это параллелограмм с равными диагоналями
☰
Одним из признаков прямоугольника является равенство его диагоналей. То есть, если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.
Чтобы доказать данный признак прямоугольника, рассмотрим параллелограмм ABCD, у которого диагонали AC и BD равны. Требуется доказать, что в таком случае ABCD — это прямоугольник. Чтобы это доказать, достаточно доказать, что один из углов параллелограмма прямой, т. к. по еще одному признаку прямоугольника им является параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой.
Рассмотрим в параллелограмме треугольники ABD и ACD. У них стороны BD и AC равны, т. к. это диагонали, которые по условию равны. Стороны AB и CD равны как противоположные параллелограмма. А сторона AD общая. Таким образом, ∆ABD = ∆ACD по трем сторонам.
Углу A треугольника ABD соответствует угол D треугольника ACD. Из доказанного равенства треугольников следует, что эти углы равны между собой: ∠A =∠D.
В параллелограмме сумма соседних углов всегда равна 180°. Это следует из того, что соседние углы параллелограмма являются односторонними углами между секущей и параллельными прямыми. Так, в данном случае, AB || CD и AD — секущая, следовательно, ∠A +∠D = 180°.
Если угол A равен углу D, а в сумме они составляют 180°, то каждый из этих углов будет по 90°. Таким образом, мы определили даже не один, а два прямых угла в параллелограмме. Из этого следует, что он является прямоугольником. Теорема о том, что если в параллелограмме диагонали равны, то он является прямоугольником, доказана.
Можно сформулировать и обратную теорему: в прямоугольнике диагонали равны
И в этом случае можно ограничиться рассмотрением треугольников ABD и ACD. Поскольку по условию нам уже дан прямоугольник, то угол A равен углу D по условию. Сторона AD общая, а стороны AB и CD равны как противоположные параллелограмма (или прямоугольника). Треугольники ABD и ACD оказываются равными по двум сторонам или углу между ними или по двум катетам прямоугольных треугольников.
Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны AC и BD равны. А они то и есть диагонали данного прямоугольника ABCD. Таким образом доказано, что если дан прямоугольник, то его диагонали будут равны друг другу.
Блог Олега Кривошеина: Докажите, что данный параллелограмм…
Решим два вида заданий из раздела «геометрия» экзамена по математике в 9 классе.
Задание 1. В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны AB. Известно, что KC=KD. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
Решение. Рассмотрим треугольники КВС и КАD, у них стороны KC=KD по условию, ВС = АD как противоположные стороны параллелограмма, АК=КВ по условию (К- середина АВ). Значит треугольники КВС и КАD равны. Поскольку в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, то угол АВС равен углу ВАD. Но это односторонние углы при параллельных АD и ВС и секущей АВ, их сумма равна 180 градусам, значит каждый из этих углов равен 90 градусам. Если у параллелограмма хотя бы один угол – прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Что и требовалось доказать.
Задание 2. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOB.Решение. Для решения этой задачи нам необходимо вспомнить три факта из пройденного курса геометрии.
Первый. Диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника.
Второй. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Третий. Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника.
Поэтому треугольники АВС и АDС равны. В треугольнике АВС АО является медианой, значит треугольники АВО и ВОС равновелики. Аналогично равновелики треугольники СОD и АОD. Таким образом все четыре треугольника, на которые диагонали разбили параллелограмм имеют равные площади, площадь каждого из них в 4 раза меньше площади исходного параллелограмма. Значит, площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOB.
Что и требовалось доказать.
Задания для самостоятельного решения.
1. В параллелограмме KLMN
2. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны CD. Известно, что EA=EB. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
3. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC=ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
4. В параллелограмме KLMN точка E — середина стороны KN. Известно, что EL=EM. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
5. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны
6. В параллелограмме KLMN точка E — середина стороны LM. Известно, что EK=EN. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
7. В параллелограмме KLMN точка A — середина стороны KN. Известно, что AL=AM. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
8. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны AB. Известно, что MC=MD. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
9. В параллелограмме KLMN точка B — середина стороны
10. В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны CD. Известно, что KA=KB. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
11. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKD.
12. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника
13. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника CMD.
14. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника COD.
15. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKB.
В параллелограммеЗадача 16 профильного ЕГЭ
Задача 1. В параллелограмм вписана окружность.
а) Докажите, что этот параллелограмм – ромб.
б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делит ее на отрезки, равные 3 и 2. Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба.
Решение:
а) Центр окружности O лежит на биссектрисе угла . Аналогично, поскольку окружность вписана и в угол , то ее центр О лежит также на биссектрисе этого угла.
Окружность в параллелограмме
Так как AC – диагональ параллелограмма и является биссектрисой обоих углов, то она разделит параллелограмм на два равных и равнобедренных треугольника, ABC и ADC. Равны они по третьему признаку, а равнобедренными являются, так как углы . Следовательно, все стороны параллелограмма ABCD равны, а значит, он – ромб.
б) Найдем площадь EFGH. Этот четырехугольник является прямоугольником, докажем это. По свойству касательных и следовательно, , . Также , . Так как диагонали ромба перпендикулярны, то и EFGH – прямоугольник.
Ход решения
Найдем его стороны и . Рассмотрим треугольник .
Его площадь равна . Обозначим , . Треугольник BFO является прямоугольным и подобен треугольнику BOC, так как имеет с ним общий острый угол. Из подобия следует, что
Тогда по теореме Пифагора
Найдем :
Площадь треугольника BFO равна:
Откуда
найдем по теореме Пифагора:
Теперь, зная стороны прямоугольника EFGH, найдем и его площадь:
Ответ:
Задача 2. На катетах AB и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC.Точка M – середина гипотенузы AB, H – точка пересечения прямых CM и DK.
а) Докажите, что .
б) Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312.
Квадраты на сторонах треугольника
Решение:
а) Обозначим острые углы треугольника ABC и . Треугольник DCK равен треугольнику ABC по первому признаку, а значит, их углы равны. Так как точка М – середина гипотенузы, а значит, центр описанной окружности треугольника ABC, то как радиусы описанной окружности. Поэтому угол – треугольник CMB равнобедренный. Угол как вертикальный. Угол , так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , а угол – прямой. И, так как два угла треугольника равны и , то третий угол – – прямой, то есть .
