Бесконечная арифметическая прогрессия: дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2013, а разность равна 8. Каждый член…

Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел : Олимпиадные задачи (М)

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Ktina	Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел 29.07.2017, 18:49
01/12/11 ∞ 8634	Дана бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел. Докажите, что среди её членов можно найти 2017 последовательных членов геометрической прогрессии.

arseniiv	Re: Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел 29.07.2017, 19:01
Заслуженный участник 27/04/09 28128	Рассмотрим последовательность вида , . Это подпоследовательность арифметической прогрессии : например, по индукции и . Каждый член этой арифметической прогрессии является началом как минимум счётного числа вложений всяческих геометрических подпрогрессий (вложений — это потому что если , все подпоследовательности совпадают). Скууучно.

iou	Re: Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел 29.07.2017, 23:00
04/10/15 291	arseniiv в сообщении #1236676 писал(а): Каждый член этой арифметической прогрессии является началом как минимум счётного числа вложений всяческих геометрических подпрогрессий И, казалось бы, как максимум счётного, поскольку выбор второго члена подпрогресии однозначно её задаст.

Ktina	Re: Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел 29.07.2017, 23:20
01/12/11 ∞ 8634	arseniiv в сообщении #1236676 писал(а): … Скууучно. (Оффтоп) А на «вееесело» у меня мозгов почему-то перестало хватать Мозги не продаются в супермаркете, какая досада!

scwec	Re: Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел 30. 07.2017, 00:01
Заслуженный участник 17/09/10 2088	Ktina. уже заканчивали умерили бы свою деятельность здесь. Ну нет уже никаких сил читать ваши произведения.

Aritaborian	Re: Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел 30. 07.2017, 00:05
11/06/12 10316 стихия.вздох.мюсли	Ну зачем так грубо. Понимаю, вы считаете эту деятельность профанацией искусства. А мне вот иногда помогает отвлечься, отдохнуть.

scwec	Re: Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел 30. 07.2017, 00:15
Заслуженный участник 17/09/10 2088	Слишком их много, «задач», да я бы и не против, но противно. «Каждый сверчок знай свой шесток».

Andrey A	Re: Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел 30. 07.2017, 10:35
Заслуженный участник 21/11/12 1639 Санкт-Петербург	Aritaborian в сообщении #1236731 писал(а): … помогает отвлечься, отдохнуть. Да. Особенно на фоне интеллектуальных бесед типа «Можно ли убить человека потоком частиц?» (надо побольше набрать частиц со смещенным центром тяжести!). (Оффтоп) scwec , напомню одну нерешенную задачу чтобы Вас развлечь: простые, , — сумма всех вз. простых с , для которых разрешимо в натуральных числах уравнение , — то же, для которых ур-е неразрешимо. Требуется доказать: . И еще вопрос. — факт известный. Не является ли вопрос задачи частным случаем более общего утверждения? Например, такого: . Мне казалось, хорошая задача — сложная задача, но два года назад энтузиазма не вызвало.

svv	Re: Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел 30.07.2017, 12:49
Заслуженный участник 23/07/08 9829 Crna Gora	scwec в сообщении #1236732 писал(а): да я бы и не против, но противно Что поделаешь, сейчас время такое, что всем противно. Скажите себе «надо!», преодолейте отвращение и решайте.

arseniiv	Re: Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел 30.07.2017, 17:57
Заслуженный участник 27/04/09 28128	Меня же, смею признать, слегка порадовала инвариантность относительно систем счисления. (А вообще я и теория чисел — две вещи несовместные, так что в такие темы вообще обычно не попадаю.)

Sonic86	Re: Бесконечная арифметическая прогрессия из натуральных чисел 30.07.2017, 18:37
Заслуженный участник 08/04/08 8548	(о задачах) Раз пошло такое обсуждение, то я вытащу исковерканную моей плохой памятью цитату Гаусса (нагуглить не могу ввиду исковерканности) Он говорил примерно так, что можно легко напридумывать кучу очень сложных и изощренных задач, которые будет очень трудно решить, но если их решить, то это не будет иметь практически никакой пользы. Я ничего в целом против не имею, но мне хотелось бы видеть меньше таких задач (не конкретно этой, а вообще). А всевозможные игрища с цифрами, страшные уравнения в простых числах и т.п. в подавляющем числе случаев — это похоже из той серии. Я готов получить предупреждение за обсуждение участника, хотя я скорее хотел обсудить задачи, предлагаемые участником.

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 11 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Найти:

Бесконечная прогрессия » задачи — страница 6

прогрессия »

• дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2013, а разность равна 8.

  Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили также и действовали так до тех пор, пока не получилась последовательность однозначных чисел.

  а) Найдите тысячное число получившейся последовательности.

  б) Найдите сумму первой тысячи чисел получившейся последовательности.

  в) Чему может равняться наименьшая сумма 1010 чисел получившейся последовательности, идущих подряд?

  
  Решение: а) тысячный член исходной прогрессии равен 2013+8*1000=10013
  1+0+0+1+3=5
  б) Теорема. Сумма цифр числа дает такой же остаток от деления на 9, что и само число.
  Следствие. Последовательность, получившаяся в задании, состоит из остатков от деления на 9 членов исходной прогрессии, в которой все нули заменены девятками.
  2013 mod 9=6 первый член прогрессии 6
  8 mod 9 = 8 поэтому второй член прогрессии (6+8) mod 9 = 5, третий (5+8) mod 9=4, четвертый — 3, пятый — 2, шестой — 1, седьмой (1+8) mod 9= 0 поэтому 9, восьмой- 8, девятый — 7, десятый опять 6
  Итак, последовательность периодична с периодом 9. Сумма первых 9 членов равна 6+5+4+3+2+1+9+8+7=45
  сумма первых 999 (111*9) членов равна 111*45= 4995, а сумма 1000 членов равна сумме 999 членов + A1(тоесть 6) = 5001
  в) т. к. 1010/9=112, а 1010 mod 9=2, то сумма любых подряд идущих членов равна 112*45 + сумма следующих двух членов. Для того, чтобы сумма была наибольшей нужно, чтобы 9 и 8 попали в эту двойку.
  получается 112*45+9+8 =5057
  а) 5, б)5001, в)5057

  в пункте а) вроде формула числа прогрессии 

  a(n)=a1-d(n-1) 

  так что выходит a(1000)= 2013+8*999 = 10005 

  значит тысячное чилос последовательности 6 а не 5

  неочень понял как вы объяснили пункт в)

  наименьшая сумма 1010

   1008 делится на 9 = 112 значит сумма первых 1008 чисел в любом случае будет равняться

  112*45=5040

  нужно добавить еще два числа, и чтобы последовательность была наименьшей, это должно быть 1 и 2. 

  выходит у меня 5043.

• Дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2011, а разность равна 11.

  Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили также и действовали так до тех пор, пока не получилась последовательность однозначных чисел.

  а) Найдите тысячное число получившейся последовательности.

  б) найдите сумму первых тысячи чисел получившейся последовательности

  в) чему может равняться наибольшая сумма 1010 чисел получившеся последовательности, идущих подряд?

  
  Решение: а) Тысячное число исходной прогрессии равно а(1000)=а(1)+ d*999=2011+11*999=13000.
  Значит искомое число: 1+3=4.
  б) Свойство делимости на 9:
  1) Число имеет такой же остаток от деления на 9 как и сумма его цифр, деленная на 9.
  2) Сумма чисел имеет такой же остаток от деления на 9 как остаток от делении суммы остатков этих чисел на 9.
  Звучит жутко) Но выглядит так:
  a / 9 = b*c + r1
  d / 9 = e*f + r2
  (a+d) / 9 = m*n + r3

  (r1+r2) / 9 = p*q + r3. Так надеюсь понятно.
  Вернемся к задаче:
  2011 mod9 = 4
  11 mod9 = 2
  (2+4) mod9 = 6
  (6+2) mod9 = 8
  (8+2) mod9 = 1
  (1+2) mod9 = 3
  (3+2) mod9 = 5
  (5+2) mod9 = 7
  (7+2) mod9 = 0 или (что тоже самое) =9
  (9+2) mod9 = 2
  (2+2) mod9 = 4
  (4+2) mod9 = 6
  и так далее.
  .
  Значит получившаяся последовательность переодична с периодом. 9:
  Сумма первых 9 членов: 2+4+6+8+1+3+5+7+9=45.
  Значит сумма 999 членов равна 111*45 = 4995
  Сумма первых тысячи равна 4995+4  = 5001
  в) для наибольшей суммы нам надо взять 112*45 (это 1008 чисел) + 7 + 9 = 5056.
  Выглядит как-то так: 7 + 112*(9+2+4+6+8+1+3+5+7) + 9 = 5056.

• Дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2015, а разность равна 10. Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученной последовательностью поступили так до тех пор, пока не получилась последовательность однозначных чисел.

