9 * (x + 2) <= 0.

Найдем корни неравенства:

x — 1 = 0; х = 1.

х + 2 = 0; х = -2.

Отмечаем на числовой прямой точки -2 и 1, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(+) -2 (-) 1 (+).

Так как знак неравенства <= 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (-).

Решением неравенства будет промежуток [-2; 1].

© ГБПОУ КК ПАТИС

ГБПОУ КК ПАТИС

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края

Приморско-Ахтарский техникум индустрии и сервиса


Адрес: 353860 г. Приморско-Ахтарск, ул. Тамаровского, 85

тел: 8 (861-43) 2-35-94, 8 (861-43) 2-18-98

Адрес сайта: http://патис.рф

Социальные сети: VK и OK

Электронная почта: [email protected]

Режим работы:

ПН — СБ: с 8.00 до 16.00

Выходные дни: ВС

Учредители

Наименование:
Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края


Адрес: 350063 г. Краснодар, ул. Рашпилевская, 23

тел: 8 (861) 298-25-73

Адрес сайта: minobr.krasnodar.ru

Электронная почта: [email protected]

Режим работы:

ПН.ВТ.СР.ЧТ. – с 09.00 до 18.00

ПТ. – с 09.00 до 17.00

Перерыв на обед: с 13.00 до 13.50

Выходные дни: СБ.ВС.



Наименование:
Департамент имущественных отношений Краснодарского края


Адрес: 350000 г. Краснодар, ул. Гимназическая, 36

Канцелярия: 8 (861) 268-24-08

Факс: 8 (861) 267-11-75

Специалист по работе с обращениями граждан — консультации, запись на прием — телефон 267-11-78

Телефон горячей линии по вопросам земельных отношений: 8 (861) 992-33-35

Адрес сайта: diok.krasnodar.ru

Электронная почта: [email protected]

Режим работы:

ПН.ВТ.СР.ЧТ. – с 09.00 до 18.00

ПТ. – с 09.00 до 17.00

Перерыв на обед ПН.ВТ.СР.ЧТ.: с 13.00 до 13.50

Перерыв на обед ПТ.: с 13.00 до 13.40

Выходные дни: СБ.ВС.

Знаки: «>» больше, «

Однажды решили Белочка и Ёжик проверить, что птицы любят есть больше всего: пшеничные зерна или крошки белого хлеба. На один пень насыпали зерна, а на другой крошки хлеба и стали наблюдать.

— Ежик, ну что ты там видишь?

— Пока ничего.

— О, теперь вижу. Два воробья прилетели. Сейчас зерна будут клевать.

— А крошки клюют?

— Пока нет.

— Ой. Ко второму пню, ну там где крошки, сорока наша прилетела.

— Так где птиц больше?

— На пне с зернышками птиц больше, чем около пня с крошками.

— Белочка, кажется дядя Филя прилетел.

— Ну, и где сейчас птиц стало больше?

— Теперь  птиц стало одинаково.

— Любик, а ты знаешь, что в математике, чтобы сравнивать объекты или предметы используют специальные математические знаки: больше, меньше и равно.

Например, вот у нас одно яблоко и одна груша, т.е. яблок столько же сколько и груш. Значит между ними можно поставить знак равно. А записать это можно так: два равно двум.

Теперь мы сравним грибы: три боровика и две лисички. Что больше?

— Три боровика больше, чем две лисички.

— Правильно. В этом случае мы между грибами поставим знак больше. А записать это можно так: три больше чем два.

— А сейчас сравним  жёлуди и орехи. Чего меньше?

— Ага… Желудей у нас три, а орехов пять. Значит желудей меньше, чем орехов. 

— Правильно, в этом случае  мы поставим знак меньше. А записать это можно так: пять меньше чем три.

А теперь мы посмотрим, как пишутся эти знаки.

— Я помню как пишется знак равно. Он состоит из двух палочек, которые пишутся друг под другом. Вот.

— Правильно. Знаки больше и меньше тоже состоят из двух палочек. В знаке больше палочки расходятся к большему числу, а записывается этот знак так.

В знаке меньше палочки сходятся к меньшему числу и записывается он так.

— Ежик, допиши пожалуйста знаки в строчку, в пустые клеточки.

— Ага… Сейчас, сейчас. Сначала допишу знак равно, теперь больше и меньше.

А чтобы ты не запутался, запомни: левая рука, согнутая в локте даст нам знак меньше, а правая рука согнутая в локте даст нам знак больше.

Если между двумя числами поставить знак равно, то получится числовое равенство. А если между двумя числами поставить знаки больше или меньше, то получится числовые неравенства.

Ежик, а теперь проверь пожалуйста, верные ли равенства и неравенства.

Так, так, так. Ага. Два больше чем один – все верно, три больше, чем четыре…ага…

что-то не так, три обозначает большее количество предметов, чем четыре и при счете

идет раньше, чем четыре значит это неравенство не верное. Мы его зачеркнем.

— А давай лучше исправим, чтобы у нас не было ошибок.

— Давай. Значит здесь надо поставить знак меньше. Вот.

— Так-так. Пять равно пяти. Все верно.

— Ага, а здесь совсем сложно.

— Ничего сложного. Смотри, чтобы проверить, надо сначала посчитать, сколько будет два да один.

— Это будет три.

— А сколько будет два да три.

— Пять. Значит три меньше пяти. Здесь опять ошибка. Надо поставить знак меньше.

— Ну молодец Ежик. Ты все правильно выполнил. Итак, ты должен запомнить:

1. Чтобы сравнить числа в математике используют знаки больше, меньше или равно.

2. Знак больше, расходится палочками к большему числу. И если согнуть правую руку в локте, то получится знак больше. Выражение, в котором стоит знак больше называется неравенство.

