2

Как решить систему уравнений в R (3 примера)

Чтобы решить систему уравнений в R, мы можем использовать встроенную функциюsolve() .

В следующих примерах показано, как использовать эти функции для решения нескольких различных систем уравнений в R.

Пример 1. Решение системы уравнений с двумя переменными

Предположим, у нас есть следующая система уравнений, и мы хотели бы найти значения x и y:

5х + 4у = 35

2х + 6у = 36

В следующем коде показано, как использовать функциюsolve() в R для поиска значений x и y:

#define left-hand side of equations
left_matrix <- matrix(c(5, 2, 4, 6), nrow= 2 )
left_matrix
 [,1] [,2]
[1,] 5 4
[2,] 2 6
#define right-hand side of equations
right_matrix <- matrix(c(35, 36), nrow= 2 )
right_matrix
 [,1]
[1,] 35
[2,] 36
#solve for x and y
solve(left_matrix, right_matrix) 
 [,1]
[1,] 3
[2,] 5

Это говорит нам о том, что значение x равно 3 , а значение y равно 5 .

Пример 2. Решение системы уравнений с тремя переменными

Предположим, у нас есть следующая система уравнений, и мы хотели бы найти значения x, y и z:

4х + 2у + 1з = 34

3x + 5y – 2z = 41

2х + 2у + 4з = 30

В следующем коде показано, как использовать

функциюsolve() в R для решения значений x, y и z:

#define left-hand side of equations
left_matrix <- matrix(c(4, 3, 2, 2, 5, 2, 1, -2, 4), nrow= 3 )
left_matrix
 [,1] [,2] [,3]
[1,] 4 2 1
[2,] 3 5 -2
[3,] 2 2 4
#define right-hand side of equations
right_matrix <- matrix(c(34, 41, 30), nrow= 3 )
right_matrix
 [,1]
[1,] 34
[2,] 41
[3,] 30
#solve for x, y, and z
solve(left_matrix, right_matrix) 
 [,1]
[1,] 5
[2,] 6
[3,] 2

Это говорит нам о том, что значение x равно 5 , значение y равно 6 , а значение z равно 2 .

Пример 3. Решение системы уравнений с четырьмя переменными

Предположим, у нас есть следующая система уравнений, и мы хотели бы найти значения w, x, y и z:

6ш + 2х + 2у + 1з = 37

2ш + 1х + 1у + 0з = 14

3ш + 2х + 2у + 4з = 28

2ш + 0х + 5у + 5з = 28

В следующем коде показано, как использовать функциюsolve() в R для поиска значений w, x, y и z:

#define left-hand side of equations
left_matrix <- matrix(c(6, 2, 3, 2, 2, 1, 2, 0, 2, 1, 2, 5, 1, 0, 4, 5), nrow= 4 )
left_matrix
 [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 6 2 2 1
[2,] 2 1 1 0
[3,] 3 2 2 4
[4,] 2 0 5 5
#define right-hand side of equations
right_matrix <- matrix(c(37, 14, 28, 28), nrow= 4 )
right_matrix
 [,1]
[1,] 37
[2,] 14
[3,] 28
[4,] 28
#solve for w, x, y and z
solve(left_matrix, right_matrix)
 [,1]
[1,] 4
[2,] 3
[3,] 3
[4,] 1

Это говорит нам о том, что значение w равно

4 , x равно 3 , y равно 3 и z равно 1 .

Дополнительные ресурсы

В следующих руководствах объясняется, как выполнять другие распространенные операции в R:

Как рассчитать сводку из пяти чисел в R
Как создать сводные таблицы в R
Как рассчитать Z-значения в R

Системы трех уравнений: решение методом сложения и вычитания

Решение путем сложения и вычитания

Сложение/вычитание обсуждали, как решать системы двух уравнений с двумя переменными сложением/вычитанием метод. Системы с тремя уравнениями и тремя переменными также могут быть решается методом сложения/вычитания.

Выберите любые две пары уравнений в системе. Затем используйте сложение и вычитание для устранения той же переменной от обеих пар уравнения. Это оставляет два уравнения с двумя переменными — одно уравнение от каждой пары. Решите

эту систему , используя сложение/вычитание. метод. Затем снова подключите решение к одному из трех исходных уравнения для решения оставшейся переменной.

Здесь в пошаговом формате показано, как решить систему с тремя уравнениями и три переменные:

  1. Выберите любые две пары уравнений из системы.
  2. Удалите одну и ту же переменную из каждой пары, используя Метод сложения/вычитания.
  3. Решите систему двух новых уравнений, используя Метод сложения/вычитания.
  4. Подставьте решение обратно в одно из исходных уравнений и найти третью переменную.
  5. Проверьте, подключив раствор к одному из трех других уравнения.