  
  а) Найдите тысячное число получившейся последовательности. б) Найдите сумму первой тысячи чисел, получившейся последовательности.
  в) Чему может равняться наименьшая сумма 1010 чисел получившейся последовательности, идущих подряд?
  Решение: а) а1000=а1+999*d=2015+9990=12005, сумма цифр=8
  б) первое число получившейся последовательности=8. 4 — 81q² +8 = 0
  q²= t
  81t² -81t +8 = 0
  D = b² — 4ac = 6561 — 4·81·8 =81(81 -32) = 81·49
  t1 = (81 +63)/162 = 144/162
  t2 = (81 — 63)/162 = 18/162=1/9
  а) q² = 144/162
  q = 12√2/18
  S = b1/(1-q)
  S = 4/(1 — 12√2/18)
  б) q² = 1/9
  q = 1/3
  S = b1/(1 — q)
  S= 4/(1 — 1/3) = 4 : 2/3 = 6

• Найдите разность между первым и вторым членом бесконечно убывающей геометрической прогрессии если ее сумма равна 12 а знаменатель-1/2

  
  Решение: Решение:
  Дано:
  b1+b2=12
  q=-1/2
  Найти: b1-b2=?
  b2=b1*q=b1*-1/2=-b1/2  Подставим это значение b2 в сумму b1+b2=12
  b1+(-b1/2)=12
  b1-b1/2=12  приведём к общему знаменателю 2
  2*b1-b1=2*12
  2b1-b1=24
  b1=24
  Отсюда:
  b2=-24/2=-12
  Разность между первым и вторым членом данной геометрической прогрессии равна:
  b1-b2=24-(-12)=24+12=36
  

• Сумма квадратов членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

  
  равна 4, второй член равен 3/sqrt(2). 2= 32/3 
  коней нет 1-q= — sqrt(32/3) или  1-q= sqrt(32/3)  
    q=1+4*sqrt(2/3)          q=1-4* sqrt(2/3)

• Найдите сумму первых семи членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если известно, что её второй член равен 4, а отношение суммы квадратов всех членов прогрессии к сумме всех её членов равно 16/3

  
  Решение: Сумма квадратов членов прогрессии может быть записана в виде S1=b1²*(1+q²+q⁴+q⁶+.). В скобках стоит бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем q². В условии дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, а это значит, что её знаменатель q удовлетворяет условию 0<q<1. Но тогда и 0<q²<1, то есть прогрессия в скобках имеет сумму, равную 1/(1-q²). Тогда S1=b1²/(1-q²). А сумма заданной в условии прогрессии S2=b1/(1-q). По условию, S1/S2=b1/(1+q)=16/3. С другой стороны, по условию b2=b1*q=4. Мы получили систему из двух уравнений для определения b1 и q:
  b1/(1+q)=16/3;
  b1*q=4
  Из второго уравнения находим q=4/b1. 2 / (1-q²) = 1/4 : 8/9 = 1/4 * 9/8 = 9/32 

456 7 8 > >>

Формула бесконечного ряда — изучите формулу для вычисления бесконечного ряда

Формула бесконечного ряда используется для нахождения суммы последовательности, в которой количество членов бесконечно. Существуют различные типы бесконечных рядов. В этом разделе мы обсудим сумму бесконечных арифметических рядов и сумму бесконечных геометрических рядов. Арифметический ряд — это последовательность, в которой разница между каждым последующим членом постоянна на всем протяжении, а геометрический ряд — это ряд, в котором отношение последовательных членов к предыдущему везде одинаково. Формула бесконечного ряда — удобный инструмент для очень быстрого вычисления суммы. Давайте узнаем больше о формуле бесконечного ряда вместе с решенными примерами.

Что такое формула бесконечного ряда?

Формула суммы бесконечного геометрического ряда используется для нахождения суммы ряда, простирающегося до бесконечности. Это также известно как сумма бесконечных GP. Находя сумму GP, мы обнаруживаем, что сумма сходится к значению, хотя ряд имеет бесконечные члены. Формула бесконечного ряда, если −1

• Сумма = a/(1-r)

Где,

• а = первый член ряда
• r = обыкновенное отношение между двумя последовательными терминами и −1 < r < 1

Примечание. Если r > 1, сумма не существует, так как сумма не сходится.

• Сумма бесконечной арифметической последовательности равна ∞, если d > 0, или
• Сумма бесконечной арифметической последовательности равна ∞, если d > 0- ∞, если d < 0.

Давайте теперь посмотрим на несколько решенных примеров с использованием формулы бесконечного ряда.

 

Отличное обучение в старшей школе с использованием простых подсказок

Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.

