Параллелограмм. Признаки параллелограмма 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Тема 1: Четырехугольники

  • Видео
  • Тренажер
  • Теория

Заметили ошибку?

Параллелограмм. Признаки параллелограмма.

Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны.

 

 

Основные свойства параллелограмма:

  1. ∠ВАD = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA (противоположные углы равны).

  2. AB = DC, BC = AD (противоположные стороны равны).

    Первые два свойства следуют из равенства треугольников ABC и ACD, а также треугольников ABD и BCD.

  3. AO = OC, BO = OD (диагонали точкой пересечения делятся пополам).

    Третье свойство следует из равенства треугольников BOC и AOD.

  4. ∠BAD + ∠ABC = 180° (сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°).

    Четвертое свойство следует из параллельности прямых BC и AD, а также AB и CD.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

 

 

Дано: АВ||CD, AB = CD.

Доказать: ABCD – параллелограмм.

Доказательство: проведем в четырехугольнике диагональ, она разобьет его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках:

AB = CD по условию.

BD – диагональ параллелограмма, является общей стороной для треугольников АВD и BCD.

∠АВD = ∠ВDС как накрест лежащие.

Значит, треугольник АВD равен треугольнику BCD по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства указанных треугольников следует, что ∠СВD = ∠АDB, а значит, АD||BC по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Имеем, что AB||CD и AD||BC, значит АВСD – параллелограмм по определению.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

 

 

Дано: АВ = СD, AD = BC.

Доказать: ABCD – параллелограмм.

Доказательство: проведем в четырехугольнике диагональ BD, она разобьет его на два треугольника. Запишем, что мы знаем об этих треугольниках:

АВ = СD по условию.

AD = BC по условию.

BD – общая сторона.

Значит, треугольник АВD равен треугольнику CBD по третьему признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует, что ∠СВD = ∠АDB, ∠АВD = ∠ВDС, а значит, АD||BC и AB||DC по признаку параллельности прямых при пересечении их секущей. Получаем AD||BC и AB||DC, значит АВСD – параллелограмм по определению.

Заметили ошибку?

Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.

Как доказать что авсд параллелограмм по координатам. Как доказать что это параллелограмм

Для того, чтобы определить является ли данная фигура параллелограммом существует ряд признаков. Рассмотрим три основных признака параллелограмма.

1 признак параллелограмма

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть в нем стороны AB и СD параллельны. И пусть AB=CD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.

Эти треугольники равны между собой по двум сторонам и углу между ними (BD — общая сторона, AB = CD по условию, угол1 = угол2 как накрест лежащие углы при секущей BD параллельных прямых AB и CD.), а следовательно угол3 = угол4.

А эти углы будут являться накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей BD. Из этого следует что BC и AD параллельны между собой. Имеем, что в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом.

2 признак параллелограмма

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник будет параллелограммом.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем диагональ BD. Она разделит данный четырехугольник на два равных треугольника: ABD и CBD.

Эти два треугольника буду равны между собой по трем сторонам (BD — общая сторона, AB = CD и BC = AD по условию). Из этого можно сделать вывод, что угол1 = угол2. Отсюда следует, что AB параллельна CD. А так как AB = CD и AB параллельна CD, то по первому признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.

3 признак параллелограмма

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет являться параллелограммом.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем в нем две диагонали AC и BD, которые будут пересекаться в точке О и делятся этой точкой пополам.

Треугольники AOB и COD будут равны между собой, по первому признаку равенства треугольников. (AO = OC, BO = OD по условию, угол AOB = угол COD как вертикальные углы. ) Следовательно, AB = CD и угол1 = угол 2. Из равенства углов 1 и 2 имеем, что AB параллельна CD. Тогда имеем, что в четырехугольнике ABCD стороны AB равны CD и параллельны, и по первому признаку параллелограмма четырехугольник ABCD будет являться параллелограммом.

