степень, возведя в квадрат, если радикал является квадратным корнем, кубирование для кубического корня и т. д. Эта операция может ввести посторонние корни, поэтому все решения должны быть проверены.

Если в уравнении только один радикал, то перед возведением в степень следует договориться, чтобы радикальный член сам по себе на одной стороне уравнения.

Пример 11.

Теперь, когда мы выделили радикал в правой части, мы возводим обе части в квадрат и решаем полученное уравнение для х.

Чек:

х = 0

Когда мы подставляем x = 0 в исходное уравнение, мы получаем утверждение 0 = 2, что неверно!

Итак, x = 0 не является решением .

х = 3

Когда мы подставляем x = 3 в исходное уравнение, мы получаем утверждение 3 = 3. Это верно, поэтому x = 3 равно решение .

907:40

Решение : х = 3.

Примечание: Решением является координата x точки пересечения графиков y = x и у = кврт(х+1)+1.

Посмотрите, что произошло бы, если бы мы возвели в квадрат обе части уравнения перед , выделив радикал срок.

Это хуже, чем то, с чего мы начали!

Если в уравнении более одного радикального члена, то, вообще говоря, мы не можем исключить все радикалы с помощью возведение в степень один раз. Однако мы можем уменьшить количество радикальных членов путем возведения в степень.

Если уравнение включает более одного радикального члена, то мы по-прежнему хотим изолировать один радикал с одной стороны и возвести в степень. Затем мы повторяем этот процесс.

Пример 12.

Теперь возведите в квадрат обе части уравнения.

В этом уравнении всего один радикал, так что мы добились прогресса! Теперь изолируйте радикальный член, а затем возведите его в квадрат. обе стороны снова.

Чек:

Подстановка x = 5/4 в исходное уравнение дает

кв (9/4) + кв (1/4) = 2,

3/2 + 1/2 = 2.

Это утверждение верно, поэтому x = 5/4 является решением.

Примечание по проверке растворов:

Алгебраическую проверку в этом случае выполнить несложно. Однако графическая проверка имеет то преимущество, что показывает, что нет решений, которые мы не нашли, по крайней мере, в рамках прямоугольника просмотра. Решение является x-координатой точки пересечения графиков y = 2 и y = sqrt (x + 1) + sqrt (x-1).

Упражнение 2:

Решите уравнение sqrt(x+2) + 2 = 2x. Ответ

Вернуться к содержанию

Полиномиальные уравнения высшей степени

Мы видели, что любое полиномиальное уравнение второй степени (квадратное уравнение) с одной переменной может быть решено с помощью Квадратичная формула. Полиномиальные уравнения степени больше двух более сложны. Когда мы сталкиваемся такой задачи, то либо полином имеет особый вид, позволяющий нам разложить его на множители, либо мы должны аппроксимировать решения с графической утилитой.

Нулевая постоянная

Одним из частых случаев является отсутствие постоянного члена. В этом случае мы можем исключить одну или несколько степеней x, чтобы начать задачу.

Пример 13.

2x ³ + 3x ² -5x = 0.

х (2 х ² + 3 х -5) = 0,

Теперь у нас есть произведение x и квадратного многочлена, равное 0, поэтому у нас есть два более простых уравнения.

х = 0 или 2 х ² + 3 х -5 = 0,

Первое уравнение несложно решить. x = 0 является единственным решением. Второе уравнение может быть решено факторингом. Примечание: Если бы мы не смогли учесть квадратное выражение во втором уравнении, то мы могли бы прибегнуть к использовать квадратную формулу. [Убедитесь, что вы получаете те же результаты, что и ниже.]

х = 0 или (2х + 5)(х — 1) = 0.

Итак, есть три решения: x = 0, x = -5/2, x = 1,

Примечание: Решение находится из пересечений графиков f(x) = 2x ³ + 3x ² -5x.

Фактор по группировке

Пример 14.

x ³ -2x ² -9x +18 = 0,

Коэффициент x ² в -2 раза больше, чем x ³ , и такое же соотношение существует между коэффициенты третьего и четвертого членов. Сгруппируйте термины один и два, а также термины три и четыре.

х ² (х — 2) — 9 (х — 2) = 0,

Эти группы имеют общий множитель (x — 2), поэтому мы можем разложить на множители левую часть уравнения.

(х — 2)(х ² — 9) = 0,

Всякий раз, когда мы находим произведение, равное нулю, мы получаем два более простых уравнения.

х — 2 = 0, или х ² — 9 = 0.

х = 2, или (х + 3)(х — 3) = 0,

Итак, есть три решения, x = 2, x = -3, x = 3.

Примечание: Эти решения находятся из точек пересечения графика f(x) = x ³ -2x ² -9x +18.

Квадратичный в форме

Пример 15.

х ⁴ — х ² — 12 = 0,

Этот многочлен не квадратичный, он имеет четвертую степень. Однако его можно рассматривать как квадратичный по x ² .

(х ² ) ² — (х ² ) — 12 = 0.

Вам может помочь замена x на z ² .

z ² — z — 12 = 0 Это квадратное уравнение относительно z.

(г — 4) (г + 3) = 0,

z = 4 или z = -3.

Мы не закончили, потому что нам нужно найти значения x, которые делают исходное уравнение верным. Теперь замените z на x ² и решить полученные уравнения.

х ² = 4.

х = 2, х = -2.

 

х ² = -3.

x = i или x = — i.

Итак, есть четыре решения, два действительных и два комплексных.

Примечание: Эти решения находятся из точек пересечения графика f(x) = x ⁴ — х ² — 12.

График функции f(x) = x ⁴ — x ² — 12  и масштабирование, показывающее местное экстремумы.

Упражнение 3:

Решите уравнение x ⁴ — 5x ² + 4 = 0. Ответ

Вернуться к содержанию

Уравнения, содержащие дробные выражения или абсолютные значения

Пример 16.

Наименьший общий знаменатель равен x(x + 2), поэтому мы умножаем обе части на это произведение.

Это уравнение квадратное. Квадратичная формула дает решения

Необходима проверка, поскольку мы умножили обе части на переменное выражение. С помощью графической утилиты мы убедитесь, что оба этих решения проверяются. Решением является координата x точки пересечения графиков y = 1 и y = 2/x-1/(x+2).

Пример 17.

5 | х — 1 | = х + 11.

Ключ к решению уравнения с абсолютными значениями состоит в том, чтобы помнить, что величина внутри абсолютного значения бары могут быть положительными или отрицательными. У нас будет два отдельных уравнения, представляющих разные возможности, и все решения должны быть проверены.

Дело 1 . Предположим, что x — 1 >= 0. Тогда | х — 1 | = x — 1, поэтому мы имеем уравнение

5(х — 1) = х + 11.

5х — 5 = х + 11.

4x = 16.

x = 4, и это решение верно, потому что 5*3 = 4 + 11.

Случай 2. Предположим, что x — 1 < 0. Тогда x - 1 отрицательно, поэтому | х - 1 | = -(х - 1). Этот часто смущает студентов, потому что выглядит так, как будто мы говорим, что абсолютное значение выражения равно отрицательно, но мы не. Выражение (x - 1) уже отрицательно, поэтому -(x - 1) положительно.