б)
Треугольник подобен треугольнику . Из их подобия запишем:
Тогда
Ответ: 289
Задача 3. На сторонах AC и BC треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC.Точка M – середина стороны AB.
а) Докажите, что .
б) Найдите расстояния от точки M до центров квадратов, если AC=14, BC=16, .
Квадраты на сторонах треугольника
Решение:
а) Обозначим угол . В треугольнике угол , потому что углы обоих квадратов равны , и если из вычесть эти , то . Тогда по теореме косинусов для треугольника можем записать:
, поэтому
– медиана треугольника по условию. Длину медианы треугольника можно найти через длины его сторон по формуле:
В свою очередь длина стороны по теореме косинусов равна:
Тогда
Так как , то
Таким образом, квадрат в четыре раза меньше квадрата , а значит, .
б) Определим сначала расстояние . Треугольник – прямоугольный по построению. Если удастся определить его катеты, то это позволит нам найти и гипотенузу также. Рассмотрим треугольник . . – высота треугольника MAC, ее можно найти, зная площадь этого треугольника. Рассчитаем для этого площадь треугольника ABC по известной формуле:
Так как .
Площади треугольников MAC и MCB равны, так как МС – медиана. Следовательно, площадь треугольника MAC равна 28. Отсюда легко найдем его высоту:
Тогда первый искомый катет треугольника .
Второй катет , а – средняя линия треугольника ABC по построению, и равна 8. Тогда из прямоугольного треугольника находим:
Таким образом, расстояние от точки M до центра первого квадрата X равно:
Теперь найдем расстояние до центра второго квадрата MY.
Рассуждения все те же самые. Площадь треугольника MCB равна 28, основание – 16, отсюда его высота равна 3,5. , первый катет прямоугольного треугольника MLY .
Второй катет найдем из прямоугольного треугольника , в котором гипотенуза , так как является средней линией треугольника ABC по построению.
Тогда искомый катет равен:
По теореме Пифагора для треугольника MLY:
Ответ: 13
Задача 4. Окружность, построенная на стороне AD параллелограмма ABCD как на диаметре, проходит через точку пересечения диагоналей.
а) Докажите, что ABCD – ромб.
б) Эта окружность пересекает сторону AB в точке M, причем AM:MB=3:1. Найдите диагональ AC, если известно, что .
Окружность на стороне параллелограмма
Решение:
а) Так как мы знаем, вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым, то треугольник AOD является прямоугольным, а следовательно, диагонали параллелограмма перпендикулярны друг другу, что означает, что он – ромб.
б) Зная, что ABCD – ромб и все его стороны одинаковы, найдем AM и MB.
Треугольник AMD – прямоугольный, поэтому
Тогда в треугольнике MBD, также прямоугольном, найдем BD:
Половина диагонали:
Половинка АС равна (из треугольника AOD):
Ответ:
Задача 5. Точки и лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причем . Прямые и пересекаются в точке О.
а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону BC.
б) Найдите отношение площади четырехугольника к площади треугольника ABC, если известно, что .
Отношение площадей
Решение:
а) Так как точки и делят стороны треугольника в одинаковых отношениях, то, каким бы ни было это отношение, прямая всегда будет параллельна BC, так как она отсекает от треугольника ABC подобные ему треугольники . Таким образом, – трапеция. По теореме о четырех точках трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения боковых сторон – а у нас это точка – лежат на одной прямой. Таким образом, прямая поделит ровно пополам.
Равные треугольники
б) Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом подобия , следовательно, его площадь будет составлять . Тогда площадь трапеции . Поскольку в пять раз меньше, чем , то площадь треугольника в пять раз меньше, чем площадь треугольника : . Обозначим , тогда , . Значит, ,
Рассмотрим треугольники и . Так как у них одинаковое основание – , и одинаковая высота (так как ), то их площади равны. В состав каждого из них входит треугольник , поэтому , . Площадь треугольника , подобного , можно найти из отношения:
Подобные треугольники
Тогда площадь трапеции
Площадь четырехугольника :
Ответ:
Задача 6. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки – середины отрезков MA, MB, MC соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB=4, BC=7, AC=8.
Пересечение медиан и многоугольник
а) Медианы точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины. Так как по условию по условию – середины отрезков MA, MB иMC, то , ,. Тогда площадь треугольников с такими основаниями равны: , , , и так далее. Таким образом, площадь шестиугольника вдвое меньше площади треугольника ABC.
б) Так как и являются средними линиями треугольника ABM, то – параллелограмм. Аналогично, и являются средними линиями треугольника BCM, и – параллелограмм. Также – параллелограмм. Диагоналями этих параллелограммов являются отрезки медиан, равные их . Известно, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон: . Именно это свойство мы и применим. Но перед этим найдем длины медиан треугольника ABC. Известна формула длины медианы треугольника через длины его сторон:
Пересечение медиан и многоугольник, параллелограммы
Тогда для нашего треугольника:
Диагонали указанных параллелограммов равны либо средним линиям треугольника ABC, либо медиан. Параллелограмм : , .
Параллелограмм : , .
Параллелограмм : , .
Определим теперь сумму квадратов сторон каждого из параллелограммов:
Сумма квадратов сторон шестиугольника равна:
Ответ: 24,5
8.1.4. Признаки параллелограмма.
I. Если две противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Задача 1. Из вершин В и D параллелограмма АBCD, у которого АВ≠ ВС и угол А — острый, проведены перпендикуляры BK и DM к прямой АС. Докажите, что четырехугольник BMDK — параллелограмм.
Доказательство.
Так как ВК и DM перпендикулярны одной и той же прямой АС, то ВК II DM. Кроме того, ВК и DM являются высотами, проведенными в равных треугольниках Δ АВС и Δ CDA из вершин равных углов ∠B и ∠D к одной и той же стороне АС, следовательно, ВК = DM. Имеем: две стороны ВК и DM четырехугольника BMDK параллельны и равны, значит, BMDK – параллелограмм, что и требовалось доказать.
II. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Задача 2. На сторонах AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.