Доказательство что ABCD-параллелограмм и получил лучший ответ

Ответ от Николай Цегельник[гуру]
Как доказать, что четырехугольник — параллелограмм
Как доказать, что четырехугольник — параллелограмм? Для этого можно использовать определение либо один из признаков параллелограмма.
1) Четырехугольник является параллелограммом по определению, если у него противолежащие стороны параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

ABCD — параллелограмм, если
AB ∥ CD, AD ∥ BC.
Для доказательства параллельности прямых используют один из признаков параллельности прямых, чаще всего — через внутренние накрест лежащие углы. Для доказательства равенства внутренних накрест лежащих углов можно доказать равенство пары треугольников.
это могут быть пары треугольников
1) ABC и CDA,
2) BCD и DAB,
3) AOD и COB,
4) AOB и COD.
2) Четырехугольник является параллелограммом, если у него диагонали в точке пересечения делятся пополам.
Чтобы использовать этот признак параллелограмма, надо сначала доказать, что AO=OC, BO=OD.
3) Четырехугольник является параллелограммом, если у него противолежащие стороны параллельны и равны.
Чтобы использовать этот признак параллелограмма, надо сначала доказать, что AD=BC и AD ∥ BC (либо AB=CD и AB ∥ CD).
Для этого можно доказать равенство одной из тех же пар треугольников.
4) Четырехугольник — параллелограмм, если у него противоположные стороны попарно равны.
Чтобы воспользоваться этим признаком параллелограмма, нужно предварительно доказать, что AD=BC и AB=CD.
Для этого доказываем равенство треугольников ABC и CDA или BCD и DAB.
Это — четыре основных способа доказательства того, что некоторый четырехугольник — параллелограмм. Существуют и другие способы доказательства.
Например, четырехугольник — параллелограмм, если сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадрату сторон. Но, чтобы воспользоваться дополнительными признаками, надо их сначала доказать.
Доказательство с помощью векторов или координат также опирается на определение и признаки параллелограмма, но проводится иначе. Об этом речь будет вестись в темах, посвященных векторам и декартовым координатам.
Николай Цегельник
Мастер
(1657)
Ну правила я написал. Тебе осталось только расписать их под каждый пример. Тут вряд ли кто то будет решать примеры полностью я в том числе. Тем более все 9 примеров. Тут только на 1 пример писанины на пол листа.

Ответ от Александр Ульшин [новичек]
Урок в грузинской школе.
— Гоги, нарисуй на доске равнобэдрэный трэугольник.
— Нарысовал
— А тэпэрь дакажи, што этот трэугольник — равнобэдрэный!
— Мамой клянус!

Ответ от Vercia n [гуру]
1. ВС=АД; ВС||АД > АВСД — параллелограмм

Ответ от 3 ответа [гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: Доказательство что ABCD-параллелограмм

Ответ от 3 ответа [гуру]

Теорема: Четырехугольник является параллелограммом, если:

  1. противоположные его углы равны;
  2. противоположные его стороны попарно равны;
  3. его диагонали точкой пересечения делятся пополам;
  4. две его противоположные стороны параллельны и равны.

Доказательство:

A. Пусть в четырехугольнике KLMN углы К и М равны друг другу и равны а, пусть также равны друг другу и равны р углы L и N (рисунок). Учитывая, что сумма углов четырехугольника равна 360°, получаем, что 2α + 2β = 360°, или α + β = 180°. Учитывая, что углы К и L, равные соответственно аир, являются внутренними односторонними углами при прямых KN и LM, пересеченных прямой KL, заключаем, что стороны KN и LM параллельны. Также по углам К и N заключаем, что стороны KL и NM параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник KLMN — параллелограмм.

B. Пусть в четырехугольнике CDEF стороны CD и FE, а также CF и DE попарно равны (рисунок). Проведем одну из диагоналей четырехугольника, например СЕ. Треугольники CDE и EFC равны по трем сторонам. Поэтому углы DEC и FCE равны. Поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых DE и CF, пересеченных прямой СЕ, то стороны DE и CF параллельны. Также из равенства углов DCE и FEC получаем, что стороны CD и FE параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник CDEF — параллелограмм.