3. Знак меньше, сходится палочками к меньшему числу. И если согнуть левую руку в локте, то получится знак меньше. Выражение, в котором стоит знак меньше тоже называется неравенство.

4. Знак равно состоит из двух палочек, которые пишутся друг под другом, а выражение, в котором стоит знак равно называется числовым равенством.

— Белочка, а давай посмотрим, что там наши птицы делают?

— Все склевали и улетели. Да, теперь мы не сможем определить, что же птицы любят больше. Ничего не осталось.

— Наверное, Ежик, одни птицы больше любят есть зерна, а другие хлебные крошки.

абсолютных неравенств | Purplemath

Purplemath

Существует много возможностей для ошибок с абсолютным неравенством, поэтому давайте рассмотрим эту тему медленно и попутно рассмотрим несколько полезных картинок. Когда мы закончим, я надеюсь, что у вас в голове будет хорошее представление о том, что происходит, и вы не сделаете некоторые из наиболее распространенных ошибок. Как только вы поймете, как работает это неравенство, это действительно не так уж и плохо.

MathHelp.com

Давайте сначала вернемся к исходному определению абсолютного значения: «| x | — это расстояние x от нуля.»Например, и –2, и & плюс; 2 — это две единицы от нуля, как вы можете видеть на изображении ниже:

Это означает, что их абсолютные значения будут равны 2; то есть имеем:

| –2 | = | +2 | = 2

Имея в виду это определение и картинку, давайте рассмотрим некоторые неравенства по абсолютным значениям.

  • Решить |
    x | <3 и изобразите его решение.

Это неравенство. Если решением уравнения абсолютного значения являются точки (как на приведенном выше графике), решением неравенства (или «неравенства») абсолютного значения будут интервалы.

В этом неравенстве они просят меня найти все значения x , которые находятся менее чем на три единицы от нуля в любом направлении , поэтому решением будет набор всех точек, которые меньше чем на три единицы от нуля.Сначала я нарисую числовую линию:

Глядя на неравенство, я вижу, что число 1 будет работать как решение, как и –1, потому что каждое из них меньше трех единиц от нуля. Число 2 будет работать, как и –2. Но 4 не сработает, равно как и –4, потому что они слишком далеки от нуля. Даже 3 и –3 не будут работать (хотя они на грани), потому что это неравенство «меньше» (но не равно).

Однако число 2,99 будет работать, как и –2,99. Другими словами, все точки между –3 и 3, но фактически не включая –3 или 3, будут работать как решения этого неравенства. Итак, графически решение выглядит так:

(Незакрашенные кружки на концах синей линии указывают «до этих точек, но не включая их». В вашей книге могут использоваться круглые скобки вместо кружков.)

Переводя эту картинку в алгебраические символы, я получаю следующее решение:

Этот шаблон для неравенства «меньше» по абсолютной величине всегда верен:

Дано неравенство в виде | x | < a , решение всегда будет иметь вид — a < x < a .

Между прочим, правильная комбинация для неравенства «меньше» по абсолютной величине — «и». Почему? Потому что переменная содержится в одном интервале. В приведенном выше примере x было одновременно «больше –3» и «меньше +3». x находится в интервале, который одновременно удовлетворяет обоим неравенствам. Итак, «и» — правильное соединение.

Даже когда упражнения станут более сложными, вышеприведенная схема все равно будет действовать.


  • Решить | 2
    x + 3 | <6.

Поскольку это неравенство «меньше чем» по абсолютному значению, мой первый шаг — очистить абсолютное значение в соответствии с шаблоном «меньше». Потом решу линейное неравенство.

| 2 x + 3 | <6

–6 <2 x + 3 <6

Это образец для «меньше чем». Продолжая, я вычту 3 из всех трех «сторон» неравенства:

–6 — 3 <2 x 900 10 + 3 — 3 <6 - 3

–9 <2 x <3

–9/2 < x <3/2

Решение исходного неравенства по модулю, | 2 x + 3 | <6, это интервал:


Другой случай неравенства абсолютных значений — это случай «больше чем».

  • Решить |
    x | > 2 и график.

Сначала я начну с числовой строки.

Решением данного неравенства будет набор всех точек, отстоящих от нуля более чем на две единицы. Например, –3 будет работать, как и +3; –4 будет работать, как и +4. Но –1 не сработает, равно как и +1, потому что они слишком близки к нулю.Даже –2 не будет работать, как и +2 (хотя они на грани), потому что это неравенство «больше» (но не равно).

Однако +2.01 будет работать, как и –2.01. Другими словами, решением будет , две отдельные секции : одна секция будет содержать все точки более чем на две единицы от нуля слева , а другая секция будет содержать все точки более чем на две единицы от нуля до правый . Графически решение выглядит так:

Переводя это графическое решение в символы, я получаю:

Обратите внимание! Решением этого неравенства «больше чем» по модулю являются ДВА регулярных неравенства, а не одно.НЕ пытайтесь записать это как одно неравенство. Если вы попытаетесь записать это решение как «–2> x > 2», ваш ответ будет засчитан неверно. Почему? Потому что, если вы вытащите x посередине, вы увидите, что скажете «–2> 2», что определенно будет , а не истинным. Потратьте лишние полсекунды и напишите решение правильно.

Этот шаблон для неравенства «больше чем» по абсолютной величине всегда верен:

Учитывая неравенство | x | > a , решение всегда начинается с разделения неравенства на две части: x <- a или x > a .

И, кстати, правильное союз — «или», а не «и». Почему? Потому что переменная не может находиться в обоих интервалах решения и в одно и то же время. В приведенном выше примере x не может одновременно быть «меньше –2» и «больше +2» . Поэтому мы используем «или» для таких решений.


Партнер


Даже когда неравенства усложняются, вышеупомянутый образец все еще сохраняется.

  • Решить | 2
    x — 3 | > 5.

