2 Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3

Π’Ρ‹ искали 2 Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3? На нашСм сайтС Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π° любой матСматичСский вопрос здСсь. ΠŸΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с описаниСм ΠΈ пояснСниями ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π΄Π°ΠΆΠ΅ с самой слоТной Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ ΠΈ 2 ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2 ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 3, Π½Π΅ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ домашним Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, ΠΎΠ»ΠΈΠΌΠΏΠΈΠ°Π΄Π°ΠΌ, Π° Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π² Π²ΡƒΠ·. И ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ‹ запрос ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π²Ρ‹ Π½Π΅ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ β€” Ρƒ нас ΡƒΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. НапримСр, Β«2 Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3Β».

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… матСматичСских Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ распространСно Π² нашСй ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ. Они ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… расчСтах, ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ сооруТСний ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ спортС. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ использовал Π΅Ρ‰Π΅ Π² дрСвности ΠΈ с Ρ‚Π΅Ρ… ΠΏΠΎΡ€ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ возрастаСт. Однако сСйчас Π½Π°ΡƒΠΊΠ° Π½Π΅ стоит Π½Π° мСстС ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΠ»Π°ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ Π΅Π΅ Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ 2 Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3,2 ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2 ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 3,2 ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3 Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 2,2 ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· 3 Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 2,2 корня ΠΈΠ· 2 Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 3,2 корня ΠΈΠ· 3 Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 3,3 Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° 2 ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3,3 Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 2 корня ΠΈΠ· 2,3 Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 2 корня ΠΈΠ· 3,3 Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 3 корня ΠΈΠ· 2,3 ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2 Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° 2,3 корня ΠΈΠ· 3 Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 2,ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2 Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° 3,ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2 Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 3,ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3 Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° 2,ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3 Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 2.

На этой страницС Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘Ρ‚Π΅ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ любой вопрос, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС ΠΈ 2 Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π² окошко ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Β«Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒΒ» здСсь (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, 2 ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3 Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 2).

Π“Π΄Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Π° Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ 2 Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3 Онлайн?

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ 2 Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3 Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π° нашСм сайтС https://pocketteacher.ru. БСсплатный ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ любой слоТности Π·Π° считанныС сСкунды. ВсС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ β€” это просто ввСсти свои Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»Π΅. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΈΠ½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ввСсти Π²Π°ΡˆΡƒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π½Π° нашСм сайтС. А Ссли Ρƒ вас ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ вопросы, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π² Ρ‡Π°Ρ‚Π΅ снизу слСва Π½Π° страницС ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°.

ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ умноТСния, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ с объяснСниСм

Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊ корня  ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ числа. Однако Π·Π½Π°ΠΊ корня ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ алгСбраичСскоС дСйствиС, Π½ΠΎ ΠΈ примСняСтся Π² Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π±Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΌ производствС β€” Π² расчСтС ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ².

Если Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ «с» ΠΈΠ»ΠΈ Β«Π±Π΅Π·Β» ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, Ρ‚ΠΎ эта ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ для вас. Π’ Π½Π΅ΠΉ ΠΌΡ‹ рассмотрим ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ умноТСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ:

  • Π±Π΅Π· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ;
  • с мноТитСлями;
  • с Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями.

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ умноТСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π±Π΅Π· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ

Алгоритм дСйствий:

Π£Π±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ корня ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ (стСпСни). Вспомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ записываСтся слСва Π½Π°Π΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корня. Если Π½Π΅Ρ‚ обозначСния стСпСни, это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ, Ρ‚.Π΅. со ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ 2, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ со ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ 2.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: 18Γ—2=?

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: 10Γ—5=?

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3: 33Γ—93=?

Π”Π°Π»Π΅Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ числа ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ. 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: 18Γ—2=36

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: 10Γ—5=50

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3: 33Γ—93=273

Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ выраТСния. Когда ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎ произвСдСния числа (ΠΈΠ»ΠΈ выраТСния) Π½Π° ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡƒΠ±:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: 36=6. 36 β€” ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈ (6Γ—6=36).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: 50=(25Γ—2)=(5Γ—5)Γ—2=52. Число 50 Ρ€Π°ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ 25 ΠΈ 2. ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 25 β€” 5, поэтому выносим 5 ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ° корня ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3: 273=3. ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 27 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 3: 3Γ—3Γ—3=27.

Блишком слоТно?

НС ΠΏΠ°Ρ€ΡŒΡΡ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π°Ρ€ΠΈΠΌ скидку 10% Π½Π° Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ

Опиши заданиС

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ умноТСния ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ с мноТитСлями

Алгоритм дСйствий:

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ β€” число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ стоит ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корня. Π’ случаС отсутствия мноТитСля, ΠΎΠ½, ΠΏΠΎ ΡƒΠΌΠΎΠ»Ρ‡Π°Π½ΠΈΡŽ, считаСтся Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ΠΉ. Π”Π°Π»Π΅Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: 32Γ—10=3?3Γ—1=3

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: 43Γ—36=12?4Γ—3=12

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ числа ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корня. Как Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, смСло ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΠΉΡ‚Π΅ числа, стоящиС ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корня:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: 32Γ—10=3(2Γ—10)=320

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: 43Γ—36=12(3Γ—6)=1218

Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π”Π°Π»Π΅Π΅ слСдуСт ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ стоят ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корня, β€” трСбуСтся вынСсти ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ числа Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ корня. ПослС этого, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ числа ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ стоят ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корня:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: 320=3(4Γ—5)=3(2Γ—2)Γ—5=(3Γ—2)5=65

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: 1218=12(9Γ—2)=12(3Γ—3)Γ—2=(12Γ—3)2=362

ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ умноТСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ с Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями

Алгоритм дСйствий:

Найти наимСньшСС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ (НОК) ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ. НаимСньшСС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ β€” наимСньшСС число, дСлящССся Π½Π° ΠΎΠ±Π° показатСля.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

НСобходимо Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ НОК ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ для ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ выраТСния: 

53Γ—22

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 3 ΠΈ 2. Для этих Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл наимСньшим ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ являСтся число 6 (ΠΎΠ½ΠΎ дСлится Π±Π΅Π· остатка ΠΈ Π½Π° 3, ΠΈ Π½Π° 2). Для умноТСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ 6.

Π—Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ с Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ:

56Γ—26

Найти числа, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ НОК.

Π’ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ 53 Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ 3 Π½Π° 2, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 6. А Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ 22 β€” Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 3, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ 6.

ВозвСсти число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ стоит ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корня, Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΡƒΡŽ числу, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ шагС. Для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния 5 Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ возвСсти Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 2, Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ β€” 2 Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 3:

2β†’56=5263β†’26=236

ВозвСсти Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ выраТСния ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корня:

526=(5Γ—5)6=256236=(2Γ—2Γ—2)6=86

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ числа ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ:

(8Γ—25)6

Π—Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚:

(8Γ—25)6=2006

По Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½ΠΎ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ упрощаСтся.

Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня ΠΈΠ· числа ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½.

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ вычислСния корня Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число: .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Вычислим ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· 8, 27, 125, 243

ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ 3 стСпСни Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ кубичСскими корнями.

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ вычислСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ 5-ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа.

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа

Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ вычислСния корня Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число: .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ НайдСм ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ 3 ΠΈ 5 стСпСнСй ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° значСния, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅: .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Вычислим ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ 2 ΠΈ 4 стСпСни.

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 2-ΠΉ стСпСни Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ.

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π½Π΅ сущСствуСт для вСщСствСнных чисСл.

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ любой стСпСни ΠΈΠ· нуля

Числа Π² стСпСни -1, 0, 1

Число Π² -1 стСпСни

Число 3 Π² -1 стСпСни ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ . ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ опСрация Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Π΅Ρ€Π½Π° , Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ число Π² -1 стСпСни, для этого Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ мСстами.

Число являСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ числом 5, Ρ‚.Π΅. ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ , Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ равСнство Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ для любого числа

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π² стСпСни -1
Число Π² 1 стСпСни

Число Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ стСпСни являСтся самим числом a1=a

Число Π² 0 стСпСни

Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ число Π² стСпСни ноль Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ a0=1

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3;2;5 β€” ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа 3 β€” ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ само Π½Π° сСбя Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ число 3.