Доказательство.
1. По условию в четырехугольнике ABCD противоположные стороны состоят из равных отрезков, поэтому равны, т.е. AD=BC, AB=CD. Следовательно, ABCD – параллелограмм.
2. Рассмотрим Δ MBN и Δ PDQ. BM=DP и BN=DQ по условию. ∠B =∠D как противолежащие углы параллелограмма ABCD. Значит, Δ MBN = Δ PDQ по двум сторонам и углу между ними (1-й признак равенства треугольников). А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Отсюда MN=PQ. Мы доказали, что противоположные стороны MN и PQ четырехугольника MNPQ равны. Аналогично, из равенства треугольников Δ MAQ и Δ PCN следует равенство сторон MQ и PN, которые являются противоположными сторонами четырехугольника MNPQ. Имеем: противоположные стороны четырехугольника MNPQ попарно равны. Следовательно, четырехугольник MNPQ – параллелограмм. Задача решена.
III. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Задача 3. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, Докажите, что четырехугольник MNPQ, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, — параллелограмм.
Доказательство.
По свойству диагоналей параллелограмма ABCD его диагонали AC и BD точкой пересечения делятся пополам, т.е. ОА=ОС и ОВ=OD. Диагонали четырехугольника MNPQ так же пересекаются в точке О, которая будет серединой каждой их них. Действительно, так как вершины четырехугольника MNPQ по условию являются серединами отрезков ОА, ОС, ОВ и OD, то BN=ON=OQ=DQ и AM=OM=OP=CP. Следовательно, диагонали MP и NQ четырехугольника MNPQ в точке пересечения делятся пополам, следовательно, четырехугольник MNPQ – параллелограмм, что и требовалось доказать.
Параллелограмм, его свойства. Признаки параллелограмма.
Параллелограмм.
Приступаем к изучению разных видов четырёхугольников.
Определение. Параллелограммом называется выпуклый четырёхугольник, у которого стороны попарно параллельны.
– параллелограмм. У него .
Рассмотрим свойства параллелограмма.
ТЕОРЕМА. У параллелограмма противолежащие стороны и углы равны.
Дано: – параллелограмм
Доказать:
Доказательство.
1. Проведём диагональ . Рассмотрим и .
2. и ; и – внутренние односторонние при параллельных прямых, значит,
.
3. Итак, , ч.т.д.
ТЕОРЕМА. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Дано: – параллелограмм
и – диагонали
Доказать:
Доказательство.
1. Т.к. параллелограмм является выпуклым четырёхугольником, то, по свойству выпуклых многоугольников, его диагонали пересекаются, т.е. .
2. Рассмотрим и .
по II признаку равенства треугольников , ч.т.д.
Итак, параллелограмм обладает двумя свойствами:
Противолежащие стороны и углы параллелограмма равны.
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Признаки параллелограмма.
Часто бывает ситуация, когда известны какие-то свойства четырёхугольника, а какой вид имеет этот четырёхугольник неизвестно. В этом случае помогут признаки параллелограмма.
ТЕОРЕМА (I признак параллелограмма).
Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник является параллелограммом.
Дано: – четырёхугольник
Доказать: – параллелограмм.
Доказательство.
Проведём диагональ и рассмотрим и .
. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых и , значит, по признаку параллельности прямых, .
Итак, в четырёхугольнике , т.е. стороны попарно параллельны, значит, – параллелограмм (по определению), ч.т.д.
ТЕОРЕМА (II признак параллелограмма).
Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.
Дано: – четырёхугольник
Доказать: – параллелограмм.
Доказательство.
Проведём диагональ и рассмотрим и .
и . А эти пары углов являются внутренними накрест лежащими. По признаку параллельных прямых: «если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны», делаем вывод, что , а . По определению параллелограмма, данный четырёхугольник является параллелограммом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (III признак параллелограмма).
Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырёхугольник является параллелограммом.
Дано: – четырёхугольник,
и – диагонали, ,
Доказать: – параллелограмм.
Доказательство.
Рассмотрим и .
по I признаку равенства треугольников и . А эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых и , значит, .
Мы доказали, что в четырёхугольнике две стороны параллельны и равны (), значит, по I признаку, этот четырёхугольник является параллелограммом, ч.т.д.
Начертите параллелограмм . Проведите в нём диагонали и . Обозначьте их точку пересечения буквой .
Найдите длину отрезка , если известно, что диагональ см.
Чему равна диагональ , если известно, что отрезок см?
Найдите периметр треугольника , если сторона равна см, а диагонали и равны см и см соответственно.
Две стороны параллелограмма равны см и см. Найдите периметр параллелограмма.
Сумма двух противолежащих углов параллелограмма равна . Чему равны эти углы?
Периметр параллелограмма равен см. Одна из его сторон равна см. Определите остальные стороны параллелограмма.
Найдите углы параллелограмма, если известно, что один из них равен сумме двух других углов параллелограмма.
Одна из сторон параллелограмма равна см, а другая – в раза меньше. Найдите периметр параллелограмма.
Высоты параллелограмма равны см и см. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей параллелограмма до одной из меньших сторон.
В параллелограмме сторона см, диагонали равны см и см, точка – точка пересечения диагоналей. Чему равен периметр треугольника ?
В параллелограмме один угол равен . Найдите остальные углы параллелограмма.
В треугольнике . Из точки, взятой на стороне , проведены две прямые, параллельные сторонам и . Определите вид получившегося четырёхугольника и все его углы.
Четырёхугольник – параллелограмм, отрезки равны. Докажите, что также является параллелограммом.
Диагональ параллелограмма продолжена на равные отрезки и . Докажите, что также является параллелограммом.
В параллелограмме биссектриса угла пересекает сторону в точке , причём, . Найдите периметр параллелограмма.
Диагональ параллелограмма составляет со сторонами параллелограмма углы в и . Найдите углы параллелограмма.
Стороны параллелограмма относятся как , а его периметр равен см. Найдите стороны параллелограмма.
В четырёхугольнике . Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке . Найдите периметр .
Из вершины параллелограмма с острым углом проведён перпендикуляр к прямой . Найдите и .
В выпуклом четырёхугольнике . Докажите, что .