Первое, что мне нужно сделать, это очистить полосы абсолютного значения, разделив неравенство на две части. Затем я решу два регулярных неравенства.

| 2 x — 3 | > 5

2 x — 3 <–5 или 2 x — 3> 5

Это модель неравенства «больше чем» по абсолютной величине.

2 x <–2 или 2 x > 8

x <–1 или x > 4

Эта ПАРА неравенств является решением исходного неравенства по абсолютной величине.


Есть еще одна ситуация, с которой вы можете столкнуться: вам будет дана пара неравенств, и вам будет предложено найти соответствующее неравенство по абсолютным значениям. Этот процесс может показаться немного странным, поэтому я приведу пару примеров того, как он работает.

  • Найдите утверждение о неравенстве абсолютного значения, которое соответствует –2
    < x <4.

Чтобы понять это, я сначала смотрю на конечные точки. Минус два и плюс четыре — это шесть единиц. Половина шести — это три. Это говорит мне, что я хочу скорректировать это неравенство так, чтобы оно относилось к –3 и +3, а не к –2 и +4.Для этого я вижу, что могу отрегулировать значения на левом и правом концах, вычтя 1 из всех трех «сторон» неравенства:

–2 < x <4

–2 — 1 < x — 1 <4 - 1

–3 < x — 1 <3

Поскольку последняя строка выше находится в формате «меньше чем» для неравенств абсолютных значений, мое неравенство решения будет иметь форму «абсолютное значение (чего-то) меньше 3».(Что-то) — это кусок посередине, где находится переменная. Поэтому я могу преобразовать мою последнюю строку выше в следующее:


  • Найдите утверждение о неравенстве абсолютного значения, которое соответствует неравенствам
    x ≤ 19 или x ≥ 24

То, что они дали мне, состоит из двух частей, соединенных знаком «или», поэтому я знаю, что это будет неравенство «больше, чем» по абсолютной величине.

Для начала смотрю на конечные точки. Девятнадцать и 24 — это пять единиц. Половина из пяти — 2,5. Поэтому я хочу скорректировать неравенство, чтобы оно относилось к –2,5 и +2,5, а не к +19 и +24. Поскольку 19 — (–2,5) = 21,5 и 24 — 2,5 = 21,5, я вижу, что мне нужно вычесть всего 21,5:

x ≤ 19 или x ≥ 24

x — 21,5 ≤ 19 — 21,5 или x — 21. 5 ≥ 24 — 21,5

x — 21,5 ≤ –2,5 или x — 21,5 ≥ 2,5

Поскольку последняя строка выше — это формат «больше чем», неравенство абсолютного значения будет иметь форму «абсолютное значение (чего-то) больше или равно 2,5». (Что-то) будет частью с переменной в нем. Итак, я могу преобразовать мою последнюю строку выше в:


Предупреждение: есть один вопрос типа «уловка» для такого рода задач, когда они попытаются сбить вас с толку при выполнении домашнего задания или тестов.Они попросят вас решить что-то вроде «| x + 2 | <–1». Но может ли абсолютное значение когда-либо быть отрицательным, не говоря уже о том, чтобы было меньше, чем отрицательным? Нет! Таким образом, это неравенство не имеет решения; это даже не имеет смысла. Не тратьте много времени на то, чтобы «решить» эту проблему; просто напишите «нет решения».

Аналогично, если вам дано что-то вроде «| x — 2 |> –3», первое, что следует отметить, это то, что все абсолютные значения равны нулю или положительны.В частности, они никогда не отрицательные. Они просят вас ввести значения x , которые сделают выражение абсолютного значения больше отрицательного числа. Поскольку абсолютное значение всегда будет больше , чем , любое отрицательное число , решение должно быть «все x » или «все действительные числа».


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении абсолютных неравенств. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное.Затем нажмите кнопку и выберите «Решить для x», чтобы сравнить свой ответ с ответом Матвея.

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления. )


URL: https://www.purplemath.com/modules/absineq.htm

Построение графиков и решение неравенств | Ресурсы Wyzant

Решение неравенств не так уж отличается от решения обычных уравнений.Фактически, знак неравенства (<,>, ≤, ≥) рассматривается как равный Знак (=) при решении неравенств, включающих только сложение или вычитание. Перед все это, определим разные знаки неравенства:

  • < означает, что выражение слева на меньше, чем выражение справа, например:

    означает, что 3 меньше 9, и все мы знаем, что это правда.

    означает, что решение выражения слева меньше нуля, но больше об этом позже.

  • > означает, что выражение слева на больше, чем , выражение справа, например:

    показывает, что 9 больше 3 и аналогично

    означает, что значение 2x — 9 больше 11

  • означает, что значение слева на меньше или равно . значение справа, например:

    означает, что значение выражения слева должно быть меньше или равно 25

  • означает, что значение слева на больше или равно . значение справа, например:

Неравенство лучше всего рассматривать как представление различных регионов на числовой прямой:

  • < представляет область слева от заданного числа, например

    представляет все числа слева от 3 (меньше 3), которые в числе линия ниже показана всеми числами в направлении стрелки

  • > представляет область справа от данного числа, например

    представляет все числа справа от 3 (больше 3), которые входят в число линия ниже показана всеми числами в направлении стрелки

  • представляет область от данного числа слева от того же числа, Например

    представляет все числа слева от 5 (меньше 5), включая саму 5 как отображается в числовой строке под номером

  • представляет область от заданного числа справа от того же самого число, например;

    представляет все числа слева от 1 (меньше 1), включая саму 1 как отображается в числовой строке под номером

Устранение неравенств

Большинство линейных неравенств можно решить так же, как и линейные уравнения: сложение и вычитание любого числа (положительного или отрицательного) может быть выполнено с выражением по обе стороны от неравенства без изменения самого неравенства. В другом словами, это будет то же самое, что и в любом обычном уравнении.