Π•Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ с 69 Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π°ΠΌΠΈ послС запятой являСтся:

ΠžΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 1.732 являСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ 0,01 %. ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒΡŽ являСтся (1,7321 42857…).

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3 являСтся ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ извСстСн ΠΊΠ°ΠΊ ЀСодоровская постоянная, названная Π² Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π€Π΅ΠΎΠ΄ΠΎΡ€Π° ΠšΠΈΡ€Π΅Π½ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ.

ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, …].

ГСомСтрия

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ сторонами ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° со сторонами 1.

Если равносторонний Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ со сторонами Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 1 дСлится Π½Π° Π΄Π²Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹, пСрСсСчСниСм Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° для составлСния прямого ΡƒΠ³Π»Π° с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стороной, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠΈΠΉΡΡ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρƒ со стороной 1 ΠΈ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 1/2 ΠΈ ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ тангСнс 60Β° Ρ€Π°Π²Π΅Π½

Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, это расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ сторонами ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° со сторонами 1.

являСтся Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΊΡƒΠ±Π° со стороной 1.

ИспользованиС Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… областях

Π­Π½Π΅Ρ€Π³Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ„Π°Π·Π½ΠΎΠΉ систСмС Ρ‚ΠΎΠΊΠΎΠ² ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ напряТСния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ„Π°Π·Π°ΠΌΠΈ (Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ напряТСниС) Π² большС модуля Ρ„Π°Π·Π½ΠΎΠ³ΠΎ напряТСния

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа 2 β€” ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ вСщСствСнноС число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ само Π½Π° сСбя Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ число 2. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня ΠΈΠ· 2 с 65 Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ послС запятой:

1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 99…

ГСомСтричСски ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° со стороной 1 (это слСдуСт ΠΈΠ· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°). ВСроятно, это Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ извСстноС Π² истории ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ нСльзя Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ).

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Ρ‹ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ с Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ² 1. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2.

Π₯ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠΌ ΠΈ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊ являСтся Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ . НСсмотря Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ лишь Π΄Π²ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅, ΠΎΠ½ΠΎ отличаСтся ΠΎΡ‚ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ значСния мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π° 1/10000.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ

Вавилонская глиняная Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡ΠΊΠ° с примСчаниями.

Вавилонская глиняная Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡ΠΊΠ° (ΠΎΠΊ. 1800β€”1600 Π΄ΠΎ Π½. Ρ.) Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡ‘Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ… ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΠ΄Π΅ΡΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π°Ρ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ составляСт 8 дСсятичных Ρ†ΠΈΡ„Ρ€:

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π½Π½Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этого числа Π² дрСвнСиндийском матСматичСском тСкстС, Π¨ΡƒΠ»ΡŒΠ±Π°-сутры (ΠΎΠΊ. 800β€”200 Π΄ΠΎ Π½. Ρ.) даётся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π΅ΠΉΡ†Ρ‹ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ диагональ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π° нСсоизмСрима с Π΅Π³ΠΎ стороной, ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° соврСмСнном языкС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… являСтся ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. Мало Ρ‡Ρ‚ΠΎ извСстно с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°Ρ… этого Π²Ρ‹Π΄Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ открытия, Π½ΠΎ Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ авторство приписываСтся Гиппасу ΠΈΠ· ΠœΠ΅Ρ‚Π°ΠΏΠΎΠ½Ρ‚Π°.

Алгоритмы вычислСния

БущСствуСт мноТСство Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠΎΠ² для вычислСния значСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ…. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ° получаСтся ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ дСсятичной Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Π‘Π°ΠΌΡ‹ΠΉ популярный Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ для этого, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ… ΠΈ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ…, это вавилонский ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ вычислСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Он состоит Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ:

Π§Π΅ΠΌ большС ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ΅ (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Π΅ΠΌ большС Β«nΒ»), Ρ‚Π΅ΠΌ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ…. КаТдоС ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠ΄Π²Π°ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ количСство ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ†ΠΈΡ„Ρ€. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ нСсколько ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

  • 3/2 = 1.5
  • 17/12 = 1.416…
  • 577/408 = 1.414215…
  • 665857/470832 = 1.4142135623746…

Π’ 1997 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ Ясумаса Канада вычислил Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ √2 Π΄ΠΎ 137,438,953,444 дСсятичных Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой. Π’ Ρ„Π΅Π²Ρ€Π°Π»Π΅ 2007 Π³ΠΎΠ΄Π° Ρ€Π΅ΠΊΠΎΡ€Π΄ Π±Ρ‹Π» ΠΏΠΎΠ±ΠΈΡ‚: Бигэру Кондо вычислил 200 ΠΌΠΈΠ»Π»ΠΈΠ°Ρ€Π΄ΠΎΠ² дСсятичных Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 13 Π΄Π½Π΅ΠΉ ΠΈ 14 часов, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ процСссор 3.6 GHz с 16 Π“Π‘ ΠžΠ—Π£. Π‘Ρ€Π΅Π΄ΠΈ матСматичСских констант Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ вычислСно Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ.

Бвойства ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ…

Половина √2 ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° 0.70710 67811 86548; эта Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ‚Ρ€ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» 45Β° с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ осями:

Одно ΠΈΠ· интСрСсных свойств √2 состоит Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ:

. ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Π­Ρ‚ΠΎ являСтся Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ свойства сСрСбряного сСчСния.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ интСрСсноС свойство √2:

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π² ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°Ρ… i ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈ арифмСтичСскиС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ:

ΠΈ

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2 являСтся СдинствСнным числом, ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚ 1, Ρ‡ΡŒΡ бСсконСчная тСтрация Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ использован для приблиТСния :

Π‘ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹, являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΈ поэтому являСтся Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ алгСбраичСским числом. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ чисСл Π²ΠΈΠ΄Π° , Π³Π΄Π΅ β€” Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ алгСбраичСскоС ΠΏΠΎΠ»Π΅. Оно обозначаСтся ΠΈ являСтся ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌ поля вСщСствСнных чисСл.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ: допустим, Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ прСдставляСтся Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ нСсократимой Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ , Π³Π΄Π΅ ΠΈ β€” Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа. Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ равСнство Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚:

.

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎ ΠΈ . ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ , Π³Π΄Π΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎ ΠΈ . ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡ‚ нСсократимости Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ . Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, исходноС ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ, ΠΈ β€” ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

НСпрСрывная Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСн Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ:

ΠŸΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΡ‘Π½Π½Ρ‹Π΅ значСния, быстро сходящиСся ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΡŽ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ…. Бпособ ΠΈΡ… вычислСния прост: Ссли ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ , Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ . Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ сходимости здСсь мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ Ρƒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°, Π½ΠΎ вычислСния Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅. Π’Ρ‹ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ нСсколько ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ:

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ послСднСй ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎ) 2,000000177.

Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³ΠΈ

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π° Π±ΡƒΠΌΠ°Π³ΠΈ ISO 216. Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ сторон Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅Π·Π°Π½ΠΈΠΈ листа ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΊΠΎΠΉ сторонС получатся Π΄Π²Π° листа Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΈ.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа 5 β€” ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ само Π½Π° сСбя Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ число 5. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ алгСбраичСскоС число.[1]

Π•Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ с 59 Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π°ΠΌΠΈ послС запятой являСтся:

ΠžΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2.236 являСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ 0,01 %. ΠšΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ вычислСнная Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ составляСт Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ 1 000 000 Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ².[2]

ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ [2; 4, 4, 4, 4, 4, 4, …], ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ это Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ:

Вавилонский ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄

ВычислСниС корня ΠΈΠ· 5, начиная с r0 = 2, Π³Π΄Π΅ rn+1 = (rn + 5/rn) / 2:

Π—ΠΎΠ»ΠΎΡ‚ΠΎΠ΅ сСчСниС

√5/2 β€” диагональ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π°, прСдставляСт собой гСомСтричСскоС прСдставлСниС ΠΎ Π·ΠΎΠ»ΠΎΡ‚ΠΎΠΌ сСчСнии.

