Арифметическая прогрессия

Задачи по арифметической прогрессии существовали уже в глубокой древности. Они появлялись и требовали решения, поскольку имели практическую необходимость.

Так, в одном из папирусов Древнего Египта, имеющем математическое содержание, – папирусе Райнда (XIX век до нашей эры) – содержится такая задача: раздели десять мер хлеба на десять человек, при условии если разность между каждым из них составляет одну восьмую меры».

И в математических трудах древних греков встречаются изящные теоремы, имеющие отношение к арифметической прогрессии. Так, Гипсикл Александрийский (II век до нашей эры), составивший немало интересных задач и добавивший четырнадцатую книгу к «Началам» Евклида, сформулировал мысль: «В арифметической прогрессии, имеющей четное число членов, сумма членов 2-ой половины больше суммы членов 1-ой на число, кратное квадрату 1/2 числа членов».

Возьмем произвольный ряд натуральных чисел (больше нуля): 1, 4, 7, … n-1,n, …, который называют числовой последовательностью.

Обозначается последовательность an. Числа последовательности называются ее членами и обозначаются обычно буквами с индексами, которые указывают порядковый номер этого члена (a1, a2, a3 … читается: «a 1-ое», «a 2-ое», «a 3-тье» и так далее).

Последовательность может быть бесконечной или конечной.

А что же такое арифметическая прогрессия? Под ней понимают последовательность чисел, получаемую сложением предыдущего члена (n) с одним и тем же числом d, являющимся разностью прогрессии.

Если d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, то такая прогрессия считается возрастающей.

Арифметическая прогрессия называется конечной, если учитываются только несколько ее первых членов. При очень большом количестве членов это уже бесконечная прогрессия.

Задается любая арифметическая прогрессия следующей формулой:

an =kn+b, при этом b и k – некоторые числа.

Абсолютно верно утверждение, являющееся обратным: если последовательность задается подобной формулой, то это точно арифметическая прогрессия, которая имеет свойства:

  1. Каждый член прогрессии — среднее арифметическое предыдущего члена и последующего.
  2. Обратное: если, начиная со 2-ого, каждый член — среднее арифметическое предыдущего члена и последующего, т.е. если выполняется условие, то данная последовательность – арифметическая прогрессия. Это равенство одновременно является и признаком прогрессии, поэтому его, как правило, называют характеристическим свойством прогрессии.
    Точно так же верна теорема, которая отражает это свойство: последовательность — арифметическая прогрессия только в том случае, если это равенство верно для любого из членов последовательности, начиная со 2-ого.

Характеристическое свойство для четырёх любых чисел арифметической прогрессии может быть выражено формулой an + am = ak + al, если n + m = k + l (m, n, k – числа прогрессии).

В арифметической прогрессии любой необходимый (N-й) член найти можно, применяя следующую формулу:

an = a1+d(n–1).

К примеру: первый член (a1) в арифметической прогрессии задан и равен трём, а разность (d) равняется четырём. Найти нужно сорок пятый член этой прогрессии. a45 = 1+4(45-1)=177

Формула an = ak + d(n — k) позволяет определить n-й член арифметической прогрессии через любой ее k-тый член при условии, если он известен.

Сумма членов арифметической прогрессии (подразумевается 1-ые n членов конечной прогрессии) вычисляется следующим образом:

Sn = (a1+an) n/2.

Если известны разность арифметической прогрессии и 1-ый член, то для вычисления удобна другая формула:

Sn = ((2a1+d(n–1))/2)*n.

Сумма арифметической прогрессии, которая содержит n членов, подсчитывается таким образом:

Sn=(a1+an)*n/2.

Выбор формул для расчетов зависит от условий задач и исходных данных.

Натуральный ряд любых чисел, таких как 1,2,3,…,n,…- простейший пример арифметической прогрессии.

Помимо арифметической прогрессии существует еще и геометрическая, которая обладает своими свойствами и характеристиками.

fb.ru

Внеклассный урок — Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

Прогрессия – это определенная последовательность чисел.
Последовательность обозначается так: (an)

Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности.

Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена (a1, a2, a3 и т.д.- читается так: «а первое», «а второе», «а третье» и т.д.).

Последовательность может быть бесконечной или конечной.

 

Понятие арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия – это такая последовательность чисел, которая получается в результате сложения каждого последующего члена с одним и тем же числом.

Пример:

Возьмем последовательность чисел 3; 10; 17; 24; 31.
Здесь каждое последующее число на 7 больше предыдущего. То есть последовательность получилась в результате прибавления одного и того же числа 7 к каждому последующему члену. Это и есть арифметическая прогрессия:

3+7=10

10+7=17

17+7=24

24+7=31

 

Формула арифметической прогрессии.

Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой:

an = kn + b,

где k и b – некоторые числа.

И наоборот: если последовательность задана подобной формулой, то эта последовательность точно является арифметической прогрессией.

Пример: формула an = 8n – 2 является формулой арифметической прогрессии, так как она задана формулой типа an = kn + b. В ней k = 8, b = –2.

 

Разность арифметической прогрессии.

Разность арифметической прогрессии – это разность между последующим и предыдущим членами прогрессии. Ее обычно обозначают буквой

d.

Пример:
Вернемся к нашей прогрессии 3; 10; 17; 24; 31. В ней разность между второй и первой, третьей и второй и т.д. членами равна 7. Число 7 и является разностью данной арифметической прогрессии.

 

Свойства арифметической прогрессии.

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

В нашем примере второй член равен средней арифметической первого и третьего членов:

3 + 17
——— = 10.
    2

Точно так же третий член равен средней арифметической второго и четвертого членов и т.д.

 

Как найти определенный член арифметической прогрессии.

Чтобы найти n-й член арифметической прогрессии, следует применить формулу:

an = a1 + d(n – 1)

Пример:

Возьмем некую арифметическую прогрессию, в которой первый член равен 3, а разность арифметической прогрессии составляет 4. Надо найти 45-й член этой прогрессии.

Дано:
b1 = 3
d = 4
n

= 45
———
b45 — ?

Решение.

Применим формулу bn = b1 + d(n – 1):

b45 = 3 + 4(45 – 1) = 3 + 4 · 44 = 3 + 176 = 179.

Ответ: 45-й член заданной арифметической прогрессии – число 179.

 

Как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии.

Сумму любого количества первых членов арифметической прогрессии можно найти
с помощью формулы:

 

                                                                              (a1 + an) n
                                                                       

Sn = —————
                                                                                       2

Если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться другой формулой: 

 

                                                                             2a1 + d(n – 1)
                                                                    
Sn = —————— n
                                                                                       2

Пример 1: Найдем сумму первых ста членов арифметической прогрессии 1+2+3+4+5 и т.д.+100.

Дано:
a1 = 1

n = 100
an = 100
————
S100 — ?

Решение:

           (1 + 100) · 100          101 · 100
S100 = ——————— = ————— = 5050
                       2                           2

Ответ: Сумма первых ста членов заданной арифметической прогрессии равна 5050.

 

Пример 2: Найдем сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, в которой первый член равен 5, разность арифметической прогрессии составляет 3.

Дано:
a1 = 5
d = 3
————
S20 — ?

Решение:

1) Найдем сначала двадцатый член по уже известной нам формуле an = a1 + d(n – 1):
a20 = 5 + 3 (20 – 1) = 5 + 3 · 19 = 62.

2) Теперь уже легко решить нашу задачу.

По формуле 1:

              (5 + 62) · 20
S20 = ———————  = 670
                      2

 

По формуле 2:

             2 · 5 + 3 · (20 – 1)
S20 = ————————— · 20  = 670
                           2

Ответ: Сумма первых двадцати членов заданной арифметической прогрессии равна 670.

 

raal100.narod.ru

Задания по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

а) Да. Приведём пример: 24,32,40,48,56,64,72.

б) Предположим, что такая прогрессия существует. Очевидно, она возрастающая. Обозначим a_{l} — наименьший, кратный 24, член прогрессии. Тогда a_{l}, a_{l+i},…,a_{l+8i} — 9 первых членов прогрессии, кратных 24, причем l+8i \leq 30, откуда i \leq 3, так как l \geq 1, а l+9i > 30, тогда 30-9i < l \leq 30-8i.

Если i=3,\, 3 < l \leq6;

Если i=2,\, 12 < l \leq14;

Если i=1,\, 21 < l \leq22.

В каждом из этих случаев получаем противоречие с предположением, что a_{l} — наименьший, кратный 24, член прогрессии (достаточно рассмотреть хотя бы a_{l-i}).

Итак, предположение неверно, значит, не существует такой прогрессии, в которой среди чисел a_{1}, a_{2},…,a_{30} ровно 9 чисел делятся на 24.

в) Среди любых 24 подряд идущих членов ровно один делится на 24. Пусть 3n=24s+r, где s,r \in \mathbb Z, r \geq 0, s \geq 0, 0 \leq r \leq 23 (r — остаток от деления n на 24). Тогда среди чисел a_{1},a_{2},…,a_{3n} на 24 делятся s или (s+1) чисел. Среди чисел a_{3n+1}, a_{3n+2},…,a_{6n} на 24 тоже делятся не менее s чисел. Если n \geq 24, то среди чисел a_{6n+1}, a_{6n+2},…,a_{7n} хотя бы одно делится на 24. Тогда среди чисел a_{3n+1},…,a_{7n} на 24 делятся хотя бы (s+1), значит, не меньше, чем среди чисел a_{1}, a_{2},…,a_{3n}.

