Если при пересечении двух прямых третьей: Параллельные прямые

Признаки параллельности двух прямых / Параллельные прямые / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Параллельные прямые
5. Признаки параллельности двух прямых

Рассмотрим две прямые и , которые пересекает в двух точках третья прямая (Рис.1). Прямая называется секущей по отношению к прямым и .

При пересечении прямых и секущей образуется восемь углов, которые обозначены цифрами на Рис.2. 

Некоторые пары из этих углов имеют специальные названия:

накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;

соответственные углы:

1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Признаки параллельности двух прямых

1.

Теорема

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: прямые и , АВ — секущая, 1 и 2 — накрест лежащие, 1 = 2 (Рис.3).

Доказать: .

Доказательство:

1 случай

Предположим, что 1 = 2 = 90

0, т.е. эти углы прямые, получим АВ и АВ (Рис.4), следовательно, (т.к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны).

2 случай

Предположим, что 1 и 2 — не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр

ОН к прямой и продолжим его до пересечения с прямой , точку пересечения ОН с прямой обозначим Н₁ (Рис. 5).

Получим ОНА = ОН₁В по 2 признаку равенства треугольников (углы 3 и 4 вертикальные, т.к. получены при пересечении двух прямых АВ и НН₁, а вертикальные углы равны друг другу, т.е. 3 = 4, АО = ОВ, т.к. О — середина АВ

, 1 = 2 по условию), следовательно, 5 =6, значит, 6 — прямой, также как и 5 (т.к по построению ОН ).

Получаем, НН₁ и НН₁, значит  (т. к. две прямые перпендикулярные к третьей прямой не пересекаются, т.е. параллельны). Что и требовалось доказать.

2.

Теорема

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны , то прямые параллельны.

Дано: прямые и , АВ — секущая, 1 и 2 — соответственные, 1 = 2 (Рис.6).

Доказать: .

Доказательство:

По условию 1 = 2 и 2 = 3, т.к.они вертикальные, откуда 1 = 3, при этом углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно,  (см. теорему 1). Что и требовалось доказать.

3.

Теорема

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800, то прямые параллельны .

Дано: прямые и , АВ — секущая, 1 и 2 — односторонние, 1 + 2 = 180⁰ (Рис.7).

Доказать: .

Доказательство:

Углы 3 и 2 — смежные, значит по свойству смежных углов 3 + 2 = 180⁰, откуда 3 = 180⁰ — 2, при этом 1 + 2 = 180⁰, откуда 1 = 180⁰ — 2, тогда 1 = 3, а углы 1 и 3 накрест лежащие, следовательно, (см. теорему 1). Что и требовалось доказать

.

Советуем посмотреть:

Параллельные прямые

Практические способы построения параллельных прямых

Аксиомы геометрии

Аксиома параллельных прямых

Теорема о накрест лежащих углах

Теорема о соответственных углах

Теорема об односторонних углах

Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

Параллельные прямые

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 188, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 189, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 193, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 5, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 588, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 628, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 795, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 906, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1144, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1281, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

Верные утверждения по геометрии

20 апреля 2023

В закладки

Обсудить

Жалоба

TG 4ЕГЭ

ОГЭ по математике

Теория по геометрии к ОГЭ.

Задание 19.

v-geo.docx
v-geo.pdf

Аксиомы

→ Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.
→ Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной, и притом только одну.
→ Если две прямые параллельны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
→ Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
→ Любые три прямые имеют не более одной общей точки.
→ Через любую точку проходит более одной прямой.
→ Через любую точку проходит не менее одной прямой.
→ Через любые две точки можно провести прямую.

→ Через любые три точки проходит не более одной прямой.
→ Через любые три точки проходит не более одной прямой.

Углы

→ Вертикальные углы равны.
→ Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°.
→ Если угол равен 108°, то вертикальный с ним равен 108°.
→ Сумма смежных углов равна 180°.
→ Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой внешние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внешних односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.
→ Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 37°, то эти две прямые параллельны.