Середина отрезка является центром окружности с диаметром , причём, точки не лежат на одной прямой. Докажите, что .
Постройте параллелограмм по большей стороне, меньшей диагонали и углу между ними.
В четырёхугольнике – точка пересечения диагоналей. Периметр треугольника равен см, см, см. Найдите .
Дан параллелограмм с острым углом . Из вершины опущен перпендикуляр к прямой . Найдите и .
В выпуклом шестиугольнике все стороны равны, . Докажите, что .
Дан параллелограмм . На продолжении диагонали за вершины и отмечены точки и соответственно так, что . Докажите, что .
Постройте параллелограмм по меньшей стороне, острому углу и углу между этой стороной и меньшей диагональю.
Одна сторона параллелограмма втрое больше другой стороны. Найдите стороны параллелограмма, если его периметр равен см.
В параллелограмме с острым углом из вершины проведён перпендикуляр к прямой . Найдите углы параллелограмма, если .
Один из углов параллелограмма на меньше другого. Найдите углы параллелограмма.
В параллелограмме с острым углом из вершины проведён перпендикуляр к прямой . Найдите углы параллелограмма, если .
Докажите, что четырёхугольник, имеющий центр симметрии, является параллелограммом.
На диагонали параллелограмма отмечены две точки и так, что . Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.
На сторонах и параллелограмма вне его построены правильные треугольники и . Докажите, что треугольник равносторонний.
Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если .
Угол параллелограмма меньше угла . Докажите, что .
В параллелограмме проведена биссектриса угла , которая пересекает сторону в точке .
Докажите, что треугольник равнобедренный.
Найдите сторону , если см, а периметр параллелограмма равен см.
На стороне параллелограмма взята точка так, что .
Докажите, что – биссектриса угла .
Найдите периметр параллелограмма, если см, см.
В выпуклом четырёхугольнике диагонали и пересекаются в точке . – медиана треугольника , – медиана треугольника . Докажите, что – параллелограмм.
Прямая параллельна стороне параллелограмма и пересекает стороны и в точках и соответственно. Докажите, что – параллелограмм.
В проведена медиана . На её продолжении за точку отложен отрезок , равный . Докажите, что четырёхугольник является параллелограммом.
С тороны и треугольника продолжены на точку так, что . Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.
– параллелограмм, . Найдите .
Одна из сторон параллелограмма на см больше другой. Периметр параллелограмма равен см. Найдите стороны параллелограмма.
В параллелограмме диагональ перпендикулярна стороне и равна ей. Найдите углы параллелограмма.
Периметр параллелограмма равен см. Найдите длины сторон, если известно, что диагональ параллелограмма делит угол на части и .
В параллелограмме из вершины тупого угла проведена высота к стороне так, что . Найдите углы параллелограмма.
Найдите длины высот параллелограмма, если известно, что стороны см и см, а углы относятся как .
Найдите углы параллелограмма, если известно, что один из них в раз меньше суммы всех остальных углов параллелограмма.
В треугольнике проведена медиана и продолжена на свою длину за точку . Найдите периметр четырёхугольника , если периметр треугольника равен см, см.
Биссектриса угла параллелограмма пересекает его сторону, образуя с ней угол . Найдите углы параллелограмма.
Биссектриса угла параллелограмма пересекает сторону в точке . Найдите периметр параллелограмма, если см, см.
Биссектриса угла параллелограмма пересекает его сторону, образуя с ней угол . Найдите углы параллелограмма.
Периметр параллелограмма равен см. Биссектрисы углов и пересекаются на стороне . Найдите длины сторон параллелограмма.
Биссектриса угла параллелограмма пересекает сторону в точке . Найдите углы параллелограмма, если известно, что .
Периметр параллелограмма равен см. Биссектриса угла и биссектриса угла делят сторону на три равные части так, что точка лежит между точками и . Найдите длины сторон параллелограмма.
Биссектриса угла параллелограмма пересекает сторону в точке . Найдите углы параллелограмма, если известно, что .
Биссектриса угла параллелограмма пересекает сторону в её середине . Периметр треугольника равен см, а длина отрезка больше стороны на см. Найдите периметр параллелограмма.
5
Как доказать что ABCD параллелограмм
Геометрия полностью построена на теоремах и доказательствах. Чтобы доказать, что произвольная фигура ABCD является параллелограммом, нужно знать определение и признаки этой фигуры.Параллелограммом в геометрии называется фигура с четырьмя углами, у которой параллельны противоположные стороны. Таким образом, ромб, квадрат и прямоугольник являются разновидностями этого четырехугольника.
Докажите, что две из противолежащих сторон равны и параллельны относительно друг друга. В параллелограмме ABCD это признак выглядит так: AB=CD и AB||CD. Нарисуйте диагональ АС. Полученные треугольники окажутся равными по второму признаку. АС — общая сторона, углы ВАС и АСD, также как и ВСА и CAD, равны как лежащие накрест при параллельных прямых AB и CD (дано в условии). Но так как эти накрест лежащие углы относятся и к сторонам AD и BC, значит эти отрезки также лежат на параллельных прямых, что и подвергалось доказательству.
Важным элементами доказательства, что ABCD параллелограмм, являются диагонали, так как в этой фигуре при пересечении в точке O они делятся на равные отрезки (AO=OC, BO=OD). Треугольники AOB и COD равны, так как равны их стороны в связи с данными условиями и вертикальные углы. Из этого следует, что и углы DBA и CDB также как и CAB и ACD равны.
Но эти же углы являются накрест лежащими при том, что прямые AB и CD параллельны, а роль диагонали выполняет секущая. Доказав таким образом, что и два других образованных диагоналями треугольники равны, вы получите, что данный четырехугольник параллелограмм.
Еще одно свойство, по которому можно доказать, что четырехугольник ABCD — параллелограмм звучит так: противоположные углы этой фигуры равны, то есть угол B равен углу D, а угол C равен A. Сумма углов треугольников, которые мы получим, если проведем диагональ AC, равна 180°. Исходя из этого получаем, что сумма всех углов данной фигуры ABCD равна 360°.