Π—ΠΎΠ»ΠΎΡ‚ΠΎΠ΅ сСчСниС Ο† β€” срСднСС арифмСтичСскоС 1 ΠΈ корня ΠΈΠ· 5.[3]

() алгСбраичСски ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

Числа Π€ΠΈΠ±ΠΎΠ½Π°Ρ‡Ρ‡ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 5 Ρ‚Π°ΠΊ:

ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ √5 ΠΊ Ο† ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ Π΄Π°ΡŽΡ‚ интСрСсныС зависимости Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ с числами Π€ΠΈΠ±ΠΎΠ½Π°Ρ‡Ρ‡ΠΈ ΠΈ числами Π›ΡŽΠΊΠ°:[4]

АлгСбра

ΠšΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ содСрТит числа Π²ΠΈΠ΄Π° , Π³Π΄Π΅ a ΠΈ b Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ число . Π­Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎ являСтся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ области цСлостности, Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†ΠΎΠΌ.

Число 6 прСдставляСтся Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π΅ двумя способами:

ПолС  β€” Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²ΠΎ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠšΡ€ΠΎΠ½Π΅ΠΊΠ΅Ρ€Π° β€” Π’Π΅Π±Π΅Ρ€Π° ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 5 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹:

ВоТдСства Π Π°ΠΌΠ°Π½ΡƒΠ΄ΠΆΠ°Π½Π°

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 5 появляСтся Π²ΠΎ мноТСствС тоТдСств Π Π°ΠΌΠ°Π½ΡƒΠ΄ΠΆΠ°Π½Π° с Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ дробями.[5][6]

НапримСр, случай Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ РодТСрса-Π Π°ΠΌΠ°Π½ΡƒΠ΄ΠΆΠ°Π½Π°:

ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈ стСпСни. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ называСтся Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° .

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ  β€” основаниС стСпСни,  β€” ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни.

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ

ΠŸΡ€ΠΎΡ‰Π΅ всСго опрСдСляСтся ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ) ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.

По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, .

ВыраТСния «возвСсти Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Β» ΠΈ Β«Π²ΠΎΠ·Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Π² ΠΊΡƒΠ±Β» Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π²Π½ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹.
ВозвСсти число Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ β€” Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ само Π½Π° ΡΠ΅Π±Ρ.

.

ВозвСсти число Π² ΠΊΡƒΠ± β€” Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ само Π½Π° ΡΠ΅Π±Ρ Ρ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π°.

.

ВозвСсти число Π² Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ  β€” Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ само Π½Π° сСбя Ρ€Π°Π·:

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ), Π½ΠΎ ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.

По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ,

.

Π­Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для . Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 00 Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, всС это Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для , ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π° Π½ΠΎΠ»ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ нСльзя.

НапримСр,

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ пСрСворачиваСтся.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ, Π½ΠΎ ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом. Π’ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ «ЧисловыС мноТСства» ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. Π­Ρ‚ΠΎ числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ , Π³Π΄Π΅  β€” Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅,  β€” Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π½Π°ΠΌ понадобится Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ понятиС β€” ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ -стСпСни. ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ β€” Π΄Π²Π΅ взаимосвязанныС Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹. НачнСм с ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°ΠΌ арифмСтичСского ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня.

АрифмСтичСский ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Ρ‡ΠΈΡΠ»Π°  β€” это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ .

Богласно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ,

Π’ школьной ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅    для нас сСйчас ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ .

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ всСгда Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚.Π΅. . НапримСр, .

Бвойства арифмСтичСского ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня:

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ

Аналогично, кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ·  β€” это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π΄Π°Π΅Ρ‚ число .

НапримСр, , Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ;

, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ;

, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ .

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня -Π½ΠΎΠΉ стСпСни для любого Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ .

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ -Π½ΠΎΠΉ стСпСни

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ -Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· Ρ‡ΠΈΡΠ»Π°  β€” это Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число, ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π² -Π½ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ получаСтся число .

НапримСр,

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ, пятой, дСвятой β€” словом, любой Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни, β€” ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ, дСсятой, Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ, любой Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, β€” Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число, Ρ‡Ρ‚ΠΎ . ΠžΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ стСпСнСй с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ. Π­Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ.

По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ,

Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС .

Π‘Ρ€Π°Π·Ρƒ договоримся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ основаниС стСпСни большС 0.

НапримСр,

Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ .

ΠŸΡ€ΠΈ этом Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ выполняСтся условиС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ большС 0.

НапримСр,

Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° дСйствий со ΡΡ‚СпСнями:

β€” ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ стСпСнСй ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ

β€” ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ стСпСни Π½Π° ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ

β€” ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ стСпСни Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ

Π’Ρ‹ нашСл Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ искал? ПодСлись с Π΄Ρ€ΡƒΠ·ΡŒΡΠΌΠΈ!

ПокаТСм, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ эти Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π² Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΡΡ… Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅:

1.

ВнСсли всС ΠΏΠΎΠ΄ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, сократили Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

2.

3.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ стСпСнСй ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ дСйствий со ΡΡ‚СпСнями.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 5 β€” Ρ€Π°Π·Π±ΠΎΡ€ задания Π•Π“Π­ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Ρƒ ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

РСшСниС β„–1

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ β€” опрСдСляСм ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Допустимых Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ:

ΠŸΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ большС нуля, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ 3 β€” Ρ… > 0 ΠΈΠ»ΠΈ x < 3 β€” Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ значСния ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ подходят!

ΠžΠ”Π—: x<3

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ шаг β€” Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ ΠΈ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ корня.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅! НСобходимо ΠΏΡ€ΠΈ этом ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ правая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ большС нуля. Π˜Π½Π°Ρ‡Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠΉΠ΄ΡƒΡ‚ для ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°. Для ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° рассмотрим значСния Π½Π°ΡˆΠΈΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π΄ΠΎ ΠΈ послС возвСдСния Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ… = 2:

 

РавСнство НЕ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ. Если ΠΆΠ΅ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹:

РавСнство Π’Π«ΠŸΠžΠ›ΠΠ―Π•Π’Π‘Π― β€” ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ x = 2, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π½Π΅Ρ‚!

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ Π² нашС ΠžΠ”Π— условиС 1 β€” x > 0 ΠΈΠ»ΠΈ x < 1

ΠžΠ”Π—: x<3, x<1  Ρ‚.ΠΊ. Ссли Ρ…<1 Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ мСньшС 3, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠžΠ”Π—: x<1

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ собствСнно Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ. Π’ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π΅ части Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅:

Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ для нахоТдСния дискриминанта:

И подставим ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ дискриминант Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ уравнСния:

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²Π° корня, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠžΠ”Π—: -1<1, Π° Π²ΠΎΡ‚ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ β€” Π½Π΅Ρ‚: 2>1,  

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ: -1

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: -1

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΏΡ€ΠΎΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ шаги опрСдСлСния ΠžΠ”Π—, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π΄Π²Π° корня, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ наибольшим ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 2 β€” Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ всСгда Π°ΠΊΠΊΡƒΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠžΠ”Π—

Π¦Π΅Π½Ρ‚Ρ€ ΠŸΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊ ΠžΠ“Π­ Π•Π“Π­ Π Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅. КомплСксная ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠ° школьников ΠΊ экзамСнам ΠžΠ“Π­ Π•Π“Π­ Π² ΠΌΠΈΠ½ΠΈ-Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°Ρ… Π΄ΠΎ 5 Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ с ΡƒΠ²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ„Π΅ΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прСподаватСлями. Π“Π°Ρ€Π°Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎ.

ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ β€” ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ Π½Π° английский β€” ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ русский

На основании Π’Π°ΡˆΠ΅Π³ΠΎ запроса эти ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€ΡƒΠ±ΡƒΡŽ лСксику.

На основании Π’Π°ΡˆΠ΅Π³ΠΎ запроса эти ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€Π½ΡƒΡŽ лСксику.

Π˜Π½Π²Π΅Ρ€ΡΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ числа с ΠΏΠ»Π°Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ запятой ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для вычислСния Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

The inverse square root of a floating point number is used in calculating a normalized vector.

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ добавляСтС Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ числу ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

Then you add it to the other number and take the square root.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ стандартноС ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ отклонСния).

Displays the standard deviation (square root of the variance).

Какой Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· икс?

Π’ школС ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· дСвяти β€” это Ρ‚Ρ€ΠΈ.

We learned at school that the square root of nine is three.

Π Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π² ΠΊΠΎΠ΄Π΅ Quake III β€” см. Быстрый ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

For a practical example popularized by Quake III, see fast inverse square root.