Треугольники

→ Сумма углов любого треугольника равна 180° .
→ Сторона треугольника меньше суммы двух других сторон данного треугольника. (неравенство треугольника)
→ Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
→ Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. (1 признак равенства треугольников)
→ Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (2 признак равенства треугольников)
→ Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (3 признак равенства треугольников)
→ Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (1 признак подобия треугольников)
→ Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. (2 признак подобия треугольников)
→ Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (3 признак подобия треугольников)
→ Напротив равных углов лежат равные стороны.
→ Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.
→ Площадь треугольника равна полупроизведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
→ Площадь треугольника равна полупроизведению двух сторон треугольника на синус угла между ними.
→ Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, является медианой (то есть делит основание на две равные части) и высотой (перпендикулярна основанию).
→ Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.
→ В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
→ В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.
→ В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы.
→ В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы.
→ Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.
→ Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
→ Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. (теорема косинусов).
→ Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.
→ Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. (теорема синусов)
→ Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.
→ Один из углов треугольника всегда не превышает 60°.
→ Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре его описанной окружности.
→ Биссектрисы треугольника пересекаются в центре его вписанной окружности.

Четырёхугольники

→ Сумма углов четырехугольника равна 360°.
→ Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.
→ Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
→ В параллелограмме противолежащие углы равны.
→ В параллелограмме противолежащие стороны равны.
→ В параллелограмме сумма смежных углов равна 180°.
→ Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами углов, из которых они выходят, этот параллелограмм является ромбом.
→ Если в параллелограмме диагонали равны, этот параллелограмм является прямоугольником.
→ Если в прямоугольнике диагонали перпендикулярны, этот прямоугольник является квадратом.
→ Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.
→ Если в ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат.
→ Диагонали ромба перпендикулярны.
→ Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
→ Диагонали квадрата делят его углы пополам.
→ Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
→ Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними.
→ Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
→ Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
→ Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
→ Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.
→ Если две смежные стороны параллелограмма равны 4 и 5, а угол между ними равен 30°, то площадь этого параллелограмма равна 10.
→ Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.
→ Трапеция – четырехугольник две стороны которого параллельны, а две другие нет.
→ У равнобедренной трапеции диагонали равны.
→ У равнобедренной трапеции углы при основании равны.
→ Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
→ Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
→ Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
→ Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
→ Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.

Окружности

→ В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности.
→ Все диаметры окружности равны между собой.
→ Все радиусы окружности равны между собой.
→ Вокруг любого треугольника можно описать окружность.
→ Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.
→ В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.
→ Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис.
→ Центр описанной вокруг треугольника окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров.
→ Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.
→ Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.
→ Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3.
→ Центр описанной окружности может находиться внутри треугольника (если он остроугольный), на стороне (если он прямоугольный) и вне треугольника (если он тупоугольный).
→ В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
→ Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.
→ Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
→ Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.
→ Если расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов, то окружности касаются в одной точке.
→ Если расстояние между центрами окружностей больше суммы радиусов, то окружности не имеют общих точек.
→ Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.
→ Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.
→ Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.
→ Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
→ Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
→ Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
→ Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°.
→ Если дуга окружности составляет 80°, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40°.
→ Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
→ Через любые три точки проходит не более одной окружности.
→ Если четырехугольник вписан в окружность, сумма противолежащих углов равна 180°.
→ Если в четырехугольник вписана окружность, суммы длин его противолежащих сторон равны.

Симметрия

→ Правильный n-угольник имеет n осей симметрии.
→ Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.
→ Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.
→ Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.
→ Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.

Формула точки пересечения — Формула двух линий и решенные задачи

В математике мы называем точку пересечения, где точка встречается с двумя линиями или кривыми. Пересечение линий может быть пустым множеством, точкой или линией в евклидовой геометрии. Обязательным критерием пересечения двух прямых является то, что они должны лежать в одной плоскости и не должны быть скрещивающимися линиями. Формула пересечения дает точку, в которой встречаются эти линии.

Точка пересечения двух линий Формулы

Рассмотрим две пересекающиеся прямые \[a_{1}x+b_{1}y+c_{1}\] и \[a_{2}x+b_{2}y+c_{2}\] в точке (x, y), как показано на рисунке. Итак, нам нужно найти формулу пересечения линий, чтобы найти эти точки пересечения (x, y). Эти точки удовлетворяют обоим уравнениям.