Вспомнив условия задачи, можно легко понять,что угол A и угол D в сумме составят 180°, аналогично угол C + угол D = 180°. В тоже время эти углы являются внутренними, лежат на одной стороне, при соответствующих им прямых и секущих. Отсюда следует, что прямые BC и AD параллельны, и приведенная фигура является параллелограммом.
Сформулируйте и докажите утверждения о признаках параллелограмма
Параллелограммом называют четырёхугольник (фигура, что состоит из четырёх точек и отрезков, последовательно их соединяющих), у которого противоположные стороны попарно параллельны. Его свойства впервые детально изучали греческие математики Евклид и Пифагор. Конец эпохи Средневековья принёс людям полную теорию об этой фигуре.
…
Вконтакте
Google+
Мой мир
История возникновения термина
О некоторых видах четырёхугольников, квадратов, прямоугольников, равносторонних и прямоугольных трапеций знали ещё давно. Первые найденные работы принадлежат египетским и вавилонским математикам.
Интересно знать: что такое выпуклый четырехугольник, его особенности и признаки.
Термин «параллелограмм» греческого происхождения, считают что его придумал Евклид (приблизительно 300 годов до нашей эры). Ещё известно, что эта фигура и её свойства были знакомы ученикам школы Пифагора, раньше их называли пифагорейцами.
В «Началах» Евклида приведена следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны, а диагонали разделяют его по половине. Но в данной книге не было написано о свойствах точки их сечения. Ещё этот учёный не упоминает о прямоугольнике и ромбе.
Это интересно: в геометрии луч — это что такое, основное понятие.
Полную теорию сделали только в конце Средневековья, а в книгах она появилась в семнадцатом столетии. Теоремы и свойства параллелограмма основывались на аксиомах Евклида.
«Диагональ» — это слово греческого происхождения, «диа» означало «через», а «гониос» — «угол». Это можно понять как отрезок, что соединяет вершины углов.
Нужно сказать, что Евклид, как и большинство математиков того времени, для названия отрезка, который соединяет противоположные вершины четырёхугольника или прямоугольника, использовал другой термин — «диаметр». Это можно объяснить тем, что первые геометры свои мысли основывали на вписании круга в прямоугольник. В Средние века для названия приведённых отрезков использовали оба термина. Только в семнадцатом столетии «диагональ» стала общепринятой.
Это интересно: разность векторов, определение разности.
Доказательство признаков фигуры
На следующем рисунке изображён параллелограмм ABCD, где AB параллельно CD и AD параллельно BC:
Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180 градусам — это первая подсказка о том, как сформулировать и доказать утверждения о признаках параллелограмма.
На этом рисунке углы A и B фигуры ABCD есть внутренними односторонними углами для параллельных прямых AD и BC . Поэтому углы A + B равны 180 градусам. Аналогично это свойство можно привести для любой другой пары соседних (если вершины есть концами одной и той же стороны) углов.
Нужно знать! Что такое горизонталь и горизонтальное положение.
Теорема признаков паралелограмма
- Теорема признаков параллелограмма гласит, что это выпуклый четырёхугольник. Исходя из предыдущего правила, угол А намного меньше 180 градусов, как и B, C, D, поэтому его называют опухлым четырёхугольником. Диагонали этой фигуры могут пересекаться.
- У параллелограмма противоположные стороны и углы равны.
Диагональ АС разбивает фигуру на два треугольника ABC и ADC. АС — общая сторона двоих треугольников и САD эквивалентен АСВ также с САВ и АСD. Тогда ∆АВС = ∆СDA, по стороне и двумя прилегающими углами. Это значит, что АВ=СD, BC=AD и B=D, как соответствующие элементы в различных треугольниках. В результате угол BAC + CAD равен ВСА + DCA и BAD = BCD.
Теорема о диагоналях
- Периметр (сумма длин всех сторон четырёхугольника, которую обозначают буквой Р) параллелограмма эквивалентен 2 (АВ +ВС) или АВ + ВС + СD + DA.
- Теорема о диагоналях параллелограмма гласит, что точкой пересечения они делятся ровно пополовине.
По условию задачи O — это точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма. AB эквивалентно BC, как противоположные, не имеющие своей общей вершины. CAD равен ACB также BDA и DBC, АD и BC секущими AC и B. D. Следуя дальше ∆АОD = ∆ COB, по стороне и двух прилегающих углах. Тогда, А = ОС, ВО = ОD, как соответствующие стороны разных треугольников.
Высотой называется перпендикуляр, проведённый из любой точки стороны фигуры к прямой, что имеет противоположную сторону.
На этом рисунке MN — это высота. Следуя за известным определением, из каждой вершины можно провести две высоты (BF и BT, которые приведены в соответствии к сторонам AD и CD).
Свойства параллелограмма с доказательствами 8 класса :
- Две стороны равны и параллельны.
- Противоположные стороны попарно равны.
- Диагонали пересекаются и этой точкой делятся ровно пополам.
- Противоположные углы попарно равны.
Теперь нужно вернуться к первому рисунку, чтобы до конца понять все признаки параллелограмма и доказательства любых признаков.
В нём AD = BC и AD || BC. Провели диагональ AC и получили ∆CAD и ∆ACB. CAD эквивалентен ВСА, как внутренние разносторонние углы при пересечениях прямых AD и BC секущей AC, ещё она является их общей стороной. Условия задачи говорят: AD=BC. Значит, что, ∆CAD=∆ACB, ACD = CAB. Из-за того, что они были созданы в таких условиях AB || CD, по признаку параллельных прямых.