Например, ; решить для x в

Решение :

Вычтем 9 из обеих частей неравенства следующим образом:

и ответ будет

Обратите внимание, что вышеуказанное решение решается так же, как решение обычных уравнений.Это связано с тем, что сложение и вычитание не влияют на знак неравенства. Умножение и деление различаются, однако, поскольку знак неравенства трактуется по-разному в зависимости от того, умножаете ли вы на положительное или отрицательное число.

Умножение или деление выражения неравенства на положительное число имеет не влияет на знак неравенства и обрабатывается как обычное уравнение.

Например, , решите относительно x в:

Решение :

Сначала прибавьте 9 к обеим сторонам неравенства

затем разделите на 3

что приводит к

Умножение или деление неравенства на отрицательное число дает эффект изменения знака неравенства, например, с < на > как показано ниже

решается следующим образом;

деление на -2 меняет знак неравенства на противоположное, что приводит к:

Чтобы доказать, почему вышесказанное верно, давайте сначала разберемся с ответом:

означает, что x может принимать любое значение, если это значение больше, чем -4, и исходное уравнение будет верным. Чтобы доказать это, попробуем разные значения х;

Сначала попробуйте x = 1, 1 больше -4, поэтому подставьте x = 1 в исходное выражение должен дать математически правильное неравенство

что является правдой.

Затем давайте попробуем значение x меньше -4, например, подставим x = -5

но 7 не меньше 5, что означает, что мы получили решение как x> -4 правда.Попробуйте подставить разные значения x в выражение -3 — 2x < 5 и какое бы значение вы ни выбрали, пока x> -4 решение всегда должно быть верным.

Решение полиномиальных неравенств

Решить более сложные полиномиальные неравенства не так-то просто.

Например, , решите неравенство ниже для x

.

Решение:

Если бы это было уравнением, поиск корней путем факторизации или завершения квадрат будет всем, что нужно.Однако неравенства разные. В выше решается следующим образом:

Разложите на множители выражение слева

что означает, что либо решение выражения слева равно x = -2 или x = 6 но это еще не конец.

Затем вам нужно протестировать различные регионы в числовой строке, чтобы точно узнать где лежит решение всего неравенства. Первый тест x <-2 by выбрав номер слева от -2 в числовой строке, а затем подставьте это в исходное неравенство, т.е.

что неверно, и поэтому мы заключаем, что x не меньше -2.

Затем мы проверяем x> -2 и выбираем число справа от -2 на числовая строка, но пока это число должно быть меньше 6

что верно, и поэтому мы заключаем, что x> -2 .Но поскольку у нас было 2 корня, мы также должны проверить x = 6 .

Нам не нужно проверять x <6 , поскольку любое число меньше 6 также больше чем -2, и мы уже доказали, что x> -2 . Итак, мы проверяем x> 6

что неверно, 9 не меньше нуля и, следовательно, x не больше 6.2 — 4x — 12 <0 можно представить как:

что означает, что x находится в области на числовой прямой между -2 и +6

Решить сложные неравенства | Начальная алгебра

Поскольку это неравенство «больше чем», решение можно переписать в соответствии с правилом «больше чем».

[латекс] \ Displaystyle х + 3 <-4 \, \, \, \, \, \, \, \ text {или} \, \, \, \, \, \, \, x + 3> 4 [/ латекс]

Решите каждое неравенство.

[латекс] \ begin {array} {r} x + 3 <-4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x + 3> 4 \\\ подчеркивание {\, \, \, \, — 3 \, \, \, \, \, — 3} \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \ underline {\, \, \, \, \, \, — 3 \, \, — 3} \\ x \, \, \, \, \, \, \, \, \, <- 7 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , x \, \, \, \, \, \, \, \, \,> 1 \\\\ x <-7 \, \, \, \, \, \, \, \ text {или} \ , \, \, \, \, \, x> 1 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Проверьте решения в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они работают. Проверьте конечную точку первого связанного уравнения [latex] −7 [/ latex] и конечную точку второго связанного уравнения 1.

[латекс] \ Displaystyle \ begin {array} {r} \, \, \, \ left | x + 3 \ right |> 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | х + 3 \ вправо |> 4 \\\ влево | -7 + 3 \ right | = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | 1 + 3 \ право | = 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \ влево | -4 \ right | = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \ влево | 4 \ право | = 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 4 = 4 \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 4 = 4 \ конец {array} [/ latex]

Попробуйте [latex] -10 [/ latex], значение меньше [latex] -7 [/ latex], и 5, значение больше 1, чтобы проверить неравенство.

[латекс] \ Displaystyle \ begin {array} {r} \, \, \, \, \, \ left | x + 3 \ right |> 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | х + 3 \ вправо |> 4 \\\ влево | -10 + 3 \ right |> 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | 5 + 3 \ right |> 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | -7 \ right |> 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \ влево | 8 \ right |> 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 7> 4 \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 8> 4 \ end {array} [/ latex]

Оба решения проверяют!

Ответ

Неравенство: [латекс] \ displaystyle x <-7 \, \, \, \, \, \ text {or} \, \, \, \, \, x> 1 [/ latex]

Интервал: [латекс] \ left (- \ infty, -7 \ right) \ cup \ left (1, \ infty \ right) [/ latex]

График:

Если x> 0, то (√ (4x) + √ (9x)) ^ 2 = • PrepScholar GRE

Если $ x> 0 $, то $ (√ {4x} + √ {9x}) ^ 2 =

долларов.
  1. 5 x 900 26 долл. США
  2. $ 6x $
  3. $ 13x $
  4. $ 25x $
  5. $ 30x $

Итак, вы пытались хорошо сдать экзамены и практиковаться в GRE с помощью PowerPrep online.Но тогда у вас возникло несколько вопросов о количественном разделе — в частности, вопрос 17 второго количественного раздела практического теста 1. Эти вопросы, проверяющие наши знания об экспонентах и корнях , могут быть довольно сложными, но не бойтесь, PrepScholar вас поддержит !