Π‘ΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊ: мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 64.

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ А ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· размСрности А ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊ-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ пространства.

The degree of A means the square root of the dimension of A as a k-vector space.

Π’ΠΈΠΏΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ комбинирования являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· суммы ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² (SRSS), Ссли ΠΌΠΎΠ΄Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ частоты Π½Π΅ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈ.

A typical combination method is the square root of the sum of the squares (SRSS) if the modal frequencies are not close.

Выполняя участок ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° вычисляСт ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл, Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.

By executing a program section twice, the program calculates the square root of two numbers that are entered by the user.

Π›ΡŽΠ±ΠΎΠ΅ числовоС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

A numerical expression of which you want the square root.

ΠšΡ€ΠΈΠ·ΠΈΡ Π² ΠΈΡ… Π΄ΠΎΠΊΡ‚Ρ€ΠΈΠ½Π΅ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Π±Ρ‹Π» ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом.

So a crisis in doctrine occurred when they discovered that the square root of two was irrational.

Π”Π΅Π²ΡΡ‚ΡŒ дСвятых, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅.Π­Ρ‚ΠΎ всё.

Put in nine nines, take the square root and press the integer.

Π›ΠΈΠ»ΠΈ, милая, Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 64?

Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, скольки Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· дСвяти?

НСкоторыС подполя R ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„ΠΈΠ·ΠΌΡ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, нСльзя Ρ€Π°ΡΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° всё ΠΏΠΎΠ»Π΅ R (ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‚ свойство числа ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² R). {2} ot \geq n} and so the modulus is not involved when squaring.

Бколько Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Пи ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½Π° ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ свСта с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅?

What is the square root of pi times ten divided by the speed of light squared.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΈΡ„Ρ„ΡƒΠ·ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Π° Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ-то… ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒβ€¦ ΠΈΠ· Ρ‡Π΅Π³ΠΎ-то…

So, the rate of diffusion equals something… times the square root of something-

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ корня

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ кубичСского корня

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ корня


ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ связанных ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ | Научный ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ | ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΆΡƒΡ€Π½Π°Π»Π°

Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n th числа a β€” это Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ число b , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° сСбя n Ρ€Π°Π· Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ a . Π’ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ уравнСния:

n √a = b
Π± Π½ = Π°

ΠžΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° корня

НСкоторыС ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π³Π΄Π΅ n = 2, ΠΈ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π³Π΄Π΅ n = 3.ВычислСниС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ n th довольно слоТно. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΠ± ΠΈ ошибок. Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ эффСктивныС способы вычислСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ понимания Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТных матСматичСских ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΉ. Для расчСта √a:

  1. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ число b
  2. Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ a Π½Π° b . Если Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ число c являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π΄ΠΎ ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ дСсятичного разряда, ΠΎΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ.
  3. Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ b ΠΈ c ΠΈ использованиС Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° Π² качСствС Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ прСдполоТСния
  4. ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‚Π΅ шаг Π΄Π²Π°
EX: Найти √27 Π΄ΠΎ 3 Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой
ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: 5. 125
27 Γ· 5,125 = 5,268
(5,125 + 5,268) / 2 = 5,197
27 Γ· 5,197 = 5,195
(5,195 + 5,197) / 2 = 5,196
27 Γ· 5,196 = 5,196

ΠžΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° n th ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ

ВычислСниС ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ n th ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°, Π½ΠΎ с измСнСниями для Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с n .ВычислСниС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π²Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΡƒΡ‚ΠΎΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокиС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ n th , Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ для ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… шагов, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΡ‚ΠΎΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π΅Π΅. Для Ρ‚Π΅Ρ…, ΠΊΡ‚ΠΎ разбираСтся Π² рядах, см. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ матСматичСский Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ для вычислСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ n th . Для Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простого, Π½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ эффСктивного ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ шагам ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ. Для расчСта n √a:

  1. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ число b
  2. Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ a Π½Π° b n-1 .Если Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ число c являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ Π΄ΠΎ ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ дСсятичного разряда, ΠΎΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ.
  3. Π‘Ρ€Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: [b Γ— (n-1) + c] / n
  4. ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‚Π΅ шаг Π΄Π²Π°
EX: Найти 8 √15 Π΄ΠΎ 3 Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой
ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: 1.432
15 Γ· 1,4327 = 1,405
(1,432 Γ— 7 + 1,405) / 8 = 1,388
15 Γ· 1,388 7 = 1,403
(1,403 Γ— 7 + 1,388) / 8 = 1.402

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ дальнСйшиС вычислСния ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΡƒΡ‚ ΠΊ числу, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π΄ΠΎ 1,403, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ 1,403 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΎΠΉ с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ 3 Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой.

ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ кубичСского корня

ИспользованиС ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°

Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ этим ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Учитывая число x , кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ x β€” это число a , Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ a 3 = x . Если x ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ссли x β€” ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ β€” β€” ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ β€” это особая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° нашСго ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ².

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΊΡƒΠ±Π°:

  • Π’Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 64, ΠΈΠ»ΠΈ 64, Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π» 3, ΠΈΠ»ΠΈ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 64 записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ \ (\ sqrt [3] {64} = 4 \).
  • ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 3-Π³ΠΎ числа ΠΈΠ· -64, ΠΈΠ»ΠΈ -64, Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π» 3, ΠΈΠ»ΠΈ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· -64 записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ \ (\ sqrt [3] {- 64} = -4 \).{\ frac {1} {3}} \). РаспространСнноС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ кубичСского корня ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ:
    (-x) 1/3
    = β€” (x 1/3 ) . [1] НапримСр:

    • ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· -27 записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ \ (\ sqrt [3] {- 27} = -3 \).
    • ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ -8 записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ \ (\ sqrt [3] {- 8} = -2 \).
    • ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· -64 записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ \ (\ sqrt [3] {- 64} = -4 \).

    ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ (для цСлочислСнных Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ 10)

    • ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 1 1
    • ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ кубичСский ΠΈΠ· 8 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2
    • ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ кубичСский ΠΈΠ· 27 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 3
    • ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 64 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 4
    • ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 125 составляСт 5
    • ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 216 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 6
    • ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ кубичСский ΠΈΠ· 343 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 7
    • ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 512 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 8
    • ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 729 составляСт 9
    • ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 1000 составляСт 10

    Для вычислСния Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ наш ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ для Π”Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ экспонСнты.

    Бписок Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹

    [1] Π’Π°ΠΉΡΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½, Π­Ρ€ΠΈΠΊ Π’. Β«ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒΒ». ΠžΡ‚ MathWorld β€” Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚-рСсурс Wolfram. ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ

    Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π° ΠΎ кубичСских корнях:

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΡƒΠΌ 0 β€” это ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚?

    ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° β€” это Π·Π°Π±Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ кубичСскиС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

    Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня

    Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня: сдСлайтС число Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ мСньшим (Π½ΠΎ всС ΠΆΠ΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числом):

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: √12 ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ 2√3

    Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅, Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π»ΠΈ Π²Ρ‹: ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅!

    Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ: ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° a ΠΈ b Π½Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹

    А Π²ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ:

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ √12

    12 β€” это 4 ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 3:

    √12 = √ (4 Γ— 3)

    Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ:

    √ (4 Γ— 3) = √4 Γ— √3

    И ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 4 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2:

    √4 Γ— √3 = 2√3

    Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, √12 ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ 2√3

    Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ √8

    √8 = √ (4 Γ— 2) = √4 Γ— √2 = 2√2

    (ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 4 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2)

    И Π΅Ρ‰Π΅:

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ √18

    √18 = √ (9 Γ— 2) = √9 Γ— √2 = 3√2

    Часто ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ числа (Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго Π½Π° простыС числа):

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ √6 Γ— √15

    Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° числа:

    √6 Γ— √15 = √ (6 Γ— 15)

    Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΈΡ…:

    √ (6 Γ— 15) = √ (2 Γ— 3 Γ— 3 Γ— 5)

    ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π΄Π²Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΠΈ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ Β«Π²Ρ‹Ρ‚Π°Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ…Β»:

    √ (2 Γ— 3 Γ— 3 Γ— 5) = √ (3 Γ— 3) Γ— √ (2 Γ— 5) = 3√10

    Π”Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ

    Для Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ дСйствуСт Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ:

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ √30 / √10

    Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° числа:

    √30 / √10 = √ (30/10)

    Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ упроститС:

    √ (30/10) = √3

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ послоТнСС

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ √20 Γ— √5 √2

    ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅, смоТСтС Π»ΠΈ Π²Ρ‹ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ шаги:

    √20 Γ— √5 √2

    √ (2 Γ— 2 Γ— 5) Γ— √5 √2

    √2 Γ— √2 Γ— √5 Γ— √5 √2

    √2 Γ— √5 Γ— √5

    √2 Γ— 5

    5√2

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2√12 + 9√3

    ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ 2√12:

    2√12 = 2 Γ— 2√3 = 4√3

    Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΎΠ±Π° Ρ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ √3, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡ… ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ:

    4√3 + 9√3 = (4 + 9) √3 = 13√3

    Surds

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ , называСтся Surd. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, √3 β€” ΡΡŽΡ€Π΄. Но √4 = 2 β€” это Π½Π΅ ΡΡŽΡ€ΠΏΡ€ΠΈΠ·.

    Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ² (ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ)

    Purplemath

    Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Β«ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Π΅Β» числа, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ. Но, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π²Ρ‹ Π½Π΅ смоТСтС ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ слоТСниС Π΄ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа. Как «нСльзя Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ яблоки ΠΈ Π°ΠΏΠ΅Π»ΡŒΡΠΈΠ½Ρ‹Β», Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ нСльзя ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Β«Π½Π΅ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅Β» Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹.Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹ вмСстС, эти Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ.

    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ:

    ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π» Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ (являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…), Ρ‚ΠΎ это Β«ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅Β» Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ я ΠΌΠΎΠ³Ρƒ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹.

    MathHelp. com

    Π£ мСня Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΏΠΈΠΈ, Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠΎΠΏΠΈΠΈ. ВсСго получаСтся ΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΏΠΈΠΉ:

    Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ срСдний шаг Π² ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Ρ‹Ρ… скобках ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ рассуТдСниС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π°Π²Π΄Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π²Π°ΠΌ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ понадобится Β«ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΒ» этот шаг, Π½ΠΎ это Ρ‚ΠΎ, ΠΎ Ρ‡Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ.


    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ:

    ΠšΠΎΡ€Π΅Π½Π½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Π° Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π΅, поэтому я ΠΌΠΎΠ³Ρƒ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ это Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ ΠΌΠ½Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Β«ΠΎΠ΄Π½Ρƒ копию ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Β», я Π²ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡŽ «понял» Β«1Β»:


    НС Π΄ΡƒΠΌΠ°ΠΉΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ выраТСния с Π½Π΅ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠΌΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ нСльзя ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ послС упрощСния Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΎ.

    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ:

    Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ слоТСниС, я Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ сначала ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ, ΠΌΠΎΠ³Ρƒ Π»ΠΈ я ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Β«ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽΒ» (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл):


    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ:

    Π£ мСня Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠΎΠΏΠΈΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° плюс Π΅Ρ‰Π΅ Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠΏΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ½Π΅ … ΠŸΠΎΠ³ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅! Π― ΠΌΠΎΠ³Ρƒ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ эти Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹ Π΄ΠΎ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл:

    НС Π²ΠΎΠ»Π½ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ссли Π²Ρ‹ Π½Π΅ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ упрощСния сразу.Если Π±Ρ‹ я Π½Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ» Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΌΠΎΠΈ шаги Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ, Π½ΠΎ ΠΌΠΎΠΉ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π±Ρ‹Π» Π±Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅:


    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ:

    ΠœΠΎΠ³Ρƒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹ Β«Π»Π°ΠΉΠΊΠΈΒ». ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΈ послСдний Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ содСрТат ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…, поэтому ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ; срСдний Ρ‡Π»Π΅Π½ содСрТит ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· пяти, поэтому Π΅Π³ΠΎ нСльзя ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ.Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π² этом случаС Π² ΠΌΠΎΠ΅ΠΌ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°.

    Π― Π½Π°Ρ‡Π½Ρƒ с пСрСстановки Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Β«ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅Β» Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹ вмСстС, ΠΈ вставив «понятый» 1 Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…:


    Насколько ΠΌΠ½Π΅ извСстно, Π½Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ упорядочивания Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ² Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π° выраТСниях, поэтому Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

    Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΡ‹ΠΌ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ.
    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ:

    Насколько ΠΌΠ½Π΅ извСстно, это Β«Π½Π΅ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅Β» Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹, ΠΈ я Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³Ρƒ ΠΈΡ… ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ.Но Π²ΠΎΡΡŒΠΌΠ΅Ρ€ΠΊΠ° Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π° мноТится ΠΊΠ°ΠΊ 2 Γ— 2 Γ— 2. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ я ΠΌΠΎΠ³Ρƒ Π²Ρ‹Ρ‚Π°Ρ‰ΠΈΡ‚ΡŒ 2 ΠΈΠ· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°. Π’ этот ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Ρƒ мСня Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹ «нравится», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ я ΠΌΠΎΠ³Ρƒ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ.


    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ:

    Π― ΠΌΠΎΠ³Ρƒ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ², ΠΈ это ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ хотя Π±Ρ‹ нСбольшоС ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅:


    • Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ:

    Π’ этих Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°Ρ… Π΅ΡΡ‚ΡŒ Β«Π½Π΅ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅Β» Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ части, ΠΈ я Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³Ρƒ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ· любого Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°.Π’ΠΎΠ³Π΄Π° я Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³Ρƒ дальшС ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

    , ΠΈ ΠΌΠΎΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ:

    (Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΎ)


    • Π Π°Π·Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ:

    Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ), ΠΌΠ½Π΅ сначала Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Ρ‹Π΅ скобки:


    Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π»ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π° Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ² Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π», содСрТащий Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π° (2 Γ— 3 = 6). Π’Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ придСтся ΠΌΠ°Π½ΠΈΠΏΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ Π² ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… «направлСниях».


    • Π Π°Π·Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ:

    Как ΠΈ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅, ΠΌΠ½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Ρ‹Π΅ скобки.


    • Π Π°Π·Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ:

    НавСрноС, ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ это ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Β«ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈΒ».

    Π£ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ½Π΅:


    ДСлая ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ, я ΠΌΠΎΠ³ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΎΡ‚ΡΠ»Π΅ΠΆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ свои шаги. Π’Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ умноТСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ для вас. Но Π·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ β€” это Π½Π΅ врСмСнная ΡƒΠ»ΠΎΠ²ΠΊΠ° для Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… студСнтов; Π― Π΄ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽ эту Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΡƒ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ этом я постоянно быстрСС ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅.


    Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄ΠΆΠ΅Ρ‚ Mathway Π½ΠΈΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ². ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΠΏΡ€Π°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ своС собствСнноС. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ свой ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ с ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Mathway.

    (НаТмитС «НаТмитС, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ шаги», Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ нСпосрСдствСнно Π½Π° сайт Mathway для ΠΏΠ»Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ обновлСния.)



    URL: https: // www.purplemath.com/modules/radicals3.htm

    Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

    Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

    ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ индСкс ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния для Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ². Если a ΠΈ b ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа,

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: 2β‹…6.

    РСшСниС: Π­Ρ‚Π° Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° прСдставляСт собой ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния для Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ², Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ упроститС.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 23

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: 93β‹…63.

    РСшСниС: Π­Ρ‚Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΎΠΌ кубичСских ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния для Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ², Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ упроститС.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 3 23

    Часто ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ стоят коэффициСнты.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: 23β‹…52.

    РСшСниС: Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ коэффициСнты ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ выраТСния ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

    ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ шаг, связанный с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ свойства, Π½Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 106

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: βˆ’2 5Γ—3β‹…3 25Γ—23.

    Раствор:

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: βˆ’30x

    Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ свойство распрСдСлСнности ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ‡Π»Π΅Π½.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ: 43 (23-36).

    РСшСниС: ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ свойство распрСдСлСния ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° 43.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 24βˆ’362

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: 4Γ—23 (2Γ—3βˆ’5 4Γ—23).