% PDF-1.4 % 592 0 объект > эндобдж xref 592 114 0000000016 00000 н. 0000003720 00000 н. 0000003805 00000 н. 0000004043 00000 н. 0000004625 00000 н. 0000010751 00000 п. 0000010964 00000 п. 0000011373 00000 п. 0000011451 00000 п. 0000011527 00000 п. 0000011604 00000 п. 0000011679 00000 п. 0000011757 00000 п. 0000012003 00000 п. 0000015351 00000 п. 0000015744 00000 п. 0000016129 00000 п. 0000016502 00000 п. 0000021683 00000 п. 0000021932 00000 п. 0000022353 00000 п. 0000022851 00000 п. 0000029611 00000 п. 0000029983 00000 н. 0000030255 00000 п. 0000030598 00000 п. 0000031251 00000 п. 0000031524 00000 п. 0000031957 00000 п. 0000032196 00000 п. 0000032930 00000 н. 0000033696 00000 п. 0000034347 00000 п. 0000034769 00000 п. 0000034817 00000 п. 0000034865 00000 п. 0000035244 00000 п. 0000035604 00000 п. 0000035641 00000 п. 0000035694 00000 п. 0000037038 00000 п. 0000037220 00000 п. 0000038095 00000 п. 0000038850 00000 п. 0000038992 00000 п. 0000039707 00000 п. 0000039982 00000 н. 0000040324 00000 п. 0000040512 00000 п. 0000041751 00000 п. 0000041916 00000 п. 0000041976 00000 п. 0000042259 00000 п. 0000042462 00000 п. 0000042841 00000 п. 0000042898 00000 п. 0000043706 00000 п. 0000043998 00000 п. 0000044415 00000 п. 0000045070 00000 п. 0000045471 00000 п. 0000045848 00000 п. 0000049344 00000 п. 0000049592 00000 п. 0000050779 00000 п. 0000051183 00000 п. 0000051296 00000 п. 0000051608 00000 п. 0000051886 00000 п. 0000053876 00000 п. 0000055336 00000 п. 0000055387 00000 п. 0000056499 00000 п. 0000056876 00000 п. 0000057138 00000 п. 0000057689 00000 п. 0000058219 00000 п. 0000059174 00000 п.
Доказательство: четырехугольник — это параллелограмм
) Параллелограмм определяется как четырехугольник с двумя противоположными парами сторон, параллельными.Мы сказали (и доказали), что параллелограммы обладают четырьмя основными свойствами:
Теперь мы покажем, что верно обратное — что если выполняется одно из этих свойств, четырехугольник является параллелограммом.
Мы начнем с пятой обратной теоремы: если у четырехугольника одна пара сторон параллельна и равна длине, это параллелограмм.
Задача
В четырехугольнике ABCD, AD || BC и AD = BC. Покажите, что ABCD — параллелограмм
Стратегия
Чтобы показать, что четырехугольник является параллелограммом, используя определение параллелограмма, нам нужно показать, что обе пары противоположных сторон параллельны.Здесь нам уже дан тот факт, что одна пара параллельна — AD || BC, поэтому нам нужно будет сделать это для другой пары, то есть показать, что AB || DC.
Чтобы показать, что две прямые параллельны, мы можем использовать обратную теорему о соответствующих углах (то есть показать, что 2 соответствующих угла совпадают) или обратную теорему об альтернативных внутренних углах (показать, что внутренние переменные углы или внешние переменные углы совпадают), в зависимости от того, что проще.
Но чтобы показать любые такие конгруэнтные углы, нам нужно будет создать несколько треугольников, чтобы использовать конгруэнтность треугольников.Будет полезно создать эти треугольники таким образом, чтобы использовать известные стороны, которые равны, поэтому, поскольку нам говорят, что AD = BC, мы, вероятно, должны сделать их сторонами в треугольниках, которые мы создаем. Итак, давайте сделаем это:
Это создает 2 треугольника с 2 равными сторонами — диагональ BD общая для обоих, и AD = BC, как указано.
Нам также известно, что AD || BC so ∠ADB ≅ ∠CBD как чередующиеся внутренние углы, образованные поперечной линией (BD), пересекающей две параллельные прямые (AD и BC). Тогда два треугольника ΔADB и ΔCBD конгруэнтны согласно постулату Side-Angle-Side, и отсюда мы получаем, что ∠BDC ≅ ∠DBA, как соответствующие углы в конгруэнтных треугольниках, и теперь мы можем применить обратную теорему об альтернативных внутренних углах. чтобы показать, что AB || DC.
Proof
(1) BD = BD // общая сторона, рефлексивное свойство равенства
(2) AD = BC // задано
(3) AD || BC // задано
(4) ∠ ADB ≅ ∠CBD // (3), чередующиеся внутренние углы, образованные поперечной линией
(5) ΔADB ≅ ΔCBD // Постулат бокового угла
(6) ∠BDC ≅ ∠DBA // соответствующие углы в конгруэнтных треугольники, (CPCTC)
(7) AB || DC // преобразование альтернативных внутренних углов Теорема
(8) ABCD — параллелограмм // Определение параллелограмма — четырехугольника с двумя парами противоположных сторон, параллельных каждому Другой.
Когда параллелограмм — это квадрат?
Когда параллелограмм — это квадрат?
Это последний раунд «Назовите этот четырехугольник». Я думаю о параллелограмме с равными перпендикулярными диагоналями. Назовите этот параллелограмм.
Что ж, если у параллелограмма совпадающие диагонали, вы знаете, что это прямоугольник. Если у параллелограмма перпендикулярные диагонали, вы знаете, что это ромб. Итак, я думаю о параллелограмме, который одновременно является прямоугольником и ромбом.Единственный параллелограмм, удовлетворяющий этому описанию, — это квадрат.
- Теорема 16.8 : Если диагонали параллелограмма совпадают и перпендикулярны, параллелограмм является квадратом.
В этом доказательстве не так много, потому что вы проделали большую часть работы в последних двух разделах. На рисунке 16.8 показан параллелограмм с совпадающими перпендикулярными диагоналями, но он вводит в заблуждение, поскольку не совсем похож на квадрат. Картинка вас не обманет, но вы извлечете важную информацию.В частности, вам нужен параллелограмм с диагоналями AC и BD, которые перпендикулярны и совпадают. Причина, по которой я намеренно нарисовал общий параллелограмм, а не квадрат, заключается в том, что я хочу быть осторожным и не предполагать то, что пытаюсь доказать. Если я нарисовал квадрат, у меня может возникнуть соблазн сделать выводы о длинах соседних сторон. Как математики, обучающиеся, важно держаться как можно дальше от ловушки предположений, которые вы пытаетесь доказать. Люди нередко наслаждаются пейзажем в своем геометрическом путешествии и забывают смотреть, куда они идут!