Изучите вопрос

Давайте поищем в проблеме ключи к разгадке того, что она будет тестировать, поскольку это поможет нам задуматься о том, какие математические знания мы будем использовать для решения этого вопроса.2 $

Разработка плана

В вопросе есть выражение с радикальными знаками и показателем степени, но в вариантах ответа нет ни того, ни другого. Итак, давайте упростим наше выражение, чтобы избавиться от радикальных знаков и экспоненты. Давайте вспомним наш Порядок операций (PEMDAS:
Круглые скобки, Показатели, Умножение, Деление, Сложение, Вычитание), упрощая при этом наше выражение.

Решить вопрос

Используя P EMDAS, мы сначала заглянем внутрь арен теза P .Здесь мы видим сложение двух терминов, и у них обоих есть радикальные знаки. Мы знаем из экспонентов и корней , что мы можем сложить вместе радикальные члены , только если они имеют одно и то же, точное значение под своими радикалами. Итак, давайте сначала попробуем упростить каждый из этих терминов, а затем посмотрим, сможем ли мы сложить их вместе.

Из нашего математического навыка Экспоненты и корни мы знаем, что мы можем удалить что-то под знаком квадратного корня, если мы можем записать его в виде числа, возведенного в квадрат .2 $$

Мы знаем из нашего математического навыка Экспоненты и корни , что мы можем сложить радикалы, если число или выражение под радикалом точно такое же, как . Например, $ 3√5 + 4√5 = (3 + 4) √5 = 7√5 $. Это все равно, что сказать, что 3 доллара за яблоки плюс 4 доллара за яблоки дают нам 7 долларов за яблоки, за исключением того, что в этом примере мы просто заменяем «яблоки» на «квадратный корень из 5 долларов».

Два члена в круглых скобках имеют в точности то же самое под знаком радикала $ (x) $, поэтому давайте сложим их вместе.2 $$

Теперь наше выражение лица выглядит намного чище! Тем не менее, необходимо переписать его, чтобы избавиться от радикала и экспоненты.

Мы знаем из нашего математического навыка экспонентов и корней , что мы можем распределять показатели из внешних скобок внутри круглых скобок, используя правило степени экспонентов , которое говорит нам, что показатель степени, распределенный внутри круглых скобок, ДОЛЖЕН быть распределен каждому индивиду. член, который равен , умноженному или разделенному на в круглых скобках.2 = 25 · x = 25x $$

Правильный ответ — D, 25 долларов x 90 301 доллар.

Что мы узнали

Этот вопрос был отличной практикой, сочетающей наши математические навыки экспонентов и корней с нашими знаниями Порядка операций (PEMDAS).

Еще один вывод из этого вопроса заключается в том, что мы можем складывать или вычитать радикалы, ТОЛЬКО если у них есть в точности то же самое под знаком радикала . Таким образом, хотя мы не могли напрямую сложить вместе $ (√ {4x} + √ {9x}) $, поскольку они имеют разные члены под знаком квадратного корня, потому что $ 4x $ — это не то же самое, что $ 9x $.Однако мы смогли сложить вместе $ (2√x + 3√x) $, поскольку у них обоих есть одно и то же под знаком квадратного корня $ (√x) $, что дает нам: $ 2√x + 3√x = 5√x $.

Хотите более квалифицированную подготовку к GRE? Подпишитесь на пятидневную бесплатную пробную версию нашей онлайн-программы PrepScholar GRE, чтобы получить доступ к своему индивидуальному плану обучения с 90 интерактивными уроками и более 1600 вопросами GRE.

Есть вопросы? Оставьте комментарий или отправьте нам письмо по адресу [электронная почта защищена].

Абсолютное значение.Уравнения абсолютных значений

12

Алгеграфическое определение

Геометрическое значение

Уравнения абсолютных значений

Абсолютное неравенство

Геометрический смысл | x и |

ЭТОТ СИМВОЛ | x | обозначает абсолютное значение x , то есть число без знака.| +3 | = 3. | −3 | = 3. Можно сказать, что абсолютное значение числа — это чисто арифметическое значение.

Вот алгебраическое определение | x |:

Если x ≥ 0, то | x | = х ;

если x x | = — х .

То есть, если x неотрицательно: | 3 |, то абсолютное значение — это само число.

Если x отрицательно: | −3 |, то абсолютное значение будет отрицательным; что делает абсолютное значение положительным.

Геометрически, | x | расстояние из x от 0.

И 3, и −3 — это расстояние из 3 единиц от 0. | 3 | знак равно | −3 | = 3. Расстояние в математике никогда не бывает отрицательным.

Проблема 1. Оцените следующее.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

а) | 6 | = 6 б) | −6 | = 6 в) | 0 | = 0 г) | 2-7 | = 5
e) | 8 | + | −4 | = 8 + 4 = 12 е) | −3 | — | −2 | = 3 — 2 = 1
г) 1 — | −1 | = 1 — 1 = 0 ч) −8 + | −7 | = −8 + 7 = −1
i) −4
| −4 |
= −4
4
= -1 кн) (−4) | −4 | = (−4) · 4 = −16

Проблема 2. Объясните следующие правила.

a) | — x | = | x |.

Оба — x и x находятся на одинаковом расстоянии от 0.

б) | b a | = | a b |

b a — отрицательное значение a b .

(Урок 7).

Следовательно, согласно части а) они равны.

в) | x | ² = x ²

Мы можем удалить столбцы абсолютных значений, потому что левая часть никогда не бывает отрицательной, как и правая часть.

Уравнения абсолютных значений

| a | = 5.