Решая эти два уравнения, мы можем найти формулу пересечения двух прямых.

Формула для точки пересечения двух прямых будет следующей:

\[x=\frac{b_{1}c_{2} − b_{2}c_{1}}{a_{1}b_ {2} – а_{2}b_{1}} \]

\[y=\frac{c_{1}a_{2} — c_{2}a_{1}}{a_{1}b_{2} — a_{2}b_{1}}\]

\[(x,y)=(\frac{b_{1}c_{2} — b_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2} — a_{2}b_{1}}, \frac{c_{1}a_{2} − c_{2}a_{1}}{a_{1}b_{2}−a_{2}b_{1}})\]

Итак, это формула точки пересечения 2 прямых при пересечении в одной точке.

A Пересечение B Пересечение C Формула

Если у нас есть 3 набора A,B и C. Пересечение B пересечение C формула будет выглядеть следующим образом:

\[n(A \cup B \cap C)=n(A ) + n(B) + n(C) − n(A \cap B) − n(B \cap C) − n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)\]

Формула пересечения A B

Если у нас есть 2 множества, скажем, A и B. Формула пересечения A B будет следующей:

\[n(A \cup B)=n(A) + n (B) − n(A \cap B) \]

Где 

\[n(A \cup B)\] — количество элементов, присутствующих либо в множестве A, либо в множестве B.

\[n(A \cap B)\] — количество элементов, присутствующих как в наборе A, так и в наборе B.

Задачи на точку пересечения двух прямых Формула:

1. Найдите точку пересечения двух прямых \[2x + 4y + 6 = 0\] и \[2x + 3y + 4 = 0\].

Ответ: Уравнения двух прямых задаются как \[2x + 4y + 6 = 0\] и \[2x + 3y + 4 = 0\].

Сравнивая эти два уравнения с \[a_{1}x+b_{1}y+c_{1} и a_{2}x+b_{2}y+c_{2}\]

Мы получаем \[ a_{1}=2,b_{1}=4,c_{1}=6, a_{2}=2,b_{2}=3,c_{2}=4 \]

Формула точки пересечения дается как

\[(x,y)=(\frac{b_{1}c_{2} — b_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2} — a_{2}b_{ 1}}, \frac{c_{1}a_{2} — c_{2}a_{1}}{a_{1}b_{2} — a_{2}b_{1}})\]

Замена значения \[a_{1},b_{1},c_{1},a_{2},b_{2},c_{2}\] в формуле пересечения

\[(x,y)=(\frac{4\times4 — 3\times6}{2\times3 — 2\times4},\frac{6\times2 — 4\times2}{2\times3 — 2\ раз4})\]

\[(x,y)=(\frac{16 − 18}{6 − 8}, \frac{12 − 8}{6 − 8})\]

\[(x ,y)=(\frac{-2}{-2},\frac{4}{-2})\]

\[(x,y)=(1,−2)\]

Следовательно, точка пересечения двух прямых \[2x + 4y + 6 = 0\] и \[2x + 3y + 4 = 0\] равна \[(x,y)=(1,−2)\].

Формула точки пересечения используется для нахождения точки пересечения двух линий, также известной как точка пересечения. Уравнение можно использовать для представления этих двух линий \[a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0\] и \[a_{2}x + b_{2}y + c_{2 } = 0\] соответственно. Можно найти точку пересечения трех и более линий. Мы можем найти решение для точки пересечения двух прямых, решив два уравнения. Давайте посмотрим на некоторые решенные примеры формулы точки пересечения.

Две прямые пересекаются в одной точке, если они не параллельны. Точка пересечения – это место встречи двух прямых.

Если две пересекающиеся прямые имеют одинаковые уравнения, то точку пересечения можно найти, решив оба уравнения одновременно.