Рисунок 16.8 Параллелограмм ABCD с AC ~ = BD и AC? BD
| Заявления | Причины | |
|---|---|---|
| 1. | Параллелограмм ABCD с AC ~ = BD и AC? BD | Дано |
| 2. | Параллелограмм ABCD является прямоугольником | Теорема 16,5 |
| 3. | Параллелограмм ABCD является ромбом | Теорема 16.6 |
| 4. | Параллелограмм ABCD является прямоугольник с совпадающими смежными сторонами | Определение ромба |
| 5. | Параллелограмм ABCD — это квадрат | Определение квадрата |
На этом завершается эпизод «Назовите этот четырехугольник». Участники конкурса получили хорошее образование, которое можно передать друзьям, семье и всем, кто желает их слушать. Если вы планируете быть в этом районе и хотели бы билеты на запись фильма «Назовите этот четырехугольник»? отправьте открытку по адресу, указанному в конце раздела, с указанием своего имени, класса, математических интересов и дат, когда вы будете в этом районе.Увидимся в следующий раз!
Выдержка из Полное руководство идиота по геометрии 2004 Дениз Сечей, доктор философии. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.
Чтобы заказать эту книгу непосредственно у издателя, посетите веб-сайт Penguin USA или позвоните по телефону 1-800-253-6476. Вы также можете приобрести эту книгу на Amazon.com и Barnes & Noble.
параллелограммных доказательств — Common Core: High School
Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
Доказательство четырехугольника как параллелограмма | Ресурсы Wyzant
В предыдущем разделе мы узнали о нескольких свойствах, которые различают параллелограммы из других четырехугольники.Большая часть нашей работы была основана на вычислениях, потому что нам уже дали тот факт, что фигуры были параллелограммами. В этой секции, мы будем использовать наши навыки рассуждения, чтобы собрать двухколонный геометрический доказательства для параллелограммов. Мы можем применить многое из того, что узнали в предыдущем раздел, чтобы помочь нам в этом уроке, но мы будем гораздо более формализованными и организованы в наших аргументах.
Использование определений и теорем в доказательстве
То, как мы начинаем наши доказательства, — это ключевые шаги на пути к заключению.Следовательно, понимание информации, которую нам дает упражнение, может быть самая важная часть доказательства утверждения.
Как мы увидим, есть разные способы, которыми мы можем сказать одно и то же. утверждение. Напомним, что многие наши угловые теоремы были обратными. Обратные теоремы по существу дал ту же информацию, но в обратном порядке.Придется подойти к проблемам с параллелограммами таким же образом. То есть мы должны осознавать аргументы мы делаем на основе того, является ли нам дан , что определенный четырехугольник является параллелограммом, или если мы хотим доказать , что четырехугольник является параллелограммом. Давайте взглянем на эти утверждения, чтобы мы поняли, как правильно их использовать в нашем доказательства.
Дан параллелограмм
Мы можем использовать следующие утверждения в наших доказательствах, если нам дано, что четырехугольник — параллелограмм.
Определение: Параллелограмм — это тип четырехугольника, пары противоположных стороны параллельны.
Если четырехугольник — параллелограмм, то …
Большая часть приведенной выше информации была изучена в предыдущем разделе. Цель организация его таким образом, чтобы помочь нам увидеть разницу в наших утверждениях в зависимости от того, дан ли нам параллелограмм или пытаясь доказать, что четырехугольник параллелограмм.
Давайте посмотрим на структуру наших утверждений, когда мы пытаемся доказать, что четырехугольник — параллелограмм.
Доказательство параллелограмма
Определение: Параллелограмм — это тип четырехугольника, пары противоположных стороны параллельны.
Если …
… четырехугольник — параллелограмм.
Давайте воспользуемся этими утверждениями, чтобы доказать следующее упражнение. Нам понадобится использовать обе формы утверждений выше, потому что нам будет дан один параллелограмм, и нам нужно будет доказать, что существует еще один. Это даст нам практиковаться в использовании регулярные теоремы и определения, а также их обращения.
Упражнение
.Решение:
Как говорилось перед этим упражнением, нам нужно знать, как использовать теоремы и определения, а также их обратные, потому что нам дано , что NRSM является параллелограммом, но мы также хотим, чтобы доказать , что ERAM является параллелограмм.Нам также выдали ? 4 ?? 5 , которые нам помогут. подтвердите наш вывод.
Для начала мы знаем, что ? R ?? M , потому что это противоположные углы. параллелограмма НРСМ .
Знание этого позволяет нам утверждать, что ? 3 ?? 6 путем вычитания угла Постулат .Мы видим, что ? R состоит из двух меньших углов. ( ? 3 и ? 4 ). Аналогично, мы видим, что ? M состоит из ? 5 и ? 6 . Поскольку все углы конгруэнтны, и два меньших угла в них равны, то их остатки также совпадают.
Итак, мы доказали, что одна пара противоположных углов конгруэнтна.Если мы сможем показать что ? 2 и ? 7 также совпадают, мы можем доказать, что четырехугольник ERAM — параллелограмм.
Поскольку NRSM — параллелограмм, мы знаем, что его противоположные стороны параллельно. Итак, у нас есть, что сегменты NR и MS параллельны. Рассматривая эти линии, мы знаем, что сегменты EM и RA являются трансверсалиями к параллельным прямым, так как они пересекают обе прямые.Таким образом, мы можно использовать теорему об альтернативных внутренних углах , чтобы доказать, что ? 1 ?? 6 и ? 3 ?? 8 .
По транзитивности мы можем сказать, что ? 1 конгруэнтно ? 8 . Сложно представить цепочку сравнений, которая позволяет нам сделать это претензия, но она такова:
Обратите внимание, что ? 3 и ? 6 совпадают, углы противоположны, точно так же, как ? 2 и ? 7 .Давайте посмотрим на нашу новую иллюстрацию чтобы помочь нам визуализировать то, что мы сделали.
Мы доказали, что ERAM — параллелограмм, потому что обе пары его противоположные углы совпадают. Доказательство нашего аргумента из двух столбцов показано. ниже.
Докажите, что противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны
Вот как мы можем доказать, что противоположные стороны параллелограмма равны или равны, используя параллелограмм ниже.