Какие значения могут иметь и ?

может быть 5 или -5. Ведь если мы заменим на любым из них, утверждение — уравнение — будет истинным.

Итак, любое уравнение выглядит так:

| a | = б

— имеет два решения

a = b или a = — b .

Все, что отображается внутри вертикальных полос — a в этом примере — мы называем аргументом абсолютного значения. Либо аргумент будет равен b , либо он будет равен — b .

Пример 1. Решите относительно x :

| x — 2 | = 8.

Решение . x — 2 аргумента. Либо этот аргумент будет равен 8, либо он будет равен -8.

x — 2 = 8 или x — 2 = −8.

Мы должны решить эти два уравнения. Первый подразумевает

х = 8 + 2 = 10.

Второй подразумевает

х = −8 + 2 = −6.

Это два решения: x = 10 или −6.

Проблема 3.

a) Сколько решений имеет уравнение абсолютных значений? Два.

б) Запишите их для этого уравнения: | x | = 4,

Задача 4. Решите для x .

| x + 5 | = 4.

Решите эти два уравнения:

х + 5 = 4 х + 5 = −4
x = 4–5 х = −4 — 5
x = -1 или х = −9

Проблема 5.Решите относительно x .

| 1 — x | = 7.

1 — x = 7 1-90 330 x = −7
x = 7–1 х = −7 — 1
x = 6 х = −8
x = −6 или х = 8.

Задача 6. Решите для x .

| 2 x + 5 | = 9.

2 x + 5 = 9 2 x + 5 = −9
2 x = 9–5 2 x = −9 — 5
2 x = 4 2 x = −14
x = 2 или х = −7.

Неравенства по абсолютным значениям

Существует две формы абсолютного неравенства. Один с меньше , | a | b, а другой с больше , | a |> b . Решаются они по-разному. Вот первый случай.

Пример 2. Абсолютное значение меньше .

| a |

Чтобы это неравенство было истинным, какие значения может иметь a ?

Геометрически a меньше 3 единиц от 0.

Следовательно,

−3 а

Это решение. Неравенство будет истинным, если a имеет любое значение от −3 до 3.

В общем, если неравенство выглядит так —

| a | б.

— тогда решение будет выглядеть так:

б а б

для любого аргумента .

Пример 3. Для каких значений x будет справедливо это неравенство?

| 2 x — 1 |

Раствор . Аргумент 2 x — 1 будет находиться в диапазоне от −5 до 5:

.

−5 х — 1

Надо выделить х . Сначала прибавьте 1 к каждому члену неравенства:

−5 + 1 х

−4 х

Теперь разделите каждый член на 2:

.

-2 х

Неравенство будет истинным для любого значения x в этом интервале.

Задача 7. Решите это неравенство для x :

.

| x + 2 |

−7 х + 2

Вычтите 2 из каждого члена:

−7 — 2 х

−9 х

Задача 8. Решите это неравенство для x :

.

| 3 x — 5 |

−10 х — 5

Добавьте 5 к каждому члену:

−5 х

Разделите каждый член на 3:

.

Проблема 9.Решите это неравенство для x :

| 1-2 x |

−9 х

Вычтите 1 из каждого члена:

−10 х

Разделите каждый член на −2. Смысл изменится.

5> х > −4.

То есть

−4 х

Пример 4.Абсолютное значение больше .

| a | > 3.

Для каких значений a это будет верно?

Геометрически,

a > 3 или a

Это форма решения для любого аргумента a :

Если

| a | > b b > 0),

, затем

a > b или a b.

Задача 10. Решите для x :

| x | > 5.

Проблема 11. Для каких значений x это будет верно?

| x + 2 | > 7.

Первое уравнение подразумевает x > 5. Второе, x .

Задача 12. Решите для x :

| 2 x + 5 | > 9.

2 x + 5> 9 или 2 x + 5

Решите эти два уравнения:

2 x > 4 2 x −14
x > 2 или х −7

Проблема 13.Решить относительно x :

| 1-2 x | > 9.

1-2 x > 9 или 1-2 x

Решите эти два уравнения. При окончательном делении на -2,
чувства изменятся.

−2 x > 8 −2 х -10
x −4 или х > 5.

Геометрический смысл | x и |

Геометрически, | x и | — это расстояние x от до .

| x — 2 | означает расстояние x от 2. Итак, если мы напишем

| x — 2 | = 4

означает, что x — это 4 единицы от 2.

x , следовательно, равно −2 или 6.

С другой стороны, если мы напишем

| x — 2 |

означает, что x на меньше , чем на 4 единицы от 2.

Это означает, что x может иметь любое значение в открытом интервале от -2 до 6.

Задача 14. Каков геометрический смысл | x + a |?

Расстояние x от — до .Для, | x + a | = | x — (- a ) |.

| x + 1 |, значит, расстояние x от −1. Например, если

| x + 1 | = 2,

, то x на 2 единицы от -1.

x = −3 или x = 1.

Задача 15. Каково геометрическое значение каждого из следующих утверждений? И поэтому какие значения имеет х ?

а) | x | = 2

x находится на расстоянии 2 единиц от 0.Для, | x | = | x — 0 |. Следовательно, x равно 2 или −2.

б) | x — 3 | = 1

x находится на расстоянии 1 единицы от 3. x , следовательно, равно 2 или 4.

в) | x + 3 | = 1

x на 1 единицу от −3. Следовательно, x равно −4 или −2.

г) | x — 5 | ≤ 2

x меньше или равно 2 единицам от 5. x , следовательно, может принимать любое значение в закрытом интервале от 3 до 7.

Закрытый интервал.

e) | x + 5 | ≤ 2

x меньше или равно 2 единицам от −5. Следовательно, x может принимать любое значение в закрытом интервале от -7 до -3.