Пример : Решите следующую систему:

4 x — 3 y + z = — 10
2 х + у + 3 г = 0
— х + 2 у — 5 х = 17
  1. Выберите две пары:
    4 x — 3 y + z = — 10
    2 х + у + 3 z = 0
    и
  2. Удалить одну и ту же переменную из каждой системы:
    4 x — 3 y + z = — 10
    2 х + у + 3 г = 0

    4 х — 3 y + z = — 10
    -4 х — 2 y — 6 z = 0

    -5 у — 5 у = — 10

    2 х + у + 3 z = 0
    — х + 2 у — 5 х = 17

    2 х + у + 3 z = 0
    -2 х + 4 у — 10 z = 34

    5 г — 7 г = 34

  3. Решите систему двух новых уравнений:
    -5 г — 5 г = — 10
    5 у — 7 у = 34

    -12 z = 24

    Таким образом, z = — 2

    -5 у — 5(- 2) = — 10
    -5 у = — 20
    Таким образом, y = 4

  4. Подставьте в одно из исходных уравнений:
    — x + 2 г — 5 г = 17
    — х + 2(4) — 5(- 2) = 17
    — х + 18 = 17
    — х = — 1
    х = 1
    Следовательно, ( x , y , z ) = (1, 4, — 2).
  5. Проверить: 2(1) + 4 + 3(- 2) = 0? Да.

Предыдущий раздел Следующий раздел

Системы линейных уравнений: три переменные

Результаты обучения

  • Решить системы трех уравнений с тремя переменными.
  • Найдите несовместимые системы уравнений, содержащие три переменные.
  • Выразите решение системы зависимых уравнений, содержащей три переменные, используя стандартные обозначения.

Джон получил в наследство 12 000 долларов, которые он разделил на три части и вложил тремя способами: в фонд денежного рынка с выплатой 3% годовых; в муниципальных облигациях с выплатой 4% годовых; и во взаимных фондах, выплачивающих 7% годовых. Джон вложил в муниципальные фонды на 4000 долларов больше, чем в муниципальные облигации. В первый год он заработал 670 долларов в виде процентов. Сколько Джон инвестировал в каждый тип фонда?

(кредит: «Elembis», Wikimedia Commons)

Понимание правильного подхода к постановке задач, подобных этой, делает поиск решения вопросом следования образцу. В этом разделе мы решим эту и подобные задачи с тремя уравнениями и тремя переменными. При этом используются методы, аналогичные тем, которые используются для решения систем двух уравнений с двумя переменными. Однако поиск решений систем из трех уравнений требует большей организованности и некоторой визуальной гимнастики.

Решение систем трех уравнений с тремя переменными

Чтобы решить системы уравнений с тремя переменными, известные как системы «три на три», основная цель состоит в том, чтобы исключать одну переменную за раз для достижения обратной подстановки. Решение системы из трех уравнений с тремя переменными [латекс]\влево(х,у,г\вправо),\текст{}[/латекс] называется упорядоченной тройкой .

Чтобы найти решение, мы можем выполнить следующие операции:

  1. Поменять местами любые два уравнения.
  2. Умножить обе части уравнения на ненулевую константу.
  3. Добавить ненулевое кратное одного уравнения к другому уравнению.

Графически упорядоченная тройка определяет точку пересечения трех плоскостей в пространстве. Вы можете визуализировать такое пересечение, представив себе любой угол в прямоугольной комнате. Угол определяется тремя плоскостями: двумя примыкающими стенами и полом (или потолком). Любая точка, где встречаются две стены и пол, представляет собой пересечение трех плоскостей.

Общее примечание: количество возможных решений

Плоскости иллюстрируют возможные сценарии решения для систем три на три.

  • Системы, имеющие единственное решение, это те, которые после исключения приводят к множеству решений , состоящему из упорядоченной тройки [латекс]\left\{\left(x,y,z\right)\right\} [/латекс]. Графически упорядоченная тройка определяет точку, являющуюся пересечением трех плоскостей в пространстве.
  • Системы с бесконечным числом решений — это те, которые после исключения приводят к всегда истинному выражению, например [латекс]0=0[/латекс]. Графически бесконечное количество решений представляет собой линию или совпадающую плоскость, которая служит пересечением трех плоскостей в пространстве.
  • Системы, не имеющие решения, — это те, которые после исключения приводят к утверждению, являющемуся противоречием, например, [латекс]3=0[/латекс]. Графически система без решения изображается тремя плоскостями, не имеющими общих точек.

(a) Три плоскости пересекаются в одной точке, представляя систему три на три с единственным решением. (b) Три плоскости пересекаются по прямой, представляя систему три на три с бесконечными решениями.

Пример. Определение того, является ли упорядоченная тройка решением системы

Определить, является ли упорядоченная тройка [латекс]\влево(3,-2,1\вправо)[/латекс] решением системы.

[латекс]\begin{gathered}x+y+z=2 \\ 6x — 4y+5z=31 \\ 5x+2y+2z=13 \end{gathered}[/latex]

Показать решение

Как: Имея линейную систему из трех уравнений, найдите три неизвестных.


  1. Выберите любую пару уравнений и решите одну переменную.
  2. Выберите другую пару уравнений и решите для той же переменной.
  3. Вы создали систему двух уравнений с двумя неизвестными. Решите полученную систему два на два.
  4. Обратно подставьте известные переменные в любое из исходных уравнений и найдите отсутствующую переменную.