Вот что нам нужно доказать : отрезок AB ≅ отрезок CD и отрезок BC ≅ AD
Поскольку ABCD — параллелограмм, отрезок BC параллелен отрезку AD согласно определению параллелограмма.
Точно так же сегмент AB параллелен сегменту DC согласно определению параллелограмма.
Линия AC является пересечением для сегмента BC и сегмента AD. Это поперечное сечение создает чередующиеся внутренние углы 1 и 4, которые равны, как показано ниже.
Точно так же линия AC является поперечной для сегмента AB и сегмента DC. Этот поперечный создает чередующиеся внутренние углы 2 и 3, которые равны.
Более того, отрезок AC ≅ отрезок AC по рефлексивному свойству. Сводка
∠2 ≅ ∠ 3
сегмент AC ≅ сегмент AC
Согласно ASA, треугольник ABC ≅ треугольник ADC
Следовательно, сегмент AB ≅ сегмент CD и сегмент BC ≅ AD, поскольку соответствующие части конгруэнтных треугольников также являются конгруэнтный.
О чем нужно помнить, когда вы доказываете, что противоположные стороны параллелограмма совпадают.
Вот некоторые важные вещи, о которых вам следует знать о приведенном выше доказательстве.
- Возвратное свойство относится к числу, которое всегда равно самому себе. Например, z = z или 1000 = 1000 являются примерами рефлексивного свойства.
- ASA означает «угол, сторона, угол». Возможно, вам стоит повторить урок о конгруэнтных треугольниках, если вам трудно понять доказательство.
- Поперечная линия — это линия, которая разрезает две или более линий
- Обратите внимание, что в доказательстве мы смогли найти два угла с одинаковой мерой в обоих треугольниках. Это означает, что все три угла в обоих треугольниках имеют одинаковую меру. Однако этой информации недостаточно, чтобы сказать, что треугольники конгруэнтны.
- Постулат ASA, скорее всего, единственное, что мы можем использовать, чтобы доказать, что противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны.
- Если вы не знаете, что такое альтернативные внутренние углы, просмотрите этот урок.
Не всегда легко понять геометрические доказательства. Если у вас возникнут вопросы по поводу этого доказательства, не стесняйтесь обращаться ко мне.
Введение в физику
18 ноя, 20 13:20
Первоклассное введение в физику. Универсальный ресурс для глубокого понимания важных концепций физики
Подробнее
Новые уроки математики
Ваша электронная почта в безопасности.Мы будем использовать его только для информирования вас о новых уроках математики.
Когда параллелограмм является ромбом?
Когда параллелограмм является ромбом?
Я думаю о параллелограмме, диагонали которого перпендикулярны. Назовите этот параллелограмм.
Если вы догадались, что это квадрат, значит, вы не очень хорошо прочитали заголовок этого раздела. Это ромб! Хорошая вещь в работе с параллелограммами заключается в том, что диагонали создают множество треугольников, которые просто просят быть доказанными конгруэнтными.На рисунке 16.6 параллелограмм ABCD имеет перпендикулярные диагонали. Соответствующие треугольники пытаются общаться с вами. Слушай внимательно.
Рисунок 16.6 Параллелограмм ABCD с переменным током? BD.
- Теорема 16.6 : Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, параллелограмм представляет собой ромб.
Давайте сразу перейдем к плану игры. Вы знаете этот кондиционер? BD, поэтому m? AMB = 90 и m? CMB = 90. Поскольку диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, вы знаете, что AM ~ = MC.Рефлексивное свойство ~ = позволяет писать BM ~ = BM. Согласно Постулату SAS, вы знаете, что? AMB ~ =? CMB. По CPOCTAC вы знаете, что AB ~ = BC. Поскольку AB ~ = BC и AB ~ = BC — смежные стороны, у вас есть параллелограмм с совпадающими смежными сторонами, он же ромб.
| Заявления | Причины | |
|---|---|---|
| 1. | Параллелограмм ABCD имеет переменный ток? BD | Дано |
| 2. | ? AMB и? CMB верны | Определение? |
| 3. | m? AMB = 90 и m? CMB = 90 | Определение прямого угла |
| 4. | ? AMB ~ =? CMB | Определение ~ = |
| 5. | AM ~ = MC | Теорема 15,6 |
| 6. | BM ~ = BM | Отражательное свойство ~ = |
| 7. | ? AMB ~ =? CMB | Постулат SAS |
| 8. | AB ~ = BC | CPOCTAC |
| 9. | Параллелограмм ABCD — это ромб | Определение ромба |
Теперь давайте немного поинтересуемся. Предположим, у вас есть прямоугольник ABCD. Найдите середины каждой из сторон прямоугольника и последовательно соедините их вместе, чтобы сформировать четырехугольник MNOP, как показано на рис. 16.7. Какой четырехугольник получается?
Рис. 16.7 Прямоугольник ABCD, середины каждой стороны которого последовательно соединены вместе, образуя четырехугольник MNOP.
На картинке он похож на параллелограмм. Однако вы должны быть осторожны, потому что внешний вид может быть обманчивым. Также похоже, что диагонали вновь созданного четырехугольника перпендикулярны. Если рисунок точный, у вас может возникнуть соблазн сделать вывод, что четырехугольник — это ромб. Давайте это докажем.
- Теорема 16.7 : Если середины сторон прямоугольника соединены по порядку, полученный четырехугольник представляет собой ромб.
Для этого вам нужен серьезный план игры.Поскольку M, N, O и P являются серединами AB, BC, CD и AD, вы знаете, что BN ~ = NC ~ = AP ~ = PD и AM ~ = MB ~ = OD ~ = CO. Потому что вы ‘ Имея дело с прямоугольником, вы знаете, что m? A = 90, m? B = 90, m? C = 90 и m? D = 90. Итак, согласно Постулату SAS,? PAM ~ =? NBM ~ =? PDO ~ =? Унтер-офицер. Применение принципа CPOCTAC MN ~ = MP ~ = PO ~ = NO. Итак, противоположные стороны равны, а четырехугольник MNOP — параллелограмм. Кроме того, смежные стороны совпадают, поэтому параллелограмм MNOP представляет собой ромб.
Leave A Comment