Проблема 16. | x — 5 | d. Укажите геометрическое значение этого слова и проиллюстрируйте его числовой прямой.

x попадает в d единиц из 5.

x , следовательно, попадает в интервал между 5 — d и 5 + d .

5 — d x

Следующий урок: экспоненты

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Электронная почта: themathpage @ яндекс.com


Решение квадратичных неравенств

Помимо решения квадратных уравнений возможно решение квадратных неравенств.

Квадратичные неравенства очень похожи на квадратные уравнения.

Таким образом, решение неравенств аналогично решению уравнений.

Содержание страницы

Можно встретить & nbsp4 & nbsp символа неравенства. Часто включает & nbsp 0 , & nbsp, но можно использовать и другие номера.

& nbsp & nbsp МЕНЬШЕ ЧЕМ & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 901 + nbsp & nbsp & nbsp 901 930 + nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 9018

> & nbsp & nbsp БОЛЬШЕ ЧЕМ & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp ax 2 & nbsp ax 2 1 + bbs

≤ & nbsp & nbsp МЕНЬШЕ ИЛИ РАВНО С & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp ax 2 + bx + c & nbsp≤ & nbsp 0

≥ & nbsp & nbsp БОЛЬШЕ, ЧЕМ ИЛИ РАВНО ax 2 + bx + c & nbsp≥ & nbsp 0

Что означает решение квадратичных неравенств

При решении квадратных уравнений мы пытаемся найти значения, при которых уравнение равно нулю, а именно там, где на графике кривая уравнения касается оси & nbsp x .

Однако в случае решения квадратичных неравенств мы обычно пытаемся найти значения & nbsp x & nbsp, где кривая конкретного уравнения находится либо выше, либо ниже оси & nbsp x , & nbsp, а иногда и равное.

Обычно это определенный интервал точек, а не конкретная отдельная точка.

На изображении ниже показаны примеры таких интервалов синим цветом.

Подход к решению

Подход к решению квадратного неравенства состоит в том, чтобы сначала установить неравенство как
уравнение, равное & nbsp0.

Чтобы мы могли найти значения, при которых уравнение равно нулю, если такие значения существуют.

Как между и за пределами тех значений, где уравнение равно нулю, уравнение будет давать другие значения, которые либо больше нуля (> 0 ), либо меньше нуля ().

Подставив в уравнение число между нулевыми значениями или за их пределами, можно узнать, что кривая делает в этот период.

Пример

Решить & nbsp & nbsp x 2 1 & nbsp0.

Раствор

Возьмите выражение & nbsp x 2 1 , & nbsp, одновременно наблюдая за кривой.

Рассматривайте подобное неравенство в первую очередь как уравнение. Установите равным нулю и решите.


x 2 1 & nbsp = 0

x 2 & nbsp = 1

x & nbsp = & nbsp + 1

x & nbsp = & nbsp + 1 & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp => & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp x = & nbsp x = & nbsp & nbsp & nbsp

Подтверждает, что кривая пересекает & nbsp x -ось & nbsp на & nbsp 1 & nbsp и & nbsp -1 .

Следующий шаг — выбрать значение между двумя решениями и проверить, дает ли оно положительный или отрицательный результат при использовании в уравнении.

Положительный & nbsp = & nbsp выше x — ось. & nbsp & nbsp & nbsp Негатив & nbsp = & nbsp ниже x — ось.

Здесь & nbsp 0 & nbsp — очевидный выбор значения между & nbsp -1 & nbsp и & nbsp 1 & nbsp для включения в уравнение.

0 2 1 & nbsp = & nbsp -1 & nbsp отрицательно, что также можно увидеть на графике.

Итак: & nbsp & nbsp x 2 1 & nbsp0 & nbsp & nbsp & nbsp when & nbsp & nbsp -1 x 1

Тем не менее, существует несколько способов обозначения для решения квадратных неравенств, которые можно использовать.

Если бы можно было сказать & nbsp & nbsp x 2 — 1 0 & nbsp & nbsp для & nbsp x & nbsp & nbspbetween & nbsp -1 & nbspand 1 & nbspand 1

, что также обычно принимается как достаточный ответ и демонстрирует понимание.


Решение квадратичных неравенств
Дополнительные примеры

(1,1)

Решить x 2 3 x 4 & nbsp0.

Раствор

Set & nbsp & nbsp x 2 3 x 4 & nbsp = & nbsp 0

=> & nbsp & nbsp ( x + 1 ) ( x 4 ) = 0 & nbsp & nbsp & nbsp, & nbsp & nbsp -1 x = 4

Для значения от & nbsp -1 & nbspand & nbsp 4 можно попробовать & nbsp 0.

0 2 3 ( 0 ) — 4 & nbsp = & nbsp -4 & nbsp & nbsp & nbsp, & nbsp & nbsp 0. & nbsp & nbsp & nbsp (отрицательное)

So: & nbsp & nbsp x 2 3 x 4 & nbsp0 & nbsp & nbsp & nbsp для & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp для & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

(1,2)

(1,3)

Решить & nbsp & nbsp 2 x 2 2 x 4 & nbsp≤ & nbsp 0 .

Этот пример решения квадратных неравенств немного отличается.

Подчеркнутый & nbsp «» & nbsp несколько меняет вопрос, так что мы хотим выяснить, где кривая уравнения находится ниже или также на оси & nbsp x -ось.

Итак, решение, где уравнение меньше или равно нулю.

Однако подход к решению точно такой же.

Раствор

2 x 2 2 x 4 & nbsp = & nbsp 0

=> & nbsp & nbsp ( 2 x 4 ) ( x + 1 ) = 0 & nbsp & nbsp & nbsp, & nbsp & nbsp x x = -1

Для значения от & nbsp -1 & nbspand & nbsp 2 можно попробовать & nbsp 0.