Далее, среди чисел a_{1},…, a_{3n} на 24 делится чисел не более, чем частное \frac{3n}{24}=\frac{n}{8}, округлённое с избытком, и среди чисел a_{3n+1},…,a_{7n} не менее, чем частное \frac{4n}{24}=\frac{n}{6}, округленное с недостатком. Если 18 \leq n < 24, то \frac{n}{6} \geq 3, и частное, округлённое с недостатком, равно 3. При этом \frac{n}{8} < \frac{24}{8}=3, и частное \frac{n}{8}, округлённое с избытком, равно 3. Значит, среди членов a_{1},…,a_{3n} чисел, делящихся на 24, не может быть строго больше, чем среди чисел a_{3n+1},…,a_{7n} \geq 18.

Таким образом, n \leq 17. Приведём пример подходящей последовательности для n=17. Пусть a_{1}=22. Тогда среди чисел a_{1},…,a_{51} на 24 делятся a_{3}, a_{27} и a_{51}, а среди чисел a_{52},…,a_{119} — числа a_{75} и a_{99}.

academyege.ru

Арифметическая и геометрическая прогрессии | Учеба-Легко.РФ

Числовая последовательность. Арифметическая прогрессия.

Разность прогрессии. Геометрическая прогрессия. Знаменатель

 прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную.

 

Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел:

1,  2,  3, … ,  n – 1,  , … .

Если заменить каждое число n  в этом ряду некоторым числом  un , следуя некоторому закону, мы получим новый ряд чисел:

u1 ,   u2 ,   u3 , …,   u — 1 ,   u n  , … ,

называемый числовой последовательностью. Число  un  называется общим членом числовой последовательности.

П р и м е р ы   числовых последовательностей:

2,   4,   6,   8,   10,  … ,  2n,  … ;

1,   4,   9,   16,   25,  … ,  n² , … ;

1,  1/2,  1/3,  1/4,  1/5,  … , 1/, … .

Арифметическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом  , называется арифметической прогрессией. Число  d  называется разностью прогрессии. Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

an =  a1 + d ( n – 1 ) .

Сумма  n  первых членов арифметической прогрессии вычисляется как:

 

П р и м е р .  Найти сумму первых ста нечётных чисел.

Р е ш е н и е . Применим последнюю формулу. Здесь  a1 = 1,  d = 2 . Тогда

Геометрическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число  , называется геометрической

прогрессией. Число q называется знаменателем прогрессии.  Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

bn =  b1  q n — 1 .

Сумма  n  первых членов геометрической прогрессии вычисляется как:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Это геометрическая прогрессия, у которой  | q | < 1 . Для неё определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а именно:  это число, к

которому неограниченно приближается сумма  n первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа  nСумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

П р и м е р .  Найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

 

Р е ш е н и е . Применим последнюю формулу. Здесь  b1 = 1,  q = 1/2. Тогда:

Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную. Предположим, мы хотим обратить периодическую десятичную дробь 0.(3)  вобыкновенную. Рассмотрим эту десятичную дробь в следующем виде:

 

 

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, первый член которой равен 3/10, а разность  q = 1/10. В соответствии с выше приведенной формулой эта сумма равна:

Таким образом,  0.(3) = 1/3.

uclg.ru

Арифметическая прогрессия на примерах

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии )

в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии.

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией . По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k-го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k-го номера . Для этого используйте формулу

На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.

 

Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;…

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии

 

Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.

 

Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии

и найдем первый

На основе первого находим 50 член прогрессии

Находим сумму части прогрессии

и сумму первых 100

Сумма прогрессии равна 250.

 

Пример 4.

Найти число членов арифметической прогрессии, если:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Решение:

Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их

Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме

Выполняем упрощения

и решаем квадратное уравнение

Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.

 

Пример 5.

Решить уравнение

1+3+5+…+х=307.

Решение: Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии

Найденные величины подставим в формулу суммы прогрессии для отыскания числа слагаемых

Как и в предыдущем задании, выполним упрощения и решим квадратное уравнение

Выбираем более логичное из двух значений . Имеем, что сумма 18 членов прогрессии с заданными величинами а1=1, d=2 равна Sn=307.

