Диагональ делит угол пополам — Науколандия

Одним из признаков ромба является то, что диагонали делят его углы пополам. В виде теоремы этот признак формулируется так:

Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то такой параллелограмм является ромбом.

Если доказывать данный признак, то нам дан параллелограмм, одна диагональ которого делит один угол пополам. Требуется доказать, что у такого параллелограмма будут равны все стороны (именно этот факт является определением ромба).

Пусть дан ромб ABCD, его диагональ BD делит угол B пополам: ∠ABD = ∠CBD.

Как известно, в параллелограмме противоположные стороны параллельны. В данном случае AD || BC. Для этих прямых диагональ BD является секущей. Следовательно, ∠ABD = ∠CDB и ∠CBD = ∠ADB как накрест лежащие.

Но поскольку по условию ∠ABD = ∠CBD, то значит, что и углы при вершине D равны друг другу. Таким образом, доказано, что если диагональ параллелограмма делит один угол пополам, то она делит пополам и противоположный угол.

Оказывается, что все четыре угла, образованные диагональю в углах параллелограмма, равны друг другу. То есть в данном случае, не только накрест лежащие, но и односторонние углы при параллельных прямых тоже равны.

Рассмотрим треугольник ABD. В нем углы B и D равны. Значит, это треугольник равнобедренный с основанием BD. Так как у равнобедренных треугольников боковые стороны равны друг другу, то в данном случае AB = AD. Таким образом, доказано, что если диагональ делит угол параллелограмма пополам, то пара соседних сторон параллелограмма равна друг другу.

Но, как известно, у параллелограмма противоположные стороны не только параллельны друг другу, но и равны друг другу. Следовательно, AB = CD и AD = BC, а поскольку AB = AD, то все четыре стороны равны друг другу. Таким образом, доказано, что если диагональ делит угол параллелограмма пополам, то все стороны параллелограмма равны друг другу. А параллелограмм с равными сторонами является ромбом.

scienceland.info

Диагональ параллелограмма делит его углы пополам

У ромба один из признаков указывает на то, что его диагонали делят углы ромба пополам.
Признак сформулирован в виде теоремы:
Если диагональ параллелограмма делит его углы пополам, то этот параллелограмм – ромб.
Докажем признак.
 
Доказательство.
Согласно признаку есть параллелограмм, у которого одна диагональ делит один из углов пополам.
Необходимо доказать, что у этого параллелограмма все стороны будут равными, поскольку именно этот признак указывает на то, что данная фигура является ромбом.
Рассмотрим ромб ABCD. Построим диагональ BD, которая делит угол B на два равных угла ABD и CBD.

Согласно определению параллелограмма его противоположные стороны параллельны, то есть сторона AD параллельна стороне BC. В таком случае диагональ BD является для данных прямых секущей. Получаем, что угол ABD равен углу CDB, а угол CBD равен углу ADB как внутренние накрест лежащие.

Согласно условию углы ABD и CBD равны, а это значит, что углы ADB и CDB также равны.
Следовательно, мы доказали, что если в параллелограмме диагональ делит один из углов пополам, то она делит на два равных угла и противоположный угол.
Все четыре угла, на которые разбивает диагональ параллелограмма его противоположные углы, равны. То есть у параллелограмма равны кроме внутренних накрест лежащих и односторонние углы при параллельных прямых и секущей.
Рассмотрим треугольник ABD.
Углы AВD и BDA равны. Следовательно, данный треугольник является равнобедренным с основанием BD и равными боковыми сторонами AB и AD. Этим мы доказали, что при делении диагональю угла параллелограмма пополам его соседние стороны также равны между собой.
Противоположные стороны параллелограмма равны. Таким образом, стороны AB и CD равны и стороны AD и BC равны. Но также стороны AB и AD равны. Следовательно, все стороны параллелограмма равны, а это признак ромба.
Утверждение доказано.

ru.solverbook.com

Ответы@Mail.Ru: какой правильный ответ ?

1. Выберите все верные утверждения: 1) Угол между стороной и диагональю квадрата равен 45º. (да) 2) Если два угла четырёхугольника равны 90º, то этот четырёхугольник обязательно является прямоугольником. (нет, пример — прямоугольная трапеция) 3) Диагонали ромба делят его углы пополам. (да) 4) Соседние углы параЛЛелограмма обязательно равны. (нет, равны только противоположные) 2. Выберите все верные утверждения: 1) Если соседние углы параллелограмма равны, то его диагонали равны. (соседние углы параллелограмма не равны, а если они равны, то это прямоугольник (частный случай параллелограмма), а вот у прямоугольника диагонали равны) 2) Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то данный четырёхугольник обязательно является ромбом. (нет. диагонали должны делить угол пополам, тогда это ромб) 3) Высота равнобедренной трапеции, проведённая к основанию, равна её боковой стороне. (нет, боковая сторона больше высоты; только в прямоугольной трапеции боковая сторон, перпендикулярная основанию, равна высоте трапеции) 4) Если биссектриса угла параллелограмма является его диагональю, то данный параллелограмм является ромбом. (да)

1, 3,-для первого

1)1,3. 2)может быть 4, не уверена

1-1,3 2-1,4 Это подготовка к городской контрольной по математике. Сам писал не так давно.

touch.otvet.mail.ru

Диагональ параллелограмма делит его углы пополам

Кусудамы

Девочки, решила заняться кусудамами. И вот, на просторах интернета нашла множество МК. Нахомячила себе в дневничек. Может кобу пригодится! Хомячте!!!

Читать полностью… Антон Маниченко 8 декабря 2011, 23:11

300 вопросов ребенку.

За столом Вы правы, отдавая ребёнку лакомый кусок. Вне стола чаще всего Вы кормите его ответами. Ответы вторичны, черствы, проще, объедки с праздничного стола вопросов. Кормите вопросами чадо. Ежедневность вопросов — гарантия роста мозгов. Действуйте, родители!   1. Какой твой вес на двух ногах? 2. А на одной левой? 3. А теперь на правой? 4. Что на лице выше: уши или рот? Сделай вывод. 5. Чего на лице больше: ушей или рта? Во сколько раз? Сделай вывод. 6. Когда и…

Читать полностью…

www.babyblog.ru