2 ( 0 ) 2 2 ( 0 ) — 4 & nbsp = & nbsp -4 & nbsp & nbsp & nbsp, & nbsp & nbsp & nbsp

Итак: & nbsp & nbsp 2 x 2 4 x 4 & nbsp≤ & nbsp 0 & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 30 & nbsp & nbsp 30 & nbsp ≤ 30 & nbsp300 ≤ 30 & nbsp300 2 .

(1,4)

Решить & nbsp & nbsp -x 2 + 9 & nbsp≥ & nbsp 0 .

Как и в (1.3), в этом примере спрашивается, где будет кривая: вверху или на оси x.

Итак, где уравнение больше или равно нулю.

Раствор

-x 2 + 9 & nbsp = & nbsp 0

=> & nbsp & nbsp -x 2 & nbsp = & nbsp -9 & nbsp & nbsp & nbsp, & nbsp & nbsp x = 3903

Для значения от & nbsp -3 & nbspand & nbsp 3, & nbsp можно попробовать & nbsp 0.

-0 2 + 9 & nbsp = & nbsp 9 & nbsp & nbsp & nbsp, & nbsp & nbsp> 0 . & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp (положительный)

So: & nbsp & nbsp -x 2 + 9 & nbsp≥ & nbsp 0 & nbsp & nbsp & nbsp для & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp для & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp для & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp x 3 .

Решение находится между & nbsp -3 & nbsp и & nbsp 3 .

Ниже приведен график & nbsp -x 2 + 9 , & nbsp, который иллюстрирует ситуацию.

(1,5)

Решить x 2 4 x + 4 & nbsp≥ & nbsp 0 .

Раствор

x 2 4 x + 4 & nbsp = & nbsp 0

=> & nbsp & nbsp ( x 2 ) ( x 2 ) = 0 & nbsp & nbsp & nbsp, & nbsp & nbsp x 2

В этом примере решения квадратичных неравенств существует только & nbsp1 & nbsp решение, только & nbsp1 & nbsp точка, в которой кривая касается оси & nbsp x .


Ответ: & nbsp x = 2 .

Поскольку нас попросили решить, где уравнение больше или равно нулю.

Как видно из графика, при любом другом значении на оси & nbsp x , кроме & nbsp2, кривая только больше & nbsp0, & nbsp, но не равна ей.

Итак: & nbsp & nbsp x 2 4 x + 4 & nbsp≥ & nbsp 0 & nbsp & nbsp & nbsp когда & nbsp & nbsp когда & nbsp & nbsp.

  1. Дома
  2. Квадратные уравнения
  3. › Решение квадратичных неравенств



Вернуться к началу страницы Абсолютное значение

— Бесплатная справка по математике

Введение

Абсолютное значение числа — это его значение или величина безотносительно знака. Это «количество», с которым вы работаете, выраженное как положительное число, игнорируя любые отрицательные знаки. Или это расстояние числа от 0 на числовой прямой.Например, число 9 отстоит на 9 единиц от 0. Следовательно, его абсолютное значение равно 9. Число -9 находится на таком же расстоянии от нуля, поэтому его абсолютное значение также равно 9. В обоих случаях величина или абсолютное значение, вашего числа — это просто старая цифра «9», потому что вы удалили любой отрицательный знак, который мог существовать.

Принимая абсолютное значение числа, положительное значение остается неизменным, а отрицательное — положительным.

Как мне это написать?

Абсолютное значение записывается так: | x | и читается как «абсолютное значение x.»Примечание: в некоторых местах, например в калькуляторе и компьютерных программах, вы можете увидеть, что это написано как abs (x), что, естественно, означает» абсолютное значение x «, но | x | — это обычный способ, которым ваш учитель, вероятно, хочет, чтобы вы напишите это в домашних заданиях и тестах.

Приложения

Еще одно использование полосок абсолютных значений — это заставить число быть отрицательным путем записи — | x |. Это число делает его положительным, а затем отрицает. Почему мы должны так делать? Что ж, помните — просто поставив отрицательный знак перед числом, не всегда оно становится отрицательным.Если число уже было отрицательным, значит, вы просто сделали его положительным! Использование абсолютного значения гарантирует, что у нас есть положительное значение внутри столбцов, поэтому отрицательный знак определенно сделает его отрицательным.

Примеры

| 4 | = 4
| -4 | = 4
| 4 + 3 | = 7
| -4-3 | = 7
| 3-4 | = 1
— | 4 | = -4
— | -4 | = -4

Знак абсолютного значения также может использоваться в уравнениях:
| -8 | = x, таким образом, x = 8
| x | = 8, поэтому x = 8 или x = -8. Помните, что | -8 | также 8, поэтому здесь есть два решения!
| x | = -8, решений нет, потому что абсолютное значение никогда не может быть отрицательным.

Получение абсолютного значения алгебраического выражения

Абсолютные значения достаточно легко вычислить, если они содержат константы (регулярные числа), но уравнения абсолютных значений, содержащие переменные, сложнее. Предположим, нам дано следующее уравнение и просят решить относительно x:
| x + 2 | = 9

Мы не можем предполагать, что x + 2 является положительным или отрицательным, поэтому мы не можем просто «отбросить столбики». Если бы x + 2 был действительно отрицательным, абсолютное значение x + 2 действительно было бы — (x + 2), поскольку отрицательное значение, умноженное на отрицательное, равно положительному.Решим с помощью кейсов.

Первый случай или возможность состоит в том, что x + 2 положительно. Принятие абсолютного значения положительного результата не меняет результата.
Первый случай: x + 2 = 9

Во втором случае x + 2 отрицательно. Чтобы получить абсолютное значение отрицательного значения, вы должны отрицать его (что снова делает его положительным). Следовательно, | x + 2 | = — (х + 2).
Второй случай: — (x + 2) = 9

Здесь мы можем решить оба случая относительно x.