Скрещивающиеся прямые. Проведение через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой 10 класс

Тема урока

 

На этом уроке мы рассмотрим определение скрещивающихся прямых и докажем теорему – признак скрещивающихся прямых.

 

 

Определение скрещивающихся прямых

 

 

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

 

 

Теорема 1 (признак скрещивающихся прямых) и ее доказательство

 

 

Теорема (признак скрещивающихся прямых)

 

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на этой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Доказательство

Пусть нам дана плоскость α. Прямая АВ лежит в плоскости α, а прямая DC пересекается с плоскостью α в точке С, которая не лежит на прямой АВ (Рис. 1.). Докажем, что прямые АВ и DC являются скрещивающимися.

Рис. 1

Используем метод от противного. Предположим, что существует плоскость β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC. Тогда в плоскости β лежит прямая АВ и точка С. Через прямую и точку, не лежащую на ней проходит единственная плоскость — α. Значит, такой плоскости β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC, не существует. То есть, прямые АВ и DC – скрещивающиеся. Теорема доказана.

 

Возможные случаи расположения прямых

 

 

Три случая расположения прямых

 

1) Прямые a и b пересекаются в некоторой точке С:  (Рис. 2.). Как мы знаем, через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Рис. 2

2) Прямые a и b параллельны: a || b (Рис. 3.). Если прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Рис. 3

Заметим, что и в первом, и во втором случае прямые лежали в одной плоскости.

3) Прямые a и b скрещиваются (Рис. 4.). То есть прямые a и b не лежат в одной плоскости.

Рис. 4

 

Пример скрещивающихся прямых в треугольной пирамиде

 

 

Пример

 

Дана треугольная пирамида ABCD, АВС – плоскость основания, точка D не лежит в плоскости АВС (Рис. 5.). Почему прямые АВ и DC скрещивающиеся?

Рис. 5

Прямая DC пересекает плоскость АВС в точке С, не лежащей на прямой АВ, а прямая АВ лежит в плоскости АВС. Значит, по признаку, прямые АВ и DC – скрещивающиеся. То есть противоположные ребра треугольной пирамиды лежат на скрещивающихся прямых.

 

Теорема 2 и ее доказательство

 

 

Теорема 2.

 

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство.

Пусть нам даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD. Докажем, что через прямую АВ проходит плоскость, параллельная прямой CD, и притом только одна.

Рис. 6

Проведем через точку А прямую АЕ, параллельную прямой DC (Рис. 6.). По теореме о параллельных прямых, такая прямая существует и единственная. Тогда через две пересекающиеся прямые АВ и АЕ можно провести единственную плоскость α. Так как прямая DC, которая не лежит в плоскости α, параллельна прямой АЕ, лежащей в плоскости α,  значит, что прямая DC параллельна плоскости α, по признаку параллельности прямой и плоскости. Существование доказано.

Докажем единственность такой плоскости. Пусть существует другая плоскость β, которая проходит через прямую АВ и параллельна прямой DC. Тогда прямая АЕ пересекает плоскость β, а значит и параллельная ей прямая DC пересекает плоскость β, по лемме. То есть, прямая DC не параллельна плоскости β. Получили противоречие. Следовательно, плоскость α – единственная. Теорема доказана.

 

Задача 1

 

 

Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС, точки M, N, P – середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка K лежит на отрезке BN (Рис. 7.). Выясните взаимное расположение прямых.

 

Рис. 7

1) ND и AB.

Прямая ND — это другое обозначение прямой ВD. Прямая ВD и прямая АВ лежат в плоскости АВD и пересекаются.

2) PK и ВС.

Прямые PK и ВС лежат в одной плоскости. Значит, они либо параллельные, либо пересекаются. Проведем среднюю линию NP (N, P – середины отрезков DB и DC соответственно). По свойству средней линии, прямая NP параллельна прямой ВС. Через точку Р можно провести только одну прямую, параллельную прямой ВС, и это прямая NP. Значит, любая другая прямая, проходящая через точку Р, не параллельна прямой ВС. Значит, PK и ВС пересекаются.

3) MN и AB.

В треугольнике ABD точки M и N – середины сторон АD и ВD. Значит, МN – средняя линия. По свойству средней линии, МN параллельна АВ.

4) МР и АС.

В треугольнике ADС точки M и Р – середины сторон АD и СD. Значит, МР – средняя линия. По свойству средней линии, МР параллельна АС.

5) КN и АС.