C. Пусть точка В пересечения диагоналей IL и КМ четырехугольника IKLM делит эти диагонали пополам: IB = BL и KB = ВМ (рисунок). Тогда треугольники KBL и MBI равны по двум сторонам и углу между ними. Это позволяет утверждать, что углы 1MB и LKB равны, а значит, стороны IM и KL параллельны. Аналогично из равенства треугольников KBI и MBL делаем вывод о параллельности сторон IK и LM. Теперь по определению параллелограмма можем утверждать, что четырехугольник IKLM — параллелограмм. Очень часто это надо знать при решении олимпиадных задачах на школьных олимпиадах.

D. Пусть в четырехугольнике OPQR противоположные стороны ОР и RQ параллельны и равны (рисунок). Проведем диагональ OQ. Полученные углы POQ и RQO равны, так как они являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых ОР и RQ, пересеченных прямой OQ. Поэтому треугольники OPQ и RQO равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, их соответствующие углы PQO и ROQ равны.

А поскольку они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых PQ и OR, пересеченных прямой OQ, то стороны PQ и OR параллельны. Учитывая параллельность сторон ОР и RQ, по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник OPQR — параллелограмм.

параллелограмм

и его свойства | mathtestpreparation.com

вернуться к Геометрия

Определение параллелограмма

Параллелограмм – это четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон.

На рисунке выше, если AB // DC и AD // BC, то ABCD — параллелогтам.

Параллелограмм Свойство 1

Противоположные углы параллелограмма равны.

На рисунке выше, если ABCD — параллелограмм, то угол A = угол C, а угол B = угол D

Примечание: угол A и угол C являются парой противоположных углов. Угол B и угол D являются парой противоположных углов.

Параллелограмм Свойство 2

Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны.

На рисунке выше, если ABCD — параллелограмм, то AB = DC и AD = BC

Примечание: AB и DC — пара противоположных сторон. AD и BC — пара противоположностей.

Параллелограмм Свойство 3

Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.

На приведенном выше рисунке, если ABCD — параллелограмм, а AC и BD — его две диагонали, тогда AE = EC и BE = ED

Примечание: две диагонали AC и BD пересекаются в точке E.

Свойство параллелограмма 4

Последовательные пары углов параллелограмма являются дополнительными.

На рисунке выше, если ABCD параллелограмм, то угол D + угол A = 180 o , угол A + угол B = 180 o .

Примечание: в параллелограмме ABCD угол D и угол A представляют собой пару последовательных углов, причем угол A = угол C, угол B = угол D.

Конгруэнтные прямые

Параллели между двумя параллелями конгруэнтны.

На рисунке выше, если l 1 // l 2 и AB // CD // EF, то AB = CD = EF.

Расстояние между двумя параллелями

Расстояние между двумя параллелями – это линия, проведенная из любой точки одной параллели на расстояние до другой параллели.

На рисунке выше, если l 1 // l 2 , P — точка лежит на l 1 , Q — точка лежит на l 2 и PQ перпендикулярна l 2 , тогда PQ — расстояние между параллельными прямыми l 1 и l 2 .

Доказательство метода параллелограмма 1

Если обе пары противоположных сторон четырехугольника равны, то это параллелограмм.

На рисунке выше, если AB = DC и AD = BC, то ABCD — параллелограмм.

Примечание: AB и DC представляют собой пару противоположных сторон. AD и BC — пара противоположных сторон.

Доказательство методом параллелограмма 2

Если обе пары противоположных углов четырехугольника равны, то это параллелограмм.

На рисунке выше, если угол A = угол C и угол B = угол D, то ABCD является параллелограммом.

Примечание: угол A и угол C являются парой противоположных углов. Угол B и угол D являются парой противоположных углов.