    РСшСниС: ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ свойство распрСдСлСния, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ упроститС Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 2x βˆ’ 10xβ‹…2Γ—3

    ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ умноТСния Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° нСсколько Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² β€” это Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ процСсс, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ². ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ свойство распрСдСлСния, упроститС ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π», Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: (5 + 2) (5βˆ’4).

    РСшСниС: НачнитС с примСнСния свойства распрСдСлСния.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: βˆ’3βˆ’25

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: (3x βˆ’ y) 2.

    Раствор:

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 9x βˆ’ 6xy + y

    ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ! Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ: (23 + 52) (3βˆ’26).

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 6-122 + 56-203

    ВыраТСния (a + b) ΠΈ (a βˆ’ b) Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ сопряТСнными. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (a + b) ΠΈ (a βˆ’ b) ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ сопряТСнными.. ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚ΠΎΠ² сумма ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΈ внСшнСго Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π΄Π°Π΅Ρ‚ 0.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: (2 + 5) (2βˆ’5).

    РСшСниС: ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ свойство распрСдСлСния, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Ρ‹.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: βˆ’3

    Π’Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ сопряТСнных Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.Π­Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ ΠΈ часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹.

    Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, для Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл a ΠΈ b ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ свойство:

    Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ (рационализация знамСнатСля)

    Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ выраТСния с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ индСксом, ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ частного для Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ². Если a ΠΈ b ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π³Π΄Π΅ b β‰  0, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 10: Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ: 8010.

    РСшСниС: Π’ этом случаС ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 10 ΠΈ 80 ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Если ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ частного для Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ² ΠΈ запишСм Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, ΠΌΡ‹ смоТСм ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 22

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 11: Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ: 16x5y42xy.

    Раствор:

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 2x2y2y

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 12: Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ: 54a3b5316a2b23.

    Раствор:

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 3bβ‹…a32

    Когда Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния содСрТит Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π», ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ находят эквивалСнтноС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ являСтся Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом. НахоТдСниС Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ эквивалСнтного выраТСния называСтся Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ знамСнатСля ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ опрСдСлСния эквивалСнтного Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ..

    Для этого ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ особого Π²ΠΈΠ΄Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ со ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ индСксу.ПослС этого упроститС ΠΈ ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π» Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅. НапримСр,

    ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ эквивалСнтноС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ коэффициСнт.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 13: Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ: 32.

    РСшСниС: ЦСль состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ эквивалСнтноС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π΅Π· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅. Π’ этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Π½Π° 1 Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ 22.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 62

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 14: Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ: 123x.

    РСшСниС: ΠŸΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ опрСдСляСт Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для Π΅Π³ΠΎ обоснования. Π’ этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Π½Π° 1 Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ 3x3x.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 3x6x

    Как ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ послС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ знамСнатСля.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 15: Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ: 525ab.

    РСшСниС: Π’ этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π° 1 Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ 5ab5ab.

    ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ a ΠΈ b Π½Π΅ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅. НС отмСняйтС Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° с Ρ‚Π΅ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ находятся снаруТи.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 10abab

    ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ! Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ: 4a3b.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 23ab3b

    Π”ΠΎ этого ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ числитСля ΠΈ знамСнатСля Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ. Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ, это Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ содСрТит ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Однако это Π½Π΅ относится ΠΊ кубичСскому ΠΊΠΎΡ€Π½ΡŽ. НапримСр,

    ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ коэффициСнт Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ Π½Π΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ объяснСния. Π’ этом случаС, Ссли ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π° 1 Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ x23x23, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 3. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ. НапримСр,

    ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅, Π½Π°Ρ‡Π½ΠΈΡ‚Π΅ с Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния знамСнатСля. ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ этого ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния ΠΈ индСкса ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚, Π½Π° Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n -ΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ n -ю ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ всСх ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π² ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ знамСнатСля.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 16: Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ: 1253.

    РСшСниС: Π Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π» Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ эквивалСнтСн 523. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΎΠ½ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ 533. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ это, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 5. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Π½Π° 1 Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ 5353.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 535

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 17: Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ: 27a2b23.

    РСшСниС: Π’ этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π° 1 Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ 22b322b3.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 34ab32b

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 18: Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ: 1 4Γ—35.

    РСшСниС: Π’ этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π° 1 Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ 23x2523x25.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 8x252x

    Когда Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π²Π° Ρ‡Π»Π΅Π½Π° с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ корнями, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ это с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠΈ.Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ числитСля ΠΈ знамСнатСля Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° сопряТСниС знамСнатСля. Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния Π½Π° Π΅Π³ΠΎ сопряТСниС Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 19: Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ: 13βˆ’2.

    РСшСниС: Π’ этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ сопряТСниС знамСнатСля Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 3 + 2. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Π½Π° 1 Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (3 + 2) (3 + 2).

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 3 + 2

    ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹, содСрТащиС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅, ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ умноТСния Π½Π° сопряТСниС.ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ свойство (a + b) (a βˆ’ b) = a βˆ’ b, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΡΠΊΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ процСсс умноТСния Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 20: Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ: 2βˆ’62 + 6.

    РСшСниС: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Π½Π° 1 Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ 2βˆ’62βˆ’6.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: βˆ’2 + 3

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 21: Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ: x + yx βˆ’ y.

    РСшСниС: Π’ этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π° 1 Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ x βˆ’ yx βˆ’ y.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: x βˆ’ 2xy + yx βˆ’ y

    ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ! Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ: 35 + 525βˆ’3.

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: 195 + 4511

    ΠšΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρ‹

    • Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… выраТСния, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ коэффициСнты ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ выраТСния. По возмоТности упроститС Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚.
    • ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ свойство распрСдСлСния ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π° нСсколько Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ².Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ упроститС ΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚Π΅ всС ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹.
    • Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния, содСрТащСго ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Π½Π° Π΅Π³ΠΎ сопряТСниС, Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
    • ΠŸΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΠΎ ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ выраТСния Π±Π΅Π· Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ² Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅. ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ поиска Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ эквивалСнтного выраТСния называСтся Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ знамСнатСля.
    • Если Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π», Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° n ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ -ΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΡ… стСпСни Ρ€Π°Π²Π½ΡΠ»ΠΈΡΡŒ индСксу.
    • Если Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ Π΄Π²Π° Ρ‡Π»Π΅Π½Π°, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° Π΅Π³ΠΎ сопряТСниС.

    ВСматичСскиС упраТнСния

    Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ A: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

    Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ. ( ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹. )

    1. 3β‹…5

    2.7β‹…3

    3. 2β‹…6

    4. 5β‹…15

    5. 7β‹…7

    6. 12β‹…12

    7. 25β‹…710

    8. 315β‹…26

    9. (25) 2

    10. (62) 2

    11. 2xβ‹…2x

    12. 5Π»Π΅Ρ‚ 5Π»Π΅Ρ‚

    13. 3aβ‹…12

    14. 3aβ‹…2a

    15. 42xβ‹…36x

    16. 510–22 Π³ΠΎΠ΄Π°

    17.53β‹…253

    18. 43β‹…23

    19. 43β‹…103

    20. 183β‹…63

    21. (5 93) (2 63)

    22. (2 43) (3 43)

    23. (2 23) 3

    24. (3 43) 3

    25. 3a23β‹…9a3

    26. 7b3β‹…49b23

    27. 6Γ—23β‹…4Γ—23

    28. 12y3β‹…9y23

    29. 20x2y3β‹…10x2y23

    30.63xy3β‹…12x4y23

    31,5 (3-5)

    32. 2 (3βˆ’2)

    33,37 (27βˆ’3)

    34. 25 (6βˆ’310)

    35. 6 (3βˆ’2)

    36,15 (5 + 3)

    37. Ρ… (Ρ… + Ρ…Ρƒ)

    38. Ρƒ (Ρ…Ρƒ + Ρƒ)

    39. 2ab (14a βˆ’ 210b)

    40. 6ab (52a βˆ’ 3b)

    41. (2βˆ’5) (3 + 7)

    42. (3 + 2) (5-7)

    43.(23βˆ’4) (36 + 1)

    44. (5βˆ’26) (7βˆ’23)

    45. (5βˆ’3) 2

    46. (7βˆ’2) 2

    47. (23 + 2) (23βˆ’2)

    48. (2 + 37) (2βˆ’37)

    49. (a βˆ’ 2b) 2

    50. (ab + 1) 2

    51. ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 53 сантимСтра ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 32 сантимСтра?