Прямая КN и прямая ВD – это одна и та же прямая. Прямая АС лежит в плоскости АВС, прямая  ВD пересекает плоскость АВС в точке, не лежащей на прямой АС. Значит, по признаку, прямые ВD и АС – скрещивающиеся. То есть, прямые КN и АС- скрещивающиеся.

6) МD и ВС.

Прямая МD и прямая АD – это одна и та же прямая. Прямая ВС лежит в плоскости АВС, прямая  АD пересекает плоскость АВС в точке, не лежащей на прямой ВС. Значит, по признаку, прямые АD и ВС – скрещивающиеся. То есть, прямые МD и ВС – скрещивающиеся.

 

Задача 2

 

 

Докажите, что если АВ и СD скрещиваются, то АD и ВС тоже скрещиваются.

 

Доказательство

Предположим, что прямые АD и ВС не скрещивающиеся, то есть лежат в одной плоскости. Значит, все точки А, В, С, D лежат в этой плоскости, значит прямые АВ и СD тоже лежат в этой плоскости. Но прямые АВ и СD скрещивающиеся по условию. Получили противоречие. Значит, прямые АD и ВС – скрещивающиеся.

 

Итоги урока

 

 

Итак, мы познакомились со скрещивающимися прямыми: дали определение, доказали признак скрещивающихся прямых. Также мы доказали теорему о том, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Теперь нам известны все случаи взаимного расположения прямых в пространстве: они могут пересекаться, быть параллельными, быть скрещивающимися.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Центр образования «Технологии обучения» (Источник).

2. Начертательная геометрия (Источник).

3. Виртуальная геометрия (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Какие прямые называются скрещивающимися?

2. Назовите возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве.

3. Дан параллелепипед  (см. Рис. 8.). Каково взаимное расположение прямых:

а) AB и BC.

б) AB и D1C1.

в) AB и A1D1.

г) BC и D1C1.

д) BD и B­1D1?

Рис. 8.

4. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

Задания 1 (б, в), 3, 4 стр. 23.

 

P, NP и машины Тьюринга / Хабр

Чем мы занимаемся большую часть времени? Пишем код — прикладываем математику к реальности, крутим алгебру конструкциями языка и создаем новое и интересное.

Но почему-то часто забываем, что законами отношений чисел друг к другу и изученными алгоритмами — мир не заканчивается и реальность намного сложнее и многограннее. Особенно хорошо это заметно в условиях нечетких требований, сжатых сроков и меняющегося рынка.

Мы забываем, что пока ученые в очередной раз подняли шум вокруг нейронных сетей и пытаются их учить, мы ежедневно учим свою внутреннюю рекуррентную нейронку (мозг) на скоростях, близких к световой — отлаживая программу или банально исправляя баги.

А иногда люди придумывают вещи, сильно оторванные от реальности — типа недетерминированной машины Тьюринга и вопрос — зачем? 🙂

Любой кремниевый генерал — опытный программист, хорошо знает, что никогда сначала непонятно, что собираются кодить. И чем разработчик умнее, тем больше он видит неясностей и мутных пятен. И нередко тут больше политики, чем инженерии, особенно со стороны менеджмента — сделать вчера, сам не знаю что, но клиент должен быть доволен.

И теоретические знания алгоритмов и их сложности, классов задач, отличные, любимые, но… «игрушечные», хотя и научные — отходят на второй план. На первом плане — предчувствие развития архитектуры, выбор нужных и надежных библиотек, людей, атмосферы, железа.

На первом месте — уметь вовремя остановиться, не увлечься кодом и красотой. Прекратить и зарелизить, как можно быстрее, пока рынок готов!

Когда-то давно ты восхищался картинками, подобными этой из теории алгоритмов:

Она завораживала — прогрессивная наука! Черт, научившись решать NP-complete задачку, к ней можно будет свести другие трудные задачки и найти более быстрые алгоритмы! Круто. А если «P=NP», то можно найти полиномиальный алгоритм к переборным и другим космическим задачам и криптография рухнет к чертям.

Однако со временем все понимается на интуитивном уровне и выражается простыми словами. Почему нас грузили сложными терминами, если можно было объяснить проще? Кто еще не в теме, напомню, что задачи могут быть решены за полиномиальное время «P» на обычной машине Тьюринга (полином помните, квадраты, кубы в сумме могут быть) и, простите за «бред», за полиномиальное время на недетерминированной машине Тьюринга «NP» 🙂 т.е. если уметь одновременно перебирать все варианты (а это никто не умеет пока и квантовые компьютеры тоже).