Доказательство метода параллелограмма 3

Если пара противоположных сторон четырехугольника равны и параллельны, то это параллелограмм.

На рисунке выше, если AB = DC и AB // DC, то ABCD — параллелограмм.

Примечание: AB и DC — это пара противоположных сторон.

Доказательство метода параллелограмма 4

Если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то это параллелограмм.

На рисунке выше AC и BD — две диагонали, которые пересекаются в точке E, если AE = EC и BE = ED, то ABCD — параллелограмм.

Пример 1:

На рисунке ниже ABCD — параллелограмм. Если угол A = 120 o , какова градусная мера угла D?

Решение
Так как ABCD — параллелограмм (Дано), то
угол А + угол D = 180 o
(Последовательные пары углов параллелограмма являются дополнительными. )
Угол D = 180 o — Угол A
= 180 о — 120 о
= 60 или
Следовательно, градусная мера угла D равна 120 o

Пример 2

На рисунке ниже ABCD — параллелограмм. ДБ — это диагональ. AE перпендикулярен DB в точке E, а CF перпендикулярен DB в точке F. Докажите, что AE = CF.

Доказательство
Так как ABCD — параллелограмм (дан), то AB = DC и AB // DC (пара противоположных сторон параллелограмма равны и параллельны)
Так как AB // DC, то угол ABD = угол CDB (чередующиеся внутренние углы конгруэнтны)
Так как AE перпендикулярна BD, а CF перпендикулярна BD (дана), то угол AEB = угол CFD = 90 o (свойство перпендикулярных прямых)
Поскольку точка E лежит на BD, а точка F лежит на BD, угол ABD = углу ABE, угол CDB = углу CDF
В треугольнике ABE и треугольнике CDF,
, так как угол AEB = угол CFD, угол ABE = угол CDF, AB = CD,
, то треугольник ABE конгруэнтен треугольнику CDF (теорема AAS)
, поэтому AE = CF (в двух конгруэнтных треугольниках конгруэнтные углы противоположны конгруэнтным сторонам. )

Пример 3

На рисунке ниже ABCD — параллелограмм. АС — диагональ. Если DE = BF, докажите, что EG = FG.

Доказательство
Так как ABCD — параллелограмм, то AB = DC и AB // DC (пара противоположных сторон параллелограмма равны и параллельны)
Так как BF = DE (дано), то AB — BF = DC — DE, то есть AF = CE
Поскольку AB // DC, угол BAC = угол DCA, а угол AFE = угол CEF (чередующиеся внутренние углы конгруэнтны)
Поскольку точка F лежит на AB, а точка E лежит на CD, AC и EF пересекаются в точке G, поэтому угол BAC = углу FAG, а угол AFE = углу AFG. По той же причине угол CEF = угол CEG, а угол ECA = угол ECG.
В треугольнике AFG и треугольнике CEG,
, так как угол FAG = угол EGC, AF = CE, угол AFG = угол CEG,
, то треугольник AFG конгруэнтен треугольнику CEG (постулат ASA)
, поэтому FG = EG (В двух конгруэнтных треугольниках конгруэнтные углы противоположны конгруэнтным сторонам. )

Доказательство того, что четырехугольники являются параллелограммами

В этом разделе вы узнаете, как доказать, что четырехугольник является параллелограммом.

Мы можем использовать следующие теоремы, чтобы доказать, что четырехугольник является параллелограммом.

Теоремы

Теорема 1 :

Если обе пары противоположных сторон четырехугольника конгруэнтны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Это показано на диаграмме ниже. Теорема 2

Это показано на диаграмме ниже.

На приведенной выше диаграмме

m∠A ≅ m∠C

m∠B ≅ m∠D

Теорема 3:

Если угол четырехугольника является дополнительным к обоим его последовательным углы, то четырехугольник — параллелограмм.

Это показано на диаграмме ниже.