    52. ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 26 сантимСтров ΠΈ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 3 сантимСтра?

    53. Если основаниС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° 62 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°, Π° высота 32 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°, Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ?

    54. Если основаниС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° составляСт 63 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°, Π° высота β€” 36 ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ², Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ?

    Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ B: Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

    Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ.

    55. 753

    56. 36010

    57. 7275

    58. 9098

    59.90x52x

    60. 96y33y

    61. 162x7y52xy

    62. 363x4y93xy

    63. 16a5b232a2b23

    64. 192a2b732a2b23

    Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ.

    65,15

    66,16

    67. 23

    68. 37

    69. 5210

    70. 356

    71.3βˆ’53

    72. 6βˆ’22

    73. 17x

    74. 13Π»Π΅Ρ‚

    75. a5ab

    76. 3b223ab

    77. 2363

    78. 1473

    79. 14Γ—3

    80. 13y23

    81. 9xβ‹…239xy23

    82. 5y2β‹…x35x2y3

    83. 3a2 3a2b23

    84. 25Π½3 25ΠΌ2Π½3

    85.327x2y5

    86. 216xy25

    87. ab9a3b5

    88. abcab2c35

    89. 310-3

    90,26-2

    91. 15 + 3

    92. 17βˆ’2

    93. 33 + 6

    94. 55 + 15

    95. 105-35

    96. βˆ’224-32

    97. 3 + 53βˆ’5

    98. 10βˆ’210 + 2

    99.23βˆ’3243 + 2

    100. 65 + 225βˆ’2

    101. Ρ… + ΡƒΡ…-Ρƒ

    102. Ρ… βˆ’ yx + y

    103. a βˆ’ ba + b

    104. ab + 2ab βˆ’ 2

    105. x5βˆ’2x

    106. 1x-y

    Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ C: ΠžΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

    107. Π˜Π·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈ обсудитС Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ использованиС знамСнатСля являСтся ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ.

    108. ΠžΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚Π΅ своими словами, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ.

    ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹

    1: 15

    3: 23

    5: 7

    7: 702

    9: 20

    11: 2x

    13: 6a

    15: 24Γ—3

    17: 5

    19: 2 53

    21:30 23

    23: 16

    25: 3a

    27: 2xβ‹…3Γ—3

    29: 2xyβ‹…25Γ—3

    31: 35βˆ’5

    33: 42-321

    35: 32βˆ’23

    37: x + xy

    39: 2a7b βˆ’ 4b5a

    41: 6 + 14βˆ’15βˆ’35

    43: 182 + 23βˆ’126βˆ’4

    45: 8βˆ’215

    47: 10

    49: a βˆ’ 22ab + 2b

    51: ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€: (103 + 62) см; ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ: 156 ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… сантимСтров

    53: 18 ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ²

    55: 5

    57: 265

    59: 3Γ—25

    61: 9x3y2

    63: 2a

    65: 55

    67: 63

    69: 104

    71: 3βˆ’153

    73: 7x7x

    75: ab5b

    77: 633

    79: 2x232x

    81: 3 6x2y3y

    83: 9ab32b

    85: 9x3y45xy

    87: 27a2b453

    89: 310 + 9

    91: 5-32

    93: βˆ’1 + 2

    95: βˆ’5-352

    97: βˆ’4βˆ’15

    99: 15βˆ’7623

    101: x2 + 2xy + yx2 βˆ’ y

    103: a βˆ’ 2ab + ba βˆ’ b

    105: 5x + 2Γ—25βˆ’4x

    Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ΅ пособиС ΠΏΠΎ дСлСнию ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня с ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈ, практичСскими Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°ΠΌΠΈ ΠΈ бСсплатный Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΈΠΉ лист с ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°

    ПополнСниС словарного запаса

    ΠŸΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ относится ΠΊ числу ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корня. Π’ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ β€” это Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π° Β«5Β».

    Π•Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π΅ дСлСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ:

    ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, описанноС Π½ΠΈΠΆΠ΅, являСтся Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ собираСмся Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, поэтому ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ сСкунда, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡΠ²Π΅ΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π² памяти. (Или ΡƒΠ·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅;)

    Когда Π²Ρ‹ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… корня, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Β«ΠΏΠΎΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒΒ» Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.НиТС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ этого ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° с использованиСм чисСл

    .

    Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, Β«23Β» ΠΈ Β«2Β» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ°.

    Π’ΠΈΠ΄Π΅ΠΎ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ дСлСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1 умноТСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ
    Π¨Π°Π³ 1

    ΠžΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ 1 ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ число

    Π¨Π°Π³ 2

    Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ (Ссли Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ).Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 150 дСлится Π½Π° 2, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ.

    Π¨Π°Π³ 3

    ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ° Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня

    Указания: Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅ свой ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅

    Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1
    ПокаТи ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚

    Π­Ρ‚Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ° Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1.

    Π¨Π°Π³ 1

    ΠžΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ 1 ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ число

    шаг 1 ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π¨Π°Π³ 2

    Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ (Ссли Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ).Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 200 дСлится Π½Π° 10, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ.

    шаг 1 ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π¨Π°Π³ 3 шаг 1 ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚
    Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2
    ПокаТи ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚

    Π­Ρ‚Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ° Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

    Π¨Π°Π³ 1

    ΠžΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ 1 ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ число

    шаг 1 ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π¨Π°Π³ 2

    Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ (Ссли Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ). Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 140 дСлится Π½Π° 5, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ.

    шаг 1 ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π¨Π°Π³ 3 шаг 1 ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚


    ΠŸΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Π°Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°
    Π£Ρ€ΠΎΠΊ 41: Рационализация Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ ΠΈ числитСлСй
    Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ

    WTAMU > Π’ΠΈΡ€Ρ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ матСматичСская лаборатория> АлгСбра срСднСго уровня

    Π¦Π΅Π»ΠΈ обучСния


    ПослС прохоТдСния этого руководства Π²Ρ‹ смоТСтС:
    1. Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
    2. Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ числитСли Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, состоящиС ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π°.
    3. Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π΄Π²ΡƒΡ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.

    Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅



    Π’ этом ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ знамСнатСля ΠΈ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.ΠžΡ‚Π·Ρ‹Π² ΠΈΠ· ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ° 3: Наборы чисСл, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число являСтся числом, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ записанным ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число Π½Π°Π΄ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ. ΠžΡ‚Π·Ρ‹Π² ΠΈΠ· ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊΠ° 3: Наборы чисСл, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Π½Π΅ являСтся Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΡƒΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, Π½ΠΎ это число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ нСльзя Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число Π½Π°Π΄ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ. Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ дСсятичная Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ Π±Π΅Π· Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Один ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа β€” ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ выраТСния это Π½Π΅ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 7 ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡƒΠ± ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 2. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ².

    Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ




    Рационализация знамСнатСля
    (с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ)

    Когда ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ содСрТит Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3 ΠΈΠ»ΠΈ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 5, ΠΎΠ½ называСтся ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число . Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ всСх Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ находятся Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅.


    Π¨Π°Π³ 1. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ это ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅.


    Если Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π» Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ даст Π²Π°ΠΌ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ.Если Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π» Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ являСтся кубичСским ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ Π½Π° кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ даст Π²Π°ΠΌ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡƒΠ± ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Ρ‚. Π΄.

    ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„Ρ€Π°Π·Π° Β«ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Β» ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ «идСально Β«ΠΊΡƒΠ±Β» ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ числа, ΠΈ поэтому Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄.

    Π˜ΠΌΠ΅ΠΉΡ‚Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ эквивалСнтны.




    Π¨Π°Π³ 3: ΠŸΡ€ΠΈ нСобходимости упроститС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ.


    Π‘ΡƒΠ΄ΡŒΡ‚Π΅ остороТны.Π’Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ находится снаруТи Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ находится Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°. Π‘ Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π° Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Π½Π΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°.



    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1 : Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ.

    Π¨Π°Π³ 1. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ это ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅.


    Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ стоит ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· выраТСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ даст Π½Π°ΠΌ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅.

    ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ для Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с этим Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠΌ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ β€” это Π½Π΅ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, Π½Π°ΠΌ просто Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ это само ΠΏΠΎ сСбС, ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.

    Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π² этом случаС ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ этого, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² Π½Π° Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ ΠΈ ниТнюю ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ· 6:



    * Мног. число ΠΈ Π΄Π΅Π½. ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· 6

    * ΠŸΡ€ΠΈΠΌ. Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ





    * ΠΊΠ².ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 36 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 6

    * Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 2


    Π‘ΡƒΠ΄ΡŒΡ‚Π΅ остороТны ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ±Π»Π°Π·Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ 3, которая находится Π²Π½Π΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°, с 6, которая находится Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° послСднСй Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Π’Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ этого ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ±Π° находятся Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Π° Π²Π½Π΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°, ΠΊΠ°ΠΊ 4 Π² числитСлС ΠΈ 6 Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π΄ΠΎ послСднСй Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.




    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2 : Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ.

    Π¨Π°Π³ 1. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ это ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅.


    ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρƒ нас Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСским ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· выраТСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ даст Π½Π°ΠΌ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡƒΠ± ΠΏΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π» Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅.

    Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π² этом случаС ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ этого, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ ΠΈ ниТнюю ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ кубичСский ΠΈΠ·:



    * ΠœΡƒΠ»ΡŒΡ‚. число ΠΈ Π΄Π΅Π½. кубичСским ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ·


    * Den.Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡƒΠ± ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΊΡƒΠ±Π°




    * ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 27 a ΠΊΡƒΠ± Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 3 a


    Как ΠΎΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 1, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ смоТСм ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ 3 с 18 Π² нашСй послСднСй Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ 3 находится Π·Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π», Π° 18 находится Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°.

    ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Ρ‡Π΅Π³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠΌ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½, насколько ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ.




    Рационализация числитСля
    (с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ)

    Как ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π» Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ†Π΅Π½Π΅Π½, для НапримСр, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 3 ΠΈΠ»ΠΈ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 5, ΠΎΠ½ называСтся ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ .Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ , Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ всСх Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² числитСлС.

    ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ основныС шаги для рационализируя Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ, ΠΌΡ‹ сСйчас просто примСняСм Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ.



    Π¨Π°Π³ 1. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ это ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° Π² числитСлС.


    Если Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π» Π² числитСлС являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ даст Π²Π°ΠΌ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ. Если Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π» Π² числитСлС являСтся кубичСским ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ Π½Π° кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ даст Π²Π°ΠΌ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡƒΠ± ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Ρ‚. д…

    ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„Ρ€Π°Π·Π° Β«ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Β» ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ «идСально Β«ΠΊΡƒΠ±Β» ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ числа, ΠΈ поэтому Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄.

    Π˜ΠΌΠ΅ΠΉΡ‚Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ эквивалСнтны.




    Π¨Π°Π³ 3: ΠŸΡ€ΠΈ нСобходимости упроститС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ.


    Π‘ΡƒΠ΄ΡŒΡ‚Π΅ остороТны. Π’Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ находится снаруТи Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ находится Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°. Π‘ Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π° Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Π½Π΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°.




    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3 : Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ.

    Π¨Π°Π³ 1. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ это ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° Π² числитСлС.


    ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρƒ нас Π² числитСлС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· выраТСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ даст Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ Π² числитСлС.

    Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π² этом случаС ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ этого, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ ΠΈ ниТнюю ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ· 5:



    * ΠœΡƒΠ»ΡŒΡ‚. число ΠΈ Π΄Π΅Π½. ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ· 5

    * Чис.Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ




    * ΠΊΠ². ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 25 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 5


    Как ΠΎΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ смоТСм ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ 5 с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ 30 Π² нашСй послСднСй Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ 5 находится Π²Π½Π΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° Π° 30 β€” Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°.

    ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Ρ‡Π΅Π³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½, насколько ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ.




    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4 : Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ.

    Π¨Π°Π³ 1. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ это ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ ΠΎΡ‚ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° Π² числитСлС.


    Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρƒ нас Π² числитСлС кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ кубичСским ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· выраТСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ даст Π½Π°ΠΌ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡƒΠ± ΠΏΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π» Π² числитСлС.

    Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π² этом случаС ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ этого, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠ² Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ ΠΈ ниТнюю ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ кубичСский ΠΈΠ·:



    * Мног. число ΠΈ Π΄Π΅Π½. кубичСским ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ·

    * Чис. Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡƒΠ± ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΊΡƒΠ±Π°




    * ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 8 ΠΊΡƒΠ±Π° x это 2 x


    Как ΠΎΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ смоТСм ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ΅Π½ΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ 2 x ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ 4 x Π² нашСй послСднСй Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ 2 x находится Π·Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ корня Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ 4 x находится Π½Π° Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ сторонС Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.

    ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Ρ‡Π΅Π³ΠΎ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠΌ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½, насколько ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ.



    Рационализация знамСнатСля
    (с двумя Ρ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ)

    Π’Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ знамСнатСля ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ. ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, рационализация знамСнатСля ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ·Π±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎΠ² Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ.

    ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°, Π½Π°ΠΌ придСтся ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΠΎ-Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ нас Π±Ρ‹Π» ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ сСмСстр, Π½ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΡŒ всС Ρ‚Π° ΠΆΠ΅.


    Π¨Π°Π³ 1: НайдитС ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚ знамСнатСля.


    БопряТСниС Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² Π·Π½Π°ΠΊ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π΄Π²Π° Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°, Π½ΠΎ ΡΠΎΠ±Π»ΡŽΠ΄Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ порядок Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ².

    a + b ΠΈ a β€” b ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°.


    Π¨Π°Π³ 2: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚ΠΎΠΌ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π½Π° шагС 1.


    Π˜ΠΌΠ΅ΠΉΡ‚Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π²Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ эквивалСнтны.




    Π¨Π°Π³ 4. ΠŸΡ€ΠΈ нСобходимости упроститС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ.


    Π‘ΡƒΠ΄ΡŒΡ‚Π΅ остороТны. Π’Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ находится снаруТи Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ находится Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°. Π‘ Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π° Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Π½Π΅ Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°.




    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5 : Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ

    Π¨Π°Π³ 1: НайдитС ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚ знамСнатСля.


    ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚ a + b Ρ€Π°Π²Π΅Π½ a β€” b ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.

    Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ сопряТСниС нашСго знамСнатСля?

    ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅, ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚.


    Π¨Π°Π³ 2: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚ΠΎΠΌ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π½Π° шагС 1.




    Никакого упрощСния ΠΏΠΎ этой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ΅ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ нСльзя, поэтому ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚:





    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6 : Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ.

    Π¨Π°Π³ 1: НайдитС ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚ знамСнатСля.


    ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚ a + b Ρ€Π°Π²Π΅Π½ a β€” b ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.

    Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ сопряТСниС нашСго знамСнатСля?

    ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅, ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚.


    Π¨Π°Π³ 2: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚ΠΎΠΌ, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π½Π° шагС 1.





    * 12 β€” это (4) (3) ΠΈ ΠΊΠ². ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 4 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2
    * 18 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (9) (2), Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 9 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 3




    ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ


    Π­Ρ‚ΠΎ практичСскиС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²Π°ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅ Π»ΠΈ Π²Ρ‹ эти Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ. Math Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅, Ссли Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ успСха Π² этом, Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π­Ρ‚ΠΎ. Π”Π°ΠΆΠ΅ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠ΅ спортсмСны ΠΈ ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ°Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΎΡΠ²ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ свой Π²ΠΈΠ΄ спорта ΠΈΠ»ΠΈ инструмСнт. На самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ слишком ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ.

    Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ Π½ΠΈΡ… ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚Π΄Π°Ρ‡Ρƒ, Π²Π°ΠΌ слСдуСт ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° Π½Π° свой, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ свой ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, Ρ‰Π΅Π»ΠΊΠ½ΡƒΠ² ссылку для ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ / обсуТдСниС для этой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ . По ссылкС Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ шаги, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π»ΠΈ ΠΊ поиску этого ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°.

    ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ° Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1a: Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ.

    ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ° Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2a: Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ.

    ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ° Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3a: Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ.

    НуТна Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ ΠΏΠΎ этим Ρ‚Π΅ΠΌΠ°ΠΌ?





    ПослСдний Ρ€Π°Π· Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π» Ким Π‘ΡŒΡŽΠ°Ρ€Π΄ 21 июля 2011 Π³.

    Leave A Comment