Вспомним сразу, что машина Тьюринга это грубо старый добрый арифмометр:

И кто-то может наивно верить в возможности квантовых компьютеров — а вдруг они смогут решать NP-задачки лучше (хотя известно, что не все там хорошо, как ожидалось). Но постепенно становится одновременно и страшно и смешно от классики. Расскажите эксперту по производительности или просто хайлоадному разработчику про полином — да он за одно квадратичное время в коде готов пойти на преступление 🙂

Как вообще можно серьезно относиться к возможности выполнять множество задач бесконечно параллельно? Да, MapReduce немного подвинулся в этом направлении, есть Apache Storm, есть с натяжкой Apache Spark — но им очень далеко до идеи недетерминированной машины Тьюринга. Это хорошо заметно, когда данных терабайты и алгоритмы в лоб тупо не работают за разумное время, взять ту же кластеризацию K-means на миллионе сущностей и кластер нам уже слабо поможет.

Когда и перебор на «несуществующей параллельной машине» не помогает, проблема становится NP-hard (это неточное определение, но интуитивно понятное). Самое забавное, что, внимание, задача определения зависнет ли программа или нет — является NP-hard.

Когда первый раз узнаешь про это — уже не до смеха. Люди, слышите? Да программист каждый день решает такие задачи, когда отлаживает код! 🙂 Куда ушла наука, как же она оторвалась от реальности.

Да тут тоже весело. С бородатым тервером, логистической регрессией, байесовским классификатором, машинами опорных векторов более-менее разобрались, научились, работают неплохо, да и в реализации не особо сложны. Есть еще модели Маркова с алгоритмами в придачу, но они просты и понятны как трусы за рубль двадцать. А вот с нейронными сетями детективная история получилась… Мало кто хорошо понимает как их правильно обучать в разумное время и как они потом принимают решения. И они регулярно становятся модными и… немодными. Очередная мода — DeepLearning с хитом сезона sequence learning on LSTM. И тут еще Google подогрел ситуацию с TensorFlow, хотя Torch и Theano ничем не хуже и давно всем известны.

Понятно думаю, для чего применяется машинное обучение. Типичный пример: когда по причине сложности предметной области очень трудно аналитически сформировать набор правил для решения задачи — создается искусственный робот-математик, который тыкается «мордой» в данные до тех пор, пока не научится работать лучше, чем стандартные алгоритмы.

Не нужно далеко ходить: половина алгоритмов из Natural Language Processing — машинное обучение, т.к. ну не описывается язык людей формально хорошо, особенно наш, русский.

Да, рекуррентные нейронки в последнее время совершили прорыв и показали неоспоримо лучшие результаты при распознавании речи, образов и немного в NLP, например в машинном переводе. Да, есть надежда, что мы научим нейронные сети правильно выбирать важные атрибуты для обучения, т.к. пока смотреть на ненаучный средневековый нумерологический хардкор, который твориться на kaggle.com нельзя без слез. Искренне жаль тратить время на изучение методов ненаучного тыка методом жестких соревнований.

Да что все заладили с ним. Это одна из удобных конструкций — иногда удобно, да. Но даже Scala не отменяет старую добрую практику OOP и преподносит lambdas лишь как дополнение.

Основой остаются объекты. Структурируя свои мысли в сущности и методы, скрывая реализацию — разработчик способен дойти до победы, реализовать задуманное. А когда людей много, OOP помогает не наступать на ноги. Если бы инструментов управления сложностью и структуризации не было — мы бы запутались в собственном коде и мыслях. Поэтому — дышим глубоко.

И Страуструп — молодчина, смог создать язык как быстрый, так и применимый для больших программ. И java — не плоха. И догнать динамические языки по гибкости пока никто не может.

Haskell конечно умен, да, но, к сожалению, из разряда высшего космоса и недетерминированных арифмометров.

В общем хорошо видно, что на практике программисту чуть ли не ежедневно приходится решать адовые NP-hard задачи при отладке неработающего кода, исправлении багов, при уточнении постоянно меняющихся требований, при рефакторинге и выборе архитектуры и библиотек.

А менеджеры решают еще большее сложные алгоритмические задачи — создавая в коллективе творческую атмосферу, покупая печеньки и мотивируя сотрудников.

Пока ученые ищут способы эффективного обучения реккурентных нейронных сетей для распознавания образов, программист ежедневно прокачивает свою более сложную нейронку (мозг) на скоростях, приближенных к скорости света и не замечает этого.