На двумерном графике прямые линии пересекаются только в одном месте, которое описывается одним набором координат x и стиля отображения y. Вы знаете, что координаты x стиля отображения и координаты y стиля отображения должны удовлетворять обоим уравнениям, поскольку обе линии проходят через это место.

Точка пересечения

Вы когда-нибудь сталкивались с таким дорожным знаком?

Это дорожный знак на перекрестке, и он означает, что вы приближаетесь к месту, где соединяются две дороги. Две линии пересекаются и встречаются в центре дорожного знака перекрестка, как вы можете видеть. Здесь их пути пересекаются. Пересечение двух линий или кривых в математике называется точкой пересечения.

Пересечение двух кривых заслуживает внимания, поскольку это точка, в которой две кривые имеют одинаковое значение. Это может пригодиться в самых разных ситуациях. Давайте представим, что мы имеем дело с уравнением, представляющим доход компании, и другим уравнением, представляющим расходы компании. Точка пересечения кривых, соответствующих этим двум уравнениям, находится там, где доход равен затратам; это точка безубыточности компании.

Заявка на получение карты точек пересечения

Обзор

• Точка пересечения — это место встречи двух линий или кривых.

• Построив кривые на одном графике и найдя их точки пересечения, мы можем графически обнаружить точку соединения.

• Для алгебраического поиска точки пересечения можно использовать следующие шаги:

• Для одной из переменных назовите ее y и решите каждое уравнение.

• Присвойте уравнениям для y, найденным на первом шаге, одно и то же значение, затем решите другую переменную, которую мы назовем x. Это значение x точки соединения.

• В любом из исходных уравнений подставьте x-значение места пересечения и найдите y. Это точка пересечения переменной y.

Пример: Найдите точку пересечения двух прямых \[2x + 4y + 2 = 0\] и \[2x + 3y + 5 = 0\], используя формулу точки пересечения.

Решение:

Даны уравнения прямой:

\[2x + 4y + 2 = 0\] и \[2x + 3y + 5 = 0\]

Здесь

\[a_{1} = 2, b_{1} = 4, c_{1} = 2\]

\[a_{2} = 2, b_{2} = 3, c_{2} = 5\]

Точка пересечения может быть вычислена используя формулу точки пересечения,

\[x = \frac{b_{1}c_{2} — b_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2} — a_{2}b_{ 1}} ; y = \frac{a_{2}c_{1} — a_{1}c_{2}}{a_{1}b_{2} — a_{2}b_{1}} \]

\[(x ,y) = \frac{4\times5 — 3\times2}{2\times3 — 2\times4}, \frac{2\times2 — 2\times5}{2\times3 — 2\times4}\]

\[(x,y) = \frac{20 — 6}{6 — 8}, \frac{4 — 10}{6 -8}\]

\[(x, y) = (-7 , 3) \]

Ответ: Таким образом, точка пересечения (-7, 3).

Точка пересечения двух линий Формула

Точка пересечения — это точка, в которой встречаются две линии или две кривые. Точка пересечения двух линий двух кривых является точкой. Если две плоскости пересекаются, то точка их пересечения является линией. Точнее, он определяется как общая точка обеих линий или кривых, которые удовлетворяют обеим кривым, которые могут быть получены путем решения уравнения кривых.

Если мы рассмотрим две линии a ₁ x + b ₁ y + c ₁ = 0 и a ₂ x + b ₂ y + c ₂ = 0 точка пересечения этих две линии задаются следующим образом:

Точка пересечения (x, y) = ((b ₁ × c ₂ − b ₂ × c ₁ )/(a _{1 90 148×б 2 − a 2 ×b 1 ), (c 1 ×a 2 − c 2 ×a 1 )/(a 1 ×b 2 − a 2 ×b 1 ))}