На этом знакомство с арифметической прогрессией только начинается. В книгах вы найдете много подобных задач, методика решений которых не была рассмотрена . Приведенного материала должно хватить Вам с головой, чтобы разобраться и решить задачи самостоятельно. Если же нет то обращайтесь и мы Вам поможем с вычислениями.

Похожие материалы:

yukhym.com

Арифметическая прогрессия. Сумма арифметической погрессии

Первую часть статьи об арифметической прогрессии смотрим  здесь.

Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100.

Юный Гаусс  (10 лет) мгновенно получил результат: 5050.

1+2+3+4+5+5+…+97+98+99+100=?

 

А как бы считали вы?

+ показать

Первое и последнее слагаемые суммы дают 101, также как и второе и предпоследнее слагаемые и т.д. Всего таких пар будет 50. Вот и все!

Вот по такому же принципу мы и будем считать сумму n-первых членов арифметической прогрессии.

Пример.  

Найдем сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии

-9, -6, -3, 0, 3, …

Решение: 

Мы пока не знакомы с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии, давайте будем следовать тому же принципу, что и при вычислении суммы натуральных чисел от 1 до 100.

Найдем по формуле n-го члена арифметической прогрессии:

, где – разность арифметической прогрессии.

Сумма  чисел из ряда -9, -6, -3, 0, 3, …48 состоит из 10 одинаковых слагаемых, равных 39.

Значит, сумма указанных чисел окажется равной 390.

Ответ: 390.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Сумма первых   членов арифметической прогрессии  может быть найдена по формулам

1) 

2) ,

где   — первый член прогрессии,  — член с номером ,  — количество суммируемых членов.

(Вторая формула – результат подстановки формулы в первую формулу).

Примеры

Пример 1.

Арифметическая прогрессия задана формулой

Найдите сумму первых десяти членов прогрессии.

Решение: + показать

Пример 2. 

Найдите сумму натуральных четных чисел, не превосходящих 40.

Решение:  + показать

Перед нами арифметическая прогрессия: 2; 4; 6; … 38; 40.

Воспользуемся формулой :

 

Ответ: 420.  

Пример 3. 

Сколько последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы их сумма была равна 153?

Решение:  + показать

Шаг () равен 1;

Обращаемся к формуле :

Поскольку мы работаем с натуральными , то

Ответ: 17.  

Пример 4. 

Арифметическая прогрессия задана формулой

Найдите сумму членов данной прогрессии с 5-го по 16 включительно.

Решение:  + показать

Найдем первые два члена прогрессии и разность прогрессии:

Последовательность чисел арифметической  прогрессии, начиная с 5-го  (по 16), – также арифметическая прогрессия.

Поэтому обозначим и т.д., будем считать сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии {} по формуле :

где

Ответ: 606.  

Пример 5. 

Найдите сумму двузначных натуральных чисел, не кратных 4.

Решение:  + показать

Двузначные числа: 10; 11; 12; 13; … 97; 98; 99.

Если вычеркнуть в ряду числа, кратные 4,

то оставшиеся числа не будут собою образовывать арифметическую прогрессию, а значит, их сумму мы не сможем посчитать по указанным выше формулам.

Мы поступим так:

1) вычислим сумму всех двузначных чисел;

2) вычислим сумму всех двузначных чисел , кратных 4, то есть 12+16+…+96;

3) из суммы  вычтем сумму ;

Итак,

Как узнать количество двузначных чисел, кратных 4?

Обозначим порядковый номер числа 96  в ряду 12, 16, … 96  за . Сам ряд, конечно же, образует арифметическую прогрессию ().

Найдем .

Тогда 

Итак,

Ответ: 3717.  

Вы можете пойти тест по теме «Сумма арифметической прогрессии».

 

 

 

egemaximum.ru

Арифметическая прогрессия | Формулы с примерами

Определение
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность (an), в которой для любого натурального n

d — разность арифметической прогрессии (заданное число).

Пример
Дано Арифметическая прогрессия
1. a1 = 2; d = 3 2; 5; 8; 11; 14; 17; …
2. a1 = 11; d = -4,8 11; 6,2; 1,4; -3,4; -8,2; …

Если d > 0, то прогрессия возрастающая.
Если d , то прогрессия убывающая.

Формула
Формула общего (n-го) члена арифметической прогрессии:

Формулы
Формулы суммы Sn n первых членов арифметической прогрессии.

Где: S1 = a1;   Sn = a1 + a2 + … + an.

Пример решения
a1 = 3,9;   d = -1,1.   Найти a80 и сумму S100.

a80 = a1 + 79d = — 83.

S100 = 2a1 + 99d2 • 100 = -5055.

Свойство
Характеристическое свойство.

formula-xyz.ru