Забронировать бесплатный пробный урок

 

Пример 1:   Используя формулу бесконечного ряда, найдите сумму бесконечного ряда: 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 +⋯

Решение:

Дано: a = ¼

r = (1/16) / (1/4) = (1/64) / (1/16) = ¼

Чтобы найти: Сумма заданного бесконечного ряда

Если r<1, то сумма определяется как Сумма = a/(1-r)

Применяя значения к формуле бесконечного ряда, мы получаем

Сумма=( 1/4)/(1-1/4)

Сумма=(1/4)/(3/4)

Сумма=4/(3*4)

Сумма=1/3

Ответ: Сумма 1/4+1/16+1/64+1/256+⋯ равна 1/3

Пример 2. Используя формулу бесконечного ряда, найдите сумму бесконечного ряда: 1/2 + 1/ 6 + 1/18 + 1/54 + ⋯

Решение:

Дано: a = 1/2

r = (1/6) / (1/2) = (1/18) / (1/6) = 1/3

Найти : Сумма данного бесконечного ряда

Если r<1, то сумма задается как Сумма = a/(1-r)
Применяя значения к формуле бесконечного ряда, мы получаем

Сумма=(1/2)/(1-1/3)

Сумма=(1/2)/(2/3)

Сумма=3/( 2*2)

Сумма=3/4

Ответ: Сумма 1/2 + 1/6 + 1/18 + 1/54 + ⋯ равна 3/4

Пример 3: Оценка 3 + 7 + 11 + . ……
Решение:

a = 3, d = 4 и n = ∞

Здесь разница > 0,
Итак, сумма = + ∞

Ответ: 3 + 7 + 11 + …….   = + ∞

Часто задаваемые вопросы о формуле бесконечного ряда

Что такое сумма бесконечных членов?

Бесконечный ряд состоит из бесконечного числа членов. Сумма первых n слагаемых S _n называется частичной суммой. Если S _n  стремится к пределу, когда n стремится к бесконечности, предел называется суммой ряда до бесконечности. Сумма бесконечных арифметических рядов равна либо +∞, либо -∞. Сумма бесконечного геометрического ряда, когда обыкновенное отношение <1, тогда сумма сходится к a/(1-r), что является формулой бесконечного ряда бесконечного GP. Здесь a — первое слагаемое, r — обыкновенное отношение.

Что такое формула бесконечного ряда?

Сумма бесконечных арифметических рядов равна либо +∞, либо -∞. Сумма формулы бесконечного геометрического ряда также известна как сумма бесконечного GP. Формула бесконечного ряда, если значение r таково, что −1

Сумма = a/(1-r)

Где,

• a = первый член ряда
• r = обыкновенное отношение между двумя последовательными терминами и −1

Что такое a и r в формуле бесконечного ряда?

При нахождении суммы данного бесконечного геометрического ряда Если r<1, то сумма определяется как Sum = a/(1-r). В этой формуле бесконечного ряда a = первый член ряда, r = обыкновенное отношение между двумя последовательными членами и −1

Найдите сумму бесконечной ЗП 0.3+ 0.33+ 0.333+….

Эту бесконечную ЗП можно записать как 3/10 + 3/100 + 3/1000+………

Здесь мы находим, что первый член a = 3/10, а r = 3/100 ÷ 3/10 = 1/10

Поскольку r < 1, сумма должна сходиться к a/ (1-r) как по формуле бесконечного ряда для бесконечного GP.

Таким образом, сумма до бесконечности = (3/10) ÷ (1 — 1/10)

Сумма = 3/10 ÷ 9/10 = 1/3

Таким образом, сумма сходится к 1/3. 0,3+ 0,33+ 0,333+…. = 1/3

Арифметический ряд

Горячая математика

Ан арифметический ряд это ряд чей родственный последовательность является арифметическим. Он получается в результате добавления условия из арифметическая последовательность .

Пример 1:

Конечная арифметическая последовательность: 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , … , 200

Связанные конечные арифметические ряды: 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + … + 200

Записано в сигма-нотации: ∑ к «=» 1 40 5 к

Пример 2:

Бесконечная арифметическая прогрессия: 3 , 7 , 11 , 15 , 19 , . ..

Связанные бесконечные арифметические ряды: 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + …

Записано в сигма-нотации: ∑ н «=» 1 ∞ ( 4 н − 1 )

Чтобы найти сумму первых н членов арифметической прогрессии, используйте формулу
С н «=» н ( а 1 + а н ) 2 ,
где н это количество терминов, а 1 является первым членом, и а н это последний срок.