Точка пересечения

Вывод точки пересечения двух прямых: 9 0195

Приведенные уравнения:

a1x + b1y + c1 = 0 -> eq-1

a2x + b2y + c2 = 0 -> eq-2

Решение уравнений методом перекрестного умножения:

       x               1

    b1    c 1    a1    b1

    b2    c2    a2 б2

Перемножая константы, получаем:

x/(b1*c2 – b2* c1) = y/(c1*a2-c2*a1) = 1/(a1*b2-a2*b1)

Решение для x:

=> x/(b1*c2 – b2* c1) = 1/(a1*b2-a2*b1) 

=> x = (b1*c2 – b2* c1)/(a1*b2 -a2*b1)

Решение для y:

=> y/(c1*a2-c2*a1) = 1/(a1*b2-a2*b1)

=> y=(c1*a2−c2 *a1)/(a1*b2−a2*b1)

Отсюда точка пересечения:

(x,y) = ((b ₁ ×c ₂ − b ₂ ×c ₁ )/(a ₁ ×b ₂ − a ₂ ×b ₁ ), (c ₁ ×a ₂ − с ₂ ×а ₁ )/(a ₁ ×b ₂ − a ₂ ×b ₁ ))

Если две прямые параллельны, то они никогда не пересекаются:

901 44 Условие для двух строк a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0, чтобы быть параллельными

 a1/b1 = a2/b2.

Примеры задач

Вопрос 1: Найдите точку пересечения прямой 3x + 4y + 5 = 0, 2x + 5y +7 = 0.

Решение:

 (x, y) = ((b1*c2−b2*c1)/(a1*b2−a2*b1), (c1*a2−c2*a1)/(a1*b2−a2*b1))

a1 = 3, b1 = 4, c1 = 5

 a2 = 2, b2 = 5, c2 = 7

 (x,y) = ((28-25)/(15-8), (10-21) /(15-8))

 (x,y) = (3/7,-11/7)

Вопрос 2. Найдите точку пересечения прямой 9x + 3y + 3 = 0, 4x + 5y + 6 = 0.

Решение:

Точка пересечения двух прямых определяется как:

 (x,y) = ((b1*c2 −b2*c1)/(a1*b2−a2*b1), (c1*a2−c2*a1)/(a1*b2−a2*b1))

 a1 = 9, b1 = 3, c1 = 3

 a2 = 4, b2 = 5, c2 = 6

 (x, y) = ((18-15)/(45-15), (54-12)/(45-15))

 (x, y) = (1/10, 7/5)

Вопрос 3. Проверьте, параллельны ли две прямые 2x + 4y + 6 = 0, 4x + 8y + 6 = 0

Решение:

Чтобы проверить параллельность прямых, нужно проверить a1/b1 = a2/b2

a1 = 2, b1 = 4

a2 = 4, b2 = 8 90 003

2/4 = 4/8

1/2 = 1/2

Поскольку условие выполнено, прямые параллельны и не могут пересекаться.

Вопрос 4. Проверьте, параллельны ли две прямые  3x + 4y + 8 = 0, 4x + 8y + 6 = 0

Решение:

Чтобы проверить, параллельны ли прямые, нужно проверить a1/b1 = a2/b2

a1 = 3, b1 = 4

a2 = 4, b2 = 8

3/4 не равно до 4/8

Поскольку условие не выполняется, прямые не параллельны.

Вопрос 5: Проверить, является ли точка (3, 5) точкой пересечения прямых 2x + 3y – 21 = 0, x + 2y – 13 = 0.

Решение:

Точка чтобы быть точкой пересечения, она должна удовлетворять обеим линиям.

Подстановка (x,y) = (3,5) в обе строки

Проверка уравнения 1: 2*3 + 3*5 – 21 =0 —> выполнено

Проверка уравнения 2: 3 + 2 * 5 -13 =0 —> выполнено

Поскольку оба уравнения выполнены, это точка пересечения обеих прямых.

Вопрос 6: Проверить, является ли точка (2, 5) точкой пересечения прямых x + 3y – 17 = 0, x + y – 13 = 0

Решение:

быть точкой пересечения, она должна удовлетворять обе линии.