Пример. Решение системы трех уравнений с тремя переменными методом исключения

Найдите решение следующей системы:

[latex]\begin{align}x — 2y+3z=9& &\text{(1)} \\ -x+3y-z=-6& &\text{(2)} \\ 2x — 5y+5z=17& &\text{(3)} \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите систему уравнений с тремя переменными.

[латекс]\begin{array}{l}2x+y — 2z=-1\hfill \\ 3x — 3y-z=5\hfill \\ x — 2y+3z=6\hfill \end{array} [/latex]

Показать решение

В следующем видео вы увидите визуальное представление трех возможных исходов решения системы уравнений с тремя переменными. Существует также рабочий пример решения системы с помощью исключения.

 

Пример: решение реальной задачи с использованием системы трех уравнений с тремя переменными

В задаче, поставленной в начале раздела, Джон вложил свое наследство в размере 12 000 долларов в три разных фонда: часть в деньги- рыночный фонд, выплачивающий 3% годовых; участие в муниципальных облигациях с выплатой 4% годовых; а остальное в паевые инвестиционные фонды с выплатой 7% годовых. Джон вложил в паевые инвестиционные фонды на 4000 долларов больше, чем в муниципальные облигации. Общая сумма процентов, заработанных за один год, составила 670 долларов. Сколько он инвестировал в каждый тип фонда?

Показать решение

Попробуйте

Классифицировать решения систем с тремя переменными

Так же, как и с системами уравнений с двумя переменными, мы можем встретить несовместную систему уравнений с тремя переменными, что означает, что она не имеет решения, которое удовлетворяет всем трем уравнениям. Уравнения могут представлять три параллельные плоскости, две параллельные плоскости и одну пересекающуюся плоскость или три плоскости, которые пересекают две другие, но не в одном и том же месте. Процесс исключения приведет к ложному утверждению, например, [латекс]3=7[/латекс] или другому противоречию.

Пример. Решение несовместимой системы из трех уравнений с тремя переменными

Решите следующую систему.

[латекс]\begin{align}x — 3y+z=4 && \left(1\right) \\ -x+2y — 5z=3 && \left(2\right) \\ 5x — 13y+13z =8 && \left(3\right) \end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Решите систему из трех уравнений с тремя переменными.

[латекс]\begin{array}{l}\text{ }x+y+z=2\hfill \\ \text{ }y — 3z=1\hfill \\ 2x+y+5z=0\hfill \end{массив}[/латекс]

Показать решение

Выражение решения системы зависимых уравнений с тремя переменными

Из работы с системами уравнений с двумя переменными мы знаем, что зависимая система уравнений имеет бесконечное число решений. То же верно и для зависимых систем уравнений с тремя переменными. Бесконечное количество решений может быть результатом нескольких ситуаций. Три плоскости могут быть одинаковыми, так что решение одного уравнения будет решением двух других уравнений. Все три уравнения могут быть разными, но они пересекаются на прямой, имеющей бесконечные решения. Или два уравнения могут быть одинаковыми и пересекать третье по прямой.

Пример: Нахождение решения зависимой системы уравнений

Найдите решение данной системы трех уравнений с тремя переменными.

[латекс]\begin{align}2x+y — 3z=0 && \left(1\right)\\ 4x+2y — 6z=0 && \left(2\right)\\ x-y+z= 0 && \left(3\right)\end{align}[/latex]

Показать решение

Вопросы и ответы

Всегда ли общее решение для зависимой системы должно быть записано в терминах [латекс]х?[/латекс]

Нет, общее решение можно записать в терминах любой из переменных, но обычно его записывают в терминах [латекс]х[/латекс] и, при необходимости, [латекс]х[/латекс] и [ латекс]у[/латекс].

Попробуйте

Решите следующую систему.

[латекс]\begin{gathered}x+y+z=7 \\ 3x — 2y-z=4 \\ x+6y+5z=24 \end{gathered}[/latex]

Показать решение

Ключевые понятия

  • Набор решений — это упорядоченная тройка [латекс]\влево\{\влево(х,у,г\вправо)\вправо\}[/латекс], представляющая собой пересечение трех плоскостей в пространстве.
  • Систему из трех уравнений с тремя переменными можно решить, используя ряд шагов, которые заставляют исключить переменную. Шаги включают изменение порядка уравнений, умножение обеих частей уравнения на ненулевую константу и добавление ненулевого кратного одного уравнения к другому уравнению.
  • Системы трех уравнений с тремя переменными полезны для решения многих различных типов реальных задач.
  • Система уравнений с тремя переменными несовместна, если не существует решения. После выполнения операций исключения получается противоречие.
  • Противоречивые системы уравнений с тремя переменными могут быть результатом трех параллельных плоскостей, двух параллельных плоскостей и одной пересекающейся плоскости или трех плоскостей, которые пересекают две другие, но не в одном и том же месте.