На приведенной выше диаграмме

м∠А + м∠В = 180°

м∠В + м∠С = 180°

м∠С + м∠D = 180°

m∠A + m∠D = 180°

Теорема 4 :

Если диагонали четырехугольника делят друг друга пополам, то четырехугольник является параллелограммом.

Это показано на диаграмме ниже.

На приведенной выше диаграмме

AM ≅ CM

BM ≅ DM

Теорема 5 :

Если одна пара противоположных сторон четырехугольника конгруэнтна и параллельна, то четырехугольник является параллелограммом.

Это показано на диаграмме ниже.

На приведенной выше диаграмме

н.э. ≅ до н.э.

н.э. || BC

Решенные задачи


Задача 1 :

На приведенной ниже диаграмме, если AB ≅ CD, AD ≅ CB, то докажите, что ABCD — параллелограмм.

Решение:

Заявления

AB  ≅ CD, AD  ≅  CB

aaaaaaa AC  ≅  AC aaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

ΔABC ≅  ΔCDA

aa m∠BAC ≅  m∠DCA a a aa m∠DAC ≅  m∠BCA aa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

аа AB || CD, AD || CB a aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

ABCD является параллелограммом

Основания

Дано

Рефлексивное свойство конгруэнтности

SSS постулат конгруэнтности

Соответственные части конгруэнтных треугольников конгруэнтны

Альтернативные внутренние углы, обратные

900 08 Определение параллелограмма

Задача 2 :

На приведенной ниже диаграмме, если BC || DA, BC ≅  DA, затем докажите, что ABCD — параллелограмм.

Решение:

Заявления

до н.э. || DA

aa m∠DAC  ≅  m∠BCA aa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaa AC  ≅  AC aaaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 9000 5

ΔABC  ≅  ΔCDA

BC  ≅  DA

ΔABC  ≅  ΔCDA

aaaaaa BC  ≅  DA aaaaa aaaaaaaaaaaa ааааааааааааааааааааааааааааааааааааа

ABCD является параллелограммом

Причины

Дано

Альтернативные внутренние углы Converse

Рефлексивное свойство конгруэнтности

SSS постулат конгруэнтности

Дано

SAS постулат конгруэнтности

Соответственные части конгруэнтных треугольников конгруэнтны

Если противоположные стороны четырехугольника параллельны, то это параллелограмм

Задача 3 :

Показать, что A(2, — 1), B(1, 3), C(6, 5) и D(7, 1) являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Давайте нанесем заданные точки на координатную плоскость, как показано ниже.

Есть много способов доказать, что заданные точки являются вершинами параллелограмма.

Метод 1 :

Покажите, что противоположные стороны имеют одинаковый наклон, поэтому они параллельны.

Использование формулы наклона для определения наклонов AB, CD, BC и DA.

Наклон AB = [3 — (-1)]/[1 — 2] = -4

Наклон CD = [1 — 5]/[7 — 6] = -4

Наклон BC = [5 — 3]/[6 — 1] = 2/5

Наклон DA = [- 1 — 1]/[2 — 7] = 2/5

AB и CD имеют одинаковый наклон. Так они параллельны.

Аналогично, BC и DA параллельны.

Поскольку противоположные стороны параллельны, ABCD — параллелограмм.

Метод 2 :

Показать, что противоположные стороны имеют одинаковую длину.

Используя формулу расстояния, найдите длины AB, CD, BC и DA.

AB = √[(1 – 2) 2  + (3 + 1) 2 ] = √17

CD = √[(7 – 6) 2  + (1 – 5) 9 0041 2 ] = √17

BC = √[(6 — 1) 2  + (5 — 3) 2 ] = √29

DA = √[(2 — 7) 2  + (- 1 — 1) 2 ] = √29

Из длин AB, CD, BC и DA видно, что

AB ≅ компакт-диск и BC ≅ DA

Поскольку обе пары противоположных сторон равны, ABCD является параллелограммом.